Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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Offenbar ist der Quotient aus der Geschwindigkeitszunahme
und dem zugehörigen Zeitabschnitt
ein Maß dafür, wie schnell eine bestimmte
Momentangeschwindigkeit erreicht wird:
Die Beschleunigung a eines gleichmäßig beschleunigten
(verzögerten) Körpers ist der Quotient
aus der Geschwindigkeitsänderung Dv
und dem zugehörigen Zeitabschnitt Dt. Die Beschleunigung
ist ein Vektor; mehrere Beschleunigungen
dürfen also nur geometrisch addiert
werden.
Gleichmäßig beschleunigt oder verzögert heißt,
dass die Beschleunigung oder Verzögerung konstant
bleibt (a ¼ konstant). Im a, t-Diagramm muss
die Beschleunigungslinie eine zur t-Achse parallele
Gerade sein, so wie die Geschwindigkeitslinie im
v, t-Diagramm bei gleichförmiger Bewegung.
Die Einheit für die Beschleunigung a ergibt sich in
gewohnter Weise aus der Definitionsgleichung für
die Größe. Mit den gesetzlichen Basiseinheiten
Meter (m) und Sekunde (s) erhält man als Einheit
das „Meter je Sekundequadrat“.
Man möchte nun nachweisen, dass im Hinblick
auf die Fläche unter der Geschwindigkeits-Linie
im v, t-Diagramm das Gleiche gilt wie für die
gleichförmige Bewegung:
Die Geschwindigkeit v ändert sich von v0 ¼ 0am
Anfang, auf vt am Ende des Zeitabschnittes Dt.
Weil die Geschwindigkeitsänderung konstant ist,
ergibt sich die mittlere Geschwindigkeit zu
vm ¼ðv0þ vtÞ=2 ¼ vt=2, und der zurückgelegte
Weg zu Ds ¼ vm Dt ¼ vt Dt=2. Das entspricht
aber auch dem Flächeninhalt der Dreiecksfläche
unter der v-Linie:
In jedem v, t-Diagramm entspricht die Fläche A
unter der Geschwindigkeitslinie dem Wegabschnitt
Ds (A ¼b Ds).
Mit dieser Erkenntnis kann man nun einen
Lösungsplan entwickeln, der alle zur Lösung erforderlichen
Gleichungen liefert.
Geschwindigkeitsänderung Dv
a ¼
zugehöriger Zeitabschnitt Dt
a ¼ Dv
Dt
Grundgleichung der gleichmäßig beschleunigten
(verzögerten) Bewegung
a, t-Diagramm der gleichmäßig
beschleunigten Bewegung
ðaÞ ¼ ðvÞ
ðtÞ ¼
m
s m 2
¼ ¼ ms
s s2 v
v 0 = 0
0
A= s=
t
Mittlere Geschwindigkeit vm
Fläche A ¼b Weg Ds
Gilt für jede Bewegung
a Dv Dt
m
s 2
v 0 + vt
2
t
v m
Beachte: Man braucht nur die Grundgleichung
a ¼ Dv=Dt im Kopf zu haben;
alle anderen Gleichungen können aus dem
v, t-Diagramm abgelesen werden.
m
s
s
4 Dynamik
t m
v = 2v
t