Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
Alfred Böge Technische Mechanik - PP99 Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
148 4.1.3 Gesetze und Diagramme der gleichförmigen Bewegung, Geschwindigkeitsbegriff Die folgenden Gesetzmäßigkeiten gelten unabhängig von der Bahn des Körperpunktes, also für geradlinige und krummlinige Bewegungen. Zur Vereinfachung stellt man sich erst einmal eine gerade Bahn vor. Man beobachtet die Bewegung des Werkzeugträgers einer Drehmaschine bei eingeschaltetem Längsvorschub, oder die Bewegung des Tisches einer Fräsmaschine. Mit Bandmaß und Stoppuhr kann man feststellen, dass sich Werkzeugträger oder Tisch in gleichen Zeitabschnitten Dt immer um den gleichen Wegabschnitt Ds verschoben haben. Das ist das Kennzeichen der gleichförmigen Bewegung: Ein Körper oder Körperpunkt bewegt sich dann gleichförmig, wenn er in gleichen, beliebig kleinen Zeitabschnitten Dt immer gleiche Wegabschnitte Ds zurücklegt. Dividiert man den durchlaufenen Wegabschnitt Ds durch den zugehörigen Zeitabschnitt Dt, dann erhält man die Geschwindigkeit v: Die Geschwindigkeit v eines gleichförmig bewegten Körpers ist der Quotient aus Weg- und Zeitabschnitt. Die Geschwindigkeit ist ein Vektor; mehrere Geschwindigkeiten dürfen also nur geometrisch addiert werden. Bewegt sich ein Körper nicht gleichförmig, erhält man mit der Definitionsgleichung der Geschwindigkeit v ¼ Ds=Dt seine Durchschnittsgeschwindigkeit oder mittlere Geschwindigkeit vm . Die Einheit für die Geschwindigkeit v ergibt sich aus ihrer Definitionsgleichung. Man braucht also nur für die rechts vom Gleichheitszeichen stehenden Größen die Einheiten einzusetzen. Die Klammern sollen darauf hinweisen, dass nur die Einheit der Größe benutzt werden soll. Beispiel: Man kann feststellen, dass sich der Fräsmaschinentisch nach jeweils 10 s um 30 mm verschoben hat. Der Zeitabschnitt beträgt Dt ¼ 10 s. Der Wegabschnitt beträgt Ds ¼ 30 mm. Exakt gleichförmig ist eine Bewegung nur dann, wenn auch in beliebig kleinen Zeitabschnitten, z. B. in jeder millionstel Sekunde, die durchlaufenen Wegabschnitte gleich groß bleiben. v ¼ Ds Dt Grundgleichung der gleichförmigen Bewegung Beispiel: Der Stößel einer Waagerecht-Stoßmaschine durchläuft einen Hub von 0,6 m in 1,5 s. Dann ist vm ¼ Ds Dt ¼ 0,6 m 1,5 s v Ds Dt m/s m s ðvÞ ¼ ðsÞ Weg-Einheit ¼ ðtÞ Zeit-Einheit m m ¼ 0,4 ¼ 0,4 s 1 60 min ¼ 24 m min Beispiele: ðvÞ ¼ ðsÞ m ¼ ðtÞ s ¼ ms 1 ; ðvÞ ¼ ðsÞ ðtÞ 4 Dynamik ¼ mm min
4.1 Allgemeine Bewegungslehre 149 Die Einheiten Meter (m) und Sekunde (s) sind gesetzliche Basiseinheiten. Zur Umrechnung von m/s in km/h oder umgekehrt braucht man nur 1 km ¼ 1000 m ¼ 103 m und 1h¼ 3 600 s ¼ 3,6 10 3 s einzusetzen. Umrechnungszahl für diesen Fall ist demnach 3,6. Bewegungsabläufe werden leichter überschaubar, wenn man sie zeichnerisch im rechtwinkligen Achsenkreuz erfassen. Auch im einfachen Fall der gleichförmigen Bewegung erkennt man schon Gesetzmäßigkeiten, die später bei der ungleichförmigen Bewegung helfen, schwierigere Aufgaben zu lösen. Das gilt vor allem für das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm (v, t-Diagramm). Im Weg-Zeit-Diagramm erhält man bei gleichförmiger Bewegung für die Weglinie eine ansteigende Gerade, weil in gleichen Zeitabschnitten (z. B. Dt ¼ 1 s) gleiche Wegabschnitte zurückgelegt werden (z. B. Ds ¼ 5 m). Eine steilere Gerade würde zeigen, dass der Körper in gleichen Zeitabschnitten Dt größere Wegabschnitte Ds durchläuft, das heißt, die Geschwindigkeit v wäre größer. Die Weg-Linie im s, t-Diagramm ist immer die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, mit Dt und Ds als Katheten. Man erkennt: Der Tangens des Neigungswinkels a der Weg-Linie entspricht dem Zahlenwert der Geschwindigkeit v (tan a ¼b v). Man darf nicht schreiben v ¼ tan a, sondern nur v ¼b tan a (v entspricht tan a), denn es handelt sich um Größen verschiedener Art, wie schon die verschiedenen Einheiten zeigen. v besitzt die Einheit m/s, der Tangens eines Winkels dagegen die Einheit Eins (Verhältnisgröße aus zwei Längen). 1 km ¼ 1 h 1 km 1 m ¼ h 3,6 s 1 m s 103 m 3,6 103 1 m ¼ s 3,6 s ¼ 3,6 km h Umrechnungsbeziehung Hinweis: Auf der waagerechten Achse trägt man immer die Zeit t auf. Die vertikale Achse trägt entweder den Weg s, die Geschwindigkeit v oder die Beschleunigung a: Weg-Zeit-Diagramm (s, t-Diagramm), Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm (v, t-Diagramm), Beschleunigung-Zeit-Diagramm (a, t-Diagramm). s, t-Diagramm der gleichförmigen Bewegung tan a ¼b v ¼ Ds ¼ konstant Dt Beispiel: v1 ¼ 0,5 m s ¼b tan a1; a1 ¼ arctan 0,5 ¼ 26,6 Dieser Winkel tritt im s, t-Diagramm aber nur dann auf, wenn auf den beiden Achsen die Länge für eine Zeiteinheit und für eine Wegeinheit gleich ist (gleicher Maßstab).
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4.1.3 Gesetze und Diagramme der gleichförmigen Bewegung,<br />
Geschwindigkeitsbegriff<br />
Die folgenden Gesetzmäßigkeiten gelten unabhängig von der Bahn des Körperpunktes, also<br />
für geradlinige und krummlinige Bewegungen. Zur Vereinfachung stellt man sich erst einmal<br />
eine gerade Bahn vor.<br />
Man beobachtet die Bewegung des Werkzeugträgers<br />
einer Drehmaschine bei eingeschaltetem<br />
Längsvorschub, oder die Bewegung des Tisches<br />
einer Fräsmaschine. Mit Bandmaß und Stoppuhr<br />
kann man feststellen, dass sich Werkzeugträger oder<br />
Tisch in gleichen Zeitabschnitten Dt immer um den<br />
gleichen Wegabschnitt Ds verschoben haben.<br />
Das ist das Kennzeichen der gleichförmigen Bewegung:<br />
Ein Körper oder Körperpunkt bewegt sich dann<br />
gleichförmig, wenn er in gleichen, beliebig<br />
kleinen Zeitabschnitten Dt immer gleiche Wegabschnitte<br />
Ds zurücklegt.<br />
Dividiert man den durchlaufenen Wegabschnitt Ds<br />
durch den zugehörigen Zeitabschnitt Dt, dann erhält<br />
man die Geschwindigkeit v:<br />
Die Geschwindigkeit v eines gleichförmig bewegten<br />
Körpers ist der Quotient aus Weg- und<br />
Zeitabschnitt.<br />
Die Geschwindigkeit ist ein Vektor; mehrere<br />
Geschwindigkeiten dürfen also nur geometrisch<br />
addiert werden.<br />
Bewegt sich ein Körper nicht gleichförmig, erhält<br />
man mit der Definitionsgleichung der Geschwindigkeit<br />
v ¼ Ds=Dt seine Durchschnittsgeschwindigkeit<br />
oder mittlere Geschwindigkeit vm .<br />
Die Einheit für die Geschwindigkeit v ergibt sich<br />
aus ihrer Definitionsgleichung. Man braucht also<br />
nur für die rechts vom Gleichheitszeichen stehenden<br />
Größen die Einheiten einzusetzen. Die Klammern<br />
sollen darauf hinweisen, dass nur die Einheit<br />
der Größe benutzt werden soll.<br />
Beispiel:<br />
Man kann feststellen, dass sich der Fräsmaschinentisch<br />
nach jeweils 10 s um 30 mm<br />
verschoben hat.<br />
Der Zeitabschnitt beträgt Dt ¼ 10 s.<br />
Der Wegabschnitt beträgt Ds ¼ 30 mm.<br />
Exakt gleichförmig ist eine Bewegung nur<br />
dann, wenn auch in beliebig kleinen Zeitabschnitten,<br />
z. B. in jeder millionstel Sekunde,<br />
die durchlaufenen Wegabschnitte gleich<br />
groß bleiben.<br />
v ¼ Ds<br />
Dt<br />
Grundgleichung der<br />
gleichförmigen Bewegung<br />
Beispiel:<br />
Der Stößel einer Waagerecht-Stoßmaschine<br />
durchläuft einen Hub von 0,6 m in 1,5 s.<br />
Dann ist<br />
vm ¼ Ds<br />
Dt<br />
¼ 0,6 m<br />
1,5 s<br />
v Ds Dt<br />
m/s m s<br />
ðvÞ ¼ ðsÞ Weg-Einheit<br />
¼<br />
ðtÞ Zeit-Einheit<br />
m m<br />
¼ 0,4 ¼ 0,4<br />
s 1<br />
60 min<br />
¼ 24 m<br />
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Beispiele:<br />
ðvÞ ¼ ðsÞ m<br />
¼<br />
ðtÞ s ¼ ms 1 ; ðvÞ ¼ ðsÞ<br />
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4 Dynamik<br />
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