Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
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146 4.1.2 Ûbungen mit dem v, t-Diagramm 1. Das v, t-Diagramm für den freien Fall ohne Luftwiderstand soll skizziert werden: Der freie Fall ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung, denn die Beschleunigung ist konstant. Sie heißt Fallbeschleunigung (g ¼ 9,81 m/s 2 ). Die Geschwindigkeit nimmt in jeder Zeiteinheit um den gleichen Betrag Dv ¼ konstant zu. Die v-Linie ist also eine ansteigende Gerade. Der freie Fall mit Luftwiderstand wird im Abschnitt 4.1.6 behandelt (Seite 157). 2. Das v, t-Diagramm für den senkrechten Wurf nach oben ohne Luftwiderstand mit anschließendem freien Fall soll skizziert werden: Beim senkrechten Wurf nach oben ist die Verzögerung ebenso groß wie die Beschleunigung während des freien Falls (g ¼ 9,81 m/s 2 ), und sie bleibt auch konstant. Der senkrechte Wurf ist demnach nichts anderes als der „umgekehrt“ betrachtete freie Fall. Anfangsgeschwindigkeit v0 und Endgeschwindigkeit vt sind daher gleich groß. v0 ist die Geschwindigkeit zur Zeit t ¼ 0, vt ist die Geschwindigkeit bei der Rückkehr zur Abwurfstelle. Die v-Linie schneidet die t-Achse. Von dort an hat die Geschwindigkeit entgegengesetzten Richtungssinn. 3. Das v, t-Diagramm für den senkrechten Wurf nach unten soll skizziert werden: Wie beim freien Fall (Ûbung 1.) ist die v-Linie eine ansteigende Gerade. Da der Körper schon eine Anfangsgeschwindigkeit v0 besitzt, wird die Gerade um den Betrag von v0 parallel verschoben eingezeichnet. Nach dem Zeitabschnitt Dt besitzt der Körper die Endgeschwindigkeit vt, die um die Geschwindigkeitszunahme Dv ¼ vt v0 größer ist als v0. Der Bewegungsablauf vor dem Erreichen der Anfangsgeschwindigkeit v0 wurde nicht eingetragen. 4 Dynamik v, t-Diagramm des freien Falls (v 6¼ konstant; a ¼ g ¼ konstant; g ¼ 9,81 m/s 2 ) Beachte: Wird nichts anderes gesagt, sollen diese Bewegungsarten ohne Luftwiderstand behandelt werden. v, t-Diagramm des senkrechten Wurfs nach oben mit anschließendem freiem Fall (v 6¼ konstant; a ¼ g ¼ konstant) v, t-Diagramm des senkrechten Wurfs nach unten (v 6¼ konstant; a ¼ g ¼ konstant)
4.1 Allgemeine Bewegungslehre 147 4. Das v, t-Diagramm der Stößelbewegung einer Waagerecht-Stoßmaschine soll skizziert werden: Der Stößel bewegt sich ungleichförmig, denn er muss erst beschleunigt und dann verzögert werden (Anfangs- und Endgeschwindigkeit sind null). Im Unterschied zum freien Fall ist diese ungleichförmige Bewegung jedoch nicht gleichmäßig beschleunigt oder verzögert, sondern ungleichmäßig. Es ist also a 6¼ konstant. Der Größtwert der Geschwindigkeit liegt in Hubmitte (vmax). 5. Ein Körper wird aus der Ruhelage heraus während Dt1 ¼ 5 s gleichmäßig beschleunigt und erreicht die Geschwindigkeit v ¼ 12 m/s, die er während Dt2 ¼ 10 s beibehält. Anschließend wird die Bewegung während Dt3 ¼ 2,5 s gleichmäßig bis zur Ruhelage verzögert. Das v, t-Diagramm des Bewegungsvorganges ist maßstäblich zu zeichnen und daraus das Beschleunigungs-Zeit-Diagramm (a, t-Diagramm) zu entwickeln: Im v, t-Diagramm ist die v-Linie während des Zeitabschnitts Dt3 steiler geneigt als während des Zeitabschnitts Dt1 (a2 > a1). Auch wenn man die Beschleunigung a1, a3 noch nicht berechnen kann, sagt die Tatsache Dt1 ¼ 2 Dt3, dass a3 ¼ 2a1 sein wird. Während des Zeitabschnitts Dt2 ist keine Beschleunigung vorhanden (a2 ¼ 0). 6. Das v, t-Diagramm für die Bewegung eines Schleifkorns soll skizziert werden, wenn die Schleifscheibe nach dem Abschalten des Antriebs gleichmäßig verzögert ausläuft: Die v-Linie ist eine von v0 bis auf vt ¼ 0 abfallende Gerade. Eine Gerade deshalb, weil gleichmäßige Verzögerung vorausgesetzt wurde. Aufgaben Nr. 400–404 v, t-Diagramm eines Stößelhubes der Waagerechtstoßmaschine (v 6¼ konstant; a 6¼ konstant) v, t-Diagramm Beachte: Die v-Linien sind „idealisierte“ Kurven. Kurvenknicke als Ûbergänge sind in der Praxis nicht möglich. Aus dem v, t-Diagramm entwickeltes a, t-Diagramm v, t-Diagramm für eine auslaufende Schleifscheibe (v 6¼ konstant; a ¼ konstant)
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4.1.2 Ûbungen mit dem v, t-Diagramm<br />
1. Das v, t-Diagramm für den freien Fall ohne<br />
Luftwiderstand soll skizziert werden:<br />
Der freie Fall ist eine gleichmäßig beschleunigte<br />
Bewegung, denn die Beschleunigung ist konstant.<br />
Sie heißt Fallbeschleunigung (g ¼ 9,81 m/s 2 ). Die<br />
Geschwindigkeit nimmt in jeder Zeiteinheit um<br />
den gleichen Betrag Dv ¼ konstant zu. Die v-Linie<br />
ist also eine ansteigende Gerade. Der freie Fall mit<br />
Luftwiderstand wird im Abschnitt 4.1.6 behandelt<br />
(Seite 157).<br />
2. Das v, t-Diagramm für den senkrechten Wurf<br />
nach oben ohne Luftwiderstand mit anschließendem<br />
freien Fall soll skizziert werden:<br />
Beim senkrechten Wurf nach oben ist die Verzögerung<br />
ebenso groß wie die Beschleunigung während<br />
des freien Falls (g ¼ 9,81 m/s 2 ), und sie<br />
bleibt auch konstant. Der senkrechte Wurf ist demnach<br />
nichts anderes als der „umgekehrt“ betrachtete<br />
freie Fall. Anfangsgeschwindigkeit v0 und<br />
Endgeschwindigkeit vt sind daher gleich groß. v0<br />
ist die Geschwindigkeit zur Zeit t ¼ 0, vt ist die<br />
Geschwindigkeit bei der Rückkehr zur Abwurfstelle.<br />
Die v-Linie schneidet die t-Achse. Von dort<br />
an hat die Geschwindigkeit entgegengesetzten<br />
Richtungssinn.<br />
3. Das v, t-Diagramm für den senkrechten Wurf<br />
nach unten soll skizziert werden:<br />
Wie beim freien Fall (Ûbung 1.) ist die v-Linie<br />
eine ansteigende Gerade. Da der Körper schon<br />
eine Anfangsgeschwindigkeit v0 besitzt, wird die<br />
Gerade um den Betrag von v0 parallel verschoben<br />
eingezeichnet. Nach dem Zeitabschnitt Dt besitzt<br />
der Körper die Endgeschwindigkeit vt, die um die<br />
Geschwindigkeitszunahme Dv ¼ vt v0 größer ist<br />
als v0.<br />
Der Bewegungsablauf vor dem Erreichen der Anfangsgeschwindigkeit<br />
v0 wurde nicht eingetragen.<br />
4 Dynamik<br />
v, t-Diagramm des freien Falls (v 6¼ konstant;<br />
a ¼ g ¼ konstant; g ¼ 9,81 m/s 2 )<br />
Beachte: Wird nichts anderes gesagt, sollen<br />
diese Bewegungsarten ohne Luftwiderstand<br />
behandelt werden.<br />
v, t-Diagramm des senkrechten Wurfs nach<br />
oben mit anschließendem freiem Fall<br />
(v 6¼ konstant; a ¼ g ¼ konstant)<br />
v, t-Diagramm des senkrechten Wurfs nach<br />
unten (v 6¼ konstant; a ¼ g ¼ konstant)