Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

3.4 Reibung an Maschinenteilen 141
3.4.10.3 Rollenzug
Rollenzüge sind Ûbersetzungsmittel zwischen Last
und Kraft. Sie bestehen aus einer Kombination fester
und loser Rollen, die in Flaschen (Kloben) gelagert
sind. Die Rollen können untereinander oder
auch nebeneinander liegen1) . Das eine Seilende ist
mit einer Flasche verbunden, am anderen Ende
greift die Zugkraft F an.
Zur statischen Analyse des skizzierten Rollenzuges
beim Heben der Last wird die untere Flasche freigemacht.
Der Schnitt x x trifft hier vier tragende
Seilstränge. Für alle Rollen soll der Wirkungsgrad
gleich groß sein (hf ¼ hl ¼ h). Mit den für feste
und lose Rollen entwickelten Gleichungen ist dann
F1 ¼ hF, F2 ¼ hF1 ¼ h 2 F, F3 ¼ hF2 ¼ h 3 F und
F4 ¼ h 4 F. Damit kann die Kräftegleichgewichtsbedingung
SFy ¼ 0 aufgestellt werden.
Der Ausdruck ð1 þ h þ h 2 þ h 3 Þ lässt sich algebraisch
vereinfachen. Es ist
1 þ h þ h 2 þ h 3 1 h4
¼
1 h
Der Beweis lässt sich durch Polynomdivision führen,
indem man 1 h 4 durch 1 h dividiert.
Der spezielle Fall mit vier tragenden Seilsträngen
kann leicht auf beliebige Konstruktionen mit n tragenden
Seilsträngen erweitert werden. Als Exponent
steht dann „n“ statt „4“ in der Zugkraftgleichung
des Rollenzugs.
Von den „Lasten“, die mit Rollenzügen bewegt
werden sollen, ist meistens die Masse m in kg bekannt.
Aus diesem Grund wird nach FG ¼ mg die
Zugkraftgleichung mit der Masse m geschrieben
(Fallbeschleunigung g ¼ 9,81 m/s2 ).
Eine Beziehung zwischen dem Kraftweg s1 und
dem Lastweg s2 lässt sich wie bei der losen Rolle
mit der Nutzarbeit Wn ¼ FG s2 und der aufgewendeten
Arbeit Wa ¼ Fs1 herleiten. Ohne Reibungsverluste
ist auch hier Wn ¼ Wa, und die Gewichtskraft
FG ist gleich dem n-fachen der Zugkraft F
(FG ¼ nF oder F ¼ FG/n). Beispielsweise ist bei
der losen Rolle FG ¼ 2F, weil n ¼ 2 tragende
Seilstränge vorhanden sind.
Lageskizze der
unteren Flasche
SFy ¼ 0 ¼ F1 þ F2 þ F3 þ F4
hF þ h
FG
2 F þ h 3 F þ h 4 F ¼ FG
Fðh þ h 2 þ h 3 þ h 4 Þ¼FG
1
F ¼ FG
h þ h2 þ h3 1
¼ FG
þ h4 hð1 þ h þ h2 þ h3Þ 1
F ¼ FG
hð1
h
h4 1
¼ mg
Þ hð1
h
h4Þ 1
F ¼ mg
hð1
h
h nÞ Zugkraftgleichung für Rollenzüge
mit n tragenden Seilsträngen beim
Lastheben (mg ¼ FG)
Wn ¼ Wa
FGs2 ¼ Fs1 (FG ¼ nF)
nFs2 ¼ Fs1
s1 ¼ ns2
Weggleichung für Rollenzüge
mit n tragenden Seilsträngen
1) Praktische Ausführung siehe Handbuch Maschinenbau (Abschnitt Fördertechnik)