Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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Wie bei der festen Rolle stellt man die Gleichgewichtsbedingungen
nach der Lageskizze auf. Auch
hier wird angenommen, dass die seitliche Auslenkung
am auf- und am ablaufenden Seilstrang
gleich groß ist (e1 ¼ e2 ¼ e).
Den Momentendrehpunkt D legt man auf die
Wirklinie der Seilkraft Fs, weil die Entwicklung
der Momentengleichgewichtsbedingung dann zu
einer Gleichung mit nur einer Unbekannten führt
(Zugkraft F).
Auch bei Berücksichtigung der Reibung gilt für
den Kraftweg s1 ¼ 2s2. Allerdings bleibt nicht
mehr F ¼ FG/2. Mit der Nutzarbeit Wn ¼ FG s2 und
der aufgewendeten Arbeit Wa ¼ Fs1 ¼ F 2s2 erhält
man wie bei der festen Rolle eine Gleichung
für den Wirkungsgrad hl der losen Rolle und daraus
eine Gleichung für die Zugkraft F.
Wie bei der festen Rolle verfügt man auch hier
über zwei voneinander unabhängigen Gleichungen
für die Zugkraft F, die man gleichsetzen und nach
dem Wirkungsgrad hl auflösen kann.
Ein Vergleich der beiden Gleichungen für die Wirkungsgrade
h l und h f zeigt, dass der Zähler in der
Wirkungsgradgleichung für die lose Rolle größer
ist als der Zähler in der Gleichung für die feste
Rolle. Dagegen ist der Nenner bei h l kleiner als
bei h f. Folglich ist der Wirkungsgrad h l der losen
Rolle größer als der Wirkungsgrad h f der festen
Rolle (h l > h f).
Das wird rechnerisch bestätigt mit den für die feste
Rolle angenommenen Größen (siehe Seite 139).
Für praktische Rechnungen verzichtet man jedoch
auf unterschiedliche Beträge für die Wirkungsgrade
der festen und der losen Rolle. Man rechnet
mit h f ¼ h l ¼ h ¼ 0,96 für Gleitlagerung der Rolle
und h ¼ 0,98 für Wälzlagerung.
SFy ¼ 0 ¼ Fs
FG ¼ Fs þ F
FG þ F
2r
zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{
SMðDÞ ¼ 0 ¼ FGðr þ eÞ MR þ F ðr e þ r þ eÞ
MR ¼ FRrz ¼ FN mrz ¼ FG mrz
2Fr ¼ FGðr þ eÞþFG mrz ¼ FGðr þ e þ mrzÞ
F ¼ FG
2
r þ e þ mrz
r
Zugkraft an der losen Rolle beim Lastheben
hl ¼ Wn
¼
Wa
FG s2
F 2s2
h l ¼ FG
2F
! F ¼ FG
2h l
F ¼ FG
¼
2hl FG r þ e þ mrz
2 r
r
hl ¼
r þ e þ mrz
Wirkungsgrad
der losen Rolle
Zählervergleich: r > r e
Nennervergleich: r þ e þ mrz < r þ e þ 2mrz
folglich ist
h l > h f
Für r ¼ 200 mm, rz ¼ 30 mm, m ¼ 0,15 und
e ¼ 1 mm wird der Wirkungsgrad für die lose
Rolle:
r
hl ¼
r þ e þ mrz
200 mm
hl ¼
ð200 þ 1 þ 0,15 30Þ mm
h l ¼ 0,973 > h f ¼ 0,948
3 Reibung