Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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3.4.10 Rolle und Rollenzug
3.4.10.1 Feste Rolle (Leit- oder Umlenkrolle)
Die Achse der festen Rolle liegt räumlich fest. Ohne
Reibung wäre die Zugkraft F im Seil gleich der
Gewichtskraft FG (F ¼ FG). Infolge der Zapfenreibung
(siehe Seite 116) ist beim Heben der Last die
Zugkraft jedoch immer größer als die Gewichtskraft
(F > FG). Aber auch ohne Berücksichtigung
der Zapfenreibung wäre F > FG, denn die Reibung
zwischen den einzelnen Drähten des Seils
macht das Seil biegesteif. Dadurch weicht der auflaufende
Seilstrang um die seitliche Auslenkung e1
nach außen. Der ablaufende Seilstrang schmiegt
sich um e2 an die Rolle nach innen an. Dadurch
vergrößert sich der Wirkabstand der Gewichtskraft
FG vom Rollendrehpunkt D auf den Betrag r þ e1,
während sich der Wirkabstand der Zugkraft F auf
r e2 verringert.
Zur Gleichgewichtsbetrachtung skizziert man die
Lageskizze des Systems Rolle/Seil. Der geringfügige
Unterschied zwischen e1 und e2 lässt es zu,
mit der Auslenkung e ¼ e1 ¼ e2 zu rechnen.
Die Rolle dreht sich beim Heben der Last mit konstanter
Winkelgeschwindigkeit w rechts herum.
Linksdrehend wirkt dann das Reibungsmoment
MR ¼ FRrz ¼ FN mrz ¼ðFG þ FÞ mrz.
Erläuterungen zum Reibungsmoment MR siehe
Abschnitt 3.4.3.1, Seite 117.
Für die Reibungsbetrachtung am Rollenbolzen
oder -zapfen kann die Zugkraft F ungefähr gleich
der Gewichtskraft FG gesetzt werden (F FG).
Das Reibungsmoment wird dann MR ¼ 2FG mrz.
Legt man den Momentendrehpunkt D auf die
Wirklinie der noch unbekannten Normalkraft FN
(Lagerkraft) in den Rollenmittelpunkt, so führt die
algebraische Entwicklung zu einer Gleichung für
die Zugkraft F.
FG Gewichtskraft
F Zugkraft
r Rollenradius
rz Zapfenradius
Lageskizze für Lastheben
3 Reibung
SFy ¼ 0 ¼
FN ¼ FG þ F
FG þ FN F
SMðDÞ ¼ 0 ¼ FGðr þ eÞ Fðr eÞþMR
FGðr þ eÞ Fðr eÞþ2FG mrz ¼ 0
Fðr eÞ ¼FGðr þ e þ 2mrzÞ
r þ e þ 2mrz
F ¼ FG
r e
Zugkraft an der festen Rolle beim Lastheben