Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
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136 3. Ûbung: Eine Kugel von 20 mm Durchmesser liegt auf einer schiefen Ebene. Bei welchem Neigungswinkel a beginnt die Kugel zu rollen, wenn der Hebelarm der Rollreibung f ¼ 0,1 cm beträgt? Lösung: Die Kugel beginnt dann zu rollen, wenn die Wirklinie der Gewichtskraft FG durch die „Kippkante“ D geht (siehe 2.5.2). Die Rollkraft ist dann die Komponente FG sin a, die „Belastung“ die Komponente FG cos a. Das linksdrehende Kraftmoment FG sin ar ist gleich dem rechtsdrehenden Kraftmoment FG cos a f . Damit ist der Lösungsansatz gefunden. Die Diskussion der Gleichung tan a ¼ f =r lässt erkennen, dass mit zunehmendem Kugelradius r die Tangensfunktion und damit der Neigungswinkel kleiner wird: Große Rollkörper rollen leichter als kleine. 4. Ûbung: Ein Kraftfahrzeug mit 1100 kg Masse wird auf einer waagerechten Asphaltstraße gleichförmig geschoben. Wie groß ist der zu überwindende Fahrwiderstand Fw? Lösung: Man berechnet den Fahrwiderstand Fw aus der Normalkraft FN und der Fahrwiderstandszahl m f . Die gesamte Normalkraft an den vier Rädern ist bei waagerechter Fahrbahn gleich der Gewichtskraft FG ¼ Masse m Fallbeschleunigung g. Die Fahrwiderstandszahl entnimmt man den Erfahrungswerten (3.4.8). 5. Ûbung: Ein Güterzug fährt auf waagerechter Strecke mit konstanter Geschwindigkeit. Die Masse der angehängten Wagen beträgt 1000 t. Wie groß ist der Fahrwiderstand Fw der angehängten Wagen? Gegeben: Durchmesser d ¼ 20 mm Hebelarm f ¼ 0,1 cm Gesucht: Neigungswinkel a FG sin ar ¼ FG cos a f FG sin a f ¼ FG cos a r tan a ¼ f r a ¼ arctan f r 0,1 cm ¼ arctan ¼ 5,71 1cm Gegeben: Masse m ¼ 1,1 10 3 kg Fahrwiderstandszahl m f ¼ 0,025 (siehe 3.4.8) Gesucht: Fahrwiderstand Fw Fw ¼ FN m f ¼ FG m f ¼ mgm f Fw ¼ 1,1 10 3 kg 9,81 m 3 25 10 s2 Fw ¼ 270 kgm ¼ 270 N s2 Gegeben: Masse m ¼ 1000 t ¼ 106 kg Fahrwiderstandszahl mf ¼ 0,0025 Gesucht: Fahrwiderstand Fw 3 Reibung
3.4 Reibung an Maschinenteilen 137 Lösung: Die Ûberlegungen zur Lösung dieser Aufgabe sind die gleichen wie in der 4. Ûbung. Lediglich die Beträge der Masse und der Fahrwiderstandszahl wurden geändert. Da die Zugkraft am Zughaken der Lokomotive nur den Fahrwiderstand zu überwinden hat, sind Zugkraft Fz und Fahrwiderstand gleich groß. 6. Ûbung: Derselbe Güterzug wie in der 5. Ûbung wird eine Steigung 1:100 gleichförmig bergauf gezogen. Wie groß ist jetzt die erforderliche Zugkraft Fz? Lösung: Man orientiert sich über die Kräfteverhältnisse anhand einer Lageskizze. Ob man dabei den ganzen Zug betrachtet oder nur einen Wagen mit der Masse m ¼ 1000 t, ist gleichgültig. Man erkennt: Da Gleichgewicht herrscht, ist die Normalkraft FN ¼ FG cos a. Außerdem muss die Zugkraft Fz gleich der Summe aus Fahrwiderstand Fw und Hangabtriebskraft FG sin a sein. Zuerst wird der Steigungswinkel a aus seiner Tangensfunktion ermittelt. Der Winkel ist so klein, dass man in der weiteren Rechnung sin a ¼ tan a ¼ 0,01 und cos a ¼ 1 setzen darf. Dann setzt man die Gleichgewichtsbedingung für die Kräfte in Richtung der Steigung an (x-Kräfte) und löst schrittweise nach Fz auf. Die Gleichung Fz ¼ mgðm f þ sin aÞ zeigt, dass der Steigungswinkel a die Zugkraft stark beeinflusst. Hier ist sin a ¼ 4m f , d. h. die Hangabtriebskraft FG sin a ist viermal so groß wie der Fahrwiderstand Fw. Aufgaben Nr. 379–385 Fw ¼ FN m f ¼ FG m f ¼ mgm f Fw ¼ 10 6 kg 9,81 m 3 2,5 10 s2 3 kgm Fw ¼ 24,53 10 ¼ 24 530 N s2 Fw ¼ Fz ¼ 24,53 kN Gegeben: Dieselben Größen wie in Ûbung 5; zusätzlich Steigung 1:100, das heißt, der Tangens des Steigungswinkels beträgt 1/100, tan a ¼ 0,01 Gesucht: Zugkraft Fz Lageskizze a ¼ arctan 0,01 ¼ 0,573 ¼ 34,4 0 SFx ¼ 0 ¼ Fz Fw FG sin a Fz ¼ Fw þ FG sin a ¼ FN mf þ FG sin a Fz ¼ FG cos amf þ FG sin a ¼ ¼ FGðmf cos a þ sin aÞ Fz ¼ mgðmf cos a þ sin aÞ cos a ¼ 0,99995 1 gesetzt: Fz ¼ mgðmf þ sin aÞ Fz ¼ 10 6 kg 9,81 m s2 ð0,0025 þ 0,01Þ Fz ¼ 12,26 10 4 N ¼ 122,6 kN
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3. Ûbung: Eine Kugel von 20 mm Durchmesser<br />
liegt auf einer schiefen Ebene.<br />
Bei welchem Neigungswinkel a beginnt die Kugel<br />
zu rollen, wenn der Hebelarm der Rollreibung<br />
f ¼ 0,1 cm beträgt?<br />
Lösung: Die Kugel beginnt dann zu rollen, wenn<br />
die Wirklinie der Gewichtskraft FG durch die<br />
„Kippkante“ D geht (siehe 2.5.2). Die Rollkraft ist<br />
dann die Komponente FG sin a, die „Belastung“<br />
die Komponente FG cos a.<br />
Das linksdrehende Kraftmoment FG sin ar ist<br />
gleich dem rechtsdrehenden Kraftmoment<br />
FG cos a f . Damit ist der Lösungsansatz gefunden.<br />
Die Diskussion der Gleichung tan a ¼ f =r lässt erkennen,<br />
dass mit zunehmendem Kugelradius r die<br />
Tangensfunktion und damit der Neigungswinkel<br />
kleiner wird: Große Rollkörper rollen leichter als<br />
kleine.<br />
4. Ûbung: Ein Kraftfahrzeug mit 1100 kg Masse<br />
wird auf einer waagerechten Asphaltstraße gleichförmig<br />
geschoben.<br />
Wie groß ist der zu überwindende Fahrwiderstand<br />
Fw?<br />
Lösung: Man berechnet den Fahrwiderstand Fw<br />
aus der Normalkraft FN und der Fahrwiderstandszahl<br />
m f . Die gesamte Normalkraft an den vier Rädern<br />
ist bei waagerechter Fahrbahn gleich der Gewichtskraft<br />
FG ¼ Masse m Fallbeschleunigung g.<br />
Die Fahrwiderstandszahl entnimmt man den Erfahrungswerten<br />
(3.4.8).<br />
5. Ûbung: Ein Güterzug fährt auf waagerechter<br />
Strecke mit konstanter Geschwindigkeit. Die Masse<br />
der angehängten Wagen beträgt 1000 t.<br />
Wie groß ist der Fahrwiderstand Fw der angehängten<br />
Wagen?<br />
Gegeben:<br />
Durchmesser d ¼ 20 mm<br />
Hebelarm f ¼ 0,1 cm<br />
Gesucht:<br />
Neigungswinkel a<br />
FG sin ar ¼ FG cos a f<br />
FG sin a f<br />
¼<br />
FG cos a r<br />
tan a ¼ f<br />
r<br />
a ¼ arctan f<br />
r<br />
0,1 cm<br />
¼ arctan ¼ 5,71<br />
1cm<br />
Gegeben:<br />
Masse m ¼ 1,1 10 3 kg<br />
Fahrwiderstandszahl m f ¼ 0,025 (siehe 3.4.8)<br />
Gesucht:<br />
Fahrwiderstand Fw<br />
Fw ¼ FN m f ¼ FG m f ¼ mgm f<br />
Fw ¼ 1,1 10 3 kg 9,81 m<br />
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s2 Fw ¼ 270 kgm<br />
¼ 270 N<br />
s2 Gegeben:<br />
Masse m ¼ 1000 t ¼ 106 kg<br />
Fahrwiderstandszahl mf ¼ 0,0025<br />
Gesucht:<br />
Fahrwiderstand Fw<br />
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