Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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3.4.5 Seilreibung
3.4.5.1 Grundgleichung der Seilreibung
Ein einfacher Versuch soll die Erfahrungen aus
dem Berufsalltag bestätigen:
Nach Skizze legt man um einen fest stehenden
zylindrischen Körper ein dünnes Seil (Band,
Faden). Beide Seilenden belastet man mit Wägestücken
gleicher Masse m (Skizze a)). Das Seil
befindet sich im Gleichgewicht (Ruhezustand).
Daran ändert sich auch dann nichts, wenn man
eines der beiden Seilenden durch kleine Wägestücke
der Masse Dm zusätzlich zugbelastet (bis kurz
vor den Rutschvorgang). Ursache dafür ist die zwischen
Seil und Mantelfläche des Zylinders herrschende
Seilreibungskraft FR. Sie ist die Summe
der kleinen Reibungskräfte DFR ¼ m DFN, die
verteilt auf der ganzen umspannten Mantelfläche
wirken: FR ¼ SDFR.
Eine Berechnungsgleichung für die größere Seilzugkraft
F1 findet man wegen der verschieden großen
Teil-Reibungskräfte DFR nur mit Hilfe der
höheren Mathematik (Differenzial- und Integralrechnung).
Das hat zuerst Euler 1) getan, später
auch Eytelwein 2) , nach dem auch heute noch die
Gleichung F1 ¼ F2 e ma benannt wird.
Die Gleichung bestätigt die Erfahrungen: Die Seilzugkraft
F1 wächst (linear) mit der am anderen
Seilende wirkenden Zugkraft F2 und (exponential)
mit dem Produkt aus Reibungszahl m und Umschlingungswinkel
a.
Der Umschlingungswinkel a muss mit der Einheit
rad (Radiant) in die Zugkraftgleichung eingesetzt
werden. Dazu dient die Umrechnungsbeziehung,
wenn der Winkel in Grad vorliegt.
Häufig wird die Anzahl der Umschlingungen
(Windungen) angegeben, z. B. zwei volle Windungen.
1) Leonard Euler (1707 –1783), Mathematiker und Physiker
2) Johann Albert Eytelwein (1764 –1848), Ingenieur
a) Versuchsanordnung
b) Lageskizze
des Seils
F1 ¼ F2 þ SDFR
F1 ¼ F2 þ FR
Beachte: F1 ist immer die größere der beiden
Seilkräfte: F1 > F2.
F1 ¼ F2 ema Seilzugkraft
(Eytelwein’sche Gleichung
zur Seilreibung)
e ¼ 2,71828 ... heißt Euler’sche Zahl
Daraus ergibt sich für die
Seilreibungskraft
FR ¼ F1 F2 ¼ F2ðe ma
a ¼ a 2p
360
3 Reibung
e
1Þ ¼F1
ma 1
ema Umrechnungsbeziehung (Grad in rad)
Beachte:
a ¼ 360 ¼ 2p rad ¼ eine volle Windung