Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
Alfred Böge Technische Mechanik - PP99 Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
120 Die Umfangskraft Fu wirkt im Abstand r2 (Flankenradius) von der Schraubenlängsachse. Sie erzeugt das beim Heben oder Senken zu überwindende Gewindereibungsmoment MRG. Der Wirkungsgrad des Schraubgetriebes beim Heben ist das Verhältnis der Nutzarbeit Wn zur aufgewendeten Arbeit Wa. Bezieht man beide Arbeiten auf eine Schraubenumdrehung, dann ist die Nutzarbeit das Produkt aus Schraubenlängskraft F und Steigungshöhe P (Hubarbeit). Die aufgewendete Arbeit ist das Produkt aus Umfangskraft Fu und Flankenumfang 2pr2. Bei r ¼ a beginnt der Bereich der Selbsthemmung. Dann ist der Wirkungsgrad h ¼ tan r=tan 2r. Da die Steigungswinkel meist klein sind, kann tan 2r ¼ 2 tan r gesetzt werden. Man erkennt, dass an der Selbsthemmungsgrenze der Wirkungsgrad h tan r=2 tan r ¼ 0,5 wird. 3.4.4.2 Bewegungsschraube mit Spitz- oder Trapezgewinde Bei Spitz- oder Trapezgewinde mit dem Flankenwinkel b wirkt die Normalkraft F 0 N nicht in derselben Ebene wie die Längskraft F, die Umfangskraft Fu und die Reibungskraft FR, sondern sie ist um den halben Flankenwinkel gegen diese Ebene geneigt. Um Gleichgewicht zu halten, muss die Normalkraft F 0 N größer sein als FN beim Flachgewinde. Dann ist auch die Reibungskraft FR größer. Damit man trotzdem mit denselben Gleichungen wie beim Flachgewinde arbeiten kann, fasst man den Quotienten m=cos ðb=2Þ zur Reibungszahl m 0 zusammen. Für Spitz- und Trapezgewinde gelten dieselben Gleichungen wie für das Flachgewinde, wenn man statt der Reibungszahl m die Reibungszahl m 0 ¼ m=cos ðb=2Þ und für den Reibungswinkel r den Reibungswinkel r 0 einsetzt. MRG ¼ Fur2 ¼ Fr2 tan ða rÞ Gewindereibungsmoment (þ) für Heben, ( ) Senken h ¼ Wn Wa Wn ¼ FP Wa ¼ Fu 2pr2 FP h ¼ Fu 2pr2 Fu ¼ F tan ða þ rÞ und P ¼ tan a 2pr2 In die Ansatzgleichung eingesetzt ergibt das: tan a h ¼ tan ða þ rÞ Wirkungsgrad für Schraubgetriebe Beachte: Ist der Wirkungsgrad des Schraubgetriebes h 0,5, liegt Selbsthemmung vor. F 0 N ¼ FN cos ðb=2Þ 3 Reibung FR ¼ F 0 FN m N m ¼ ; m ¼ FN cos ðb=2Þ cos ðb=2Þ m Setzt man cos ðb=2Þ ¼ m0 , dann wird FR ¼ FN m 0 : Für metrisches ISO-Trapezgewinde nach DIN 103 ist b ¼ 30 und damit m 0 ¼ 1,04 m, für metrisches ISO-Gewinde nach DIN 13 ist b ¼ 60 und damit m 0 ¼ 1,15 m. Der Reibungswinkel r 0 wird aus der Reibungszahl m 0 ermittelt: tan r 0 ¼ m 0 ) r 0 ¼ arctan m 0 :
3.4 Reibung an Maschinenteilen 121 3.4.4.3 Befestigungsschraube mit Spitzgewinde Bei Schraubverbindungen mit Befestigungsschrauben wird eine Längskraft F in der Schraube erst dann erzeugt, wenn Mutter und Schraubenkopf fest auf den zu verbindenden Teilen aufliegen. Die Erfahrung lehrt, dass das Anzugsmoment MA aus Handkraft Fh und Schlüsselradius l mit fortschreitender Drehung der Mutter zunimmt. Gleichzeitig wächst auch die Vorspannkraft F in der Schraube. Das kennt man aus der Praxis: Bei zu starkem Anziehen wächst die Schraubenlängskraft F so stark an, dass die Schraube zerreißt. Im Bild wurde die gesamte Schraubenlängskraft F auf Schraubenkopf und Mutter in jeweils F/2 aufgeteilt. In Wirklichkeit entsteht durch die Längskraft eine Oberflächenkraft auf den Auflageflächen von Kopf und Mutter (siehe 1.1.7.1, Seite 11). Dem Anzugsmoment MA wirken in der Schraubverbindung zwei Kraftmomente entgegen: das Gewindereibungsmoment MRG (wie bei der Bewegungsschraube) und das Auflagereibungsmoment MRa an der Auflagefläche der Mutter. Das Gewindereibungsmoment ergibt sich aus den gleichen Ûberlegungen wie bei der Bewegungsschraube mit Spitzgewinde oder mit Flachgewinde. Das Auflagereibungsmoment ergibt sich aus der Auflagereibungskraft FRa und ihrem Wirkabstand ra von der Schraubenmitte. Für Sechskantschrauben wird ra ¼ 0,7d angenommen (d ¼ Gewindenenndurchmesser, z. B. für M10: d ¼ 10 mm). Die Summe dieser beiden Momente ist gleich dem Anzugsmoment. Aus dieser Erkenntnis kann man eine Gleichung für das Anzugsmoment MA beim Anziehen und Lösen einer Schraubverbindung in Abhängigkeit von der Schraubenlängskraft F entwickeln. ra ¼ 0,7d ¼ 1,4r Wirkabstand der Auflagereibungskraft, mit d ¼ Gewindenenndurchmesser (d ¼ 2r). MRG ¼ Fr2 tan ða r0Þ Gewindereibungsmoment bei Stahl auf Stahl (trocken) ist bei metrischem ISO-Gewinde r 0 9 MRa ¼ FRa ra ¼ Fm a ra Auflagereibungsmoment ma Reibungszahl an der Auflagefläche (bei Stahl auf Stahl ist ma 0,15) MA ¼ MRG þ MRa MA ¼ Fr2 tan ða r 0 ÞþFm a ra MA ¼ F½r2 tan ða r 0 Þþm a raŠ (þ) für Anziehen, ( )für Lösen Anzugsmoment
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120<br />
Die Umfangskraft Fu wirkt im Abstand r2 (Flankenradius)<br />
von der Schraubenlängsachse. Sie erzeugt<br />
das beim Heben oder Senken zu überwindende<br />
Gewindereibungsmoment MRG.<br />
Der Wirkungsgrad des Schraubgetriebes beim<br />
Heben ist das Verhältnis der Nutzarbeit Wn zur aufgewendeten<br />
Arbeit Wa. Bezieht man beide Arbeiten<br />
auf eine Schraubenumdrehung, dann ist die<br />
Nutzarbeit das Produkt aus Schraubenlängskraft F<br />
und Steigungshöhe P (Hubarbeit). Die aufgewendete<br />
Arbeit ist das Produkt aus Umfangskraft Fu<br />
und Flankenumfang 2pr2.<br />
Bei r ¼ a beginnt der Bereich der Selbsthemmung.<br />
Dann ist der<br />
Wirkungsgrad h ¼ tan r=tan 2r.<br />
Da die Steigungswinkel meist klein sind, kann<br />
tan 2r ¼ 2 tan r gesetzt werden. Man erkennt,<br />
dass an der Selbsthemmungsgrenze der Wirkungsgrad<br />
h tan r=2 tan r ¼ 0,5 wird.<br />
3.4.4.2 Bewegungsschraube mit Spitz- oder Trapezgewinde<br />
Bei Spitz- oder Trapezgewinde mit dem Flankenwinkel<br />
b wirkt die Normalkraft F 0 N nicht in derselben<br />
Ebene wie die Längskraft F, die Umfangskraft<br />
Fu und die Reibungskraft FR, sondern sie ist um den<br />
halben Flankenwinkel gegen diese Ebene geneigt.<br />
Um Gleichgewicht zu halten, muss die Normalkraft<br />
F 0 N größer sein als FN beim Flachgewinde.<br />
Dann ist auch die Reibungskraft FR größer. Damit<br />
man trotzdem mit denselben Gleichungen wie<br />
beim Flachgewinde arbeiten kann, fasst man den<br />
Quotienten m=cos ðb=2Þ zur Reibungszahl m 0 zusammen.<br />
Für Spitz- und Trapezgewinde gelten dieselben<br />
Gleichungen wie für das Flachgewinde, wenn<br />
man statt der Reibungszahl m die Reibungszahl<br />
m 0 ¼ m=cos ðb=2Þ und für den Reibungswinkel r<br />
den Reibungswinkel r 0 einsetzt.<br />
MRG ¼ Fur2 ¼ Fr2 tan ða rÞ Gewindereibungsmoment<br />
(þ) für Heben, ( ) Senken<br />
h ¼ Wn<br />
Wa<br />
Wn ¼ FP Wa ¼ Fu 2pr2<br />
FP<br />
h ¼<br />
Fu 2pr2<br />
Fu ¼ F tan ða þ rÞ und P<br />
¼ tan a<br />
2pr2<br />
In die Ansatzgleichung eingesetzt ergibt das:<br />
tan a<br />
h ¼<br />
tan ða þ rÞ<br />
Wirkungsgrad<br />
für Schraubgetriebe<br />
Beachte: Ist der Wirkungsgrad des Schraubgetriebes<br />
h 0,5, liegt Selbsthemmung vor.<br />
F 0 N ¼<br />
FN<br />
cos ðb=2Þ<br />
3 Reibung<br />
FR ¼ F 0 FN<br />
m<br />
N m ¼ ; m ¼ FN<br />
cos ðb=2Þ cos ðb=2Þ<br />
m<br />
Setzt man<br />
cos ðb=2Þ ¼ m0 , dann wird<br />
FR ¼ FN m 0 :<br />
Für metrisches ISO-Trapezgewinde nach<br />
DIN 103 ist<br />
b ¼ 30 und damit m 0 ¼ 1,04 m,<br />
für metrisches ISO-Gewinde nach DIN 13 ist<br />
b ¼ 60 und damit m 0 ¼ 1,15 m.<br />
Der Reibungswinkel r 0 wird aus der Reibungszahl<br />
m 0 ermittelt: tan r 0 ¼ m 0 ) r 0 ¼ arctan m 0 :