Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
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112 3.3.3.3 Schubkraft F wirkt waagerecht Analytische Lösung: Man geht wieder von der Lageskizze aus. Die Schubkraft F wirkt jetzt waagerecht. Dieses Kräftesystem wirkt zum Beispiel am Gewindegang einer Schraubenverbindung, wenn sie gelöst wird. Bei waagerechter Schubkraftrichtung ist der Schubwinkel b ¼ 0. Entsprechend schreibt man wieder die allgemeine Schubkraftgleichung um. Mit b ¼ 0 wird im Nenner sin ð aÞ ¼ sin a cos ð aÞ ¼cos a Damit ergibt sich die spezielle Gleichung für eine waagerecht wirkende Schubkraft F. Diese Gleichung muss sich auch ergeben, wenn man die beiden Gleichgewichtsbedingungen SFx ¼ 0 und SFy ¼ 0 auswertet. Es soll auch diese Schubkraftgleichung in die Form mit dem Reibungswinkel r gebracht werden. Diese Form ist bei Untersuchungen der Reibungsverhältnisse am Gewindegang gebräuchlich. Man ersetzt zunächst die Reibungszahl m durch den Tangens des Reibungswinkels sin r m ¼ tan r ¼ cos r Zähler und Nenner bringt man auf den Hauptnenner cos r und erhält die beiden Additionstheoreme sin r cos a cos r sin a ¼ sin ðr aÞ sin r sin a cos r cos a ¼ cos ðr aÞ Diese Schubkraftgleichung unterscheidet sich von der Haltekraftgleichung in 3.3.2.3 nur durch die Winkelvorzeichen. Das ist verständlich, denn Schubkraft und Haltekraft haben entgegengesetzten Richtungssinn. 1. Schritt Lageskizze sin a m cos a F ¼ FG m sin ðb aÞ cos ðb 2. Schritt aÞ F ¼ FG sin a m cos a m sin a cos a |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} ð 1Þðm sin a þ cos aÞ F ¼ FG m cos a sin a m sin a þ cos a F ¼ f ðFG, a, mÞ I. SFx ¼ 0 ¼ FN m FG sin a 3. Schritt F cos a II. SFy ¼ 0 ¼ FN þ F sin a FG cos a FN ¼ FG cos a F sin a I. SFx ¼ 0 ¼ðFG cos a F sin aÞ m FG sin a F cos a F sin amþ F cos a ¼ FG cos am FG sin a F ¼ FG m cos a sin a m sin a þ cos a ¼ 1 zffl}|ffl{ sin r cos r cos a sin a cos r cos r F ¼ FG sin r cos r sin a þ cos a cos r cos r F ¼ FG F ¼ FG sin r cos a cos r sin a cos r sin r sin a þ cos r cos a cos r sin ðr aÞ cos ðr aÞ 3 Reibung 4. Schritt F ¼ FG tan ðr aÞ F ¼ f ðFG, a, rÞ
3.3 Reibung auf der schiefen Ebene 113 3.3.4 Ûbungen zur Reibung auf der schiefen Ebene 1. Ûbung: Auf einer schiefen Ebene (Rutsche) sollen Werkstücke nach dem Anstoßen mit konstanter Geschwindigkeit abwärts gleiten. Der Ebenenwinkel der Rutsche ist verstellbar. Die Gleitreibungszahl beträgt m ¼ 0,3. Welcher Ebenenwinkel a muss eingestellt werden? Lösung: Da keine Zug- oder Schubkraft wirkt (F ¼ 0) und Gleichgewicht vorhanden ist (v ¼ konstant), muss die Hangabtriebskomponente der Gewichtskraft FG sin a gleich der Reibungskraft FR ¼ FN m sein (SFx ¼ 0). Die Normalkraft FN ist gleich der Gewichtskraftkomponente FG cos a (SFy ¼ 0). Daraus ergibt sich der gesuchte Ebenenwinkel a ¼ arctan m. Das sind die Ûberlegungen zur Ermittlung der Gleitreibungszahl m in Abschnitt 3.2.2 (Seite 92). Man hätte auch jede der in Abschnitt 3.3.3 hergeleiteten Gleichungen zur Lösung ansetzen können, z. B. die Schubkraftgleichung aus Abschnitt 3.3.3.2 (Seite 111). Da keine Zug- oder Schubkraft wirken soll, muss in dieser Gleichung F ¼ 0 gesetzt werden. Ist das Produkt zweier Faktoren gleich null, muss einer der beiden gleich null sein. Da die Gewichtskraft FG nicht null sein kann, muss der Faktor m cos a sin a ¼ 0 sein. Damit ergibt sich auch hier a ¼ arctan m ¼ 16,7 . 2. Ûbung: Die Werkstücke auf der Rutsche aus der 1. Ûbung befinden sich zunächst in Ruhelage. Welche Kraft muss kurzzeitig parallel zur Rutsche auf ein Werkstück wirken, um es in Bewegung zu setzen? Die Schubkraft F ist als Vielfaches der Gewichtskraft FG anzugeben. Die Haftreibungszahl beträgt m0 ¼ 0,5. Lösung: Für die Lage der Kräfte am Werkstück gilt die Lageskizze von Seite 111 und damit auch die dort hergeleitete Gleichung. Statt der Gleitreibungszahl m gilt die Haftreibungszahl m0. Aufgaben Nr. 335–340 Gegeben: Gleitreibungszahl m ¼ 0,3 Gleitgeschwindigkeit v ¼ konstant Keine Zug- oder Schubkraft (F ¼ 0) Gesucht: Ebenenwinkel a FG sin a ¼ FR ¼ FN m FG cos a ¼ FN FG sin a ¼ FG cos am sin a ¼ m ¼ tan a cos a a ¼ arctan m ¼ arctan 0,3 a ¼ 16,7 Nach Seite 111 ist die Schubkraft F ¼ FG ðm cos a sin aÞ 0 ¼ FG ðm cos a sin aÞ m cos a sin a ¼ 0 sin a sin a ¼ m cos a ) ¼ tan a ¼ m cos a a ¼ arctan m ¼ arctan 0,3 a ¼ 16,7 Gegeben: Haftreibungszahl m0 ¼ 0,5 Ebenenwinkel a ¼ 16,7 Schubwinkel b ¼ Ebenenwinkel a Gesucht: Schubkraft F ¼ f ðFGÞ Nach Seite 111 gilt mit m ¼ m0 die Schubkraftgleichung F ¼ FG ðm 0 cos a sin aÞ Damit wird F ¼ FG ð0,5 cos 16,7 sin 16,7 Þ F ¼ 0,19 FG
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3.3.3.3 Schubkraft F wirkt waagerecht<br />
Analytische Lösung:<br />
Man geht wieder von der Lageskizze aus. Die<br />
Schubkraft F wirkt jetzt waagerecht. Dieses<br />
Kräftesystem wirkt zum Beispiel am Gewindegang<br />
einer Schraubenverbindung, wenn sie gelöst wird.<br />
Bei waagerechter Schubkraftrichtung ist der<br />
Schubwinkel b ¼ 0. Entsprechend schreibt man<br />
wieder die allgemeine Schubkraftgleichung um.<br />
Mit b ¼ 0 wird im Nenner<br />
sin ð aÞ ¼ sin a<br />
cos ð aÞ ¼cos a<br />
Damit ergibt sich die spezielle Gleichung für eine<br />
waagerecht wirkende Schubkraft F.<br />
Diese Gleichung muss sich auch ergeben, wenn<br />
man die beiden Gleichgewichtsbedingungen<br />
SFx ¼ 0 und SFy ¼ 0 auswertet.<br />
Es soll auch diese Schubkraftgleichung in die<br />
Form mit dem Reibungswinkel r gebracht werden.<br />
Diese Form ist bei Untersuchungen der Reibungsverhältnisse<br />
am Gewindegang gebräuchlich.<br />
Man ersetzt zunächst die Reibungszahl m durch<br />
den Tangens des Reibungswinkels<br />
sin r<br />
m ¼ tan r ¼<br />
cos r<br />
Zähler und Nenner bringt man auf den Hauptnenner<br />
cos r und erhält die beiden Additionstheoreme<br />
sin r cos a cos r sin a ¼ sin ðr aÞ<br />
sin r sin a cos r cos a ¼ cos ðr aÞ<br />
Diese Schubkraftgleichung unterscheidet sich von<br />
der Haltekraftgleichung in 3.3.2.3 nur durch die<br />
Winkelvorzeichen. Das ist verständlich, denn<br />
Schubkraft und Haltekraft haben entgegengesetzten<br />
Richtungssinn.<br />
1. Schritt<br />
Lageskizze<br />
sin a m cos a<br />
F ¼ FG<br />
m sin ðb aÞ cos ðb<br />
2. Schritt<br />
aÞ<br />
F ¼ FG<br />
sin a m cos a<br />
m sin a cos a<br />
|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}<br />
ð 1Þðm sin a þ cos aÞ<br />
F ¼ FG<br />
m cos a sin a<br />
m sin a þ cos a<br />
F ¼ f ðFG, a, mÞ<br />
I. SFx ¼ 0 ¼ FN m FG sin a<br />
3. Schritt<br />
F cos a<br />
II. SFy ¼ 0 ¼ FN þ F sin a FG cos a<br />
FN ¼ FG cos a F sin a<br />
I. SFx ¼ 0 ¼ðFG cos a F sin aÞ m<br />
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3 Reibung<br />
4. Schritt<br />
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