Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

3.3 Reibung auf der schiefen Ebene 111
3.3.3.2 Schubkraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene
Analytische Lösung:
Als Erstes zeichnet man wieder die Lageskizze.
Die Schubkraft F wirkt jetzt parallel zur schiefen
Ebene in negativer x-Richtung. Das gilt auch für
die Gewichtskraftkomponente FG sin a. Entgegengesetzt
zur Schubkraftrichtung wirkt die Reibungskraft
FR ¼ FN m. Rechtwinklig zur schiefen Ebene
wirkt in negativer y-Richtung die Gewichtskraftkomponente
FG cos a, in positiver y-Richtung die
Normalkraft FN.
Da die Schubkraft parallel zur schiefen Ebene
wirken soll, wird der Schubwinkel b gleich dem
Ebenenwinkel a. Entsprechend schreibt man die
allgemeine Schubkraftgleichung von Seite 110 um.
Im Nenner ist dann
sin ða aÞ ¼ sin 0 ¼ 0
cos ða aÞ ¼cos 0 ¼ 1.
Damit erhält man die spezielle Gleichung für den
Fall, dass die Schubkraft F parallel zur schiefen
Ebene wirkt.
Bis auf das Vorzeichen stimmt auch diese Gleichung
mit der entsprechenden Haltekraftgleichung
in 3.3.2.2 (Seite 106) überein, wenn dort m0 durch
m ersetzt wird.
Wie gewohnt findet man die Schubkraftgleichung
auch mit Hilfe der beiden Gleichgewichtsbedingungen
SFx ¼ 0 und SFy ¼ 0.
Es soll nun die Schubkraftgleichung in die Form
mit dem Reibungswinkel r gebracht werden. Dazu
ersetzt man die Reibungszahl m durch den Tangens
des Reibungswinkels. Den Klammerausdruck
bringt man auf den Hauptnenner cos r.
Mit Hilfe des Additionstheorems
sin r cos a cos r sin a ¼ sin ðr aÞ
wird die gesuchte Gleichungsform gefunden.
1. Schritt
Lageskizze
2. Schritt
sin a m cos a
F ¼ FG
m sin ðb aÞ cos ðb aÞ
F ¼ FG
sin a m cos a
m sin ða aÞ
|fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl}
0
sin a m cos a
F ¼ FG
1
cos ða aÞ
|fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl}
1
F ¼ FGðm cos a sin aÞ F ¼ f ðFG, a, mÞ
3. Schritt
I. SFx ¼ 0 ¼ FN m F FG sin a
II. SFy ¼ 0 ¼ FN FG cos a ) FN ¼ FG cos a
I. SFx ¼ 0 ¼ðFG cos aÞ m F FG sin a
F ¼ FGðm cos a sin aÞ
sin r
m ¼ tan r ¼ 4. Schritt
cos r
sin r cos a cos r sin a
F ¼ FG
cos r
F ¼ FG
sin ðr aÞ
cos r
F ¼ f ðFG, a, rÞ