Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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3.3.3 Verschieben des Körpers nach unten (3. Grundfall)
3.3.3.1 Schubkraft F wirkt unter beliebigem Schubwinkel
Im 1. Grundfall wurde der Körper auf der schiefen
Ebene nach oben gezogen, im 2. Grundfall im
Ruhezustand gehalten (oder herabgelassen). Im
3. Grundfall wird der Körper unter der Wirkung
der Schubkraft F gleichförmig nach unten verschoben.
Die Schubkraft F wirkt unter dem Schubwinkel
b zur Waagerechten. Gesucht ist die Gleichung
zur Berechnung der Schubkraft F.
Aufgabenskizze
Gegeben: FG, a, b, m
Gesucht: F ¼ f ðFG, a, b, mÞ
Analytische Lösung: 1. Schritt
Als Erstes wird wieder die Lageskizze des freigemachten
Körpers gezeichnet.
Die Reibungskraft FR ¼ FN m wirkt der Bewegungsrichtung
des Körpers entgegen nach rechts
oben. Sie versucht, den Körper abzubremsen wie
im 2. Grundfall. In der Lageskizze führt man den
Winkel g ¼ b a ein. Das vereinfacht die weitere
algebraische Entwicklung.
Aus der Lageskizze liest man wieder die beiden
Gleichgewichtsbedingungen SFx ¼ 0undSFy ¼ 0ab.
Für die Reibungskraft wird FR ¼ FN m eingesetzt.
Gleichung II wird nach FN aufgelöst und dieser
Ausdruck in Gleichung I eingesetzt.
Diese neue Gleichung I löst man nach der Schubkraft
F auf. Das ist die Beziehung
F ¼ f ðFG, a, g, mÞ
Setzt man dann wieder g ¼ b a ein, erhält man
die gesuchte Beziehung in der Form
F ¼ f ðFG, a, b, mÞ
Nachbetrachtung: Ein Vergleich der Schubkraftgleichung
mit der Haltekraftgleichung auf Seite
106 zeigt, dass sie fast übereinstimmen. Bis auf
die Vorzeichen im Nenner sind alle Glieder im
Zähler und im Nenner gleich. Rechnet man die
Kraft F mit gleichen Größen für beide Gleichungen
aus, dann sind die Zahlenwerte gleich. Nur die
Vorzeichen sind verschieden. Das muss so sein,
denn die beiden Lageskizzen unterscheiden sich
nur durch den Richtungssinn der Kraft F.
3 Reibung
Lageskizze
I. SFx ¼ 0 ¼ FN m F cos g
2. Schritt
FG sin a
II. SFy ¼ 0 ¼ FN FG cos a F sin g
3. Schritt
II. FN ¼ FG cos a þ F sin g
I. SFx ¼ 0 ¼ðFG cos a þ F sin gÞ m
FG sin a F cos g
F sin gm F cos g ¼ FG sin a
FG cos am
sin a m cos a
F ¼ FG
m sin g cos g
sin a m cos a
F ¼ FG
m sin ðb aÞ cos ðb
F ¼ f ðFG, a, b, mÞ
aÞ
Schubkraft F beim gleichförmigen Abwärtsgleiten
Nennervergleich:
NS ¼ m sin ðb aÞ cos ðb aÞ
in der Schubkraftgleichung
NH ¼ cos ðb aÞ m sin ðb aÞ
in der Haltekraftgleichung
NS ¼ð 1Þ NH