Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

3.3 Reibung auf der schiefen Ebene 109
Es soll auch hier wieder die Haltekraftgleichung
aus den beiden Gleichgewichtsbedingungen
SFx ¼ 0 und SFy ¼ 0 entwickelt werden.
Man kommt zum gleichen Ergebnis wie im vorhergehenden
Fall.
Gleitet der Körper gleichförmig abwärts, ist an
Stelle der Haftreibungszahl m0 die Gleitreibungszahl
m in die Gleichung einzusetzen. Wegen
m < m0, ist die Haltekraft F größer als beim ruhenden
Körper.
Trigonometrische Lösung:
Man zeichnet die Lageskizze des freigemachten
Körpers. Er ist gerade an der Grenze zwischen Ruhe
und Bewegung nach unten. Folglich wirkt die maximale
Haftreibungskraft FR0 max der zu erwartenden
Bewegungsrichtung entgegen nach rechts oben.
Die Krafteckskizze beginnt man wieder mit der
Normalkraft FN, schließt rechtwinklig nach rechts
oben die Haftreibungskraft FR0 max an und fasst
beide zur Ersatzkraft Fe zusammen. Das Krafteck
wird mit FG und F geschlossen, die Winkel a und
r0 werden eingetragen.
Aus dem Krafteck liest man die Gleichung für die
Haltekraft F ab.
Die Gleichung gilt auch für den Fall, dass der
Körper gleichförmig abwärts gleitet, wenn r0
durch r ersetzt wird.
Nachbetrachtung: Die Gleichung zeigt, dass die
erforderliche Haltekraft F größer wird mit zunehmender
Gewichtskraft FG und zunehmendem Ebenenwinkel
a. Sie wird kleiner mit zunehmendem
Haftreibungswinkel r0, weil die Haftreibungskraft
jetzt die Haltekraft unterstützt.
Ist der Ebenenwinkel a gleich dem Haftreibungswinkel
r0, dann wird die Haltekraft F gleich null,
d. h. es liegt Selbsthemmung vor.
Ist der Ebenenwinkel a kleiner als der Haftreibungswinkel
r0, dann ergibt sich eine negative
Haltekraft F, der Körper muss nach unten geschoben
werden.
3. Schritt
I.
FR0 max
zffl}|ffl{
SFx ¼ 0 ¼ F cos a þ FN m0 FG sin a
II. SFy ¼ 0 ¼ FN FG cos a F sin a
FN ¼ FG cos a þ F sin a
Der Ausdruck für FN wird in I. eingesetzt:
I. SFx ¼ 0 ¼ F cos a þ
þðFG cos a þ F sin aÞ m0 FG sin a
F ¼ FG
sin a m 0 cos a
cos a þ m 0 sin a
Lageskizze
Krafteckskizze
1. Schritt
2. Schritt
F ¼ FG tan ða r 0 Þ 3. Schritt
F ¼ f ðFG, a, r0Þ Beachte: Beim Abwärtsgleiten ist die erforderliche
Haltekraft F größer als in Ruhe.
Wird der Haftreibungswinkel r0 größer, dann
wird die Winkeldifferenz a r0 kleiner, also
auch ihre Tangensfunktion. Das ergibt aber
auch einen kleineren Betrag für die Haltekraft
F.
Für a ¼ r0 wird tan ða r 0 Þ¼tan 0 ¼ 0,
und damit
F ¼ FG tan ðr 0 r 0 Þ¼FG 0 ¼ 0.
Für a < r 0 wird die Winkeldifferenz und
damit auch ihre Tangensfunktion negativ.
Dadurch ergibt sich für die Haltekraft F ein
negativer Betrag.