Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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Nachbetrachtung: Aus der ersten Gleichung kann
man erkennen, dass bei reibungsfreier Auflage des
Körpers (r0 ¼ 0) die Haltekraft F gleich der „Abtriebskomponente“
der Gewichtskraft FG sin a
wird.
Ist der Ebenenwinkel a gleich dem Haftreibungswinkel
r0, dann wird die Haltekraft F gleich null.
Nur die Haftreibungskraft FR0 max hält den Körper
fest.
Ist der Ebenenwinkel a kleiner als der Haftreibungswinkel
r0, dann ergibt die Gleichung einen
negativen Wert für die Haltekraft F. Das bedeutet,
dass die Kraft entgegen dem angenommenen Richtungssinn
wirken muss. Um aus der Ruhe in die
Bewegung überzugehen, muss der Körper abwärts
geschoben werden.
3.3.2.3 Haltekraft F wirkt waagerecht
Analytische Lösung:
Zunächst wird die allgemeine Gleichung (Seite
106) für den speziellen Fall der waagerecht wirkenden
Haltekraft F umgeschrieben. Dann entwickelt
man aus den beiden Gleichgewichtsbedingungen
die Haltekraftgleichung. Anschließend
wird die Krafteckskizze wieder trigonometrisch
ausgewertet.
Die Haltekraft F soll waagerecht von links nach
rechts wirken. Dann gilt für den Zugwinkel (Haltewinkel)
b ¼ 0. Diese Bedingung bringt man in die
allgemeine Gleichung ein. Da nach wie vor der
Körper gerade vor dem Abgleiten stehen soll, muss
wieder die Haftreibungszahl m0 eingesetzt werden.
Mit b ¼ 0 wird im Nenner
cos ð aÞ ¼cos a
sin ð aÞ ¼ sin a
Damit ergibt sich die spezielle Gleichung für eine
waagerecht wirkende Haltekraft F.
Für r0 ¼ 0 wird die Winkeldifferenz
a r 0 ¼ a und cos r 0 ¼ 1, und es wird
F ¼ FG
sin ða 0Þ
¼ FG sin a
1
Für r0 ¼ a wird sin ða r0Þ¼sin 0 ¼ 0.
Dadurch erhält der ganze Quotient den Wert
null, es wird
sin ðr0 r0Þ 0
F ¼ FG
¼ FG ¼ 0
cos r0 cos r0 Für a < r0 wird die Winkeldifferenz a r0 und damit auch ihre Sinusfunktion negativ.
Dadurch ergibt sich für F ein negativer Wert.
Erkenntnis: Ist der Ebenenwinkel a r0 ,
bleibt der Körper von selbst auf der schiefen
Ebene liegen.
a r 0 Selbsthemmungsbedingung
1. Schritt
Lageskizze
sin a
F ¼ FG
cos ðb aÞ
m0 cos a
m0 sin ðb
2. Schritt
aÞ
sin a m0 cos a
F ¼ FG
cos ð0 aÞ m0 sin ð0 aÞ
sin a m0 cos a
F ¼ FG
cos a þ m0 sin a
3 Reibung
F ¼ f ðFG, a, m 0 Þ