Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

3.3 Reibung auf der schiefen Ebene 107
Zur Kontrolle wird noch auf direktem Weg die
Haltekraftgleichung entwickelt. Dazu setzt man
die beiden Gleichgewichtsbedingungen SFx ¼ 0
und SFy ¼ 0 an, die man aus der Lageskizze ablesen
kann.
Das Ergebnis stimmt mit der vorher entwickelten
Gleichung überein.
Trigonometrische Lösung:
Man zeichnet die Lageskizze des freigemachten
Körpers. Er ist gerade an der Grenze zwischen
Ruhe und Bewegung nach unten. Die maximale
Haftreibungskraft FR0 max wirkt dann der zu erwartenden
Bewegungsrichtung des Körper entgegen
nach rechts oben.
In der Krafteckskizze wird wieder zuerst die Normalkraft
FN gezeichnet und rechtwinklig daran die
Haftreibungskraft FR0 max. Beide fasst man zur Ersatzkraft
Fe zusammen. Dann schließt man das
Krafteck aus Fe, F und FG. Die Winkel a und r0
werden wie in der vorigen Aufgabe in die Krafteckskizze
eingetragen: a zwischen FN und FG
und r0 zwischen FN und Fe.
Dann setzt man wieder den Sinussatz an und entwickelt
daraus die Gleichung für die Kraft F. Aus
der Gleichung erkennt man, dass die erforderliche
Haltekraft F größer wird mit zunehmender Gewichtskraft
FG und zunehmendem Ebenenwinkel
a. Sie wird kleiner bei zunehmendem Haftreibungswinkel
r0. Das ist leicht zu erklären, denn
die Haftreibungskraft unterstützt die Kraft F.
Mit Hilfe des Additionstheorems
sin ða r0Þ¼sin a cos r0 cos a sin r0 findet man auch die zweite Form der Funktionsgleichung
für die Kraft F.
Beide Gleichungen gelten auch für den Fall, dass
der Körper gleichförmig abwärts gleitet, wenn r0
durch r und m0 durch m ersetzt wird.
I.
FR0 max
zffl}|ffl{
SFx ¼ 0 ¼ F þ FN m0 3. Schritt
FG sin a
II. SFy ¼ 0 ¼ FN FG cos a ) FN ¼ FG cos a
Der Ausdruck für FN wird in I. eingesetzt:
I. SFx ¼ 0 ¼ F þ FG cos am0 FG sin a
F ¼ FGðsin a m 0 cos aÞ
Lageskizze
Krafteckskizze
F
sin ða r0Þ ¼
FG
sin ð90 þ r0Þ Beachte: sin ð90 þ r 0 Þ¼cos r 0
sin ða r0Þ F ¼ FG
cos r0 1. Schritt
2. Schritt
3. Schritt
¼ FG
cos r 0
F ¼ f ðFG, a, r 0 Þ
4. Schritt
F ¼ FGðsin a m 0 cos aÞ F ¼ f ðFG, a, m 0 Þ
Beachte: Beim Abwärtsgleiten ist die erforderliche
Haltekraft F größer als in der Ruhe, weil
die unterstützende Reibungskraft kleiner ist.