Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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Häufiger wird die Gleichung mit dem Reibungswinkel
r anstelle der Reibungszahl m gebraucht,
zum Beispiel beim Schraubengewinde. Zur Um-
wandlung der Gleichung wird eingesetzt:
sin r
Reibungszahl m ¼ tan r ¼
cos r
(siehe Abschnitt 3.2.1, Seite 91)
Wird nun Zähler und Nenner auf den gemeinsamen
Nenner cos r gebracht, erhält man mit den
entsprechenden Additionstheoremen die gesuchte
Gleichung mit dem Reibungswinkel r.
Mit Hilfe der folgenden trigonometrischen Lösung
kann man diese Gleichung direkt aus der Krafteckskizze
ablesen.
Trigonometrische Lösung:
Man zeichnet die Lageskizze des freigemachten
Körpers.
Die Krafteckskizze wird wieder mit der Normalkraft
FN begonnen, an die man rechtwinklig die
Reibungskraft FR (nach links unten) anschließt.
Beide werden durch die Ersatzkraft Fe ersetzt.
Dann schließt man das Krafteck aus Fe, FG und F
und trägt die Winkel a und r ein.
Das Krafteck ist ein rechtwinkliges Dreieck, aus
dem man die Gleichung für die Verschiebekraft F
ablesen kann.
Die Gleichung gilt auch für den Fall, dass der Körper
aus der Ruhe nach oben angezogen wird, wenn
r durch r0 ersetzt wird.
Nachbetrachtung: Die Gleichung zeigt, dass die
Verschiebekraft F größer wird mit zunehmender
Gewichtskraft FG, zunehmendem Ebenenwinkel a
und zunehmendem Reibungswinkel r.
Ist a ¼ 0, dann ist die Verschiebekraft F gleich der
Reibungskraft FR.
Wächst der Neigungswinkel gegen a ¼ 90 r,
geht die Verschiebekraft F gegen unendlich, d. h.
schon bevor der Ebenenwinkel a ¼ 90 erreichen
wird, ist eine Verschiebung nicht mehr möglich.
sin r
sin a þ cos a
cos r
F ¼ FG
sin r
cos a sin a
cos r
F ¼ FG
sin a cos r þ cos a sin r
cos r
cos a cos r sin a sin r
cos r
sin ða þ rÞ
F ¼ FG
cos ða þ rÞ
4. Schritt
F ¼ FG tan ða þ rÞ F ¼ f ðFG, a, rÞ
Lageskizze
Krafteckskizze
3 Reibung
1. Schritt
2. Schritt
3. Schritt
F ¼ FG tan ða þ rÞ F ¼ f ðFG, a, rÞ
Ist a ¼ 0, wird tan ða þ rÞ ¼tan r ¼ m, und
damit F ¼ FG m. Bei waagerechter Ebene ist
FG ¼ FN, folglich auch F ¼ FN m ¼ FR.
Ist a ¼ 90 r, dann ist
tan ða þ rÞ ¼tan ð90 r þ rÞ und
tan 90 ¼1. Dann wird F ¼ FG 1¼1.