Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

3.3 Reibung auf der schiefen Ebene 103
Nachbetrachtung: Beide Gleichungen sind „Funktionsgleichungen“.
Sie zeigen die Abhängigkeit
der gesuchten Kraft F von den „Einflussgrößen“
FG, a, r und m:
F ¼ f ðFG, a, rÞ oder F ¼ f ðFG, a, mÞ
Man erkennt:
Die Kraft F wird umso größer, je größer die Gewichtskraft
FG des Körpers ist, je größer der Ebenenwinkel
a ist und je größer der Reibungswinkel r oder
die Reibungszahl m ist. Sie erreicht einen Höchstwert,
wenn der Ebenenwinkel a ¼ 90 r ist.
3.3.1.3 Zugkraft F wirkt waagerecht
Analytische Lösung:
Als Erstes zeichnet man wieder die Lageskizze.
Die Zugkraft F soll diesmal waagerecht wirken.
Dieser Fall ist von besonderer Bedeutung für das
Verständnis von Schraubgetrieben (Spindelpresse)
und für die Berechnung von Befestigungsschrauben.
Auch hier wird zunächst vom allgemeinen Fall
ausgegangen, bei dem die Zugkraft F unter einem
beliebigen Zugwinkel b zur Waagerechten wirkt.
Man setzt in der allgemein gültigen Zugkraftgleichung
den Zugwinkel b ¼ 0, denn die Wirklinie
der Zugkraft F soll waagerecht liegen.
Für die trigonometrischen Funktionen im Nenner
gilt cos ð aÞ ¼cos a und sin ð aÞ ¼ sin a.
Damit erhält man die spezielle Gleichung für den
Fall, dass die Zugkraft F waagerecht wirkt.
Es soll auch für diesen Fall die Zugkraftgleichung
mit Hilfe der beiden Gleichgewichtsbedingungen
SFx ¼ 0 und SFy ¼ 0 hergeleitet werden.
Gleichung II löst man nach der Normalkraft FN
auf und setzt diesen Ausdruck in Gleichung I ein.
Die Endgleichung stimmt mit der vorhergehenden
überein.
Die Diskussion der ersten Gleichung zeigt:
Die Kraft F ist der Gewichtskraft FG proportional;
sie wächst mit dem Ebenenwinkel a und dem
Reibungswinkel r, denn die Summe a þ r
wird größer und damit auch ihre Sinusfunktion,
während cos r kleiner wird;
den Höchstwert erreicht F, wenn
a ¼ 90 r ist, denn dann wird
sin ða þ rÞ ¼1, die Kraft F ist größer als FG
und nimmt bei zunehmendem Ebenenwinkel
wieder ab, bis sie bei a ¼ 90 genauso groß
ist wie die Gewichtskraft, weil
sin ð90 þ rÞ ¼cos r.
1. Schritt
Lageskizze
2. Schritt
sin a þ m cos a
F ¼ FG
cos ðb aÞþm sin ðb aÞ
sin a þ m cos a
F ¼ FG
cos ð0 aÞ þ m sin ð0 aÞ
|fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl}
cos a sin a
sin a þ m cos a
F ¼ FG
cos a m sin a
FR
z}|{
F ¼ f ðFG, a, mÞ
3. Schritt
I. SFx ¼ 0 ¼ F cos a FN m FG sin a
II. SFy ¼ 0 ¼ FN FG cos a F sin a
FN ¼ FG cos a þ F sin a
I. SFx ¼ 0 ¼ F cos a FG sin a
Fðcos a
ðFG cos a þ F sin aÞ m
m sin aÞ ¼FGðsin a þ m cos aÞ
F ¼ FG
sin a þ m cos a
cos a m sin a