Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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Trigonometrische Lösung:
Man zeichnet die Lageskizze des freigemachten
Körpers mit der Gewichtskraft FG, der Verschiebekraft
F, der Normalkraft FN und der Reibungskraft
FR.
In der Krafteckskizze zeichnet man zuerst die Normalkraft
FN (unmaßstäblich) in Normalenrichtung
zur schiefen Ebene und schließt rechtwinklig zu
ihr die Reibungskraft FR in beliebiger Länge an
(dünne Pfeile). Beide werden zur Ersatzkraft Fe
zusammengefasst.
Dann schließt man das Krafteck, indem in den Anfangspunkt
der Kraft Fe die Gewichtskraft FG und
in ihren Endpunkt die Kraft F gelegt wird. Den
Reibungswinkel r trägt man zwischen der Normalkraft
FN und der Ersatzkraft Fe, den Ebenenwinkel
a der schiefen Ebene zwischen der Normalkraft
FN und der Gewichtskraft FG ein.
Nun wird der Sinussatz für die Kräfte F und FG
und die ihnen gegenüber liegenden Winkel nach
der Krafteckskizze angesetzt und daraus eine Gleichung
für die Kraft F entwickelt. Man erkennt,
dass die Kraft F von der Gewichtskraft FG, dem
Ebenenwinkel a und dem Reibungswinkel r abhängig
ist.
Man entwickelt die Gleichung mit Hilfe des Additionstheorems
sin ða þ bÞ ¼sin a cos b þ cos a sin b
weiter und erhält sie wieder in der Form mit der
Reibungszahl m.
Wird der Körper aus der Ruhe nach oben in Bewegung
gesetzt, tritt im Krafteck an die Stelle der
Reibungskraft FR die Haftreibungskraft FR0 max
und an die Stelle des Reibungswinkels r der
Haftreibungswinkel r0. Beide Gleichungen gelten
auch für diesen Fall, nur muss r durch r0 und m
durch m0 ersetzt werden.
Lageskizze
Krafteckskizze
1. Schritt
2. Schritt
Beachte:
Zwischen FN und Fe liegt immer
der Reibungswinkel r,
zwischen FN und FG liegt immer der Ebenenwinkel
a der schiefen Ebene,
zwischen FR und Fe liegt immer der Winkel
90 r.
3. Schritt
F
sin ða þ rÞ ¼
FG
sin ð90
FG
¼
rÞ cos r
Beachte: sin ð90 rÞ ¼cos r
sin ða þ rÞ
F ¼ FG
cos r
F ¼ f (FG, a, r)
4. Schritt
sin ða þ rÞ ¼sin a cos r þ cos a sin r
sin a cos r þ cos a sin r
F ¼ FG
cos r
cos r sin r
F ¼ FG sin a þ cos a
cos r cos r
3 Reibung
sin r
Hierin ist ¼ tan r ¼ m
cos r
F ¼ FGðsin a þ m cos aÞ F ¼ f (FG, a, m)