Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

3.3 Reibung auf der schiefen Ebene 101
Aus der Lageskizze können die beiden Gleichgewichtsbedingungen
abgelesen werden.
Man löst Gleichung II nach der Normalkraft FN
auf und setzt diesen Ausdruck in Gleichung I ein.
Die neue Gleichung I wird nach der Zugkraft F
aufgelöst. Damit erhält man die gesuchte Beziehung
F ¼ f (FG, a, g, m) und mit g ¼ b a
F ¼ f (FG, a, b, m)
Diese Gleichung sieht recht kompliziert aus. Aber
sie gilt auch für den allgemeinen Kraftrichtungsfall.
Bei technischen Geräten wirkt die Kraft F
meist parallel (Schrägaufzug) oder waagerecht
(Schraube) zur schiefen Ebene. Die Zugkraftgleichung
wird dann einfacher.
3.3.1.2 Zugkraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene
Analytische Lösung:
Man zeichnet wieder die Lageskizze. Sie unterscheidet
sich von der vorhergehenden nur durch
die Richtung der Zugkraft F. Sie wirkt jetzt in
Richtung der schiefen Ebene, das heißt, der Zugwinkel
b ist gleich dem Ebenenwinkel a.
Man schreibt die allgemein gültige Zugkraftgleichung
auf und ersetzt darin den Zugwinkel b
durch den Ebenenwinkel a: ðb ¼ aÞ. Im Nenner ist
cos ða aÞ ¼cos 0 ¼ 1, sin ða aÞ ¼sin 0 ¼ 0.
Damit erhält man die spezielle Gleichung für den
Fall, dass die Zugkraft F parallel zur schiefen
Ebene wirkt.
Weil in Ûbungsaufgaben und Klausuren häufig die
Herleitung der Zugkraftgleichung für den speziellen
Fall verlangt wird, entwickelt man die Gleichung
noch einmal mit Hilfe der beiden Gleichgewichtsbedingungen
SFx ¼ 0 und SFy ¼ 0. Das
ist auch eine Kontrolle des Ergebnisses der vorhergehenden
Entwicklung aus der allgemeinen Zugkraftgleichung.
2. Schritt
I. SFx ¼ 0 ¼ F cos g FG sin a FR
II. SFy ¼ 0 ¼ FN þ F sin g FG cos a
FR ¼ FN m
3. Schritt
II. FN ¼ FG cos a F sin g
I. SFx ¼ 0 ¼ F cos g FG sin a
ðFGcos a F sin gÞ m
|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}
FN
F cos g þ F sin gm ¼ FG sin a þ FG m cos a
sin a þ m cos a
F ¼ FG
cos g þ m sin g
sin a þ m cos a
F ¼ FG
cos ðb aÞþm sin ðb aÞ
Zugkraft beim Aufwärtszug
sin a þ m cos a
F ¼ FG
cos ðb aÞþm sin ðb aÞ
sin a þ m cos a
F ¼ FG
cos ða aÞ þ m sin ða aÞ
|fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl}
1
0
1. Schritt
Lageskizze
2. Schritt
F ¼ FGðsin a þ m cos aÞ F ¼ f (FG, a, m)
3. Schritt
I. SFx ¼ 0 ¼ F FG sin a FN m
II. SFy ¼ 0 ¼ FN FG cos a ) FN ¼ FG cos a
Der Ausdruck für FN wird in I. eingesetzt:
I. SFx ¼ 0 ¼ F FG sin a FG cos am
F ¼ FGðsin a þ m cos aÞ