Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
Alfred Böge Technische Mechanik - PP99 Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
100 3.3 Reibung auf der schiefen Ebene Reibungsbetrachtungen an vielen Maschinenteilen (z. B. Schraube, Schnecke, Keil) lassen sich auf die Reibungsverhältnisse eines Körpers auf der schiefen Ebene zurückführen. Man unterscheidet drei Grundfälle, je nachdem, ob der Körper auf der schiefen Ebene nach oben oder nach unten verschoben oder gehalten werden soll. Es werden die Fälle anhand von Aufgaben mit unterschiedlicher Wirklinie der Verschiebekraft untersucht. Die Lösung sucht man auf analytischem Weg mit den beiden rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen nach der Lageskizze (SFx ¼ 0, SFy ¼ 0). Anschließend wertet man das unmaßstäblich gezeichnete Krafteck (Krafteckskizze) trigonometrisch aus. Auf eine maßstäbliche zeichnerische Lösung wird verzichtet. Sie ist hier umständlich und wegen der meist kleinen Reibungswinkel ungenau, z. B. ist fürm ¼ 0,1 der Reibungswinkel r ¼ 5,7 (siehe Seite 92). Den Körper stellt man sich sehr flach vor, so dass er nicht kippen kann. Dann können die Kräfte als zentrales Kräftesystem behandelt werden. Diese Vereinfachung ist technisch zulässig, und sie hilft, das Reibungsproblem besser zu erkennen. Die mathematischen Bedingungen werden einfacher, weil dann keine Kräftepaare berücksichtigt werden müssen. 3.3.1 Verschieben des Körpers nach oben (1. Grundfall) 3.3.1.1 Zugkraft F wirkt unter beliebigem Zugwinkel Ein Körper liegt auf einer schiefen Ebene, die unter dem Ebenenwinkel a zur Waagerechten geneigt ist. Die Zugkraft F wirkt unter dem Zugwinkel b zur Waagerechten. Der Körper wird durch die Kraft F mit gleichbleibender Geschwindigkeit nach oben gezogen. Es soll eine Gleichung zur Berechnung der Zugkraft F entwickelt werden. Man zeichnet die Lageskizze des freigemachten Körpers mit der Gewichtskraft FG und ihren Komponenten FG sin a und FG cos a, der Zugkraft F und deren Komponenten F sin g und F cos g, der Normalkraft FN und der Reibungskraft FR ¼ FN m. Die Reibungskraft FR bremst den Körper gegenüber der ruhenden schiefen Ebene. Sie wirkt daher der Bewegungsrichtung des Körpers entgegen nach links unten. Die x-Achse des rechtwinkligen Achsenkreuzes legt man in Richtung der schiefen Ebene. Dann wird die Lageskizze mit den Kraftkomponenten übersichtlicher, und es ergeben sich einfachere rechnerische Beziehungen. Den Winkel b a bezeichnet man mit dem griechischen Buchstaben g. Gegeben: FG, a, b, m Gesucht: F ¼ f (FG, a, b, m) 3 Reibung Aufgabenskizze 1. Schritt Lageskizze
3.3 Reibung auf der schiefen Ebene 101 Aus der Lageskizze können die beiden Gleichgewichtsbedingungen abgelesen werden. Man löst Gleichung II nach der Normalkraft FN auf und setzt diesen Ausdruck in Gleichung I ein. Die neue Gleichung I wird nach der Zugkraft F aufgelöst. Damit erhält man die gesuchte Beziehung F ¼ f (FG, a, g, m) und mit g ¼ b a F ¼ f (FG, a, b, m) Diese Gleichung sieht recht kompliziert aus. Aber sie gilt auch für den allgemeinen Kraftrichtungsfall. Bei technischen Geräten wirkt die Kraft F meist parallel (Schrägaufzug) oder waagerecht (Schraube) zur schiefen Ebene. Die Zugkraftgleichung wird dann einfacher. 3.3.1.2 Zugkraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene Analytische Lösung: Man zeichnet wieder die Lageskizze. Sie unterscheidet sich von der vorhergehenden nur durch die Richtung der Zugkraft F. Sie wirkt jetzt in Richtung der schiefen Ebene, das heißt, der Zugwinkel b ist gleich dem Ebenenwinkel a. Man schreibt die allgemein gültige Zugkraftgleichung auf und ersetzt darin den Zugwinkel b durch den Ebenenwinkel a: ðb ¼ aÞ. Im Nenner ist cos ða aÞ ¼cos 0 ¼ 1, sin ða aÞ ¼sin 0 ¼ 0. Damit erhält man die spezielle Gleichung für den Fall, dass die Zugkraft F parallel zur schiefen Ebene wirkt. Weil in Ûbungsaufgaben und Klausuren häufig die Herleitung der Zugkraftgleichung für den speziellen Fall verlangt wird, entwickelt man die Gleichung noch einmal mit Hilfe der beiden Gleichgewichtsbedingungen SFx ¼ 0 und SFy ¼ 0. Das ist auch eine Kontrolle des Ergebnisses der vorhergehenden Entwicklung aus der allgemeinen Zugkraftgleichung. 2. Schritt I. SFx ¼ 0 ¼ F cos g FG sin a FR II. SFy ¼ 0 ¼ FN þ F sin g FG cos a FR ¼ FN m 3. Schritt II. FN ¼ FG cos a F sin g I. SFx ¼ 0 ¼ F cos g FG sin a ðFGcos a F sin gÞ m |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} FN F cos g þ F sin gm ¼ FG sin a þ FG m cos a sin a þ m cos a F ¼ FG cos g þ m sin g sin a þ m cos a F ¼ FG cos ðb aÞþm sin ðb aÞ Zugkraft beim Aufwärtszug sin a þ m cos a F ¼ FG cos ðb aÞþm sin ðb aÞ sin a þ m cos a F ¼ FG cos ða aÞ þ m sin ða aÞ |fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} 1 0 1. Schritt Lageskizze 2. Schritt F ¼ FGðsin a þ m cos aÞ F ¼ f (FG, a, m) 3. Schritt I. SFx ¼ 0 ¼ F FG sin a FN m II. SFy ¼ 0 ¼ FN FG cos a ) FN ¼ FG cos a Der Ausdruck für FN wird in I. eingesetzt: I. SFx ¼ 0 ¼ F FG sin a FG cos am F ¼ FGðsin a þ m cos aÞ
- Seite 69 und 70: 1.2 Die Grundaufgaben der Statik 49
- Seite 71 und 72: 1.2 Die Grundaufgaben der Statik 51
- Seite 73 und 74: 1.2 Die Grundaufgaben der Statik 53
- Seite 75 und 76: 1.2 Die Grundaufgaben der Statik 55
- Seite 77 und 78: 1.2 Die Grundaufgaben der Statik 57
- Seite 79 und 80: 1.2 Die Grundaufgaben der Statik 59
- Seite 81 und 82: 1.2 Die Grundaufgaben der Statik 61
- Seite 83 und 84: 1.2 Die Grundaufgaben der Statik 63
- Seite 85 und 86: 1.2 Die Grundaufgaben der Statik 65
- Seite 87 und 88: 1.2 Die Grundaufgaben der Statik 67
- Seite 89 und 90: 1.3 Statik der ebenen Fachwerke 69
- Seite 91 und 92: 1.3 Statik der ebenen Fachwerke 71
- Seite 93 und 94: 1.3 Statik der ebenen Fachwerke 73
- Seite 95 und 96: 1.3 Statik der ebenen Fachwerke 75
- Seite 97 und 98: 2.2 Der Flächenschwerpunkt 77 2.2
- Seite 99 und 100: 2.2 Der Flächenschwerpunkt 79 Krei
- Seite 101 und 102: 2.2 Der Flächenschwerpunkt 81 2.2.
- Seite 103 und 104: 2.3 Der Linienschwerpunkt 83 2.3 De
- Seite 105 und 106: 2.3 Der Linienschwerpunkt 85 Aus de
- Seite 107 und 108: 2.5 Gleichgewichtslagen und Standsi
- Seite 109 und 110: 2.5 Gleichgewichtslagen und Standsi
- Seite 111 und 112: 3.2 Gleitreibung und Haftreibung 91
- Seite 113 und 114: 3.2 Gleitreibung und Haftreibung 93
- Seite 115 und 116: 3.2 Gleitreibung und Haftreibung 95
- Seite 117 und 118: 3.2 Gleitreibung und Haftreibung 97
- Seite 119: 3.2 Gleitreibung und Haftreibung 99
- Seite 123 und 124: 3.3 Reibung auf der schiefen Ebene
- Seite 125 und 126: 3.3 Reibung auf der schiefen Ebene
- Seite 127 und 128: 3.3 Reibung auf der schiefen Ebene
- Seite 129 und 130: 3.3 Reibung auf der schiefen Ebene
- Seite 131 und 132: 3.3 Reibung auf der schiefen Ebene
- Seite 133 und 134: 3.3 Reibung auf der schiefen Ebene
- Seite 135 und 136: 3.4 Reibung an Maschinenteilen 115
- Seite 137 und 138: 3.4 Reibung an Maschinenteilen 117
- Seite 139 und 140: 3.4 Reibung an Maschinenteilen 119
- Seite 141 und 142: 3.4 Reibung an Maschinenteilen 121
- Seite 143 und 144: 3.4 Reibung an Maschinenteilen 123
- Seite 145 und 146: 3.4 Reibung an Maschinenteilen 125
- Seite 147 und 148: 3.4 Reibung an Maschinenteilen 127
- Seite 149 und 150: 3.4 Reibung an Maschinenteilen 129
- Seite 151 und 152: 3.4 Reibung an Maschinenteilen 131
- Seite 153 und 154: 3.4 Reibung an Maschinenteilen 133
- Seite 155 und 156: 3.4 Reibung an Maschinenteilen 135
- Seite 157 und 158: 3.4 Reibung an Maschinenteilen 137
- Seite 159 und 160: 3.4 Reibung an Maschinenteilen 139
- Seite 161 und 162: 3.4 Reibung an Maschinenteilen 141
- Seite 163 und 164: 4 Dynamik Formelzeichen und Einheit
- Seite 165 und 166: 4.1 Allgemeine Bewegungslehre 145 D
- Seite 167 und 168: 4.1 Allgemeine Bewegungslehre 147 4
- Seite 169 und 170: 4.1 Allgemeine Bewegungslehre 149 D
3.3 Reibung auf der schiefen Ebene 101<br />
Aus der Lageskizze können die beiden Gleichgewichtsbedingungen<br />
abgelesen werden.<br />
Man löst Gleichung II nach der Normalkraft FN<br />
auf und setzt diesen Ausdruck in Gleichung I ein.<br />
Die neue Gleichung I wird nach der Zugkraft F<br />
aufgelöst. Damit erhält man die gesuchte Beziehung<br />
F ¼ f (FG, a, g, m) und mit g ¼ b a<br />
F ¼ f (FG, a, b, m)<br />
Diese Gleichung sieht recht kompliziert aus. Aber<br />
sie gilt auch für den allgemeinen Kraftrichtungsfall.<br />
Bei technischen Geräten wirkt die Kraft F<br />
meist parallel (Schrägaufzug) oder waagerecht<br />
(Schraube) zur schiefen Ebene. Die Zugkraftgleichung<br />
wird dann einfacher.<br />
3.3.1.2 Zugkraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene<br />
Analytische Lösung:<br />
Man zeichnet wieder die Lageskizze. Sie unterscheidet<br />
sich von der vorhergehenden nur durch<br />
die Richtung der Zugkraft F. Sie wirkt jetzt in<br />
Richtung der schiefen Ebene, das heißt, der Zugwinkel<br />
b ist gleich dem Ebenenwinkel a.<br />
Man schreibt die allgemein gültige Zugkraftgleichung<br />
auf und ersetzt darin den Zugwinkel b<br />
durch den Ebenenwinkel a: ðb ¼ aÞ. Im Nenner ist<br />
cos ða aÞ ¼cos 0 ¼ 1, sin ða aÞ ¼sin 0 ¼ 0.<br />
Damit erhält man die spezielle Gleichung für den<br />
Fall, dass die Zugkraft F parallel zur schiefen<br />
Ebene wirkt.<br />
Weil in Ûbungsaufgaben und Klausuren häufig die<br />
Herleitung der Zugkraftgleichung für den speziellen<br />
Fall verlangt wird, entwickelt man die Gleichung<br />
noch einmal mit Hilfe der beiden Gleichgewichtsbedingungen<br />
SFx ¼ 0 und SFy ¼ 0. Das<br />
ist auch eine Kontrolle des Ergebnisses der vorhergehenden<br />
Entwicklung aus der allgemeinen Zugkraftgleichung.<br />
2. Schritt<br />
I. SFx ¼ 0 ¼ F cos g FG sin a FR<br />
II. SFy ¼ 0 ¼ FN þ F sin g FG cos a<br />
FR ¼ FN m<br />
3. Schritt<br />
II. FN ¼ FG cos a F sin g<br />
I. SFx ¼ 0 ¼ F cos g FG sin a<br />
ðFGcos a F sin gÞ m<br />
|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}<br />
FN<br />
F cos g þ F sin gm ¼ FG sin a þ FG m cos a<br />
sin a þ m cos a<br />
F ¼ FG<br />
cos g þ m sin g<br />
sin a þ m cos a<br />
F ¼ FG<br />
cos ðb aÞþm sin ðb aÞ<br />
Zugkraft beim Aufwärtszug<br />
sin a þ m cos a<br />
F ¼ FG<br />
cos ðb aÞþm sin ðb aÞ<br />
sin a þ m cos a<br />
F ¼ FG<br />
cos ða aÞ þ m sin ða aÞ<br />
|fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl}<br />
1<br />
0<br />
1. Schritt<br />
Lageskizze<br />
2. Schritt<br />
F ¼ FGðsin a þ m cos aÞ F ¼ f (FG, a, m)<br />
3. Schritt<br />
I. SFx ¼ 0 ¼ F FG sin a FN m<br />
II. SFy ¼ 0 ¼ FN FG cos a ) FN ¼ FG cos a<br />
Der Ausdruck für FN wird in I. eingesetzt:<br />
I. SFx ¼ 0 ¼ F FG sin a FG cos am<br />
F ¼ FGðsin a þ m cos aÞ