Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

2.5 Gleichgewichtslagen und Standsicherheit 87
2.4.3 Ûbungen mit den Guldin’schen Regeln
1. Ûbung: Der Rauminhalt der Kugel
Lösung: Die erzeugende Profilfläche ist eine
Halbkreisfläche mit dem Radius r und dem
Schwerpunktsabstand x0 ¼ 4r=3p von der Drehachse
(siehe 2.2.2).
2. Ûbung: Der Rauminhalt des Kegels
Lösung: Die erzeugende Fläche ist ein Dreieck
mit der Höhe h, der Grundlinie r und dem Schwerpunktsabstand
x0 ¼ r=3 von der Drehachse.
3. Ûbung: Die Oberfläche der Kugel
Lösung: Die Profillinie ist ein Halbkreisbogen mit
dem Radius r und dem Schwerpunktsabstand
x0 ¼ 2r=p von der Drehachse (siehe 2.3.2).
4. Ûbung: Die Mantelfläche des Kegels
Lösung: Die erzeugende Linie ist die Mantellinie
mit der Länge s und dem Schwerpunktsabstand
x0 ¼ r=2 von der Drehachse.
V ¼ A 2px0 ¼ pr2
2
V ¼ 4
3 pr3
V ¼ A 2px0 ¼ rh
2
V ¼ p
3 r 2 h
2p 4r 4
¼
3p 3 pr3
r 1
2p ¼
3 3 pr2 h
A ¼ l 2px0 ¼ pr 2p 2r
¼ 4pr2
p
A ¼ 4pr 2
2.5 Gleichgewichtslagen und Standsicherheit
A ¼ l 2px0 ¼ s 2p r
¼ prs
2
A ¼ prs
Aufgaben Nr. 239–264
2.5.1 Gleichgewichtslagen
Die Lage des Schwerpunkts eines Körpers bezogen auf seine Standfläche bestimmt seine
Standsicherheit. Man unterscheidet folgende Gleichgewichtslagen:
2.5.1.1 Stabiles Gleichgewicht
liegt vor, wenn der Schwerpunkt S bei einer Lageänderung
gehoben wird. Hierbei entsteht immer
ein rückstellendes Kraftmoment, das den Körper
wieder in die Ausgangslage zurückführt.
2.5.1.2 Labiles Gleichgewicht
liegt vor, wenn der Schwerpunkt S bei schon kleiner
Lageänderung gesenkt wird. Hierbei entsteht immer
ein ablenkendes Kraftmoment, das den Körper
immer weiter aus der Ausgangslage herausführt.
2.5.1.3 Indifferentes Gleichgewicht
liegt vor, wenn der Schwerpunkt S bei kleinster
Lageänderung weder gehoben noch gesenkt wird.
Hierbei entstehen weder rückstellende noch ablenkende
Kraftmomente.