Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
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86 2.4 Guldin’sche Regeln 2.4.1 Volumenberechnung Ein Rotationskörper entsteht durch Drehung seiner Profilfläche um seine Symmetrieachse. Bei einer Drehung „erzeugt“ die Profilfläche das Volumen des Körpers. Man kann sich vorstellen, dass jedes Flächenteilchen an der Erzeugung mit einem bestimmten Anteil beteiligt ist. Das kleine Flächenteilchen DA erzeugt das Ringvolumen DV ¼ 2px DA. Die Summe aller Teilvolumen ist das Gesamtvolumen V. Der Summenausdruck SDAx ist die Momentensumme aller Teilflächen, bezogen auf die Drehachse (siehe 2.2.1 Momentensatz für Flächen), und damit gleich dem Moment Ax0 der ganzen Profilfläche A. Daraus ergibt sich die Guldin’sche Volumenregel: Das Volumen eines Rotationskörpers ist das Produkt aus der Profilfläche und ihrem Schwerpunktsweg bei einer Umdrehung. 2.4.2 Oberflächenberechnung Oberflächen oder Mantelflächen von Rotationskörpern entstehen durch Drehung ihrer Profillinie um die Symmetrieachse. Dabei ist jedes Längenteilchen der Profillinie mit einem bestimmten Flächenanteil beteiligt. Die kleine Teillänge Dl erzeugt bei einer Drehung die Ringfläche DA ¼ 2px Dl. Die Summe aller Teilflächen ist die Mantelfläche A. Der Summenausdruck SDlx ist die Momentensumme aller Teillängen, bezogen auf die Drehachse (siehe 2.3.1 Momentensatz für Linien) und damit gleich dem Moment der ganzen Profillinie l. Daraus ergibt sich die Guldin’sche Oberflächenregel: Die Oberfläche (Mantelfläche) eines Rotationskörpers ist das Produkt aus der Länge der Profillinie und ihrem Schwerpunktsweg bei einer Umdrehung. V ¼ SDV ¼ S2px DA ¼ 2pSDAx SDAx ¼ Ax0. Setzt man Ax0 in die erste Gleichung ein, dann wird V ¼ 2pAx0. Darin ist das Produkt 2px0 der Weg, den der Schwerpunkt S der Profilfläche bei einer Umdrehung zurücklegt. V ¼ A 2px0 2 Schwerpunktslehre Volumen A Profilfläche x0 Schwerpunktsabstand der Profilfläche von der Drehachse nach 2.2.3.1 A ¼ SDA ¼ S2px Dl ¼ 2pSDlx SDlx ¼ lx0. Setzt man lx0 in die erste Gleichung ein, dann wird A ¼ 2plx0. Darin ist das Produkt 2px0 der Weg, den der Schwerpunkt S der Profillinie bei einer Umdrehung zurücklegt. Oberfläche A ¼ l 2px0 Mantelfläche l Länge der Profillinie x0 Schwerpunktsabstand der Profillinie von der Drehachse nach 2.3.3.1.
2.5 Gleichgewichtslagen und Standsicherheit 87 2.4.3 Ûbungen mit den Guldin’schen Regeln 1. Ûbung: Der Rauminhalt der Kugel Lösung: Die erzeugende Profilfläche ist eine Halbkreisfläche mit dem Radius r und dem Schwerpunktsabstand x0 ¼ 4r=3p von der Drehachse (siehe 2.2.2). 2. Ûbung: Der Rauminhalt des Kegels Lösung: Die erzeugende Fläche ist ein Dreieck mit der Höhe h, der Grundlinie r und dem Schwerpunktsabstand x0 ¼ r=3 von der Drehachse. 3. Ûbung: Die Oberfläche der Kugel Lösung: Die Profillinie ist ein Halbkreisbogen mit dem Radius r und dem Schwerpunktsabstand x0 ¼ 2r=p von der Drehachse (siehe 2.3.2). 4. Ûbung: Die Mantelfläche des Kegels Lösung: Die erzeugende Linie ist die Mantellinie mit der Länge s und dem Schwerpunktsabstand x0 ¼ r=2 von der Drehachse. V ¼ A 2px0 ¼ pr2 2 V ¼ 4 3 pr3 V ¼ A 2px0 ¼ rh 2 V ¼ p 3 r 2 h 2p 4r 4 ¼ 3p 3 pr3 r 1 2p ¼ 3 3 pr2 h A ¼ l 2px0 ¼ pr 2p 2r ¼ 4pr2 p A ¼ 4pr 2 2.5 Gleichgewichtslagen und Standsicherheit A ¼ l 2px0 ¼ s 2p r ¼ prs 2 A ¼ prs Aufgaben Nr. 239–264 2.5.1 Gleichgewichtslagen Die Lage des Schwerpunkts eines Körpers bezogen auf seine Standfläche bestimmt seine Standsicherheit. Man unterscheidet folgende Gleichgewichtslagen: 2.5.1.1 Stabiles Gleichgewicht liegt vor, wenn der Schwerpunkt S bei einer Lageänderung gehoben wird. Hierbei entsteht immer ein rückstellendes Kraftmoment, das den Körper wieder in die Ausgangslage zurückführt. 2.5.1.2 Labiles Gleichgewicht liegt vor, wenn der Schwerpunkt S bei schon kleiner Lageänderung gesenkt wird. Hierbei entsteht immer ein ablenkendes Kraftmoment, das den Körper immer weiter aus der Ausgangslage herausführt. 2.5.1.3 Indifferentes Gleichgewicht liegt vor, wenn der Schwerpunkt S bei kleinster Lageänderung weder gehoben noch gesenkt wird. Hierbei entstehen weder rückstellende noch ablenkende Kraftmomente.
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2.5 Gleichgewichtslagen und Standsicherheit 87<br />
2.4.3 Ûbungen mit den Guldin’schen Regeln<br />
1. Ûbung: Der Rauminhalt der Kugel<br />
Lösung: Die erzeugende Profilfläche ist eine<br />
Halbkreisfläche mit dem Radius r und dem<br />
Schwerpunktsabstand x0 ¼ 4r=3p von der Drehachse<br />
(siehe 2.2.2).<br />
2. Ûbung: Der Rauminhalt des Kegels<br />
Lösung: Die erzeugende Fläche ist ein Dreieck<br />
mit der Höhe h, der Grundlinie r und dem Schwerpunktsabstand<br />
x0 ¼ r=3 von der Drehachse.<br />
3. Ûbung: Die Oberfläche der Kugel<br />
Lösung: Die Profillinie ist ein Halbkreisbogen mit<br />
dem Radius r und dem Schwerpunktsabstand<br />
x0 ¼ 2r=p von der Drehachse (siehe 2.3.2).<br />
4. Ûbung: Die Mantelfläche des Kegels<br />
Lösung: Die erzeugende Linie ist die Mantellinie<br />
mit der Länge s und dem Schwerpunktsabstand<br />
x0 ¼ r=2 von der Drehachse.<br />
V ¼ A 2px0 ¼ pr2<br />
2<br />
V ¼ 4<br />
3 pr3<br />
V ¼ A 2px0 ¼ rh<br />
2<br />
V ¼ p<br />
3 r 2 h<br />
2p 4r 4<br />
¼<br />
3p 3 pr3<br />
r 1<br />
2p ¼<br />
3 3 pr2 h<br />
A ¼ l 2px0 ¼ pr 2p 2r<br />
¼ 4pr2<br />
p<br />
A ¼ 4pr 2<br />
2.5 Gleichgewichtslagen und Standsicherheit<br />
A ¼ l 2px0 ¼ s 2p r<br />
¼ prs<br />
2<br />
A ¼ prs<br />
Aufgaben Nr. 239–264<br />
2.5.1 Gleichgewichtslagen<br />
Die Lage des Schwerpunkts eines Körpers bezogen auf seine Standfläche bestimmt seine<br />
Standsicherheit. Man unterscheidet folgende Gleichgewichtslagen:<br />
2.5.1.1 Stabiles Gleichgewicht<br />
liegt vor, wenn der Schwerpunkt S bei einer Lageänderung<br />
gehoben wird. Hierbei entsteht immer<br />
ein rückstellendes Kraftmoment, das den Körper<br />
wieder in die Ausgangslage zurückführt.<br />
2.5.1.2 Labiles Gleichgewicht<br />
liegt vor, wenn der Schwerpunkt S bei schon kleiner<br />
Lageänderung gesenkt wird. Hierbei entsteht immer<br />
ein ablenkendes Kraftmoment, das den Körper<br />
immer weiter aus der Ausgangslage herausführt.<br />
2.5.1.3 Indifferentes Gleichgewicht<br />
liegt vor, wenn der Schwerpunkt S bei kleinster<br />
Lageänderung weder gehoben noch gesenkt wird.<br />
Hierbei entstehen weder rückstellende noch ablenkende<br />
Kraftmomente.