Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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2.4 Guldin’sche Regeln
2.4.1 Volumenberechnung
Ein Rotationskörper entsteht durch Drehung seiner
Profilfläche um seine Symmetrieachse. Bei einer
Drehung „erzeugt“ die Profilfläche das Volumen
des Körpers. Man kann sich vorstellen, dass jedes
Flächenteilchen an der Erzeugung mit einem bestimmten
Anteil beteiligt ist.
Das kleine Flächenteilchen DA erzeugt das Ringvolumen
DV ¼ 2px DA. Die Summe aller Teilvolumen
ist das Gesamtvolumen V.
Der Summenausdruck SDAx ist die Momentensumme
aller Teilflächen, bezogen auf die Drehachse
(siehe 2.2.1 Momentensatz für Flächen), und damit
gleich dem Moment Ax0 der ganzen Profilfläche A.
Daraus ergibt sich die Guldin’sche Volumenregel:
Das Volumen eines Rotationskörpers ist das
Produkt aus der Profilfläche und ihrem Schwerpunktsweg
bei einer Umdrehung.
2.4.2 Oberflächenberechnung
Oberflächen oder Mantelflächen von Rotationskörpern
entstehen durch Drehung ihrer Profillinie
um die Symmetrieachse. Dabei ist jedes Längenteilchen
der Profillinie mit einem bestimmten Flächenanteil
beteiligt.
Die kleine Teillänge Dl erzeugt bei einer Drehung
die Ringfläche DA ¼ 2px Dl. Die Summe aller
Teilflächen ist die Mantelfläche A.
Der Summenausdruck SDlx ist die Momentensumme
aller Teillängen, bezogen auf die Drehachse
(siehe 2.3.1 Momentensatz für Linien) und damit
gleich dem Moment der ganzen Profillinie l. Daraus
ergibt sich die Guldin’sche Oberflächenregel:
Die Oberfläche (Mantelfläche) eines Rotationskörpers
ist das Produkt aus der Länge der Profillinie
und ihrem Schwerpunktsweg bei einer
Umdrehung.
V ¼ SDV ¼ S2px DA ¼ 2pSDAx
SDAx ¼ Ax0. Setzt man Ax0 in die erste
Gleichung ein, dann wird V ¼ 2pAx0. Darin
ist das Produkt 2px0 der Weg, den der
Schwerpunkt S der Profilfläche bei einer
Umdrehung zurücklegt.
V ¼ A 2px0
2 Schwerpunktslehre
Volumen
A Profilfläche
x0 Schwerpunktsabstand der Profilfläche
von der Drehachse nach 2.2.3.1
A ¼ SDA ¼ S2px Dl ¼ 2pSDlx
SDlx ¼ lx0. Setzt man lx0 in die erste
Gleichung ein, dann wird A ¼ 2plx0.
Darin ist das Produkt 2px0 der Weg, den
der Schwerpunkt S der Profillinie bei einer
Umdrehung zurücklegt.
Oberfläche
A ¼ l 2px0
Mantelfläche
l Länge der Profillinie
x0 Schwerpunktsabstand der Profillinie
von der Drehachse nach 2.3.3.1.