Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

2.3 Der Linienschwerpunkt 83
2.3 Der Linienschwerpunkt
2.3.1 Linien haben einen Schwerpunkt
Wie in 2.2.1 geht man wieder von der Schwerpunktsbestimmung
für einen Körper aus. Es wird
ein zweifach abgekanteter Stab untersucht. Er hat
auf der ganzen Länge den gleichen Querschnitt A.
Man stellt sich den Stab in drei gerade Teilstücke
mit den Teillängen l1, l2, l3 zerlegt vor. Der ganze
Stab ist symmetrisch in Bezug auf die eingezeichnete
x-Achse.
Die Teilgewichtskräfte FG1, FG2, FG3 berechnet
man aus dem Volumen der Teilstücke, der Dichte
ihres Werkstoffes und der Fallbeschleunigung. Das
Volumen der Teilstücke wird aus ihren Teillängen
l1, l2, l3 und der Querschnittsfläche A berechnet.
Die Gewichtskraft FG des ganzen Stabes berechnet
man in gleicher Weise mit der Gesamtlänge
l ¼ l1 þ l2 þ l3.
Dann wird der Momentensatz nach 1.2.5.1, (Seite
38) aufgestellt, die für die Gewichtskräfte gefundenen
Beziehungen eingesetzt und daraus eine Bestimmungsgleichung
für den Schwerpunktsabstand
x0 entwickelt. Die Fläche A, die Dichte r und die
Fallbeschleunigung g kürzen sich wieder heraus.
Das Ergebnis zeigt, dass die Schwerpunktslage
auch mit den Teillängen und der Gesamtlänge ermittelt
werden kann.
Auch Linien haben also einen Schwerpunkt.
Man muss ihn z. B. als Schnittkantenschwerpunkt
bei der Konstruktion von Stanzwerkzeugen bestimmen.
2.3.2 Schwerpunkte einfacher Linien
Gerade Linie (Strecke)
Der Schwerpunkt einer Strecke liegt auf ihrer
Mitte.
Schwerpunktsabstand y0 ¼ l
2
FG1 ¼ m1g ¼ V1rg ¼ Al1 rg
FG2 ¼ m2g ¼ V2rg ¼ Al2 rg
FG3 ¼ m3g ¼ V3rg ¼ Al3 rg
FG ¼ FG1 þ FG2 þ FG3 ¼ðl1 þ l2 þ l3Þ Arg
FG ¼ Alrg
þFG x0 ¼þFG1 x1 þ FG2 x2 þ FG3 x3
Alrgx0 ¼ Al1 rgx1 þ Al2 rgx2 þ Al3 rgx3
x0 ¼ ðl1x1 þ l2x2 þ l3x3Þ Arg
lArg
x0 ¼ l1x1 þ l2x2 þ l3x3
l
lx0 ¼ l1x1 þ l2x2 þ þlnxn ¼ Slnxn
Momentensatz für Linien
Beachte: Für die Linienmomente lx sind die
Vorzeichen entsprechend dem Drehsinn einzusetzen
(links þ, rechts ).