Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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2. Ûbung: Aus einer Rechteckfläche sind ein kleineres
Rechteck und eine Kreisfläche symmetrisch
ausgespart. Der Schwerpunkt der Gesamtfläche
soll rechnerisch bestimmt werden.
Lösung: Die Gesamtfläche ist aus drei Teilflächen
entstanden: Von der großen Rechteckfläche A1
wurden die Kreisfläche A2 und die kleine Rechteckfläche
A3 fortgenommen. A2 und A3 werden als
„negative“ Flächen bezeichnet.
In der Skizze kennzeichnet man die Teilfläche A1
durch einen nach rechts gerichteten Pfeil, die „negativen“
Teilflächen A2 und A3 durch nach links
gerichtete Pfeile. Die Schwerpunktsabstände y1, y2
und y3 werden eingetragen.
Als Momentenbezugspunkt 0 wählt man einen
Punkt auf der oberen Rechteckseite. Man kann
sich dann bei der Annahme des Gesamtschwerpunkts
S nicht irren; er muss unterhalb des Bezugspunkts
liegen. In die Skizze trägt man den Abstand
y0 und für die Gesamtfläche A einen nach
rechts gerichteten Pfeil ein.
Die Rechnung wird wieder mit der Berechnung
der Teilflächen, der Gesamtfläche und der Teilschwerpunktsabstände
begonnen.
Beim Aufstellen des Momentensatzes für den Bezugspunkt
0 muss man bei der Festlegung des
Drehsinns die eingezeichneten Pfeilrichtungen beachten.
Die negativen Flächen wirken wie negative
Kräfte. Der Drehsinn ihrer Momente ist entgegen
dem der positiven Flächen gerichtet.
Der Momentensatz wird nun nach y0 aufgelöst,
und der Schwerpunktsabstand wird aus der entwickelten
Gleichung ausgerechnet. Das positive
Ergebnis zeigt, dass der Schwerpunkt S auf der
richtigen Seite des Bezugspunktes 0 angenommen
wurde.
Die zweite Schwerlinie ist die Symmetrielinie der
Fläche.
Aufgaben 201–219
A1 ¼ 4800 mm 2 , A2 ¼ 314 mm 2
A3 ¼ 800 mm 2
A ¼ A1 A2 A3 ¼ 3 686 mm 2
1. Schritt
2. Schritt
3. Schritt
4. Schritt
y1 ¼ 30 mm; y2 ¼ 20 mm; y3 ¼ 50 mm
5. Schritt
þAy0 ¼þA1y1 A2y2 A3y3
Beachte: Für negative Flächen (Aussparungen)
kehrt sich der Momentendrehsinn um.
y0 ¼ A1y1 A2y2 A3y3
A
6. Schritt
y0 ¼ 144 000 mm3 6 280 mm 3 40 000 mm 3
3 686 mm 2
y0 ¼ 26,5 mm
2 Schwerpunktslehre
Ergebnis: Der Schwerpunkt S liegt auf der
Symmetrielinie 26,5 mm unterhalb der
oberen Rechteckseite.