Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

2.2 Der Flächenschwerpunkt 81
2.2.3.2 Ûbung zur Bestimmung des Flächenschwerpunkts
1. Ûbung: Für die skizzierte zusammengesetzte
Fläche soll die Lage des Schwerpunkts rechnerisch
bestimmt werden.
Lösung: Die Fläche muss in drei Teilflächen mit
bekanntem Schwerpunkt zerlegt werden: in die
Halbkreisfläche A1, die Rechteckfläche A2 und die
Quadratfläche A3. Dann werden die Schwerpunktsabstände
x1, x2 und x3 eingezeichnet.
Als Momentenbezugspunkt 0 wird der Schnittpunkt
zwischen Symmetrielinie und Halbkreisachse
gewählt.
Nun legt man den Gesamtschwerpunkt S in der
Lage fest, in der man ihn vermutet, und trägt den
Schwerpunktsabstand x0 in die Skizze ein.
Dann führt man die Rechnung in drei weiteren
Schritten aus:
Zuerst werden die Teilflächen, die Gesamtfläche
und die Teilschwerpunktsabstände berechnet.
Jetzt wird der Momentensatz für den Bezugspunkt
0 aufgestellt. Das Moment der Teilfläche A1 ist
rechtsdrehend, also negativ. Die Momente der anderen
Teilflächen sind positiv.
Den Momentensatz löst man nach x0 auf und beachtet
dabei sorgfältig die Vorzeichen. Die Rechnung
ergibt einen negativen Wert für x0. Das bedeutet,
dass der Drehsinn für das Moment der
Gesamtfläche falsch angenommen wurde (siehe
Momentensatz für Kräfte, 1.2.5.1, Seite 38), d. h.
der Schwerpunkt S liegt nicht links, sondern rechts
vom Bezugspunkt 0.
Die zweite Schwerlinie braucht man nicht zu ermitteln.
Es ist die waagerechte Symmetrielinie.
A1 ¼ p
8 ð70 mmÞ2 ¼ 1 923 mm 2
A2 ¼ 600 mm 2 A3 ¼ 400 mm 2
A ¼ A1 þ A2 þ A3 ¼ 2 923 mm 2
1. Schritt
2. Schritt
3. Schritt
4. Schritt
x1 ¼ 0,4244 R ¼ 0,4244 35 mm ¼ 14,9 mm
x2 ¼ 10 mm x3 ¼ 30 mm
þAx0 ¼ A1x1 þ A2x2 þ A3x3
x0 ¼ A1x1 þ A2 x2 þ A3 x3
A
x0 ¼
10 650 mm3
¼
2 923 mm2 3,6 mm
5. Schritt
6. Schritt
Ergebnis: Der Schwerpunkt S liegt auf der
Symmetrielinie 3,6 mm rechts vom Halbkreismittelpunkt.
Beachte: Ergibt sich ein negativer Schwerpunktsabstand,
dann liegt der Schwerpunkt
auf der anderen Seite des Bezugspunkts.