Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
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80 Mit Hilfe der vertikalen „Flächenpfeile“ kann man nun den Momentensatz für Flächen bezogen auf den Punkt 0 aufstellen. Dabei muss man auf den Momentendrehsinn achten. In diesem Fall sind alle Momente linksdrehend. Sie erhalten das positive Vorzeichen. Aus dem Momentensatz entwickelt man eine Bestimmungsgleichung für den Schwerpunktsabstand x0 und berechnet ihn daraus. Zur Ermittlung der waagerechten Schwerlinie stellt man noch einmal den Momentensatz für den Bezugspunkt 0 auf, diesmal mit den waagerechten „Flächenpfeilen“. Daraus berechnet man den Abstand y0 des Schwerpunkts S von der x-Achse auf die gleiche Weise wie vorher den Abstand x0. Bei diesem Ansatz sind alle Momente rechtsdrehend, also negativ. Mit dem Schnittpunkt der beiden Schwerlinien ist der Schwerpunkt S der Gesamtfläche bestimmt. Momentensatz: þAx0 ¼þA1x1 þ A2x2 x0 ¼ A1x1 þ A2x2 A x0 ¼ 4 800 mm2 30 mm þ 1 600 mm 2 80 mm 6 400 mm 2 x0 ¼ 42,5 mm Die vertikale Schwerlinie hat einen Abstand x0 ¼ 42,5 mm von der y-Achse. Momentensatz: Ay0 ¼ A1y1 A2y2 y0 ¼ A1y1 þ A2y2 A y0 ¼ 4 800 mm2 40 mm þ 1 600 mm 2 20 mm 6 400 mm 2 y0 ¼ 35 mm Die waagerechte Schwerlinie hat einen Abstand y0 ¼ 35 mm von der x-Achse. Arbeitsplan zur rechnerischen Bestimmung des Flächenschwerpunkts: Fläche in Teilflächen mit bekanntem Schwerpunkt zerlegen. 1. Schritt Momentenbezugspunkt 0 festlegen. 2. Schritt Gesamtschwerpunkt mit angenommener Lage sowie Schwerpunktsabstände x0 und y0 einzeichnen. 3. Schritt Teilflächen, Gesamtfläche und Teilschwerpunktsabstände berechnen. 4. Schritt Momentensatz für zwei zueinander senkrechte Achsen aufstellen, Momentendrehsinn beachten. 2 Schwerpunktslehre 5. Schritt Nach x0 und y0 auflösen und Schwerpunktsabstände ausrechnen. 6. Schritt
2.2 Der Flächenschwerpunkt 81 2.2.3.2 Ûbung zur Bestimmung des Flächenschwerpunkts 1. Ûbung: Für die skizzierte zusammengesetzte Fläche soll die Lage des Schwerpunkts rechnerisch bestimmt werden. Lösung: Die Fläche muss in drei Teilflächen mit bekanntem Schwerpunkt zerlegt werden: in die Halbkreisfläche A1, die Rechteckfläche A2 und die Quadratfläche A3. Dann werden die Schwerpunktsabstände x1, x2 und x3 eingezeichnet. Als Momentenbezugspunkt 0 wird der Schnittpunkt zwischen Symmetrielinie und Halbkreisachse gewählt. Nun legt man den Gesamtschwerpunkt S in der Lage fest, in der man ihn vermutet, und trägt den Schwerpunktsabstand x0 in die Skizze ein. Dann führt man die Rechnung in drei weiteren Schritten aus: Zuerst werden die Teilflächen, die Gesamtfläche und die Teilschwerpunktsabstände berechnet. Jetzt wird der Momentensatz für den Bezugspunkt 0 aufgestellt. Das Moment der Teilfläche A1 ist rechtsdrehend, also negativ. Die Momente der anderen Teilflächen sind positiv. Den Momentensatz löst man nach x0 auf und beachtet dabei sorgfältig die Vorzeichen. Die Rechnung ergibt einen negativen Wert für x0. Das bedeutet, dass der Drehsinn für das Moment der Gesamtfläche falsch angenommen wurde (siehe Momentensatz für Kräfte, 1.2.5.1, Seite 38), d. h. der Schwerpunkt S liegt nicht links, sondern rechts vom Bezugspunkt 0. Die zweite Schwerlinie braucht man nicht zu ermitteln. Es ist die waagerechte Symmetrielinie. A1 ¼ p 8 ð70 mmÞ2 ¼ 1 923 mm 2 A2 ¼ 600 mm 2 A3 ¼ 400 mm 2 A ¼ A1 þ A2 þ A3 ¼ 2 923 mm 2 1. Schritt 2. Schritt 3. Schritt 4. Schritt x1 ¼ 0,4244 R ¼ 0,4244 35 mm ¼ 14,9 mm x2 ¼ 10 mm x3 ¼ 30 mm þAx0 ¼ A1x1 þ A2x2 þ A3x3 x0 ¼ A1x1 þ A2 x2 þ A3 x3 A x0 ¼ 10 650 mm3 ¼ 2 923 mm2 3,6 mm 5. Schritt 6. Schritt Ergebnis: Der Schwerpunkt S liegt auf der Symmetrielinie 3,6 mm rechts vom Halbkreismittelpunkt. Beachte: Ergibt sich ein negativer Schwerpunktsabstand, dann liegt der Schwerpunkt auf der anderen Seite des Bezugspunkts.
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2.2 Der Flächenschwerpunkt 81<br />
2.2.3.2 Ûbung zur Bestimmung des Flächenschwerpunkts<br />
1. Ûbung: Für die skizzierte zusammengesetzte<br />
Fläche soll die Lage des Schwerpunkts rechnerisch<br />
bestimmt werden.<br />
Lösung: Die Fläche muss in drei Teilflächen mit<br />
bekanntem Schwerpunkt zerlegt werden: in die<br />
Halbkreisfläche A1, die Rechteckfläche A2 und die<br />
Quadratfläche A3. Dann werden die Schwerpunktsabstände<br />
x1, x2 und x3 eingezeichnet.<br />
Als Momentenbezugspunkt 0 wird der Schnittpunkt<br />
zwischen Symmetrielinie und Halbkreisachse<br />
gewählt.<br />
Nun legt man den Gesamtschwerpunkt S in der<br />
Lage fest, in der man ihn vermutet, und trägt den<br />
Schwerpunktsabstand x0 in die Skizze ein.<br />
Dann führt man die Rechnung in drei weiteren<br />
Schritten aus:<br />
Zuerst werden die Teilflächen, die Gesamtfläche<br />
und die Teilschwerpunktsabstände berechnet.<br />
Jetzt wird der Momentensatz für den Bezugspunkt<br />
0 aufgestellt. Das Moment der Teilfläche A1 ist<br />
rechtsdrehend, also negativ. Die Momente der anderen<br />
Teilflächen sind positiv.<br />
Den Momentensatz löst man nach x0 auf und beachtet<br />
dabei sorgfältig die Vorzeichen. Die Rechnung<br />
ergibt einen negativen Wert für x0. Das bedeutet,<br />
dass der Drehsinn für das Moment der<br />
Gesamtfläche falsch angenommen wurde (siehe<br />
Momentensatz für Kräfte, 1.2.5.1, Seite 38), d. h.<br />
der Schwerpunkt S liegt nicht links, sondern rechts<br />
vom Bezugspunkt 0.<br />
Die zweite Schwerlinie braucht man nicht zu ermitteln.<br />
Es ist die waagerechte Symmetrielinie.<br />
A1 ¼ p<br />
8 ð70 mmÞ2 ¼ 1 923 mm 2<br />
A2 ¼ 600 mm 2 A3 ¼ 400 mm 2<br />
A ¼ A1 þ A2 þ A3 ¼ 2 923 mm 2<br />
1. Schritt<br />
2. Schritt<br />
3. Schritt<br />
4. Schritt<br />
x1 ¼ 0,4244 R ¼ 0,4244 35 mm ¼ 14,9 mm<br />
x2 ¼ 10 mm x3 ¼ 30 mm<br />
þAx0 ¼ A1x1 þ A2x2 þ A3x3<br />
x0 ¼ A1x1 þ A2 x2 þ A3 x3<br />
A<br />
x0 ¼<br />
10 650 mm3<br />
¼<br />
2 923 mm2 3,6 mm<br />
5. Schritt<br />
6. Schritt<br />
Ergebnis: Der Schwerpunkt S liegt auf der<br />
Symmetrielinie 3,6 mm rechts vom Halbkreismittelpunkt.<br />
Beachte: Ergibt sich ein negativer Schwerpunktsabstand,<br />
dann liegt der Schwerpunkt<br />
auf der anderen Seite des Bezugspunkts.