Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

Alfred Böge 

Technische Mechanik

Lehr- und Lernsystem 

Technische Mechanik 

•Technische Mechanik (Lehrbuch) 

von A. Böge 

•Aufgabensammlung Technische Mechanik 

von A. Böge und W. Schlemmer 

•Lösungen zur Aufgabensammlung Technische Mechanik 

von A. Böge und W. Schlemmer 

•Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik 

von A. Böge

Alfred Böge 

Technische Mechanik 

Statik – Dynamik – Fluidmechanik – Festigkeitslehre 

28., verbesserte Auflage 

Mit 569 Abbildungen, 15 Tabellen, 22 Arbeitsplänen, 

15 Lehrbeispielen und 40 Übungseinheiten 

Unter Mitarbeit von Gert Böge, Wolfgang Böge, 

Walter Schlemmer und Wolfgang Weißbach 

STUDIUM

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Das Lehrbuch Technische Mechanik erschien bis zur 22. Auflage 

unter dem Titel Mechanik und Festigkeitslehre. 

Die Liste der Auflagen seit 1970 zeigt die intensive Weiterentwicklung des Werkes: 

12., überarbeitete Auflage 1970 


14., unveränderte Auflage 1972 

15., vollständig neu bearbeitete und erweiterte Auflage 1974 

16., durchgesehene Auflage 1975 



19., überarbeitete Auflage1983 


21., verbesserte Auflage 1990 

22., überarbeitete und erweiterte Auflage 1992 

23., neu bearbeitete Auflage 1995 



26., überarbeitete und erweiterte Auflage 2003 


28., verbesserte Auflage 2009 

Alle Rechte vorbehalten 

© Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009 

Lektorat: Thomas Zipsner | Imke Zander 

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und Ver ar beitung in elek tro nischen Syste men. 

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berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im 

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von jedermann benutzt werden dürften. 

Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg 

Satz: Druckhaus Thomas Müntzer, Bad Langensalza 

Druck und buchbinderische Verarbeitung: Těˇsínská Tiskárna, a. s., Tschechien 

Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. 

Printed in Czech Republic 

ISBN 978-3-8348-0747-2

Vorwort zur 28. Auflage 

Dieses Lehrbuch für Studierende an Fach- und Fachhochschulen ist Hauptteil des Lehr- und 

Lernsystems TECHNISCHE MECHANIK von A. Böge mit der umfangreichen Aufgabensammlung, 

dem Lösungsbuch und der Formelsammlung mit Mathematik-Anhang. 

Der Lehrbuchtext ist zweispaltig gesetzt und blockweise in Lernschritte unterteilt. Die linke 

Buchseite enthält den ausführlichen Lehrtext mit hervorgehobenen Sätzen und Regeln. Daneben 

in der rechten Spalte wird das Problem durch Zeichnungen, mathematische Entwicklungen 

und Beispiele erläutert. 

Ûbungen schließen jeden größeren Lernabschnitt ab. Lehrbeispiele zeigen die Form schriftlicher 

Arbeiten in Schule und Beruf. 

Arbeitspläne machen die erarbeiteten Lösungsverfahren durchschaubar und erleichtern ihre 

Anwendung. 

Die am Ende eines Lernabschnitts im Raster angegebenen Aufgabennummern beziehen sich 

auf das Buch „Aufgabensammlung Technische Mechanik“. Im Abschnitt Festigkeitslehre 

(Kapitel 5.12) wird in die Berechnungsmethoden für Maschinenelemente eingeführt. 

Das Lehr- und Lernsystem Technische Mechanik hat sich auch an Fachgymnasien, Fachoberschulen 

und Bundeswehrfachschulen bewährt. 

In Ústerreich wird damit an den Höheren Technischen Lehranstalten gearbeitet. 

Für Zuschriften steht die E-Mail-Adresse aboege@t-online.de zur Verfügung. 

Braunschweig, Januar 2009 Alfred Böge 

V

Inhaltsverzeichnis 

1 Statik in der Ebene ............................................. 1 

1.1 Grundlagen ................................................... 2 

1.1.1 Die Aufgaben der Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 

1.1.2 Physikalische Größen in der Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 

1.1.2.1 Die Kraft F ...................................... 3 

1.1.2.2 Das Kraftmoment oder Drehmoment M ............... 4 

1.1.2.3 Das Kräftepaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

1.1.3 Ûbungen zur Berechnung von Drehmomenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

1.1.4 Bewegungsmöglichkeiten (Freiheitsgrade) eines Körpers . . . . . . . . . 6 

1.1.4.1 Freiheitsgrade im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

1.1.4.2 Freiheitsgrade in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

1.1.5 Gleichgewicht des Körpers in der Ebene 

(Gleichgewichtsbedingungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

1.1.6 Der Parallelogrammsatz für Kräfte ........................... 8 

1.1.6.1 Zusammensetzen von zwei nichtparallelen Kräften 

(Kräftereduktion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

1.1.6.2 Zerlegen einer Kraft F in zwei nichtparallele Kräfte 

F 1 und F 2 ....................................... 9 

1.1.6.3 Zerlegen einer Kraft F in zwei parallele Kräfte.......... 9 

1.1.6.4 Ûbungen zum Parallelogrammsatz für Kräfte........... 10 

1.1.7 Das Freimachen der Bauteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

1.1.7.1 Zweck und Beschreibung des Verfahrens, 

Oberflächen- und Volumenkräfte..................... 11 

1.1.7.2 Seile, Ketten, Riemen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

1.1.7.3 Zweigelenkstäbe.................................. 13 

1.1.7.4 Berührungsflächen (ebene Stützflächen). . . . . . . . . . . . . . . 13 

1.1.7.5 Rollkörper (gewölbte Stützflächen)................... 14 

1.1.7.6 Einwertige Lager (Loslager) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

1.1.7.7 Zweiwertige Lager (Festlager) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

1.1.7.8 Dreiwertige Lager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

1.1.8 Ûbungen zum Freimachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

1.2 Die Grundaufgaben der Statik .................................... 21 

1.2.1 Zentrales und allgemeines Kräftesystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

1.2.2 Die zwei Hauptaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

1.2.3 Die zwei Lösungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

1.2.4 Die vier Grundaufgaben der Statik im zentralen ebenen 

Kräftesystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

1.2.4.1 Rechnerische Ermittlung der Resultierenden 

(erste Grundaufgabe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

VII

VIII 


1.2.4.2 Zeichnerische Ermittlung der Resultierenden 

(zweite Grundaufgabe). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

1.2.4.3 Rechnerische Ermittlung unbekannter Kräfte 

(dritte Grundaufgabe), die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen. 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

1.2.4.4 Zeichnerische Ermittlung unbekannter Kräfte 

(vierte Grundaufgabe), die zeichnerische 

Gleichgewichtsbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

1.2.4.5 Ûbungen zur dritten und vierten Grundaufgabe . . . . . . . . . 35 

1.2.5 Die vier Grundaufgaben der Statik im allgemeinen ebenen 

Kräftesystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

1.2.5.1 Rechnerische Ermittlung der Resultierenden 

(fünfte Grundaufgabe), der Momentensatz . . . . . . . . . . . . . 38 

1.2.5.2 Zeichnerische Ermittlung der Resultierenden 

(sechste Grundaufgabe), das Seileckverfahren . . . . . . . . . . 40 

1.2.5.3 Rechnerische Ermittlung unbekannter Kräfte 

(siebte Grundaufgabe), die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen. 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

1.2.5.4 Ûbung zur Stützkraftberechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 

1.2.5.5 Zeichnerische Ermittlung unbekannter Kräfte 

(achte Grundaufgabe), die zeichnerischen Gleichgewichtsbedingungen. 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

1.2.6 Systemanalytisches Lösungsverfahren zur Stützkraftberechnung 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

1.2.6.1 Herleitung der Systemgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

1.2.6.2 Zusammenstellung der Systemgleichungen . . . . . . . . . . . . 60 

1.2.6.3 Beschreibung des Programmlaufs zur Stützkraftberechnung. 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 

1.2.6.4 Ûbung zum systemanalytischen Lösungsverfahren 

zur Stützkraftberechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 

1.2.7 Stützkraftermittlung beim räumlichen Kräftesystem 

(Getriebewelle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

1.3 Statik der ebenen Fachwerke ..................................... 68 

1.3.1 Gestaltung von Fachwerkträgern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 

1.3.2 Die Gleichgewichtsbedingungen am statisch bestimmten 

Fachwerkträger........................................... 69 

1.3.3 Ermittlung der Stabkräfte im Fachwerkträger................... 70 

1.3.3.1 Das Knotenschnittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 

1.3.3.2 Das Ritter’sche Schnittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 

1.3.3.3 Der Cremonaplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Inhaltsverzeichnis IX 

2 Schwerpunktslehre ............................................. 76 

2.1 Begriffsbestimmung für Schwerlinie, Schwerebene und Schwerpunkt 76 

2.2 Der Flächenschwerpunkt ........................................ 77 

2.2.1 Flächen haben einen Schwerpunkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 

2.2.2 Schwerpunkte einfacher Flächen............................. 78 

2.2.3 Schwerpunkte zusammengesetzter Flächen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 

2.2.3.1 Rechnerische Bestimmung des Flächenschwerpunkts . . . . 79 

2.2.3.2 Ûbungen zur Bestimmung des Flächenschwerpunkts. . . . . 81 

2.3 Der Linienschwerpunkt.......................................... 83 

2.3.1 Linien haben einen Schwerpunkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 

2.3.2 Schwerpunkte einfacher Linien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 

2.3.3 Schwerpunkte zusammengesetzter Linien (Linienzüge)........... 84 

2.3.3.1 Rechnerische Bestimmung des Linienschwerpunkts . . . . . 84 

2.4 Guldin’sche Regeln ............................................. 86 

2.4.1 Volumenberechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 

2.4.2 Oberflächenberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 

2.4.3 Ûbungen mit den Guldin’schen Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 

2.5 Gleichgewichtslagen und Standsicherheit .......................... 87 

2.5.1 Gleichgewichtslagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 

2.5.1.1 Stabiles Gleichgewicht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 

2.5.1.2 Labiles Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 

2.5.1.3 Indifferentes Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 

2.5.2 Standsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 

2.5.2.1 Kippmoment, Standmoment, Standsicherheit . . . . . . . . . . . 88 

2.5.2.2 Ûbung zur Standsicherheit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 

3 Reibung ......................................................... 90 

3.1 Grunderkenntnisse über die Reibung .............................. 90 

3.2 Gleitreibung und Haftreibung .................................... 91 

3.2.1 Reibungswinkel, Reibungszahl und Reibungskraft . . . . . . . . . . . . . . . 91 

3.2.2 Ermittlung der Reibungszahlen m, undm 0 ...................... 92 

3.2.3 Der Reibungskegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 

3.2.4 Ûbungen zur Lösung von Reibungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 

3.3 Reibung auf der schiefen Ebene................................... 100 

3.3.1 Verschieben des Körpers nach oben (1. Grundfall) . . . . . . . . . . . . . . . 100 

3.3.1.1 Zugkraft F wirkt unter beliebigem Zugwinkel . . . . . . . . . . 100 

3.3.1.2 Zugkraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene . . . . . . . . . . . 101 

3.3.1.3 Zugkraft F wirkt waagerecht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

X 


3.3.2 Halten des Körpers auf der schiefen Ebene (2. Grundfall) . . . . . . . . . 105 

3.3.2.1 Haltekraft F wirkt unter beliebigem Zugwinkel . . . . . . . . . 105 

3.3.2.2 Haltekraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene . . . . . . . . . . 106 

3.3.2.3 Haltekraft F wirkt waagerecht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 

3.3.3 Verschieben des Körpers nach unten (3. Grundfall) . . . . . . . . . . . . . . 110 

3.3.3.1 Schubkraft F wirkt unter beliebigem Schubwinkel. . . . . . . 110 

3.3.3.2 Schubkraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene . . . . . . . . . 111 

3.3.3.3 Schubkraft F wirkt waagerecht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 

3.3.4 Ûbungen zur Reibung auf der schiefen Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 

3.4 Reibung an Maschinenteilen ..................................... 114 

3.4.1 Prismenführung und Keilnut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 

3.4.2 Zylinderführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 

3.4.3 Lager. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 

3.4.3.1 Reibung am Tragzapfen (Querlager) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 

3.4.3.2 Reibung am Spurzapfen (Längslager) . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 

3.4.3.3 Ûbungen zur Trag- und Spurzapfenreibung . . . . . . . . . . . . 118 

3.4.4 Schraube und Schraubgetriebe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 

3.4.4.1 Bewegungsschraube mit Flachgewinde. . . . . . . . . . . . . . . . 119 

3.4.4.2 Bewegungsschraube mit Spitz- oder Trapezgewinde . . . . . 120 

3.4.4.3 Befestigungsschraube mit Spitzgewinde. . . . . . . . . . . . . . . 121 

3.4.4.4 Ûbungen zur Schraube. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 

3.4.5 Seilreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 

3.4.5.1 Grundgleichung der Seilreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 

3.4.5.2 Aufgabenarten und Lösungsansätze.................. 124 

3.4.5.3 Ûbungen zur Seilreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 

3.4.6 Bremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 

3.4.6.1 Backen- oder Klotzbremsen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 

3.4.6.2 Bandbremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 

3.4.6.3 Scheiben- und Kegelbremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 

3.4.7 Rollwiderstand (Rollreibung). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 

3.4.8 Fahrwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 

3.4.9 Ûbungen zum Rollwiderstand und Fahrwiderstand . . . . . . . . . . . . . . 135 

3.4.10 Rolle und Rollenzug. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 

3.4.10.1 Feste Rolle (Leit- oder Umlenkrolle) . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 

3.4.10.2 Lose Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 

3.4.10.3 Rollenzug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 

3.4.10.4 Ûbung zum Rollenzug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Inhaltsverzeichnis XI 

4 Dynamik ........................................................ 143 

4.1 Allgemeine Bewegungslehre ...................................... 144 

4.1.1 Größen und v; t-Diagramm, Ordnung der Bewegungen . . . . . . . . . . . 144 

4.1.2 Ûbungen mit dem v; t-Diagramm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 

4.1.3 Gesetze und Diagramme der gleichförmigen Bewegung, 

Geschwindigkeitsbegriff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 

4.1.4 Gesetze und Diagramme der gleichmäßig beschleunigten 

(verzögerten) Bewegung, Beschleunigungsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . 150 

4.1.5 Arbeitsplan zur gleichmäßig beschleunigten oder verzögerten 

Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 

4.1.6 Freier Fall und Luftwiderstand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 

4.1.6.1 Freier Fall ohne Luftwiderstand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 

4.1.6.2 Luftwiderstand F ................................. 157 

4.1.6.3 Freier Fall mit Luftwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 

4.1.7 Ûbungen zur gleichmäßig beschleunigten und verzögerten 

Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 

4.1.8 Zusammengesetzte Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 

4.1.8.1 Kennzeichen der zusammengesetzten Bewegung . . . . . . . . 164 

4.1.8.2 Ûberlagerungsprinzip. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 

4.1.8.3 Zusammensetzen und Zerlegen von Wegen, 

Geschwindigkeiten und Beschleunigungen. . . . . . . . . . . . . 165 

4.1.9 Ûbungen zur zusammengesetzten Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 

4.1.9.1 Ûberlagerung von zwei gleichförmig geradlinigen 

Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 

4.1.9.2 Ûberlagerung von gleichförmiger und gleichmäßig 

beschleunigter Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 

4.2 Gleichförmige Drehbewegung (Kreisbewegung) ..................... 176 

4.2.1 Die Drehzahl n ........................................... 176 

4.2.2 Die Umfangsgeschwindigkeit vu ............................. 177 

4.2.3 Richtung der Umfangsgeschwindigkeit vu ..................... 177 

4.2.4 Umfangsgeschwindigkeit vu und Drehzahl n ................... 177 

4.2.4.1 Zahlenwertgleichungen für die Umfangsgeschwindigkeit 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 

4.2.5 Umfangsgeschwindigkeit und Mittelpunktsgeschwindigkeit . . . . . . . 178 

4.2.6 Die Winkelgeschwindigkeit w ............................... 179 

4.2.7 Winkelgeschwindigkeit und Umfangsgeschwindigkeit. . . . . . . . . . . . 179 

4.2.7.1 Zahlenwertgleichung für die Winkelgeschwindigkeit. . . . . 180 

4.2.8 Baugrößen und Größen der Bewegung in Getrieben. . . . . . . . . . . . . . 180 

4.2.9 Ûbersetzung i (Ûbersetzungsverhältnis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 

4.3 Gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Drehbewegung .............. 182 

4.3.1 Gegenüberstellung der allgemeinen Größen mit den 

entsprechenden Kreisgrößen ................................ 182

XII 


4.3.2 Winkelbeschleunigung a ................................... 183 

4.3.3 Der Drehwinkel im w; t-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 

4.3.4 Die Tangentialbeschleunigung aT ............................ 184 

4.3.5 Arbeitsplan zur Kreisbewegung 

(Vergleiche mit Abschnitt 4.1.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 

4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) .................. 188 

4.4.1 Das Trägheitsgesetz (Beharrungsgesetz), 

erstes Newton’sches Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 

4.4.2 Masse, Gewichtskraft und Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 

4.4.3 Das dynamische Grundgesetz, zweites Newton’sches Axiom . . . . . . 191 

4.4.4 Die gesetzliche und internationale Einheit für die Kraft . . . . . . . . . . . 193 

4.4.5 Ûbungen zum dynamischen Grundgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 

4.4.6 Prinzip von d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 

4.4.7 Arbeitsplan zum Prinzip von d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 

4.4.8 Ûbungen zum Prinzip von d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 

4.4.9 Impuls (Bewegungsgröße) und Impulserhaltungssatz. . . . . . . . . . . . . 202 

4.5 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad .................................. 203 

4.5.1 Arbeit W einer konstanten Kraft F ............................ 203 

4.5.2 Zeichnerische Darstellung der Arbeit W ....................... 204 

4.5.3 Federarbeit W f (Formänderungsarbeit) als Arbeit einer 

veränderlichen Kraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 

4.5.4 Ûbungen mit der Größe Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 

4.5.5 Leistung P............................................... 209 

4.5.6 Wirkungsgrad h .......................................... 210 

4.5.7 Ûbungen mit den Größen Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad . . . . . . . . 212 

4.6 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad bei der Drehbewegung 

(Kreisbewegung) ............................................... 213 

4.6.1 Gegenüberstellung der allgemeinen Größen mit den 

entsprechenden Kreisgrößen ................................ 213 

4.6.2 Dreharbeit W rot (Rotationsarbeit). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 

4.6.3 Drehleistung P rot (Rotationsleistung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 

4.6.4 Zahlenwertgleichung für die Drehleistung Prot .................. 215 

4.6.5 Wirkungsgrad, Drehmoment und Ûbersetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 

4.6.6 Ûbungen zu Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad und Ûbersetzung bei 

Drehbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 

4.7 Energie ....................................................... 218 

4.7.1 Energie, Begriffsbestimmung und Einheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 

4.7.2 Potenzielle Energie E pot und Hubarbeit W h .................... 219 

4.7.3 Kinetische Energie E kin und Beschleunigungsarbeit W a .......... 220 

4.7.4 Spannungsenergie Es und Formänderungsarbeit Wf .............. 220 

4.7.5 Energieerhaltungssatz für technische Vorgänge ................. 221 

4.7.6 Ûbungen zum Energieerhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Inhaltsverzeichnis XIII 

4.8 Gerader zentrischer Stoß ........................................ 224 

4.8.1 Stoßbegriff, Kräfte und Geschwindigkeiten beim Stoß. . . . . . . . . . . . 224 

4.8.2 Merkmale des geraden zentrischen Stoßes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 

4.8.3 Elastischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 

4.8.4 Unelastischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 

4.8.4.1 Schmieden und Nieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 

4.8.4.2 Rammen von Pfählen, Eintreiben von Keilen . . . . . . . . . . . 228 

4.8.5 Wirklicher Stoß. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 

4.8.6 Ûbungen zum geraden zentrischen Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 

4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation) ............................ 232 

4.9.1 Das dynamische Grundgesetz für die Drehbewegung. . . . . . . . . . . . . 232 

4.9.2 Trägheitsmoment J und Trägheitsradius i ...................... 233 

4.9.2.1 Definition des Trägheitsmoments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 

4.9.2.2 Ûbung zum Trägheitsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 

4.9.2.3 Verschiebesatz (Steiner’scher Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 

4.9.2.4 Reduzierte Masse m red und Trägheitsradius i ........... 238 

4.9.3 Ûbung zum dynamischen Grundgesetz für die Drehung. . . . . . . . . . . 239 

4.9.4 Drehimpuls (Drall) und Impulserhaltungssatz für die Drehung . . . . . 239 

4.9.5 Kinetische Energie E rot (Rotationsenergie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 

4.9.6 Energieerhaltungssatz für Drehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 

4.9.7 Fliehkraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 

4.9.7.1 Zentripetalbeschleunigung und Zentripetalkraft . . . . . . . . . 242 

4.9.7.2 Ûbungen zur Fliehkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 

4.9.8 Gegenüberstellung der translatorischen und rotatorischen 

Größen ................................................. 245 

4.10 Mechanische Schwingungen ...................................... 246 

4.10.1 Begriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 

4.10.2 Ordnungsbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 

4.10.3 Die harmonische Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 

4.10.3.1 Die Bewegungsgesetze der harmonischen 

Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 

4.10.3.1.1 Auslenkung-Zeit-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 

4.10.3.1.2 Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . 247 

4.10.3.1.3 Beschleunigung-Zeit-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . 247 

4.10.3.2 Die Graphen der harmonischen Schwingung . . . . . . . . . . . 248 

4.10.3.3 Zusammenstellung der wichtigsten Größen und 

Gleichungen der harmonischen Schwingung . . . . . . . . . . . 249 

4.10.3.4 Rückstellkraft F R, Richtgröße D und lineares Kraftgesetz 

bei der harmonischen Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 

4.10.4 Das Schraubenfederpendel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 

4.10.4.1 Rückstellkraft F R und Federrate R.................... 251 

4.10.4.2 Periodendauer T des Schraubenfederpendels . . . . . . . . . . . 253 

4.10.5 Das Torsionsfederpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 

4.10.5.1 Federrate R, Rückstellmoment M R und Periodendauer 

T ......................................... 254

XIV 


4.10.5.2 Experimentelle Bestimmung von Trägheitsmomenten 

J aus der Periodendauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 

4.10.6 Das Schwerependel (Fadenpendel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 

4.10.7 Schwingung einer Flüssigkeitssäule .......................... 257 

4.10.8 Analogiebetrachtung zum Schraubenfederpendel, 

Torsionsfederpendel, Schwerependel und zur schwingenden 

Flüssigkeitssäule.......................................... 258 

4.10.9 Dämpfung, Energiezufuhr, erzwungene Schwingung, Resonanz . . . . 258 

4.10.9.1 Dämpfung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 

4.10.9.2 Energieminderung durch Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 

4.10.9.3 Energiezufuhr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 

4.10.9.4 Die erzwungene Schwingung und Resonanz . . . . . . . . . . . 260 

4.10.9.5 Das Amplituden-Frequenz-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . 261 

5 Festigkeitslehre ................................................. 262 

5.1 Grundbegriffe ................................................. 264 

5.1.1 Die Aufgabe der Festigkeitslehre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 

5.1.2 Das Schnittverfahren zur Bestimmung des inneren 

Kräftesystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 

5.1.3 Spannung und Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 

5.1.4 Die beiden Spannungsarten 

(Normalspannung s und Schubspannung t).................... 267 

5.1.5 Die fünf Grundbeanspruchungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 

5.1.5.1 Zugbeanspruchung (Zug). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 

5.1.5.2 Druckbeanspruchung (Druck) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 

5.1.5.3 Abscherbeanspruchung (Abscheren). . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 

5.1.5.4 Biegebeanspruchung (Biegung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 

5.1.5.5 Torsionsbeanspruchung (Torsion, Verdrehung). . . . . . . . . . 270 

5.1.5.6 Kurzzeichen für Spannung und Beanspruchung. . . . . . . . . 270 

5.1.6 Die zusammengesetzte Beanspruchung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 

5.1.7 Bestimmen des inneren Kräftesystems (Schnittverfahren) und 

der Beanspruchungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 

5.1.7.1 Das allgemeine innere Kräftesystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 

5.1.7.2 Arbeitsplan zur Bestimmung des inneren Kräftesystems 

und der Beanspruchungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 

5.1.7.3 Ûbungen zum Schnittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 

5.2 Beanspruchung auf Zug ......................................... 278 

5.2.1 Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 

5.2.2 Erkennen des gefährdeten Querschnitts in zugbeanspruchten 

Bauteilen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 

5.2.2.1 Profilstäbe mit Querbohrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 

5.2.2.2 Zuglaschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 

5.2.2.3 Zugschrauben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

Inhaltsverzeichnis XV 

5.2.2.4 Herabhängende Stäbe oder Seile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 

5.2.2.5 Ketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 

5.2.3 Elastische Formänderung (Hooke’sches Gesetz). . . . . . . . . . . . . . . . . 280 

5.2.3.1 Verlängerung Dl und Dehnung e ..................... 281 

5.2.3.2 Querdehnung eq .................................. 281 

5.2.3.3 Poisson-Zahl m ................................... 282 

5.2.3.4 Das Hooke’sche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 

5.2.3.5 Wärmespannung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 

5.2.3.6 Formänderungsarbeit Wf ........................... 283 

5.2.4 Reißlänge ............................................... 284 

5.3 Beanspruchung auf Druck ....................................... 285 

5.4 Ûbungen zur Zug- und Druckbeanspruchung ....................... 286 

5.5 Flächenpressung................................................ 288 

5.5.1 Begriff und Hauptgleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 

5.5.2 Flächenpressung an geneigten Flächen........................ 288 

5.5.3 Flächenpressung am Gewinde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 

5.5.4 Flächenpressung in Gleitlagern, Niet- und Bolzenverbindungen . . . . 291 

5.5.5 Flächenpressung an gewölbten Flächen 

(Hertz’sche Gleichungen). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 

5.5.5.1 Pressung zwischen Kugel und Ebene oder zwischen 

zwei Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 

5.5.5.2 Pressung zwischen Zylinder und Ebene oder 

zwischen zwei Zylindern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 

5.5.6 Ûbungen zur Flächenpressung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 

5.6 Beanspruchung auf Abscheren ................................... 295 

5.6.1 Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 

5.6.2 Elastische Formänderung (Hooke’sches Gesetz für Schub) . . . . . . . . 297 

5.7 Flächenmomente 2. Grades I und Widerstandsmomente W ........... 303 

5.7.1 Gleichmäßige und lineare Spannungsverteilung 

(Gegenüberstellung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 

5.7.2 Definition der Flächenmomente 2. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 

5.7.3 Herleitungsübung......................................... 305 

5.7.4 Ûbungen mit Flächen- und Widerstandsmomenten einfacher 

Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 

5.7.5 Axiale Flächenmomente 2. Grades symmetrischer 

Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 

5.7.6 Axiale Flächenmomente 2. Grades unsymmetrischer 

Querschnitte (Steiner’scher Verschiebesatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 

5.7.6.1 Erste Herleitung des Steiner’schen Satzes . . . . . . . . . . . . . . 314 

5.7.6.2 Zweite Herleitung des Steiner’schen Satzes . . . . . . . . . . . . 315

XVI 


5.7.6.3 Arbeitsplan zur Berechnung axialer Flächenmomente 

2. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 

5.7.7 Ûbungen mit Flächen- und Widerstandsmomenten 

zusammengesetzter Querschnitte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 

5.8 Beanspruchung auf Torsion ...................................... 321 

5.8.1 Spannungsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 

5.8.2 Herleitung der Torsions-Hauptgleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 

5.8.3 Formänderung bei Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 

5.8.4 Formänderungsarbeit Wf ................................... 325 

5.9 Beanspruchung auf Biegung ..................................... 328 

5.9.1 Spannungsarten und inneres Kräftesystem bei Biegeträgern . . . . . . . 328 

5.9.2 Bestimmung der Biegemomente und Querkräfte an beliebigen 

Trägerstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 

5.9.3 Spannungsverteilung im Trägerquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 

5.9.4 Herleitung der Biege-Hauptgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 

5.9.5 Spannungsverteilung im unsymmetrischen Querschnitt . . . . . . . . . . . 332 

5.9.6 Gültigkeitsbedingungen für die Biege-Hauptgleichung . . . . . . . . . . . 332 

5.9.7 Ûbungen zur Berechnung des Biegemomenten- und Querkraftverlaufs 

bei den wichtigsten Trägerarten und Belastungen. . . . . . . . . 333 

5.9.7.1 Freiträger mit Einzellast. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 

5.9.7.2 Freiträger mit mehreren Einzellasten . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 

5.9.7.3 Freiträger mit konstanter Streckenlast 

(gleichmäßig verteilte Streckenlast) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 

5.9.7.4 Freiträger mit Mischlast 

(Einzellast und konstante Streckenlast). . . . . . . . . . . . . . . . 336 

5.9.7.5 Stützträger mit Einzellast. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 

5.9.7.6 Stützträger (Kragträger) mit mehreren Einzellasten . . . . . . 338 

5.9.7.7 Stützträger (Kragträger) mit konstanter Streckenlast . . . . . 340 

5.9.7.8 Stützträger mit Mischlast 

(Einzellast und konstante Streckenlast). . . . . . . . . . . . . . . . 342 

5.9.8 Träger gleicher Biegespannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 

5.9.8.1 Allgemeine Anformungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 

5.9.8.2 Achsen und Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 

5.9.8.3 Biegefeder mit Rechteckquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 

5.9.8.4 Konsolträger mit Einzellast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 

5.9.8.5 Konsolträger mit Streckenlast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 

5.9.9 Formänderung bei Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 

5.9.9.1 Krümmungsradius, Krümmung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 

5.9.9.2 Allgemeine Durchbiegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 

5.9.9.3 Neigungswinkel der Biegelinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 

5.9.10 Ûbungen zur Durchbiegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 

5.10 Beanspruchung auf Knickung .................................... 351 

5.10.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 

5.10.2 Elastische Knickung (Eulerfall) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

Inhaltsverzeichnis XVII 

5.10.3 Unelastische Knickung (Tetmajerfall) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 

5.10.4 Arbeitsplan für Knickungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 

5.10.5 Knickung im Stahlbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 

5.10.5.1 Vorschriften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 

5.10.5.2 Tragsicherheitsnachweis bei einteiligen Knickstäben. . . . . 359 

5.10.5.3 Herleitung einer Entwurfsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 

5.10.5.4 Arbeitsplan (AP) zum Tragsicherheitsnachweis . . . . . . . . . 359 

5.10.5.5 Zusammengesetzte Knickstäbe...................... 362 

5.11 Zusammengesetzte Beanspruchung................................ 365 

5.11.1 Zug und Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 

5.11.2 Druck und Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 

5.11.3 Ûbung zur zusammengesetzten Beanspruchung durch 

Normalspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 

5.11.4 Biegung und Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 

5.11.4.1 Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannung s v ...... 368 

5.11.4.2 Vergleichsmoment Mv ............................. 369 

5.11.4.3 Ûbung zu Biegung und Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 

5.12 Festigkeit, zulässige Spannung, Sicherheit .......................... 375 

5.12.1 Festigkeitswerte im Spannungs-Dehnungs-Diagramm . . . . . . . . . . . . 375 

5.12.2 Einflüsse auf die Festigkeit des Bauteils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 

5.12.2.1 Beanspruchungsart und Festigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 

5.12.2.2 Temperatur und Festigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 

5.12.2.3 Belastungsart und Festigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 

5.12.2.4 Gestalt und Dauerfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 

5.12.3 Spannungsbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 

5.12.3.1 Nennspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 

5.12.3.2 Úrtliche Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 

5.12.3.3 Zulässige Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 

5.12.3.4 Berechnungen im Buch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 

5.12.3.5 Praktische Festigkeitsberechnungen im Maschinenbau . . . 381 

5.12.4 Dauerbruchsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 

5.12.4.1 Sicherheit SD bei ruhender Belastung . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 

5.12.4.2 Sicherheit SD bei dynamischer Belastung . . . . . . . . . . . . . . 382 

5.12.5 Ûbungen zur Dauerfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 

6 Fluidmechanik (Hydraulik).................................... 386 

6.1 Statik der Flüssigkeiten (Hydrostatik) ............................. 386 

6.1.1 Eigenschaften der Flüssigkeiten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 

6.1.2 Hydrostatischer Druck 

(Flüssigkeitsdruck, hydraulische Pressung). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 

6.1.3 Druckverteilung in einer Flüssigkeit ohne Berücksichtigung 

der Schwerkraft, das Druck-Ausbreitungsgesetz. . . . . . . . . . . . . . . . . 387

XVIII 


6.1.4 Anwendungen des Druck-Ausbreitungsgesetzes . . . . . . . . . . . . . . . . 388 

6.1.4.1 Hydraulischer Hebebock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 

6.1.4.2 Druckkraft auf gewölbte Böden...................... 390 

6.1.4.3 Beanspruchung einer Kessel- oder Rohrlängsnaht . . . . . . . 390 

6.1.4.4 Hydraulische Presse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 

6.1.5 Druckverteilung in einer Flüssigkeit unter Berücksichtigung 

der Schwerkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 

6.1.6 Kommunizierende Röhren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 

6.1.7 Bodenkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 

6.1.8 Seitenkraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 

6.1.9 Auftriebskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 

6.1.10 Schwimmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 

6.1.11 Gleichgewichtslagen schwimmender Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 

6.1.12 Stabilität eines Schiffes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 

6.2 Dynamik der Fluide (Strömungsmechanik) ......................... 402 

6.2.1 Kontinuitätsgleichung (Stetigkeitsgleichung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 

6.2.2 Bernoulli’sche Gleichung 

(Energieerhaltungssatz der Strömung). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 

6.2.2.1 Horizontale Strömung 

(Strömung ohne Höhenunterschied) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 

6.2.2.2 Nichthorizontale Strömung 

(Strömung mit Höhenunterschied) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 

6.2.3 Anwendung der Bernoulligleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 

6.2.3.1 Druck in einer Leitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 

6.2.3.2 Ausfluss aus einem Gefäß.......................... 406 

6.2.3.3 Ausfluss unter dem Fluidspiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 

6.2.3.4 Ausfluss bei Ûberdruck im Gefäß.................... 407 

6.2.3.5 Ausfluss bei sinkendem Fluidspiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 

6.2.4 Strömung in Rohrleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 

Sachwortverzeichnis ..................................................... 411

Inhaltsverzeichnis XIX 

Arbeitspläne 

Arbeitsplan zum Freimachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung der Resultierenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

Arbeitsplan zur zeichnerischen Ermittlung der Resultierenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung der unbekannten Kräfte ................. 29 

Arbeitsplan zur zeichnerischen Ermittlung der unbekannten Kräfte................. 34 

Arbeitsplan zum Momentensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

Arbeitsplan zum Seileckverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 

Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung unbekannter Kräfte..................... 45 

Arbeitsplan zum 3-Kräfte-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 

Arbeitsplan zum 4-Kräfte-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

Arbeitsplan zum Ritter’schen Schnittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

Arbeitsplan zur Aufzeichnung des Cremonaplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 

Arbeitsplan zur rechnerischen Bestimmung des Flächenschwerpunkts . . . . . . . . . . . . . . 80 

Arbeitsplan zur rechnerischen Bestimmung des Linienschwerpunkts . . . . . . . . . . . . . . . 85 

Arbeitsplan zur gleichmäßig beschleunigten oder verzögerten Bewegung . . . . . . . . . . . 153 

Arbeitsplan zur Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 

Arbeitsplan zum Prinzip von d’Alembert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 

Arbeitsplan zur Bestimmung des inneren Kräftesystems und der 

Beanspruchungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 

Arbeitsplan zur Berechnung axialer Flächenmomente 2. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 

Arbeitsplan zur Biegemomenten- und Querkraftbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 

Arbeitsplan für Knickungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 

Arbeitsplan zum Tragsicherheitsnachweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 

Lehrbeispiele 

Rechnerische Bestimmung der Resultierenden F r eines zentralen Kräftesystems . . . . . . 30 

Zeichnerische Bestimmung der Resultierenden F r eines zentralen Kräftesystems . . . . . . 31 

Seileckverfahren, Zusammensetzen zweier Parallelkräfte......................... 43 

Reibung in Ruhe und Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 

v; t-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 

Prinzip von d’Alembert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 

Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 

Nietverbindung im Stahlhochbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 

Nietverbindung im Stahlbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 

Zugbolzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 

Torsionsstabfeder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 

Verdrehwinkel (Drehmomentschlüssel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 

Knickung im elastischen Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 

Knickung im unelastischen Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 

Berechnung einer Getriebewelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

XX 

Ûbungen 


Ûbungen zur Berechnung von Drehmomenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

Ûbungen zum Parallelogrammsatz für Kräfte .................................. 10 

Ûbungen zum Freimachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

Ûbung zur dritten und vierten Grundaufgabe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

Ûbung zur Stützkraftberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 

Ûbung zum systemanalytischen Lösungsverfahren zur Stützkraftberechnung . . . . . . . . 62 

Ûbungen zur Bestimmung des Flächenschwerpunkts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 

Ûbungen mit den Guldin’schen Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 

Ûbung zur Standsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 

Ûbungen zur Lösung von Reibungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 

Ûbungen zur Reibung auf der schiefen Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 

Ûbungen zur Trag- und Spurzapfenreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 

Ûbungen zur Schraube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 

Ûbungen zur Seilreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 

Ûbungen zum Roll- und Fahrwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 

Ûbung zum Rollenzug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 

Ûbungen mit dem v; t-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 

Ûbungen zur gleichmäßig beschleunigten und verzögerten Bewegung . . . . . . . . . . . . . . 160 

Ûbungen zur zusammengesetzten Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 

Ûbungen zum dynamischen Grundgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 

Ûbungen zum Prinzip von d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 

Ûbungen mit der Größe Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 

Ûbungen mit den Größen Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 

Ûbungen zum Energieerhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 

Ûbungen zum geraden zentrischen Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 

Ûbung zum Trägheitsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 

Ûbungen zum dynamischen Grundgesetz für die Drehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 

Ûbungen zur Fliehkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 

Ûbungen zum Schnittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 

Ûbungen zur Zug- und Druckbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 

Ûbungen zur Flächenpressung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 

Ûbungen mit Flächen- und Widerstandsmomenten einfacher Querschnitte . . . . . . . . . . . 306 

Ûbungen mit Flächen- und Widerstandsmomenten zusammengesetzter Querschnitte 316 

Ûbungen zur Berechnung des Biegemomenten- und Querkraftverlaufs bei den 

wichtigsten Trägerarten und Belastungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 

Ûbungen zur Durchbiegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 

Ûbung zur zusammengesetzten Beanspruchung durch Normalspannungen . . . . . . . . . . 367 

Ûbung zu Biegung und Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 

Ûbungen zur Dauerfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

Inhaltsverzeichnis XXI 

Tabellen 

Tabelle 3.1 Reibzahlen m 0 und m ......................................... 92 

Tabelle 4.1 Gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 

Tabelle 4.2 Gleichmäßig verzögerte geradlinige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 

Tabelle 4.3 Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 

Tabelle 4.4 Gleichmäßig verzögerte Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 

Tabelle 4.5 Gleichungen für Trägheitsmomente J (Massenmoment 2. Grades) . . . . 235 

Tabelle 5.1 Axiale Flächenmomente I, Widerstandsmomente W und 

Trägheitsradius i für Biegung und Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 

Tabelle 5.2 Polare Flächenmomente 2. Grades Ip und Widerstandsmomente Wp 

für Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 

Tabelle 5.3 Grenzschlankheitsgrad l 0 für Euler’sche Knickung und 

Tetmajergleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 

Tabelle 5.4 Zuordnung der Knickspannungslinien zu den Stab-Querschnittsformen 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 

Tabelle 5.5 Zulässige Spannungen im Stahlhochbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 

Tabelle 5.6 Zulässige Spannungen im Kranbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 

Tabelle 5.7 Richtwerte für die Kerbwirkungszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 

Tabelle 5.8 Festigkeitswerte für Stähle.................................... 385 

Tabelle 5.9 Festigkeitswerte für Gusseisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 

Das griechische Alphabet 

Alpha A a 

Beta B b 

Gamma G g 

Delta D d 

Epsilon E e 

Zeta Z z 

Eta H h 

Theta Q J 

Jota I i 

Kappa K j 

Lambda L l 

My M m 

Ny N n 

Xi X x 

Omikron O o 

Pi P p 

Rho R r 

Sigma S s 

Tau T t 

Ypsilon Y u 

Phi F j 

Chi C c 

Psi Y w 

Omega W w

1 Statik in der Ebene 

Formelzeichen und Einheiten 1) 

A m 2 ,cm 2 ,mm 2 

Flächeninhalt, Fläche, Oberfläche 

b m, cm, mm Breite 

d, D m, cm, mm Durchmesser 

e l Euler’sche Zahl (2,718 28 ...) 

F N ¼ kgm 

s2 , kN Kraft. Bestimmte Kräfte werden durch Indizes unterschieden, z. B. Fr resultierende 

Kraft ¼ Resultierende, FR Reibungskraft, FN Normalkraft, Fq Querkraft, 

FA Stützkraft im Lagerpunkt A usw. 

FG N ¼ kgm 

s2 ,kN 

Gewichtskraft. FG ist das nach DIN 1304 genormte Formelzeichen für die 

Gewichtskraft 

g 

m 

s2 Fallbeschleunigung Normfallbeschleunigung gn ¼ 9,80665 m 

s2 h m, cm, mm Höhe, Tiefe 

l m, cm, mm Länge jeder Art, Abstände 

M Nm Kraftmoment, Drehmoment 

MT, T Nm Torsionsmoment; auch das Formelzeichen T ist zulässig 

m kg, g Masse 

n 

1 

1 

¼ min 

min 

Drehzahl, Umdrehungsfrequenz 

P W, kW Leistung 

r m, cm, mm Radius, Halbmesser, Abstand 

A, q m 2 ,cm 2 ,mm 2 Querschnittsfläche, Querschnitt 

s m, cm, mm Weglänge, Kurvenlänge, Wanddicke 

V m 3 ,cm 3 ,mm 3 Volumen, Rauminhalt 

v 

m km m 

, , 

s h min 

Geschwindigkeit 

W J ¼ Nm Arbeit 

x, y m, cm, mm Wirkabstände der Einzelkräfte (und -flächen oder -linien), Koordinaten 

x0, y0, z0 m, cm, mm Schwerpunktabstände 

a, b, g rad, ebener Winkel 

h l Wirkungsgrad 

m l Reibungszahl 

r Reibungswinkel 

1) Alle in diesem Buch verwendeten Einheiten für physikalische Größen sind Einheiten des „Système International 

d’Unités“ (Internationales Einheitensystem), kurz: SI-Einheiten. Es gelten die Normen: DIN 1301 

(Einheiten, Einheitennamen, Einheitenzeichen), DIN 1304 (Formelzeichen). 

1

2 

1.1 Grundlagen 

1.1.1 Die Aufgaben der Statik 

An technischen Bauteilen greifen Belastungskräfte 

an, hervorgerufen durch Lasten, Eigengewicht, 

Winddruck, Gasdruck, Zahnkräfte, Riemenkräfte, 

Zerspanungswiderstände, Reibungswiderstände 

usw. 

Mit den Verfahren der Statik werden die Stützkräfte 

ermittelt, die den Körper im Gleichgewicht 

halten. Man sagt auch: Das angreifende Kräftesystem 

befindet sich im Gleichgewicht. 

Die Ermittlung der Stützkräfte, auch Auflagerkräfte 

genannt, ist der erste Schritt zur Konstruktion 

eines Maschinenteils. Sind alle angreifenden 

Kräfte bekannt, können die Abmessungen der 

Bauteile nach den Regeln der Festigkeitslehre festgelegt 

werden: 

Die Ergebnisse der Statik sind die Grundlage 

der Festigkeitsrechnung. 

Bei allen folgenden Untersuchungen in der Statik 

werden die Körper als unverformbar angesehen 

(Statik der starren Körper). 

1.1.2 Physikalische Größen in der Statik 

Die wichtigsten Größen der Statik sind 

die Kraft F (Kurzzeichen F von engl. force), die in 

Newton (N), Dekanewton (daN), Kilonewton (kN) 

oder Meganewton (MN) gemessen und angegeben 

wird; 

das Kraftmoment M der Kraft F, das in Newtonmeter 

(Nm) oder Newtonmillimeter (Nmm) angegeben 

wird. 

Bewirkt das Kraftmoment eine Drehung des Bauteils, 

dann nennt man es Drehmoment M, z. B. bei 

Wellen. In der Festigkeitslehre wird ein biegendes 

Kraftmoment als Biegemoment M b, ein tordierendes 

(verdrehendes) Kraftmoment als Torsionsmoment 

MT bezeichnet. 


Belastungskräfte und Stützkräfte 

Gegeben: F 1, F 2, F G, l, l 1, l 2 

Gesucht: FA, FB 

Hinweis: Die Begriffe Los- und Festlager 

werden auf Seite 15 erläutert. 

Beispiel: 

Erst wenn alle an einer Getriebewelle angreifenden 

Kräfte bekannt sind, können Wellenund 

Lagerdurchmesser bestimmt werden. 

Das Newton ist die gesetzliche und internationale 

Einheit (SI-Einheit) für die Kraft F: 

1 daN ¼ 10 N; 1 kN ¼ 10 3 N ¼ 1000 N 

1MN¼ 10 6 N ¼ 1000000 N 

Das Kraftmoment M ist das Produkt aus einer 

Kraft F und einer Länge l. Daher ist die SI- 

Einheit des Kraftmoments das Newtonmeter 

(Nm): 

1Nm ¼ 10 3 Nmm 

1 kNm ¼ 10 3 Nm 

1 MNm ¼ 10 6 Nm

1.1 Grundlagen 3 

1.1.2.1 Die Kraft F 

Kräfte sind Vektoren. Ihre Wirkung auf einen Körper 

lässt sich nur dann genau angeben, wenn drei 

Bestimmungsstücke bekannt sind: 

der Betrag der Kraft, z. B. F ¼ 18 N, 

die Wirklinie WL und 

der Richtungssinn. 

Wie alle Vektoren wird auch die Kraft zeichnerisch 

durch einen Pfeil dargestellt. Die Länge des Pfeils 

gibt über den festgelegten Kräftemaßstab MK den 

Betrag (die Größe) der Kraft an. Die Wirklinie 

zeigt, wo und unter welchem Winkel zu einer festgelegten 

Bezugsachse die Kraft wirkt (Richtungswinkel). 

Die Pfeilspitze bestimmt den Richtungssinn. 

Eine Kraft, die auf einen Körper dieselbe Wirkung 

ausübt wie zwei (oder mehrere) gleichzeitig wirkende 

Kräfte F1 und F2, nennt man die Resultierende 

Fr dieser Kräfte: 

Die Resultierende F r ist eine gedachte Ersatzkraft 

für mehrere Einzelkräfte. 

Will man eine genaue Angabe über die Wirkung 

mehrerer Kräfte auf einen Körper machen, z. B. 

darüber, in welche Richtung er sich verschiebt, 

muss die Resultierende des Kräftesystems bekannt 

sein. 

Die Schubkraft F s mit dem Angriffspunkt A s bewegt 

den skizzierten Wagen mit der Geschwindigkeit 

v nach rechts oben. Die gleiche Wirkung wird 

durch die auf der selben Wirklinie WL liegende 

gleich große Zugkraft F z ¼ F s (Angriffspunkt A z) 

erzielt: Kräfte sind linienflüchtige Vektoren. Für 

sie gilt der 

Längsverschiebungssatz 

Kräfte dürfen auf ihrer Wirklinie beliebig verschoben 

werden, ohne dass sich ihre Wirkung 

auf den starren Körper ändert. 

Größen, die erst durch ihren Betrag und ihre 

Richtung eindeutig bestimmt sind (gerichtete 

Größen), heißen Vektoren, z. B. Kräfte, Wege, 

Geschwindigkeiten, Beschleunigungen. 

Größen, bei denen zur eindeutigen Bestimmung 

die Angabe ihres Betrags genügt, heißen 

Skalare (nicht gerichtete Größen), z. B. 

Wärme, Temperatur, Masse, Arbeit, Leistung. 

Die Kraft Fs (Schubkraft) ¼ Fz (Zugkraft) 

kann auf der gemeinsamen Wirklinie WL 

von As nach Az verschoben werden, ohne 

dass sich die Wirkung auf den Körper ändert 

(Längsverschiebungssatz).

4 

1.1.2.2 Das Kraftmoment oder Drehmoment M 

Das Produkt aus einer Einzelkraft F und ihrem 

Wirkabstand l von einem beliebigen Bezugspunkt 

D heißt Kraftmoment M ¼ Fl. 

Die Bezeichnungen Kraftmoment und Drehmoment 

sind statisch gleichwertig. 

Der Betrag des Kraft- oder Drehmoments ist das 

Produkt aus der Kraft F (z. B. in N) und dem Wirkabstand 

l (z. B. in m). Der Wirkabstand l ist der 

rechtwinklig zur Wirklinie (WL) gemessene Abstand. 

Kraftmoment M ¼ Kraft F Wirkabstand l M ¼ Fl 

Der Drehsinn des Kraftmoments wird durch das 

Vorzeichen angegeben. 

1.1.2.3 Das Kräftepaar 

Wirken zwei gleich große, gegensinnige Kräfte 

auf parallelen Wirklinien mit dem Wirkabstand l 

(? zu den Wirklinien gemessen), so erzeugen sie 

ein Drehmoment M. Man nennt die beiden Kräfte 

ein Kräftepaar. 

Ist der Körper frei beweglich, so dreht ihn das 

Kräftepaar auf der Stelle, ohne ihn zu verschieben 

(Welle, Handrad, Tretkurbel, Handkurbel, Drehstabfeder), 

denn die Resultierende des Kräftepaars 

ist gleich null. 

Die Drehwirkung eines Kräftepaares bezeichnet 

man als sein Drehmoment M. 

Der Betrag des Drehmoments ist das Produkt aus 

der Kraft F (z. B. in N) und dem Wirkabstand l 

(z. B. in m). Der Wirkabstand ist der senkrecht zu 

den Wirklinien gemessene Abstand. 

Drehmoment M ¼ Kraft F Wirkabstand l M ¼ Fl 

Der Drehsinn des Drehmoments wird durch das 

Vorzeichen angegeben. 

Kraftmoment der Kraft F bezogen auf den 

Punkt D: M ¼ Fl 

(þ) ¼ Linksdrehsinn 

( ) ¼ Rechtsdrehsinn 

Das Kräftepaar erzeugt ein Drehmoment M, 

die Resultierende ist Fr ¼ 0. 

(þ) ¼ Linksdrehsinn 

( ) ¼ Rechtsdrehsinn 


M F l 

Nm N m 

M F l 

Nm N m 

Kräftepaar am 

Fahrradlenker


1.1.3 Ûbungen zur Berechnung von Drehmomenten 

1. Ûbung: Für die Tretkurbelwelle eines Fahrrads 

sollen die Drehmomente M 1, M 2, M 3 in den drei 

skizzierten Stellungen berechnet werden. In allen 

Stellungen wirkt die Kraft F 1 rechtwinklig nach unten. 

In Stellung 1 steht die Tretkurbel horizontal, 

in Stellung 3 vertikal. Stellung 2 liegt zwischen 

beiden Stellungen. 

Wie verändert sich das Drehmoment mit fortschreitender 

Kurbeldrehung? 

Lösung: Als Folge der Kraft F 1 an der Tretkurbel 

tritt im Tretkurbellager eine gleich große, entgegengesetzt 

gerichtete Kraft F 2 auf. Beide bilden 

ein Kräftepaar, das ein Drehmoment M erzeugt. Es 

ergibt sich als Produkt aus der Kraft F1 und ihrem 

jeweiligen Wirkabstand von der Kraft F 2. Die 

Drehmomente M 1 und M 2 haben Rechtsdrehsinn. 

Sie erhalten daher das negative Vorzeichen. 

2. Ûbung: Die Kraft F1 wirkt jetzt unter dem Winkel 

a ¼ 45 auf die horizontal liegende Tretkurbel. 

Wie groß ist nun das Drehmoment M an der Tretkurbelwelle? 

Lösung: Der Wirkabstand l2 zwischen den Wirklinien 

der Kräfte F1 und F2 ist jetzt kleiner geworden 

als vorher in der Stellung 1. 

Dadurch ergibt sich auch ein kleineres Drehmoment 

M. Es erhält das negative Vorzeichen, weil es 

Rechtsdrehsinn besitzt. 

Aufgaben Nr. 1–8 

M1 ¼ F1l1 ¼ 150 N 0,2 m ¼ 30 Nm 

M2 ¼ F1l2 ¼ 150 N 0,08 m ¼ 12 Nm 

M3 ¼ F1l3 ¼ 150 N 0m¼ 0 

Das Drehmoment fällt von seinem Maximalwert 

in der horizontalen Stellung bis auf null 

in der vertikalen Stellung der Tretkurbel. 

l2 ¼ l1sin a 

l2 ¼ 0,2 m sin 45 

l2 ¼ 0,141 m 

M ¼ F1l2 ¼ 150 N 0,141 m 

M ¼ 21,15 Nm

6 

1.1.4 Bewegungsmöglichkeiten (Freiheitsgrade) eines Körpers 

Jeder frei bewegliche starre Körper kann eine andere Lage erhalten, indem man ihn verschiebt 

oder dreht. Diese Bewegungen heißen Translation (Verschiebung) und Rotation (Drehung). 

Die Bewegungsmöglichkeiten, die ein Körper hat, nennt man seine Freiheitsgrade. 

1.1.4.1 Freiheitsgrade im Raum 

Ein Körper, der im Raum frei beweglich ist, kann 

sich in Richtung der drei Achsen x, y, z eines 

räumlichen Koordinatensystems verschieben (T (x), 

T (y), T (z)). Er kann sich außerdem um jede der drei 

Achsen drehen (R (x), R (y), R (z)). Daraus folgt: 

Ein im Raum frei beweglicher starrer Körper 

hat sechs Freiheitsgrade. 

Jede beliebige Bewegung im Raum lässt sich auf 

diese sechs Freiheitsgrade zurückführen. 

1.1.4.2 Freiheitsgrade in der Ebene 

Ein Körper, der nur in einer Ebene frei beweglich 

ist, z. B. auf einer Richtplatte, kann sich nur in 

Richtung der zwei Achsen x, z eines ebenen Koordinatensystems 

verschieben (T(x), T(z)) und um die 

Achse y drehen (R (y)). Daraus folgt: 

Ein in der Ebene frei beweglicher starrer Körper 

hat drei Freiheitsgrade. 

Jede beliebige Bewegung in der Ebene lässt sich 

auf diese drei Freiheitsgrade zurückführen. 

1.1.5 Gleichgewicht des Körpers in der Ebene (Gleichgewichtsbedingungen) 

Die Ursache einer Verschiebung ist eine Einzelkraft, 

die Ursache einer Drehung ist ein Kräftepaar. 

Daraus folgt: 

Wird ein Körper verschoben, muss eine Kraft F 

wirken, 

wird er gedreht, muss ein Kraftmoment M wirken, 

wird er verschoben und gedreht, müssen eine 

Kraft F und ein Kraftmoment M wirken. 


Beachte: Die Drehwirkung eines Kräftepaars 

ist sein Kraftmoment M. Es wird auch als 

Drehmoment bezeichnet.


Umgekehrt lässt sich auch schließen, dass dann 

keine Kraft F wirkt, wenn sich ein Körper nicht 

verschiebt, und dass kein Kraftmoment M vorhanden 

ist, wenn er sich nicht dreht. 

Körper, die mit anderen fest verbunden sind, lassen 

sich auch durch Kräfte und Kraftmomente 

nicht gegeneinander bewegen. Hier werden durch 

die Verbindungen (wie Verschraubung, Lagerung, 

Klebung) Gegenkräfte und Gegenkraftmomente 

erzeugt. 

Alle Kräfte und alle Kraftmomente heben sich in 

solchen Fällen in ihrer Wirkung auf, und man sagt: 

Kräfte und Kraftmomente stehen miteinander im 

Gleichgewicht. Dann muss die Summe aller Kräfte 

gleich null und die Summe aller Kraftmomente 

gleich null sein, weil sich der Körper so verhält, 

als wirkten keine Kraft und kein Kraftmoment. 

Diese Erkenntnis auf die drei Freiheitsgrade des 

Körpers in der Ebene bezogen ergibt: 

Ein Körper ist dann im Gleichgewicht, wenn 

die Summe aller Kräfte in Richtung der 

x-Achse gleich null ist, 

die Summe aller Kräfte in Richtung der 

y-Achse gleich null ist, 

und die Summe aller Kraftmomente um die 

z-Achse gleich null ist. 

Nach dem Trägheitsgesetz gilt das für alle Körper, 

deren Bewegungszustand sich nicht ändert. Demnach 

ist ein Körper in drei Fällen im Gleichgewicht: 

wenn er ruht (Geschwindigkeit v ¼ 0), 

wenn er sich auf gerader Bahn mit gleich bleibender 

Geschwindigkeit bewegt (v ¼ konstant) 

und wenn er mit konstanter Drehzahl n (Umdrehungsfrequenz) 

umläuft (n ¼ konstant). 

Keine Verschiebung: F ¼ 0 

Keine Drehung: M ¼ 0 

Beispiel: 

Fräsmaschinentisch und darauf befestigter 

Schraubstock bewegen sich nicht gegeneinander, 

obwohl über das Werkstück Kräfte 

in den Schraubstock eingeleitet werden. 

Keine Verschiebung: SF ¼ 0 

Keine Drehung: SM ¼ 0 

S (Sigma) bedeutet: 

Summe aller ..., d. h. die Summe aller Kräfte 

und die Summe aller Kraftmomente ist gleich 

null. 

SFx ¼ 0 

SFy ¼ 0 

SM ðzÞ ¼ 0 

Mit Hilfe dieser drei Gleichgewichtsbedingungen 

berechnet man unbekannte Kräfte 

und Kraftmomente. 

Beachte: Ruhelage und gleichförmig geradlinige 

oder rotierende Bewegung sind gleichwertige 

Zustände, d. h. es gelten die Gleichgewichtsbedingungen. 

Die Ûberlegungen zum Trägheitsgesetz stammen 

von dem italienischen Physiker Galileo 

Galilei (1564 –1642).

8 

1.1.6 Der Parallelogrammsatz für Kräfte 

Der Parallelogrammsatz 1) ist die wichtigste statische Grundoperation für das Zusammensetzen 

und Zerlegen von gerichteten Größen (Vektoren). Dazu gehören neben Geschwindigkeiten v, 

Beschleunigungen a und Wegen s auch Kräfte F. 

1.1.6.1 Zusammensetzen von zwei nichtparallelen Kräften (Kräftereduktion) 

Kräfte sind linienflüchtige Vektoren, d. h. zwei 

Kräfte F 1 und F 2 können auf ihrer Wirklinie in den 

Zentralpunkt A verschoben und dort mit dem 

Parallelogrammsatz zur Resultierenden F r zusammengesetzt 

werden. Man nennt dies eine geometrische 

(zeichnerische) Addition und das Verfahren 

eine Kräftereduktion. 

Parallelogrammsatz 

Die Resultierende F r (Ersatzkraft) zweier in 

einem Punkt A angreifender Kräfte F 1 und F 2 

ist die Diagonale des Kräfteparallelogramms. 

Einfacher ist es, die Kräfte nach Betrag und Richtungssinn 

maßstabsgerecht in beliebiger Reihenfolge 

aneinander zu setzen. Es ergibt sich das 

Kräftedreieck (Krafteck, Kräftezug). 

Im Krafteck ist die Resultierende F r die Verbindungslinie 

vom Anfangspunkt A der zuerst 

gezeichneten Kraft zum Endpunkt E der zuletzt 

gezeichneten Kraft. 

Der Betrag der Resultierenden F r zweier Kräfte F 1 

und F 2, die den Winkel a einschließen, lässt sich 

mit Hilfe des Kosinussatzes, der Winkel b mit dem 

Sinussatz berechnen. Die beiden Sätze werden in 

der Mathematik (Trigonometrie) hergeleitet. 

Beachte: Skalare wie Masse m, Volumen V, 

Flächen A usw. sind keine gerichteten Größen. 

Ihre Beträge können algebraisch addiert 

und subtrahiert werden. Kräfte dagegen sind 

als Vektoren geometrisch (zeichnerisch) zu 

behandeln. 

Geometrische Addition der Kräfte F 1 und F 2 

zur Resultierenden Fr 

Kräftedreiecke als Ersatz für das 

Kräfteparallelogramm 

Fr ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

F1 2 þ F2 2 p 

þ 2F1F2 cos a 

b ¼ arcsin F1 sin a 

1) Böge, A.; J. Eichler: Physik: Grundlagen, Versuche, Aufgaben, Lösungen; Vieweg þ Teubner 2008 

Fr 

1 Statik in der Ebene


1.1.6.2 Zerlegen einer Kraft F in zwei nichtparallele Kräfte F 1 und F 2 

Das Kräfteparallelogramm lässt sich auch aus 

einer gegebenen Kraft F und den Wirklinien WL1, 

WL2 zweier gesuchter Kräfte F 1, F 2 zeichnen. 

Dazu werden die gegebenen Wirklinien WL1 und 

WL2 der gesuchten Kräfte F 1, F 2 parallel zu sich 

selbst in den Endpunkt E der maßstäblich aufgezeichneten 

gegebenen Kraft F verschoben. 

Damit entsteht das Kräfteparallelogramm. 

Die Beträge der beiden Komponenten der Kraft F 

lassen sich auch berechnen: Für F 1 gilt der Sinussatz; 

die Gleichung für F2 lässt sich aus dem gestrichelt 

gezeichneten Kräftezug ablesen. 

Die Aufgabe, eine Kraft F in mehr als zwei Komponenten 

zu zerlegen, ist statisch unbestimmt, d. h. 

es sind unendlich viele Lösungen möglich. 

Bei vielen Aufgaben der Statik ist es erforderlich, 

mit den beiden rechtwinklig aufeinander stehenden 

Komponenten Fx und Fy einer Kraft F zu 

rechnen. Dazu legt man die Kraft F unter Angabe 

des Richtungswinkels a in ein rechtwinkliges 

Achsenkreuz und beschreibt die Komponenten mit 

Hilfe der Kreisfunktionen Sinus und Kosinus. 

F = F sin α 

F1 ¼ F 

y 

sin b 

sin a 

F x = F cos α 

1.1.6.3 Zerlegen einer Kraft F in zwei parallele Kräfte F 1 und F 2 

Für die gegebene Kraft F sollen die beiden parallelen 

Kräfte F 1 und F 2 ermittelt werden, die auf 

ihren Wirklinien mit den Abständen l 1 und l 2 die 

gleiche Wirkung haben wie die Einzelkraft F. 

Zum Verständnis für die Lösung dieser Aufgaben 

ist der später erläuterte Momentensatz erforderlich 

(1.2.5.1, Seite 38): 

Fl1 ¼ F2ðl1 þ l2Þ und Fl2 ¼ F1ðl1 þ l2Þ 

Daraus ergeben sich die beiden Gleichungen für 

die Beträge der Kräfte F 1 und F 2. 

y 

F 

Zerlegen einer 

Kraft F in zwei 

Komponenten 

F1, F2 

F2 ¼ F cos b F1 cos a 

Zerlegen einer Kraft F in zwei parallele 

Komponenten 

F1 ¼ F 

l2 

l1 þ l2 

F y 

F2 ¼ F 

α 

x 

l1 

l1 þ l2

10 

1.1.6.4 Ûbungen zum Parallelogrammsatz für Kräfte 

1. Ûbung: Zwei Kräfte F1 ¼ 2 kN und F2 ¼ 3kN 

wirken im Angriffspunkt A unter dem Winkel 

a ¼ 120 zueinander. 

Gesucht: 

a) der Betrag der Resultierenden Fr, b) der Winkel b zwischen den Wirklinien von F1 und Fr. Lösung: 

a) der Betrag der Resultierenden lässt sich zeichnerisch 

durch maßstäbliches Aufzeichnen des 

Kräfteparallelogramms und rechnerisch mit 

dem Kosinussatz ermitteln. 

b) der Winkel b zwischen den Wirklinien von F1 und Fr wird mit dem Sinussatz berechnet: 

sin b 

sin ð180 aÞ 

¼ F2 

Fr 

Fr ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

F1 2 þ F2 2 p 

þ 2F1F2 cos a 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

Fr ¼ ð2 kNÞ 2 þð3kNÞ 2 q 

þ2 2kN3kNcos 120 

Fr ¼ 2,646 kN 

; sin ð180 aÞ ¼sin a b ¼ arcsin F2 sin ð180 aÞ 

¼ 79,1 

2. Ûbung: Für das skizzierte Lager einer Getriebewelle 

wurden mit Hilfe der statischen Gleichgewichtsbedingungen 

die Stützkraftkomponenten 

F Ax ¼ 5089 N und F Ay ¼ 471 N berechnet. Zur 

Bestimmung der Lagerabmessungen soll die Stützkraft 

(Lagerkraft) F A berechnet werden. 

Beachte: Die Stützkraftkomponenten können in 

den Lagermittelpunkt verschoben werden. 

Gesucht: 

a) Skizze des Quadranten eines rechtwinkligen 

Koordinatensystems mit den in den Lagerpunkt 

A verschobenen Lagerkraftkomponenten F Ax 

und F Ay (Längsverschiebungssatz von Seite 3), 

b) Betrag der Lagerkraft F A, 

c) Richtungswinkel a zwischen der positiven 

x-Achse des Koordinatensystems und der 

Wirklinie der Lagerkraft FA. 

Lösung: 

FA ¼ 

Fr 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

FAx 2 þ FAy 2 

q 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

¼ ð50892 þ 4712Þ N2 q 

FA ¼ 5111 N 

Aufgaben Nr. 29–31 a ¼ arctan FAy 471 N 

¼ arctan ¼ 5,29 

5089 N 

FAx 



1.1.7 Das Freimachen der Bauteile 

1.1.7.1 Zweck und Beschreibung des 

Verfahrens, Oberflächen- und 

Volumenkräfte 

Mit Hilfe der Statik werden unbekannte Kräfte 

zeichnerisch und rechnerisch bestimmt, z. B. die 

Stützkräfte (Lagerkräfte), die eine Getriebewelle 

oder einen Drehkran im Gleichgewicht halten. 

Die Lösungen solcher Aufgaben können nur dann 

richtig sein, wenn tatsächlich alle am Bauteil (Getriebewelle, 

Drehkran, Winkelhebel, Schraube usw.) 

angreifenden Kräfte in die Untersuchung einbezogen 

wurden. 

Jedes Bauteil wirkt auf die angrenzenden Bauteile 

mit Oberflächenkräften, die man sich im Mittelpunkt 

M der Berührungsfläche angreifend denkt, 

wie im Fall der beiden zusammengepressten 

Bauteile 1 und 2. Oberflächenkräfte heißen auch 

äußere Kräfte. 

Tatsächlich verteilt sich jede Oberflächenkraft 

mehr oder weniger gleichmäßig auf die Flächenteilchen 

der Berührungsfläche (siehe Abschnitt 5.5, 

Seite 288 Flächenpressung). 

Auf jede Berührungsfläche eines Körpers wirkt die 

von ihr ausgeübte Oberflächenkraft von dem anderen 

Körper zurück (Aktion ¼ Reaktion). Es ist also 

F1,2 (Kraft F von 1 auf 2) gleich F2,1 (Kraft F von 

2 auf 1). 

Außer den Oberflächenkräften können noch Volumenkräfte 

wirken, die man sich im Massenschwerpunkt 

(Massenmittelpunkt) M des homogenen 

Körpers angreifend denkt. 

Die wichtigste und immer wirkende Volumenkraft 

ist die Gewichtskraft FG. Eine andere Volumenkraft 

ist die durch Magnete erzeugte Kraft. 

Gemeinsames Kennzeichen von Volumenkräften 

ist das Vorhandensein eines „Feldes“, z. B. des 

Schwerefeldes der Erde oder eines Magnetfeldes. 

Volumenkräfte heißen daher auch Feldkräfte. 

Beispiel: 

F1, F2 bekannte Kräfte, 

FAx, FAy, FB gesuchte Stützkräfte 

Hinweis: Wird etwa die tatsächlich wirkende 

Stützkraftkomponente FAx nicht in die rechnerischen 

Gleichgewichtsbedingungen aufgenommen 

(SFx ¼ 0, SFy ¼ 0, SM ¼ 0), 

dann wird die Lösung falsch. 

Hinweis: Ob die Gewichtskraft FG beim Freimachen 

berücksichtigt wird, hängt davon ab, 

ob ihre Wirkung im Verhältnis zu den Wirkungen 

der anderen Kräfte groß oder klein ist.

12 

Um sicherzugehen, alle am Bauteil angreifenden 

Kräfte richtig erfasst zu haben, geht jeder statischen 

Untersuchung das Freimachen voraus. 

Freimachen heißt: 

Man nimmt die Nachbarbauteile, die das freizumachende 

Bauteil berühren, Stück für Stück 

weg und bringt dafür an den Berührungsstellen 

diejenigen Kräfte an, die von den weggenommenen 

Bauteilen auf das freigemachte Bauteil 

wirken. 

Eine Anleitung zum richtigen und sicheren Freimachen 

geben die folgenden Beispiele. 

1.1.7.2 Seile, Ketten, Riemen 

Seile und ähnliche flexible Bauteile können 

nur Zugkräfte in Seilrichtung ausüben oder 

aufnehmen. 

Zugkräfte wirken stets weg vom Angriffspunkt 

am freigemachten Bauteil. (Regel 1) 

Die Erfahrung lehrt, dass man mit einem flexiblen 

Bauteil keine Druckkraft auf einen anderen Körper 

ausüben kann. 

Es ist gleichgültig, ob das Seil durch eine Rolle 

umgelenkt wird: In jedem Querschnitt des Seils 

wirkt die gleiche Zugkraft. 


Hinweis: Statt „Freimachen“ wird auch die 

Bezeichnung „Freischneiden“ verwendet, 

weil man das Bauteil mit einem gedachten 

Schnitt von den angrenzenden Bauteilen 

trennt. 

Arbeitsplan zum Freimachen: 

1. Das Bauteil schematisiert ohne die angrenzenden 

Teile aufzeichnen. 

2. Die Angriffspunkte aller Kräfte und die 

Wirklinien dieser Kräfte festlegen. 

3. Den Richtungssinn in Bezug auf den freigemachten 

Körper eintragen. 

Für die zeichnerische Lösung maßstäblich 

zeichnen (Lageplan), für die rechnerische 

Lösung genügt die Lageskizze. 

Beispiel: 

Der Kranhaken soll freigemacht werden. 

Man nimmt den angehängten Zylinder weg 

und ersetzt ihn im Berührungspunkt durch 

die Gewichtskraft FG. Ebenso nimmt man 

das Seil weg (abschneiden) und ersetzt es 

durch die Zugkraft F ¼ FG.


1.1.7.3 Zweigelenkstäbe 

Zweigelenkstäbe können Zug- oder Druckkräfte 

aufnehmen, deren Wirklinie die Verbindungsgerade 

der Gelenkpunkte ist. Die 

Gelenke werden als reibungsfrei angesehen. 

(Regel 2) 

Die Form des Zweigelenkstabs hat keinen Einfluss; 

er kann gerade oder gekrümmt sein oder 

jede beliebige andere Form haben. Zweigelenkstäbe 

dürfen nur an zwei Punkten mit Nachbarbauteilen 

verbunden sein und keine Kräfte an 

anderen Stellen aufnehmen. Zwei Kräfte können 

nur dann im Gleichgewicht sein, wenn sie eine 

gemeinsame Wirklinie haben, die durch die beiden 

Gelenkpunkte (Kraftangriffspunkte) verlaufen 

muss. 

1.1.7.4 Berührungsflächen (ebene Stützflächen) 

Berührungsflächen können Normalkräfte und 

Tangentialkräfte aufnehmen. 

Normalkräfte wirken stets hin auf die Berührungsfläche 

am freigemachten Bauteil. 

(Regel 3) 

Berühren sich zwei Bauteile, so wirkt in jedem 

Fall zwischen beiden eine Normalkraft FN. Ihre 

Wirklinie steht immer rechtwinklig auf der Berührungsfläche. 

Die Tangentialkraft F T wird durch Reibung (Reibkraft 

F R) oder durch einen Rollwiderstand hervorgerufen. 

Ihre Wirklinie liegt immer in der Berührungsebene, 

also rechtwinklig zur Wirklinie der 

Normalkraft F N. Den Richtungssinn kann man in 

den meisten Fällen erkennen, wenn alle übrigen 

Kräfte am freigemachten Bauteil eingezeichnet 

wurden. Die Tangentialkraft F T ¼ Reibkraft F R 

wirkt der Bewegung entgegen, die durch die übrigen 

Kräfte verursacht wird oder verursacht werden 

könnte. 

Beispiel: 

Der Zweigelenkstab (Pendelstütze) stützt eine 

Plattform ab. 

Hier nimmt der Zweigelenkstab Druckkräfte 

auf. Er könnte aber auch Zugkräfte aufnehmen, 

z. B. wenn der Wind unter die Plattform 

fasst. 

Beispiel 1: 

Ein prismatischer Körper liegt auf einer waagerechten 

Unterlage (z. B. Richtplatte) in 

Ruhe. 

Gewichtskraft FG und Normalkraft FN haben 

gleiche Wirklinie und sind im Gleichgewicht. 

Beispiel 2: 

Der gleiche Körper liegt auf einer schiefen 

Ebene in Ruhe. 

Gewichtskraft FG und Normalkraft FN allein 

können nicht im Gleichgewicht sein. Der 

Körper würde abwärts gleiten, wenn ihn nicht 

die Tangentialkraft FT ¼ Reibkraft FR daran 

hindern würde.

14 

Auch wenn zwei Bauteile auf ihrer Berührungsfläche 

gegeneinander gleiten oder das eine auf 

dem anderen abrollt, wirkt immer eine Tangentialkraft 

F T ¼ Reibkraft F R. Der Richtungssinn ist in 

diesem Fall sicher zu erkennen: Auf das schnellere 

Bauteil wirkt die Reibkraft FR entgegen seiner 

Bewegungsrichtung, auf das langsamere wirkt sie 

in Bewegungsrichtung des schnelleren Bauteils. In 

vielen Fällen ist das „langsamere“ Bauteil eine 

ruhende Unterlage. 

Gleiten zwei Bauteile in entgegengesetzter Richtung 

aufeinander, so wirkt an beiden die Reibkraft 

entgegen der jeweiligen Bewegungsrichtung. 

Bleibt ein Bauteil in Ruhe, obwohl eine Verschiebekraft 

F versucht, es auf seiner Unterlage zu verschieben, 

so tritt auch bei waagerechter Berührungsfläche 

eine Reibkraft FR auf. Diese ist zur 

Aufrechterhaltung des Gleichgewichts erforderlich. 

1.1.7.5 Rollkörper (gewölbte Stützflächen) 

Rollkörper können Radialkräfte und Tangentialkräfte 

aufnehmen. 

Die Radialkräfte wirken immer auf den Berührungspunkt 

am freigemachten Körper. 

(Regel 4) 

Zwischen Rollkörper und Unterlage wirkt eine 

Radialkraft F r. Ihre Wirklinie verläuft durch den 

Berührungspunkt und den Rollkörpermittelpunkt. 

Die Bezeichnungen „Radialkraft“ und „Normalkraft“ 

sind gleichwertig, denn die Wirklinie der 

Radialkraft steht immer rechtwinklig (in Normalenrichtung) 

auf der Berührungstangente. 

Eine Tangentialkraft FT tritt am ruhenden Rollkörper 

nur unter den gleichen Bedingungen auf wie 

an Berührungsflächen (siehe Regel 3, Seite 13). 

Ihre Wirklinie ist die Tangente an den Rollkörper 

im Berührungspunkt und steht darum immer rechtwinklig 

zur Wirklinie der Radialkraft. 


Beispiel 3: 

Der Körper wird durch die Verschiebekraft F 

auf der Unterlage verschoben. 

Im Beispiel 1, ohne Verschiebekraft F, hatten 

Gewichtskraft FG und Normalkraft FN eine 

gemeinsame Wirklinie. Das ist hier im Beispiel 

3 anders: F und FT ¼ FR bilden ein 

rechtsdrehendes Kräftepaar. Bei Gleichgewicht 

stellt sich dann das linksdrehende 

Kräftepaar aus FG und FN ein. Die Kraftmomente 

M beider Kräftepaare sind gleich 

groß und gegensinnig (SM ¼ 0). 

Beispiel: 

Eine Rolle ruht auf einer waagerechten Ebene 

und stützt eine waagerecht liegende Platte ab. 

Die Berührungspunkte A und B liegen rechtwinklig 

übereinander. Die Radialkräfte FrA 

und F rB haben eine gemeinsame Wirklinie 

und sind im Gleichgewicht. Es wirkt keine 

Tangentialkraft.


1.1.7.6 Einwertige Lager (Loslager) 

Einwertige Lager (Loslager) können nur eine 

rechtwinklig zur Stützfläche wirkende Kraft 

aufnehmen (Normalkraft). 

Sie wirkt auf den freigemachten Lagerpunkt 

zu. 

Wirkungsanalyse: Wirklinie der Lagerkraft 

bekannt, Betrag unbekannt (eine Unbekannte). 

(Regel 5) 

Einwertige Lager werden für Träger auf zwei Stützen 

verwendet, um die Wärmeausdehnung in 

Längsrichtung nicht zu behindern, z. B. an Brückenträgern 

und Wellen. Bei zweifach gelagerten 

Trägern muss ein Lager ein Loslager sein. 

1.1.7.7 Zweiwertige Lager (Festlager) 

Zweiwertige Lager (Festlager) können eine 

beliebig gerichtete Kraft aufnehmen. 

Beim Freimachen ersetzt man die noch unbekannte 

Lagerkraft durch zwei rechtwinklig aufeinander 

stehende Komponenten F x und F y. 

Wirkungsanalyse: Wirklinie der Lagerkraft unbekannt, 

Betrag unbekannt (zwei Unbekannte). 

(Regel 6) 

Träger auf zwei Stützen, Wellen und Achsen erhalten 

ein zweiwertiges Lager (Festlager), um eine 

unzulässige Längsverschiebung zu verhindern. 

Zweiwertige Lager erkennt man am sichersten 

durch die Bewegungsprobe: 

Verschiebt man die Stützfläche des einwertigen 

Lagers in tangentialer Richtung, bleibt das 

gelagerte Bauteil in Ruhe. 

Beim zweiwertigen Lager bewegt sich das 

gelagerte Bauteil bei jeder Verschiebung der 

Unterlage mit. 

Beispiel 1: 

Träger auf zwei Stützen 

Lager B ist einwertig, wie die Bewegungsprobe 

ergibt. Also wirkt eine Normalkraft FB 

rechtwinklig zur Stützfläche. 

Lager A ist zweiwertig (Bewegungsprobe). 

Die dort wirkende noch unbekannte Lagerkraft 

FA ersetzt man durch zwei rechtwinklig 

aufeinander stehende Komponenten Fx und 

Fy und legt den Richtungssinn für die spätere 

Rechnung nach Augenschein fest. 

Der zunächst angenommene Richtungssinn 

der Lagerkraftkomponenten Fx und Fy wird 

bei der späteren Berechnung durch ein positives 

Vorzeichen bestätigt. Ein negatives Vorzeichen 

für Fx oder Fy zeigt den entgegengesetzten 

Richtungssinn an.

16 

Beim einwertigen Lager wirkt in der Verschiebeebene 

(hier vertikal) offenbar keine Kraft; wohl 

aber wirkt immer eine Normalkraft (hier horizontal). 

Das zweiwertige Lager dagegen nimmt Kräfte 

aus jeder beliebigen Richtung auf, so dass hier im 

Gegensatz zu den Regeln 1 bis 5 beim Freimachen 

die Wirklinie der Lagerkraft nicht eindeutig festliegt. 

Da aber nach dem Parallelogrammsatz jede 

Kraft in zwei Komponenten zerlegt werden kann, 

hilft man sich wie bereits auf Seite 15 (1.1.7.7) 

erläutert: Man zeichnet auf zwei rechtwinklig 

zueinander stehenden Wirklinien die beiden Komponenten 

ein. Dabei wird versucht, deren Richtungssinn 

unter Berücksichtigung der übrigen 

Kräfte zu bestimmen. Darum empfiehlt es sich, 

das zweiwertige Lager zuletzt freizumachen. 

Wellen sollen Drehmomente weiterleiten und die 

Zahnrad- oder Riemenkräfte über Wälz- oder 

Gleitlager auf das Gehäuse übertragen. Eines der 

Lager ist konstruktiv als Festlager, das andere als 

Loslager ausgebildet. 

Beispiel 2: 

Tür mit Halslager A und Spurlager B 

Bewegungsprobe: B ist zweiwertig, A ist einwertig. 

Den Stützhaken bei A wegnehmen: Die Tür 

dreht nach rechts. Folglich muss FA nach 

links wirken. Den Stützhaken bei B wegnehmen: 

Die Tür dreht nach links. F Bx wirkt also 

nach rechts. 

Beispiel 3: 

Getriebewelle mit Loslager A, Festlager B 

Auf das Zahnrad der skizzierten Getriebewelle 

wirken die beiden Zahnkraftkomponenten F x und 

F y. Zahnrad und Welle sind drehfest miteinander 

verbunden, z. B. durch eine Passfeder. Die waagerechte 

Komponente Fx wird allein vom Festlager B 

aufgenommen (F x ¼ F Bx), denn das Loslager A ist 

in waagerechter Richtung im Gehäuse verschiebbar. 

Es kann nur Normalkräfte aufnehmen, hier die 

Lagerkraft F A. Beachte: Außer Fx und Fy wirkt noch die 

Umfangskraft Fz in Normalenrichtung zur 

Die Stützkräfte FA, FBx und FBy werden später mit 

Hilfe der drei statischen Gleichgewichtsbedingungen 

SFx ¼ 0, SFy ¼ 0, SM ¼ 0 (siehe Abschnitt 

1.2.5.3, Seite 44) berechnet. 


Zeichenebene. Sie bewirkt die Drehung der 

Getriebewelle (siehe Lehrbeispiel Seite 371).


1.1.7.8 Dreiwertige Lager 

Dreiwertige Lager können eine beliebig gerichtete 

Kraft und ein Kraftmoment aufnehmen. 

Beim Freimachen ersetzt man die Lagerkraft 

durch zwei rechtwinklig aufeinander stehende 

Komponenten, das Kraftmoment durch den 

Momentendrehpfeil. 

Wirkungsanalyse: Wirklinie und Betrag der 

Lagerkraft unbekannt, Betrag des Kraftmoments 

(Einspannmoment) unbekannt (drei 

Unbekannte). (Regel 7) 

Beispiel: 

Eingespannter Freiträger 

Richtiges Freimachen ist die Voraussetzung für die richtige zeichnerische und rechnerische 

Lösung aller Statikaufgaben. 

Dabei hilft das systematische Vorgehen nach folgendem Arbeitsplan: 

Arbeitsplan zum Freimachen: 

Lageskizze des freizumachenden Bauteils zeichnen. 1. Schritt 

Kraftangriffspunkte (Berührungspunkte mit den Nachbarbauteilen) festlegen. 2. Schritt 

Wirklinien aller Kräfte nach den Regeln 1 bis 7 für das Freimachen einzeichnen. 3. Schritt 

Richtungssinn für alle Kraftpfeile nach den Regeln 1 bis 7 festlegen. 4. Schritt

18 

1.1.8 Ûbungen zum Freimachen 

1. Ûbung: Die skizzierte Leiter lehnt in A reibungsfrei 

am Mauerwerk und ist am Boden rutschfest 

gestützt. Beim Besteigen wird die Leiter mit 

der Gewichtskraft F G belastet. Die Leiter soll nach 

den besprochenen Regeln freigemacht werden, 

eine Aufgabe, die häufig Schwierigkeiten macht. 

Lösung: Nach dem Arbeitsplan wird zuerst die 

Lageskizze der Leiter gezeichnet und die Lagerpunkte 

A und B markiert. Das sind die Berührungsstellen 

derjenigen Mauerteile, die gedanklich 

weggenommen sind. Außerdem wird sofort die 

bekannte Gewichtskraft F G eingezeichnet. 

Nach dem Arbeitsplan sind nun die Wirklinien der 

Stützkräfte F A und F B einzuzeichnen. Bei zweifach 

gelagerten Bauteilen muss eines der beiden Lager 

einwertig sein. Das andere ist dann zweiwertig. 

Die Bewegungsprobe mit dem Mauerwerk um 

Punkt A zeigt, dass in einer Richtung keine Kräfte 

übertragen werden. Das ist das Kennzeichen eines 

einwertigen Lagers: Bei Verschiebungen parallel 

zur Leiter wird zwischen Mauer und Leiter keine 

Kraft übertragen, wenn die Reibung nicht berücksichtigt 

wird. 

Die Bewegungsprobe mit dem Mauerstück um B 

ergibt Lageveränderungen der Leiter in jeder Richtung. 

Das Lager ist zweiwertig und überträgt eine 

beliebig gerichtete Stützkraft mit x- und y-Komponenten. 

Das Ergebnis der Untersuchungen zeigt die vollständige 

Lageskizze der freigemachten Leiter. Die 

Wirklinie der Stützkraft F B an der zweiwertigen 

Lagerstelle ist nicht bekannt. Es können nur ihre 

x- und y-Komponenten eingetragen werden. Das 

ist für die zeichnerische oder rechnerische Lösung 

solcher Aufgaben ausreichend. 


Aufgabenskizze 

Beachte: Immer zuerst die einwertige Lagerstelle 

suchen. Dort ist die Wirklinie der Stützkraft 

bekannt. Diese ist eine Normalkraft. 

Bewegungsprobe: 

keine Lageveränderung 

bei Parallelverschiebung 

des 

einwertigen Lagers. 

Lageveränderung bei 

beliebiger Verschiebung 

des zweiwertigen 

Lagers.


2. Ûbung: Der skizzierte Wanddrehkran ist in dem 

oberen Halslager A und dem unteren Spurlager B 

drehbar. An seinem Lastseil trägt er ein Werkstück, 

das ihn auf der eingezeichneten Wirklinie mit der 

Gewichtskraft F G belastet. Der Schwenkarm des 

Kranes soll nach dem Arbeitsplan von Seite 17 

freigemacht werden. 

Lösung: Man skizziert den Schwenkarm in der 

vorgegebenen Lage zunächst wieder ohne Kraftangriffspunkte, 

Wirklinien und Kraftpfeile. 

In diesem Fall ist die von dem Werkstück hervorgerufene 

Gewichtskraft F G bereits mit Angriffspunkt, 

Wirklinie und Richtungssinn bekannt. Man 

zeichnet darum den Kraftpfeil bereits ein, bevor 

nach dem Arbeitsplan weitergegangen wird. 

Nachbarbauteile des Schwenkarms sind Lager A 

(Loslager) und Lager B (Festlager). 

Die Bewegungsprobe für beide Lager ergibt: Das 

Halslager A ist einwertig (Regel 5, Seite 15), denn 

es kann mit seiner Unterlage nach oben und unten 

verschoben werden, ohne dass sich der Schwenkarm 

bewegt. Verschiebt man dagegen das Spurlager 

B, so bewegt sich der Schwenkarm bei jeder 

beliebigen Verschiebung mit; das Spurlager B ist 

zweiwertig und wird nach Regel 6 freigemacht. 

Bei zweifach gelagerten Bauteilen bestimmt man 

den Richtungssinn der Lagerkräfte auf folgende 

Weise: Wird das obere Lager weggenommen, 

dreht der Schwenkarm oben nach rechts. Die 

Lagerkraft FA verhindert dies. 

Wird aber nur das untere Lager weggenommen, 

dann dreht der Schwenkarm unten nach links und 

fällt außerdem nach unten. Beides müssen die 

Lagerkraftkomponenten F Bx und F By verhindern. 


Die Kraftangriffspunkte A 

und B einzeichnen. 

1. Schritt 

2. Schritt 

3. Schritt 

Die Wirklinie der Halslagerkraft FA liegt 

horizontal (Normalkraft), weil die Lagerfläche 

vertikal steht. Die Wirklinien der Komponenten 

der Spurlagerkraft FB werden in Richtung 

der Lagerachse und rechtwinklig dazu eingezeichnet. 

4. Schritt 

Auf der Wirklinie der Halslagerkraft FA einen 

nach links gerichteten Kraftpfeil einzeichnen, 

weil nur dann der Schwenkarm am Wegdrehen 

nach rechts gehindert werden kann. 

Auf der horizontalen Wirklinie von FBx einen 

nach rechts gerichteten und auf der vertikalen 

Wirklinie von FBy einen nach oben gerichteten 

Kraftpfeil einzeichnen.

20 

3. Ûbung: Der aufwärts fahrende Wagen eines 

Schrägaufzugs soll freigemacht werden. 

Hierbei ist zu beachten, dass der Wagen mitsamt 

seiner Ladung als Ganzes freizumachen ist und 

nicht seine Einzelteile. Sonst müsste es z. B. 

heißen: Der Tragrahmen des Wagens ist freizumachen. 

Lösung: Man skizziert den Wagen in seiner 

augenblicklichen, schräg stehenden Betriebslage, 

und zwar zunächst wieder ohne Festlegung der 

Kraftangriffspunkte, Wirklinien und Kraftpfeile. 

Hier muss die Gewichtskraft F G berücksichtigt 

werden, sonst könnten zwischen dem Wagen und 

seinen Nachbarbauteilen keine Kräfte wirken. 

Im Zughaken ist das Seil eingehängt, die Räder 

berühren die Fahrbahn. Seil und Fahrbahn sind die 

Nachbarbauteile des Wagens. 

Die Gewichtskraft F G wirkt immer auf der Lotrechten. 

Am Zughaken wird nach Regel 1 freigemacht, 

denn dort ist ein Seil weggenommen. Die 

Räder werden nach Regel 4 (Seite 14) für Rollkörper 

freigemacht. Da der Wagen rollt, wirken an 

beiden Rädern Radial- und Tangentialkräfte. 

Die Gewichtskraft F G wirkt immer nach unten. 

Die Seilkraft F zieht am Zughaken. Die Radialkräfte 

Fr sind auf die Räder zu gerichtet. Die Tangentialkräfte 

F T versuchen den Wagen zu bremsen, 

weil er schneller ist als die ruhende Fahrbahn. 




1. Schritt 

2. Schritt 

In der Skizze den Schwerpunkt S des Wagens, 

den Zughaken und die Auflagepunkte A und B 

der beiden Räder als Kraftangriffspunkte 

kennzeichnen. 

3. Schritt 

Durch den Schwerpunkt S die lotrechte Wirklinie 

der Gewichtskraft FG zeichnen. Die 

Wirklinie der Seilkraft liegt in Seilrichtung. 

Die Wirklinien der Radialkräfte verlaufen 

durch die Berührungs- und Radmittelpunkte, 

die der Tangentialkräfte rechtwinklig dazu. 

4. Schritt 

Die Kraftpfeile einzeichnen: 

FG nach unten, F als Zugkraft vom Zughaken 

weg, Fr nach links oben und FT der Bewegung 

des Wagens entgegen nach links unten.

1.2 Die Grundaufgaben der Statik 21 

1.2 Die Grundaufgaben der Statik 

1.2.1 Zentrales und allgemeines Kräftesystem 

Unter einem Kräftesystem versteht man beliebig 

viele Kräfte, die gleichzeitig an einem Bauteil wirken. 

Ein zentrales Kräftesystem liegt vor, wenn sich die 

Wirklinien aller Kräfte in einem gemeinsamen 

Punkt schneiden. Man nennt diesen Schnittpunkt 

den Zentralpunkt A des Kräftesystems. Nach dem 

Längsverschiebungssatz können alle Kräfte des 

Systems auf ihren Wirklinien in diesen Zentralpunkt 

verschoben werden. Ein zentrales Kräftesystem 

kann einen Körper nur verschieben, aber nicht 

drehen. 

Ein allgemeines Kräftesystem besteht aus Kräften, 

deren Wirklinien mehr als einen Schnittpunkt miteinander 

haben. 

Allgemeine Kräftesysteme können genauso wie 

zentrale Kräftesysteme einen Körper verschieben. 

Sie können ihn aber außerdem drehen oder beide 

Bewegungen gleichzeitig hervorrufen. 

1.2.2 Die zwei Hauptaufgaben 

1. Hauptaufgabe: In einem Kräftesystem sind alle 

Kräfte nach Betrag, Lage und Richtungssinn bekannt. 

Um eine Aussage über die Wirkung des Kräftesystems 

auf ein Bauteil machen zu können 

(z. B. Verschiebung), müssen die resultierende 

Kraft F r und das resultierende Kraftmoment M r 

ermittelt werden. 

2. Hauptaufgabe: In einem Kräftesystem, das 

sich im Gleichgewicht befindet, ist nur ein Teil der 

Kräfte bekannt. 

Um eine Festigkeitsrechnung an einem Bauteil 

ausführen zu können, müssen die noch unbekannten 

Kräfte ermittelt werden. 

Zentrales Kräftesystem 

Allgemeines Kräftesystem 

bekannt: F 1, F 2, F 3 

gesucht: Fr, Mr 

bekannt: F1, F2, F3 

gesucht: FAx, FAy, FB

22 

1.2.3 Die zwei Lösungsmethoden 

Jede der beiden Hauptaufgaben ist auf zweierlei 

Weise lösbar: rechnerisch und zeichnerisch. 

Die rechnerische Lösung erfordert 

a) eine unmaßstäbliche Lageskizze, die alle Kräfte 

als Kraftpfeile sowie alle erforderlichen Längenmaße 

und Winkel – insbesondere die zwischen 

den Wirklinien der Kräfte und einer Bezugsachse 

– enthalten muss, und 

b) den rechnerischen Ansatz in Form einer Gleichung 

oder eines Gleichungssystems, das aus 

der Lageskizze entwickelt wird. 

Die zeichnerische Lösung erfordert 

a) einen maßstäblich aufgezeichneten Lageplan, 

der das Bauteil (meist in vereinfachter Darstellung) 

mit allen, ebenfalls maßstäblich eingezeichneten 

Wirklinien darstellt, und 

b) einen Kräfteplan, der alle Kräfte maßstabs- und 

richtungsgerecht enthält. 

Hinweis: Bei der rechnerischen Lösung kann 

man „analytisch“ vorgehen (analytische Methode) 

oder Kraftecke „trigonometrisch“ auswerten. 

Zur analytischen Lösung legt man 

die Kraftpfeile in ein rechtwinkliges Achsenkreuz 

und arbeitet mit ihren Komponenten 

(x- und y-Komponenten). Meist wird das 

Gleichungssystem aus den drei Gleichgewichtsbedingungen 

SFx ¼ 0, SFy ¼ 0, 

SM ¼ 0für ebene Kräftesysteme entwickelt. 

Hinweis: Lageplan und Kräfteplan werden 

stets auf einem Blatt aufgezeichnet. 

Längen- und Kräftemaßstab werden so gewählt, 

dass die Pläne nicht zu klein werden. 

Der Lageplan wird zuerst gezeichnet, und 

daraus wird der Kräfteplan durch Parallelverschiebung 

der Wirklinien aus dem Lageplan 

in den Kräfteplan entwickelt. 

Zeichnen Sie immer zwei getrennte Pläne! 

1.2.4 Die vier Grundaufgaben der Statik im zentralen ebenen Kräftesystem 

1.2.4.1 Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (erste Grundaufgabe) 

Aufgabe: Ein zentrales Kräftesystem besteht aus 

den Kräften F1 ¼ 15 N, F2 ¼ 40 N und 

F 3 ¼ 30 N. Die zugehörigen Richtungswinkel sind 

a1 ¼ 30 , a2 ¼ 135 und a3 ¼ 280 . 

Zu berechnen sind der Betrag der Resultierenden 

F r und ihr Richtungswinkel ar nach der analytischen 

Methode, d. h. durch Kräftezerlegung im 

rechtwinkligen Koordinatensystem mit den vier 

Quadranten I, II, III und IV. 

Vorüberlegung: Der rechnerischen Lösung dieser 

Aufgabe liegen folgende Gedanken zugrunde: 

Jede Kraft wird in die beiden rechtwinklig aufeinander 

stehenden Komponenten in Richtung der 

Achsen des rechtwinkligen Achsenkreuzes zerlegt. 

Als Bezugswinkel für die Wirklinie der Kräfte 

wird stets der Winkel a verwendet, den die Kraft 




mit der positiven x-Achse einschließt, und zwar im 

positiven Linksdrehsinn von 0 bis þ360 (Richtungswinkel). 

Man erhält dann Berechnungsgleichungen, 

die immer wieder in derselben Form gebraucht 

werden können. 

Den Richtungssinn der Kraftkomponenten F x und 

F y zeigt der Rechner durch das Vorzeichen im 

Ergebnis an. Das negative Vorzeichen für eine 

x-Komponente zeigt den Richtungssinn „nach 

links“, für eine y-Komponente „nach unten“ an. 

Die Gleichungen zur Berechnung der rechtwinklig 

aufeinander stehenden Komponenten werden in 

der allgemeinen Form geschrieben. Der Buchstabe 

n steht für den Index 1, 2, 3, ... der Kräfte F und 

ihrer Richtungswinkel a. 

Die x-Komponenten F nx sind die Produkte aus den 

Kraftbeträgen F n und dem Kosinus der Richtungswinkel 

an. Bei den y-Komponenten tritt an die 

Stelle der Kosinusfunktion die Sinusfunktion. 

Die Summe der x-Komponenten der Einzelkräfte 

ist die x-Komponente F rx der gesuchten Resultierenden 

(Frx ¼ SFnx). Gleiches gilt für die y-Komponente 

F ry der Resultierenden (Fry ¼ SFny). 

Wird immer der Richtungswinkel eingesetzt, zum 

Beispiel a2 ¼ 135 , braucht man sich nicht um 

den Richtungssinn der Komponenten zu kümmern. 

Der Rechner nimmt das jeweilige Vorzeichen bei 

der Addition mit. 

Weil die beiden Komponenten F rx und F ry rechtwinklig 

aufeinander stehen, kann mit dem Lehrsatz 

des Pythagoras der Betrag F r der Resultierenden 

berechnet werden, denn F r ist die Diagonale 

des rechtwinkligen Kraftecks aus F rx, F ry und F r. 

Die Komponenten einer unter dem Richtungswinkel 

a geneigten Kraft sind: 

Fx ¼ F cos a Fy ¼ F sin a 

Beispiel: Nach der Aufgabenskizze schließt 

die Kraft F 2 ¼ 40 N mit der positiven x-Achse 

den Richtungswinkel a2 ¼ 135 ein. Dazu 

liefert der Rechner: 

F2x ¼ F2 cos a2 ¼ 40 N cos 135 ¼ 28,28 N 

F2y ¼ F2 sin a2 ¼ 40 N sin 135 ¼þ28,28 N 

Die Kraftkomponente F2x wirkt nach links, 

F2y wirkt nach oben. 

Fnx ¼ Fn cos an 

Berechnung der x-Komponenten 

Fny ¼ Fn sin an 

Berechnung der y-Komponenten 

Frx ¼ SFnx 

Frx ¼ F1 cos a1 þF2 cos a2 þ...þFn cos an 

x-Komponente der Resultierenden F r 

Fry ¼ SFny 

Fry ¼ F1 sin a1 þF2 sin a2 þ...þFn sin an 

y-Komponente der Resultierenden Fr 

Fr ¼ 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

Frx 2 þ Fry 2 

q 

Betrag der Resultierenden Fr

24 

Der Richtungswinkel ar der Resultierenden kann 

nicht auf direktem Weg ermittelt werden. Man 

braucht erst den spitzen Winkel b r, den die Wirklinie 

der Resultierenden F r mit der x-Achse einschließt. 

Es ist gleichgültig, in welchem Quadranten 

die Resultierende liegt. Dieser spitze Winkel b r 

kann im rechtwinkligen Dreieck mit der Tangensfunktion 

ermittelt werden, denn die beiden Katheten 

F rx und F ry sind jetzt bekannt. 

Damit sich keine negativen Winkel ergeben, darf 

nur mit den Beträgen gerechnet werden. 

Je nach Lage der Resultierenden Fr im rechtwinkligen 

Achsenkreuz ergeben sich folgende Gleichungen 

zur Berechnung des Richtungswinkels ar. 

F r liegt im I. Quadranten: 

In diesem Fall ist der Richtungswinkel ar gleich 

dem spitzen Winkel b r zwischen der positiven 

x-Achse und der Wirklinie der Resultierenden. Die 

Resultierende Fr liegt nur dann im I. Quadranten, 

wenn die Komponentenberechnung ergibt: 

Frx ! positives Vorzeichen ðFrx 0Þ 

Fry ! positives Vorzeichen ðFry 0Þ 

Fr liegt im II. Quadranten: 

Der spitze Winkel br liegt zwischen der negativen 

x-Achse und der Wirklinie der Resultierenden. Die 

Resultierende Fr liegt nur dann im II. Quadranten, 


Frx ! negatives Vorzeichen ðFrx < 0Þ 

Fry ! positives Vorzeichen ðFry 0Þ 

Fr liegt im III. Quadranten: 

Der spitze Winkel br liegt zwischen der negativen 

x-Achse und der wirklinie der Resultierenden. 

Die Resultierende Fr liegt nur dann im III. Quadranten, 


Frx ! negatives Vorzeichen ðFrx < 0Þ 

Fry ! negatives Vorzeichen ðFry < 0Þ 

tan b r ¼ jFryj 

jFrxj 

b r ¼ arctan jFryj 

jFrxj 

ar ¼ b r 

ar ¼ arctan jFryj 

jFrxj 

ar ¼ 180 b r 

ar ¼ 180 arctan jFryj 

jFrxj 


Hinweis: Die Größen 

Fry und Frx stehen in 

sogenannten Betragsstrichen, 

d. h. es sind 

nur die Beträge (ohne 

Vorzeichen) einzusetzen. 

ar ¼ 180 þ b r 

ar ¼ 180 þ arctan jFryj 

jFrxj


F r liegt im IV. Quadranten: 

Der spitze Winkel b r liegt zwischen der positiven 

x-Achse und der Wirklinie der Resultierenden. 

Die Resultierende F r liegt nur dann im IV. Quadranten, 


Frx ! positives Vorzeichen ðFrx 0Þ 

Fry ! negatives Vorzeichen ðFry < 0Þ 

Lösung: Zu berechnen ist die Resultierende Fr des 

gegebenen Kräftesystems. Zuerst werden die gegebenen 

Beträge der Kräfte F 1, F 2 und F 3 und ihre 

Richtungswinkel a 1, a 2 und a 3 aufgeschrieben. 

Zur Berechnung der Komponenten F rx und F ry der 

Resultierenden F r werden die Produktsummen gebildet. 

Die gegebenen und berechneten Größen können 

auch in eine Tabelle eingetragen werden. Durch 

Addition der Spalten für F nx und F ny erhält man 

die beiden Komponenten F rx und F ry der Resultierenden 

F r. 

n Fn an Fnx ¼ Fn cos an Fny ¼ Fn sin an 

1 15N 30 þ12,99 N þ 7,50 N 

2 40 N 135 28,28 N þ28,28 N 

3 30 N 280 þ 5,21 N 29,54 N 

Frx ¼ 10,08 N Fry ¼þ 6,24 N 

Der Betrag der Resultierenden wird mit dem Lehrsatz 

des Pythagoras berechnet. 

ar ¼ 360 b r 


jFrxj 

Gegeben: 

F1 ¼ 15 N a1 ¼ 30 

F2 ¼ 40 N a2 ¼ 135 

F3 ¼ 30 N a3 ¼ 280 

Frx ¼ð15 cos 30 þ 40 cos 135 þ 

þ 30 cos 280 Þ N 

Frx ¼ 10,08 N 

Fry ¼ð15 sin 30 þ 40 sin 135 þ 

þ 30 sin 280 Þ N 

Fry ¼þ6,24 N 

Fr ¼ 



q 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

¼ ð 10,08 NÞ 2 þð6,24 NÞ 2 

q 

Fr ¼ 11,855 N

26 

Die x-Komponente F rx der Resultierenden hat das 

negative Vorzeichen, die y-Komponente F ry hat 

das positive Vorzeichen. Die Resultierende Fr liegt 

also im II. Quadranten. Damit liegt die Gleichung 

zur Berechnung des Richtungswinkels ar der 

Resultierenden fest. 


jFrxj 

ar ¼ 180 

6,24 N 

arctan 

10,08 N 

ar ¼ 180 31,76 

ar ¼ 148,24 

Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung der Resultierenden: 

Lageskizze mit allen gegebenen Kräften unmaßstäblich in ein rechtwinkliges 

Koordinatensystem eintragen. 

Gegebene Kraftbeträge F1; F2; F3 ...und Richtungswinkel a1; a2; a3 ...aufschreiben. 

Richtungswinkel von der positiven x-Achse von 0 

Linksdrehsinn festlegen. 

bis 360 im 

Mit den Kraftbeträgen und Richtungswinkeln die Komponenten Frx und Fry 

der Resultierenden Fr berechnen. 

Betrag der Resultierenden Fr aus den Komponenten Frx und Fry berechnen 

(Pythagoras). 

Aus den Vorzeichen für die Komponenten F rx und F ry den Quadranten für 

die Resultierende F r feststellen. 

1.2.4.2 Zeichnerische Ermittlung der Resultierenden (zweite Grundaufgabe) 

Aufgabe: Das gleiche zentrale Kräftesystem wie 

in der vorhergehenden Aufgabe soll nun zeichnerisch 

reduziert werden. Zur Ermittlung der Resultierenden 

F r und ihres Richtungswinkels ar muss 

maßstäblich in einem Lageplan und in einem Kräfteplan 

gearbeitet werden. 

Die Aufgabenskizze zeigt die gegebenen Kräfte, 

nachdem sie auf ihren Wirklinien in den gemeinsamen 

Zentralpunkt A verschoben wurden. 


1. Schritt 

2. Schritt 

3. Schritt 

4. Schritt 

5. Schritt 

Richtungswinkel ar der Resultierenden F r berechnen. 6. Schritt 

Aufgabenskizze


Lösung: Zuerst wird ein Lageplan gezeichnet. 

Grundlage dafür ist ein rechtwinkliges Achsenkreuz, 

dessen Schnittpunkt der Zentralpunkt A des 

Kräftesystems ist. Durch diesen Zentralpunkt 

werden mit den gegebenen Richtungswinkeln 

a1 ¼ 30 , a2 ¼ 135 und a3 ¼ 280 die Wirklinien 

aller gegebenen Kräfte gelegt. 

Je genauer im Lageplan die Winkel angetragen 

sind, desto genauer wird das Ergebnis. 

Für den Kräfteplan wird ein Anfangspunkt A festgelegt 

und durch ihn eine Parallele zu einer der 

drei Kräfte (hier F 3) gezeichnet. Der Kräfteplan 

wird weiterentwickelt, indem in gleicher Weise 

durch Parallelverschiebung die übrigen Kräfte in 

beliebiger Reihenfolge maßstabsgerecht und richtungsgemäß 

sich so aneinander reihen, dass sich 

ein fortlaufender, offener Kräftezug mit dem Endpunkt 

E ergibt. 

Die Resultierende F r ist die Verbindungslinie 

zwischen Anfangspunkt A und Endpunkt E des 

Kräftezugs. Ihr Richtungssinn weist vom Anfangspunkt 

zum Endpunkt. 

Aus der Länge der Verbindungslinie von A nach E 

kann mit Hilfe des festgelegten Kräftemaßstabs 

der Betrag der Resultierenden berechnet werden. 

Die Resultierende wird nun aus dem Kräfteplan 

parallel in den Zentralpunkt A des Lageplans verschoben 

und der Richtungswinkel ar abgelesen. 

Jetzt steht fest, wie sich der Körper unter der Einwirkung 

der gegebenen Kräfte verhält, d. h. ob 

und in welcher Richtung er sich verschiebt. Zugleich 

erkennt man, welche zusätzliche Kraft (hier 

F4) im Zentralpunkt A wirken müsste, wenn 

Gleichgewicht hergestellt werden soll. 


Lageplan 

Gemessen wird für Fr: Lr ¼ 1,2 cm 

Damit wird 

Fr ¼ L rMK ¼ 1,2 cm 10 N 

cm 

Fr ¼ 12 N. 

Kräfteplan 

Kräftemaßstab: 

MK ¼ 10 N 

cm 

ð1 cm¼b 10 NÞ 

Im Lageplan wird der Richtungswinkel gemessen: 

ar ¼ 148 . 

Ergebnis: 

Die Resultierende wirkt mit 12 N unter einem 

Winkel von 148 zur positiven x-Achse nach 

links oben. 

Unter der Wirkung der Kräfte F1, F2 und F3 

verschiebt sich der Körper unter 148 zur 

positiven x-Achse so nach links oben, als ob 

eine Kraft von 12 N allein auf ihn einwirken 

würde. 

Um den Körper im Gleichgewicht zu halten, 

müsste man auf der Wirklinie von Fr mit 

12 N nach rechts unten ziehen (im Lageplan 

gestrichelt eingezeichnete Gleichgewichtskraft 

F4).

28 

Arbeitsplan zur zeichnerischen Ermittlung der Resultierenden: 

Lageplan mit den Wirklinien aller Kräfte winkelgetreu in ein rechtwinkliges 1. Schritt 

Achsenkreuz einzeichnen. 

Im Kräfteplan die gegebenen Kräfte entsprechend dem gewählten Kräfte- 2. Schritt 

maßstab MK in beliebiger Reihenfolge maßstäblich aneinander reihen. 

Anfangs- und Endpunkt des Kräftezuges verbinden, Richtungssinn eintra- 3. Schritt 

gen. 

Resultierende Fr in den Zentralpunkt des Lageplans übertragen. 4. Schritt 

Ergebnisse abmessen (Betrag und Richtungswinkel). 5. Schritt 

1.2.4.3 Rechnerische Ermittlung unbekannter Kräfte (dritte Grundaufgabe), 

die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen 

Aufgabe: Dasselbe Kräftesystem wie in der ersten 

und zweiten Grundaufgabe mit den bekannten 

Kräften F1, F2 und F3 soll jetzt durch zwei Kräfte 

(F4 und F5) ins Gleichgewicht gesetzt werden. Die 

Kräfte F4 und F5 sind nach der analytischen 

Methode zu ermitteln. 

Lösung: Man zeichnet eine unmaßstäbliche Lageskizze 

mit allen Kräften. Für die Kräfte F 4 und F 5 

ist nur die Lage ihrer Wirklinien im rechtwinkligen 

Achsenkreuz (a4 ¼ 15 , a5 ¼ 60 ) bekannt. Für 

den Richtungssinn der beiden Kräfte F 4 und F 5 

wird folgende Richtungsannahme festgelegt (Richtungsregel): 

Der Richtungssinn einer gesuchten Kraft wird 

beliebig festgelegt. 

Ob die Richtungsannahme richtig oder falsch war, 

stellt sich bei der späteren Rechnung heraus: 

Haben die gesuchten Kräfte ein positives Vorzeichen, 

war die Richtungsannahme richtig. Das 

negative Vorzeichen zeigt, dass die Richtungsannahme 

falsch war. Diese Kraft wirkt in Wirklichkeit 

in entgegengesetzter Richtung. 



Lageskizze zur rechnerischen Lösung 

(angenommener Richtungssinn für 

F4 und F5 im I. Quadrant)


Die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen 

sind: 

Ein zentrales Kräftesystem ist im Gleichgewicht, 

wenn 

die Summe aller Kräfte in x-Richtung 

und 

die Summe aller Kräfte in y-Richtung gleich 

null ist. 

Setzt man die Summe aller Kräfte oder Kraftkomponenten 

in beiden Richtungen des rechtwinkligen 

Koordinatensystems gleich null, erhält man ein 

Gleichungssystem (I und II), das nach den beiden 

Unbekannten F 4 und F 5 aufgelöst werden kann. 

Der Betrag für F 5 hat ein negatives Vorzeichen, 

das heißt, der angenommene Richtungssinn war 

falsch. Der errechnete Betrag ist richtig, nur wirkt 

die Kraft im entgegengesetzten Sinn als angenommen. 

(Pfeilrichtung im Lageplan umkehren) 

Hat die zuerst errechnete Kraft ein Minus-Vorzeichen 

(hier F 5), muss es in der weiteren Rechnung 

mitgeführt werden. 

Um Gleichgewicht zu erreichen, muss auf den vorgegebenen 

Wirklinien die Kraft F4 mit 16,76 N 

nach rechts oben, die Kraft F 5 mit 12,21 N nach 

links unten wirken. 

I. SFx ¼ 0 ¼ SFnx þ F4 cos a4 þ F5 cos a5 

II. SFy ¼ 0 ¼ SFny þ F4 sin a4 þ F5 sin a5 

Beide Gleichungen nach F4 aufgelöst und 

gleichgesetzt ergibt eine Gleichung für F5: 

I. F4 ¼ SFnx F5 cos a5 

cos a4 

II. F4 ¼ SFny F5 sin a5 

sin a4 

SFnx sin a4 F5 cos a5 sin a4 ¼ 

¼ SFny cos a4 F5 sin a5 cos a4 

F5ðcos a5 sin a4 sin a5 cos a4Þ ¼ 

¼ SFny cos a4 SFnx sin a4 

F5 ¼ SFny cos a4 SFnx sin a4 

cos a5 sin a4 sin a5 cos a4 

(SFny ¼ 6,24 N von Seite 25) 

6,24 N cos 15 ð 10,08 NÞ sin 15 

F5 ¼ 

cos 60 sin 15 sin 60 cos 15 

F5 ¼ 12,21 N 

Mit F5 kann nun F4 nach Gleichung I bestimmt 

werden (Minus-Vorzeichen mitnehmen): 

F4 ¼ SFnx F5 cos a5 

cos a4 

(SFnx ¼ 10,08 N von Seite 25) 

F4 ¼ 

ð 10,08 NÞ ð 12,21 NÞ cos 60 

cos 15 

F4 ¼ 16,76 N 

Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung unbekannter Kräfte: 

Lageskizze mit allen gegebenen und gesuchten Kräften zeichnen, dabei den 1. Schritt 

Richtungssinn der gesuchten Kräfte nach der Richtungsregel annehmen. 

Gleichgewichtsbedingungen ansetzen (SFx ¼ 0, SFy ¼ 0). 2. Schritt 

Gleichungssystem auflösen und unbekannte Kräfte berechnen. 3. Schritt 

Bei negativem Betrag für eine berechnete Kraft zum Schluss den angenommenen 

Richtungssinn umkehren. 

4. Schritt

30 

Lehrbeispiel: Rechnerische Bestimmung der Resultierenden Fr eines zentralen 

Kräftesystems 

Gegebene Kräfte und Winkel nach Tabelle. 

–x 

II 

III 

n Fn an Fnx ¼ Fn cos an Fny ¼ Fn sin an 

1 20N 20 þ18,794 N þ 6,840 N 

2 40N 75 þ10,353 N þ38,637 N 

3 50 N 150 43,301 N þ25,0 N 

4 80 N 270 80,0 N 

5 45 N 290 þ15,391 N 42,286 N 

6 35 N 350 þ34,468 N 6,078 N 

F 3 

Lageskizze 

α r 

F 4 

+y 

–y 

F 5 

F 2 

F 6 

F r 

Frx ¼þ35,705 N Fry ¼ 57,886 N 

F 1 

Nun kann Fr berechnet werden: 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

Fr ¼ Frx 2 þ Fry 2 

q 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

¼ ðþ35,705 NÞ 2 þð 57,886 NÞ 2 

q 

¼ 68,01 N 

I 

IV 

+x 

Frx ¼ SFnx ¼ F1x þ F2x þ F3x þ ...þ F6x ¼þ35,705 N 

Fry ¼ SFny ¼ F1y þ F2y þ F3y þ ...þ F6y ¼ 57,886 N 

F rx hat ein positives Vorzeichen, F ry ein negatives Vorzeichen. Damit liegt die Gleichung zur Berechnung 

des Richtungswinkels ar fest: 

ar ¼ 360 arctan jFry j 

jFrx j 

57,866 N 

¼ 360 arctan ¼ 301,7 

35,705 N 



Lehrbeispiel: Zeichnerische Bestimmung der Resultierenden Fr eines zentralen 

F 3 

Lösung: 

Kräftesystems 

F 1 

–x +x 

F6 Gegebene Kräfte und Winkel wie im 

vorhergehenden Lehrbeispiel: 

Kräfte Richtungs- spitzer Winkel 

winkel a zur x-Achse 

F1 ¼ 20 N a1 ¼ 20 b 1 ¼ 20 

F2 ¼ 40 N a2 ¼ 75 b 2 ¼ 75 

F3 ¼ 50 N a3 ¼ 150 b 3 ¼ 30 

F4 ¼ 80 N a4 ¼ 270 b 4 ¼ 90 

F5 ¼ 45 N a5 ¼ 290 b 5 ¼ 70 

F6 ¼ 35 N a6 ¼ 350 b 6 ¼ 10 

Die Wirklinien der Kräfte F1 ...F6 werden unter den gegebenen Winkeln in den Lageplan eingezeichnet. 

Anschließend werden im Kräfteplan durch Parallelverschiebung der Wirklinien die Kräfte F1 ...F6 in beliebiger 

Reihenfolge maßstabsgerecht aneinander gereiht. Die Resultierende Fr ist dann der Pfeil vom Anfangspunkt 

A der ersten Kraft zum Endpunkt E der letzten Kraft. 

+y 

Lageplan Kräfteplan 

WL 3 

β 3 

F g 

α5 

α 4 

α 6 

+y 

α 3 

–y 

–y 

F 4 

F 2 

F 5 

α 2 

α 1 

–x +x 

β 4 

WL 4 

WL 2 

β 5 

WL 5 

βr 

β 2 

β 6 

WL 1 

F r 

β 1 

WL 6 


MK ¼ 25 N 

cm 


Ergebnis: 

Fr ¼ 2,7 cm 25 N 

cm 

br ¼ 58 

¼ 67,5 N 

Damit sind die Resultierende Fr ¼ 67,5 N und br ¼ 58 bestimmt und Fr kann in den Lageplan übertragen 

werden. 

(Die Gleichgewichtskraft Fg ist gleich Fr, nur entgegengesetzt gerichtet.) 

F 4 

F 5 

F 3 

A 

β r 

F 1 

F 6 

F 2 

F r 

E

32 

1.2.4.4 Zeichnerische Ermittlung unbekannter Kräfte (vierte Grundaufgabe), 

die zeichnerische Gleichgewichtsbedingung 

Aufgabe: Dieselben Gleichgewichtskräfte F 4 und 

F 5 wie in der vorhergehenden Aufgabe (dritte 

Grundaufgabe) sollen nun zeichnerisch ermittelt 

werden (Betrag und Richtungssinn). Auch hier 

sind die Wirklinien bekannt: F 4 und F 5 schließen 

mit der positiven x-Achse die Winkel a4 ¼ 15 

und a5 ¼ 60 ein. 

Vorüberlegung: Ein Körper kann nur dann im 

Gleichgewicht sein, wenn die Resultierende aller 

an ihm wirkenden Kräfte gleich null ist. Das bedeutet, 

dass im Kräfteplan Anfangspunkt und Endpunkt 

des Kräftezuges zusammenfallen. Es ergibt 

sich ein geschlossener Kräftezug. 

Lösung: Wie in der zweiten Grundaufgabe wird 

ein Lageplan gezeichnet. Grundlage ist auch hier 

wieder ein rechtwinkliges Achsenkreuz, dessen 

Schnittpunkt der Zentralpunkt A des Kräftesystems 

ist. Durch diesen Punkt legt man die Wirklinien 

aller Kräfte, also auch die Wirklinien der noch 

unbekannten Gleichgewichtskräfte F 4 und F 5. 


Lageplan mit allen Wirklinien 



Für den Kräfteplan wird der Anfangspunkt A und 

der Kräftemaßstab festgelegt. 

Man legt eine Parallele zu einer der Wirklinien der 

bekannten Kräfte durch den Anfangspunkt A des 

Kräfteplans und zeichnet dort die entsprechende 

Kraft mit der maßstabsgerechten Länge ein (z. B. 

F 1). In gleicher Weise wird mit den übrigen bekannten 

Kräften verfahren, und man erhält wieder 

einen offenen Kräftezug von A nach E 0 . Zur Wirklinie 

einer der beiden unbekannten Kräfte F4 oder 

F 5 wird eine Parallele durch den Punkt E 0 des 

Kräfteplans gelegt, die dort den Kräftezug fortsetzen 

soll. 

Zur Wirklinie der anderen unbekannten Kraft wird 

eine Parallele durch den Anfangspunkt A des Kräftezugs 

gezeichnet. Die beiden zuletzt gezeichneten 

Linien schneiden sich in einem Punkt. Sie bilden 

dadurch gemeinsam mit den gegebenen Kräften 

ein geschlossenes Krafteck. 

Der Schnittpunkt der Parallelen zu den Wirklinien 

von F 4 und F 5 bestimmt im Kräfteplan die Länge 

der Kraftpfeile F 4 und F 5. Mit Hilfe des Kräftemaßstabs 

werden die Beträge der beiden Kräfte 

berechnet. 

Der Richtungssinn ergibt sich aus der Notwendigkeit, 

dass der fortlaufende Kräftezug in seinen Anfangspunkt 

zurückkehrt. Alle Kräfte müssen im 

Sinn eines „Einbahnverkehrs“ aneinander gereiht 

werden. 

Die zeichnerische Gleichgewichtsbedingung lautet 

also: 

Ein zentrales Kräftesystem ist im Gleichgewicht, 

wenn sich das Krafteck schließt. 

Kräfteplan 


MK ¼ 10 N 

cm 


Ist der Kräftezug F1, F2, F3 (in beliebiger 

Reihenfolge) aufgezeichnet, kann er mit F4 

(dünne Linie nach rechts oben) oder F5 

(dicker Kraftpfeil nach links unten) fortgesetzt 

werden. Die letzte noch verbleibende 

Kraft muss dann in den Anfangspunkt A 

zurücklaufen (Kraftpfeil F4 nach rechts oben 

oder dünne Linie nach links unten). Nur dann 

wird die Resultierende gleich null. 

Gemessen wird: 

F4 ¼ 1,66 cm 10 N 

¼ 16,6 N 

cm 

F5 ¼ 1,25 cm 10 N 

¼ 12,5 N 

cm 

Ergebnis: 

Um die Kräfte F1, F2, F3 im Gleichgewicht 

zu halten, müssen auf ihren vorgegebenen 

Wirklinien die Kraft F4 mit 16,6 N nach der 

„Einbahnverkehrs“-Regel nach rechts oben 

und die Kraft F5 mit 12,5 N nach links unten 

wirken. 

Hinweis: Diese Bedingung gilt auch für allgemeine 

Kräftesysteme, allerdings kommt 

dann noch eine weitere Bedingung hinzu: 

Neben dem Krafteck muss sich auch das Seileck 

schließen. Das Seileckverfahren wird 

auf Seite 41 beschrieben.

34 

Nachüberlegung: Die in den Kräfteplan eingezeichnete 

Kraft F r ist die Resultierende der Kräfte 

F1 :::3. Die Kraft F6 ist diejenige Einzelkraft, mit 

der das Gleichgewicht hergestellt werden könnte. 


Hinweis: Eigentlich war nur die Aufgabe zu 

lösen, eine gegebene Kraft F6 in zwei Komponenten 

mit gegebenen Wirklinien zu zerlegen. 

Arbeitsplan zur zeichnerischen Ermittlung unbekannter Kräfte: 

Lageplan mit den Wirklinien aller Kräfte einschließlich der unbekannten 1. Schritt 

winkelgetreu in ein rechtwinkliges Achsenkreuz einzeichnen. 

Im Kräfteplan die gegebenen Kräfte maßstäblich aneinander reihen. 2. Schritt 

Die Wirklinie der einen unbekannten Kraft aus dem Lageplan parallel in den 

Endpunkt des Kräftezugs im Kräfteplan verschieben, die der anderen unbekannten 

Kraft in den Anfangspunkt. 

3. Schritt 

Beträge der unbekannten Kräfte abmessen. 4. Schritt 

Richtungssinn nach der „Einbahnverkehrs“-Regel festlegen. 5. Schritt


1.2.4.5 Ûbung zur dritten und vierten Grundaufgabe 

Aufgabe: In einer unsymmetrischen prismatischen 

Nut liegt eine Walze. Sie wird in ihrem höchsten 

Punkt mit einer vertikal wirkenden Kraft 

F1 ¼ 800 N belastet. 

Die Stützkräfte an ihren Auflagepunkten sollen 

zeichnerisch und rechnerisch ermittelt werden. Die 

Gewichtskraft der Walze soll vernachlässigt werden. 

a) Zeichnerische Lösung 

Um alle auf die Walze wirkende Kräfte zu erkennen, 

muss sie freigemacht werden. Nach der Regel 

4 (Seite 14) wirken auf die Walze an den Auflagepunkten 

nur Radialkräfte. 

Im Lageplan der freigemachten Walze mit den drei 

Kräften F1, F2 und F3 ist zu erkennen, dass der 

Walzenmittelpunkt als gemeinsamer Schnittpunkt 

aller Wirklinien der Zentralpunkt des Kräftesystems 

ist. 

Aus den Kräften F1, F2 und F3 wird nun ein geschlossenes 

Krafteck gezeichnet und dazu im 

Kräfteplan die bekannte Kraft F1 maßstäblich und 

mit dem richtigen Richtungssinn eingetragen. 

Durch Parallelverschiebung der Wirklinien der 

Kräfte F2 und F3 aus dem Lageplan in den Kräfteplan 

wird das geschlossene Krafteck konstruiert. 

Dabei ergibt sich entweder das dick oder das dünn 

ausgezogene Dreieck; beide sind richtig. 

Aus der Länge der Kraftpfeile F2 und F3 werden 

mit Hilfe des festgelegten Kräftemaßstabs die Beträge 

der beiden Kräfte berechnet. 

Der Richtungssinn der Kräfte F2 und F3 ergibt sich 

aus der Bedingung des fortlaufenden geschlossenen 

Kräftezugs („Einbahnverkehrs“-Regel). 

Lageplan 


1. Schritt 

2. Schritt 

3. Schritt 

Kräfteplan mit geschlossenem Krafteck 

Kräftemaßstab: MK ¼ 400 N 

ð1cm¼b 400 NÞ 

cm 


4. Schritt 

F2 ¼ 1,65 cm 400 N 

¼ 660 N 

cm 

F3 ¼ 0,72 cm 400 N 

¼ 288 N 

cm 

Ergebnis: 5. Schritt 

Die Stützkraft am rechten Auflagepunkt 

wirkt mit 660 N nach links oben, die am linken 

mit 288 N nach rechts oben.

36 

b) Rechnerische Lösung nach der analytischen Methode 

Die Lageskizze der freigemachten Walze mit den 

angreifenden Kräften F1, F2 und F3 wird gezeichnet, 

die zugehörigen Richtungswinkel a1, a2 und 

a3 werden berechnet und in die Skizze eingetragen. 

Nun werden die beiden rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen 

für das zentrale Kräftesystem 

mit den Kräften aus der Lageskizze angesetzt. 

Der Ansatz ergibt ein Gleichungssystem mit den 

beiden Unbekannten F2 und F3, das nach den Regeln 

der Gleichungslehre gelöst wird, hier z. B. 

mit dem Gleichsetzungsverfahren. 

F3 ¼ F1 cos a1 F2 cos a2 

cos a3 

¼ F1 sin a1 F2 sin a2 

sin a3 

1. Schritt 

2. Schritt 

I. SFx ¼ 0 ¼ F1 cos a1 þ F2 cos a2 þ F3 cos a3 

II. SFy ¼ 0 ¼ F1 sin a1 þ F2 sin a2 þ F3 sin a3 

F1 cos a1 sin a3 F2 cos a2 sin a3 ¼ F1 sin a1 cos a3 F2 sin a2 cos a3 

F2 ðsin a2 cos a3 cos a2 sin a3Þ 

|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 

sin ða2 a3Þ 

F2 ¼ F1 

¼ F1 ð cos a1 sin a3 sin a1 cos a3Þ 

|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 

sin ða3 a1Þ 

sin ða3 a1Þ sin ð40 270 Þ 

¼ 800 N ¼ 652,17 N 

sin ða2 a3Þ sin ð110 40 Þ 

F3 ¼ F1 cos a1 F2 cos a2 

cos a3 

Da beide Kräfte ein positives Ergebnis haben, war 

der angenommene Richtungssinn richtig. 

¼ 

800 N cos 270 652,17 N cos 110 

cos 40 


3. Schritt 

¼ 291,18 N 

Die Kraft F2 wirkt nach links oben, 

die Kraft F3 nach rechts oben. 

4. Schritt


c) Rechnerische Lösung nach der trigonometrischen Methode 

Ergeben sich bei der Lösung von Statikaufgaben 

Kraftecke in Dreiecksform, kann deren trigonometrische 

Auswertung der einfachere Lösungsweg 

sein. Bei rechtwinkligen Kraft-Dreiecken reichen 

die Winkelfunktionen aus, bei schiefwinkligen 

Kraft-Dreiecken, wie in der vorliegenden Aufgabe, 

sind darüber hinaus der Sinussatz oder der Kosinussatz 

erforderlich. 

Wie bei jeder Lösung nach der trigonometrischen 

Methode wird auch hier zuerst eine unmaßstäbliche 

Krafteckskizze gezeichnet. 

In diese werden alle Winkel sowie die Kräfte als 

Seitenlängen des Dreiecks eingetragen. 

Der noch fehlende Winkel d ergibt sich hier 

aus der Bedingung, dass die Winkelsumme 

b þ g þ d ¼ 180 betragen muss: 

d ¼ 180 ðb þ gÞ ¼110 . 

Da alle drei Winkel und eine Seite des Dreiecks 

bekannt sind, können mit dem Sinussatz die beiden 

noch fehlenden Seitenlängen berechnet werden. 

Das sind hier die Kräfte F2 und F3. 

Aus der Gleichung F3=sin g ¼ F1=sin d erhält 

man die noch unbekannte Kraft F3. 

Auf dem gleichen Weg erhält man aus 

F2=sin b ¼ F1=sin d die noch fehlende Kraft F2. 

Der Richtungssinn der Kräfte ergibt sich aus dem 

Umfahrungssinn des Kraftecks („Einbahnverkehr“). 


Hinweis: Ûber die trigonometrische Auswertung 

von Kraft-Dreiecken beliebiger Form 

sollte eingehender im Fach Mathematik gesprochen 

werden, wenn die erforderlichen trigonometrischen 

Kenntnisse vorhanden sind. 

F3 F2 F1 

¼ ¼ 

sin g sin b sin d 

F3 ¼ F1 

F2 ¼ F1 

sin g 

sin 20 

¼ 800 N 

sin d sin 110 

sin b 

sin 50 

¼ 800 N 

sin d sin 110 

Krafteckskizze 

Sinussatz mit 

den Bezeichnungen 

aus der 


¼ 291,18 N 

¼ 652,17 N

38 

1.2.5 Die vier Grundaufgaben der Statik im allgemeinen ebenen Kräftesystem 

1.2.5.1 Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (fünfte Grundaufgabe), 

der Momentensatz 

Aufgabe: Für das in der Lageskizze dargestellte 

Kräftesystem soll die Resultierende nach Betrag, 

Lage und Richtungssinn rechnerisch ermittelt werden. 

Die Wirklinien der Kräfte liegen parallel, weil 

dieser Fall die größere praktische Bedeutung hat 

und der Lösungsgang übersichtlicher wird. 

Vorüberlegung: Betrag und Richtungswinkel der 

Resultierenden werden auf dieselbe Weise berechnet 

wie in der ersten Grundaufgabe. Damit erhält 

man zugleich Klarheit über die Verschiebewirkung 

des Kräftesystems. 

Die Resultierende muss aber auch die gleiche 

Drehwirkung wie das Kräftesystem haben. Davon 

hängt ihre Lage ab. Diese Erkenntnis ist im 

Momentensatz festgelegt: 

Frx ¼ SFnx 

Fr ¼ 



q 

Fry ¼ SFny 

b r ¼ arctan jFryj 

jFrxj 

Das Kraftmoment Mr der Resultierenden, bezogen 

auf einen beliebigen Punkt D, ist gleich der 

Summe der Kraftmomente der Einzelkräfte in 

Bezug auf denselben Punkt. Mr ¼ M1 þ M2 þ M3 þ ...þ Mn 

Lösung: In eine unmaßstäbliche Lageskizze werden 

alle gegebenen Kräfte und alle bekannten Abstandsmaße 

eingetragen. Für den Momentensatz 

wird der Momentenbezugspunkt D festgelegt und 

zwar zweckmäßig auf der Wirklinie einer gegebenen 

Kraft, weil deren Kraftmoment dann null wird 

und nicht in die Rechnung eingeht. Betrag und 

Richtungssinn der Resultierenden Fr lassen sich 

dann nach der Lageskizze berechnen. 

Da hier alle Wirklinien parallel sind, braucht man 

nur die algebraische Summe aller Kräfte zu ermitteln. 


Frl0 ¼ F1l1 þ F2l2 þ F3l3 þ ...þ Fnln 

Momentensatz 

Beachte: Vorzeichen entsprechend dem Drehsinn 

einsetzen (links þ, rechts ) 

Fr ¼ SFy ¼ F1 F2 þ F3 F4 

Fr ¼ 15 N 40 N þ 10 N 20 N 

Fr ¼ 65 N 

Das Minuszeichen bedeutet hier: 

Fr wirkt nach unten


Erst dann wird die Resultierende mit dem ermittelten 

Richtungssinn in die Lageskizze eingetragen, 

und zwar auf einer Wirklinie, deren Lage man 

unter Berücksichtigung der gegebenen Kräfte 

„nach Gefühl“ annimmt (hier zwischen den Wirklinien 

von F2 und F3). 

Die tatsächliche Lage der Resultierenden wird mit 

dem Momentensatz bestimmt. Der Bezugspunkt D 

ist auf der Wirklinie der Kraft F4 festgelegt. Dann 

wird das Kraftmoment der Kraft F4 gleich null, 

weil ihr Wirkabstand l4 gleich null ist. 

Die Vorzeichen in der Ansatzgleichung (þ und ) 

kennzeichnen den Drehsinn der Kraftmomente, 

sie haben also nichts mit dem Richtungssinn der 

Kräfte zu tun. 

Ergibt sich der Abstand l0 positiv – wie in diesem 

Fall –, dann ist die Wirklinie der Resultierenden 

richtig in den Lageplan eingezeichnet. Ist er negativ, 

liegt die Wirklinie im errechneten Abstand auf 

der anderen Seite des Bezugspunkts D. 

Beachte: Die Festlegung der WL von Fr ist 

willkürlich; sie hätte hier auch rechts vom 

Bezugspunkt D eingezeichnet werden können. 

þ Mr ¼þM1 þ M2 M3 M4 

Frl0 ¼ F1l1 þ F2l2 F3l3 0 

l0 ¼ F1l1 þ F2l2 F3l3 

Fr 

15 N 0,5 m þ 40 N 0,3 m 10 N 0,2 m 

l0 ¼ 

65 N 

l0 ¼ 0,269 m 

Ergebnis: 

Die Resultierende wirkt mit 65 N in einem 

Abstand von 0,269 m links vom Bezugspunkt 

D rechtwinklig nach unten. 

Arbeitsplan zum Momentensatz: 

Lageskizze mit den gegebenen Kräften zeichnen. 1. Schritt 

Resultierende und gegebenenfalls ihren Neigungswinkel berechnen. 2. Schritt 

Resultierende in die Lageskizze einzeichnen (Lage der Wirklinie annehmen). 3. Schritt 

Momentensatz aufstellen und die Gleichung nach l0 auflösen. 4. Schritt

40 

1.2.5.2 Zeichnerische Ermittlung der Resultierenden (sechste Grundaufgabe), 

das Seileckverfahren 

Aufgabe: Ein gegebenes allgemeines Kräftesystem 

soll reduziert werden, d. h. seine Resultierende 

Fr ist nach Betrag, Lage und Richtungssinn 

zu bestimmen. Der nebenstehende maßstäbliche 

Lageplan enthält auch die Kräfte maßstabsgerecht, 

d. h. die Länge der Kraftpfeile entspricht den 

Beträgen der Kräfte. 

Vorüberlegung: Da die Wirklinien der Kräfte keinen 

gemeinsamen Schnittpunkt haben, kann man 

auch nicht voraussagen, wo die Wirklinie der 

Resultierenden liegt. Das ist neu gegenüber dem 

zentralen Kräftesystem (siehe 1.2.4.2, Seite 26). 

Es gibt zwei Lösungsmöglichkeiten: 

a) Wiederholte Parallelogrammkonstruktion 

Man fasst zwei Kräfte maßstäblich zu einer Zwischenresultierenden 

zusammen, diese wieder mit 

einer günstig liegenden dritten Kraft zur nächsten 

Zwischenresultierenden und so fort, bis sämtliche 

Kräfte schrittweise durch Parallelogrammzeichnungen 

erfasst sind und damit die Gesamtresultierende 

des Kräftesystems gefunden worden ist. 

Im nebenstehenden Beispiel wurde F1 und F2 zur 

Zwischenresultierenden Fr1,2, diese dann mit F3 

zur neuen Zwischenresultierenden Fr1,2,3 zusammengesetzt 

und so fort. 

Man erhält am Ende maßstäblich den Betrag, den 

Richtungssinn und die Lage der Gesamtresultierenden 

Fr. 

Auch jede andere Reihenfolge würde zum selben 

Ergebnis führen: 

Die Reihenfolge der Kräfte ist beliebig. 

Das Verfahren ist umständlich und versagt ganz, 

wenn die Kräfte sich nicht auf der Zeichenebene 

zum Schnitt bringen lassen wie bei parallelen oder 

annähernd parallelen Kräften. Gerade dieser Fall 

kommt aber in der Technik häufig vor, so dass 

meist das folgende Verfahren benutzt wird. 


Hinweis: Ein allgemeines Kräftesystem hat 

keinen Zentralpunkt.


b) Das Seileckverfahren 

Aufgabe: Für das dargestellte Kräftesystem soll 

die Resultierende Fr nach Betrag, Lage und Richtungssinn 

zeichnerisch ermittelt werden. 

Die drei gegebenen Kräfte F1 ¼ 55 N, F2 ¼ 25 N 

und F3 ¼ 40 N sind im Lageplan maßstäblich 

gezeichnet. 

Lösung: Aus dem Lageplan entwickelt sich in der 

bekannten Weise durch Parallelverschiebung der 

Wirklinien der Kräfte F1 ...F3 der Kräfteplan. 

Wie in der zweiten Grundaufgabe werden die drei 

Kräfte in beliebiger Reihenfolge maßstäblich und 

richtungsgemäß aneinander gereiht und die Resultierende 

Fr als Verbindungslinie vom Anfangspunkt 

der ersten Kraft bis zum Endpunkt der letzten 

Kraft eingezeichnet. 

Damit sind Betrag, Richtungssinn und Richtungswinkel 

der Resultierenden bekannt. Ihre Lage kann 

aber nur im Lageplan bestimmt werden. 

Der Kunstgriff beim Seileckverfahren besteht 

darin, dass man im Kräfteplan jede Kraft in zwei 

Komponenten zerlegt, und zwar so, dass sich alle 

Komponenten in einem Punkt – dem Pol P – treffen. 

Dabei kann der Pol P beliebig gewählt werden. 

Es wird 

F1 zerlegt in die Komponenten S0 und S1, 

F2 zerlegt in die Komponenten S1 und S2, 

F3 zerlegt in die Komponenten S2 und S3. 

Die Teilkräfte S1 und S1, S2 und S2 ... sind 

jeweils gleich groß und gegensinnig. Sie heben 

sich also auf. Damit bleiben nur noch Anfangsund 

Endkomponente S0 und S3 im Kräfteplan 

übrig. Dies sind die Komponenten der Resultierenden 

Fr. 

In gleicher Weise geht man im Lageplan vor. 

Kräfteplan 


MK ¼ 25 N 

cm 


Lageplan 


Fr ¼ 4,5 cm; das entspricht 

einer Kraft Fr ¼ 112,5 N, 

die nach unten gerichtet ist. 

erweiterter 

Kräfteplan

42 

Man zerlegt, ohne Berücksichtigung des Betrags, 

die Kraft 

9 

F1 wieder in S0 und S1 auf WL 1; = ðRichtungen 

F2 wieder in S1 und S2 auf WL 2; aus dem 

; 

F3 wieder in S2 und S3 auf WL 3; KräfteplanÞ 

und zwar so, dass die Wirklinien der Komponenten 

S1 und S1 bzw. S2 und S2 zusammenfallen. Zerlegungspunkt 

I ist beliebig, die folgenden ergeben 

sich. Es heben sich also auch im Lageplan S1 und 

S1, S2 und S2 wieder auf. Ûbrig bleiben nur 

noch die Komponenten S0 und S3. Dies sind die 

Komponenten der Resultierenden Fr (siehe Kräfteplan). 

Der Schnittpunkt ihrer Wirklinien muss ein 

Punkt der Wirklinie der Resultierenden sein (S). 

Damit ist auch deren Lage am Körper bestimmt. 

Die Kräfte S0, S1, S1, S2, ... im Kräfteplan werden 

als Polstrahlen bezeichnet, im Lageplan dagegen 

als Seilstrahlen. 

Bei der praktischen Arbeit mit dem Seileckverfahren 

zeichnet man Pol- und Seilstrahlen nur als einfache 

Gerade, also ohne Pfeile, und bezeichnet sie 

mit 0, 1, 2, ... (siehe Lehrbeispiel Seite 43). 

Der Linienzug, gebildet durch die Schnittpunkte 

der Teilkräfte (I, II, III ...), heißt Seileck, weil ein 

zwischen den Kräften ausgespanntes Seil im 

Gleichgewicht ist und in den einzelnen Seilabschnitten 

die Seilkräfte S0, S1 usw. auftreten. 


Ergebnis: 

Die Resultierende wirkt mit 112,5 N auf der 

gefundenen Wirklinie nach unten. 

Beachte: Zu jedem Seilstrahlenschnittpunkt 

I, II, III ... im Lageplan gehört ein Polstrahlendreieck 

im Kräfteplan. Es müssen immer 

die richtigen Seilstrahlen auf der richtigen 

Wirklinie zum Schnitt gebracht werden, also 

S0 und S1 auf WL1, S1 und S2 auf WL2 

usw. Die zusammengehörigen Seilstrahlen 

zeigt der Kräfteplan. 

Arbeitsplan zum Seileckverfahren: 

Lageplan des freigemachten Bauteils zeichnen. 1. Schritt 

Einzelkräfte durch Krafteckzeichnung zu Fr vereinigen. 2. Schritt 

Pol P beliebig wählen und Polstrahlen im Kräfteplan zeichnen. 3. Schritt 

Seilstrahlen im Lageplan zeichnen (durch Parallelverschiebung der Polstrahlen 

aus dem Kräfteplan); Anfangspunkt I beliebig. 

4. Schritt 

Anfangs- und Endseilstrahl zum Schnitt bringen. 5. Schritt 

Schnittpunkt S der Seilzugenden ergibt die Lage der WL von Fr im Lageplan. 

Betrag und Richtungssinn zeigt der Kräfteplan. 


6. Schritt


Lehrbeispiel: Seileckverfahren, Zusammensetzung zweier Parallelkräfte 

a) Die Kräfte sind parallel, gleichsinnig, gleich groß: 

F1 

b) Die Kräfte sind parallel, gleichsinnig, ungleich groß: 

F1 

c) Die Kräfte sind parallel, gegensinnig, ungleich groß: 

WL Fr 

Fr 

d) Die Kräfte sind parallel, gegensinnig, gleich groß: 

F1 

0 

l 1 

l 

l l 

2 2 

1 

0 

WL Fr 

l 1 

0 

F1 

1 

2 

1 

l 

Fr 

WL Fr 

2 

l 

l 1 

0 

l 

1 

2 

F2 

F1 

Fr F2 

1) siehe auch: Arbeitsplan, Seite 42 

l 2 

Fr 

2 

F2 

F2 

F2 

Fr 

Fr 

F2 

neues Kräftepaar 

F1 

F2 

F1 

2 

0 

1 

0 

1 

2 

0 

2 

1 

F2 2 0 

F1 

1 

P 

P 

P 

P 

Lösung: 1) 

Fr ¼ F1 þ F2 

Die Wirklinie der Resultierenden liegt auf 

halbem Abstand zwischen den Kräften. 

Lösung: 1) 

Fr ¼ F1 þ F2 

Die Wirklinie der Resultierenden teilt den 

Abstand l im umgekehrten Verhältnis der 

Kräfte F1 und F2. 

Lösung: 1) 

Fr ¼ F1 F2 

Beachte: 

Die Wirklinie der Resultierenden liegt nicht 

zwischen den beiden Wirklinien von F1 und F2. 

Lösung: 1) 

Fr ¼ F1 F2 ¼ 0 

Die Zusammensetzung des Kräftepaars liefert 

keine Resultierende, sondern zwei 

gleich große gegensinnig parallele Kräfte 

(0 und 2) mit anderer Lage und anderem 

Abstand: 

Ein Kräftepaar kann nur durch ein anderes 

ersetzt und beliebig verschoben werden.

44 

1.2.5.3 Rechnerische Ermittlung unbekannter Kräfte (siebte Grundaufgabe), 

die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen 

Die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen im 

allgemeinen Kräftesystem lauten: 

I: SFx ¼ 0 

II: SFy ¼ 0 

III: SM ðDÞ¼ 0 

Aufgabe: Ein Wanddrehkran wird an seinem Lastseil 

mit einer Kraft F ¼ 30 kN belastet. 

Die Stützkräfte im Halslager A und im Spurlager B 

sollen berechnet werden. 

Lösung: In die (unmaßstäbliche) Lageskizze des 

freigemachten Wanddrehkrans werden alle auf den 

Körper einwirkenden Kräfte eingezeichnet, auch 

die noch unbekannten. 

Man beginnt mit den nach Betrag, Wirklinie und 

Richtungssinn bekannten Kräften. Das ist hier nur 

die lotrecht nach unten wirkende Belastungskraft 

F ¼ 30 kN. 

Der Wanddrehkran wird durch ein Loslager (Halslager 

A) und ein Festlager (Halslager B) in seiner 

Funktionsstellung gehalten. Von der Loslagerkraft 

FA ist nur die Wirklinie bekannt (waagerecht, parallel 

zur x-Achse, siehe Kap. 1.7.6). Der Richtungssinn 

muss angenommen werden, z.B. in positiver 

x-Richtung (nach rechts) oder negativer (nach 

links). Dabei bietet es sich an, den Richtungssinn 

nach physikalischem Empfinden anzunehmen, hier 

also in negativer x-Richtung (nach links). War der 

angenommene Richtungssinn falsch, zeigt sich bei 

der Rechnung ein negativer Betrag. Dieser Fall 

wird zur Probe angenommen. Für die Festlagerkraft 

FB im Spurlager B sind Betrag, Wirklinie und Richtungssinn 

unbekannt (siehe 1.7.7). Dann arbeitet 

man im Koordinatensystem mit den Komponenten 

FBx und FBy, jeweils mit positivem Richtungssinn 

an. Bei der Rechnung weist ein negativer Betrag 

auf den entgegengesetzten Richtungssinn hin. 


Der Körper ist dann im Gleichgewicht, wenn 

die Summe aller Kräfte (oder Komponenten) 

in Richtung der x-Achse gleich null ist, die 

Summe aller Kräfte (oder Komponenten) in 

Richtung der y-Achse gleich null ist und die 

Summe aller Kraftmomente, bezogen auf 

einen beliebigen Punkt D gleich null ist. 


Lageskizze des freigemachten 

Drehkrans 

(mit nach Rechnung 

korrigiertem Richtungssinn 

von FA)


Anhand der Lageskizze werden nun die Gleichgewichtsbedingungen 

aufgestellt. Man erhält ein 

Gleichungssystem mit den drei Unbekannten FA, 

FBx und FBy, das mit den Regeln der Gleichungslehre 

schrittweise nach diesen Größen aufgelöst 

wird. 

Das negative Vorzeichen bei FA ¼ 25 kN zeigt, 

dass FA nicht nach rechts, sondern nach links 

wirkt. Das negative Vorzeichen ( 25 kN) wird 

beibehalten. Es ergibt sich richtig FBx ¼þ25 kN. 

Den Momentenbezugspunkt D für Gleichung III 

legt man in den Schnittpunkt möglichst vieler 

unbekannter Kräfte. Dadurch haben diese Kräfte 

keine Drehwirkung und erscheinen nicht in der 

Momentengleichgewichtsbedingung. In den meisten 

Fällen enthält dann diese Gleichung nur eine 

Unbekannte, die sofort berechnet werden kann: 

Die Momentengleichung (III) ist meist der Schlüssel 

zur Lösung. Wichtig ist außerdem die Erkenntnis, 

dass auch jeder Punkt außerhalb der Bauteile 

als Bezugspunkt benutzt werden kann, wenn 

dadurch die Rechnungen einfacher werden. 

Aus den Komponenten FBx und FBy berechnet 

man die Stützkraft FB als Resultierende wie in der 

ersten Grundaufgabe. Falls erforderlich, wird der 

Richtungswinkel ihrer Wirklinie über die Tangensfunktion 

ermittelt. 

Ergebnis: Im Lager A wirkt eine Kraft von 25 kN 

nach links, im Lager B eine Kraft von 39 kN nach 

rechts oben. 

Beachte: Auch gegen die (richtige) Vorstellung 

FA wirkt nach links, bleibt es bei der 

Regel: positives Vorzeichen annehmen. 

I: SFx ¼ 0 ¼ FA þ FBx 

II: SFy ¼ 0 ¼ F þ FBy 

III: SMðDÞ ¼ 0 ¼ FAl1 Fl2 

III: FA ¼ Fl2 

l1 

¼ 

30 kN 3m 

¼ 25 kN 

3,6 m 

I: FBx ¼ FA ¼ ð 25 kNÞ ¼25 kN 

II: FBy ¼ F ¼ 30 kN 

Ergibt sich eine negative Kraft (d. h. mit 

Minus-Vorzeichen), wie hier die Kraft FA, 

dann bedeutet das, dass sie dem angenommenen 

Richtungssinn entgegen wirkt. Die 

Kräfte FBx und FBy ergeben sich aus der 

Rechnung positiv (d. h. mit Plus-Vorzeichen). 

Das bedeutet, dass in der Lageskizze ihr 

Richtungssinn richtig angenommen wurde. 

Beachte: Das Minus-Zeichen bei der Kraft 

FA muss bei der weiteren Auflösung des 

Gleichungssystems mitgeführt werden. 

FB ¼ 


FBx 2 þ FBy 2 

q 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

¼ ð25 kNÞ 2 þð30 kNÞ 2 

q 

FB ¼ 39,051 kN 

a ¼ arctan jFByj 

jFBxj 

Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung unbekannter Kräfte: 

Lageskizze des freigemachten Bauteils mit allen Kräften zeichnen; 

Richtungssinn der unbekannten Kräfte nach der Richtungsregel 

(Seite 28) annehmen. 

30 kN 

¼ arctan ¼ 50,2 

25 kN 

1. Schritt 

Gleichgewichtsbedingungen aufstellen und auswerten. 2. Schritt 

Falls erforderlich, Richtungssinn der unbekannten Kräfte in der Lageskizze 

korrigieren. 

3. Schritt

46 

Nachtrag: Dieselbe Aufgabe kann auch nach folgender 

Methode gelöst werden. Zur Erläuterung 

wird die Lagerskizze übernommen. Die Loslagerkraft 

FA ist jetzt mit tatsächlichem Richtungssinn 

eingezeichnet (linksdrehend). 

Zur Erinnerung: Die beiden gesuchten Lagerkräfte 

FA und FB wurden mit den beiden Kraftund 

einer Momentengleichgewichtsbedingung berechnet 

(SFx ¼ 0, SFy ¼ 0, SM( )¼ 0). 

Jetzt wird gezeigt, dass die Auswertung eines 

Gleichungssystems mit drei Momentengleichgewichtsbedingungen 

um drei Bezugspunkte zu denselben 

Ergebnissen führt. 

Die Bezugspunkte wählt man so aus, dass sie mit 

Längenmaßen leicht beschreibbar sind und nicht 

auf einer Geraden liegen, z. B. nach der Lageskizze 

mit SM(I) ¼ 0, SM(II) ¼ 0, SM(III) ¼ 0. 

Gleichungssysteme dieser Art werden als statisch 

äquivalent bezeichnet. 

Damit steht ein weiteres rechnerisches Gleichungssystem 

zur Bestimmung unbekannter Gleichgewichtskräfte 

zur Verfügung: 

Lageskizze 

I: SM ðIÞ ¼ 0 ¼ FAl1 Fl2 

II: SM ðIIÞ ¼ 0 ¼ FBxl1 Fl2 

III: SM ðIIIÞ ¼ 0 ¼ FBxl1 FByl2 

I: FA ¼ Fl2 

¼ 

l1 

II: FBx ¼ Fl2 

¼ 

l1 


Gegeben: 

F ¼ 30 kN 

l1 ¼ 3,6 m 

l2 ¼ 3m 

30 kN 3m 

¼ 25 kN 

3,6 m 

30 kN 3m 

¼ 25 kN 

3,6 m 

III: FBy ¼ FBxl1 25 kN 3,6 m 

¼ ¼ 30 kN 

l2 3m 

Hinweis: Auf diese Weise berechnet man 

beim Ritter’schen Schnittverfahren unbekannte 

Stabkräfte in Fachwerken (Seite 72). 

Ein Körper befindet sich auch dann im Gleichgewicht, wenn die Summe aller einwirkenden 

Kraftmomente auf drei beliebige Punkte gleich null ist. 

Einschränkung: Die ausgewählten Punkte dürfen nicht auf einer Geraden liegen (Geradenregel). 

Zur Geradenregel: Mit der Bedingung SM(I) ¼ 0 ist für eine beliebige ebene Kräftegruppe 

noch kein Gleichgewicht sichergestellt, weil eine durch den Bezugspunkt (I) selbst wirkende 

Resultierende den Körper in Kraftrichtung verschiebt. Gleiches gilt für SM(II) ¼ 0 und 

SM(III) ¼ 0; hier wird eine durch (I und II) wirkende Resultierende nicht erfasst. Erst wenn die 

drei gewählten Bezugspunkte keine gemeinsame Gerade haben, ist Gleichgewicht erreicht und 

es können unbekannte Gleichgewichtskräfte berechnet werden. 

1.2.5.4 Ûbung zur Stützkraftberechnung 

Der skizzierte federbelastete Winkelhebel wird 

von einem Festlager (zweiwertig) und einem Loslager 

(einwertig) im Ruhezustand gehalten. In der 

gezeichneten Hebelstellung beträgt die Spannkraft 

der Zugfeder F ¼ 1 kN. 

Mit Hilfe der drei rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen 

sollen die Stützkräfte in den beiden 

Lagerpunkten ermittelt werden. Aufgabenskizze


Die Lageskizze wird mit allen am Winkelhebel 

angreifenden Kräften und deren Komponenten 

in x- und y-Richtung gezeichnet. Das sind Belastungskraft 

F mit Fx ¼ F cos a und 

Fy ¼ F sin a 

Loslagerkraft FL mit FLx ¼ FL sin b und 

FLy ¼ FL cos b 

Festlagerkraft FF mit FFx ¼ FF cos g und 

FFy ¼ FF sin g. 

Die Loslagerkraft FL wirkt als Normalkraft rechtwinklig 

zur Stützfläche des Loslagers. Damit liegt 

der Richtungssinn durch die Loslagerkonstruktion 

fest. 

Der Richtungssinn der Festlagerkraft FF ist nicht 

bekannt und wird nach der Richtungsregel von 

Seite 28 festgelegt (Annahme hier: FF wirkt im 

ersten Quadranten, also nach rechts oben). 

Mit den Bezeichnungen aus der Lageskizze werden 

nun die drei Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt. 

Der Drehpunkt D für den Ansatz der Momentengleichgewichtsbedingung 

wird wieder in 

den Festlagerpunkt D gelegt, weil Gleichung III 

dann nur eine Unbekannte enthält (FL). 

Aus der Momentengleichgewichtsbedingung 

SMðDÞ ¼ 0 erhält man den Betrag der Loslagerkraft 

FL ¼ 188,1 N. 

Die beiden Kräftegleichgewichtsbedingungen 

SFx ¼ 0 und SFy ¼ 0 löst man nach 

FFx ¼ FF cos g und FFy ¼ FF sin g auf und berechnet 

diese Komponenten der Festlagerkraft. 

Die Rechnung ergibt für beide Kraftkomponenten 

FFx und FFy das negative Vorzeichen und zeigt damit, 

dass der Richtungssinn der Festlagerkraft FF 

falsch angenommen wurde. 

Die Komponenten FFx und FFy stehen rechtwinklig 

aufeinander, so dass mit dem Satz des Pythagoras 

der Betrag der Festlagerkraft FF berechnet werden 

kann. 

Die Lageskizze zeigt, dass der Winkel g aus dem 

rechtwinkligen Dreieck mit den Komponenten FFx 

und FFy über die Arcus-Tangensfunktion berechnet 

werden kann. 

Gegeben: 

F ¼ 1 kN, a ¼ 20 , b ¼ 50 

l1 ¼ 120 mm, l2 ¼ 40 mm 

l3 ¼ 30 mm 

Lageskizze 

I: SFx ¼ 0 ¼ F cos a FL sin b þ FF cos g 

II: SFy ¼ 0 ¼ F sin a þ FL cos b þ FF sin g 

III: SMðDÞ¼ 0 ¼ F sin al2 F cos al3 þ FL cos bl1 

FL ¼ Fðl3 cos a l2 sin aÞ 

¼ 188,1 N 

l1 cos b 

I: FF cos g ¼ F cos a þ FL sin b ¼ FFx 

FFx ¼ 1 000 N cos 20 þ 188,1 N sin 50 

FFx ¼ 795,6 N (falsche Richtungsannahme) 

II. FF sin g ¼ F sin a FL cos b ¼ FFy 

FFy ¼ ð1 000 N sin 20 þ 188,1 N cos 50 Þ 

FFy ¼ 462,9 N (falsche Richtungsannahme) 

FF ¼ 

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

FFx 2 þ FFy 2 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

FF ¼ ð795,6 NÞ 2 þð462,9 NÞ 2 

q 

FF ¼ 920,5 N 

g ¼ arctan jFFyj 462,9 N 

¼ arctan 

jFFxj 795,6 N 

g ¼ 30,19

48 

1.2.5.5 Zeichnerische Ermittlung von unbekannten Kräften (achte Grundaufgabe), 

die zeichnerischen Gleichgewichtsbedingungen 

Für diese Aufgabe stehen zwei Lösungsverfahren 

zur Verfügung. 

Hinweis: Für alle Verfahren müssen wieder 

ein Lageplan und ein Kräfteplan maßstäblich 

gezeichnet werden. 

a) Das 3-Kräfte-Verfahren (Gleichgewicht von 3 nicht parallelen Kräften) 

Drei nicht parallele Kräfte sind im Gleichgewicht, 

wenn sich die Wirklinien der Kräfte in 

einem Punkt schneiden und das Krafteck sich 

schließt. 

Aufgabe: Ein Wanddrehkran wird an seinem Lastseil 

mit einer Kraft F ¼ 30 kN belastet. Er hat 

oben ein einwertiges Halslager A und unten ein 

zweiwertiges Spurlager B. 

Die Kräfte FA und FB in diesen beiden Lagern sollen 

zeichnerisch ermittelt werden. 

Vorüberlegung: Im Lageplan des Wanddrehkranes 

erkennt man die Kräfte: 

Belastung F: 

Betrag, Wirklinie und Richtungssinn sind bekannt; 

Halslagerkraft FA: 

Betrag unbekannt, Wirklinie bekannt (einwertiges 

Lager), Richtungssinn angenommen; 

Spurlagerkraft FB: 

Betrag, Wirklinie und Richtungssinn unbekannt 

(zweiwertiges Lager); FB wird zunächst durch die 

Komponenten FBx und FBy ersetzt und mit angenommenem 

Richtungssinn eingezeichnet. 

Ist die Wirklinie von FB nicht bekannt, kann kein 

Kräfteplan gezeichnet werden. Dann lassen sich 

auch die Beträge von FA und FB nicht ermitteln. 

Zuerst muss man die Wirklinie von FB finden. 


Hinweis: Das 3-Kräfte-Verfahren ist nicht 

anwendbar bei parallelen Wirklinien. Dann 

bleibt allein die rechnerische Lösung (siehe 

Seite 44). 


Lageplan


Werden gedanklich die Kräfte FA und F, deren 

Wirklinien bekannt sind, zur Resultierenden Fr 

zusammengefasst, hat man es wieder mit nur zwei 

Kräften zu tun. Angriffspunkt der Resultierenden 

Fr ist der Punkt S, der Schnittpunkt der Wirklinien 

der Kräfte FA und F. Die Resultierende Fr kann 

mit der Lagerkraft FB nur dann im Gleichgewicht 

stehen, wenn beide Kräfte auf gleicher Wirklinie 

liegen und ihr Krafteck geschlossen wird. Also 

muss die Wirklinie der Lagerkraft FB ebenfalls 

durch den Punkt S gehen. 

Lösung: Wie bei jeder zeichnerischen Lösung 

wird erst der Lageplan mit allen bekannten Wirklinien 

maßstäblich aufgezeichnet. Nach der Vorüberlegung 

wird im Lageplan die Wirklinie der 

Spurlagerkraft FB festgelegt. Dazu bringt man die 

Wirklinien der Kräfte F und FA zum Schnitt. Ihr 

Schnittpunkt S ist ein Punkt der Wirklinie von FB. 

Der andere Punkt ist der Lagerpunkt B selbst. Eine 

Gerade, durch die Punkte B und S gelegt, muss die 

Wirklinie der Spurlagerkraft FB sein. 

Nachdem nun alle Wirklinien bekannt sind, wird 

der Kräfteplan gezeichnet. Man legt den Kräftemaßstab 

fest und verschiebt zuerst die gegebene 

Kraft F parallel aus dem Lageplan. Dann wird das 

Krafteck mit den parallel verschobenen Kräften FA 

und FB auf genau die gleiche Weise geschlossen 

wie bei der vierten Grundaufgabe (Seite 32). 

Aus der Länge der Kraftpfeile werden wieder mit 

Hilfe des Kräftemaßstabs die Beträge der Kräfte 

FA und FB berechnet. Dasselbe gilt für die Komponenten 

FBx und FBy der Spurlagerkraft. 

Der Richtungssinn der gesuchten Kräfte ergibt sich 

aus dem Umfahrungssinn des Kraftecks nach der 

„Einbahnverkehrs“-Regel. Den Neigungswinkel 

der Spurlagerkraft entnimmt man dem Lageplan 

oder dem Kräfteplan. 

Zum Schluss wird der Richtungssinn der gefundenen 

Kräfte in den Lageplan übertragen. 

Lageplan 

Längenmaßstab: ML ¼ 1,5 m 

cm 

ð1 cm¼b 1,5 mÞ 


FA ¼ 1,7 cm 15 kN 

¼ 25,5 kN 

cm 

FB ¼ 2,6 cm 15 kN 

¼ 39 kN 

cm 

Kräfteplan 


MK ¼ 15 kN 

cm 

ð1 cm¼b 15 kNÞ 

Ergebnis: 

Um Gleichgewicht zu erreichen, muss im 

Halslager eine Kraft von 25,5 kN waagerecht 

nach links, im Spurlager eine Kraft von 

39 kN nach rechts oben wirken.

50 

Arbeitsplan zum 3-Kräfte-Verfahren: 

Lageplan mit freigemachtem Bauteil zeichnen und darin Wirklinien der 1. Schritt 

Belastung und der einwertigen Lagerkraft festlegen. 

Bekannte Wirklinien zum Schnitt S bringen. 2. Schritt 

Schnittpunkt S mit zweiwertigem Lagerpunkt verbinden; damit sind alle 

Wirklinien bekannt. 

Krafteck mit einer bekannten Kraft beginnen und mit den unbekannten Kräften 

schließen. Richtungssinn in den Lageplan übertragen. 


b) Das 4-Kräfte-Verfahren (Gleichgewicht von 4 nicht parallelen Kräften) 

Vier nicht parallele Kräfte sind im Gleichgewicht, 

wenn die Resultierende je zweier Kräfte 

eine gemeinsame Wirklinie haben – die Culmann’sche 

Gerade – und das Krafteck sich 

schließt. 

Aufgabe: Ein gerader Stab hat an seinen beiden 

Enden zwei frei drehbare Rollen A und B, die sich 

an einer vertikalen und einer abwärts geneigten 

Fläche reibungsfrei abstützen. Der Stab würde 

durch die Kraft F1 ¼ 50 N nach unten verschoben 

werden, wenn ihn nicht die waagerecht gespannte 

Zugfeder in der skizzierten Ruhelage festhielte. 

Die Federkraft F2 und die Stützkräfte FA, FB an 

den Rollen sollen zeichnerisch ermittelt werden. 

Vorüberlegung: Der Lageplan des freigemachten 

Rollstabs zeigt die Kräfte: 

Belastung F1: Betrag, Wirklinie und Richtungssinn 

sind bekannt; 

Federkraft F2: Betrag unbekannt, Wirklinie und 

Richtungssinn bekannt (Zugfeder überträgt nur 

Zugkräfte in Spannrichtung); 

Stützkraft FA: Betrag unbekannt, Wirklinie und 

Richtungssinn bekannt (Rollkörper); 

Stützkraft FB: Betrag unbekannt, Wirklinie und 

Richtungssinn bekannt (Rollkörper). 


3. Schritt 

4. Schritt 

Hinweis: Das 4-Kräfte-Verfahren ist nicht 

anwendbar bei mehr als zwei parallelen Kräften. 

Dann bleibt nur die rechnerische Lösung 

(siehe Seite 44). 


Lageplan


Es wirken also vier Kräfte mit bekannten Wirklinien 

und bekanntem Richtungssinn. Für drei von 

ihnen müssen nur noch die Beträge ermittelt 

werden. 

Werden nun wieder (wie beim 3-Kräfte-Verfahren) 

gedanklich je zwei Kräfte zu einer Resultierenden 

zusammengefasst, z. B. die Kräfte F1 und FA zu 

Fr1,A und die Kräfte F2 und FB zu Fr2,B, hat man 

es wiederum mit nur zwei Kräften zu tun. Diese 

beiden Resultierenden können nur im Gleichgewicht 

stehen, wenn sie eine gemeinsame Wirklinie 

haben. Das kann aber nur die Verbindungsgerade 

der beiden Schnittpunkte I und II sein. 

Die auf der gemeinsamen Culmann’schen Geraden 

wirkenden Resultierenden Fr1,A und Fr2,B müssen 

natürlich wieder ein geschlossenes Krafteck ergeben. 

Welche beiden Kräfte jeweils zu ihrer Resultierenden 

zusammengefasst werden, ist gleichgültig. 

Man kann z. B. auch die Kräfte F1 und F2 zur 

Resultierenden Fr1,2 und FA und FB zur Resultierenden 

FrA; B zusammenfassen. Das ergibt dann 

zwar eine andere Lage der Culmann’schen Geraden 

und ein anderes Krafteck der beiden Resultierenden, 

das Ergebnis wird aber hierdurch nicht 

beeinflusst. Voraussetzung für die Anwendbarkeit 

des 4-Kräfte-Verfahrens ist nur, dass alle vier 

Wirklinien bekannt sind. 

Lösung: Man zeichnet im maßstäblichen Lageplan 

des Rollstabs die Wirklinie der gegebenen 

Kraft F1 ein. Nach den Regeln für das Freimachen 

der Bauteile (hier Regeln 1 und 4, Seite 12 und 14) 

werden die Wirklinien der noch unbekannten 

Gleichgewichtskräfte F2, FA und FB ermittelt und 

ebenfalls in den Lageplan eingetragen. Dann 

bringt man je zwei Wirklinien miteinander zum 

Schnitt, z. B. F1 und FA im Schnittpunkt I und F2 

und FB im Schnittpunkt II. Jetzt wird die Culmann’sche 

Gerade als Verbindungslinie der beiden 

Schnittpunkte eingezeichnet. Sie ist die gemeinsame 

Wirklinie der beiden Teilresultierenden Fr1,A 

und Fr2,B. 

Lageplan 

Längenmaßstab: 

ML ¼ 0,2 m 

cm 

ð1 cm¼b 0,2 mÞ

52 

Im Kräfteplan wird zuerst die gegebene Kraft F1 

maßstäblich und richtungsgemäß gezeichnet. Dann 

überträgt man die Culmann’sche Gerade vom Lage- 

in den Kräfteplan, lässt sie durch Anfangsoder 

Endpunkt von F1 laufen und schließt dieses 

Krafteck durch die zugehörige Kraft FA. Das 

Krafteck zeigt die Kräfte F1, FA und ihre Teilresultierende 

Fr1,A. Die gleichgroße Teilresultierende 

Fr2,B hat entgegengesetzten Richtungssinn. Aus 

ihr und den parallel verschobenen Kräften F2 und 

FB wird das zweite Teilkrafteck als Zerlegungsdreieck 

gebildet. Damit ist der Kräftezug aus F1, 

F2, FB und FA geschlossen. 

Aus der Länge der Kraftpfeile werden dann mit 

Hilfe des Kräftemaßstabes die Beträge der Gleichgewichtskräfte 

berechnet. 

Den Richtungssinn der Kräfte F2, FB und FA findet 

man aus der Bedingung des fortlaufenden Kräftezugs, 

d. h. der Umfahrungssinn beim Einzeichnen 

der Pfeilspitzen muss, von F1 ausgehend, beibehalten 

werden („Einbahnverkehr“). 


Kräfteplan 


MK ¼ 20 N 

ð1cm¼b 20 NÞ 

cm 


F2 ¼ 2,65 cm 20 N 

¼ 53 N 

cm 

FA ¼ 1,95 cm 20 N 

¼ 39 N 

cm 

FB ¼ 2,6 cm 20 N 

¼ 52 N 

cm 

Ergebnis: 

Um Gleichgewicht zu erreichen, muss die 

Feder mit 53 N nach links ziehen. An der 

Rolle A wirkt die Stützkraft FA mit 39 N nach 

rechts und an der Rolle B die Stützkraft FB 

mit 52 N nach rechts oben. 

Arbeitsplan zum 4-Kräfte-Verfahren: 

Lageplan des freigemachten Bauteils zeichnen und darin die Wirklinien der 1. Schritt 

Belastung und der Stützkräfte festlegen. 

Wirklinien von je zwei Kräften zum Schnitt bringen. 2. Schritt 

Gefundene Schnittpunkte zur Wirklinie der beiden Teilresultierenden 

(¼ Culmann’sche Gerade) verbinden. 

Kräfteplan mit der nach Betrag, Lage und Richtungssinn bekannten Kraft 

anfangen. 

Kräfteplan mit der Culmann’schen Geraden und den Wirklinien der anderen 

Kräfte schließen. 

Beachte: Die Kräfte eines Schnittpunkts im Lageplan ergeben ein Teil-Dreieck 

im Kräfteplan. 


3. Schritt 

4. Schritt 

5. Schritt


1.2.6 Systemanalytisches Lösungsverfahren zur Stützkraftberechnung 

Dieser Abschnitt sollte erst dann bearbeitet werden, wenn die rechnerische Ermittlung von 

Stützkräften an zweifach gelagerten Bauteilen sicher beherrscht wird. Die Lehrinhalte dieses 

Lösungsverfahrens zur Stützkraftberechnung eignen sich gut für ein abschließendes Statik-Projekt 

mit Gruppenarbeit. 

Die Bezeichnung „systemanalytisch“ soll darauf hinweisen, dass Kräfte und geometrische 

Größen in einem rechtwinkligen Achsenkreuz erfasst und mathematisch allgemein gültig verarbeitet 

werden. 

Mit den drei rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen SFx ¼ 0, SFy ¼ 0 und SM ¼ 0 soll 

ein Gleichungssystem entwickelt werden, mit dem die Stützkräfte (Fest- und Loslagerkräfte) 

bei beliebiger Lageranordnung „automatisiert“ berechnet werden können. Für die Anzahl der 

Belastungskräfte F gibt es keine Beschränkung, auch nicht für ihre Lage zueinander. Vorausgesetzt 

wird nur, dass die Körper (Träger, Kran, Hebel usw.) durch ein Festlager und ein Loslager 

gehalten werden, wie der Winkelhebel in der vorhergehenden Aufgabe. 

Gleichungssysteme dieser Art sind Bausteine für die Entwicklung von Rechnerprogrammen, 

die der Techniker für seine Arbeit in der Praxis erstellen kann. 

1.2.6.1 Herleitung der Systemgleichungen 

Das gesuchte Gleichungssystem soll am Winkelhebel 

aus der vorhergehenden Ûbungsaufgabe entwickelt 

werden. Dann stehen Vergleichsdaten zur 

Verfügung. 

Aufgabe: Neben der Bemaßung des Hebels ist die 

Belastungskraft F1 mit dem Richtungswinkel a1 

gegeben. Zu berechnen sind: Festlagerkraft FF und 

deren Komponenten FFx, FFy und die Loslagerkraft 

FL. Wichtig ist noch die Erkenntnis, dass bei allen 

Aufgaben dieser Art der Richtungswinkel aL der 

Loslagerkraft FL bekannt sein muss: Die Loslagerkraft 

FL steht immer rechtwinklig auf der Auflagerfläche 



Gegeben: 

F1 ¼ 1 kN, a1 ¼ 20 , b ¼ 50 

l1 ¼ 120 mm, l2 ¼ 40 mm 

l3 ¼ 30 mm 

Lösung: Die Lageskizze des freigemachten Winkelhebels 

wird in den ersten Quadranten eines 

rechtwinkligen Achsenkreuzes eingezeichnet. 

Aus den gegebenen Maßen lassen sich die Koordinaten 

der Kraftangriffspunkte berechnen: x1 und 

y1 für die Kraft F1, xF und yF für den Festlagerpunkt 

PF und xL, yL für den Loslagerpunkt PL. 

Alle gegebenen Größen werden in einer Tabelle 

zusammengefasst. Lageskizze

54 

Tabelle der gegebenen Größen (Index n steht für 1, 2, 3, usw.) 

|fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} 

n 

1 

Fnin N 

1000 

an in 

20 

xn in mm 

40 

yn in mm 

30 

Koordinaten des 

Festlagerpunkts 

xF ¼ 0 

yF ¼ 0 

2 

3 

4 

5 

... ... ... ... 

Zeilen für mehr als eine gegebene Kraft, 

z. B. bei n ¼ 5fürF1, F2, F3, F4, F5 

... ... ... ... 

Koordinaten des 

Loslagerpunkts 

Richtungswinkel 

der Loslagerkraft FL 

xL ¼ 120 mm 

yL ¼ 0 

aL ¼ 140 

Als erstes werden die Gleichungen für die Momente 

M der gegebenen Kraft F1 in Bezug auf den 

Festlagerpunkt PF ermittelt. 

Diese Gleichungen sollen für beliebig viele gegebene 

Kräfte Fn mit beliebigen Richtungswinkeln 

an zwischen 0 und 360 gelten, ebenso für 

beliebig geformte Bauteile, d. h. für beliebige 

Lagen der Kraftangriffspunkte Pn. 

Dazu wird nach dem Lageschema der Festlagerpunkt 

PF in den Ursprung eines rechtwinkligen 

Achsenkreuzes mit den vier Quadranten gelegt. 

Die Untersuchung, die gut in Gruppenselbstarbeit 

durchführbar ist, führt zu dem folgenden Gleichungssystem 

in Abhängigkeit von der jeweiligen 

Koordinatenbedingung: 

Für Kräfte Fn, deren Angriffspunkt Pn in Bezug 

auf den Momentendrehpunkt PF im ersten Quadranten 

liegt, gilt Gleichung (I): 


auf den Momentendrehpunkt PF im zweiten Quadranten 

liegt, gilt Gleichung (II): 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lageschema für die Kraftangriffspunkte Pn, 

bezogen auf den Momentendrehpunkt (Festlagerpunkt 

PF). 

Beachte: Damit der Klammerausdruck für die 

Koordinatendifferenz in den folgenden Gleichungen 

immer einen positiven Wert hat, wird 

er in Betragsstriche gesetzt. Es wird also immer 

mit dem Absolutwert der Differenz gerechnet. 

Mxn ¼ Fn cos anjðyn yFÞj 

Myn ¼þFn sin an jðxn xFÞj 

Gilt für xn xF und yn yF 

(Koordinatenbedingung) 


Myn ¼ Fn sin an jðxn xFÞj 

Gilt für xn < xF und yn yF 



(I) 

(II)



auf den Momentendrehpunkt PF im dritten Quadranten 

liegt, gilt Gleichung (III): 


auf den Momentendrehpunkt PF im vierten Quadranten 

liegt, gilt Gleichung (IV): 

Zur Lösung einer Aufgabe ist zuerst die zutreffende 

Koordinatenbedingung herauszusuchen. Damit 

kann die für diesen Fall gültige Gleichung der vier 

Gleichungen (I) ...(IV) festgelegt werden. Zur 

Gliederung der Lösung wird dieser Schritt als Abfrage 

bezeichnet (siehe auch Seite 61). 

Die Rechnung ergibt Mx1 ¼ 28,19 Nm (rechtsdrehend) 

für das Moment der x-Komponente F1x. 

Die y-Komponente F1y bewirkt das linksdrehende 

Moment My1 ¼þ13,68 Nm. Der Drehsinn ist 

richtig, wie die Lageskizze zeigt (Seite 53). 

Greifen mehr als eine Belastungskraft am Körper 

an (F1, F2, F3 ...), muss der Rechnungsgang entsprechend 

häufig durchlaufen werden. Für jede 

Kraft wird festgestellt, welche der vier Gleichungen 

(I) ...(IV) gilt (Abfrage 1). Danach werden 

die Momente Mx1, My1, Mx2, My2, Mx3, My3 ... 

berechnet. 

Der weitere Rechnungsgang vereinfacht sich, 

wenn die statischen Momente der Einzelkräfte 

Mxn, Myn in Bezug auf den Momentendrehpunkt 

PF (Festlagerpunkt) zu einem resultierenden 

Gesamtmoment Mg addiert werden. 

Mxn ¼þFn cos anjðyn yFÞj 


Gilt für xn < xF und yn < yF 




Gilt für xn xF und yn < yF 


(III) 

(IV) 

Nach der Lageskizze (Seite 53) führt die 

Abfrage 1 zu 

xn ¼ x1 > xF und yn ¼ y1 > yF 

(40 mm > 0 und 30 mm > 0). 

Ein Vergleich der vier Koordinatenbedingungen 

zeigt, dass mit Gleichung (I) zu rechnen 

ist. 

Mx1 ¼ 1 000 N cos 20 jð30 0Þj mm 

Mx1 ¼ 28 190,8 Nmm ¼ 28,19 Nm 

My1 ¼þ1 000 N sin 20 jð40 0Þj mm 

My1 ¼þ13 680,8 Nmm ¼þ13,68 Nm 

In einem Rechnerprogramm sorgt eine Programmschleife 

mit Abfrage für die Wiederholung 

des Rechengangs (siehe Seite 61). 

Mg ¼ SMxn þ SMyn 

Mg ¼ Mx1 þ Mx2 þ ...My1 þ My2 þ ... 

Beachte: Diese Gleichung hat nur den Zweck, 

die Rechnung bei mehreren Kräften Fn zu 

vereinfachen.

56 

Neben den Belastungskräften Fn wirkt immer noch 

die Loslagerkraft FL drehend in Bezug auf den 

Festlagerpunkt PF. Deren statisches Moment ist 

ML ¼ MxL þ MyL. 

Die vier Gleichungen (I) ...(IV) gelten für jede 

Kraft, die auf den Körper wirkt, also auch für die 

Loslagerkraft FL mit ihren Komponenten 

FLx ¼ FL cos aL und FLy ¼ FL sin aL : 

Mit der Koordinatenbedingung wird als gültige 

Gleichung für die Aufgabe Gleichung (I) ermittelt. 

Damit sind alle Gleichungen erfasst, die für die 

Momentengleichgewichtsbedingung 

SM ðPFÞ ¼ 0 erforderlich sind. 


SMðPFÞ ¼ 0 wird nun eine Gleichung für die Loslagerkraft 

FL entwickelt. 

Je nach Lage des Loslagerpunkts PL in Bezug auf 

den Momentendrehpunkt PF ergeben sich vier 

Gleichungen: 

Liegt der Loslagerpunkt PL in Bezug auf den 

Momentendrehpunkt PF im ersten Quadranten, 

gilt für die Berechnung von MxL und MyL die Gleichung 

(I). 

Damit ergibt sich die Gleichung (V): 


Momentendrehpunkt PF im zweiten Quadranten, 


(II). 

Damit ergibt sich die Gleichung (VI): 

Da 

xL ¼ 120 mm > xF ¼ 0und 

yL ¼ 30 mm > yF ¼ 0 

ist, liegt der Loslagerpunkt PL im ersten Quadranten, 

und es gelten die Gleichungen (I): 

MxL ¼ FL cos aLjðyL yFÞj 

MyL ¼þFL sin aL jðxL xFÞj 

Die Gleichungen werden für die weitere 

Entwicklung gebraucht. Da FL noch nicht 

bekannt ist, kann ML an dieser Stelle auch 

noch nicht berechnet werden. 

SM ðPFÞ ¼ 0 

SM ðPFÞ ¼ Mg þ MxL þ MyL ¼ 0 

Mg ¼ Mx1 þ My1 þ ...Mxn þ Myn 

SM ðPLÞ ¼ 0 ¼ Mg þ MxL þ MyL 

FL ¼ ? 

Mg þ MxL þ MyL ¼ 0 

Mg þ½ FL cos aLjðyL yFÞjŠ þ 

þ½þFLsin aL jðxL xFÞjŠ ¼ 0 

FL ¼ 

Mg 

(I) 

sin aLjðxL xFÞj cos aLjðyL yFÞj 

(V) 

Gilt für xL xF und yL yF 



Mg þ½ FL cos aLjðyL yFÞjŠ þ 

þ½ FL sin aL jðxL xFÞjŠ ¼ 0 

FL ¼ 

Mg 


Gilt für xL < xF und yL yF 



(VI)



Momentendrehpunkt PF im dritten Quadranten, 


(III). 

Damit ergibt sich die Gleichung (VII): 


Momentendrehpunkt PF im vierten Quadranten, 


(IV). 

Damit ergibt sich die Gleichung (VIII): 

Eine Abfrage 2imLösungsgang hat das Ziel, die 

gültige Gleichung aus (V) ...(VIII) herauszufinden. 

Richtgrößen für die Auswahl der richtigen Gleichung 

sind die Koordinaten xL, yL, xF, yF (siehe 

Lageskizze, Seite 53). 

Fehlerwarnung: Der ausgerechnete Betrag für die 

Loslagerkraft FL muss immer positiv sein. Ist der 

Betrag negativ, muss der Richtungswinkel aL 

überprüft werden. Meist wurde sein Betrag um 

180 falsch angenommen. 

Bis zu diesem Lösungsstand wurde nur die 

Momentengleichgewichtsbedingung genutzt und 

damit die Loslagerkraft FL berechnet. Jetzt fehlt 

noch die Berechnung der Festlagerkraft FF und 

deren Richtungswinkel aF. Dazu stehen die beiden 

Kräftegleichgewichtsbedingungen SFx ¼ 0 

und SFy ¼ 0 zur Verfügung. 

Es werden also die gleichen Lösungsschritte wie 

bei der üblichen Bearbeitung dieser Aufgabenart 

verwendet. 


Mg þ½þFLcos aLjðyL yFÞjŠ 

þ½ FL sin aL jðxL xFÞjŠ ¼ 0 

FL ¼ 

Mg 

sin aLjðxL xFÞjþcos aLjðyL yFÞj 

Gilt für xL < xF und yL < yF 



Mg þ½þFLcos aLjðyL yFÞjŠ þ 

þ½þFLsin aL jðxL xFÞjŠ ¼ 0 

FL ¼ 

Mg 

(VII) 

sin aLjðxL xFÞjþcos aLjðyL yFÞj 

Gilt für xL xF und yL < yF 


(VIII) 

In der Aufgabe ist 

xL ¼ 120 mm > xF ¼ 0 und 

yL ¼ yF ¼ 0 

Damit gilt für die Berechnung der Loslagerkraft 

FL die Gleichung (V) mit xL > xF und 

yL ¼ yF. 

Da nur eine äußere Kraft F1 am Winkelhebel 

angreift, ist die Momentensumme 

Mg ¼ Mx1 þMy1 ¼ 28,19 Nmþðþ13,68 NmÞ 

Mg ¼ 14,51 Nm. 

FL ¼ 

FL ¼ 

Mg 


ð 14,51 NmÞ 

sin 140 jð0,12 0Þ mj cos 140 jð0 0Þ mj 

FL ¼ 188,1 N 

Bisher verwendet: 

Momentengleichgewichtsbedingung 

III. SM ðPFÞ ¼ 0 

SMxn þ SMyn þ MxL þ MyL ¼ 0 

Noch verwendbar: 

Kräftegleichgewichtsbedingung: 

I. SFx ¼ 0 

SFn cos an þFL cos aL þFF cos aF ¼ 0 

II. SFy ¼ 0 

SFn sin an þ FL sin aL þ FF sin aF ¼ 0

58 

Greifen mehrere Belastungskräfte Fn am Körper 

an, werden die Summenausdrücke in Gleichung 

(IX) gesondert berechnet. Man erhält damit die 

Resultierenden der x-Komponenten Frx und der 

y-Komponenten Fry. 

In einem Rechnerprogramm wird eine solche 

Summierung mit einer von F1 bis Fn laufenden 

Schleife durchgeführt. 

In der Aufgabe greift nur die Kraft F1 ¼ 1000 N 

als Belastungskraft an. 

Die Ausdrücke für FF cos aF und FF sin aF aus 

den Gleichungen I. und II. (oben rechts) sind die 

beiden rechtwinklig aufeinander stehenden Komponenten 

der Festlagerkraft FF in x- und y-Richtung. 

Der Betrag der Festlagerkraft FF kann daher 

mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. 

FF ¼ 

SFn cos an ¼ F1 cos a1 þF2 cos a2 þ...¼ Frx 

SFn sin an ¼ F1 sin a1 þF2 sin a2 þ...¼ Fry 

(IX) 

Eingesetzt in die Kräftegleichgewichtsbedingungen: 

I. Frx þ FL cos aL þ FF cos aF ¼ 0 

II. Fry þ FL sin aL þ FF sin aF ¼ 0 

Frx ¼ F1 cos a1 

Frx ¼ 1 000 N cos 20 ¼ 939,7 N 

Fry ¼ F1 sin a1 

Fry ¼ 1 000 N sin 20 ¼ 342 N 

I. FF cos aF ¼ FFx ¼ ðFrx þ FL cos aLÞ 

II. FF sin aF ¼ FFy ¼ ðFry þ FL sin aLÞ 

FFx ¼ ðFrx þ FL cos aLÞ 

FFy ¼ ðFry þ FL sin aLÞ 

FF ¼ 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 


q 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

½ ðFrx þ FL cos aLÞŠ 2 þ½ ðFry þ FL sin aLÞŠ 2 

q 

Für die Aufgabe mit dem Winkelhebel wird 

Frx ¼ 939,7 N Fry ¼ 342 N 

FL cos aL ¼ 188,1 N cos 140 ¼ 144,1 N 

FL sin aL ¼ 188,1 N sin 140 ¼þ120,9 N 

FF ¼ 

(X) 

(XIa) 

(XIb) 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

½ ð939,7 N þð 144,1 NÞÞŠ 2 þ ½ ð342 N þ 120,9 NÞŠ 2 

q 

FF ¼ 920,5 N 



Den Abschluss dieses allgemein gültigen Lösungsverfahrens 

bilden die Gleichungen, mit denen der 

Richtungswinkel aF der Festlagerkraft FF berechnet 

werden kann. Hierzu gelten die Ûberlegungen 

aus dem Abschnitt 1.2.4.3 und die dort hergeleiteten 

Beziehungen. 

Je nach Lage der Festlagerkraft FF im Achsenkreuz 

gelten dann die in Abschnitt 1.2.4.3 hergeleiteten 

Beziehungen zur Berechnung des Richtungswinkels 

aF der Festlagerkraft. Die richtige 

Auswahl aus den vier Gleichungen erfordert also 

noch eine Abfrage 3. Richtgrößen sind hier die 

Beträge der Festlagerkomponenten FFx und FFy. 

Für die Aufgabe wird nach Gleichung (X): 

FFx ¼ ð939,7 N þ 188,1 N cos 140 Þ¼ 795,6 N 

FFy ¼ ð342 N þ 188,1 N sin 140 Þ¼ 462,9 N 

bF ¼ arctan jFFyj 462,9 N 

¼ arctan ¼ 30,19 

jFFxj 795,6 N 

Gilt für die Komponenten der Festlagerkraft 

FFx < 0 und FFy < 0, dann ist der Winkel aF mit 

Gleichung (XV) zu berechnen. 

Zunächst muss der spitze Winkel b F zwischen 

der Wirklinie von FF und der x-Achse 

des Achsenkreuzes berechnet werden. 

b F ¼ arctan jFFyj 

jFFxj 

Nach Abschnitt 1.2.4.2 gilt für 

FFx 0 und FFy 0: 

aF ¼ bF FFx < 0 und FFy 0: 

aF ¼ 180 b F 

FFx < 0 und FFy < 0: 

aF ¼ 180 þ b F 

FFx 0 und FFy < 0: 

aF ¼ 360 b F 

aF ¼ 180 þ b F ¼ 210,19 

(XII) 

(XIII) 

(XIV) 

(XV) 

(XVI)

60 

1.2.6.2 Zusammenstellung der Systemgleichungen 

Koordinatenbedingung 

xn; xL xF 

yn; yL yF 

xn; xL < xF 

yn; yL yF 

xn; xL < xF 

yn; yL < yF 

xn; xL xF 

yn; yL < yF 

Abfrage 1 Abfrage 2 

Momentenbedingung 

der Kräfte Fn 





(I) FL ¼ 

(II) FL ¼ 


Myn ¼ Fn sin an jðxn xFÞj (III) FL ¼ 


Myn ¼þFn sin an jðxn xFÞj (IV) FL ¼ 

Resultierendes Moment Mg ¼ SMxn þ SMyn 

Festlagerkraft FF 

Frx ¼ F1 cos a1 þ F2 cos a2 þ ... 

Fry ¼ F1 sin a1 þ F2 sin a2 þ ... 



FF ¼ 

FF ¼ 

Abfrage 3 



q 


½ ðFrx þ FL cos aLÞŠ 2 þ ½ ðFry þ FL sin aLÞŠ 2 

q 

Richtungswinkel aF 


jFFxj 

Loslagerkraft FL 


Mg 


Mg 


(V) 

(VI) 

Mg 

sin aLjðxL xFÞj þ cos aLjðyL yFÞj (VII) 

Mg 

sin aLjðxL xFÞj þ cos aLjðyL yFÞj 

für FFx 0 und FFy 0: aF ¼ b F (XIII) 

für FFx < 0 und FFy 0: aF ¼ 180 b F (XIV) 

für FFx < 0 und FFy < 0: aF ¼ 180 þ b F (XV) 

für FFx 0 und FFy < 0: aF ¼ 360 b F (XVI) 

(IX) 

(X) 

(XIa) 

(XIb) 

(XII) 

(VIII)


1.2.6.3 Beschreibung des Programmlaufs zur Stützkraftberechnung 

Der Ûbungsablauf zeigt, wie ein Rechnerprogramm 

gegliedert sein muss. 

Nach dem Programmstart folgt die Aufforderung 

zur Eingabe der Kraftbeträge Fn, der Richtungswinkel 

an und der Koordinaten xn, yn für die 

Angriffspunkte sämtlicher Kräfte. 

Es folgt eine Programmschleife für die Anzahl der 

gegebenen Kräfte und Duchläufe. Für z. B. 

F1 ...F6 ist der Anfangswert n ¼ 1, der Endwert 

n ¼ AZ (Anzahl) ¼ 6. 

Die anschließende Programmverzweigung enthält 

die Abfrage 1 zur Lage der Kräfte Fn zur Festlagerkraft 

FF: xn xF und yn yF usw., siehe 

Gleichungen (I) ...(IV). Danach erfolgt die Zuweisung 

der gültigen Gleichung und die Berechnung 

der Momente Mxn und Myn. 

Nach dem letzten Schleifendurchlauf (n ¼ AZ) 

werden die Momente Mxn und Myn zum Gesamtmoment 

Mg addiert: 

Mg ¼ Mx1 þ Mx2 þ ...þ My1 þ My2 þ ... 

Es folgt eine zweite Programmverzweigung mit 

den Abfragen 2 nach der Lage der Loslagerkraft 

FL zur Festlagerkraft FF, entsprechend den Gleichungen 

(V) ...(VIII). Nach dem Ergebnis der 

Abfrage wird die gültige Gleichung zugewiesen 

und ausgerechnet (FL ¼ ...). 

Anschließend werden nach den Gleichungen (IX) 

und (X) die Teilresultierenden Frx, Fry der Belastungskräfte 

Fn und die Komponenten FFx und FFy 

der Festlagerkraft FF berechnet. 

Mit Gleichung (XIa) oder (XIb) kann nun die 

Festlagerkraft FF berechnet werden. 

Mit Gleichung (XII) wird der spitze Winkel b F der 

Festlagerkraft FF zur x-Achse berechnet. 

Nach dem Ergebnis der Abfrage 3 weist das Programm 

eine der Gleichungen (XIII) ...(XVI) zu, 

mit der dann der Richtungswinkel aF der Festlagerkraft 

FF berechnet wird.

62 

1.2.6.4 Ûbung zum systemanalytischen Lösungsverfahren zur Stützkraftberechnung 

Die Skizze zeigt den Klapptisch einer Biegepresse 

mit der üblichen Bemaßung. 1) Der Tisch wird 

durch den Hydraulikkolben um das Festlager 

geschwenkt. 

Für die skizzierte waagerechte Tischlage sind zu 

berechnen: 

a) die Koordinaten der Kraftangriffspunkte und 

der Richtungswinkel aL der Loslagerkraft FL 

(Kolbenkraft), 

b) der Betrag der Loslagerkraft FL, 

c) der Betrag der Festlagerkraft FF im Schwenklager, 

d) der Richtungswinkel aF der Festlagerkraft FF. 

Lösung: 

a) Die Rechnung wird einfacher, wenn das rechtwinklige 

Achsenkreuz so gelegt wird, dass sich 

nur positive Koordinaten für die Kraftangriffspunkte 

ergeben. 

Legt man die x-Achse in den tiefsten Kraftangriffspunkt 

(Loslagerkraft FL), wird die 

y-Koordinate yL ¼ 0. 

b) Die Lageskizze zeigt, dass x1 < xF und y1 ¼ yF 

ist (Abfrage 1). Folglich gilt zur Berechnung 

der Komponentenmomente Mx1 und My1 die 

Gleichung (II). Wegen jðy1 yFÞj ¼ 0 und 

cos 270 ¼ 0 ist auch Mx1 ¼ 0. Die Summe 

beider Teilmomente ist das Gesamtmoment 

Mg ¼ Mx1 þ My1. 

1) Aufgabe 91 aus der Aufgabensammlung zur Technischen Mechanik 


Lageskizze des frei gemachten Klapptisches 

F1 ¼ 12 000 N, a1 ¼ 270 , x1 ¼ 0,5 m, y1 ¼ 0,1 m 

xF ¼ 1m,yF ¼ 0,1 m, xL ¼ 0,7 m, yL ¼ 0 

0,3 m 

aK ¼ arctan ¼ 30,96 

0,5 m 

aL ¼ 180 aK ¼ 149,04 


Mx1 ¼ F1 cos a1jðy1 yFÞj 

¼ 12 000 N cos 270 jð0,1 0,1Þ mj 

Mx1 ¼ 0 

My1 ¼ F1 sin a1jðx1 xFÞj 

¼ 12 000 N sin 270 jð0,5 1Þ mj 

My1 ¼þ6000 Nm 

Mg ¼ Mx1 þ My1 ¼ 0 þðþ6000 NmÞ 

Mg ¼þ6000 Nm


Für die Berechnung der Loslagerkraft FL gelten 

die Gleichungen (V) ...(VIII). 

Nach der Lageskizze ist xL < xF und yL < yF. Die 

Loslagerkraft FL ist also mit Gleichung (VII) zu 

berechnen (Abfrage 2). 

c) Nach Gleichung (IX) werden die Komponenten 

Frx und Fry berechnet. Natürlich ist die Komponente 

Frx ¼ 0, denn die Kraft F1 wirkt in 

y-Richtung, hat also keine Komponente in 

x-Richtung. 

Jetzt lassen sich mit Gleichung (X) die Komponenten 

FFx und FFy der Festlagerkraft FF 

berechnen. 

Wie bei allen Rechnungen muss auch hier 

auf die exakte Vorzeichenmitnahme geachtet 

werden. 

Mit den Komponenten der Festlagerkraft kann 

nach einer der Gleichungen (XIa) oder (XIb) 

der Betrag der Festlagerkraft FF berechnet werden. 

Da die Komponenten bereits bestimmt 

sind, wird die Gleichung (XIa) verwendet. 

d) Zum Schluss wird der Richtungswinkel aF der 

Festlagerkraft FF ermittelt. Erforderlich ist dazu 

der spitze Winkel b F , den die Wirklinie der 

Festlagerkraft mit der x-Achse einschließt. Es 

gilt die Gleichung (XII). 

Bestimmungsgleichung für den Richtungswinkel 

aF ist wegen FFx > 0undFFy < 0 die 

Gleichung (XVI), ausgewählt durch die Abfrage 

3. 

Aufgaben Nr. 83–116 und 137–159 

FL ¼ 

Mg 

sin aLjðxL xFÞj þ cos aLjðyL yFÞj 

FL ¼ 

ð sin 149,04 jð0,7 

ðþ6 000 NmÞ 

1Þ mjþ cos 149,04 jð0 0,1 mjÞ 

FL ¼ 24 991 N 

Frx ¼ F1 cos a1 ¼ 12 000 N cos 270 

Frx ¼ 0 

Fry ¼ F1 sin a1 ¼ 12 000 N sin 270 

Fry ¼ 12 000 N 


FFx ¼ ð0þ 24 991 N cos 149,04 Þ 

FFx ¼ 21 430 N 


FFy ¼ ð 12 000 N þ 24 991 N sin 149,04 Þ 

FFy ¼ 856,4 N 

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

FF ¼ 


ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

FF ¼ ð21 430 NÞ 2 þð 856,4 NÞ 2 

q 

FF ¼ 21 447 N 


jFFxj 

b F ¼ arctan 

j 856,4 Nj 

¼ 2,29 

j21 430 Nj 

aF ¼ 360 b F ¼ 360 2,29 

aF ¼ 357,71

64 

1.2.7 Stützkraftermittlung beim räumlichen Kräftesystem (Getriebewelle) 

Das folgende Beispiel eines räumlichen Kräftesystems soll zeigen, dass mit den Kenntnissen 

aus der Statik in der Ebene auch kompliziertere Probleme gelöst werden können. 

Die skizzierte Getriebezwischenwelle trägt die beiden 

schräg verzahnten Stirnräder 2 und 3. Diese 

übertragen das Antriebsmoment M1 des Rades 1 

über die Getriebezwischenwelle auf das Stirnrad 4. 

Die dabei auftretenden Zahnkraftkomponenten 

Tangentialkraft Ft, Radialkraft Fr und Axialkraft 

Fa sind bekannt, ebenso die Längen l und die 

Wälzkreisradien r. 

Mit Hilfe der drei Gleichgewichtsbedingungen 

SFx ¼ 0, SFy ¼ 0 und SM ¼ 0 sollen die Gleichungen 

zur Berechnung der Stützkräfte FA und 

FB in den beiden Lagern entwickelt werden. Hierbei 

wird der Versatzwinkel a berücksichtigt. Die 

Gleichungen gelten daher für jede beliebige Lage 

des Zahneingriffs des Räderpaars 3 und 4. 

In die Skizze des räumlichen Achsenkreuzes werden 

die Stützkraftkomponenten FAx, FAy, FBx und 

FBy eingetragen. Als Richtungssinn für die noch 

unbekannten Stützkraftkomponenten FAx, FAy, 

FBx, FBy wird, wie immer, die positive Achsenrichtung 

gewählt. Der Richtungssinn der Radialkräfte 

Fr, der Tangentialkräfte Ft und der Axialkräfte Fa 

ergibt sich aus Getriebekonstruktion und Betriebsart 

(Schrägstirnräder, Zahneingriffspunkte, Versatzwinkel, 

Drehmomentenrichtung). 

Am Radmittelpunkt M2 werden parallel zu den 

Zahnkraftkomponenten Ft2 und Fa2 zwei gleich 

große gegensinnige Kräfte Ft2 und Fa2 angebracht 

und Fr2 nach unten verschoben. Damit ergeben 

sich die Drehmomente Ma2 und Mt2 und in M2 die 

Kräfte Ft2, Fa2 und Fr2. Die Drehmomente der beiden 

Kräftepaare wirken drehend, die Zahnkräfte 

verschiebend auf die Welle. Am Rad 3 lässt sich 

das gleiche Vorgehen wegen des Versatzwinkels a 

nicht gut darstellen. 

Das Untersuchungsergebnis muss unter Berücksichtigung 

des Versatzwinkels a grundsätzlich das 

gleiche sein. 


Aufgabenskizze zur Getriebezwischenwelle 

(Indizes: r für radial, t für tangential, a für 

axial) 

Lageskizze 1 der freigemachten Getriebewelle 

Hinweis: Das Anbringen von zwei gleich 

großen gegensinnigen Kräften (z. B. Ft2) 

ändert am Kräftesystem nichts, zeigt aber, 

welche Wirkung die Einzelkraft in Bezug auf 

den gewählten Punkt (M2) hat. Das (gestrichene) 

Kräftepaar wirkt drehend, die Einzelkraft 

(Ft2) schiebend (biegend).


Vor dem Ansetzen der Gleichgewichtsbedingungen 

zur Berechnung der Stützkräfte wird untersucht, 

mit welcher Winkelfunktion die Zahnkräfte 

am Stirnrad 3 zu berechnen sind. 

Die Lageskizze 2 gibt darüber Aufschluss: 

In y-Richtung gilt Ft3y ¼ Ft3 sin a 

Fr3y ¼ Fr3 cos a 

In x-Richtung gilt Ft3x ¼ Ft3 cos a 

Fr3x ¼ Fr3 sin a 

Eine Ûberprüfung mit anderen Zahneingriffspunkten 

zeigt, dass diese Gleichungen für alle Versatzwinkel 

a zwischen 0 und 360 gelten. 

Der Wirkabstand der Axialkraft Fa3 bezogen auf 

den Radmittelpunkt M3 beträgt r3 cos a. 

Begonnen wird mit den Gleichgewichtsbedingungen 

für die in der z, y-Ebene wirkenden Kräfte 

und Kraftmomente. 

In y-Richtung wirken die gesuchten Stützkräfte FAy 

und FBy, deren Richtungssinn wie immer in positiver 

y-Richtung angenommen wird (siehe Seite 28). 

Der Richtungssinn der Axialkräfte Fa2 und Fa3 

wird der Aufgabenskizze entnommen. Er richtet 

sich nach der Drehrichtung der Stirnräder. Nicht 

zu vergessen ist, dass durch den Versatz um den 

Winkel a auch die Tangentialkraft Ft3 eine y-Komponente 

hat (Ft3 sin a, siehe Lageskizze 2 der 

Zahnkräfte am Rad 3. 

Lageskizze 2 für die Zahnkräfte am Rad 3 

(E Eingriffspunkt, a Versatzwinkel) 

Lageskizze 3 der Welle für den Kraftangriff 

in der z, y-Ebene 

Beachte: In der z, y-Ebene liegen auch die 

Axialkräfte Fa2 und Fa3. Diese haben eine 

Kippwirkung auf die Welle (rechtsdrehend) 

und beeinflussen damit die Stützkraftkomponenten 

FAy und FBy. 

Man beginnt mit der Momentengleichgewichtsbedingung um den Lagerpunkt B: 

SMðBÞ ¼ 0 ¼ FAyl Fa2r2 þ Fr2ðl l1Þ ðFr3 cos a þ Ft3 sin aÞ l3 Fa3r3 cos a 

FAy ¼ Fa2r2 þ Fr2ðl l1Þ ðFr3 cos a þ Ft3 sin aÞ l3 Fa3r3 cos a 

l 

(1)

66 

Um direkt eine Gleichung für die andere Stützkraftkomponente 

FBy zu bekommen, wird die 

Momentengleichgewichtsbedingung noch einmal 

angesetzt, diesmal um den Lagerpunkt A: 

Beachte: Die Kräftegleichgewichtsbedingung 

SFy ¼ 0 wird dann zur Kontrolle der voraufgegangenen 

Rechnung benutzt. 

SM ðAÞ ¼ 0 ¼ Fr2l1 þðFr3 cos a þ Ft3 sin aÞðl1 þ l2ÞþFByl Fa2r2 Fa3r3 cos a 

FBy ¼ Fr2l1 ðFr3 cos a þ Ft3 sin aÞðl1 þ l2ÞþFa2r2 þ Fa3r3 cos a 

l 

Zur Kontrolle: 

SFy ¼ 0 ¼ FAy Fr2 þ Fr3 cos a þ Ft3 sin a þ FBy (3) 

Aus der Kräftegleichgewichtsbedingung in z-Richtung 

ergibt sich: 

SFz ¼ 0 ¼ Fa2 Fa3 Fa 

Fa ¼ Fa2 Fa3 (4) 

Nun werden die Gleichgewichtsbedingungen für 

die in der z, x-Ebene wirkenden Kräfte und Kraftmomente 

entwickelt. Aus der Lageskizze 4 ist 

abzulesen: 

SMðBÞ ¼ 0 ¼ FAxl þ Ft2ðl l1Þþ 

þðFt3 cos a Fr3 sin aÞ l3 

FAx ¼ Ft2ðl l1ÞþðFt3 cos a Fr3 sin aÞ l3 

l 

SM ðAÞ ¼ 0 ¼ Ft2l1 þðFr3 sin a 

Ft3 cos aÞðl1 þ l2ÞþFBxl 

FBx ¼ Ft2l1 ðFr3 sin a Ft3 cos aÞðl1 þ l2Þ 

l 

Zur Kontrolle: 

(5) 

(6) 

SFx ¼ 0 ¼ FAx Ft2 þ Fr3 sin a Ft3 cos a þ FBx (7) 


(2) 

Die Axialkraft Fa ist die Differenz der beiden 

Axialkräfte Fa2 und Fa3. Sie wird entweder in 

A oder in B von einem Festlager aufgenommen. 

Lageskizze 4 der Welle für den Kraftangriff 

in der z, x-Ebene


Die Stützkraftkomponenten FAx und FAy stehen 

rechtwinklig aufeinander, ebenso FBx und FBy. Mit 

dem Lehrsatz des Pythagoras lassen sich daher die 

Stützkräfte FA und FB berechnen. 

Die Gleichungen (1), (2), (5) und (6) werden in 

die Gleichungen (8) und (9) eingebracht. Dann stehen 

zwei direkt auswertbare Gleichungen für die 

Stützkräfte zur Verfügung. 

FA ¼ 1 

l 

FB ¼ 1 

l 

FA ¼ 

FB ¼ 


FAx 2 þ FAy 2 

q 


FBx 2 þ FBy 2 

q 

(8) 

(9) 

Hinweis: Für die Ermittlung des Biegemomentenverlaufs 

werden die Stützkraftkomponenten 

FAx, FBx und FBy gebraucht, 

für die Lagerberechnung die resultierenden 

Stützkräfte FA und FB. 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

½Ft2ðl l1Þþl3ðFt3 cos a Fr3 sin aÞŠ 2 þ 

þ½Fr2ðl l1Þ Fa2r2 l3ðFr3 cos a þ Ft3 sin aÞ Fa3r3 cos aŠ 2 

s 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

½Ft2l1 ðl1 þ l2ÞðFr3 sin a Ft3 cos aÞŠ 2 þ 

þ½Fr2l1 ðl1 þ l2ÞðFr3 cos a þ Ft3 sin aÞþFa2r2 þ Fa3r3 cos aŠ 2 

s 

Berechnungsbeispiel: 

Für die Getriebezwischenwelle aus der Aufgabenskizze 

(Seite 64) sollen die Stützkräfte berechnet 

werden. Aus dem Getriebeentwurf sind alle erforderlichen 

Längen und Zahnkräfte des Schrägstirnradgetriebes 

bekannt, ebenso die Wälzkreisradien 

r2 und r3 sowie der Versatzwinkel a. 

Gegeben: 

Fr2 ¼ 2 081 N 

Fr2 ¼ 784 N 

Fa2 ¼ 558 N 

r2 ¼ 50,5 mm 

Versatzwinkel a ¼ 0 

Ft3 ¼ 2 586 N 

Fr3 ¼ 956 N 

Fa3 ¼ 693 N 

r3 ¼ 40,6 mm 

Gesucht: 

FAx, FBx, FAy, FBy, FA, FB, Fa 

(10) 

(11) 

l ¼ 220 mm 

l1 ¼ 70 mm 

l2 ¼ 100 mm 

l3 ¼ 50 mm 

Die Auswertung der entwickelten Gleichungen (1) ...(9) führt zu folgenden Ergebnissen: 

FAx ¼ 2 006,6 N 

FBx ¼ 2 660,4 N 

FAy ¼ 61,3 N 

FBy ¼ 233,3 N 

FA ¼ 2 007,5 N 

FB ¼ 2 670,6 N 

Fa ¼ 135 N 

Kontrolle: 

SFx ¼½2006,6 2 081 þ 956 sin 0 2 586 cos 0 þ 2 660,4Š N ¼ 0 

SFy ¼½61,3 784 þ 956 cos 0 þ 2 586 sin 0 þð 233,3ÞŠ N ¼ 0

68 

1.3 Statik der ebenen Fachwerke 

1.3.1 Gestaltung von Fachwerkträgern 

Fachwerkträger sind aus Profilstäben zusammengesetzte 

Tragkonstruktionen (Biegeträger), z. B. 

für Brücken, Krane, Dachbinder, Gerüste. Sie 

haben einen geringeren Materialaufwand als Vollwandträger 

und erscheinen durch ihre Netzkonstruktion 

optisch leichter. Nachteilig ist die arbeitsintensivere 

Fertigung. 

Fachwerkträger sind meist in zwei oder mehr 

parallelen Ebenen aufgebaut. Jede Trägerebene 

wird dann als ebenes Fachwerk angesehen. 

Die äußere Form eines Fachwerkträgers kann frei 

gestaltet werden. Geometrisches Element des 

Fachwerks ist der Dreiecksverband. Das Dreieck 

ist die einfachste „starre“ Figur. Durch Ansetzen 

solcher Dreiecksverbände werden die verschiedenen 

Fachwerksformen (z. B. parallelgurtig, trapezförmig) 

als Streben- oder Pfosten-Streben-Fachwerk 

entwickelt. Der Obergurt kann parallel zum 

Untergurt laufen, aber auch z. B. dem Biegemomentenverlauf 

des Trägers angepasst werden. Siehe 

dazu Festigkeitslehre, Abschnitte 5.9.7, Seite 333 

und 5.9.10, Seite 349. 

Unter den skizzierten Fachwerksformen in der 

rechten Spalte stehen in Klammern die Angaben 

für die Anzahl der Knoten k (z. B. k ¼ 11) und die 

Anzahl der Stäbe s des Fachwerks (z. B. s ¼ 19). 

Diese Größen werden im folgenden Kapitel zum 

Ansatz der Gleichgewichtsbedingungen für die 

statische Bestimmtheit des Trägers gebraucht. 

Die Profilstäbe werden untereinander im so genannten 

Knoten mit Knotenblechen verbunden, 

wobei sich die Profil-Schwerachsen möglichst im 

Knotenpunkt schneiden sollen. Damit wird das 

Einleiten von größeren Biegemomenten in die Verbindung 

vermieden und die Knotenpunkte können 

als Gelenkpunkte für Zweigelenkstäbe angesehen 

werden (siehe Statik, 1.1.7.3, Seite 13). Der Knoten 

kann genietet, geschraubt, geschweißt oder 

z. B. bei Leichtmetallprofilen geklebt sein. 

Streben-Fachwerkträger, parallelgurtig 

(k ¼ 11 Knoten, s ¼ 19 Stäbe) 

Pfosten-Streben-Fachwerkträger, Biegemomentenverlauf 

trapezförmig angepasst 


Polygon-Fachwerkträger, Biegemomentenverlauf 

angepasst 


Geschraubter Knoten 


1.3 Statik der ebenen Fachwerke 69 

1.3.2 Die Gleichgewichtsbedingungen am statisch bestimmten Fachwerkträger 

Der skizzierte einfachste Fachwerkträger besteht 

aus den drei Stäben 1, 2, 3, die in Dreiecksform in 

den Knoten I, II und III miteinander verbunden 

sind. Øußere Kräfte F dürfen nur über die Knoten 

in das Tragwerk eingeleitet werden (Kraft F in 

Knoten II). Im Festlager A und Loslager B ist der 

Träger mit den drei Auflagerkräften FAx, FAy und 

FB wie üblich statisch bestimmt abgestützt (statisches 

Gleichgewicht, siehe z. B. Abschnitt 1.2.5.3, 

Seite 44). Beim Vollwandträger sind damit die 

Gleichgewichtsbetrachtungen abgeschlossen. Beim 

Fachwerkträger dagegen muss zusätzlich die Verschiebbarkeit 

der Stäbe gegeneinander untersucht 

werden. Man unterscheidet daher zwischen äußerer 

und innerer statischer Bestimmtheit. 

Ist k die Anzahl der Knoten für das ganze System, 

so ist wegen SFx ¼ 0, SFy ¼ 0 die Anzahl der 

zur Verfügung stehenden Gleichgewichtsbedingungen 

2k. 

Ist s die Anzahl der unbekannten Stabkräfte, dann 

ist mit den drei Lagerkräften FAx, FAy, FB die 

Anzahl der unbekannten Kräfte s þ 3. 

Bei einem statisch bestimmten System muss die 

Anzahl der Lösungsgleichungen gleich der Anzahl 

der Unbekannten sein, hier also 2 k ¼ s þ 3. Es ist 

üblich, diese Gleichung nach der Anzahl s der erforderlichen 

Profilstäbe aufzulösen und als Bedingung 

für die innere statische Bestimmtheit die 

Gleichung s ¼ 2 k 3 zu verwenden. 

Der skizzierte Fachwerkträger mit vier Knoten 

(k ¼ 4) und vier Stäben (s ¼ 4) ist in der eingezeichneten 

Drehrichtung beweglich (Gelenkviereck), 

für Kraftübertragungen daher ungeeignet. 

Enthält ein Fachwerk ein solches Stabsystem, 

nennt man es statisch unbestimmt. Die Bedingung 

für statische Bestimmtheit ist hier mit k ¼ 4 

Knoten und s ¼ 4 Stäben nicht erfüllt 

(s ¼ 4 < 2 k 3 ¼ 5). Aus dem statisch unbestimmten 

Fachwerk wird ein statisch bestimmtes 

erst bei Hinzunahme eines fünften Stabes: 

s ¼ 5 ¼ 2 4 3. 

Freigemachter einfachster Fachwerkträger 

(Stabdreieck, Dreiecksverband) 

k ¼ 3 Knoten, s ¼ 3 Stäbe 

2k ¼ Anzahl der Gleichgewichtsbedingungen 

(hier 2 3 Knoten ¼ 6 Gleichgewichtsbedingungen) 

s þ 3 ¼ Anzahl unbekannter Kräfte 

(hier s þ 3 ¼ 3 þ 3 ¼ 6 unbekannte Kräfte) 

2 k ¼ s þ 3 

s ¼ 2 k 3 

Bedingung für die innere statische 

Bestimmtheit 

(mit s ¼ 2 k 3 ¼ 2 3 3 ¼ 6 3 ¼ 3 

Stäbe hier erfüllt) 

Bewegliches Fachwerk, statisch unbestimmt 

(Gelenkviereck): s < 2 4 3 ¼ 5

70 

Die skizzierten vier Fachwerke mit 6 Knoten 

sollen mit Hilfe der Bedingung für statische 

Bestimmtheit untersucht werden. 

Fachwerk a) ist mit einem Fest- und einem Loslager 

sowie mit s ¼ 9 Stäben äußerlich und innerlich 

statisch bestimmt (2 k 3 ¼ 2 6 3 ¼ 9). 

Fachwerk b) ist wie a) äußerlich statisch bestimmt, 

jedoch innerlich statisch unbestimmt, weil bei 

2 k 3 ¼ 2 6 3 ¼ 9 die Stabzahl s ¼ 8 < 9 ist. 

Fachwerk c) ist wie a) und b) äußerlich statisch 

bestimmt, innerlich mit s ¼ 10 Stäben jedoch statisch 

unbestimmt. 

Fachwerk d) ist zwar wie a) innerlich statisch 

bestimmt, mit einem Fest- und zwei Loslagern 

jedoch äußerlich statisch unbestimmt. 

1.3.3 Ermittlung der Stabkräfte im Fachwerkträger 

Die Verfahren zur Ermittlung der Stabkräfte werden 

am Beispiel des gezeichneten Fachwerkträgers 

erläutert (Knotenschnittverfahren, Ritter’sches 

Schnittverfahren und Cremonaplan). 

Der Träger besteht aus den Obergurtstäben 1, 4, 8, 

11, den Untergurtstäben 2, 6, 10, den Pfosten oder 

Vertikalen 3, 9 und den Schrägen oder Diagonalen 

5 und 7. Belastet wird der Träger mit den Vertikalkräften 

F1 ¼ 4 kN, F2 ¼ 2 kN und F3 ¼ 3 kN. 

Es ist immer zweckmäßig, zuerst aus der Trägerbelastung 

und den Abmessungen die Auflagerkräfte 

zu bestimmen. Nach der Ermittlung aller 

Stabkräfte hat man dann immer eine Kontrolle 

auch für die Auflagerkräfte (siehe Knoten VII im 

folgenden Knotenschnittverfahren). 

Mit den rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen 

SFx ¼ 0, SFy ¼ 0 und SM ¼ 0 ergibt sich: 

FA ¼ 4,75 kN und FB ¼ 4,25 kN. 


Beispiele für die statische Bestimmtheit 


Hinweis: Der Trägerist äußerlich und innerlich 

statisch bestimmt. s ¼ 2 7 3 ¼ 11 Stäbe. 

SFx ¼ 0; keine waagerechten Kräfte vorhanden. 

SFy ¼ 0 ¼þFA F1 F2 F3 þ FB 

SMðIÞ ¼ 0 ¼ F1 2m F2 4m F3 6m 

þ FB 8m 

FB ¼ F1 2mþ F2 4mþ F3 

8m 

6m 

¼ 4,25 kN 

FA ¼ F1 þ F2 þ F3 FB ¼ 4,75 kN 

1.3.3.1 Das Knotenschnittverfahren 

(rechnerisches oder zeichnerisches Verfahren zur Ermittlung aller Stabkräfte) 

Mit einem Rundschnitt werden alle Knoten (k ¼ 7) freigemacht und in ein rechtwinkliges 

Achsenkreuz gelegt. 

Die noch unbekannten Stabkräfte FS1 ...FS11 trägt man in den Knotenpunkt I ...VII als 

Zugkräfte positiv (þ) ein.


Für jeden Knotenpunkt stehen die beiden Gleichgewichtsbedingungen SFx ¼ 0undSFy ¼ 0 

zur Berechnung von zwei unbekannten Stabkräften zur Verfügung. Wurden vorher die Auflagerkräfte 

FA und FB berechnet, liegen meistens dort die Ausgangsknoten für den Berechnungsgang, 

wie hier im Beispiel die Knoten I und VII mit den zwei unbekannten Stabkräften 

FS1 und FS2 am Knoten I und FS10 und FS11 am Knoten VII. Von den anschließenden Knoten 

sucht man sich denjenigen mit maximal zwei unbekannten Stabkräften heraus und erhält nacheinander 

alle Stabkräfte des Fachwerkträgers. Häufig ist dieses schrittweise Vorgehen einfacher 

als das Aufstellen und Lösen eines Gleichungssystems. 

Das Knotenschnittverfahren kann auch zeichnerisch durchgeführt werden. Die entsprechenden 

Skizzen der Kräftepläne zur zeichnerischen Ermittlung der unbekannten Stabkräfte wurden 

daher mit aufgenommen. Sie stehen rechts neben den Skizzen der freigemachten Knoten und 

führen zum Verständnis des Cremonaplans in 1.3.3.3. 

Zur Lagebestimmung der schrägen Stabkräfte als Zugkräfte wird der Winkel a als spitzer Winkel 

zur x-Achse verwendet. Es gelten dann die Beziehungen FSx ¼ FS cos a für die x-Komponente 

und FSy ¼ FS sin a für die y-Komponente der Stabkraft FS (siehe 1.1.6.2, Seite 9). 

Der Winkel a beträgt 45 . 

Die vorher berechneten Stützkräfte betragen FA ¼ 4,75 kN, FB ¼ 4,25 kN. Im Knoten I greifen 

außer der bereits ermittelten Stützkraft FA ¼ 4,75 kN nur noch die beiden Stabkräfte FS1 

und FS2 an, die nun berechnet werden können: 

Für Knoten I gilt: 

I) SFx ¼ 0 ¼ FS1 þ FS2 cos a 

II) SFy ¼ 0 ¼ FA FS2 sin a 

I) und II) FS2 ¼ FS1=cos a ¼ FA=sin a 

und mit cos a=sin a ¼ 1=tan a 

FS1 ¼ FA=tan a ¼ 4,75 kN=1 ¼ 4,75 kN 

(Druck) 

FS2 ¼ FA=sin a ¼þ6,72 kN (Zug) 

Für Knoten II gilt: 

I) SFx ¼ 0 ¼ FS1 þ FS4 

! FS4 ¼ FS1 ¼ 4,75 kN (Druck) 

II) SFy ¼ 0 ¼ F1 FS3 

! FS3 ¼ F1 ¼ 4 kN (Druck) 

Hinweis zum Kräfteplan: 

Die Stabkraft FS1 (Druckkraft) drückt von rechts 

nach links wirkend auf den Knoten I. 

Im Kräfteplan II muss FS1 als Druckkraft auf den 

Knoten II nach rechts wirken. 

Für Knoten III gilt: 

I) SFx ¼ 0 ¼ FS6 þ FS5 cos a FS2 cos a 

II) SFy ¼ 0 ¼ FS3 þ FS2 sin a þ FS5 sin a 

II) FS5 ¼ð FS3 FS2 sin aÞ=sin a ¼ 1,06 kN (Druck) 

I) FS6 ¼ FS2 cos a FS5 cos a ¼þ5,5 kN (Zug)

72 

Für Knoten IV gilt: 

I) SFx ¼ 0 ¼ FS8 þ FS7 cos a FS4 FS5 cos a 

II) SFy ¼ 0 ¼ F2 FS7 sin a FS5 sin a 

II) FS7 ¼ð F2 FS5 sin aÞ= sin a ¼ 

¼ 1,77 kN (Druck) 

I) FS8 ¼ FS4 þ FS5 cos a FS7 cos a ¼ 

¼ 4,25 kN (Druck) 

Für Knoten V gilt: 

I) SFx ¼ 0 ¼ FS10 cos a FS6 FS7 cos a 

II) SFy ¼ 0 ¼ FS9 þ FS10 sin a þ FS7 sin a 

I) FS10 ¼ 0 ¼ðFS6 þ FS7 cos aÞ= cos a ¼ 

¼þ6,01 kN (Zug) 

II) FS9 ¼ 0 ¼ FS7 sin a FS10 sin a ¼ 3kN 

(Druck) 

Für Knoten VI gilt: 

I) SFx ¼ 0 ¼ FS11 FS8 

! FS11 ¼ FS8 ¼ 4,25 kN (Druck) 

II) SFy ¼ 0 ¼ F3 FS9 

! FS9 ¼ F3 ¼ 3 kN (Druck) 

Für Knoten VII gilt: 

I) SFx ¼ 0 ¼ FS11 FS10 cos a 

! FS10 ¼ FS11=cos a ¼þ6,01 kN (Zug) 

II) SFy ¼ 0 ¼ FB FS10 sin a 

! FB ¼ FS10 sin a ¼þ4,25 kN 

(Kontrollrechnung) 

1.3.3.2 Das Ritter’sche Schnittverfahren 

(rechnerisches Verfahren zur Ermittlung einzelner Stabkräfte) 

Nach Ritter können an statisch bestimmten Fachwerkträgern 

einzelne Stabkräfte rechnerisch ermittelt 

werden, z. B. FS4, FS5 und FS6. 

Dazu wird der Träger mit dem Ritter’schen Schnitt 

x x in die beiden Teile (a) und (b) zerlegt und an 

einem der beiden Teile (a) das Gleichgewicht wieder 

hergestellt. 

Die Stützkräfte müssen bei diesem Verfahren vorher 

ermittelt worden sein: 

FA ¼ 4,75 kN, FB ¼ 4,25 kN. 


Lageskizze des Fachwerkträgers mit 

Ritter’schem Schnitt x x


Nach den Regeln des Freimachens werden in den 

drei Stabquerschnitten die unbekannten Stabkräfte 

FS4, FS5 und FS6 als Zugkräfte angebracht. 

Das am Trägerteil (a) angreifende Kräftesystem 

aus den drei Stabkräften FS4, FS5, FS6, der Belastungskraft 

F1 und der Stützkraft FA muss im 

Gleichgewicht sein. Nach Ritter werden zur 

Berechnung der unbekannten Stabkräfte die drei 

Momenten-Gleichgewichtsbedingungen nach Seite 

46 angesetzt. Der Ritter’sche Schnitt darf daher 

auch nur drei Fachwerkstäbe treffen. 

Die drei Momenten-Bezugspunkte dürfen nicht 

auf einer Geraden liegen (siehe Seite 46). Knotenpunkt 

III bietet sich als erster Bezugspunkt an, 

weil er Schnittpunkt zweier unbekannter Kräfte ist 

(FS5 und FS6) und sich damit eine Gleichung mit 

nur einer Unbekannten ergibt. Die Momenten- 

Gleichgewichtsbedingung SM ðIIIÞ ¼ 0 liefert 

direkt die Stabkraft FS4 ¼ 4,75 kN (Druckstab). 

Als zweiter Bezugspunkt wird der Knotenpunkt 

IV gewählt. Er ist Schnittpunkt der Stabkräfte FS4 

und FS5 und liefert wieder eine Gleichung mit 

einer Unbekannten, der Stabkraft FS6 ¼þ5,5 kN 

(Zugstab). 

Dritter Bezugspunkt kann I oder II sein. Mit 

SM ðIÞ ¼ 0 wird FS5 ¼ 1,06 kN (Druckkraft). 

In manchen Fällen wird die Rechnung einfacher, 

wenn der Lösungsansatz mit den üblichen drei 

Gleichgewichtsbedingungen SFx ¼ 0, SFy ¼ 0, 

SM ðÞ ¼ 0 aufgestellt wird. 

Arbeitsplan zum Ritter’schen Schnittverfahren 

Kräftesystem am abgeschnittenen 

Trägerteil (a) 

SM ðIIIÞ ¼ 0 ¼ FS4l FAl 

FS4 ¼ FAl 

l ¼ FA ¼ 4,75 kN 

Das Minuszeichen zeigt an, dass die Kraft 

FS4 dem angenommenen Richtungssinn entgegen 

wirkt: Stab 4 ist also ein Druckstab. 

SM ðIVÞ ¼ 0 ¼ F1l FA 2 l þ FS6l 

FS6 ¼ FA 2 l 

l 

F1l 

¼ 2FA F1 ¼ 5,5 kN 

SMðIÞ ¼ 0 ¼ FS6l þ FS5l1 F1l 

FS5 ¼ F1l FS6l 

l1 

¼ ðF1 FS6Þl 

¼ 1,06 kN 

l1 

Ergebnis: 

Stab 4 ist ein Druckstab mit 4,75 kN 

Stab 5 ist ein Druckstab mit 1,06 kN 

Stab 6 ist ein Zugstab mit 5,5 kN 

Stützkräfte ermitteln (SFx ¼ 0, SFy ¼ 0, SM ðÞ ¼ 0). 1. Schritt 

Fachwerk durch einen Schnitt trennen. Der Schnitt darf höchstens drei 

Fachwerkstäbe treffen, sie dürfen keinen gemeinsamen Knoten haben. 

Lageskizze des abgeschnittenen Trägerteils zeichnen, dabei Stabkräfte als 

Zugkräfte annehmen. 

Die drei Momenten-Gleichgewichtsbedingungen SMðÞ ¼ 0 aufstellen und 

auswerten: positives Ergebnis beim Zugstab, negatives beim Druckstab. 

2. Schritt 

3. Schritt 

4. Schritt

74 

1.3.3.3 Der Cremonaplan (zeichnerisches Verfahren zur Ermittlung aller Stabkräfte) 

Beim Knotenschnittverfahren im vorstehenden Abschnitt 1.3.3.1 wurde neben der rechnerischen 

auch die zeichnerische Ermittlung der beiden unbekannten Stabkräfte dargestellt. Für 

jeden Knoten konnte das geschlossene Krafteck aus der gegebenen Kraft und den Wirklinien 

der zwei unbekannten Stabkräfte konstruiert werden, z. B. am Knoten I mit der gegebenen 

Stützkraft FA und den Wirklinien der Stabkräfte FS1 und FS2. Jede Stabkraft musste bei diesem 

Verfahren zweimal gezeichnet werden. 

Im Cremonaplan erscheint jede Stabkraft nur einmal. Dazu ist es erforderlich, jedes Krafteck 

im gleichen Umfahrungssinn aufzuzeichnen, z. B. im Uhrzeigerdrehsinn. Für den Knoten I des 

bekannten Fachwerkträgers ergibt sich dann der Kraftfolgesinn FA ! FS1 ! FS2. 

Nach der Aufzeichnung des maßstäblichen Lageplans wird der Kräfteplan der äußeren Kräfte 

im festgelegten Kraftfolgesinn konstruiert, hier im Uhrzeigerdrehsinn mit der Folge 

FA ! F1 ! F2 ! F3 ! FB. 

Begonnen wird der Cremonaplan mit dem Knoten, an dem nur zwei unbekannte Stabkräfte 

angreifen, hier z. B. mit Knoten I (auch VII wäre möglich). Im festgelegten Uhrzeigerdreh- 

Kräftetabelle 

Kräfte in kN (aus Cremonaplan) 

Stab Zug Druck 

1 4,75 

2 6,70 

3 4,00 

4 4,75 

5 1,05 

6 5,50 

7 1,75 

8 4,25 

9 3,00 

10 6,00 

11 4,25 

Cremonaplan 

Kräftemaßstab 

MK ¼ 1,2 m 

(1 cm ¼b 1,2 m) 

cm 


Lageplan 

Längenmaßstab: 

ML ¼ 1 m 

(1 cm ¼b 1m) 

cm


sinn ist an die gegebene Stützkraft FA die Stabkraft FS1 (waagerecht) anzuschließen. Das 

geschlossene Krafteck mit FS2 kommt nur zustande, wenn von der Pfeilspitze FA die Stabkraft 

FS1 nach links gezogen wird. 

Wird das gewonnene Krafteck von FA ausgehend umfahren, erhält man den Richtungssinn der 

Stabkräfte in Bezug auf den Knoten I. Der gefundene Richtungssinn wird als Pfeil im Lageplan 

dicht neben dem Knotenpunkt I eingetragen und man erkennt: Stab 1 ist ein Druckstab (FS1 

drückt auf Knotenpunkt I), Stab 2 ist ein Zugstab (FS2 zieht am Knotenpunkt I). Mit dem Eintragen 

der Gegenpfeile an den Knotenpunkten II und III im Lageplan und der Vorzeichen (þ)für 

Zugstäbe und ( )für Druckstäbe im Kräfteplan ist die Bearbeitung am Knoten I abgeschlossen. 

Man geht nun zum Knoten II über, an dem jetzt auch nur noch zwei Stabkräfte (FS3 und FS4) 

unbekannt sind, FS1 wurde schon ermittelt. Mit FS1 beginnend (von links nach rechts wirkend) 

wird das geschlossene Krafteck im Kraftfolgesinn mit FS1, F1, FS4 und FS3 zurück zum 

Anfangspunkt von FS1 konstruiert. Die Reihenfolge der Knotenpunkte ist beliebig, allerdings 

dürfen höchstens zwei Kräfte unbekannt sein. 

Zum Schluss greift man die Längen für die Stabkräfte ab, berechnet diese mit dem Kräftemaßstab 

MK und trägt die Beträge in eine nach Zug- und Druckkräften unterteilte Tabelle ein. Ist 

der Fachwerkträger symmetrisch aufgebaut und belastet, genügt es, eine Hälfte des Cremonaplans 

zu konstruieren. 

Liegt ein Fachwerkstab in der Wirklinie einer äußeren Kraft wie im Knoten II, so ist die Stabkraft 

gleich der in Stabrichtung angreifenden Belastung, hier also FS3 ¼ F1 ¼ 4 kN. 

Trägt der Knoten in einem solchen Fall keine Belastung (F1 ¼ 0), so nennt man den Stab einen 

Nullstab. Diese Nullstäbe nehmen erst bei elastischer Verformung Kräfte auf. Meist sollen sie 

die Knickgefahr langer Druckstäbe verringern. 

Arbeitsplan zur Aufzeichnung des Cremonaplans 

Stützkräfte ermitteln (SFx ¼ 0, SFy ¼ 0, SM ðÞ ¼ 0). 1. Schritt 

Lageplan zeichnen und den Kraftfolgesinn (Umfahrungssinn) festlegen, z. B. 

Uhrzeigerdrehsinn. 

2. Schritt 

Krafteck der äußeren Kräfte konstruieren, z. B. mit FA, F1, F2, F3, FB. 3. Schritt 

Mit dem gewählten Kraftfolgesinn die Kraftecke der Stabkräfte aneinander 

reihen, für jeden Knoten eins in beliebiger Reihenfolge. 

Nach jeder Krafteckzeichnung den Richtungssinn der Stabkräfte durch Pfeile 

in den Lageplan übertragen und Gegenpfeile eintragen. 

Im Kräfteplan die Stabkräfte durch Plus- oder Minuszeichen als Zug- oder 

Druckkräfte kennzeichnen. 

Längen der Stabkräfte abgreifen und deren Beträge unterteilt nach Zug- und 

Druckkräften in eine Tabelle eintragen. 


4. Schritt 

5. Schritt 

6. Schritt 

7. Schritt

76 

2 Schwerpunktslehre 

2.1 Begriffsbestimmung für Schwerlinie, Schwerebene 

und Schwerpunkt 

Man denkt sich einen ebenen Blechabschnitt in 

drei Teilkörper zerlegt und durch eine Symmetrieebene 

mit den Teilflächen A1, A2 und A3 in zwei 

gleichdicke Scheiben geschnitten. 

Auf jeden der drei Teilkörper wirkt die Erdanziehung 

mit den parallelen Teil-Gewichtskräften FG1, 

FG2 und FG3 lotrecht nach unten. Ihre Summe – 

die Resultierende – ist die Gewichtskraft des 

Blechabschnitts FG ¼ FG1 þ FG2 þ FG3. 

Die Wirklinie dieser Resultierenden heißt Schwerlinie, 

weil auf ihr die Gewichtskraft oder Schwerkraft 

des Körpers wirkt. 

Dreht man den Körper in der Symmetrieebene in 

eine beliebige andere Lage, erhält man eine zweite 

Wirklinie der Gewichtskraft (zweite Schwerlinie, 

WL2). Der Schnittpunkt der beiden Schwerlinien 

ist der Angriffspunkt der Gewichtskraft FG für jede 

Körperlage und heißt Schwerpunkt S. 

Alle durch den Schwerpunkt gehenden Geraden 

oder Ebenen werden Schwerlinie oder Schwerebene 

genannt. 

Jede Symmetrielinie ist eine Schwerlinie, jede 

Symmetrieebene ist eine Schwerebene. Irgendwo 

auf ihnen liegt der Schwerpunkt. 

Für komplizierte Körper wird die Lage des 

Schwerpunkts durch Versuche ermittelt. Für einfacher 

aufgebaute Körper kann man sie mit Hilfe 

der in der Statik gewonnenen Erkenntnisse bestimmen: 

Man ermittelt die Wirklinie der Gewichtskraft 

aus den parallelen Teilgewichtskräften 

rechnerisch mit dem Momentensatz (Seite 38), 

zeichnerisch mit dem Seileckverfahren (Seite 40), 

und zwar für zwei zueinander rechtwinklige Lagen. 

In der gezeichneten Lage wird die erste Wirklinie 

(WL1) der Gewichtskraft FG ermittelt. 

Zur Bestimmung der zweiten Wirklinie 

(WL2) muss man sich den Körper um 90 im 

Uhrzeigersinn gedreht vorstellen. Es wäre 

auch jede andere Winkeldrehung möglich, 

jedoch nicht so zweckmäßig. 

Im Schwerpunkt S gestützt oder aufgehängt, 

bleibt der Körper in jeder beliebigen Lage in 

Ruhe, er befindet sich also im Gleichgewicht. 

Beachte: Hat der Körper eine Symmetrielinie, 

so liegt damit schon eine Schwerlinie 

fest. Man braucht dann nur noch die zweite, 

rechtwinklig dazu stehende Schwerlinie zu 

bestimmen. 

Beachte: Der Schwerpunkt ist derjenige körperfeste 

Punkt, durch den in jeder Lage des 

Körpers die Resultierende der Gewichtskräfte 

aller Einzelteilchen hindurchgeht.

2.2 Der Flächenschwerpunkt 77 

2.2 Der Flächenschwerpunkt 

2.2.1 Flächen haben einen Schwerpunkt 

Es soll der Lösungsansatz zur Schwerpunktsbestimmung 

für eine dünne, symmetrische Blechscheibe 

mit Hilfe des Momentensatzes entwickelt 

werden. Dazu denkt man sich die Scheibe aus 

zwei Teilstücken mit den Teilflächen A1 und A2 

und der Dicke s zusammengesetzt. 

Der Schwerpunkt muss auf der Symmetrielinie x 

liegen. Man braucht nur noch den Schwerpunktsabstand 

x0 von der rechten Blechkante zu bestimmen. 

Die Teilgewichtskräfte FG1 und FG2 berechnet man 

aus dem Volumen der Teilstücke, der Dichte r 

ihres Werkstoffs und der Fallbeschleunigung g. 

Das Volumen der Teilstücke wird aus den Teilflächen 

A1, A2 und der Blechdicke s bestimmt. 

Die Gewichtskraft FG der ganzen Blechscheibe berechnet 

man in gleicher Weise mit der Gesamtfläche 

A ¼ A1 þ A2. 

Dann wird der Momentensatz aufgestellt (Seite 38). 

Für die Gewichtskräfte setzt man die oben gefundenen 

Beziehungen ein und entwickelt daraus eine 

Bestimmungsgleichung für den Schwerpunktsabstand 

x0, aus der sich die Blechdicke s, die Dichte 

r und die Fallbeschleunigung g herauskürzen. 

Das Ergebnis zeigt, dass die Schwerpunktslage 

auch mit den Teilflächen und der Gesamtfläche ermittelt 

werden kann. 

Auch Flächen haben also einen Schwerpunkt. 

Die Bestimmung des Flächenschwerpunkts ist z. B. 

für die Berechnung von Flächenmomenten zweiten 

Grades in der Festigkeitslehre erforderlich. 

FG1 ¼ m1g ¼ V1 rg 

FG2 ¼ m2g ¼ V2 rg 

V1 ¼ A1s und V2 ¼ A2s 

folglich ist 

FG1 ¼ A1srg und FG2 ¼ A2 srg 

FG ¼ FG1 þ FG2 ¼ðA1 þ A2Þ srg 

FG ¼ Asrg 

Momentensatz: 

þFG x0 ¼þFG1x1 þ FG2 x2 

Vorzeichen beachten. Linksdrehsinn ist 

positiv. 

Asrgx0 ¼ A1srgx1 þ A2 srgx2 

x0 ¼ ðA1x1 þ A2x2Þ srg 

¼ 

Asrg 

A1x1 þ A2x2 

A 

Ax0 ¼ A1x1 þ A2x2 þ þAnxn ¼ SAnxn 

Momentensatz für Flächen 

Beachte: Für die Flächenmomente Ax sind 

die Vorzeichen entsprechend dem Drehsinn 

einzusetzen (links þ, rechts ). 

Die Flächenmomente Ax heißen nach 

DIN 1304 Flächenmomente 1. Grades.

78 

2.2.2 Schwerpunkte einfacher Flächen 

Dreieck 

Der Schwerpunkt der Dreieckfläche liegt im 

Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. 

Schwerpunktsabstand y0 ¼ h 

3 

Parallelogramm 

Der Schwerpunkt der Parallelogrammfläche 

liegt im Schnittpunkt der Diagonalen. 


2 

Trapez 

Man trägt an die Seite a die Seite b an und umgekehrt. 

Damit kann die Strecke AB gezeichnet 

werden. Durch eine Gerade verbindet man die Mitten 

der Seiten a und b miteinander. Der Schnittpunkt 

ist der Flächenschwerpunkt. 

Schwerpunktsabstände 

Kreisausschnitt 

y0 ¼ h 

3 

y0 0 ¼ h 

3 

Schwerpunktsabstand y0 ¼ 2 

3 

a þ 2b 

a þ b 

2a þ b 

a þ b 

Halbkreisfläche: y0 ¼ 4R 

Viertelkreisfläche: 

¼ 0,4244 R 

3p 

pffiffiffiffiffi 

4 2R 

y0 ¼ ¼ 0,6002 R 

3p 

Sechstelkreisfläche: y0 ¼ 2R 

Kreisringstück 

¼ 0,6366 R 

p 

Schwerpunktsabstand 

(Winkel a in Grad 

einsetzen) 

y0 ¼ 38,197 ðR3 r3 ðR 

Þ sin a 

2 r2Þ a 

Rs 

b 

Seitenhalbierende 

A 

S 

Diagonale 

h 

a 

S 

a 

y 0 

S 

y 0 

h 

h 

b 

y’ 0 

y 0 

a 

2 

b 

2 

Die Seite a kann auch nach rechts an die Seite 

b, und die Seite b nach links an die Seite a 

angetragen werden. 

Radius R 

Mittelpunkt M 

Bogen b 

Sehne s 

S 

 

y 0 

Bogenlänge b ¼ 2Ra =57,3 

Sehnenlänge s ¼ 2R sin a 

R 

r 

S 

 

M 


y 0 

b 

B


Kreisabschnitt 

Schwerpunktsabstand y0 ¼ s3 

12A 

2.2.3 Schwerpunkte zusammengesetzter Flächen 

2.2.3.1 Rechnerische Bestimmung des Flächenschwerpunkts 

Der Schwerpunkt zusammengesetzter Flächen 

wird mit dem Momentensatz für Flächen nach 

2.2.1 bestimmt. Ist die Fläche unsymmetrisch, 

muss man die Lage zweier Schwerlinien ermitteln. 

Ihr Schnittpunkt ist der Schwerpunkt S. 

Man zerlegt die Fläche in Teilflächen mit bekannter 

Schwerpunktslage, z. B. in ein Rechteck A1 

und ein Quadrat A2, und zeichnet die Teil-Schwerpunkte 

S1 und S2 ein. Dann wird ein Momentenbezugspunkt 

0 festgelegt, und zwar möglichst so, 

dass alle Flächenmomente den gleichen Drehsinn 

erhalten. Man wählt hier die rechte untere Ecke 

der Fläche und legt durch diesen Punkt ein rechtwinkliges 

Achsenkreuz. 

Aus den gegebenen Abmessungen berechnet man 

die Teilflächen A1 und A2, ihre Schwerpunktsabstände 

x1, x2 von der y-Achse und y1, y2 von der 

x-Achse und die Gesamtfläche A. 

Aus 2.2.1 ist bekannt, dass die Flächeninhalte wie 

Gewichtskräfte behandelt werden können. Das 

wird durch vertikal nach unten und horizontal 

nach rechts gerichtete Pfeile in den Teilschwerpunkten 

angedeutet. Den Gesamtschwerpunkt S 

legt man an eine beliebige Stelle und trägt die beiden 

Pfeile A für die Gesamtfläche und die Schwerpunktsabstände 

x0 und y0 ein. 


Flächeninhalt 

Rðb 

A ¼ 

sÞþsh 

2 

Bogenhöhe h ¼ 2R sin 2 ða=2Þ 

A1 ¼ 80 mm 60 mm ¼ 4 800 mm 2 

A2 ¼ 40 mm 40 mm ¼ 1 600 mm 2 

A ¼ A1 þ A2 ¼ 6 400 mm 2 

x1 ¼ 30 mm x2 ¼ 80 mm 

y1 ¼ 40 mm y2 ¼ 20 mm

80 

Mit Hilfe der vertikalen „Flächenpfeile“ kann man 

nun den Momentensatz für Flächen bezogen auf 

den Punkt 0 aufstellen. Dabei muss man auf den 

Momentendrehsinn achten. In diesem Fall sind alle 

Momente linksdrehend. Sie erhalten das positive 

Vorzeichen. 

Aus dem Momentensatz entwickelt man eine 

Bestimmungsgleichung für den Schwerpunktsabstand 

x0 und berechnet ihn daraus. 

Zur Ermittlung der waagerechten Schwerlinie 

stellt man noch einmal den Momentensatz für den 

Bezugspunkt 0 auf, diesmal mit den waagerechten 

„Flächenpfeilen“. Daraus berechnet man den Abstand 

y0 des Schwerpunkts S von der x-Achse auf 

die gleiche Weise wie vorher den Abstand x0. Bei 

diesem Ansatz sind alle Momente rechtsdrehend, 

also negativ. 

Mit dem Schnittpunkt der beiden Schwerlinien ist 

der Schwerpunkt S der Gesamtfläche bestimmt. 

Momentensatz: 

þAx0 ¼þA1x1 þ A2x2 

x0 ¼ A1x1 þ A2x2 

A 

x0 ¼ 4 800 mm2 30 mm þ 1 600 mm 2 80 mm 

6 400 mm 2 

x0 ¼ 42,5 mm 

Die vertikale Schwerlinie hat einen Abstand 

x0 ¼ 42,5 mm von der y-Achse. 

Momentensatz: 

Ay0 ¼ A1y1 A2y2 

y0 ¼ A1y1 þ A2y2 

A 

y0 ¼ 4 800 mm2 40 mm þ 1 600 mm 2 20 mm 

6 400 mm 2 

y0 ¼ 35 mm 

Die waagerechte Schwerlinie hat einen Abstand 

y0 ¼ 35 mm von der x-Achse. 

Arbeitsplan zur rechnerischen Bestimmung des Flächenschwerpunkts: 

Fläche in Teilflächen mit bekanntem Schwerpunkt zerlegen. 1. Schritt 

Momentenbezugspunkt 0 festlegen. 2. Schritt 

Gesamtschwerpunkt mit angenommener Lage sowie Schwerpunktsabstände 

x0 und y0 einzeichnen. 

3. Schritt 

Teilflächen, Gesamtfläche und Teilschwerpunktsabstände berechnen. 4. Schritt 

Momentensatz für zwei zueinander senkrechte Achsen aufstellen, Momentendrehsinn 

beachten. 


5. Schritt 

Nach x0 und y0 auflösen und Schwerpunktsabstände ausrechnen. 6. Schritt


2.2.3.2 Ûbung zur Bestimmung des Flächenschwerpunkts 

1. Ûbung: Für die skizzierte zusammengesetzte 

Fläche soll die Lage des Schwerpunkts rechnerisch 

bestimmt werden. 

Lösung: Die Fläche muss in drei Teilflächen mit 

bekanntem Schwerpunkt zerlegt werden: in die 

Halbkreisfläche A1, die Rechteckfläche A2 und die 

Quadratfläche A3. Dann werden die Schwerpunktsabstände 

x1, x2 und x3 eingezeichnet. 

Als Momentenbezugspunkt 0 wird der Schnittpunkt 

zwischen Symmetrielinie und Halbkreisachse 

gewählt. 

Nun legt man den Gesamtschwerpunkt S in der 

Lage fest, in der man ihn vermutet, und trägt den 

Schwerpunktsabstand x0 in die Skizze ein. 

Dann führt man die Rechnung in drei weiteren 

Schritten aus: 

Zuerst werden die Teilflächen, die Gesamtfläche 

und die Teilschwerpunktsabstände berechnet. 

Jetzt wird der Momentensatz für den Bezugspunkt 

0 aufgestellt. Das Moment der Teilfläche A1 ist 

rechtsdrehend, also negativ. Die Momente der anderen 

Teilflächen sind positiv. 

Den Momentensatz löst man nach x0 auf und beachtet 

dabei sorgfältig die Vorzeichen. Die Rechnung 

ergibt einen negativen Wert für x0. Das bedeutet, 

dass der Drehsinn für das Moment der 

Gesamtfläche falsch angenommen wurde (siehe 

Momentensatz für Kräfte, 1.2.5.1, Seite 38), d. h. 

der Schwerpunkt S liegt nicht links, sondern rechts 

vom Bezugspunkt 0. 

Die zweite Schwerlinie braucht man nicht zu ermitteln. 

Es ist die waagerechte Symmetrielinie. 

A1 ¼ p 

8 ð70 mmÞ2 ¼ 1 923 mm 2 

A2 ¼ 600 mm 2 A3 ¼ 400 mm 2 

A ¼ A1 þ A2 þ A3 ¼ 2 923 mm 2 

1. Schritt 

2. Schritt 

3. Schritt 

4. Schritt 

x1 ¼ 0,4244 R ¼ 0,4244 35 mm ¼ 14,9 mm 

x2 ¼ 10 mm x3 ¼ 30 mm 

þAx0 ¼ A1x1 þ A2x2 þ A3x3 

x0 ¼ A1x1 þ A2 x2 þ A3 x3 

A 

x0 ¼ 

10 650 mm3 

¼ 

2 923 mm2 3,6 mm 

5. Schritt 

6. Schritt 

Ergebnis: Der Schwerpunkt S liegt auf der 

Symmetrielinie 3,6 mm rechts vom Halbkreismittelpunkt. 

Beachte: Ergibt sich ein negativer Schwerpunktsabstand, 

dann liegt der Schwerpunkt 

auf der anderen Seite des Bezugspunkts.

82 

2. Ûbung: Aus einer Rechteckfläche sind ein kleineres 

Rechteck und eine Kreisfläche symmetrisch 

ausgespart. Der Schwerpunkt der Gesamtfläche 

soll rechnerisch bestimmt werden. 

Lösung: Die Gesamtfläche ist aus drei Teilflächen 

entstanden: Von der großen Rechteckfläche A1 

wurden die Kreisfläche A2 und die kleine Rechteckfläche 

A3 fortgenommen. A2 und A3 werden als 

„negative“ Flächen bezeichnet. 

In der Skizze kennzeichnet man die Teilfläche A1 

durch einen nach rechts gerichteten Pfeil, die „negativen“ 

Teilflächen A2 und A3 durch nach links 

gerichtete Pfeile. Die Schwerpunktsabstände y1, y2 

und y3 werden eingetragen. 

Als Momentenbezugspunkt 0 wählt man einen 

Punkt auf der oberen Rechteckseite. Man kann 

sich dann bei der Annahme des Gesamtschwerpunkts 

S nicht irren; er muss unterhalb des Bezugspunkts 

liegen. In die Skizze trägt man den Abstand 

y0 und für die Gesamtfläche A einen nach 

rechts gerichteten Pfeil ein. 

Die Rechnung wird wieder mit der Berechnung 

der Teilflächen, der Gesamtfläche und der Teilschwerpunktsabstände 

begonnen. 

Beim Aufstellen des Momentensatzes für den Bezugspunkt 

0 muss man bei der Festlegung des 

Drehsinns die eingezeichneten Pfeilrichtungen beachten. 

Die negativen Flächen wirken wie negative 

Kräfte. Der Drehsinn ihrer Momente ist entgegen 

dem der positiven Flächen gerichtet. 

Der Momentensatz wird nun nach y0 aufgelöst, 

und der Schwerpunktsabstand wird aus der entwickelten 

Gleichung ausgerechnet. Das positive 

Ergebnis zeigt, dass der Schwerpunkt S auf der 

richtigen Seite des Bezugspunktes 0 angenommen 

wurde. 

Die zweite Schwerlinie ist die Symmetrielinie der 

Fläche. 

Aufgaben 201–219 

A1 ¼ 4800 mm 2 , A2 ¼ 314 mm 2 

A3 ¼ 800 mm 2 

A ¼ A1 A2 A3 ¼ 3 686 mm 2 

1. Schritt 

2. Schritt 

3. Schritt 

4. Schritt 

y1 ¼ 30 mm; y2 ¼ 20 mm; y3 ¼ 50 mm 

5. Schritt 

þAy0 ¼þA1y1 A2y2 A3y3 

Beachte: Für negative Flächen (Aussparungen) 

kehrt sich der Momentendrehsinn um. 

y0 ¼ A1y1 A2y2 A3y3 

A 

6. Schritt 

y0 ¼ 144 000 mm3 6 280 mm 3 40 000 mm 3 

3 686 mm 2 

y0 ¼ 26,5 mm 


Ergebnis: Der Schwerpunkt S liegt auf der 

Symmetrielinie 26,5 mm unterhalb der 

oberen Rechteckseite.

2.3 Der Linienschwerpunkt 83 

2.3 Der Linienschwerpunkt 

2.3.1 Linien haben einen Schwerpunkt 

Wie in 2.2.1 geht man wieder von der Schwerpunktsbestimmung 

für einen Körper aus. Es wird 

ein zweifach abgekanteter Stab untersucht. Er hat 

auf der ganzen Länge den gleichen Querschnitt A. 

Man stellt sich den Stab in drei gerade Teilstücke 

mit den Teillängen l1, l2, l3 zerlegt vor. Der ganze 

Stab ist symmetrisch in Bezug auf die eingezeichnete 

x-Achse. 

Die Teilgewichtskräfte FG1, FG2, FG3 berechnet 

man aus dem Volumen der Teilstücke, der Dichte 

ihres Werkstoffes und der Fallbeschleunigung. Das 

Volumen der Teilstücke wird aus ihren Teillängen 

l1, l2, l3 und der Querschnittsfläche A berechnet. 

Die Gewichtskraft FG des ganzen Stabes berechnet 

man in gleicher Weise mit der Gesamtlänge 

l ¼ l1 þ l2 þ l3. 

Dann wird der Momentensatz nach 1.2.5.1, (Seite 

38) aufgestellt, die für die Gewichtskräfte gefundenen 

Beziehungen eingesetzt und daraus eine Bestimmungsgleichung 

für den Schwerpunktsabstand 

x0 entwickelt. Die Fläche A, die Dichte r und die 

Fallbeschleunigung g kürzen sich wieder heraus. 

Das Ergebnis zeigt, dass die Schwerpunktslage 

auch mit den Teillängen und der Gesamtlänge ermittelt 

werden kann. 

Auch Linien haben also einen Schwerpunkt. 

Man muss ihn z. B. als Schnittkantenschwerpunkt 

bei der Konstruktion von Stanzwerkzeugen bestimmen. 

2.3.2 Schwerpunkte einfacher Linien 

Gerade Linie (Strecke) 

Der Schwerpunkt einer Strecke liegt auf ihrer 

Mitte. 

Schwerpunktsabstand y0 ¼ l 

2 

FG1 ¼ m1g ¼ V1rg ¼ Al1 rg 



FG ¼ FG1 þ FG2 þ FG3 ¼ðl1 þ l2 þ l3Þ Arg 

FG ¼ Alrg 

þFG x0 ¼þFG1 x1 þ FG2 x2 þ FG3 x3 

Alrgx0 ¼ Al1 rgx1 þ Al2 rgx2 þ Al3 rgx3 

x0 ¼ ðl1x1 þ l2x2 þ l3x3Þ Arg 

lArg 

x0 ¼ l1x1 þ l2x2 þ l3x3 

l 

lx0 ¼ l1x1 þ l2x2 þ þlnxn ¼ Slnxn 

Momentensatz für Linien 

Beachte: Für die Linienmomente lx sind die 

Vorzeichen entsprechend dem Drehsinn einzusetzen 

(links þ, rechts ).

84 

Dreiecksumfang 

Die Dreiecksseiten werden halbiert und das Hilfsdreieck 

ABC gezeichnet. Der Schwerpunkt ist der 

Mittelpunkt des darin einbeschriebenen Kreises. 


2 

a þ b 

a þ b þ c 

Parallelogrammumfang 

Der Schwerpunkt des Parallelogrammumfangs 

(Quadrat, Rechteck, Rhombus, Rhomboid) liegt 

im Schnittpunkt der Diagonalen. 


2 

Kreisbogen 

Schwerpunktsabstand y0 ¼ Rs 

b 

2 R 

Halbkreisbogen: y0 ¼ ¼ 0,6366R 

p 

pffiffiffi 2 2 R 

Viertelkreisbogen: y0 ¼ ¼ 0,9003R 

p 

Sechstelkreisbogen: y0 ¼ 

3 R 

p 

¼ 0,9549R 

Bogenlänge b ¼ 2Ra =57,3 


2.3.3 Schwerpunkte zusammengesetzter Linien (Linienzüge) 

2.3.3.1 Rechnerische Bestimmung des Linienschwerpunkts 

Für Linienzüge wird der Schwerpunkt mit dem Momentensatz für Linien nach 2.3.1 bestimmt. 

Bei unsymmetrischen Linienzügen muss man die Lage für zwei Schwerlinien bestimmen. 

Im Ûbrigen gelten die gleichen Regeln wie für den Momentensatz für Flächen 


Man zerlegt den Linienzug in Teillinien mit bekannter 

Schwerpunktslage, z. B. in zwei Strecken 

l1, l3 und einen Halbkreisbogen l2, und zeichnet 

die Teilschwerpunkte S1, S2, S3 ein. Die Lage des 

Gesamtschwerpunkts S wird angenommen. Dann 

wird ein Momentenbezugspunkt 0 festgelegt. Bei 

symmetrischen Linienzügen wählt man dafür 

zweckmäßig einen Punkt auf der Symmetrielinie. 

2 Schwerpunktslehre

2.3 Der Linienschwerpunkt 85 

Aus den gegebenen Abmessungen des Linienzuges 

berechnet man die Längen der Teillinien l1, 

l2, l3, ihre Schwerpunktsabstände x1, x2, x3 von der 

y-Achse und die Gesamtlänge l ¼ l1 þ l2 þ l3. 

Der Momentensatz für Linien liefert nun wieder 

eine Bestimmungsgleichung für den Schwerpunktsabstand 

x0, aus der man x0 berechnet. Das Ergebnis 

ist positiv, folglich wurde der Gesamtschwerpunkt 

auf der richtigen Seite des Bezugspunktes 0 

angenommen. Das war auch nicht anders zu erwarten, 

weil der Bezugspunkt an das Ende des Linienzuges 

gelegt worden war. 

Die zweite Schwerlinie ist die Symmetrielinie des 

Linienzuges. 


l1 ¼ l3 ¼ 50 mm 

l2 ¼ pR ¼ p 20 mm ¼ 62,8 mm 

l ¼ l1 þ l2 þ l3 ¼ 162,8 mm 

x1 ¼ 25 mm x3 ¼ 25 mm 

x2 ¼ l1 þ 0,6366R ¼ 

¼ 50 mm þ 0,6366 20 mm ¼ 62,7 mm 

Momentensatz: 

þlx0 ¼þl1x1 þ l2 x2 þ l3 x3 

x0 ¼ l1x1 þ l2 x2 þ l3 x3 

l 

x0 ¼ 1 250 mm2 þ 3 938 mm 2 þ 1 250 mm 2 

162,8 mm 

x0 ¼ 39,5 mm 

Der Schwerpunkt liegt auf der Symmetrielinie 

39,5 mm links vom rechten Ende des 

Linienzuges. 

Arbeitsplan zur rechnerischen Bestimmung des Linienschwerpunkts: 

Linienzug in Teillinien mit bekanntem Schwerpunkt zerlegen. 1. Schritt 

Momentenbezugspunkt 0 festlegen. 2. Schritt 

Gesamtschwerpunkt S mit angenommener Lage und den Schwerpunktsabständen 

x0, y0 einzeichnen. 

3. Schritt 

Teillängen, Gesamtlänge und Teilschwerpunktsabstände berechnen. 4. Schritt 

Momentensatz für zwei zueinander rechtwinklige Achsen aufstellen, 

Momentendrehsinn beachten. 

5. Schritt 

Nach x0 und y0 auflösen und Schwerpunktsabstände ausrechnen. 6. Schritt

86 

2.4 Guldin’sche Regeln 

2.4.1 Volumenberechnung 

Ein Rotationskörper entsteht durch Drehung seiner 

Profilfläche um seine Symmetrieachse. Bei einer 

Drehung „erzeugt“ die Profilfläche das Volumen 

des Körpers. Man kann sich vorstellen, dass jedes 

Flächenteilchen an der Erzeugung mit einem bestimmten 

Anteil beteiligt ist. 

Das kleine Flächenteilchen DA erzeugt das Ringvolumen 

DV ¼ 2px DA. Die Summe aller Teilvolumen 

ist das Gesamtvolumen V. 

Der Summenausdruck SDAx ist die Momentensumme 

aller Teilflächen, bezogen auf die Drehachse 

(siehe 2.2.1 Momentensatz für Flächen), und damit 

gleich dem Moment Ax0 der ganzen Profilfläche A. 

Daraus ergibt sich die Guldin’sche Volumenregel: 

Das Volumen eines Rotationskörpers ist das 

Produkt aus der Profilfläche und ihrem Schwerpunktsweg 

bei einer Umdrehung. 

2.4.2 Oberflächenberechnung 

Oberflächen oder Mantelflächen von Rotationskörpern 

entstehen durch Drehung ihrer Profillinie 

um die Symmetrieachse. Dabei ist jedes Längenteilchen 

der Profillinie mit einem bestimmten Flächenanteil 

beteiligt. 

Die kleine Teillänge Dl erzeugt bei einer Drehung 

die Ringfläche DA ¼ 2px Dl. Die Summe aller 

Teilflächen ist die Mantelfläche A. 

Der Summenausdruck SDlx ist die Momentensumme 

aller Teillängen, bezogen auf die Drehachse 

(siehe 2.3.1 Momentensatz für Linien) und damit 

gleich dem Moment der ganzen Profillinie l. Daraus 

ergibt sich die Guldin’sche Oberflächenregel: 

Die Oberfläche (Mantelfläche) eines Rotationskörpers 

ist das Produkt aus der Länge der Profillinie 

und ihrem Schwerpunktsweg bei einer 

Umdrehung. 

V ¼ SDV ¼ S2px DA ¼ 2pSDAx 

SDAx ¼ Ax0. Setzt man Ax0 in die erste 

Gleichung ein, dann wird V ¼ 2pAx0. Darin 

ist das Produkt 2px0 der Weg, den der 

Schwerpunkt S der Profilfläche bei einer 

Umdrehung zurücklegt. 

V ¼ A 2px0 


Volumen 

A Profilfläche 

x0 Schwerpunktsabstand der Profilfläche 

von der Drehachse nach 2.2.3.1 

A ¼ SDA ¼ S2px Dl ¼ 2pSDlx 

SDlx ¼ lx0. Setzt man lx0 in die erste 

Gleichung ein, dann wird A ¼ 2plx0. 

Darin ist das Produkt 2px0 der Weg, den 

der Schwerpunkt S der Profillinie bei einer 

Umdrehung zurücklegt. 

Oberfläche 

A ¼ l 2px0 

Mantelfläche 

l Länge der Profillinie 

x0 Schwerpunktsabstand der Profillinie 

von der Drehachse nach 2.3.3.1.

2.5 Gleichgewichtslagen und Standsicherheit 87 

2.4.3 Ûbungen mit den Guldin’schen Regeln 

1. Ûbung: Der Rauminhalt der Kugel 

Lösung: Die erzeugende Profilfläche ist eine 

Halbkreisfläche mit dem Radius r und dem 

Schwerpunktsabstand x0 ¼ 4r=3p von der Drehachse 

(siehe 2.2.2). 

2. Ûbung: Der Rauminhalt des Kegels 

Lösung: Die erzeugende Fläche ist ein Dreieck 

mit der Höhe h, der Grundlinie r und dem Schwerpunktsabstand 

x0 ¼ r=3 von der Drehachse. 

3. Ûbung: Die Oberfläche der Kugel 

Lösung: Die Profillinie ist ein Halbkreisbogen mit 

dem Radius r und dem Schwerpunktsabstand 

x0 ¼ 2r=p von der Drehachse (siehe 2.3.2). 

4. Ûbung: Die Mantelfläche des Kegels 

Lösung: Die erzeugende Linie ist die Mantellinie 

mit der Länge s und dem Schwerpunktsabstand 

x0 ¼ r=2 von der Drehachse. 

V ¼ A 2px0 ¼ pr2 

2 

V ¼ 4 

3 pr3 

V ¼ A 2px0 ¼ rh 

2 

V ¼ p 

3 r 2 h 

2p 4r 4 

¼ 

3p 3 pr3 

r 1 

2p ¼ 

3 3 pr2 h 

A ¼ l 2px0 ¼ pr 2p 2r 

¼ 4pr2 

p 

A ¼ 4pr 2 

2.5 Gleichgewichtslagen und Standsicherheit 

A ¼ l 2px0 ¼ s 2p r 

¼ prs 

2 

A ¼ prs 


2.5.1 Gleichgewichtslagen 

Die Lage des Schwerpunkts eines Körpers bezogen auf seine Standfläche bestimmt seine 

Standsicherheit. Man unterscheidet folgende Gleichgewichtslagen: 

2.5.1.1 Stabiles Gleichgewicht 

liegt vor, wenn der Schwerpunkt S bei einer Lageänderung 

gehoben wird. Hierbei entsteht immer 

ein rückstellendes Kraftmoment, das den Körper 

wieder in die Ausgangslage zurückführt. 

2.5.1.2 Labiles Gleichgewicht 

liegt vor, wenn der Schwerpunkt S bei schon kleiner 

Lageänderung gesenkt wird. Hierbei entsteht immer 

ein ablenkendes Kraftmoment, das den Körper 

immer weiter aus der Ausgangslage herausführt. 

2.5.1.3 Indifferentes Gleichgewicht 

liegt vor, wenn der Schwerpunkt S bei kleinster 

Lageänderung weder gehoben noch gesenkt wird. 

Hierbei entstehen weder rückstellende noch ablenkende 

Kraftmomente.

88 

2.5.2 Standsicherheit 

2.5.2.1 Kippmoment, Standmoment, Standsicherheit 

Das Kippen eines Körpers soll untersucht werden: 

Der skizzierte Körper steht frei beweglich auf einer 

rauen horizontalen Standfläche. Die waagerecht 

wirkende Kraft F greift im Abstand a so hoch von 

der Standfläche an, dass der Körper nicht nach 

rechts wegrutscht. Bei genügend großer Kraft F 

wird der Körper eine Drehbewegung um die Körperkante 

K (Kippkante) ausführen: Der Körper 

kippt. 

Im Augenblick des Ankippens wirkt das (rechtsdrehende) 

Kippmoment Mk ¼ Fa um die Kippkante 

K. 

Mk ¼ Fa Kippmoment 

Zugleich wirkt dem Kippmoment Mk entgegengerichtet 

(linksdrehend) das Standmoment 

Ms ¼ FGb, das den Körper in der Ruhelage zu halten 

sucht. 

Der Körper wird nicht kippen, solange das Standmoment 

Ms größer ist als das Kippmoment Mk. 

Der Sicherheitsgrad gegen das Kippen wird durch 

das Verhältnis beider Momente ausgedrückt. Dieses 

Momentenverhältnis nennt man die Standsicherheit 

S. 

Ist S ¼ 1, also FGb ¼ Fa, so geht die Resultierende 

Fr der beiden Kräfte durch die Kippkante K 

(keine Drehung). Der Körper befindet sich gerade 

noch im Gleichgewicht. Je mehr sich Punkt B dem 

Punkt A nähert, umso größer ist die Standsicherheit 

(S > 1). Fällt B mit A zusammen, ist die 

Standsicherheit unendlich groß. 

Wandert Punkt B über die Kippkante K hinaus auf 

Punkt C, so ist S < 1 und der Körper kippt um. 

Es kann notwendig sein, die Untersuchung zur 

Standsicherheit für mehrere Kippkanten durchzuführen, 

z. B. bei beladenen Fahrzeugen und Kränen 

(siehe Ûbung). 

Beim Berechnen von Ms und Mk addiert man die 

Kraftmomente jeweils mit positivem Vorzeichen, 

im Gegensatz zur sonst üblichen Vorzeichenregel 

(siehe Ûbung). 

Ms ¼ FG b Standmoment 

S ¼ Ms 

¼ 

Mk 

FG b 

Fa 

Standsicherheit 

S > 1 sicherer Stand 

S ¼ 1 Kippgrenze 

S < 1 kippen 

Eine Betrachtung der geometrischen Verhältnisse 

zeigt: 

Die Abstände f und a verhalten sich zueinander 

wie die Kräfte F und FG. 

f F 

¼ und daraus a ¼ 

a FG 

fFG 

F 

Diesen Ausdruck in die Standsicherheitsgleichung 

eingesetzt, ergibt: 

S ¼ Ms 

Mk 

¼ FG b b 

¼ 

Fa f 


Standsicherheit 

Beachte: Die Standsicherheit S hat immer 

das positive Vorzeichen.

2.5 Gleichgewichtslagen und Standsicherheit 89 

2.5.2.2 Ûbung zur Standsicherheit 

Die Skizze zeigt einen drehbaren Mobilkran mit 

den Längen l1 ¼ 1,8 m, l2 ¼ 2,5 m, l3 ¼ 7 m und 

l4 ¼ 0,9 m, gemessen von der vertikalen Bezugsachse 

durch den Kippkantenpunkt A. Die Standsicherheit 

für den unbelasteten Kran um den Kippkantenpunkt 

A und für den belasteten Kran um B 

soll in beiden Fällen mindestens 1,5 betragen. 

Die Gewichtskräfte FG1 und FG2 sind bekannt, die 

erforderliche Gewichtskraft FG3 soll ermittelt werden: 

FG1 ¼ 100 kN, FG2 ¼ 50 kN. 

Außerdem sind die Achslasten FA und FB für beide 

Fälle zu berechnen. 

Lösung: Für den unbelasteten Mobildrehkran ist 

die Gewichtskraft FG2 ¼ 0. Der Kran kann um die 

Hinterachse (A) kippen mit dem Kippmoment 

FG3l4. Standmoment ist dann das rechtsdrehend 

wirkende Kraftmoment FG1l1. Im umbelasteten 

Zustand darf FG3 höchstens 133,3 kN betragen, 

jede größere Gewichtskraft FG3 führt zu einer kleineren 

Standsicherheit S. 

Für den belasteten Mobildrehkran enthält die 

Standsicherheitsgleichung die Kraftmomente für 

alle drei Gewichtskräfte. Der Kran kann um die 

Vorderachse (B) kippen durch das rechtsdrehend 

wirkende Kippmoment Mk ¼ FG2ðl3 l2Þ. Im 

belasteten Zustand muss die Gewichtskraft FG3 

mindestens 78,7 kN betragen, wenn die Standsicherheit 

S mindestens 1,5 betragen soll. Jede 

größere Gewichtskraft FG3 > 78,7 kN führt zu 

einer größeren Standsicherheit S. 

Die Gewichtskraft FG3 darf also zwischen 78,7 kN 

und 133,3 kN betragen. 


Gegeben: 

l1 ¼ 1,8 m, l2 ¼ 2,5 m, l3 ¼ 7m,l4 ¼ 0,9 m 

FG1 ¼ 100 kN, FG2 ¼ 50 kN 

Smin ¼ 1,5 

Gesucht: 

Erforderliche Gewichtskraft FG3, 

Achslasten FA und FB. 

S ¼ Ms 

¼ 

Mk 

FG1 l1 

FG3 l4 

FG3 ¼ FG1 l1 

Sl4 

¼ 

100 kN 1,8 m 

¼ 133,3 kN 

1,5 0,9 m 

S ¼ Ms 

¼ 

Mk 

FG1ðl2 l1ÞþFG3ðl2 þ l4Þ 

FG2ðl3 l2Þ 

SFG2ðl3 l2Þ ¼FG1ðl2 l1ÞþFG3ðl2 þ l4Þ 

FG3 ¼ SFG2ðl3 l2Þ FG1ðl2 

l2 þ l4 

l1Þ 

1,5 50 kN ð7 2,5Þ m 100 kN ð2,5 1,8Þ m 

FG3 ¼ 

ð2,5 þ 0,9Þ m 

FG3 ¼ 78,7 kN

90 

3 Reibung 

3.1 Grunderkenntnisse über die Reibung 

Möchte man den Reitstock einer Drehmaschine auf dem Drehmaschinenbett verschieben, spürt 

man einen Widerstand. Diese bewegungshemmende Kraft ist die Reibungskraft. Solange sich 

die Berührungsflächen nicht gegeneinander bewegen, spricht man von Ruhe- oder Haftreibung, 

im anderen Fall von Gleitreibung. Dabei steht meistens einer der beiden Körper still (Reitstockverschiebung 

auf dem Bett). 

Durch Versuche bekommt man einige Grunderkenntnisse über die wichtigsten Gesetze der 

Reibung: 

a) Man setzt ein Wägestück von der Masse m ¼ 5 kg auf eine fest stehende Tischplatte, legt 

eine Schlinge darum und misst mit einer Federwaage die parallel zur Tischebene erforderliche 

Verschiebekraft F bei konstanter Geschwindigkeit (a). Sie ist notwendig, um die 

zwischen beiden Körpern wirkende Reibungskraft FR zu überwinden. Man erkennt: 

Die Reibungskraft FR ist eine in der Berührungsfläche wirkende Tangentialkraft. Sie versucht 

den schnelleren Körper (das Wägestück) zu verzögern, den langsameren oder stillstehenden 

Körper (den Tisch) dagegen zu beschleunigen. Die Kupplung ist ein gutes Beispiel 

dafür. Bewegen sich beide Körper gegensinnig zueinander, dann wirkt die Reibungskraft 

auf beide verzögernd. 

b) Verschiebt man einen Körper mit anderer Grundfläche, aber gleichem Werkstoff und gleicher 

Masse m ¼ 5 kg in gleicher Weise, so stellt sich an der Federwaage die gleiche Kraftanzeige 

ein. Man erkennt: 

Die Reibungskraft FR ist unabhängig von der Größe der Gleitfläche. Man kann diese merkwürdige 

Erscheinung damit erklären, dass auch glatte, ebene Flächen nur in drei Punkten 

aufliegen. 

c) Verdoppelt man die Masse auf 10 kg, so verdoppelt sich auch die Gewichtskraft FG und 

damit auch die Normalkraft FN zwischen beiden Körpern. An der Federwaage stellt sich 

jetzt die doppelte Verschiebekraft ein, d. h. es muss jetzt mit 20 N statt vorher mit 10 N 

gezogen werden. Man erkennt: 

Die Reibungskraft FR ist proportional der Normalkraft FN, mit der die beiden Flächen 

aufeinander gedrückt werden. 

d) Benutzt man für das Wägestück eine andere Unterlage, z. B. eine Hartfaserplatte, so stellt sich 

auch eine andere Verschiebekraft, also auch eine andere Reibungskraft ein. Man erkennt: Die 

Reibungskraft ist abhängig von den Werkstoffen der beiden aufeinander gleitenden Körper.

3.2 Gleitreibung und Haftreibung 91 

e) Schon bevor das Wägestück aus der Ruhe in die Bewegung gebracht wird, zeigt die Federwaage 

eine Kraft an, die von null bis zu einem Höchstwert ansteigt, der größer ist, als die 

Reibungskraft FR zwischen gleitenden Flächen. Man erkennt: 

Auch zwischen ruhenden Körpern kann eine Reibungskraft wirken. Man nennt sie die Haftreibungskraft 

FR0. Sie kann größer werden als die Gleitreibungskraft FR. 

f) Durch weitere Versuche kann man noch zu folgenden Erkenntnissen kommen: 

Bei nicht allzu großer Gleitgeschwindigkeit ist die Reibungskraft FR unabhängig von der 

Gleitgeschwindigkeit zwischen beiden Flächen. 

Auch ein rollender Körper wird durch eine Kraft abgebremst, die man den Rollwiderstand 

nennt. Er ist erfahrungsgemäß kleiner als die Gleit- oder Haftreibungskraft. 

Innerhalb bewegter (strömender) Flüssigkeiten und Gase tritt ebenfalls Reibung auf. Auch 

sie versucht, die schnelleren Strömungsfäden zu verlangsamen und die langsameren zu 

beschleunigen. 

3.2 Gleitreibung und Haftreibung 

3.2.1 Reibungswinkel, Reibungszahl und Reibungskraft 

Ein Körper drückt mit seiner Gewichtskraft 

FG ¼ Normalkraft FN auf eine horizontale Gleitfläche 

und wird durch die Kraft F mit gleich 

bleibender Geschwindigkeit v bewegt. Beim Verschieben 

muss die Gleitreibungskraft überwunden 

werden. Sie wirkt immer tangential in der Berührungsfläche. 

Den Richtungssinn findet man aus 

folgender Ûberlegung: 

Die Reibungskraft versucht, den schnelleren 

Körper zu verzögern, den langsameren (oder 

stillstehenden) dagegen zu beschleunigen. 

Ruhen beide Körper, bestimmt der zu erwartende 

Bewegungszustand den Richtungssinn der 

Reibungskraft. 

Der Kräfteplan zeigt die vier miteinander im 

Gleichgewicht stehenden Kräfte. Die eingezeichnete 

Diagonale ist die Resultierende aus der Normalkraft 

FN und der Reibungskraft FR, die als 

Ersatzkraft Fe bezeichnet werden kann. Man sieht, 

dass mit zunehmender Reibungskraft FR der Winkel 

r zwischen Normalkraft FN und Ersatzkraft Fe 

größer wird und dass die Reibungskraft der Tangensfunktion 

dieses Winkels proportional ist. Man 

nennt ihn den Reibungswinkel r. Seine Tangensfunktion 

wird als Reibungszahl m bezeichnet. 

freigemachter 

Körper 

Kräfte auf die 

Gleitfläche 

Hinweis: Das Kippproblem durch die 

Kräftepaare FG, FN und F, FR bleibt hier 

unbeachtet, siehe dazu 2.5.2.1. 

tan r ¼ FR 

) FR ¼ FN tan r 

FN 

Reibungszahl m ¼ tan r 

Kräfteplan

92 

Aus diesen Beziehungen erhält man eine Gleichung 

zur Berechnung der Reibungskraft FR. 

Ruhen beide Körper aufeinander, kann die Haftreibungskraft 

von null bis auf einen Höchstwert anwachsen, 

der größer ist als FR. Dann ist aber auch 

der Reibungswinkel größer als r. Man bezeichnet 

ihn als den Haftreibungswinkel r0. Seine Tangensfunktion 

ist die Haftreibungszahl m0. Sie ist größer 

als die Gleitreibungszahl m, weil die Oberflächenrauigkeiten 

im Ruhezustand ineinander eindringen können 

und dadurch zusätzliche Haftwirkung entsteht. 

Wie oben erhält man eine Gleichung zur Berechnung 

der maximalen Haftreibungskraft FR0 max. 

Die Reibungszahlen m und m0 sind kleiner als eins. 

Folglich sind FR und FR0 max immer ein Bruchteil 

der Normalkraft FN. 

Reibungskraft ¼ Normalkraft 

Reibungszahl 

FR ¼ FN m Reibungskraft 

Haftreibungszahl m 0 ¼ tan r 0 

m 0 > m, weil r 0 > r 

Beachte: Reibungszahlen können nur durch 

Versuche ermittelt werden (siehe 3.2.2). Sie 

sind unterschiedlich auch bei gleichartigen 

Bedingungen (Werkstoff, Schmierzustand, 

Rautiefen) durch nicht erfassbare Einflüsse. 

Angegebene Werte sind immer nur Richtwerte. 

maximale Normalkraft 

¼ 

Haftreibungskraft Haftreibungszahl 

FR0 max ¼ FN m 0 

Tabelle 3.1 Reibungszahlen m0 und m (Klammerwerte sind die Gradzahlen für r0 und r) 1) 

Werkstoff 

Haftreibungszahl m0 

maximale 

Haftreibungskraft 

Gleitreibungszahl m 

trocken gefettet trocken gefettet 

Stahl auf Stahl 0,15 (8,5) 0,1 (5,7) 0,15 (8,5) 0,01 (0,6) 

Stahl auf Gusseisen (GJL) oder CuSn-Leg. 0,19 (10,8) 0,1 (5,7) 0,18 (10,2) 0,01 (0,6) 

Gusseisen (GJL) auf Gusseisen (GJL) 0,16 (9,1) 0,1 (5,7) 

Holz auf Holz 0,5 (26,6) 0,16 (9,1) 0,3 (16,7) 0,08 (4,6) 

Holz auf Metall 0,7 (35) 0,11 (6,3) 0,5 (26,6) 0,1 (5,7) 

Lederriemen auf Gusseisen (GJL) 0,3 (16,7) 

Gummiriemen auf Gusseisen (GJL) 0,4 (21,8) 

Textilriemen auf Gusseisen (GJL) 0,4 (21,8) 

Bremsbelag auf Stahl 0,5 (26,6) 0,4 (21,8) 

Lederdichtungen auf Metall 0,6 (31) 0,2 (11,3) 0,2 (11,3) 0,12 (6,8) 

1) Die angegebenen Reibungszahlen sind Mittelwerte für praktisch auftretende Streubereiche, z. B. mStahl ¼ 0,14 ...0,16. 

3.2.2 Ermittlung der Reibungszahlen m und m0 

Zur Ermittlung der Reibungszahlen benutzt man 

eine „Schiefe Ebene“ mit verstellbarem und ablesbarem 

Neigungswinkel. Schiefe Ebene ist die übliche 

Bezeichnung für „geneigte“ Ebenen mit dem 

Ebenenwinkel a 6¼ 0. 

Der Prüfkörper bleibt bei zunehmender Neigung 

der Ebene solange in Ruhe, bis der Neigungswinkel 

a gleich dem Haftreibungswinkel r0 ist. 

Liegt die Ebene unter dem Reibungswinkel r, 

dann gleitet der Körper nach dem Anstoßen mit 

gleich bleibender Geschwindigkeit abwärts. 

3 Reibung


In beiden Fällen ist der Prüfkörper im Gleichgewicht; 

es ergibt sich ein geschlossenes Krafteck. 

Der Winkel zwischen Normalkraft FN und Gewichtskraft 

FG ist beim Gleiten der Reibungswinkel 

r, denn FG ist die Gegenkraft der Ersatzkraft Fe. 

Eine Betrachtung der geometrischen Verhältnisse 

zeigt, dass der Reibungswinkel r im Krafteck gleich 

dem Neigungswinkel a der schiefen Ebene ist. 

Man braucht beim Versuch also nur den Neigungswinkel 

der schiefen Ebene abzulesen. Seine Tangensfunktion 

ist die Reibungszahl m (oder m0). 

Zum gleichen Ergebnis kommt man auch mit Hilfe 

der rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen. 

Als x-Achse legt man die Richtung der schiefen 

Ebene fest und zerlegt die Gewichtskraft in ihre 

Komponenten FG sin r und FG cos r. 

Dann müssen beim gleichförmigen Abwärtsgleiten 

die Gleichgewichtsbedingungen SFx ¼ 0 und 

SFy ¼ 0 erfüllt sein. Die Gleichungsentwicklung 

zeigt, dass der Tangens des Neigungswinkels 

gleich der Reibungszahl m ist, also ist auch der 

Neigungswinkel gleich dem Reibungswinkel r. 

Versuche mit verändertem Neigungswinkel a lassen 

erkennen, dass der Körper solange in Ruhe 

bleibt, solange a r 0 ist. Der Bereich zwischen 

den Winkeln null und r0 heißt Selbsthemmungsbereich. 

3.2.3 Der Reibungskegel 

Ist die Reibungszahl m0 und damit der Reibungswinkel 

r0 bekannt, kann der so genannte Reibungskegel 

gezeichnet werden. 

Man dreht dazu eine um den Reibungswinkel r0 

gegen die Wirklinie der Normalkraft FN geneigte 

Gerade um die Pfeilspitze von FG. 

Der Körper bleibt solange in Ruhe, wie die Resultierende 

Fr aller äußeren Kräfte innerhalb des 

Reibungskegels liegt. Jede Mantellinie des Reibungskegels 

ist eine Wirklinie der aus Haftreibungskraft 

FR0 max und der Normalkraft (hier 

FG ¼ FN) zusammengesetzten Ersatzkraft Fe. 

freigemachter 

Prüfkörper 

Krafteck 

tan r ¼ FR 

¼ m tan r0 ¼ 

FN 

FR0 max 

¼ m0 FN 

Lageskizze 

I. SFx ¼ 0 ¼ FG sin r þ FR 

II. SFy ¼ 0 ¼ FN FG cos r 

FG sin r ¼ FR ¼ FN m; FG cos r ¼ FN 

FG sin r 

FG cos r ¼ FN m 

¼ m ¼ tan r 

FN 

Wenn a r 0 ist, dann ist auch 

tan a tan r 0 

tan a m 0 

Selbsthemmungsbedingung

94 

Lehrbeispiel: Reibung in Ruhe und Bewegung 

Aufgabenstellung: 

Zwei Körper a und b mit den Gewichtskräften FG1 und FG2 liegen 

übereinander auf einer ebenen Unterlage. In den beiden Gleitflächen 

sind die Reibungszahlen: 

m0I ¼ 0,19 mI ¼ 0,17 

m0II ¼ 0,12 mII ¼ 0,11 

a) Wie groß muss F werden, damit der Ruhezustand gerade aufgehoben wird? 

Wie verhält sich Körper b? 

Lösung: FR0I max größte Reibungskraft, die Körper a auf b in Richtung 

von F ausübt, bevor Gleiten eintritt. 

FR0II max größte Reibungskraft, die den Körper b am Verschieben 

FG1 I 

II 

FR0 II max 

FN FR0Imax Körper b 

FG2 in Richtung von F hindert. 

FürKörper b gilt: 

SFy ¼ 0 ¼ FG1 FG2 þ FN ; FN¼FG1 þ FG2 

SFx ¼ 0 ¼ FR0I max FR0II max 

FR0I max ¼ FG1 m0I ¼ 52 N 0,19 ¼ 9,88 N 

Lageskizze FR0II max ¼ FN m0II ¼ðFG1 þ FG2Þ m0II ¼ 76 N 0,12 ¼ 9,12 N 

Erkenntnis: Die Reibungskraft in der Ebene II ist kleiner. Der Ruhezustand 

wird hier zuerst aufgehoben. Die Kraft F muss sein: 

F ¼ FR0II max ¼ 9,12 N 

Körper a bleibt zu b in Ruhe, sie gleiten gemeinsam auf der Unterlage. 

b) Wie groß muss F sein, wenn a schon in Bewegung ist und weitergleiten soll, während b festgehalten 

wird? 

I 

F RI 

F N 

Lageskizze 

F G1 

F 

Körper a 

Lösung: 

SFy ¼ 0 ¼ FG1 þ FN FN ¼ FG1 

SFx ¼ 0 ¼ F FRI F ¼ FRI ¼ FN m I ¼ FG1 m I 

F ¼ 52 N 0,17 ¼ 8,84 N 

Mit F 8,84 N bleibt a in Bewegung. 

c) Was geschieht, wenn beim Vorgang in Aufgabe b) der Körper b plötzlich losgelassen wird? 

I 

FG1 FRI II 

FR0 II max Körper b 

FN FG2 FRI ¼ Reibungskraft von Körper a auf b beim Gleiten 

ausgeübt¼ Mitnahmekraft. FRI ¼ 8,84 N siehe b) 

FR0II max ¼ Reibungskraft, die Körper b auf seiner Unterlage 

am Verschieben hindert. FR0II max ¼ 9,12 N siehe a) 

FR0II max > FRI 

Körper b 

Lageskizze Beim Loslassen bleibt Körper b in Ruhe. 

I 

II 

F = 52 N 

G1 

F = 24 N 

G2 

Körper a 

3 Reibung 

F


3.2.4 Ûbungen zur Lösung von Reibungsaufgaben 

Reibungsaufgaben können zeichnerisch oder rechnerisch gelöst werden. Es werden dazu dieselben, 

aus der Statik bekannten Verfahren, benutzt. Nur muss man jetzt schon beim Freimachen 

auch die Reibungskräfte (Tangentialkräfte) mit berücksichtigen. 

Bei jeder rechnerischen Lösung wird schon im Lösungsansatz die Reibungskraft durch das Produkt 

aus Normalkraft und Reibungszahl ersetzt: FR ¼ FN m. Dann ergeben sich wieder 

Gleichungssysteme mit zwei oder drei Unbekannten, die in der bekannten Weise aufgelöst werden. 

1. Ûbung: Die skizzierte Backenbremse wird mit 

der Kraft F ¼ 200 N angezogen. Die Reibungszahl 

beträgt m ¼ 0,5. 

Abmessungen: l ¼ 700 mm 

l1 ¼ 250 mm 

l2 ¼ 100 mm 

d ¼ 300 mm 

Für Rechtsdrehung der Bremsscheibe sollen rechnerisch 

ermittelt werden: Reibungskraft FR, Normalkraft 

FN auf die Bremsbacke, Lagerkraft FD im 

Drehpunkt D des Bremshebels, Bremsmoment M. 

Lösung: Man zeichnet die Lageskizzen des freigemachten 

Bremshebels und der freigemachten 

Bremsscheibe. Zwischen Bremsscheibe und 

Bremsklotz wirken an jedem Flächenteilchen 

Teil-Normalkräfte und Teil-Reibungskräfte. Die 

resultierende Normalkraft FN und die entsprechende 

resultierende Reibungskraft FR greifen am oberen 

Berührungspunkt zwischen Bremsscheibe und 

Bremsklotz an. 

Die Normalkraft FN wirkt 

bezogen auf den Bremshebel in y-Richtung 

nach oben, bezogen auf die Bremsscheibe entgegengesetzt 

nach unten. 

Die Reibungskraft FR wirkt 

bezogen auf den Bremshebel und bei rechtsdrehender 

Bremsscheibe nach rechts, bezogen 

auf die Bremsscheibe nach links. 

Beim Festlegen des Richtungssinns der Reibungskraft 

FR muss immer sorgfältig überlegt werden. Ein 

falscher Richtungssinn für die Reibungskraft führt 

zu falschen Ergebnissen der folgenden Rechnungen. 

Aufgabenskizze

96 

Begonnen wird mit den drei Gleichgewichtsbedingungen 

am freigemachten Bremshebel. Als 

Bezugspunkt für die Momentengleichgewichtsbedingung 

wird der Hebeldrehpunkt D gewählt: 

SM ðDÞ ¼ 0. 

Aus Gleichung III kann man die Normalkraft FN 

berechnen. Mit FR ¼ FN m erhält man dann die 

Reibungskraft FR. 

Mit den Gleichungen I und II erhält man Berechnungsgleichungen 

für die Lagerkraftkomponenten 

FDx und FDy und damit auch für FD. 

Das Bremsmoment M ist das statische Moment 

des Kräftepaares, das aus den beiden Reibungskräften 

gebildet wird. 

2. Ûbung: Für dieselbe Bremse wie in der ersten 

Ûbung sollen die unbekannten Kräfte zeichnerisch 

ermittelt werden, jedoch für eine Linksdrehung der 

Bremsscheibe. 

Lösung: Man zeichnet den Lageplan des Bremshebels. 

Damit ist maßstäblich die Lage der Angriffspunkte 

aller am Bremshebel angreifenden 

Kräfte bekannt. Es sind drei Angriffspunkte. Man 

löst daher die Aufgabe nach dem 3-Kräfteverfahren 

(1.2.4.3, Seite 28). 

Die Wirklinie der Kraft F kann man gleich einzeichnen. 

Am Punkt R greift die nach links wirkende 

Reibungskraft FR an, ebenso die nach oben 

wirkende Normalkraft FN. Punkt D ist der Angriffspunkt 

der Lagerkraft FD, deren Wirklinie 

noch gefunden werden muss. 

Bei allen Reibungsaufgaben dieser Art, bei denen 

die Reibungszahl m bekannt ist, muss man sich immer 

als Erstes fragen, wie die Wirklinie der Ersatzkraft 

Fe einzuzeichnen ist. Mit der Reibungszahl m 

ist immer auch der Reibungswinkel r ¼ arctan m 

bekannt. Er beträgt hier r ¼ arctan 0,5 ¼ 26,6 . 

FR 

zffl}|ffl{ 

FDx 

I: SFx ¼ 0 ¼ FN m 

II: SFy ¼ 0 ¼ FN F FDy 

III: SMðDÞ ¼ 0 ¼ FN l1 þ FN ml2 Fl 

l 

III. FN ¼ F 

l1 þ ml2 

700 mm 

FN ¼ 200 N 

¼ 466,7 N 

ð250 þ 0,5 100Þ mm 

FR ¼ FN m ¼ 233,3 N 

I. FDx ¼ FN m ¼ 233,3 N 

II. FDy ¼ FN F ¼ð466,7 200Þ N ¼ 266,7 N 

FD ¼ 


FDx 2 þ FDy 2 

q 

¼ 354,3 N 

M ¼ FR 

d 

¼ 233,3 N 0,15 m ¼ 35 Nm 

2 

Lageplan 

Längenmaßstab 

ML ¼ 150 mm 

cm 

(1 cm ¼b 150 mm) 

3 Reibung


Entsprechend dem Richtungssinn von FR und FN 

wirkt die Ersatzkraft Fe nach links oben. Damit ist 

die Lage der Wirklinie WL Fe gefunden. 

Man bringt nun WL Fe und WL F zum Schnittpunkt 

S und hat damit auch die Lage der Wirklinie 

WL FD der gesuchten Lagerkraft. 

Den Kräfteplan beginnt man mit dem Aufzeichnen 

der gegebenen Kraft F. Durch Anfangs- und Endpunkt 

von F werden Parallelen zu den Wirklinien 

WL Fe und WL FD im Lageplan gezeichnet. 

Damit hat man die Längen der Kraftpfeile für die 

Ersatzkraft Fe und für die Lagerkraft FD. Der Richtungssinn 

ergibt sich aus der Bedingung des fortlaufenden 

Kräftezugs („Einbahnverkehr“) für das 

geschlossene Krafteck. 

Die horizontale Komponente der Ersatzkraft Fe ist 

die Reibungskraft FR, die vertikale Komponente 

ist die Normalkraft FN. Auf gleiche Weise findet 

man die Komponenten FDx und FDy der Lagerkraft 

FD. Die Multiplikation der abgemessenen Pfeillängen 

mit dem festgelegten Kräftemaßstab MK ergibt 

die Beträge für die gesuchten Kräfte. 

Bei Rechtsdrehung der Bremsscheibe betrug die 

Reibungskraft FR ¼ 233,3 N. Bei Linksdrehung 

ist sie größer: FR ¼ 350 N. Folglich ist bei Linksdrehung 

auch das Bremsmoment M größer als bei 

Rechtsdrehung der Bremsscheibe. 

Man misst ab: 

FD ¼ 3cm 200 N 

¼ 600 N 

cm 

FDx ¼ 1,75 cm 200 N 

¼ 350 N 

cm 

FDy ¼ 2,5 cm 200 N 

cm 

Kräfteplan 


MK ¼ 200 N 

cm 

(1 cm ¼b 200 N) 

¼ 500 N 

FN ¼ 3,5 cm 200 N 

cm 

¼ 700 N 

FR ¼ 1,75 cm 200 N 

¼ 350 N 

cm 

M(Rechtsdrehung) ¼ 35 Nm 

M(Linksdrehung) ¼ FR 

d 

2 

¼ 350 N 0,15 m 

¼ 52,5 Nm

98 

3. Ûbung: In der skizzierten Stellung lehnt eine 

Leiter von der Länge l an der senkrechten Wand. 

Mit dem waagerechten Boden schließt sie den 

Neigungswinkel a ein. Neben l und a sind die 

Reibungszahlen m A und m B in den Stützpunkten A 

und B bekannt. Eine Person mit der Gewichtskraft 

FG besteigt die Leiter. 

Gesucht ist eine Funktionsgleichung der Form 

h ¼ f (l, a, m A , m B , FG) 

für die Steighöhe h, bei der die Leiter zu rutschen 

beginnt. 

Lösung: Man zeichnet die Lageskizze der freigemachten 

Leiter im Zustand des Rutschbeginns. 

Im Stützpunkt A wirkt die vertikale Wand mit der 

Normalkraft FNA nach rechts auf die Leiter und die 

Reibungskraft FRA ¼ FNA m A nach oben. 

In B wirkt die Normalkraft FNB nach oben, die 

Reibungskraft FRB ¼ FNB m B nach links auf die 

Leiter. Man kann nun die drei Gleichgewichtsbedingungen 

für das ebene Kräftesystem ansetzen 

und auswerten. 

Mit dem richtigen Ansatz der drei Gleichgewichtsbedingungen 

wird der physikalische Sachverhalt 

in Bezug auf die Leiter vollständig erfasst. Daher 

kürzt man die nun erforderlichen algebraischen 

Rechnungen zur Ermittlung der gesuchten Gleichung 

für die Steighöhe h ab. 


Lageskizze der 

freigemachten 

Leiter bei 

Rutschbeginn 

I. SFx ¼ 0 ¼ FNA FNB m B 

II. SFy ¼ 0 ¼ FNA m A þ FNB FG 

III. SF ðBÞ ¼ 0 ¼ FNA l sin a 

3 Reibung 

FNA m A l cos a þ FG 

l1 

z}|{ 

h 

tan a


Es stehen drei voneinander unabhängige Gleichungen 

für die drei unbekannten Größen h, FNA und 

FNB zur Verfügung. Das Gleichungssystem ist lösbar. 

Wichtigste Erkenntnis der Entwicklung: 

Die Gewichtskraft FG fällt heraus. Die Steighöhe h 

ist nur abhängig von der Leiterlänge l, dem Neigungswinkel 

a und den Reibungszahlen, dagegen 

nicht von der Gewichtskraft. 

Ein numerisches Beispiel mit l ¼ 4m, a ¼ 60 , 

m A ¼ m B ¼ 0,2 ergibt die Steighöhe h ¼ 1,287 m. 

Zur Sicherheit wird hier mit der Gleitreibungszahl 

m A ¼ m B ¼ 0,2 gerechnet. 

Die zeichnerische Lösung der Aufgabe wird am 

Beispiel einer Zylinderführung vorgeführt. 

(Abschnitt 3.4.2, Seite 115). 


Aus I. FNB ¼ FNA 

eingesetzt in II.: 

mB II. FNA mA þ FNA 

mB FNA mA þ 

FG ¼ 0 

1 

mB ¼ FG 

FNA ¼ FG 

mA þ 1 

eingesetzt in III.: 

mB h 

FG 

tan a ¼ FG l 

mA þ 1 

ðsin a þ mA cos aÞ 

mB Beispiel: 

m A ¼ m B ¼ 0,2 

l ¼ 4m;a ¼ 60 

4m tan 60 

h ¼ 

0,2 þ 1 

0,2 

h ¼ 1,287 m 

l tan a 

h ¼ 

mA þ 1 

ðsin a þ mA cos aÞ 

mB ðsin 60 þ 0,2 cos 60 Þ

100 

3.3 Reibung auf der schiefen Ebene 

Reibungsbetrachtungen an vielen Maschinenteilen (z. B. Schraube, Schnecke, Keil) lassen sich 

auf die Reibungsverhältnisse eines Körpers auf der schiefen Ebene zurückführen. 

Man unterscheidet drei Grundfälle, je nachdem, ob der Körper auf der schiefen Ebene nach 

oben oder nach unten verschoben oder gehalten werden soll. 

Es werden die Fälle anhand von Aufgaben mit unterschiedlicher Wirklinie der Verschiebekraft 

untersucht. Die Lösung sucht man auf analytischem Weg mit den beiden rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen 

nach der Lageskizze (SFx ¼ 0, SFy ¼ 0). Anschließend wertet man das 

unmaßstäblich gezeichnete Krafteck (Krafteckskizze) trigonometrisch aus. Auf eine maßstäbliche 

zeichnerische Lösung wird verzichtet. Sie ist hier umständlich und wegen der meist kleinen 

Reibungswinkel ungenau, z. B. ist fürm ¼ 0,1 der Reibungswinkel r ¼ 5,7 (siehe Seite 92). 

Den Körper stellt man sich sehr flach vor, so dass er nicht kippen kann. Dann können die 

Kräfte als zentrales Kräftesystem behandelt werden. Diese Vereinfachung ist technisch zulässig, 

und sie hilft, das Reibungsproblem besser zu erkennen. Die mathematischen Bedingungen 

werden einfacher, weil dann keine Kräftepaare berücksichtigt werden müssen. 

3.3.1 Verschieben des Körpers nach oben (1. Grundfall) 

3.3.1.1 Zugkraft F wirkt unter beliebigem Zugwinkel 

Ein Körper liegt auf einer schiefen Ebene, die unter 

dem Ebenenwinkel a zur Waagerechten geneigt 

ist. Die Zugkraft F wirkt unter dem Zugwinkel b 

zur Waagerechten. Der Körper wird durch die 

Kraft F mit gleichbleibender Geschwindigkeit 

nach oben gezogen. 

Es soll eine Gleichung zur Berechnung der Zugkraft 

F entwickelt werden. 

Man zeichnet die Lageskizze des freigemachten 

Körpers mit der Gewichtskraft FG und ihren Komponenten 

FG sin a und FG cos a, der Zugkraft F 

und deren Komponenten F sin g und F cos g, der 

Normalkraft FN und der Reibungskraft FR ¼ FN m. 

Die Reibungskraft FR bremst den Körper gegenüber 

der ruhenden schiefen Ebene. Sie wirkt daher 

der Bewegungsrichtung des Körpers entgegen 

nach links unten. 

Die x-Achse des rechtwinkligen Achsenkreuzes 

legt man in Richtung der schiefen Ebene. Dann 

wird die Lageskizze mit den Kraftkomponenten 

übersichtlicher, und es ergeben sich einfachere 

rechnerische Beziehungen. Den Winkel b a bezeichnet 

man mit dem griechischen Buchstaben g. 

Gegeben: FG, a, b, m 

Gesucht: F ¼ f (FG, a, b, m) 

3 Reibung 


1. Schritt 

Lageskizze

3.3 Reibung auf der schiefen Ebene 101 

Aus der Lageskizze können die beiden Gleichgewichtsbedingungen 

abgelesen werden. 

Man löst Gleichung II nach der Normalkraft FN 

auf und setzt diesen Ausdruck in Gleichung I ein. 

Die neue Gleichung I wird nach der Zugkraft F 

aufgelöst. Damit erhält man die gesuchte Beziehung 

F ¼ f (FG, a, g, m) und mit g ¼ b a 

F ¼ f (FG, a, b, m) 

Diese Gleichung sieht recht kompliziert aus. Aber 

sie gilt auch für den allgemeinen Kraftrichtungsfall. 

Bei technischen Geräten wirkt die Kraft F 

meist parallel (Schrägaufzug) oder waagerecht 

(Schraube) zur schiefen Ebene. Die Zugkraftgleichung 

wird dann einfacher. 

3.3.1.2 Zugkraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene 

Analytische Lösung: 

Man zeichnet wieder die Lageskizze. Sie unterscheidet 

sich von der vorhergehenden nur durch 

die Richtung der Zugkraft F. Sie wirkt jetzt in 

Richtung der schiefen Ebene, das heißt, der Zugwinkel 

b ist gleich dem Ebenenwinkel a. 

Man schreibt die allgemein gültige Zugkraftgleichung 

auf und ersetzt darin den Zugwinkel b 

durch den Ebenenwinkel a: ðb ¼ aÞ. Im Nenner ist 

cos ða aÞ ¼cos 0 ¼ 1, sin ða aÞ ¼sin 0 ¼ 0. 

Damit erhält man die spezielle Gleichung für den 

Fall, dass die Zugkraft F parallel zur schiefen 

Ebene wirkt. 

Weil in Ûbungsaufgaben und Klausuren häufig die 

Herleitung der Zugkraftgleichung für den speziellen 

Fall verlangt wird, entwickelt man die Gleichung 

noch einmal mit Hilfe der beiden Gleichgewichtsbedingungen 

SFx ¼ 0 und SFy ¼ 0. Das 

ist auch eine Kontrolle des Ergebnisses der vorhergehenden 

Entwicklung aus der allgemeinen Zugkraftgleichung. 

2. Schritt 

I. SFx ¼ 0 ¼ F cos g FG sin a FR 

II. SFy ¼ 0 ¼ FN þ F sin g FG cos a 

FR ¼ FN m 

3. Schritt 

II. FN ¼ FG cos a F sin g 

I. SFx ¼ 0 ¼ F cos g FG sin a 

ðFGcos a F sin gÞ m 

|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 

FN 

F cos g þ F sin gm ¼ FG sin a þ FG m cos a 

sin a þ m cos a 

F ¼ FG 

cos g þ m sin g 


F ¼ FG 

cos ðb aÞþm sin ðb aÞ 

Zugkraft beim Aufwärtszug 


F ¼ FG 



F ¼ FG 

cos ða aÞ þ m sin ða aÞ 

|fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} 

1 

0 

1. Schritt 

Lageskizze 

2. Schritt 

F ¼ FGðsin a þ m cos aÞ F ¼ f (FG, a, m) 

3. Schritt 

I. SFx ¼ 0 ¼ F FG sin a FN m 

II. SFy ¼ 0 ¼ FN FG cos a ) FN ¼ FG cos a 

Der Ausdruck für FN wird in I. eingesetzt: 

I. SFx ¼ 0 ¼ F FG sin a FG cos am 

F ¼ FGðsin a þ m cos aÞ

102 

Trigonometrische Lösung: 


Körpers mit der Gewichtskraft FG, der Verschiebekraft 

F, der Normalkraft FN und der Reibungskraft 

FR. 

In der Krafteckskizze zeichnet man zuerst die Normalkraft 

FN (unmaßstäblich) in Normalenrichtung 

zur schiefen Ebene und schließt rechtwinklig zu 

ihr die Reibungskraft FR in beliebiger Länge an 

(dünne Pfeile). Beide werden zur Ersatzkraft Fe 

zusammengefasst. 

Dann schließt man das Krafteck, indem in den Anfangspunkt 

der Kraft Fe die Gewichtskraft FG und 

in ihren Endpunkt die Kraft F gelegt wird. Den 

Reibungswinkel r trägt man zwischen der Normalkraft 

FN und der Ersatzkraft Fe, den Ebenenwinkel 

a der schiefen Ebene zwischen der Normalkraft 

FN und der Gewichtskraft FG ein. 

Nun wird der Sinussatz für die Kräfte F und FG 

und die ihnen gegenüber liegenden Winkel nach 

der Krafteckskizze angesetzt und daraus eine Gleichung 

für die Kraft F entwickelt. Man erkennt, 

dass die Kraft F von der Gewichtskraft FG, dem 

Ebenenwinkel a und dem Reibungswinkel r abhängig 

ist. 

Man entwickelt die Gleichung mit Hilfe des Additionstheorems 

sin ða þ bÞ ¼sin a cos b þ cos a sin b 

weiter und erhält sie wieder in der Form mit der 

Reibungszahl m. 

Wird der Körper aus der Ruhe nach oben in Bewegung 

gesetzt, tritt im Krafteck an die Stelle der 

Reibungskraft FR die Haftreibungskraft FR0 max 

und an die Stelle des Reibungswinkels r der 

Haftreibungswinkel r0. Beide Gleichungen gelten 

auch für diesen Fall, nur muss r durch r0 und m 

durch m0 ersetzt werden. 

Lageskizze 


1. Schritt 

2. Schritt 

Beachte: 

Zwischen FN und Fe liegt immer 

der Reibungswinkel r, 

zwischen FN und FG liegt immer der Ebenenwinkel 

a der schiefen Ebene, 

zwischen FR und Fe liegt immer der Winkel 

90 r. 

3. Schritt 

F 

sin ða þ rÞ ¼ 

FG 

sin ð90 

FG 

¼ 

rÞ cos r 

Beachte: sin ð90 rÞ ¼cos r 

sin ða þ rÞ 

F ¼ FG 

cos r 

F ¼ f (FG, a, r) 

4. Schritt 

sin ða þ rÞ ¼sin a cos r þ cos a sin r 

sin a cos r þ cos a sin r 

F ¼ FG 

cos r 

cos r sin r 

F ¼ FG sin a þ cos a 

cos r cos r 

3 Reibung 

sin r 

Hierin ist ¼ tan r ¼ m 

cos r 

F ¼ FGðsin a þ m cos aÞ F ¼ f (FG, a, m)


Nachbetrachtung: Beide Gleichungen sind „Funktionsgleichungen“. 

Sie zeigen die Abhängigkeit 

der gesuchten Kraft F von den „Einflussgrößen“ 

FG, a, r und m: 

F ¼ f ðFG, a, rÞ oder F ¼ f ðFG, a, mÞ 

Man erkennt: 

Die Kraft F wird umso größer, je größer die Gewichtskraft 

FG des Körpers ist, je größer der Ebenenwinkel 

a ist und je größer der Reibungswinkel r oder 

die Reibungszahl m ist. Sie erreicht einen Höchstwert, 

wenn der Ebenenwinkel a ¼ 90 r ist. 

3.3.1.3 Zugkraft F wirkt waagerecht 


Als Erstes zeichnet man wieder die Lageskizze. 

Die Zugkraft F soll diesmal waagerecht wirken. 

Dieser Fall ist von besonderer Bedeutung für das 

Verständnis von Schraubgetrieben (Spindelpresse) 

und für die Berechnung von Befestigungsschrauben. 

Auch hier wird zunächst vom allgemeinen Fall 

ausgegangen, bei dem die Zugkraft F unter einem 

beliebigen Zugwinkel b zur Waagerechten wirkt. 

Man setzt in der allgemein gültigen Zugkraftgleichung 

den Zugwinkel b ¼ 0, denn die Wirklinie 

der Zugkraft F soll waagerecht liegen. 

Für die trigonometrischen Funktionen im Nenner 

gilt cos ð aÞ ¼cos a und sin ð aÞ ¼ sin a. 


Fall, dass die Zugkraft F waagerecht wirkt. 

Es soll auch für diesen Fall die Zugkraftgleichung 

mit Hilfe der beiden Gleichgewichtsbedingungen 

SFx ¼ 0 und SFy ¼ 0 hergeleitet werden. 

Gleichung II löst man nach der Normalkraft FN 

auf und setzt diesen Ausdruck in Gleichung I ein. 

Die Endgleichung stimmt mit der vorhergehenden 

überein. 

Die Diskussion der ersten Gleichung zeigt: 

Die Kraft F ist der Gewichtskraft FG proportional; 

sie wächst mit dem Ebenenwinkel a und dem 

Reibungswinkel r, denn die Summe a þ r 

wird größer und damit auch ihre Sinusfunktion, 

während cos r kleiner wird; 

den Höchstwert erreicht F, wenn 

a ¼ 90 r ist, denn dann wird 

sin ða þ rÞ ¼1, die Kraft F ist größer als FG 

und nimmt bei zunehmendem Ebenenwinkel 

wieder ab, bis sie bei a ¼ 90 genauso groß 

ist wie die Gewichtskraft, weil 

sin ð90 þ rÞ ¼cos r. 

1. Schritt 

Lageskizze 

2. Schritt 


F ¼ FG 



F ¼ FG 

cos ð0 aÞ þ m sin ð0 aÞ 

|fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} 

cos a sin a 


F ¼ FG 

cos a m sin a 

FR 

z}|{ 

F ¼ f ðFG, a, mÞ 

3. Schritt 

I. SFx ¼ 0 ¼ F cos a FN m FG sin a 

II. SFy ¼ 0 ¼ FN FG cos a F sin a 

FN ¼ FG cos a þ F sin a 

I. SFx ¼ 0 ¼ F cos a FG sin a 

Fðcos a 

ðFG cos a þ F sin aÞ m 

m sin aÞ ¼FGðsin a þ m cos aÞ 

F ¼ FG 


cos a m sin a

104 

Häufiger wird die Gleichung mit dem Reibungswinkel 

r anstelle der Reibungszahl m gebraucht, 

zum Beispiel beim Schraubengewinde. Zur Um- 

wandlung der Gleichung wird eingesetzt: 

sin r 

Reibungszahl m ¼ tan r ¼ 

cos r 

(siehe Abschnitt 3.2.1, Seite 91) 

Wird nun Zähler und Nenner auf den gemeinsamen 

Nenner cos r gebracht, erhält man mit den 

entsprechenden Additionstheoremen die gesuchte 

Gleichung mit dem Reibungswinkel r. 

Mit Hilfe der folgenden trigonometrischen Lösung 

kann man diese Gleichung direkt aus der Krafteckskizze 

ablesen. 



Körpers. 

Die Krafteckskizze wird wieder mit der Normalkraft 

FN begonnen, an die man rechtwinklig die 

Reibungskraft FR (nach links unten) anschließt. 

Beide werden durch die Ersatzkraft Fe ersetzt. 

Dann schließt man das Krafteck aus Fe, FG und F 

und trägt die Winkel a und r ein. 

Das Krafteck ist ein rechtwinkliges Dreieck, aus 

dem man die Gleichung für die Verschiebekraft F 

ablesen kann. 

Die Gleichung gilt auch für den Fall, dass der Körper 

aus der Ruhe nach oben angezogen wird, wenn 

r durch r0 ersetzt wird. 

Nachbetrachtung: Die Gleichung zeigt, dass die 

Verschiebekraft F größer wird mit zunehmender 

Gewichtskraft FG, zunehmendem Ebenenwinkel a 

und zunehmendem Reibungswinkel r. 

Ist a ¼ 0, dann ist die Verschiebekraft F gleich der 

Reibungskraft FR. 

Wächst der Neigungswinkel gegen a ¼ 90 r, 

geht die Verschiebekraft F gegen unendlich, d. h. 

schon bevor der Ebenenwinkel a ¼ 90 erreichen 

wird, ist eine Verschiebung nicht mehr möglich. 

sin r 

sin a þ cos a 

cos r 

F ¼ FG 

sin r 

cos a sin a 

cos r 

F ¼ FG 

sin a cos r þ cos a sin r 

cos r 

cos a cos r sin a sin r 

cos r 

sin ða þ rÞ 

F ¼ FG 

cos ða þ rÞ 

4. Schritt 

F ¼ FG tan ða þ rÞ F ¼ f ðFG, a, rÞ 

Lageskizze 


3 Reibung 

1. Schritt 

2. Schritt 

3. Schritt 

F ¼ FG tan ða þ rÞ F ¼ f ðFG, a, rÞ 

Ist a ¼ 0, wird tan ða þ rÞ ¼tan r ¼ m, und 

damit F ¼ FG m. Bei waagerechter Ebene ist 

FG ¼ FN, folglich auch F ¼ FN m ¼ FR. 

Ist a ¼ 90 r, dann ist 

tan ða þ rÞ ¼tan ð90 r þ rÞ und 

tan 90 ¼1. Dann wird F ¼ FG 1¼1.


3.3.2 Halten des Körpers auf der schiefen Ebene (2. Grundfall) 

3.3.2.1 Haltekraft F wirkt unter beliebigem Zugwinkel 

Die geometrischen Größen sind die gleichen wie 

in den vorhergehenden Untersuchungen. 

Der Körper steht gerade vor dem Abgleiten und 

soll durch die Kraft F auf der schiefen Ebene in 

Ruhestellung gehalten werden. Die entsprechende 

Gleichung soll mit Hilfe der beiden Kraft-Gleichgewichtsbedingungen 

SFx ¼ 0 und SFy ¼ 0 gefunden 

werden. 

Man zeichnet wieder die Lageskizze des freigemachten 

Körpers mit der x-Achse des Achsenkreuzes 

in Richtung der schiefen Ebene. 

Im Gegensatz zum 1. Grundfall (Verschieben 

nach oben) wirkt hier die maximale Haftreibungskraft 

FR0 max ¼ FN m 0 am Körper nach rechts oben. 

Sie versucht, ihn in der Ruhelage zu halten. Die 

dann noch erforderliche Haltekraft F ist mit 

Sicherheit kleiner als die Zugkraft zum Aufwärtsziehen 

im 1. Grundfall. Wegen der Ruhelage des 

Körpers gilt als Reibungszahl die Haftreibungszahl 

m0, nicht die (kleinere) Gleitreibungszahl m. 

Aus der Lageskizze liest man die beiden Gleichgewichtsbedingungen 

ab und geht dann genau so 

vor wie im 1. Grundfall. Ein Vergleich zeigt, dass 

sich die beiden Gleichungssysteme nur durch den 

Richtungssinn der Reibungskraft unterscheiden. 

Gleichung II löst man nach der Normalkraft FN 

auf und setzt diesen Ausdruck in Gleichung I 

ein. 

Diese neue Gleichung I löst man nach der Haltekraft 

F auf und erhält damit die gesuchte Beziehung 

F ¼ f ðFG, a, g, m 0Þ und mit g ¼ b a 

F ¼ f ðFG, a, b, m 0 Þ 

Gegeben: FG, a, b, m0 

Gesucht: F ¼ f ðFG, a, b, m 0 Þ 


1. Schritt 

Lageskizze 

2. Schritt 

I. SFx ¼ 0 ¼ F cos g FG sin a þ FR0 max 

FR0 max ¼ FN m 0 

II. SFy ¼ 0 ¼ FN þ F sin g FG cos a 

II. FN ¼ FG cos a F sin g 3. Schritt 

I. SFx ¼ 0 ¼ F cos g FG sin a þ 

þðFG cos a F sin gÞ m0 |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 

FN 

Fðcos g m0 sin gÞ ¼FGðsin a m0 cos aÞ 

sin a 

F ¼ FG 

cos g 

m0 cos a 

m0 sin g

106 

Sieht man sich dazu die entsprechende Gleichung 

im 1. Grundfall (Seite 101) an, erkennt man, dass 

sich beide Gleichungen nur durch die Vorzeichen 

der m0-Glieder unterscheiden. Die einzelnen Glieder 

selbst sind gleich. 

Es ist noch zu überlegen, ob und wie die Haltekraft 

F sich ändert, wenn der Körper mit konstanter 

Geschwindigkeit abwärts gleitet. Da die Reibungskraft 

ihren Richtungssinn nach rechts oben beibehält, 

gibt es nur eine Ønderung in der Gleichung 

für die Haltekraft F: An die Stelle der Haftreibungszahl 

m0 tritt die Gleitreibungszahl m. Da 

m < m 0 ist, muss die Haltekraft F beim gleichförmigen 

Abwärtsgleiten größer sein als beim Halten 

des Körpers, weil die Gleitreibungskraft kleiner ist 

als die Haftreibungskraft. 

3.3.2.2 Haltekraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene 


Man zeichnet die Lageskizze und geht dann 

wieder so vor wie in 3.3.1.2 auf Seite 101. Haltekraft 

F und Haftreibungskraft FR0 max wirken parallel 

zur schiefen Ebene nach rechts oben. 

Der Zugwinkel b ist gleich dem Ebenenwinkel a. 

Das ist die Ønderung des physikalischen Sachverhalts 

gegenüber dem allgemeinen Fall. 

Den neuen Sachverhalt bringt man in die allgemeine 

Haltekraftgleichung (siehe oben) ein. 

Dort ersetzt man den Zugwinkel b durch den 

Ebenenwinkel a: (b ¼ a). 

Im Nenner ist wieder 

cos ða aÞ ¼cos 0 ¼ 1 

sin ða aÞ ¼sin 0 ¼ 0 


Fall, dass die Haltekraft F parallel zur schiefen 

Ebene wirkt. 

sin a m0 cos a 

F ¼ FG 

cos ðb aÞ m0 sin ðb aÞ 

F ¼ f ðFG, a, b, m 0 Þ 

Haltekraft F bei ruhendem Körper 

4. Schritt 

sin a m cos a 

F ¼ FG 

cos ðb aÞ m sin ðb aÞ 

Haltekraft F beim gleichförmigen 

Abwärtsgleiten 

F ¼ FG 

F ¼ FG 

sin a m 0 cos a 

cos ðb aÞ m 0 sin ðb aÞ 

cos ða aÞ 


1 


3 Reibung 

1. Schritt 

Lageskizze 

2. Schritt 

m 0 sin ða aÞ 


0 

F ¼ FG ðsin a m 0 cos aÞ F ¼ f ðFG, a, m 0Þ


Zur Kontrolle wird noch auf direktem Weg die 

Haltekraftgleichung entwickelt. Dazu setzt man 

die beiden Gleichgewichtsbedingungen SFx ¼ 0 

und SFy ¼ 0 an, die man aus der Lageskizze ablesen 

kann. 

Das Ergebnis stimmt mit der vorher entwickelten 

Gleichung überein. 



Körpers. Er ist gerade an der Grenze zwischen 

Ruhe und Bewegung nach unten. Die maximale 

Haftreibungskraft FR0 max wirkt dann der zu erwartenden 

Bewegungsrichtung des Körper entgegen 

nach rechts oben. 

In der Krafteckskizze wird wieder zuerst die Normalkraft 

FN gezeichnet und rechtwinklig daran die 

Haftreibungskraft FR0 max. Beide fasst man zur Ersatzkraft 

Fe zusammen. Dann schließt man das 

Krafteck aus Fe, F und FG. Die Winkel a und r0 

werden wie in der vorigen Aufgabe in die Krafteckskizze 

eingetragen: a zwischen FN und FG 

und r0 zwischen FN und Fe. 

Dann setzt man wieder den Sinussatz an und entwickelt 

daraus die Gleichung für die Kraft F. Aus 

der Gleichung erkennt man, dass die erforderliche 

Haltekraft F größer wird mit zunehmender Gewichtskraft 

FG und zunehmendem Ebenenwinkel 

a. Sie wird kleiner bei zunehmendem Haftreibungswinkel 

r0. Das ist leicht zu erklären, denn 

die Haftreibungskraft unterstützt die Kraft F. 

Mit Hilfe des Additionstheorems 

sin ða r0Þ¼sin a cos r0 cos a sin r0 findet man auch die zweite Form der Funktionsgleichung 

für die Kraft F. 

Beide Gleichungen gelten auch für den Fall, dass 

der Körper gleichförmig abwärts gleitet, wenn r0 

durch r und m0 durch m ersetzt wird. 

I. 

FR0 max 

zffl}|ffl{ 

SFx ¼ 0 ¼ F þ FN m0 3. Schritt 

FG sin a 



I. SFx ¼ 0 ¼ F þ FG cos am0 FG sin a 

F ¼ FGðsin a m 0 cos aÞ 

Lageskizze 


F 

sin ða r0Þ ¼ 

FG 

sin ð90 þ r0Þ Beachte: sin ð90 þ r 0 Þ¼cos r 0 

sin ða r0Þ F ¼ FG 

cos r0 1. Schritt 

2. Schritt 

3. Schritt 

¼ FG 

cos r 0 

F ¼ f ðFG, a, r 0 Þ 

4. Schritt 

F ¼ FGðsin a m 0 cos aÞ F ¼ f ðFG, a, m 0 Þ 

Beachte: Beim Abwärtsgleiten ist die erforderliche 

Haltekraft F größer als in der Ruhe, weil 

die unterstützende Reibungskraft kleiner ist.

108 

Nachbetrachtung: Aus der ersten Gleichung kann 

man erkennen, dass bei reibungsfreier Auflage des 

Körpers (r0 ¼ 0) die Haltekraft F gleich der „Abtriebskomponente“ 

der Gewichtskraft FG sin a 

wird. 

Ist der Ebenenwinkel a gleich dem Haftreibungswinkel 

r0, dann wird die Haltekraft F gleich null. 

Nur die Haftreibungskraft FR0 max hält den Körper 

fest. 

Ist der Ebenenwinkel a kleiner als der Haftreibungswinkel 

r0, dann ergibt die Gleichung einen 

negativen Wert für die Haltekraft F. Das bedeutet, 

dass die Kraft entgegen dem angenommenen Richtungssinn 

wirken muss. Um aus der Ruhe in die 

Bewegung überzugehen, muss der Körper abwärts 

geschoben werden. 

3.3.2.3 Haltekraft F wirkt waagerecht 


Zunächst wird die allgemeine Gleichung (Seite 

106) für den speziellen Fall der waagerecht wirkenden 

Haltekraft F umgeschrieben. Dann entwickelt 

man aus den beiden Gleichgewichtsbedingungen 

die Haltekraftgleichung. Anschließend 

wird die Krafteckskizze wieder trigonometrisch 

ausgewertet. 

Die Haltekraft F soll waagerecht von links nach 

rechts wirken. Dann gilt für den Zugwinkel (Haltewinkel) 

b ¼ 0. Diese Bedingung bringt man in die 

allgemeine Gleichung ein. Da nach wie vor der 

Körper gerade vor dem Abgleiten stehen soll, muss 

wieder die Haftreibungszahl m0 eingesetzt werden. 

Mit b ¼ 0 wird im Nenner 

cos ð aÞ ¼cos a 

sin ð aÞ ¼ sin a 

Damit ergibt sich die spezielle Gleichung für eine 

waagerecht wirkende Haltekraft F. 

Für r0 ¼ 0 wird die Winkeldifferenz 

a r 0 ¼ a und cos r 0 ¼ 1, und es wird 

F ¼ FG 

sin ða 0Þ 

¼ FG sin a 

1 

Für r0 ¼ a wird sin ða r0Þ¼sin 0 ¼ 0. 

Dadurch erhält der ganze Quotient den Wert 

null, es wird 

sin ðr0 r0Þ 0 

F ¼ FG 

¼ FG ¼ 0 

cos r0 cos r0 Für a < r0 wird die Winkeldifferenz a r0 und damit auch ihre Sinusfunktion negativ. 

Dadurch ergibt sich für F ein negativer Wert. 

Erkenntnis: Ist der Ebenenwinkel a r0 , 

bleibt der Körper von selbst auf der schiefen 

Ebene liegen. 

a r 0 Selbsthemmungsbedingung 

1. Schritt 

Lageskizze 

sin a 

F ¼ FG 

cos ðb aÞ 

m0 cos a 

m0 sin ðb 

2. Schritt 

aÞ 


F ¼ FG 

cos ð0 aÞ m0 sin ð0 aÞ 


F ¼ FG 

cos a þ m0 sin a 

3 Reibung 

F ¼ f ðFG, a, m 0 Þ


Es soll auch hier wieder die Haltekraftgleichung 

aus den beiden Gleichgewichtsbedingungen 

SFx ¼ 0 und SFy ¼ 0 entwickelt werden. 

Man kommt zum gleichen Ergebnis wie im vorhergehenden 

Fall. 

Gleitet der Körper gleichförmig abwärts, ist an 

Stelle der Haftreibungszahl m0 die Gleitreibungszahl 

m in die Gleichung einzusetzen. Wegen 

m < m0, ist die Haltekraft F größer als beim ruhenden 

Körper. 



Körpers. Er ist gerade an der Grenze zwischen Ruhe 

und Bewegung nach unten. Folglich wirkt die maximale 

Haftreibungskraft FR0 max der zu erwartenden 

Bewegungsrichtung entgegen nach rechts oben. 

Die Krafteckskizze beginnt man wieder mit der 

Normalkraft FN, schließt rechtwinklig nach rechts 

oben die Haftreibungskraft FR0 max an und fasst 

beide zur Ersatzkraft Fe zusammen. Das Krafteck 

wird mit FG und F geschlossen, die Winkel a und 

r0 werden eingetragen. 

Aus dem Krafteck liest man die Gleichung für die 

Haltekraft F ab. 

Die Gleichung gilt auch für den Fall, dass der 

Körper gleichförmig abwärts gleitet, wenn r0 

durch r ersetzt wird. 

Nachbetrachtung: Die Gleichung zeigt, dass die 

erforderliche Haltekraft F größer wird mit zunehmender 

Gewichtskraft FG und zunehmendem Ebenenwinkel 

a. Sie wird kleiner mit zunehmendem 

Haftreibungswinkel r0, weil die Haftreibungskraft 

jetzt die Haltekraft unterstützt. 

Ist der Ebenenwinkel a gleich dem Haftreibungswinkel 

r0, dann wird die Haltekraft F gleich null, 

d. h. es liegt Selbsthemmung vor. 

Ist der Ebenenwinkel a kleiner als der Haftreibungswinkel 

r0, dann ergibt sich eine negative 

Haltekraft F, der Körper muss nach unten geschoben 

werden. 

3. Schritt 

I. 

FR0 max 

zffl}|ffl{ 

SFx ¼ 0 ¼ F cos a þ FN m0 FG sin a 

II. SFy ¼ 0 ¼ FN FG cos a F sin a 

FN ¼ FG cos a þ F sin a 


I. SFx ¼ 0 ¼ F cos a þ 

þðFG cos a þ F sin aÞ m0 FG sin a 

F ¼ FG 


cos a þ m 0 sin a 

Lageskizze 


1. Schritt 

2. Schritt 

F ¼ FG tan ða r 0 Þ 3. Schritt 

F ¼ f ðFG, a, r0Þ Beachte: Beim Abwärtsgleiten ist die erforderliche 

Haltekraft F größer als in Ruhe. 

Wird der Haftreibungswinkel r0 größer, dann 

wird die Winkeldifferenz a r0 kleiner, also 

auch ihre Tangensfunktion. Das ergibt aber 

auch einen kleineren Betrag für die Haltekraft 

F. 

Für a ¼ r0 wird tan ða r 0 Þ¼tan 0 ¼ 0, 

und damit 

F ¼ FG tan ðr 0 r 0 Þ¼FG 0 ¼ 0. 

Für a < r 0 wird die Winkeldifferenz und 

damit auch ihre Tangensfunktion negativ. 

Dadurch ergibt sich für die Haltekraft F ein 

negativer Betrag.

110 

3.3.3 Verschieben des Körpers nach unten (3. Grundfall) 

3.3.3.1 Schubkraft F wirkt unter beliebigem Schubwinkel 

Im 1. Grundfall wurde der Körper auf der schiefen 

Ebene nach oben gezogen, im 2. Grundfall im 

Ruhezustand gehalten (oder herabgelassen). Im 

3. Grundfall wird der Körper unter der Wirkung 

der Schubkraft F gleichförmig nach unten verschoben. 

Die Schubkraft F wirkt unter dem Schubwinkel 

b zur Waagerechten. Gesucht ist die Gleichung 

zur Berechnung der Schubkraft F. 


Gegeben: FG, a, b, m 

Gesucht: F ¼ f ðFG, a, b, mÞ 

Analytische Lösung: 1. Schritt 

Als Erstes wird wieder die Lageskizze des freigemachten 

Körpers gezeichnet. 

Die Reibungskraft FR ¼ FN m wirkt der Bewegungsrichtung 

des Körpers entgegen nach rechts 

oben. Sie versucht, den Körper abzubremsen wie 

im 2. Grundfall. In der Lageskizze führt man den 

Winkel g ¼ b a ein. Das vereinfacht die weitere 

algebraische Entwicklung. 

Aus der Lageskizze liest man wieder die beiden 

Gleichgewichtsbedingungen SFx ¼ 0undSFy ¼ 0ab. 

Für die Reibungskraft wird FR ¼ FN m eingesetzt. 

Gleichung II wird nach FN aufgelöst und dieser 

Ausdruck in Gleichung I eingesetzt. 

Diese neue Gleichung I löst man nach der Schubkraft 

F auf. Das ist die Beziehung 

F ¼ f ðFG, a, g, mÞ 

Setzt man dann wieder g ¼ b a ein, erhält man 

die gesuchte Beziehung in der Form 

F ¼ f ðFG, a, b, mÞ 

Nachbetrachtung: Ein Vergleich der Schubkraftgleichung 

mit der Haltekraftgleichung auf Seite 

106 zeigt, dass sie fast übereinstimmen. Bis auf 

die Vorzeichen im Nenner sind alle Glieder im 

Zähler und im Nenner gleich. Rechnet man die 

Kraft F mit gleichen Größen für beide Gleichungen 

aus, dann sind die Zahlenwerte gleich. Nur die 

Vorzeichen sind verschieden. Das muss so sein, 

denn die beiden Lageskizzen unterscheiden sich 

nur durch den Richtungssinn der Kraft F. 

3 Reibung 

Lageskizze 

I. SFx ¼ 0 ¼ FN m F cos g 

2. Schritt 

FG sin a 

II. SFy ¼ 0 ¼ FN FG cos a F sin g 

3. Schritt 

II. FN ¼ FG cos a þ F sin g 

I. SFx ¼ 0 ¼ðFG cos a þ F sin gÞ m 

FG sin a F cos g 

F sin gm F cos g ¼ FG sin a 

FG cos am 

sin a m cos a 

F ¼ FG 

m sin g cos g 

sin a m cos a 

F ¼ FG 

m sin ðb aÞ cos ðb 

F ¼ f ðFG, a, b, mÞ 

aÞ 

Schubkraft F beim gleichförmigen Abwärtsgleiten 

Nennervergleich: 

NS ¼ m sin ðb aÞ cos ðb aÞ 

in der Schubkraftgleichung 

NH ¼ cos ðb aÞ m sin ðb aÞ 

in der Haltekraftgleichung 

NS ¼ð 1Þ NH


3.3.3.2 Schubkraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene 


Als Erstes zeichnet man wieder die Lageskizze. 

Die Schubkraft F wirkt jetzt parallel zur schiefen 

Ebene in negativer x-Richtung. Das gilt auch für 

die Gewichtskraftkomponente FG sin a. Entgegengesetzt 

zur Schubkraftrichtung wirkt die Reibungskraft 

FR ¼ FN m. Rechtwinklig zur schiefen Ebene 

wirkt in negativer y-Richtung die Gewichtskraftkomponente 

FG cos a, in positiver y-Richtung die 

Normalkraft FN. 

Da die Schubkraft parallel zur schiefen Ebene 

wirken soll, wird der Schubwinkel b gleich dem 

Ebenenwinkel a. Entsprechend schreibt man die 

allgemeine Schubkraftgleichung von Seite 110 um. 

Im Nenner ist dann 

sin ða aÞ ¼ sin 0 ¼ 0 

cos ða aÞ ¼cos 0 ¼ 1. 


Fall, dass die Schubkraft F parallel zur schiefen 

Ebene wirkt. 

Bis auf das Vorzeichen stimmt auch diese Gleichung 

mit der entsprechenden Haltekraftgleichung 

in 3.3.2.2 (Seite 106) überein, wenn dort m0 durch 

m ersetzt wird. 

Wie gewohnt findet man die Schubkraftgleichung 

auch mit Hilfe der beiden Gleichgewichtsbedingungen 

SFx ¼ 0 und SFy ¼ 0. 

Es soll nun die Schubkraftgleichung in die Form 

mit dem Reibungswinkel r gebracht werden. Dazu 

ersetzt man die Reibungszahl m durch den Tangens 

des Reibungswinkels. Den Klammerausdruck 

bringt man auf den Hauptnenner cos r. 

Mit Hilfe des Additionstheorems 

sin r cos a cos r sin a ¼ sin ðr aÞ 

wird die gesuchte Gleichungsform gefunden. 

1. Schritt 

Lageskizze 

2. Schritt 

sin a m cos a 

F ¼ FG 

m sin ðb aÞ cos ðb aÞ 

F ¼ FG 

sin a m cos a 

m sin ða aÞ 


0 

sin a m cos a 

F ¼ FG 

1 

cos ða aÞ 


1 

F ¼ FGðm cos a sin aÞ F ¼ f ðFG, a, mÞ 

3. Schritt 

I. SFx ¼ 0 ¼ FN m F FG sin a 


I. SFx ¼ 0 ¼ðFG cos aÞ m F FG sin a 

F ¼ FGðm cos a sin aÞ 

sin r 

m ¼ tan r ¼ 4. Schritt 

cos r 

sin r cos a cos r sin a 

F ¼ FG 

cos r 

F ¼ FG 

sin ðr aÞ 

cos r 

F ¼ f ðFG, a, rÞ

112 

3.3.3.3 Schubkraft F wirkt waagerecht 


Man geht wieder von der Lageskizze aus. Die 

Schubkraft F wirkt jetzt waagerecht. Dieses 

Kräftesystem wirkt zum Beispiel am Gewindegang 

einer Schraubenverbindung, wenn sie gelöst wird. 

Bei waagerechter Schubkraftrichtung ist der 

Schubwinkel b ¼ 0. Entsprechend schreibt man 

wieder die allgemeine Schubkraftgleichung um. 

Mit b ¼ 0 wird im Nenner 

sin ð aÞ ¼ sin a 

cos ð aÞ ¼cos a 

Damit ergibt sich die spezielle Gleichung für eine 

waagerecht wirkende Schubkraft F. 

Diese Gleichung muss sich auch ergeben, wenn 

man die beiden Gleichgewichtsbedingungen 

SFx ¼ 0 und SFy ¼ 0 auswertet. 

Es soll auch diese Schubkraftgleichung in die 

Form mit dem Reibungswinkel r gebracht werden. 

Diese Form ist bei Untersuchungen der Reibungsverhältnisse 

am Gewindegang gebräuchlich. 

Man ersetzt zunächst die Reibungszahl m durch 

den Tangens des Reibungswinkels 

sin r 

m ¼ tan r ¼ 

cos r 

Zähler und Nenner bringt man auf den Hauptnenner 

cos r und erhält die beiden Additionstheoreme 

sin r cos a cos r sin a ¼ sin ðr aÞ 

sin r sin a cos r cos a ¼ cos ðr aÞ 

Diese Schubkraftgleichung unterscheidet sich von 

der Haltekraftgleichung in 3.3.2.3 nur durch die 

Winkelvorzeichen. Das ist verständlich, denn 

Schubkraft und Haltekraft haben entgegengesetzten 

Richtungssinn. 

1. Schritt 

Lageskizze 

sin a m cos a 

F ¼ FG 

m sin ðb aÞ cos ðb 

2. Schritt 

aÞ 

F ¼ FG 

sin a m cos a 

m sin a cos a 

|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 

ð 1Þðm sin a þ cos aÞ 

F ¼ FG 

m cos a sin a 

m sin a þ cos a 

F ¼ f ðFG, a, mÞ 

I. SFx ¼ 0 ¼ FN m FG sin a 

3. Schritt 

F cos a 

II. SFy ¼ 0 ¼ FN þ F sin a FG cos a 

FN ¼ FG cos a F sin a 

I. SFx ¼ 0 ¼ðFG cos a F sin aÞ m 

FG sin a F cos a 

F sin amþ F cos a ¼ FG cos am FG sin a 

F ¼ FG 

m cos a sin a 

m sin a þ cos a 

¼ 1 

zffl}|ffl{ 

sin r 

cos r 

cos a sin a 

cos r cos r 

F ¼ FG 

sin r 

cos r 

sin a þ cos a 

cos r cos r 

F ¼ FG 

F ¼ FG 

sin r cos a cos r sin a 

cos r 

sin r sin a þ cos r cos a 

cos r 

sin ðr aÞ 

cos ðr aÞ 

3 Reibung 

4. Schritt 

F ¼ FG tan ðr aÞ F ¼ f ðFG, a, rÞ


3.3.4 Ûbungen zur Reibung auf der schiefen Ebene 

1. Ûbung: Auf einer schiefen Ebene (Rutsche) 

sollen Werkstücke nach dem Anstoßen mit 

konstanter Geschwindigkeit abwärts gleiten. Der 

Ebenenwinkel der Rutsche ist verstellbar. Die 

Gleitreibungszahl beträgt m ¼ 0,3. 

Welcher Ebenenwinkel a muss eingestellt werden? 

Lösung: Da keine Zug- oder Schubkraft wirkt 

(F ¼ 0) und Gleichgewicht vorhanden ist (v ¼ 

konstant), muss die Hangabtriebskomponente der 

Gewichtskraft FG sin a gleich der Reibungskraft 

FR ¼ FN m sein (SFx ¼ 0). Die Normalkraft FN ist 

gleich der Gewichtskraftkomponente FG cos a 

(SFy ¼ 0). Daraus ergibt sich der gesuchte 

Ebenenwinkel a ¼ arctan m. 

Das sind die Ûberlegungen zur Ermittlung der 

Gleitreibungszahl m in Abschnitt 3.2.2 (Seite 92). 

Man hätte auch jede der in Abschnitt 3.3.3 hergeleiteten 

Gleichungen zur Lösung ansetzen können, 

z. B. die Schubkraftgleichung aus Abschnitt 

3.3.3.2 (Seite 111). 

Da keine Zug- oder Schubkraft wirken soll, muss 

in dieser Gleichung F ¼ 0 gesetzt werden. 

Ist das Produkt zweier Faktoren gleich null, muss 

einer der beiden gleich null sein. Da die Gewichtskraft 

FG nicht null sein kann, muss der Faktor 

m cos a sin a ¼ 0 sein. Damit ergibt sich auch 

hier a ¼ arctan m ¼ 16,7 . 

2. Ûbung: Die Werkstücke auf der Rutsche aus 

der 1. Ûbung befinden sich zunächst in Ruhelage. 

Welche Kraft muss kurzzeitig parallel zur Rutsche 

auf ein Werkstück wirken, um es in Bewegung zu 

setzen? Die Schubkraft F ist als Vielfaches der 

Gewichtskraft FG anzugeben. Die Haftreibungszahl 

beträgt m0 ¼ 0,5. 

Lösung: Für die Lage der Kräfte am Werkstück 

gilt die Lageskizze von Seite 111 und damit auch 

die dort hergeleitete Gleichung. Statt der Gleitreibungszahl 

m gilt die Haftreibungszahl m0. 


Gegeben: Gleitreibungszahl m ¼ 0,3 

Gleitgeschwindigkeit v ¼ konstant 

Keine Zug- oder Schubkraft 

(F ¼ 0) 

Gesucht: Ebenenwinkel a 

FG sin a ¼ FR ¼ FN m 

FG cos a ¼ FN 

FG sin a ¼ FG cos am 

sin a 

¼ m ¼ tan a 

cos a 

a ¼ arctan m ¼ arctan 0,3 

a ¼ 16,7 

Nach Seite 111 ist die Schubkraft 

F ¼ FG ðm cos a sin aÞ 

0 ¼ FG ðm cos a sin aÞ 

m cos a sin a ¼ 0 

sin a 

sin a ¼ m cos a ) ¼ tan a ¼ m 

cos a 

a ¼ arctan m ¼ arctan 0,3 

a ¼ 16,7 

Gegeben: Haftreibungszahl m0 ¼ 0,5 

Ebenenwinkel a ¼ 16,7 

Schubwinkel b ¼ Ebenenwinkel a 

Gesucht: Schubkraft F ¼ f ðFGÞ 

Nach Seite 111 gilt mit m ¼ m0 die 

Schubkraftgleichung 

F ¼ FG ðm 0 cos a sin aÞ 

Damit wird 

F ¼ FG ð0,5 cos 16,7 sin 16,7 Þ 

F ¼ 0,19 FG

114 

3.4 Reibung an Maschinenteilen 

3.4.1 Prismenführung und Keilnut 

Der Bettschlitten einer Werkzeugmaschine wird 

durch die vertikal wirkende Belastung F in eine 

unsymmetrische Prismenführung gedrückt und 

von der Verschiebekraft FV auf den Führungsflächen 

gleichförmig verschoben. Es wird hier davon 

ausgegangen, dass zwischen den beiden Führungsflächen 

unterschiedliche Reibungszahlen auftreten. 

Es soll eine Gleichung zur Berechnung der Verschiebekraft 

FV entwickelt werden. 

Man bringt an einer beliebigen Querschnittsscheibe 

des Schlittens alle wirkenden Kräfte an 

und schreibt dazu die Gleichgewichtsbedingungen 

in Richtung der drei Achsen eines räumlichen 

Achsenkreuzes auf. 

Gleichung II löst man nach FN2 auf und schreibt 

damit Gleichung I um. 

In gleicher Weise wird mit Gleichung III verfahren. 

Dort erweitert man sin a1 mit cos a2=cos a2. 

Man löst nun Gleichung III nach FN1 auf und setzt 

diesen Ausdruck in die Gleichung I ein. Daraus erhält 

man die gesuchte Gleichung für die Verschiebekraft 

FV. 

Die symmetrische Prismenführung ist ein Sonderfall 

mit a1 ¼ a2 ¼ a. Da man auch gleiche Reibungszahlen 

für beide Gleitflächen annehmen 

kann, erhält man eine einfache Beziehung für die 

Verschiebekraft FV. Nach den Gesetzen der Trigonometrie 

ist sin 2a ¼ 2 sin a cos a. 

In diesem Fall ist es üblich, mit der Keilreibungszahl 

m 0 ¼ m=sin a zu arbeiten. Darin ist a der halbe 

Keilwinkel. 

Die Gleichung für die Keilreibungszahl zeigt, dass 

Keilnuten größere Reibungskräfte übertragen 

können als Ebenen (m 0 > m). Daher können Keilriemen 

größere Umfangskräfte (Drehmomente) 

übertragen als Flachriemen. 

Gegeben: Belastung F 

Reibungszahlen m1, m2 

Winkel a1, a2 

Gesucht: FV ¼ f ðF, m1 , m2 , a1, a2Þ 

I: SFz ¼ 0 ¼ FN1m 1 

|fflffl{zfflffl} 

FR1 

þ FN2m 2 

|fflffl{zfflffl} 

FR2 

FV 

II. SFx ¼ 0 ¼ FN1 cos a1 FN2 cos a2 

III.SFy ¼ 0 ¼ FN1 sin a1 þ FN2 sin a2 

cos a1 

II. FN2 ¼ FN1 

cos a2 

F 

I. FV ¼ FN1 

cos a1 

m1 þ m2 cos a2 

III.F ¼ FN1 

cos a2 cos a1 

sin a1 þ sin a2 

cos a2 cos a2 

sin a1cos a2 þ cos a1sin a2 

F ¼ FN1 

cos a2 

sin ða1 þ a2Þ 

¼ FN1 

cos a2 

I. 

Fcos a2 

FV ¼ 

sin ða1 þ a2Þ m1 þ m cos a1 

2 

cos a2 

FV ¼ F m 1 cos a2 þ m 2 cos a1 

sin ða1 þ a2Þ 

FV ¼ f ðF, m1 , m2 , a1, a2Þ 

für a1 ¼ a2 und m1 ¼ m2 wird 

FV ¼ F 

3 Reibung 

2m cos a 2m cos a m 

¼ F ¼ F 

sin 2a 2 sin a cos a sin a 

FV ¼ Fm0 ¼ FR m 0 ¼ m 

sin a 

Keilreibungskraft Keilreibungszahl 

Beachte: Kleiner Winkel a ergibt große Keilreibungszahl, 

großer Winkel a kleine Keilreibungszahl. 

Beispiel: Normalkeilriemen haben Keilwinkel 

(Rillenwinkel) von 32 ,34 ,36 und 38 .

3.4 Reibung an Maschinenteilen 115 

3.4.2 Zylinderführung 

Zylinderführungen an bewegten Maschinenteilen 

(Pressenstößel, Ziehschlitten) sollen reibungsarm 

führen und nicht klemmen. In manchen Fällen 

wird aber verlangt, dass die Führung klemmt, z. B. 

bei Bohrmaschinentischen, um auch im ungeklemmten 

Zustand sicheren Halt zu gewährleisten. 

Man muss also wissen, unter welchen Bedingungen 

eine Zylinderführungsbuchse klemmt. 

Aufgabe: Eine im Abstand l1 von der Führungsmitte 

wirkende Kraft F versucht, eine Führungsbuchse 

von der Länge l zu verschieben. Unter 

welcher Bedingung klemmt die Buchse? 

Zeichnerische Untersuchung: Man zeichnet einen 

Lageplan und trägt zuerst die Kraft F auf ihrer 

Wirklinie ein. Die Buchse wird rechtsherum kippen 

und legt sich links oben im Punkt 1 und rechts unten 

im Punkt 2 an den Zylinder an. Dort zeichnet 

man die Normalkräfte FN1 und FN2 (auf die Buchse 

zu gerichtet) ein. Die Kraft F versucht, die Buchse 

nach unten zu verschieben. Die Reibungskräfte FR1 

und FR2 werden mit entgegengesetztem Richtungssinn 

eingezeichnet (nach oben gerichtet). 

Man fasst gedanklich die Normal- und Reibungskräfte 

zu ihren Ersatzkräften zusammen. Ihre Wirklinien 

können nach 3.2.3 (Seite 93) nur innerhalb 

des Reibungskegels liegen, weil die Reibungskraft 

nie über den Betrag FN tan r anwachsen kann. Nun 

ist Gleichgewicht (Klemmen) nur möglich, wenn 

sich die beiden Ersatzkräfte mit der Kraft F in einem 

Punkt schneiden (siehe Seite 28, 3-Kräfte-Verfahren). 

Dieser Punkt kann aber nur in der Ûberdeckungsfläche 

A der beiden Reibungskegel liegen, 

weil die Wirklinien der Ersatzkräfte nicht außerhalb 

der Reibungskegel liegen können. Folglich 

lautet die zeichnerische Klemmbedingung: 

Eine Zylinderführung klemmt, wenn die Wirklinie 

der Resultierenden aller Verschiebekräfte 

durch die Ûberdeckungsfläche der beiden 

Reibungskegel geht. 

Zylinderführungen haben immer ein Passungsspiel. 

Bei exzentrisch angreifender 

Verschiebekraft kippt (verkantet) die Buchse 

gegen den Führungszylinder. Betrachtet man 

beide als absolut starre Körper (keine Verformung), 

dann legt sich die Buchse an zwei im 

Längsschnitt diagonal gegenüberliegenden 

Punkten des Zylinders an. Dort treten Normal- 

und Reibungskräfte auf. 

Lageplan 

Im Lageplan sind die Reibungskegel für die 

Gleitreibung eingezeichnet. 

Die Reibungskegel für die Haftreibung haben 

einen größeren Kegelwinkel, nämlich 2 r0. 

Ihre Ûberdeckungsfläche A reicht also noch 

weiter nach links. Man kann dann bei klemmender 

Buchse die Wirklinie der Kraft F bis 

an die Grenze der Ûberdeckungsfläche nach 

links verschieben, ohne dass die Buchse zu 

gleiten beginnt. Wird sie aber durch 

irgendeinen Umstand in Bewegung gesetzt, 

dann verklemmt sie sich nicht wieder, denn 

jetzt treten wieder die Reibungskegel für 

Gleitreibung auf, und die Wirklinie der Kraft F 

liegt dann im weißen Feld außerhalb der 

Ûberdeckungsfläche. 

Hinweis: Diese Klemmbedingung gilt auch 

für andere Führungsquerschnitte mit gegenüberliegenden 

Führungsflächen, z. B. für die 

Flachführung mit seitlichen Führungsflächen.

116 

Rechnerische Untersuchung: Man zeichnet eine 

Lageskizze und stellt dafür die drei rechnerischen 

Gleichgewichtsbedingungen auf (siehe Lageplan, 

Seite 115). 

Aus der ersten Gleichung erkennt man, dass die 

Normalkräfte FN1 und FN2 gleich groß sind. Da beide 

Flächen die gleiche Reibungszahl m haben, sind 

auch die beiden Reibungskräfte FR gleich groß. 

Die Entwicklung der Gleichungen II und III ergibt 

die rechnerische Klemmbedingung: 

Eine Zylinderführung klemmt, wenn die Führungslänge 

l 2ml1 ist. Hierin ist l1 der Wirkabstand 

der Verschiebekraft von der Führungsmitte. 

Ist l > 2ml1, dann gleitet die Führungsbuchse, und 

zwar umso leichter, je größer die Führungslänge l 

ist. 


3.4.3 Lager 1) 

3.4.3.1 Reibung am Tragzapfen (Querlager) 

Der Tragzapfen einer Welle belastet das Lager mit 

der Kraft F und verursacht dadurch eine gleichgroße 

Normalkraft FN. Versucht das Wellendrehmoment 

den ruhenden Zapfen zu drehen, wirkt zunächst die 

Haftreibungskraft FR0 max ¼ FN m 0 mit ihrem „Reibungsmoment“ 

der Drehung entgegen. Man nennt 

diesen Zustand Anlaufreibung. Die Reibungszahl 

beträgt dann m 0 ¼ 0,1 ...0,25. Beim Anfahren tritt 

Mischreibung auf. Die Reibungszahl verringert sich 

von m0 auf die Tragzapfenreibungszahl, kurz Zapfenreibungszahl 

m ¼ 0,01 ...0,1. Erst bei höheren 

Gleitgeschwindigkeiten bildet sich zwischen Zapfen 

und Lager ein tragfähiger Schmierfilm mit Flüssigkeitsreibung. 

Die Zapfenreibungszahl sinkt dann 

weiter auf m ¼ 0,002 ...0,01. 

1) Genauere Untersuchungen in Roloff/Matek: Maschinenelemente 

I. SFx ¼ 0 ¼ FN2 FN1 

II. SFy ¼ 0 ¼ FR1 þ FR2 F 

III.SM ð2Þ ¼ 0 ¼ FN1l FR1d Fðl1 d=2Þ 

I. FN1 ¼ FN2, daraus folgt: 

FN1 m ¼ FN2 m ) FR1 ¼ FR2 

II. F ¼ 2FN1 m; in III. eingesetzt: 

III.FN1l FN1 md 2FN1 mðl1 d=2Þ ¼ 

¼ 0j: FN1 

l md 2ml1 þ 2md=2 ¼ 0 

l 2ml1 Klemmbedingung 

3 Reibung 

Beachte: Die Klemmbedingung ist unabhängig 

vom Betrag der Verschiebekraft F. 

Beispiel für die Veränderung der Zapfenreibungszahl 

m: 

Schmierung: Úl 

Werkstoff: Welle aus Stahl, Lager aus Rotguss 

Anlaufreibung: m0 ¼ 0,14 

Mischreibung: m ¼ 0,02 ...0,1 

Flüssigkeitsreibung: m ¼ 0,003 ...0,006


Lagerkraft F und Normalkraft FN sind praktisch 

gleich groß. Darum wird die Lagerreibungskraft 

unmittelbar aus der Lagerkraft berechnet. 

Die Lagerreibungskraft erzeugt ein dem Wellendrehmoment 

entgegengerichtetes Reibungsmoment 

MR. 

Dreht sich der Zapfen im Lager mit der Umfangsgeschwindigkeit 

v (Gleitgeschwindigkeit) oder der 

Winkelgeschwindigkeit w, solässt sich die Reibungsleistung 

PR berechnen, entweder als Produkt 

aus Reibungskraft FR und Umfangsgeschwindigkeit 

v oder als Produkt aus Reibungsmoment MR 

und Winkelgeschwindigkeit w. 

3.4.3.2 Reibung am Spurzapfen (Längslager) 

Beim Spurzapfen fällt die Wirklinie der Belastung F 

mit der Drehachse der Welle zusammen. Die 

Normalkraft verteilt sich gleichmäßig über die 

Stirnfläche des Zapfens. Dasselbe gilt für die Reibungskraft. 

Man berechnet die Reibungskraft FR aus der Belastung 

F und der Spurzapfenreibungszahl m: 

FR ¼ Fm. Die Reibungszahlen für Quer- und 

Längslager werden aus Versuchen bestimmt. Die 

Spurzapfenreibungszahl ist außer von Schmierung 

und Werkstoffpaarung noch von der Bauart abhängig. 

Die Skizze zeigt einen Ringspurzapfen. Für den 

Wirkabstand der Reibungskraft von der Drehachse 

wird der mittlere Radius rm ¼ðr1 þ r2Þ=2 gesetzt 

und damit das Reibungsmoment MR berechnet. 

Der Reibungsradius rm ¼ðr1 þ r2Þ=2 ist ein Näherungswert, 

der für praktische Berechnungen ausreichend 

genau ist. 

Vom Vollspurzapfen hat die Lagerfläche keine 

mittlere Aussparung. Dann ist rm ¼ r2=2. 

Die Reibungsleistung PR berechnet man genauso 

wie beim Tragzapfen, z. B. als Produkt aus dem 

Reibungsmoment und der Winkelgeschwindigkeit. 

FR ¼ F m Lagerreibungskraft 

MR ¼ FR r ¼ F mr Reibungsmoment 

PR ¼ FR v 

PR ¼ MR w 

PR FR MR r v w m 

W ¼ Nm 

s 

N Nm m 

MR ¼ FR rm ¼ F mrm 

m 

s 

FR ¼ F m 

Reibungskraft 

Ringspurzapfen 

PR ¼ MR w Reibungsleistung 

rad 1 

¼ 

s s 

rm ¼ r1 þ r2 

2 

1 

Reibungsmoment

118 

3.4.3.3 Ûbungen zur Trag- und Spurzapfenreibung 

1. Ûbung: Eine Welle belastet ihre beiden Querlager 

mit je einer Kraft F ¼ 3800 N. Der Zapfendurchmesser 

beträgt 50 mm, die Drehzahl 

3600 min 1 , die Zapfenreibungszahl 0,006. 

Reibungsmoment MR und Reibungsleistung PR 

sind zu berechnen. 

Lösung: Das Reibungsmoment wird aus Belastung, 

Zapfenreibungszahl und Zapfenradius ermittelt. 

Als Belastung muss man hier beide Lagerkräfte, 

also 2F, einsetzen. 

Aus dem Reibungsmoment und der Winkelgeschwindigkeit 

kann man die Reibungsleistung 

errechnen. Die Winkelgeschwindigkeit wird vorher 

aus der Drehzahl ermittelt. 

2. Ûbung: Ein Ringspurlager wird mit F ¼ 12 kN 

belastet. Der Innenradius der Lagerfläche beträgt 

r1 ¼ 10 mm, der Außenradius r2 ¼ 40 mm, die 

Spurzapfenreibungszahl m ¼ 0,02. Die Drehzahl 

beträgt 2000 min 1 . 

Reibungsmoment und Reibungsleistung sind zu 

berechnen. 

Lösung: Man ermittelt zunächst den Wirkabstand 

rm der Reibungskraft und dann mit der Belastung 

F und der Spurzapfenreibungszahl das Reibungsmoment. 

Die Reibungsleistung wird wieder als Produkt aus 

Reibungsmoment MR und Winkelgeschwindigkeit 

w ¼ 2pn berechnet. 


Gegeben: 

Belastung F ¼ 3800 N 

Zapfendurchmesser d ¼ 0,05 m 

Drehzahl n ¼ 3600 min 1 

Zapfenreibungszahl m ¼ 0,006 

Gesucht: 

MR, PR 

MR ¼ 2F mr ¼ 2 3800 N 0,006 0,025 m 

MR ¼ 1,14 Nm 

w ¼ 2pn ¼ 2p 3600 min 1 

w ¼ 22 619 rad rad 

¼ 377 

min s 

PR ¼ MR w ¼ 1,14 Nm 377 rad 

s 

PR ¼ 430 W ¼ 0,43 kW 

¼ 430 Nm 

s 

Gegeben: 

Belastung F ¼ 12 kN ¼ 12 10 3 N 

Spurzapfenreibungszahl m ¼ 0,02 ¼ 2 10 2 

Innenradius r1 ¼ 10 mm 

Außenradius r2 ¼ 40 mm 

Drehzahl n ¼ 2000 min 1 

Gesucht: 

MR, PR 

rm ¼ r1 þ r2 10 mm þ 40 mm 

¼ ¼ 25 mm 

2 2 

MR ¼ F mrm ¼ 12 10 3 N 2 10 2 25 10 3 m 

MR ¼ 600 10 2 Nm ¼ 6Nm 

PR ¼ MR 2pn ¼ 6Nm 2p 2 000 min 1 

PR ¼ 75 400 Nm 

min 

3 Reibung 

Nm 

¼ 1 275 ¼ 1,257 kW 

s


3.3.4 Schraube und Schraubgetriebe 

3.4.4.1 Bewegungsschraube mit Flachgewinde 

Das Anziehen (Heben der Last) und Lösen (Senken 

der Last) einer Bewegungs- oder Befestigungsschraube 

entspricht dem Hinaufschieben 

und Herabziehen eines Körpers auf einer schiefen 

Ebene durch eine waagerechte Umfangskraft Fu 

(siehe Seiten 103 und 112). 

Alle Kräfte werden auf einen Punkt im Längsschnitt 

der Schraube mit dem Flankenradius r2 bezogen. 

Es soll hier von dem Normalfall ausgegangen werden, 

dass das Gewinde selbsthemmend ist. Dann 

ist der Reibungswinkel r größer als der Steigungswinkel 

a. 

Im Bild ist der abgewickelte Gewindegang als 

schiefe Ebene dargestellt. Die Basislänge ist der 

Flankenumfang 2pr2, die Höhe die Gewindesteigung 

P. Beim Anziehen (Heben) wirkt die 

Umfangskraft Fu waagerecht nach rechts und die 

Reibungskraft FR nach links unten, beim Lösen 

(Senken) haben beide umgekehrten Richtungssinn. 

Aus den Kraftecken ergeben sich dieselben Gleichungen 

für die Umfangskraft wie bei der schiefen 

Ebene für die Verschiebekraft. 

Fu ¼ F tan ðr þ aÞ für das Anziehen und 

Fu ¼ F tan ðr aÞ für das Lösen 

Die Winkel sind hier nur deswegen vertauscht, 

weil für die Entwicklung r > a (Selbsthemmung) 

angenommen wurde. 

Es ist üblich, die Gleichungen in der Form zu 

schreiben, wie man sie von der schiefen Ebene her 

kennt. 

Beim Rechnen sollte jedoch immer der kleinere 

Winkel vom größeren abgezogen werden, um 

immer einen positiven Tangenswert zu erhalten. 

Die Frage, ob die Last mit der errechneten Kraft 

Fu gesenkt oder am Absinken gehindert werden 

muss, wird durch einen Vergleich der Winkel a 

und r beantwortet. 

F Schraubenlängskraft ¼ Vorspannkraft 

Fu Umfangskraft, angreifend am Flankenradius 

r2 

FR Reibungskraft im Gewinde 

FN Normalkraft zwischen Schraube und 

Mutter 

a Steigungswinkel der mittleren Gewindelinie 

Kräfte beim 

Anziehen (Heben) Lösen (Senken) 

Fu ¼ F tan ða rÞ Umfangskraft 

(þ) für Heben, ( )für Senken 

Ist r < a, heißt das: 

keine Selbsthemmung, die Last muss mit Fu 

am Absinken gehindert werden. 

Ist r > a, heißt das: 

Selbsthemmung, die Last muss mit Fu 

gesenkt werden.

120 

Die Umfangskraft Fu wirkt im Abstand r2 (Flankenradius) 

von der Schraubenlängsachse. Sie erzeugt 

das beim Heben oder Senken zu überwindende 

Gewindereibungsmoment MRG. 

Der Wirkungsgrad des Schraubgetriebes beim 

Heben ist das Verhältnis der Nutzarbeit Wn zur aufgewendeten 

Arbeit Wa. Bezieht man beide Arbeiten 

auf eine Schraubenumdrehung, dann ist die 

Nutzarbeit das Produkt aus Schraubenlängskraft F 

und Steigungshöhe P (Hubarbeit). Die aufgewendete 

Arbeit ist das Produkt aus Umfangskraft Fu 

und Flankenumfang 2pr2. 

Bei r ¼ a beginnt der Bereich der Selbsthemmung. 

Dann ist der 

Wirkungsgrad h ¼ tan r=tan 2r. 

Da die Steigungswinkel meist klein sind, kann 

tan 2r ¼ 2 tan r gesetzt werden. Man erkennt, 

dass an der Selbsthemmungsgrenze der Wirkungsgrad 

h tan r=2 tan r ¼ 0,5 wird. 

3.4.4.2 Bewegungsschraube mit Spitz- oder Trapezgewinde 

Bei Spitz- oder Trapezgewinde mit dem Flankenwinkel 

b wirkt die Normalkraft F 0 N nicht in derselben 

Ebene wie die Längskraft F, die Umfangskraft 

Fu und die Reibungskraft FR, sondern sie ist um den 

halben Flankenwinkel gegen diese Ebene geneigt. 

Um Gleichgewicht zu halten, muss die Normalkraft 

F 0 N größer sein als FN beim Flachgewinde. 

Dann ist auch die Reibungskraft FR größer. Damit 

man trotzdem mit denselben Gleichungen wie 

beim Flachgewinde arbeiten kann, fasst man den 

Quotienten m=cos ðb=2Þ zur Reibungszahl m 0 zusammen. 

Für Spitz- und Trapezgewinde gelten dieselben 

Gleichungen wie für das Flachgewinde, wenn 

man statt der Reibungszahl m die Reibungszahl 

m 0 ¼ m=cos ðb=2Þ und für den Reibungswinkel r 

den Reibungswinkel r 0 einsetzt. 

MRG ¼ Fur2 ¼ Fr2 tan ða rÞ Gewindereibungsmoment 

(þ) für Heben, ( ) Senken 

h ¼ Wn 

Wa 

Wn ¼ FP Wa ¼ Fu 2pr2 

FP 

h ¼ 

Fu 2pr2 

Fu ¼ F tan ða þ rÞ und P 

¼ tan a 

2pr2 

In die Ansatzgleichung eingesetzt ergibt das: 

tan a 

h ¼ 

tan ða þ rÞ 

Wirkungsgrad 

für Schraubgetriebe 

Beachte: Ist der Wirkungsgrad des Schraubgetriebes 

h 0,5, liegt Selbsthemmung vor. 

F 0 N ¼ 

FN 

cos ðb=2Þ 

3 Reibung 

FR ¼ F 0 FN 

m 

N m ¼ ; m ¼ FN 

cos ðb=2Þ cos ðb=2Þ 

m 

Setzt man 

cos ðb=2Þ ¼ m0 , dann wird 

FR ¼ FN m 0 : 

Für metrisches ISO-Trapezgewinde nach 

DIN 103 ist 

b ¼ 30 und damit m 0 ¼ 1,04 m, 

für metrisches ISO-Gewinde nach DIN 13 ist 

b ¼ 60 und damit m 0 ¼ 1,15 m. 

Der Reibungswinkel r 0 wird aus der Reibungszahl 

m 0 ermittelt: tan r 0 ¼ m 0 ) r 0 ¼ arctan m 0 :


3.4.4.3 Befestigungsschraube mit Spitzgewinde 

Bei Schraubverbindungen mit Befestigungsschrauben 

wird eine Längskraft F in der Schraube erst 

dann erzeugt, wenn Mutter und Schraubenkopf 

fest auf den zu verbindenden Teilen aufliegen. Die 

Erfahrung lehrt, dass das Anzugsmoment MA aus 

Handkraft Fh und Schlüsselradius l mit fortschreitender 

Drehung der Mutter zunimmt. Gleichzeitig 

wächst auch die Vorspannkraft F in der Schraube. 

Das kennt man aus der Praxis: Bei zu starkem 

Anziehen wächst die Schraubenlängskraft F so 

stark an, dass die Schraube zerreißt. 

Im Bild wurde die gesamte Schraubenlängskraft F 

auf Schraubenkopf und Mutter in jeweils F/2 aufgeteilt. 

In Wirklichkeit entsteht durch die Längskraft 

eine Oberflächenkraft auf den Auflageflächen 

von Kopf und Mutter (siehe 1.1.7.1, Seite 11). 

Dem Anzugsmoment MA wirken in der Schraubverbindung 

zwei Kraftmomente entgegen: 

das Gewindereibungsmoment MRG (wie bei der 

Bewegungsschraube) 

und 

das Auflagereibungsmoment MRa an der Auflagefläche 

der Mutter. 

Das Gewindereibungsmoment ergibt sich aus den 

gleichen Ûberlegungen wie bei der Bewegungsschraube 

mit Spitzgewinde oder mit Flachgewinde. 

Das Auflagereibungsmoment ergibt sich aus der 

Auflagereibungskraft FRa und ihrem Wirkabstand 

ra von der Schraubenmitte. Für Sechskantschrauben 

wird ra ¼ 0,7d angenommen (d ¼ Gewindenenndurchmesser, 

z. B. für M10: d ¼ 10 mm). 

Die Summe dieser beiden Momente ist gleich dem 

Anzugsmoment. Aus dieser Erkenntnis kann man 

eine Gleichung für das Anzugsmoment MA beim 

Anziehen und Lösen einer Schraubverbindung in 

Abhängigkeit von der Schraubenlängskraft F entwickeln. 

ra ¼ 0,7d ¼ 1,4r 

Wirkabstand der 

Auflagereibungskraft, 

mit d ¼ Gewindenenndurchmesser 

(d ¼ 2r). 

MRG ¼ Fr2 tan ða r0Þ Gewindereibungsmoment 

bei Stahl auf Stahl (trocken) ist bei 

metrischem ISO-Gewinde r 0 

9 

MRa ¼ FRa ra ¼ Fm a ra 

Auflagereibungsmoment 

ma Reibungszahl an der Auflagefläche 

(bei Stahl auf Stahl ist ma 0,15) 

MA ¼ MRG þ MRa 

MA ¼ Fr2 tan ða r 0 ÞþFm a ra 

MA ¼ F½r2 tan ða r 0 Þþm a raŠ 

(þ) für Anziehen, ( )für Lösen 

Anzugsmoment

122 

3.4.4.4 Ûbungen zur Schraube 

1. Ûbung: Mit der skizzierten Spindelpresse soll 

eine größte Druckkraft von F ¼ 40 kN auf die 

Werkstücke übertragen werden. Am Handrad 

sollen beidhändig je 300 N Umfangskraft wirken. 

Das Trapezgewinde Tr 40 7 hat nach der Formelsammlung 

den Flankendurchmesser d2 ¼ 36,5 mm 

und den Steigungswinkel a ¼ 3,49 . 

Der Spindelkopf ist im Druckteller in Wälzlagern 

geführt, so dass die Reibung dort vernachlässigt 

werden darf. Berücksichtigt wird daher nur die 

Reibung im Gewinde. Als Gewindereibungszahl 

wird m 0 ¼ 0,1 angenommen. 

Für die gegebenen Daten soll der erforderliche 

Handraddurchmesser D ermittelt werden. 

Lösung: Ausgangsgleichung für die Lösung der 

Aufgabe ist die Gleichung für das Gewindereibungsmoment 

MRG. 

Die Größen F, d2 und a sind bekannt. Der Gewindereibungswinkel 

r 0 kann aus der Gewindereibungszahl 


Bei Gleichgewicht während des Drückvorgangs ist 

das Gewindereibungsmoment MRG gleich dem 

Drehmoment am Handrad MH ¼ FHD. 

Setzt man alle Größen in die Ausgangsgleichung 

ein, dann kann daraus eine Gleichung zur Berechnung 

des erforderlichen Handraddurchmessers D 

entwickelt werden. 

Nach der Rechnung ist ein Durchmesser von 

D ¼ 394 mm erforderlich, wenn eine Druckkraft 

von 40 kN mit der Spindelpresse erzeugt werden 

soll. 

Gegeben: 

Schraubenlängskraft F ¼ 40000 N 

Handkraft beidhändig je FH ¼ 300 N 

Gewindeflankendurchmesser d2 ¼ 36,5 mm 

Steigungswinkel a ¼ 3,49 

Gewindereibungszahl m 0 ¼ 0,1 

Gesucht: 

Erforderlicher Handraddurchmesser D 

MRG ¼ F d2 

2 tan ða þ r0 Þ 

r 0 ¼ arctan m 0 

MRG ¼ MH ¼ FH D 

FH D ¼ F d2 

2 tan ða þ r0 Þ 

D ¼ F 

FH 

40 000 N 

D ¼ 

300 N 

D ¼ 394 mm 

d2 

2 tan ða þ arctan m0 Þ 

36,5 mm 

2 

3 Reibung 

5,71 

zfflfflfflfflffl}|fflfflfflfflffl{ 

tan ð3,49 þ arctan 0,1Þ 

|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 

9,2


2. Ûbung: Die skizzierte Schraubenverbindung 

soll mit zwei Befestigungsschrauben eine Zugkraft 

von 18 kN allein durch Reibung zwischen den 

Stahlplatten übertragen. Die Schrauben werden 

durch die Schraubenlängskräfte nur auf Zug beansprucht. 

Abscherbeanspruchung darf nicht auftreten. 

Für die Reibungskräfte zwischen den Stahlplatten 

wird aus Sicherheitsgründen mit der Gleitreibungszahl 

von mSt/St ¼ 0,15 gerechnet (Tabelle 3.1, 

Seite 92). Für den Entwurf der Schraubenverbindung 

sollen ermittelt werden: 

a) das erforderliche Metrische ISO-Gewinde für 

eine zulässige Zugspannung sz zul ¼ 150 N=mm 2 . 

b) das erforderliche Anzugsmoment für die 

Schrauben, wenn für die Reibungszahl an der Mutterauflage 

mit ma ¼ 0,15 und für den Reibungswinkel 

im Gewinde mit r 0 ¼ 9 gerechnet wird (siehe 

Formelsammlung). 

Lösung: 

a) Die freigemachte Platte zeigt, dass je Druckfläche 

die halbe Zugkraft F durch die Reibungskraft 

FR ¼ F/2 aufgenommen werden muss. 

Aus der Definitionsgleichung für die Reibungskraft 

FR ¼ FNm und bei n ¼ 2 Schrauben erhält 

man die Normalkraft FN, die jede Schraube aufzubringen 

hat. Das ist zugleich die Längskraft der 

Schraube. 

Aus der Zughauptgleichung erhält man eine 

Gleichung für den erforderlichen Spannungsquerschnitt 

AS der Schraube. Die Formelsammlung 

liefert damit das erforderliche Metrische ISO- 

Gewinde und die Gewindedaten. 

b) Man hat jetzt alle Größen zur Berechnung 

des erforderlichen Anzugsmoments MA für die 

Schraubenverbindung ermittelt: 

Jede Schraube muss mit dem Drehmoment von 

119 Nm angezogen werden. Das geschieht mit einem 

Drehmomentschlüssel (siehe Lehrbeispiel 

„Verdrehwinkel“ im Abschnitt Torsion, Seite 327). 


Reibungsschlüssige Schraubenverbindung 

Gegeben: 

Zugkraft F ¼ 18000 N 

Anzahl der Schrauben n ¼ 2 

zulässige Zugspannung sz zul ¼ 150 N=mm 2 

Gleitreibungszahl m ¼ 0,15 

Reibungszahl der Mutterauflage ma ¼ 0,15 

Reibungswinkel im Gewinde r 0 ¼ 9 

Gesucht: 

a) Schraubengewinde 

b) Anzugsmoment MA 

FR ¼ F 

2 

FN ¼ FR 

nm 

18 000 N 

¼ ¼ 9 000 N 

2 

9 000 N 

¼ ¼ 30 000 N 

2 0,15 

AS erf¼ FN 30 000 N 

¼ ¼ 200 mm2 

sz zul 150 N=mm2 Gewählt: Schraube M20 mit AS ¼ 245 mm2 Gewindenenndurchmesser d ¼ 20 mm 

Steigungswinkel a ¼ 2,48 

Flankendurchmesser d2 ¼ 18,376 mm 

MA ¼ FN 

d2 

2 tan ða þ r0 Þþm a ra 

ra ¼ 0,7 d (siehe Abschnitt 3.4.4.3) 

18,376 mm 

MA ¼ 30 000 N tan ð2,48 þ 9 Þþ 

2 

þ 0,15 0,7 20 mm 

MA ¼ 118 979 Nmm ¼ 119 Nm

124 

3.4.5 Seilreibung 

3.4.5.1 Grundgleichung der Seilreibung 

Ein einfacher Versuch soll die Erfahrungen aus 

dem Berufsalltag bestätigen: 

Nach Skizze legt man um einen fest stehenden 

zylindrischen Körper ein dünnes Seil (Band, 

Faden). Beide Seilenden belastet man mit Wägestücken 

gleicher Masse m (Skizze a)). Das Seil 

befindet sich im Gleichgewicht (Ruhezustand). 

Daran ändert sich auch dann nichts, wenn man 

eines der beiden Seilenden durch kleine Wägestücke 

der Masse Dm zusätzlich zugbelastet (bis kurz 

vor den Rutschvorgang). Ursache dafür ist die zwischen 

Seil und Mantelfläche des Zylinders herrschende 

Seilreibungskraft FR. Sie ist die Summe 

der kleinen Reibungskräfte DFR ¼ m DFN, die 

verteilt auf der ganzen umspannten Mantelfläche 

wirken: FR ¼ SDFR. 

Eine Berechnungsgleichung für die größere Seilzugkraft 

F1 findet man wegen der verschieden großen 

Teil-Reibungskräfte DFR nur mit Hilfe der 

höheren Mathematik (Differenzial- und Integralrechnung). 

Das hat zuerst Euler 1) getan, später 

auch Eytelwein 2) , nach dem auch heute noch die 

Gleichung F1 ¼ F2 e ma benannt wird. 

Die Gleichung bestätigt die Erfahrungen: Die Seilzugkraft 

F1 wächst (linear) mit der am anderen 

Seilende wirkenden Zugkraft F2 und (exponential) 

mit dem Produkt aus Reibungszahl m und Umschlingungswinkel 

a. 

Der Umschlingungswinkel a muss mit der Einheit 

rad (Radiant) in die Zugkraftgleichung eingesetzt 

werden. Dazu dient die Umrechnungsbeziehung, 

wenn der Winkel in Grad vorliegt. 

Häufig wird die Anzahl der Umschlingungen 

(Windungen) angegeben, z. B. zwei volle Windungen. 

1) Leonard Euler (1707 –1783), Mathematiker und Physiker 

2) Johann Albert Eytelwein (1764 –1848), Ingenieur 

a) Versuchsanordnung 

b) Lageskizze 

des Seils 

F1 ¼ F2 þ SDFR 

F1 ¼ F2 þ FR 

Beachte: F1 ist immer die größere der beiden 

Seilkräfte: F1 > F2. 

F1 ¼ F2 ema Seilzugkraft 

(Eytelwein’sche Gleichung 

zur Seilreibung) 

e ¼ 2,71828 ... heißt Euler’sche Zahl 

Daraus ergibt sich für die 

Seilreibungskraft 

FR ¼ F1 F2 ¼ F2ðe ma 

a ¼ a 2p 

360 

3 Reibung 

e 

1Þ ¼F1 

ma 1 

ema Umrechnungsbeziehung (Grad in rad) 

Beachte: 

a ¼ 360 ¼ 2p rad ¼ eine volle Windung


3.4.5.2 Aufgabenarten und Lösungsansätze 

Bei allen Seilreibungsaufgaben liegt ein Seil um 

einen Zylinder (System Zylinder/Seil). Zum Verständnis 

einer Aufgabe versetzt man sich gedanklich 

als „Beobachter“ auf den Zylinder und versucht 

von dort aus, den Richtungssinn der 

Seilreibungskraft FR zu bestimmen. Es ist dann 

gleichgültig, ob der Zylinder fest steht oder ob er 

sich um seine Achse dreht. Zum Richtungssinn 

von FR siehe Seite 91 Gleitreibung und Haftreibung. 

Der Zylinder ist je nach Aufgabe 

a) ein (fest stehender) Pfahl, z. B. beim 

Anlegen von Schiffen (1. Ûbung), 

b) ein (umlaufender) Spillkopf beim Verschieben 

von Eisenbahnwaggons oder 

von Schiffen (2. Ûbung), 

c) eine (umlaufende) Riemenscheibe 

(3. Ûbung), 

d) eine (umlaufende) Seiltrommel bei 

Kränen, 

e) eine (umlaufende) Bremsscheibe 

bei Bandbremsen. 

Hat man den Richtungssinn der Seilreibungskraft 

FR gefunden, weiss man auch, welche der beiden 

Zugkräfte an den Seilenden die größere Seilkraft 

F1 ist. Sie ist immer der Seilreibungskraft FR entgegengerichtet. 

SF ðin SeilrichtungÞ ¼ 0 

F1 þ FR þ F2 ¼ 0 

F1 ¼ FR þ F2 ¼ F2 e ma 

3.4.5.3 Ûbungen zur Seilreibung 

1. Ûbung: Beim Anlegen eines Lastkahns wird 

das Befestigungsseil mehrfach um den Befestigungspfahl 

(Poller) geschlungen. Die Reibungszahl 

zwischen Poller und Seil soll m ¼ 0,4 betragen, 

die Handkraft am (losen) Seilende 300 N. 

Ermittelt werden soll die maximale Haltekraft für 

den Lastkahn, wenn das Halteseil 

a) zweimal und 

b) viermal um den Poller geschlungen wird und 

bei Belastung nicht rutschen soll. 

Lösung: Nach dem Zeichnen der vereinfachten 

Lageskizze für die Kräfte am Seil in Seilrichtung 

(F1, F2, FR) berechnet man zunächst die Umschlingungswinkel 

aa und ab mit der Einheit 

Radiant (rad). Das ist einfach, weil der Winkel 

für eine Umdrehung das Produkt 2p rad ist 

(Vollwinkel ¼ 2p rad). 

Seilzugkraft F1 > F2 gilt immer. 

Gegeben: 

Kleinere Seilzugkraft F2 ¼ 300 N 

(Handkraft) 

Gleitreibungszahl m ¼ 0,4 

Umschlingungswinkel aa ¼ 2 Vollwinkel 

ab ¼ 4 Vollwinkel 

Gesucht: 

Seilzugkräfte F1a, F1b 

aa ¼ 2 2p rad ¼ 4p rad 

ab ¼ 4 2p rad ¼ 8p rad

126 

Mit den Umschlingungswinkeln aa ¼ 4p rad 

und ab ¼ 8p rad sowie der Haltekraft 

F2 ¼ 300 N ¼ 0,3 kN und der Reibungszahl 

m ¼ 0,4 können die maximal zulässigen Seilzugkräfte 

F1a und F1b berechnet werden. 

Man erkennt, dass durch die Verdopplung des 

Umschlingungswinkels die maximal zulässige 

Seilzugkraft auf das 152-fache wächst. 

2. Ûbung: Bei Spillanlagen zum Verschieben von 

Waggons im Ausbesserungs- oder Verladebetrieb 

der Bahn wird der skizzierte Spillkopf durch einen 

Elektromotor angetrieben. Das Stahlseil wird am 

Waggon eingehängt, mehrfach um den Spillkopf 

geschlungen und mit dem freien Ende von Hand 

angezogen. 

Für eine maximale Zugkraft F1 ¼ 2 kN und die 

Reibungszahl m ¼ 0,1 soll für drei volle Seilwindungen 

die erforderliche Handkraft ermittelt werden. 

Lösung: Mit der ln x- oder e x -Taste des Taschenrechners 

wird e ma ¼ e 0,1 6p ¼ 6,586 ermittelt und 

gleich in den Quotienten 2000/6,586 eingebracht. 

Die Handkraft beträgt F2 ¼ 303,7 N. 

F1a ¼ F2 e maa 0,4 4p 

¼ 0,3 kN e 

F1a ¼ 45,7 kN 

F1b ¼ F2 e mab 0,4 8p 

¼ 0,3 kN e 

F1b ¼ 6968,3 kN 

F1b ¼ 152 F1a 

Beachte: 

Die e ma -Werte werden mit der ln x- oder 

e x -Taste eines Taschenrechners ermittelt. 

Gegeben: 

Seilzugkraft F1 ¼ 2000 N 

Reibungszahl m ¼ 0,1 

Umschlingungswinkel 

a ¼ 3 2p rad ¼ 6p rad 

Gesucht: 

Kleinere Seilzugkraft F2 (Handkraft) 

F1 ¼ F2 e ma ) F2 ¼ F1 

e ma 

F2 ¼ 

2 000 N 

¼ 303,7 N 

e0,1 6p 

3 Reibung


3. Ûbung: Ein Elektromotor treibt nach Skizze 

über ein Flachriemengetriebe eine Arbeitsmaschine 

an. Die auf der Motorwelle mit Formschlussverbindung 

(Passfeder) fest sitzende Riemenscheibe 

1 (Radius r1) läuft rechtsdrehend mit 

der Drehzahl n1 und dem Drehmoment M1 um. 

Antriebswelle 1 und die (nicht gezeichnete) Abtriebswelle 

2 haben einen festen Wellenabstand. 

Die erforderliche Riemenvorspannung wird daher 

mit einer Spannrolle am (ablaufenden) Leertrum 

aufgebracht und nicht, wie beim Spannwellenbetrieb, 

durch Verschieben des Antriebsmotors auf 

Spannschienen. 

Gesucht ist eine Gleichung für das maximal übertragbare 

Motordrehmoment M1 in Abhängigkeit 

von der Riemenvorspannkraft FV. 

Lösung: Das Drehmoment M1 an der Motorscheibe 

wird durch Seilreibung auf das (auflaufende) 

Lasttrum des Riemengetriebes übertragen. 

Die Reibungskraft ist die Seilreibungskraft FR. Sie 

wirkt am Scheibenradius r1. 

Die Seilreibungskraft FR ist die Differenz der beiden 

Seilzugkräfte F1 und F2. 

Die Vorspannkraft FV ist die Seilzugkraft F2 am 

Leertrum des Flachriemens. Man ersetzt daher die 

Seilzugkraft F1 durch die Eytelweingleichung 

F1 ¼ F2 e m 0 a und erhält die gesuchte Beziehung 

M1 ¼ f ðFV, r1, m 0 , aÞ. Da das größtmögliche 

Drehmoment ermittelt werden soll, ist statt der 

Gleitreibungszahl die Haftreibungszahl einzusetzen. 


Gegeben: 

Euler’sche Gleichung F1 ¼ F2 e m0a 

Haftreibungszahl m0 

Umschlingungswinkel a 

Radius der Riemenscheibe r1 

Riemenvorspannkraft FV ¼ F2 

Gesucht: 

Maximal übertragbares Drehmoment 

M1 ¼ f ðFV, r1, m 0 , aÞ 

M1 ¼ FRr1 ¼ðF1 F2Þ r1 

M1 ¼ðF1 F2Þ r1 ¼ðF2 e m 0 a 

M1 ¼ F2r1ðe m 0 a 

1Þ ¼FVr1ðe m 0 a 

F2Þ r1 

1Þ 

Beachte: Ein Drehmoment M kann nur bei 

Riemenvorspannung übertragen werden: Das 

übertragbare Drehmoment M ist der Vorspannkraft 

proportional.

128 

3.4.6 Bremsen 

3.4.6.1 Backen- oder Klotzbremsen 

Bei der Backenbremse bestimmt die Lage des Bremshebeldrehpunkts D die Wirkungsweise 

der Bremse. Sie kann für eine Drehrichtung der Bremsscheibe selbsthemmend oder für beide 

Drehrichtungen gleichbleibend sein. 

a) Backenbremse mit überhöhtem Drehpunkt D 

Der Bremshebel ist in D zweiwertig drehbar 

gelagert. Er wird freigemacht skizziert. 

Die Bremskraft F am Bremshebelende ruft zwischen 

Scheibe und Backe die Normalkraft FN hervor. 

Wirkt an der Bremsscheibenwelle ein Drehmoment, 

so ruft es ein entgegengerichtetes 

Bremsmoment M aus Reibungskraft FR ¼ FN m 

und Scheibenradius r hervor: M ¼ FR r ¼ FN mr. 

Die Skizze zeigt Normalkraft FN und Reibungskraft 

FR ¼ FN m, wie sie bei Rechtslauf auf die 

Bremsbacke wirken. Bei Linkslauf kehrt die Reibungskraft 

FR ihren Richtungssinn um. 

Bei Gleichgewicht am Bremshebel müssen die 

Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sein. Setzt man 

in den Gleichungen FR ¼ FN m ein, so erhält man 

aus Gleichung III eine Bestimmungsgleichung für 

die erforderliche Bremskraft F. 

Das Bremsmoment M wird aus M ¼ FRr ¼ FN mr 

berechnet. Mit der nach FN aufgelösten Bremskraftgleichung 

lässt sich dann eine Bestimmungsgleichung 

für das Bremsmoment M entwickeln. 

Die Gleichung für die Bremskraft zeigt, dass bei 

Linkslauf mit zunehmender Ûberhöhung l2 des 

Drehpunkts die Klammerdifferenz immer kleiner 

wird und gegen null geht. Das bedeutet, dass die 

Bremskraft schließlich null wird. Dann hält die 

Reibungskraft allein die Bremsscheibe fest, und es 

liegt Selbsthemmung vor. Bei Rechtslauf ist Selbsthemmung 

nicht möglich. 

Aus der Gleichung für die Bremskraft F ergibt sich 

ferner, dass bei Linkslauf und gleichbleibender 

Bremskraft F die Bremswirkung größer ist als bei 

Rechtslauf. Die Backenbremse mit überhöhtem 

Drehpunkt ist also dann besonders geeignet, wenn 

nur in einer Richtung gebremst wird, z. B. als 

Hubwerksbremse an Hebezeugen. 

Lageskizze des Bremshebels bei Rechtslauf 

der Bremsscheibe 

Gleichgewichtsbedingungen nach Lageskizze: 

I. SFx ¼ 0 ¼ FN m FDx 

II. SFy ¼ 0 ¼ FN FDy F 

III.SM ðDÞ ¼ 0 ¼ FNl1 þ FN ml2 Fl 

SMðDÞ ¼ 0 ¼ FNl1 þ FRl2 Fl (Rechtslauf) 

SMðDÞ ¼ 0 ¼ FNl1 FRl2 Fl (Linkslauf) 

ðl1 

F ¼ FN 

ml2Þ 

l 

Bremskraft 

M ¼ Flmr 

ðl1 ml2Þ 

Bremsmoment 

(þ) bei Rechtslauf, ( ) bei Linkslauf 

3 Reibung 

Selbsthemmung bei Linkslauf tritt ein, wenn 

l1 ml2 ¼ 0 wird, denn dann wird das 

Bremsmoment unendlich groß. 

l1 ml2 Selbsthemmungsbedingung 

In der Gleichung für die Bremskraft F ist der 

Klammerausdruck für Linkslauf (l1 ml2) 

kleiner als für Rechtslauf (l1 þ ml2). 

Wenn in beiden Fällen die Bremskraft F 

gleich groß ist, dann bedeutet das, dass bei 

Linkslauf eine größere Normalkraft und 

dadurch eine größere Reibungskraft auftritt.


b) Backenbremse mit unterzogenem Drehpunkt D 

Der Bremshebeldrehpunkt D liegt bei dieser 

Bremse auf derselben Seite der Reibungskraftwirklinie 

wie die Bremsscheibe. 

Auch hier muss beim Abbremsen die Momentengleichgewichtsbedingung 

SM ¼ 0fürden Bremshebel 

erfüllt sein. 

Setzt man wieder in beide Gleichungen für die 

Reibungskraft FR ¼ FNm ein, dann ergibt sich daraus 

die Bestimmungsgleichung für die Bremskraft 

F fast in der gleichen Form wie bei der Bremse 

mit überhöhtem Drehpunkt, nur die Vorzeichen in 

der Klammer sind vertauscht. Das bedeutet, dass 

beide Bremsen die gleiche Bremswirkung haben, 

nur für jeweils umgekehrten Drehsinn. 

Mit M ¼ FRr ¼ FN mr erhält man wieder die Bestimmungsgleichung 

für das Bremsmoment M. 

Auch hier ist Selbsthemmung unter den gleichen 

Bedingungen wie vorher möglich, aber bei Rechtslauf. 

Auch diese Backenbremse ist daher besonders für 

eine Bremsrichtung geeignet. 

c) Backenbremse mit tangentialem Drehpunkt D 

Hier liegt der Bremshebeldrehpunkt auf der Wirklinie 

der Reibungskraft FR, die als Tangentialkraft 

an der Bremsscheibe angreift. 

Dadurch hat die Reibungskraft FR in Bezug auf 

den Hebeldrehpunkt weder bei Rechts- noch bei 

Linkslauf ein Kraftmoment. Sie fällt beim Aufstellen 

der Momentengleichgewichtsbedingung 

SM ðDÞ ¼ 0 aus der Gleichung heraus. 

Aus der Gleichung für die Bremskraft F ist zu sehen, 

dass F nur noch von der Normalkraft FN und 

dem Verhältnis der beiden Hebelarme l1 und l abhängig 

ist, und dass für beide Drehrichtungen die 

Bremswirkung gleichbleibend ist. 

Auch hier erhält man mit M ¼ FRr ¼ FN mr die 

Bestimmungsgleichung für das Bremsmoment M. 

Die Backenbremse mit tangentialem Drehpunkt ist 

besonders dann geeignet, wenn für beide Drehrichtungen 

gleiche Bremswirkung verlangt wird, 

z. B. bei Fahrwerkbremsen. 

Lageskizze 

SM ðDÞ ¼ 0 ¼ FNl1 FRl2 Fl (Rechtslauf) 

SM ðDÞ ¼ 0 ¼ FNl1 þ FRl2 Fl (Linkslauf) 

ðl1 ml2Þ 

F ¼ FN 

l 

M ¼ Flmr 

ðl1 ml2Þ 

Bremskraft 

Bremsmoment 

( ) bei Rechtslauf, (þ) bei Linkslauf 

Selbsthemmung tritt bei Rechtslauf ein, 

wenn l1 ml2 ¼ 0 wird. 

l1 ml2 Selbsthemmungsbedingung 

SM ðDÞ ¼ 0 ¼ FNl1 Fl 

bei Rechtslauf und Linkslauf 

l1 

F ¼ FN 

l 

M ¼ Flmr 

l1 

Bremskraft 

Bremsmoment 

Lageskizze 

Beachte: Da bei einer Bremse l1 nicht gleich 

null werden kann, ist Selbsthemmung hier 

nicht möglich.

130 

d) Doppelbackenbremse mit festen 

Bremsbacken 

Die Bremskraft an der skizzierten Doppelbackenbremse 

wird durch eine Druckfeder erzeugt. Die 

erforderliche Lüftermechanik zum Lösen der 

Bremse ist nicht gekennzeichnet. 

Die beiden Bremsklötze A und B sind fest mit den 

beiden symmetrischen Bremshebeln verbunden. 

Bremsen mit beweglichen Backen z. B. nach 

DIN 15434. (Handbuch Maschinenbau, Abschnitt 

Fördertechnik). 

Man beginnt die Untersuchung der Bremse bei 

Rechtslauf der Bremsscheibe mit der Lageskizze 

des oberen Bremshebels und bekommt den gleichen 

Fall wie unter b) Backenbremse mit unterzogenem 

Drehpunkt (1. Schritt). 

Wie unter b) lässt man auch hier die Stützkraft 

FC im Hebeldrehpunkt C außer Acht und schreibt 

nur die Momentengleichgewichtsbedingung 

SM ðCÞ ¼ 0 auf. Daraus entwickelt man wie unter 

b) eine Bestimmungsgleichung für die Bremskraft 

F (2. Schritt). 

Die Reibungskraft FRA ¼ FNA m an der Bremsbacke 

A erzeugt das Bremsmoment MA ¼ FRAr 

¼ FNA mr. Man löst die Bremskraftgleichung nach 

FNA auf und entwickelt die Bestimmungsgleichung 

für das Bremsmoment MA (3. Schritt). 

Das Bremsmoment MA ist das von der Reibungskraft 

FRA an der oberen Bremsbacke erzeugte Teilmoment. 

Es muss nun auf dem gleichen Weg das zweite 

Teilmoment, das Bremsmoment MB, durch Freimachen 

des unteren Bremshebels ermittelt werden. 

Schemaskizze einer Doppelbackenbremse 

Lageskizze des oberen Bremshebels 

1. Schritt 

2. Schritt 

SMðCÞ ¼ 0 ¼ FNAl1 FNA ml2 Fl (Rechtslauf) 

FNAðl1 ml2Þ ¼Fl 

ðl1 

F ¼ FNA 

ml2Þ 

l 

Bremskraft 

FNA ¼ 

ðl1 

Fl 

ml2Þ 

3. Schritt 

; MA ¼ FNA mr 

MA ¼ Flmr 

ðl1 ml2Þ 

3 Reibung 

Bremsmoment MA 

Beachte: 

Es wurde beim Freimachen des Systems systematisch 

und exakt vorgegangen: oberen 

Bremshebel mit Bremsbacke A skizzieren, 

die Druckfeder gedanklich wegnehmen und 

dafür die Federkraft F eintragen usw. So geht 

man auch beim unteren Bremshebel vor.


Man arbeitet nach der gleichen Gliederung wie bei 

der Untersuchung des oberen Bremshebels und beginnt 

mit der Lageskizze des unteren Bremshebels 

(1. Schritt). 

Im 2. Schritt liest man wieder die Momentengleichgewichtsbedingung 

SM ðDÞ ¼ 0 aus der Lageskizze 

ab und schreibt sie auf. Daraus entwickelt 

man erneut eine Bestimmungsgleichung für die 

Bremskraft F (2. Schritt). 

Durch die Reibungskraft FRB wird das zweite Teil- 

Bremsmoment MB ¼ FRBr ¼ FNB mr erzeugt. Man 

löst im 3. Schritt die Bremskraftgleichung nach 

FNB auf und entwickelt damit die Bestimmungsgleichung 

für das Bremsmoment MB (3. Schritt). 

Ein Vergleich der Gleichungen für FNA und FNB 

zeigt, dass die Normalkraft FNA größer ist als FNB, 

weil der Nenner in der Gleichung für FNA kleiner 

ist als der Nenner bei FNB. 

Das gesamte auf die Bremsscheibe wirkende 

Bremsmoment M der untersuchten Doppelbackenbremse 

ist die Summe der beiden Teilmomente MA 

und MB. 

Die hier entwickelten Gleichungen gelten nur für 

Doppelbackenbremsen mit Bremsbacken, die fest 

mit dem Bremshebel verbunden sind. 


Lageskizze des unteren Bremshebels 

1. Schritt 

SMðDÞ ¼ 0 ¼ 

(Rechtslauf) 

FNBl1 

2. Schritt 

FNB ml2 þ Fl 

FNBðl1 þ ml2Þ ¼Fl 

ðl1 þ ml2Þ 

F ¼ FNB 

l 

FNB ¼ 

Fl 

ðl1 þ ml2Þ 

MB ¼ Flmr 

ðl1 þ ml2Þ 

Bremskraft 

MB ¼ FNB mr 

3. Schritt 

Bremsmoment MB 

FNA > FNB, weil ðl1 ml2Þ < ðl1 þ ml2Þ; 

wegen FNA > FNB ist auch FRA > FRB und 

MA > MB 

M ¼ MA þ MB 

Gesamt-Bremsmoment 

Beachte: Sollen die Stützkräfte FC und FD 

ermittelt werden, müssen jeweils alle drei 

Gleichgewichtsbedingungen angesetzt 

werden, z. B. für Lager D: 

SFx ¼ 0 ¼ FDx FNB m 

SFy ¼ 0 ¼ FDy þ F FNB 

SMðDÞ ¼ 0 (siehe oben, 2. Schritt)

132 

3.4.6.2 Bandbremsen 

Bei der Bandbremse wird die Bremswirkung durch 

Seilreibung (Bandreibung) erzielt. Für die Spannkräfte 

F1 und F2 an den Bandenden und für die Reibungskraft 

FR gelten die Beziehungen aus 3.4.5. 

Bei der einfachen Bandbremse ist ein Bandende 

am Bremshebeldrehpunkt D befestigt, das andere 

am Bremshebel. Durch die Hebelkraft F wird das 

Band gespannt, und bei Drehung der Bremsscheibe 

entstehen in den Bandenden infolge der Seilreibung 

unterschiedliche Spannkräfte F1 und F2. 

Am Bremshebel herrscht Momentengleichgewicht 

(Ruhe). Bezieht man die Kraftmomente auf den 

Hebeldrehpunkt, dann hat die Kraft F1 kein Moment. 

Die Spannkraft F2 wird also von der Hebelkraft 

F und den Hebellängen l und l1 bestimmt. 

Nach den Gesetzen der Seilreibung kann man aus 

der Kraft F2 die Bandreibungskraft FR ¼ Bremskraft 

an der Bremsscheibe ermitteln. Sie wirkt im 

Abstand r von der Bremsscheibenmitte und erzeugt 

das Bremsmoment M ¼ FRr. 

Bei Linkslauf wechseln F1 und F2 ihre Angriffspunkte. 

Für die gleiche Bremswirkung wäre dann 

eine erheblich größere Hebelkraft F erforderlich. 

Die einfache Bandbremse wird darum nur für einen 

Drehsinn verwendet, z. B. für Hubwerke als 

Haltebremse (Bauaufzüge). 

Neben der einfachen Bandbremse gibt es noch die 

Summenbremse mit gleich großem Bremsmoment M 

in beiden Drehrichtungen und die Differenzbremse 

für einen Drehsinn des Bremsmomentes. 


F1 ¼ F2 e ma 

FR ¼ F1 F2 ¼ F2ðe ma 

ðe 

1Þ ¼F1 

ma 1Þ 

ema Die Kräfte F1, F2 und FR wirken bei Rechtslauf 

in den eingezeichneten Richtungen auf 

das Bremsband. 

SM ðDÞ ¼ 0 ¼ F2l1 Fl ; F2 ¼ F l 

FR ¼ F2ðe ma 

M ¼ FRr ¼ Fr l 

1Þ ¼F l 

ðe ma 

l1 

ðe ma 

l1 

3 Reibung 

Lageskizze des 

Bremshebels 

1Þ 

l1 

1Þ Bremsmoment 

Aus der Gleichung erkennt man, dass das 

Bremsmoment vergrößert werden kann durch 

größere Hebelkraft F, größeren Scheibenradius 

r,größere Hebellänge l, kleineren 

Bandabstand l1, größere Reibungszahl m 

und größeren Umschlingungswinkel a. 

Selbsthemmung ist nicht möglich. 

Beachte: Funktionsskizzen für Summen- und 

Differenzbremse sowie die Formeln für das 

Bremsmoment findet man in: Formeln und 

Tabellen zur Technischen Mechanik.


3.4.6.3 Scheiben- und Kegelbremsen 

a) Scheibenbremsen 

Gebaut werden Ein- und Mehrscheibenbremsen 

(Lamellenbremsen). Die Bremsscheibe der skizzierten 

Einscheibenbremse sitzt drehfest auf der 

Bremswelle. Die beiden Bremsbacken werden 

durch Druckfedern im gehäusefesten Hydraulikzylinder 

an die Bremsscheibe gepresst. Mit Flüssigkeitsdruck 

wird die Bremse gelöst (Lüften). Die 

Einscheibenbremse wird zunehmend im Hebezeugbau 

verwendet, auch an Stelle der Bandbremse 

(gute Wärmeableitung). 

b) Kegelbremsen 

Die drehfest mit der Bremswelle verbundene 

Bremsscheibe mit Außenkegel wird durch Federkraft 

axial gegen den gehäusefesten Innenkegel gepresst 

und hydraulisch oder elektromagnetisch abgelöst 

(Lüften der Bremse). 

Durch die Kegelreibfläche kann das gleiche 

Bremsmoment wie bei der Einscheibenbremse mit 

kleinerer Bremskraft erzeugt werden (kleinere 

Konstruktionsmaße). 

c) Bremskraft und Bremsmoment 

Für die Bremskraft F und für das Bremsmoment M 

kann man zwei Gleichungen entwickeln, die für 

Scheiben- und Kegelbremsen gelten. 

Wie bei jeder Bremse ist das Bremsmoment M 

das Produkt aus der Reibungskraft FR ¼ FNm 

und dem zugehörigen Reibungskraftradius 

(M ¼ FRr ¼ FN mr). 

Bei der Scheibenbremse ist die Bremskraft F zugleich 

die Normalkraft FN ¼ F. Dagegen ist bei 

der Kegelbremse F ¼ 2FN sin a, wie die Krafteckskizze 

zeigt. Damit erhält man die beiden Bestimmungsgleichungen 

für F und M. 

F 

Msin a 

rzm 

M Frzm 

sin a 

Bremskraft 

Bremsmoment 

z Anzahl der Reibungsflächen 

z ¼ 1 bei Kegelbremsen 

z ¼ 2 bei Einscheibenbremsen 

a Kegelwinkel 

a ¼ 90 bei Scheibenbremsen 

a 20 bei Kegelbremsen

134 

3.4.7 Rollwiderstand (Rollreibung) 

Betrachtet man einen Rollkörper und seine Unterlage 

als absolut starre Körper, dann ist Rollen nur 

infolge der tangential wirkenden Haftreibungskraft 

möglich. Sonst müsste der Rollkörper auf der Unterlage 

gleiten. 

Tatsächlich drückt sich der Rollkörper etwas in die 

Unterlage ein, und er verformt sich auch selbst 

geringfügig. Es kann hier also nicht mehr von 

„echter“ Reibung gesprochen werden, sondern 

man muss sich den Rollvorgang als ein fortwährendes 

Kippen über die Kante D vorstellen 

(siehe 2.5.2, Seite 88). 

Bei gleichförmiger Rollbewegung herrscht Gleichgewicht. 


erhält man eine Gleichung für die Rollkraft F. 

Wegen der geringen Eindrücktiefe kann in dieser 

Gleichung der Kippabstand l gleich dem Rollradius 

r gesetzt werden. 

Die Rollkraftgleichung zeigt, dass die Rollkraft F 

mit zunehmendem Rollradius r kleiner wird. 

Den Abstand f bezeichnet man als „Hebelarm der 

Rollreibung“. Er ist abhängig vom Werkstoff der 

Unterlage und des Rollkörpers und wird gewöhnlich 

in cm angegeben. Aus diesem Grund setzt 

man in die Gleichung auch den Rollradius r 

zweckmäßig in cm ein. 

3.4.8 Fahrwiderstand 

Wird ein Fahrzeug mit konstanter Geschwindigkeit 

auf horizontaler Fahrbahn fortbewegt, sind Widerstände 

zu überwinden: 

der Luftwiderstand, der Rollwiderstand, 

der Widerstand durch Lagerreibung. 

Die beiden letzten fasst man zum Fahrwiderstand Fw 

zusammen. 

Bei horizontaler Fahrbahn ist die erforderliche 

Zugkraft Fz gleich dem Fahrwiderstand (ohne 

Luftwiderstand). 

Bei geneigter Fahrbahn ist zusätzlich die Hangabtriebskraft 

Fa ¼ FG sin a zu überwinden. a ist der 

Neigungswinkel der Fahrbahn zur Waagerechten. 

„Wirklicher“ Rollkörper 

Freigemachter 

„starrer“ Rollkörper 

SMðDÞ ¼ 0 ¼ FG f Fl ; l r 

F ¼ FG 

f 

r 

Rollkraft 

F, FG 

N 

f r 

cm cm 

Die Gewichtskraft steht hier für die Belastung 

der Radachse. 

Beachte: Große Räder oder Kugeln rollen 

leichter als kleinere. 

Werte für den Hebelarm der Rollreibung: 

Für Gusseisen und Stahl auf Stahl ist 

f 0,05 cm, 

für gehärtete Stahlrollen und -kugeln auf 

gehärteten Laufringen (Wälzlager) ist 

f 0,0005 ...0,001 cm. 

Fw ¼ FN m Fahrwiderstand 

f 

FN gesamte Normalkraft (Anpresskraft des 

Fahrzeugs an allen Rädern). 

Bei horizontaler Fahrbahn ist die Normalkraft 

FN gleich der Gewichtskraft FG des 

Fahrzeugs. 

mf Fahrwiderstandszahl; sie wird durch 

Versuche ermittelt. 

Erfahrungswerte für mf : 

Eisenbahn 0,0025 

Straßenbahn mit Wälzlagern 0,005 

Straßenbahn mit Gleitlagern 0,018 

Kraftfahrzeug auf Asphalt 0,025 

Drahtseilbahn 0,01 

3 Reibung


Damit sich die Räder drehen, muss die Haftreibungskraft 

FR0 max zwischen Rädern und Fahrbahn 

größer sein als der Fahrwiderstand Fw. Daraus ergibt 

sich die Rollbedingung m0 mf . Bei m0 < mf gleiten die Räder auf der Fahrbahn. 

3.4.9 Ûbungen zum Rollwiderstand und Fahrwiderstand 

1. Ûbung: Die Laufachse einer Lokomotive mit 

zwei Rädern von 1,1 m Durchmesser hat 1,2 t 

Masse. Sie soll durch eine in Achsmitte angreifende 

Kraft F auf waagerechten Schienen in gleichförmiger 

Bewegung gehalten werden. Der Hebelarm 

der Rollreibung beträgt 0,05 cm. 

Wie groß sind die erforderliche Rollkraft F und 

der Rollwiderstand Froll? 

Lösung: Man kann die Rollkraft F mit der in 3.4.7 

entwickelten Gleichung bestimmen. 

Der Rollwiderstand Froll ist hier gleich der Rollkraft 

F. 

2. Ûbung: Der Tisch einer Werkzeugmaschine 

läuft auf einer Zylinderrollenführung. Er belastet 

die Rollen mit einer Kraft F1 ¼ 1800 N. Rollen 

und Führungsschienen sind gehärtet. Die Rollen 

haben 18 mm Durchmesser. 

Welche Kraft muss aufgebracht werden, um den 

Tisch zu verschieben? 

Lösung: Man darf alle Kräfte auf eine Rolle beziehen, 

denn ob an 100 Rollen je ein Hundertstel der 

Kräfte wirkt oder an einer Rolle alle Kräfte, ist 

gleichgültig. 

Die Gewichtskräfte der Rollen können vernachlässigt 

werden, denn sie sind klein gegenüber der Belastung 

F1. 

Rollwiderstand tritt an der unteren und an der oberen 

Führungsschiene auf. 

Die Verschiebekraft F am Tisch hat ihre Gegenkraft 

im Rollwiderstand Froll oben, folglich ist 

F ¼ Froll. 

Das Rollmoment F d ist gleich dem Lastmoment 

F1 2f .Für unterschiedliche Werkstoffe ist statt 

2f die Summe ðf1 þ f2Þ einzusetzen. 

Für die Rollbewegung ist erforderlich, dass 

FR0 max Fw, d.h.FN m 0 FN m f ist. 

m 0 m f Rollbedingung 

Gegeben: 

Durchmesser d ¼ 2r ¼ 1,1 m 

Masse m ¼ 1,2 10 3 kg 

Hebelarm f ¼ 0,05 cm 

Gesucht: 

Rollkraft F, Rollwiderstand Froll 

f f 

F ¼ FG ¼ mg 

r r 

F ¼ 1,2 10 3 kg 9,81 m 

F ¼ 10,7 N ¼ Froll 

s 2 

5 10 4 m 

5,5 10 1 m 

Gegeben: 

Belastung F1 ¼ 1,8 10 3 N 

Hebelarm f ¼ 10 5 m (nach 3.4.7) 

Rollendurchmesser d ¼ 18 10 3 m 

Gesucht: 

Verschiebekraft F 

Frolld ¼ Fd ¼ F1 2f 

F ¼ F1 

2f 

d 

¼ F1 

2f 

¼ F1 

2r 

f 

r 

F ¼ 1,8 10 3 N 10 5 m 

9 10 3 ¼ 2N 

m

136 

3. Ûbung: Eine Kugel von 20 mm Durchmesser 

liegt auf einer schiefen Ebene. 

Bei welchem Neigungswinkel a beginnt die Kugel 

zu rollen, wenn der Hebelarm der Rollreibung 

f ¼ 0,1 cm beträgt? 

Lösung: Die Kugel beginnt dann zu rollen, wenn 

die Wirklinie der Gewichtskraft FG durch die 

„Kippkante“ D geht (siehe 2.5.2). Die Rollkraft ist 

dann die Komponente FG sin a, die „Belastung“ 

die Komponente FG cos a. 

Das linksdrehende Kraftmoment FG sin ar ist 

gleich dem rechtsdrehenden Kraftmoment 

FG cos a f . Damit ist der Lösungsansatz gefunden. 

Die Diskussion der Gleichung tan a ¼ f =r lässt erkennen, 

dass mit zunehmendem Kugelradius r die 

Tangensfunktion und damit der Neigungswinkel 

kleiner wird: Große Rollkörper rollen leichter als 

kleine. 

4. Ûbung: Ein Kraftfahrzeug mit 1100 kg Masse 

wird auf einer waagerechten Asphaltstraße gleichförmig 

geschoben. 

Wie groß ist der zu überwindende Fahrwiderstand 

Fw? 

Lösung: Man berechnet den Fahrwiderstand Fw 

aus der Normalkraft FN und der Fahrwiderstandszahl 

m f . Die gesamte Normalkraft an den vier Rädern 

ist bei waagerechter Fahrbahn gleich der Gewichtskraft 

FG ¼ Masse m Fallbeschleunigung g. 

Die Fahrwiderstandszahl entnimmt man den Erfahrungswerten 

(3.4.8). 

5. Ûbung: Ein Güterzug fährt auf waagerechter 

Strecke mit konstanter Geschwindigkeit. Die Masse 

der angehängten Wagen beträgt 1000 t. 

Wie groß ist der Fahrwiderstand Fw der angehängten 

Wagen? 

Gegeben: 

Durchmesser d ¼ 20 mm 

Hebelarm f ¼ 0,1 cm 

Gesucht: 

Neigungswinkel a 

FG sin ar ¼ FG cos a f 

FG sin a f 

¼ 

FG cos a r 

tan a ¼ f 

r 

a ¼ arctan f 

r 

0,1 cm 

¼ arctan ¼ 5,71 

1cm 

Gegeben: 

Masse m ¼ 1,1 10 3 kg 

Fahrwiderstandszahl m f ¼ 0,025 (siehe 3.4.8) 

Gesucht: 

Fahrwiderstand Fw 

Fw ¼ FN m f ¼ FG m f ¼ mgm f 

Fw ¼ 1,1 10 3 kg 9,81 m 

3 

25 10 

s2 Fw ¼ 270 kgm 

¼ 270 N 

s2 Gegeben: 

Masse m ¼ 1000 t ¼ 106 kg 

Fahrwiderstandszahl mf ¼ 0,0025 

Gesucht: 

Fahrwiderstand Fw 

3 Reibung


Lösung: Die Ûberlegungen zur Lösung dieser 

Aufgabe sind die gleichen wie in der 4. Ûbung. 

Lediglich die Beträge der Masse und der Fahrwiderstandszahl 

wurden geändert. 

Da die Zugkraft am Zughaken der Lokomotive nur 

den Fahrwiderstand zu überwinden hat, sind Zugkraft 

Fz und Fahrwiderstand gleich groß. 

6. Ûbung: Derselbe Güterzug wie in der 5. Ûbung 

wird eine Steigung 1:100 gleichförmig bergauf 

gezogen. 

Wie groß ist jetzt die erforderliche Zugkraft Fz? 

Lösung: Man orientiert sich über die Kräfteverhältnisse 

anhand einer Lageskizze. Ob man dabei 

den ganzen Zug betrachtet oder nur einen Wagen 

mit der Masse m ¼ 1000 t, ist gleichgültig. 

Man erkennt: 

Da Gleichgewicht herrscht, ist die Normalkraft 

FN ¼ FG cos a. Außerdem muss die Zugkraft Fz 

gleich der Summe aus Fahrwiderstand Fw und 

Hangabtriebskraft FG sin a sein. 

Zuerst wird der Steigungswinkel a aus seiner 

Tangensfunktion ermittelt. Der Winkel ist so 

klein, dass man in der weiteren Rechnung 

sin a ¼ tan a ¼ 0,01 und cos a ¼ 1 setzen darf. 

Dann setzt man die Gleichgewichtsbedingung für 

die Kräfte in Richtung der Steigung an (x-Kräfte) 

und löst schrittweise nach Fz auf. 

Die Gleichung Fz ¼ mgðm f þ sin aÞ zeigt, dass 

der Steigungswinkel a die Zugkraft stark beeinflusst. 

Hier ist sin a ¼ 4m f , d. h. die Hangabtriebskraft 

FG sin a ist viermal so groß wie der Fahrwiderstand 

Fw. 


Fw ¼ FN m f ¼ FG m f ¼ mgm f 

Fw ¼ 10 6 kg 9,81 m 

3 

2,5 10 

s2 3 kgm 

Fw ¼ 24,53 10 ¼ 24 530 N 

s2 Fw ¼ Fz ¼ 24,53 kN 

Gegeben: 

Dieselben Größen wie in Ûbung 5; zusätzlich 

Steigung 1:100, das heißt, der Tangens des 

Steigungswinkels beträgt 1/100, tan a ¼ 0,01 

Gesucht: 

Zugkraft Fz 

Lageskizze 

a ¼ arctan 0,01 ¼ 0,573 ¼ 34,4 0 

SFx ¼ 0 ¼ Fz Fw FG sin a 

Fz ¼ Fw þ FG sin a ¼ FN mf þ FG sin a 

Fz ¼ FG cos amf þ FG sin a ¼ 

¼ FGðmf cos a þ sin aÞ 

Fz ¼ mgðmf cos a þ sin aÞ 

cos a ¼ 0,99995 1 gesetzt: 

Fz ¼ mgðmf þ sin aÞ 

Fz ¼ 10 6 kg 9,81 m 

s2 ð0,0025 þ 0,01Þ 

Fz ¼ 12,26 10 4 N ¼ 122,6 kN

138 

3.4.10 Rolle und Rollenzug 

3.4.10.1 Feste Rolle (Leit- oder Umlenkrolle) 

Die Achse der festen Rolle liegt räumlich fest. Ohne 

Reibung wäre die Zugkraft F im Seil gleich der 

Gewichtskraft FG (F ¼ FG). Infolge der Zapfenreibung 

(siehe Seite 116) ist beim Heben der Last die 

Zugkraft jedoch immer größer als die Gewichtskraft 

(F > FG). Aber auch ohne Berücksichtigung 

der Zapfenreibung wäre F > FG, denn die Reibung 

zwischen den einzelnen Drähten des Seils 

macht das Seil biegesteif. Dadurch weicht der auflaufende 

Seilstrang um die seitliche Auslenkung e1 

nach außen. Der ablaufende Seilstrang schmiegt 

sich um e2 an die Rolle nach innen an. Dadurch 

vergrößert sich der Wirkabstand der Gewichtskraft 

FG vom Rollendrehpunkt D auf den Betrag r þ e1, 

während sich der Wirkabstand der Zugkraft F auf 

r e2 verringert. 

Zur Gleichgewichtsbetrachtung skizziert man die 

Lageskizze des Systems Rolle/Seil. Der geringfügige 

Unterschied zwischen e1 und e2 lässt es zu, 

mit der Auslenkung e ¼ e1 ¼ e2 zu rechnen. 

Die Rolle dreht sich beim Heben der Last mit konstanter 

Winkelgeschwindigkeit w rechts herum. 

Linksdrehend wirkt dann das Reibungsmoment 

MR ¼ FRrz ¼ FN mrz ¼ðFG þ FÞ mrz. 

Erläuterungen zum Reibungsmoment MR siehe 

Abschnitt 3.4.3.1, Seite 117. 

Für die Reibungsbetrachtung am Rollenbolzen 

oder -zapfen kann die Zugkraft F ungefähr gleich 

der Gewichtskraft FG gesetzt werden (F FG). 

Das Reibungsmoment wird dann MR ¼ 2FG mrz. 

Legt man den Momentendrehpunkt D auf die 

Wirklinie der noch unbekannten Normalkraft FN 

(Lagerkraft) in den Rollenmittelpunkt, so führt die 

algebraische Entwicklung zu einer Gleichung für 

die Zugkraft F. 

FG Gewichtskraft 

F Zugkraft 

r Rollenradius 

rz Zapfenradius 

Lageskizze für Lastheben 

3 Reibung 

SFy ¼ 0 ¼ 

FN ¼ FG þ F 

FG þ FN F 

SMðDÞ ¼ 0 ¼ FGðr þ eÞ Fðr eÞþMR 

FGðr þ eÞ Fðr eÞþ2FG mrz ¼ 0 

Fðr eÞ ¼FGðr þ e þ 2mrzÞ 

r þ e þ 2mrz 

F ¼ FG 

r e 

Zugkraft an der festen Rolle beim Lastheben


Der Wirkungsgrad h ist das Verhältnis von Nutzarbeit 

Wn zur aufgewendeten Arbeit Wa. Die Nutzarbeit 

Wn ist hier das Produkt aus der Gewichtskraft 

FG und dem Hubweg s, also Wn ¼ FG s 

(Hubarbeit). Entsprechend gilt für die aufgewendete 

Arbeit Wa ¼ Fs. Kraft- und Lastweg sind 

gleich groß (s1 ¼ s2 ¼ s). 

Mit den beiden Ausdrücken für die Zugkraft F stehen 

also zwei voneinander unabhängige Gleichungen 

mit zwei Unbekannten (F und hf) zurVerfügung. 

Die Gleichsetzungsmethode führt hier am 

einfachsten zu einer Gleichung für den Wirkungsgrad 

h f der festen Rolle. 

Wie die Gleichung zeigt, ist der Wirkungsgrad h f 

abhängig vom Rollenradius r, vom Zapfenradius 

rz, von der Zapfenreibungszahl m und von der Auslenkung 

e. Die Größen r und rz sind konstruktiv 

festgelegt, dagegen können Zapfenreibungszahl m 

und Auslenkung e nur angenommen werden. Dabei 

ist die Festlegung eines Auslenkungsbetrages 

am schwierigsten. Eine Rechnung mit bestimmten 

Beträgen von r, rz und m, bei e ¼ 0; 0,5 mm; 

1 mm und 2 mm zeigt die geringe Abhängigkeit 

des Wirkungsgrades h f vom Auslenkungsbetrag e. 

Es ist daher berechtigt, mit einem Mittelwert 

h f ¼ 0,95 zu rechnen. 

3.4.10.2 Lose Rolle 

Die Last mit der Gewichtskraft FG hängt an der 

Achse der losen Rolle und verteilt sich daher auf 

zwei Seilstränge. Der eine Strang ist z. B. an der 

Auslegerspitze eines Drehkrans befestigt, am anderen 

Strang greift die Zugkraft F an. War bei der 

festen Rolle ohne Reibungsverluste F ¼ FG, soist 

bei der losen Rolle F ¼ Fs ¼ FG/2. Die aufgewendete 

Arbeit ist Wa ¼ Fs1, die Nutzarbeit 

Wn ¼ FG s2. Ohne Reibungsverluste sind beide Beträge 

gleich groß, also Fs1 ¼ FG s2. Mit F ¼ FG/2 

wird dann FG s1/2 ¼ FGs2, also auch s1 ¼ 2s2. Der 

Kraftweg s1 ist doppelt so groß wie der Lastweg s2. 

Nutzarbeit Wn 

hf ¼ 

aufgewendete Arbeit Wa 

h f ¼ FG 

F 

! F ¼ FG 

h f 

F ¼ FG r þ e þ 2mrz 

¼ FG 

hf r e 

r e 

hf ¼ 

r þ e þ 2mrz 

¼ FGs 

Fs 

Wirkungsgrad 

der festen Rolle 

Berechnungsbeispiel: 

Für r ¼ 200 mm, rz ¼ 30 mm und m ¼ 0,15 

sowie e1 ¼ 0; e2 ¼ 0,5 mm; e3 ¼ 1mmund 

e4 ¼ 2 mm liefert die Wirkungsgradgleichung: 

h f1 ¼ 0,957 0,96 für e1 ¼ 0 

h f2 ¼ 0,952 0,95 für e2 ¼ 0,5 mm 

h f3 ¼ 0,948 0,95 für e3 ¼ 1mm 

h f4 ¼ 0,938 0,94 für e4 ¼ 2mm 

Lageskizze 

für Lastheben

140 

Wie bei der festen Rolle stellt man die Gleichgewichtsbedingungen 

nach der Lageskizze auf. Auch 

hier wird angenommen, dass die seitliche Auslenkung 

am aufund am ablaufenden Seilstrang 

gleich groß ist (e1 ¼ e2 ¼ e). 

Den Momentendrehpunkt D legt man auf die 

Wirklinie der Seilkraft Fs, weil die Entwicklung 

der Momentengleichgewichtsbedingung dann zu 

einer Gleichung mit nur einer Unbekannten führt 

(Zugkraft F). 

Auch bei Berücksichtigung der Reibung gilt für 

den Kraftweg s1 ¼ 2s2. Allerdings bleibt nicht 

mehr F ¼ FG/2. Mit der Nutzarbeit Wn ¼ FG s2 und 

der aufgewendeten Arbeit Wa ¼ Fs1 ¼ F 2s2 erhält 

man wie bei der festen Rolle eine Gleichung 

für den Wirkungsgrad hl der losen Rolle und daraus 

eine Gleichung für die Zugkraft F. 

Wie bei der festen Rolle verfügt man auch hier 

über zwei voneinander unabhängigen Gleichungen 

für die Zugkraft F, die man gleichsetzen und nach 

dem Wirkungsgrad hl auflösen kann. 

Ein Vergleich der beiden Gleichungen für die Wirkungsgrade 

h l und h f zeigt, dass der Zähler in der 

Wirkungsgradgleichung für die lose Rolle größer 

ist als der Zähler in der Gleichung für die feste 

Rolle. Dagegen ist der Nenner bei h l kleiner als 

bei h f. Folglich ist der Wirkungsgrad h l der losen 

Rolle größer als der Wirkungsgrad h f der festen 

Rolle (h l > h f). 

Das wird rechnerisch bestätigt mit den für die feste 

Rolle angenommenen Größen (siehe Seite 139). 

Für praktische Rechnungen verzichtet man jedoch 

auf unterschiedliche Beträge für die Wirkungsgrade 

der festen und der losen Rolle. Man rechnet 

mit h f ¼ h l ¼ h ¼ 0,96 für Gleitlagerung der Rolle 

und h ¼ 0,98 für Wälzlagerung. 

SFy ¼ 0 ¼ Fs 

FG ¼ Fs þ F 

FG þ F 

2r 

zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{ 

SMðDÞ ¼ 0 ¼ FGðr þ eÞ MR þ F ðr e þ r þ eÞ 

MR ¼ FRrz ¼ FN mrz ¼ FG mrz 

2Fr ¼ FGðr þ eÞþFG mrz ¼ FGðr þ e þ mrzÞ 

F ¼ FG 

2 

r þ e þ mrz 

r 

Zugkraft an der losen Rolle beim Lastheben 

hl ¼ Wn 

¼ 

Wa 

FG s2 

F 2s2 

h l ¼ FG 

2F 

! F ¼ FG 

2h l 

F ¼ FG 

¼ 

2hl FG r þ e þ mrz 

2 r 

r 

hl ¼ 

r þ e þ mrz 

Wirkungsgrad 

der losen Rolle 

Zählervergleich: r > r e 

Nennervergleich: r þ e þ mrz < r þ e þ 2mrz 

folglich ist 

h l > h f 

Für r ¼ 200 mm, rz ¼ 30 mm, m ¼ 0,15 und 

e ¼ 1 mm wird der Wirkungsgrad für die lose 

Rolle: 

r 

hl ¼ 

r þ e þ mrz 

200 mm 

hl ¼ 

ð200 þ 1 þ 0,15 30Þ mm 

h l ¼ 0,973 > h f ¼ 0,948 

3 Reibung


3.4.10.3 Rollenzug 

Rollenzüge sind Ûbersetzungsmittel zwischen Last 

und Kraft. Sie bestehen aus einer Kombination fester 

und loser Rollen, die in Flaschen (Kloben) gelagert 

sind. Die Rollen können untereinander oder 

auch nebeneinander liegen1) . Das eine Seilende ist 

mit einer Flasche verbunden, am anderen Ende 

greift die Zugkraft F an. 

Zur statischen Analyse des skizzierten Rollenzuges 

beim Heben der Last wird die untere Flasche freigemacht. 

Der Schnitt x x trifft hier vier tragende 

Seilstränge. Für alle Rollen soll der Wirkungsgrad 

gleich groß sein (hf ¼ hl ¼ h). Mit den für feste 

und lose Rollen entwickelten Gleichungen ist dann 

F1 ¼ hF, F2 ¼ hF1 ¼ h 2 F, F3 ¼ hF2 ¼ h 3 F und 

F4 ¼ h 4 F. Damit kann die Kräftegleichgewichtsbedingung 

SFy ¼ 0 aufgestellt werden. 

Der Ausdruck ð1 þ h þ h 2 þ h 3 Þ lässt sich algebraisch 

vereinfachen. Es ist 

1 þ h þ h 2 þ h 3 1 h4 

¼ 

1 h 

Der Beweis lässt sich durch Polynomdivision führen, 

indem man 1 h 4 durch 1 h dividiert. 

Der spezielle Fall mit vier tragenden Seilsträngen 

kann leicht auf beliebige Konstruktionen mit n tragenden 

Seilsträngen erweitert werden. Als Exponent 

steht dann „n“ statt „4“ in der Zugkraftgleichung 

des Rollenzugs. 

Von den „Lasten“, die mit Rollenzügen bewegt 

werden sollen, ist meistens die Masse m in kg bekannt. 

Aus diesem Grund wird nach FG ¼ mg die 

Zugkraftgleichung mit der Masse m geschrieben 

(Fallbeschleunigung g ¼ 9,81 m/s2 ). 

Eine Beziehung zwischen dem Kraftweg s1 und 

dem Lastweg s2 lässt sich wie bei der losen Rolle 

mit der Nutzarbeit Wn ¼ FG s2 und der aufgewendeten 

Arbeit Wa ¼ Fs1 herleiten. Ohne Reibungsverluste 

ist auch hier Wn ¼ Wa, und die Gewichtskraft 

FG ist gleich dem n-fachen der Zugkraft F 

(FG ¼ nF oder F ¼ FG/n). Beispielsweise ist bei 

der losen Rolle FG ¼ 2F, weil n ¼ 2 tragende 

Seilstränge vorhanden sind. 

Lageskizze der 

unteren Flasche 

SFy ¼ 0 ¼ F1 þ F2 þ F3 þ F4 

hF þ h 

FG 

2 F þ h 3 F þ h 4 F ¼ FG 

Fðh þ h 2 þ h 3 þ h 4 Þ¼FG 

1 

F ¼ FG 

h þ h2 þ h3 1 

¼ FG 

þ h4 hð1 þ h þ h2 þ h3Þ 1 

F ¼ FG 

hð1 

h 

h4 1 

¼ mg 

Þ hð1 

h 

h4Þ 1 

F ¼ mg 

hð1 

h 

h nÞ Zugkraftgleichung für Rollenzüge 

mit n tragenden Seilsträngen beim 

Lastheben (mg ¼ FG) 

Wn ¼ Wa 

FGs2 ¼ Fs1 (FG ¼ nF) 

nFs2 ¼ Fs1 

s1 ¼ ns2 

Weggleichung für Rollenzüge 

mit n tragenden Seilsträngen 

1) Praktische Ausführung siehe Handbuch Maschinenbau (Abschnitt Fördertechnik)

142 

Mit der Weggleichung s1 ¼ ns2 kann nun wie bei 

den Rollen eine Wirkungsgradgleichung für den 

Rollenzug entwickelt werden. Ausgangsgleichung 

ist die allgemeine Wirkungsgradgleichung 

hr ¼ Wn=Wa mit der Nutzarbeit Wn ¼ FG s2 und 

der aufgewendeten Arbeit Wa ¼ Fs1 ¼ Fns2. 

Auch hier liegen wieder zwei voneinander unabhängige 

Gleichungen für die Zugkraft F vor, die 

gleichgesetzt und nach dem Wirkungsgrad hr des 

Rollenzuges aufgelöst werden können. 

Darin steht mit h der Wirkungsgrad der einzelnen 

Rolle, wobei zwischen fester und loser Rolle nicht 

unterschieden wird (hf ¼ hl ¼ h ¼ 0,96). 

hr ¼ Wn 

¼ 

Wa 

FG s2 

¼ 

Fs1 

FG s2 

nFs2 

h r ¼ FG 

nF ! F ¼ FG 

nh r 

F ¼ FG 

nh r 

¼ FG 

h r ¼ hð1 hn Þ 

nð1 hÞ 

1 h 

hð1 h nÞ Wirkungsgrad h r des 

Rollenzuges für 

n tragende Seilstränge 

h Wirkungsgrad einer 

Rolle 

Die folgende Tabelle gibt Werte für den Wirkungsgrad hr in Abhängigkeit von der Anzahl n 

der tragenden Seilstränge an. Obere Zeile für Gleitlagerung mit h ¼ 0,96, untere Zeile für 

Wälzlagerung mit h ¼ 0,98. 

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

h r 0,960 0,941 0,922 0,904 0,886 0,869 0,852 0,836 0,820 0,804 

h r 0,98 0,97 0,961 0,951 0,942 0,932 0,923 0,914 0,905 0,896 

3.4.10.4 Ûbung zum Rollenzug 

Mit dem auf Seite 141 skizzierten Rollenzug soll 

ein Werkstück von 900 kg Masse auf eine Höhe 

von 7 m gehoben werden. 

Zu berechnen ist 

a) die Zugkraft F im Seil beim Heben, 

b) die Länge s1 des ablaufenden Seilstrangs 

Lösung: 

a) Die Zugkraft F beim Lastheben wird mit der 

Zugkraftgleichung für Rollenzüge für n ¼ 4 tragende 

Seilstränge berechnet. 

b) nach der Weggleichung für Rollenzüge ist der 

Kraftweg s1 (Ablauflänge) n mal so groß wie der 

Lastweg s2, hier also 4-mal so groß. 

Gegeben: 

Masse m ¼ 900 kg 

Anzahl der tragenden Seilstränge n ¼ 4 

Lastweg s2 ¼ 7m 

Rollenwirkungsgrad h ¼ 0,96 

Gesucht: 

Zugkraft F, Ablauflänge s1 

1 h 

F ¼ mg 

hð1 h nÞ F ¼ 900 kg 9,81 m 

s2 F ¼ 2 442 kgm 

¼ 2 442 N 

s2 s1 ¼ ns2 ¼ 4 7m¼ 28 m 

3 Reibung 

1 0,96 

0,96 ð1 0,96 4 Þ

4 Dynamik 


A m2 ,cm2 ,mm2 Flächeninhalt, Fläche 

a m 

s2 Beschleunigung (at Tangentialbeschleunigung, an Normalbeschleunigung) 

R N N 

, 

m mm 

Federrate 

Di m, mm Trägheitsdurchmesser ¼ 2i 

d m, mm Durchmesser, allgemein 

E J ¼ Nm ¼ Ws Energie (Ep potenzielle Energie, Ek kinetische Energie) 

F N Kraft (FT Tangentialkraft, FN Normalkraft) 

f 

1 

s 

Frequenz, Periodenfrequenz; f ¼ 1 

T 

FG N Gewichtskraft (FGn Normgewichtskraft) 

g m 

s2 Fallbeschleunigung (gn Normfallbeschleunigung ¼ 9,80665 m/s2 ) 

h m Fallhöhe, Höhe allgemein 

i 1 Ûbersetzungsverhältnis (Ûbersetzung) 

i m, mm Trägheitsradius ¼ Di 

2 

J kgm2 Trägheitsmoment, Zentrifugalmoment 

k 1 Stoßzahl 

l m, mm Länge allgemein 

M Nm, Nmm Kraftmoment, Drehmoment 

m kg Masse; m 0 längenbezogene Masse in kg/m 

n 

1 

s ¼ s 1 , 1 

min ¼ min 1 Umdrehungsfrequenz, Drehzahl 

P W, kW Leistung t s, min, h Zeit 

r m, mm Radius V m3 ,cm3 ,mm3 Volumen, Rauminhalt 

s m, mm Weglänge v 

m 

s 


T s Periodendauer, 

Schwingungsdauer 

W J ¼ Nm ¼ Ws Arbeit 

T N Trägheitskraft T ¼ ma z 1 Anzahl der Umdrehungen 

a, b Winkel allgemein h 1 Wirkungsgrad 

a 

1 rad 2 

¼ ¼ s 

s2 s2 Winkelbeschleunigung r 

kg kg 

, 3 

dm m3 Dichte 

j rad Drehwinkel r m, mm Krümmungsradius 

m 1 Reibungszahl w 

1 rad 

¼ 

s s ¼ s 1 Winkelgeschwindigkeit 

1) siehe Fußnote Seite 1 

143

144 

4.1 Allgemeine Bewegungslehre 

4.1.1 Größen und v, t-Diagramm, Ordnung der Bewegungen 

In der Bewegungslehre entwickelt man Gleichungen, 

mit denen sich die Ortsveränderung von Körpern 

und Körperpunkten beschreiben und berechnen 

lassen. Die Ursache der Ortsveränderung, also 

die einwirkenden Kräfte und Kraftmomente, werden 

in der Bewegungslehre nicht untersucht. 

Die Bewegungslehre wird auch als Kinematik 

bezeichnet. 

Man kann Längenabschnitte und Zeitabschnitte 

messen. Die Länge des Weges, den ein Körper 

(oder ein Punkt dieses Körpers) durchläuft, nennt 

man „Wegabschnitt“ und benutzt dafür das Kurzzeichen 

„Ds“. Ebenso spricht man vom „Zeitabschnitt 

Dt“, wenn man z. B. die Anzahl Sekunden 

(s) angibt, die während der Ortsveränderung 

vergangen sind. 

Die Vorstellung wird klarer und das Verständnis 

wird erleichtert, wenn man sich immer nur auf 

einen Punkt des bewegten Körpers konzentriert. 

Wegabschnitt Ds und Zeitabschnitt Dt sind so genannte 

Basisgrößen; sie können direkt gemessen 

werden. Die zugehörigen Einheiten sind die Basiseinheiten 

Meter (Kurzzeichen m) und Sekunde 

(Kurzzeichen s). 

Geschwindigkeit v (lat. velocitas) und Beschleunigung 

a (lat. acceleratio) sind die aus den Basisgrößen 

abgeleiteten Größen der Bewegung. Man unterscheidet 

daher Basisgrößen und abgeleitete 

Größen. 

Beispiel: 

Der Stößel einer Waagerecht-Stoßmaschine 

wird aus der Ruhelage heraus beschleunigt. 

Die Abmessungen aller Bauteile, die diese 

Bewegung in den Stößel einleiten, hängen 

vom Betrag der Beschleunigung ab. 

Folglich muss dieser Betrag berechnet werden. 

Hinweis: Wege (Wegabschnitte) werden mit 

dem Buchstaben s bezeichnet (von lat. spatium), 

Zeiten (Zeitabschnitte) mit dem Buchstaben 

t (lat. tempus). 

Der griechische Buchstabe Delta (D) steht für 

„Differenz“, weil Weg- und Zeitabschnitte 

Differenzen von Längen und Zeiten sind: 

Ds ¼ s2 s1 Dt ¼ t2 t1 

Gesprochen wird „Delta-es“ und „Delta-te“, 

also nicht etwa „Delta mal s“. 

Beispiel: 

Bei der umlaufenden Schleifscheibe beobachtet 

man die Bewegung eines Schleifkornes 

am Scheibenumfang. 

Zusammenstellung der Größen der Bewegung 

und ihrer Einheiten: 

Wegabschnitt Ds in m 

Zeitabschnitt Dt in s 

Geschwindigkeit v in m 

s 

Beschleunigung a 

(Verzögerung) 

in m 

s 2 

4 Dynamik 

Beachte: Das Zeichen für Beschleunigung 

und Verzögerung ist der Buchstabe a.

4.1 Allgemeine Bewegungslehre 145 

Die Bewegungen eines Körperpunktes kann man 

zeitlich oder/und räumlich ordnen. 

Zeitliche Ordnung (Bewegungszustand): 

1. gleichförmige Bewegung, 

2. ungleichförmige Bewegung 

(beschleunigte oder verzögerte Bewegung). 

Räumliche Ordnung (Bewegungsbahn): 

1. geradlinige Bewegung, 

2. krummlinige Bewegung. 

Spezialfall der krummlinigen Bewegung ist die 

Kreisbewegung (Bewegung auf einer Kreisbahn). 

Kennzeichen der ungleichförmigen Bewegung ist 

die Beschleunigung oder die Verzögerung. Beim 

beschleunigt bewegten Körper nimmt die Geschwindigkeit 

fortwährend zu, beim verzögert 

bewegten Körper nimmt sie laufend ab. Kurz sagt 

man: Bei der ungleichförmigen Bewegung ist immer 

v 6¼ konstant. 

Von besonderer Bedeutung sind die Fälle, in denen 

die Zu- oder Abnahme der Geschwindigkeit v in 

gleichen Zeitabschnitten Dt gleich groß bleibt 

(konstante Zu- oder Abnahme). Man spricht dann 

von einer gleichmäßig beschleunigten oder verzögerten 

Bewegung. 

Die zeitliche Ordnung von Bewegungen lässt sich 

am besten im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm 

(v, t-Diagramm) erkennen: 

Ûber der Zeitachse t wird von links nach rechts 

fortschreitend die Geschwindigkeit v aufgetragen. 

Man unterscheidet drei Fälle und benutzt als Kriterium 

die Veränderung von Geschwindigkeit v 

und Beschleunigung oder Verzögerung a: 

v ¼ konstant 

gleichförmige Bewegung À 

a ¼ 0 

v 6¼ konstant 

ungleichförmige Bewegung ` 

a 6¼ 0 

v 6¼ konstant 

a ¼ konstant 

gleichmäßig beschleunigte 

ðverzögerteÞ Bewegung 

´ 

Beispiele: 

Vorschubbewegungen an Werkzeugmaschinen 

sind meist geradlinig gleichförmige 

Bewegungen. 

Der freie Fall ohne Luftwiderstand ist eine 

geradlinig ungleichförmige Bewegung 

(beschleunigte Bewegung). 

Ein Punkt am Umfang einer Schleifscheibe 

bewegt sich krummlinig gleichförmig 

(gleichförmig auf einer Kreisbahn). 

Beim Auslaufen einer Schleifscheibe bewegt 

sich ein Schleifkorn krummlinig ungleichförmig 

(verzögert auf einer Kreisbahn). 

Beispiele: 

Freier Fall ohne Luftwiderstand ist eine 

gleichmäßig beschleunigte Bewegung, senkrechter 

Wurf nach oben ist eine gleichmäßig 

verzögerte Bewegung. Der Stößel der Waagerecht-Stoßmaschine 

dagegen bewegt sich 

ungleichmäßig beschleunigt und verzögert. 

Beachte: Gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) 

Bewegung liegt vor, wenn die Geschwindigkeit 

v 6¼ konstant (nicht konstant), 

die Beschleunigung (Verzögerung) dagegen 

a ¼ konstant ist. 

Beispiel: freier Fall und senkrechter Wurf. 

v, t-Diagramm für gleichförmige und 

ungleichförmige Bewegung

146 

4.1.2 Ûbungen mit dem v, t-Diagramm 

1. Das v, t-Diagramm für den freien Fall ohne 

Luftwiderstand soll skizziert werden: 

Der freie Fall ist eine gleichmäßig beschleunigte 

Bewegung, denn die Beschleunigung ist konstant. 

Sie heißt Fallbeschleunigung (g ¼ 9,81 m/s 2 ). Die 

Geschwindigkeit nimmt in jeder Zeiteinheit um 

den gleichen Betrag Dv ¼ konstant zu. Die v-Linie 

ist also eine ansteigende Gerade. Der freie Fall mit 

Luftwiderstand wird im Abschnitt 4.1.6 behandelt 

(Seite 157). 

2. Das v, t-Diagramm für den senkrechten Wurf 

nach oben ohne Luftwiderstand mit anschließendem 

freien Fall soll skizziert werden: 

Beim senkrechten Wurf nach oben ist die Verzögerung 

ebenso groß wie die Beschleunigung während 

des freien Falls (g ¼ 9,81 m/s 2 ), und sie 

bleibt auch konstant. Der senkrechte Wurf ist demnach 

nichts anderes als der „umgekehrt“ betrachtete 

freie Fall. Anfangsgeschwindigkeit v0 und 

Endgeschwindigkeit vt sind daher gleich groß. v0 

ist die Geschwindigkeit zur Zeit t ¼ 0, vt ist die 

Geschwindigkeit bei der Rückkehr zur Abwurfstelle. 

Die v-Linie schneidet die t-Achse. Von dort 

an hat die Geschwindigkeit entgegengesetzten 

Richtungssinn. 

3. Das v, t-Diagramm für den senkrechten Wurf 

nach unten soll skizziert werden: 

Wie beim freien Fall (Ûbung 1.) ist die v-Linie 

eine ansteigende Gerade. Da der Körper schon 

eine Anfangsgeschwindigkeit v0 besitzt, wird die 

Gerade um den Betrag von v0 parallel verschoben 

eingezeichnet. Nach dem Zeitabschnitt Dt besitzt 

der Körper die Endgeschwindigkeit vt, die um die 

Geschwindigkeitszunahme Dv ¼ vt v0 größer ist 

als v0. 

Der Bewegungsablauf vor dem Erreichen der Anfangsgeschwindigkeit 

v0 wurde nicht eingetragen. 

4 Dynamik 

v, t-Diagramm des freien Falls (v 6¼ konstant; 

a ¼ g ¼ konstant; g ¼ 9,81 m/s 2 ) 

Beachte: Wird nichts anderes gesagt, sollen 

diese Bewegungsarten ohne Luftwiderstand 

behandelt werden. 

v, t-Diagramm des senkrechten Wurfs nach 

oben mit anschließendem freiem Fall 

(v 6¼ konstant; a ¼ g ¼ konstant) 

v, t-Diagramm des senkrechten Wurfs nach 

unten (v 6¼ konstant; a ¼ g ¼ konstant)


4. Das v, t-Diagramm der Stößelbewegung einer 

Waagerecht-Stoßmaschine soll skizziert werden: 

Der Stößel bewegt sich ungleichförmig, denn er 

muss erst beschleunigt und dann verzögert werden 

(Anfangs- und Endgeschwindigkeit sind null). Im 

Unterschied zum freien Fall ist diese ungleichförmige 

Bewegung jedoch nicht gleichmäßig beschleunigt 

oder verzögert, sondern ungleichmäßig. 

Es ist also a 6¼ konstant. Der Größtwert der Geschwindigkeit 

liegt in Hubmitte (vmax). 

5. Ein Körper wird aus der Ruhelage heraus 

während Dt1 ¼ 5 s gleichmäßig beschleunigt und 

erreicht die Geschwindigkeit v ¼ 12 m/s, die er 

während Dt2 ¼ 10 s beibehält. Anschließend wird 

die Bewegung während Dt3 ¼ 2,5 s gleichmäßig 

bis zur Ruhelage verzögert. 

Das v, t-Diagramm des Bewegungsvorganges ist 

maßstäblich zu zeichnen und daraus das Beschleunigungs-Zeit-Diagramm 

(a, t-Diagramm) zu entwickeln: 

Im v, t-Diagramm ist die v-Linie während des Zeitabschnitts 

Dt3 steiler geneigt als während des Zeitabschnitts 

Dt1 (a2 > a1). 

Auch wenn man die Beschleunigung a1, a3 noch 

nicht berechnen kann, sagt die Tatsache 

Dt1 ¼ 2 Dt3, dass a3 ¼ 2a1 sein wird. Während 

des Zeitabschnitts Dt2 ist keine Beschleunigung 

vorhanden (a2 ¼ 0). 

6. Das v, t-Diagramm für die Bewegung eines 

Schleifkorns soll skizziert werden, wenn die 

Schleifscheibe nach dem Abschalten des Antriebs 

gleichmäßig verzögert ausläuft: 

Die v-Linie ist eine von v0 bis auf vt ¼ 0 abfallende 

Gerade. Eine Gerade deshalb, weil gleichmäßige 

Verzögerung vorausgesetzt wurde. 


v, t-Diagramm eines Stößelhubes der 

Waagerechtstoßmaschine 

(v 6¼ konstant; a 6¼ konstant) 

v, t-Diagramm 

Beachte: Die v-Linien sind „idealisierte“ 

Kurven. Kurvenknicke als Ûbergänge sind in 

der Praxis nicht möglich. 

Aus dem v, t-Diagramm entwickeltes 

a, t-Diagramm 

v, t-Diagramm für eine auslaufende Schleifscheibe 

(v 6¼ konstant; a ¼ konstant)

148 

4.1.3 Gesetze und Diagramme der gleichförmigen Bewegung, 

Geschwindigkeitsbegriff 

Die folgenden Gesetzmäßigkeiten gelten unabhängig von der Bahn des Körperpunktes, also 

für geradlinige und krummlinige Bewegungen. Zur Vereinfachung stellt man sich erst einmal 

eine gerade Bahn vor. 

Man beobachtet die Bewegung des Werkzeugträgers 

einer Drehmaschine bei eingeschaltetem 

Längsvorschub, oder die Bewegung des Tisches 

einer Fräsmaschine. Mit Bandmaß und Stoppuhr 

kann man feststellen, dass sich Werkzeugträger oder 

Tisch in gleichen Zeitabschnitten Dt immer um den 

gleichen Wegabschnitt Ds verschoben haben. 

Das ist das Kennzeichen der gleichförmigen Bewegung: 

Ein Körper oder Körperpunkt bewegt sich dann 

gleichförmig, wenn er in gleichen, beliebig 

kleinen Zeitabschnitten Dt immer gleiche Wegabschnitte 

Ds zurücklegt. 

Dividiert man den durchlaufenen Wegabschnitt Ds 

durch den zugehörigen Zeitabschnitt Dt, dann erhält 

man die Geschwindigkeit v: 

Die Geschwindigkeit v eines gleichförmig bewegten 

Körpers ist der Quotient aus Weg- und 

Zeitabschnitt. 

Die Geschwindigkeit ist ein Vektor; mehrere 

Geschwindigkeiten dürfen also nur geometrisch 

addiert werden. 

Bewegt sich ein Körper nicht gleichförmig, erhält 

man mit der Definitionsgleichung der Geschwindigkeit 

v ¼ Ds=Dt seine Durchschnittsgeschwindigkeit 

oder mittlere Geschwindigkeit vm . 

Die Einheit für die Geschwindigkeit v ergibt sich 

aus ihrer Definitionsgleichung. Man braucht also 

nur für die rechts vom Gleichheitszeichen stehenden 

Größen die Einheiten einzusetzen. Die Klammern 

sollen darauf hinweisen, dass nur die Einheit 

der Größe benutzt werden soll. 

Beispiel: 

Man kann feststellen, dass sich der Fräsmaschinentisch 

nach jeweils 10 s um 30 mm 

verschoben hat. 

Der Zeitabschnitt beträgt Dt ¼ 10 s. 

Der Wegabschnitt beträgt Ds ¼ 30 mm. 

Exakt gleichförmig ist eine Bewegung nur 

dann, wenn auch in beliebig kleinen Zeitabschnitten, 

z. B. in jeder millionstel Sekunde, 

die durchlaufenen Wegabschnitte gleich 

groß bleiben. 

v ¼ Ds 

Dt 

Grundgleichung der 

gleichförmigen Bewegung 

Beispiel: 

Der Stößel einer Waagerecht-Stoßmaschine 

durchläuft einen Hub von 0,6 m in 1,5 s. 

Dann ist 

vm ¼ Ds 

Dt 

¼ 0,6 m 

1,5 s 

v Ds Dt 

m/s m s 

ðvÞ ¼ ðsÞ Weg-Einheit 

¼ 

ðtÞ Zeit-Einheit 

m m 

¼ 0,4 ¼ 0,4 

s 1 

60 min 

¼ 24 m 

min 

Beispiele: 

ðvÞ ¼ ðsÞ m 

¼ 

ðtÞ s ¼ ms 1 ; ðvÞ ¼ ðsÞ 

ðtÞ 

4 Dynamik 

¼ mm 

min


Die Einheiten Meter (m) und Sekunde (s) sind 

gesetzliche Basiseinheiten. 

Zur Umrechnung von m/s in km/h oder umgekehrt 

braucht man nur 1 km ¼ 1000 m ¼ 103 m und 

1h¼ 3 600 s ¼ 3,6 10 3 s einzusetzen. Umrechnungszahl 

für diesen Fall ist demnach 3,6. 

Bewegungsabläufe werden leichter überschaubar, 

wenn man sie zeichnerisch im rechtwinkligen 

Achsenkreuz erfassen. Auch im einfachen Fall der 

gleichförmigen Bewegung erkennt man schon 

Gesetzmäßigkeiten, die später bei der ungleichförmigen 

Bewegung helfen, schwierigere Aufgaben 

zu lösen. Das gilt vor allem für das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm 

(v, t-Diagramm). 

Im Weg-Zeit-Diagramm erhält man bei gleichförmiger 

Bewegung für die Weglinie eine ansteigende 

Gerade, weil in gleichen Zeitabschnitten (z. B. 

Dt ¼ 1 s) gleiche Wegabschnitte zurückgelegt 

werden (z. B. Ds ¼ 5 m). 

Eine steilere Gerade würde zeigen, dass der Körper 

in gleichen Zeitabschnitten Dt größere Wegabschnitte 

Ds durchläuft, das heißt, die Geschwindigkeit 

v wäre größer. 

Die Weg-Linie im s, t-Diagramm ist immer die 

Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, mit Dt 

und Ds als Katheten. Man erkennt: 

Der Tangens des Neigungswinkels a der 

Weg-Linie entspricht dem Zahlenwert der 

Geschwindigkeit v (tan a ¼b v). 

Man darf nicht schreiben v ¼ tan a, sondern nur 

v ¼b tan a (v entspricht tan a), denn es handelt 

sich um Größen verschiedener Art, wie schon die 

verschiedenen Einheiten zeigen. v besitzt die Einheit 

m/s, der Tangens eines Winkels dagegen die 

Einheit Eins (Verhältnisgröße aus zwei Längen). 

1 km 

¼ 1 

h 

1 km 1 m 

¼ 

h 3,6 s 

1 m 

s 

103 m 

3,6 103 1 m 

¼ 

s 3,6 s 

¼ 3,6 km 

h 

Umrechnungsbeziehung 

Hinweis: Auf der waagerechten Achse trägt 

man immer die Zeit t auf. Die vertikale Achse 

trägt entweder den Weg s, die Geschwindigkeit 

v oder die Beschleunigung a: 

Weg-Zeit-Diagramm (s, t-Diagramm), 

Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm 

(v, t-Diagramm), 

Beschleunigung-Zeit-Diagramm 

(a, t-Diagramm). 

s, t-Diagramm der gleichförmigen Bewegung 

tan a ¼b v ¼ Ds 

¼ konstant 

Dt 

Beispiel: 

v1 ¼ 0,5 m 

s ¼b tan a1; a1 ¼ arctan 0,5 ¼ 26,6 

Dieser Winkel tritt im s, t-Diagramm aber nur 

dann auf, wenn auf den beiden Achsen die 

Länge für eine Zeiteinheit und für eine Wegeinheit 

gleich ist (gleicher Maßstab).

150 

Im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm erhält man 

bei gleichförmiger Bewegung für die Geschwindigkeits-Linie 

eine zur t-Achse parallele Gerade, 

weil zu jedem Zeitpunkt die Geschwindigkeit v 

gleich groß ist (v ¼ konstant). Die Geschwindigkeits-Linie 

begrenzt mit Dt und v eine Rechteckfläche 

A, deren Inhalt sich aus dem Produkt v Dt 

ergibt. Das ist aber zugleich der von einem Körper 

mit der Geschwindigkeit v durchlaufene Weg, 

denn aus v ¼ Ds=Dt wird Ds ¼ v Dt: 

Die Fläche A unter der Geschwindigkeitslinie 

im v, t-Diagramm entspricht dem Wegabschnitt 

Ds (A ¼b Ds). 

Kurz: Diagrammfläche ¼b Wegabschnitt. 

Im Beschleunigung-Zeit-Diagramm erhält man bei 

gleichförmiger Bewegung für die Beschleunigungslinie 

eine auf der t-Achse liegende Gerade, 

weil zu jedem Zeitpunkt die Beschleunigung 

a ¼ 0 ist. Das muss so sein, weil v ¼ konstant 

voraussetzt, dass sich der Körper weder beschleunigt 

noch verzögert. Das a, t-Diagramm hat daher 

nur bei beschleunigter (verzögerter) Bewegung 

Bedeutung. 


Geschwindigkeit vin m/s 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

0 

Geschwindigkeits-Linie 

Fläche A = vt=Wegs 1 2 3 4 5 

Zeit t in s 

t 

v, t-Diagramm der gleichförmigen Bewegung 

Fläche A ¼b Weg Ds ¼ v Dt 

Beachte: Fläche A ¼b Wegabschnitt Ds gilt 

immer. Daher skizziert man grundsätzlich 

zuerst das v, t-Diagramm für den Bewegungsvorgang. 

a, t-Diagramm der gleichförmigen Bewegung 

4.1.4 Gesetze und Diagramme der gleichmäßig beschleunigten (verzögerten) 

Bewegung, Beschleunigungsbegriff 

Wird ein Körper beschleunigt oder verzögert (Auto 

beim Anfahren oder Bremsen), dann ändert sich 

seine Geschwindigkeit. Es ist also v 6¼ konstant, 

im Gegensatz zur gleichförmigen Bewegung. Daher 

darf man nicht mit v ¼ Ds=Dt rechnen, weil 

man damit nur die „gedachte“ mittlere Geschwindigkeit 

erhält (Durchschnittsgeschwindigkeit). In 

Anlehnung an die Definition der gleichförmigen 

Bewegung muss hier gesagt werden: 

4 Dynamik 

Beachte: Die gleichmäßig beschleunigte oder 

verzögerte Bewegung ist der wichtigste Sonderfall 

der ungleichförmigen Bewegung. 

Da die folgenden Gesetze sowohl für die beschleunigte 

als auch für die verzögerte Bewegung 

gelten, spricht man im allgemeinen Fall 

nur von einer beschleunigten Bewegung. 

v


Ein Körper oder Körperpunkt bewegt sich dann 

ungleichförmig, wenn er in gleichen beliebig 

kleinen Zeitabschnitten Dt ungleiche Wegabschnitte 

Ds zurücklegt. 

v ¼ Ds=Dt ergibt nur die mittlere Geschwindigkeit. 

Ein anschauliches Beispiel einer ungleichförmigen 

Bewegung ist neben der Bewegung des Stößels 

der Waagerecht-Stoßmaschine die Bewegung des 

Kolbens im Zylinder des Verbrennungsmotors. 

Beide Bewegungen sind sogar noch ungleichmäßig 

beschleunigt und verzögert. 

In gleichen Zeitabschnitten, gekennzeichnet durch 

den gleichförmig umlaufenden Kurbelzapfen, legt 

der Kolben in der Nähe der Totpunkte nur kleine 

Wegabschnitte zurück. Dazwischen legt der Kolben 

in gleichen Zeitabschnitten größere Wegabschnitte 

zurück. An den Umkehrpunkten (Totpunkten) 

steht der Kolben einen Augenblick still, 

seine Geschwindigkeit ist dann null. 

Kennzeichen der beschleunigten oder verzögerten 

Bewegung (der ungleichförmigen 

Bewegung) ist die Zu- oder Abnahme der 

Geschwindigkeit v, also eine Geschwindigkeitsänderung 

Dv. 

Ist die Bewegung gleichmäßig beschleunigt (verzögert), 

dann ist die Geschwindigkeitsänderung 

gleichbleibend (Dv ¼ konstant). Daher muss die 

Geschwindigkeitslinie im v, t-Diagramm eine ansteigende 

oder abfallende Gerade sein. Wird ein 

Körper aus der Ruhelage heraus gleichmäßig beschleunigt, 

so dass er nach Dt ¼ 6 s eine Momentangeschwindigkeit 

vt ¼ 9m=s besitzt, dann 

beträgt seine Geschwindigkeitszunahme in jeder 

Sekunde Dv ¼ 1,5 m=s. 

Annähernd genau erhält man die „Momentangeschwindigkeit 

v“, wenn man den Wegabschnitt 

Ds für einen außerordentlich kleinen 

Zeitabschnitt Dt misst. 

Zum Beispiel ist für Ds ¼ 5 10 6 m 

und Dt ¼ 2 10 6 s: 

v ¼ Ds 

Dt ¼ 5 10 6 m 

2 10 6 m 

¼ 2,5 

s s 

Bewegung 

des Kolbens 

im Zylinder 

Wie Ds und Dt ist auch Dv eine Differenz, 

nämlich die Differenz zweier Momentangeschwindigkeiten, 

z. B. 

Dv ¼ v2 v1 oder Dv ¼ vt v0. 

Beschleunigungsbegriff, dargestellt im 

v, t-Diagramm

152 

Offenbar ist der Quotient aus der Geschwindigkeitszunahme 

und dem zugehörigen Zeitabschnitt 

ein Maß dafür, wie schnell eine bestimmte 

Momentangeschwindigkeit erreicht wird: 

Die Beschleunigung a eines gleichmäßig beschleunigten 

(verzögerten) Körpers ist der Quotient 

aus der Geschwindigkeitsänderung Dv 

und dem zugehörigen Zeitabschnitt Dt. Die Beschleunigung 

ist ein Vektor; mehrere Beschleunigungen 

dürfen also nur geometrisch addiert 

werden. 

Gleichmäßig beschleunigt oder verzögert heißt, 

dass die Beschleunigung oder Verzögerung konstant 

bleibt (a ¼ konstant). Im a, t-Diagramm muss 

die Beschleunigungslinie eine zur t-Achse parallele 

Gerade sein, so wie die Geschwindigkeitslinie im 

v, t-Diagramm bei gleichförmiger Bewegung. 

Die Einheit für die Beschleunigung a ergibt sich in 

gewohnter Weise aus der Definitionsgleichung für 

die Größe. Mit den gesetzlichen Basiseinheiten 

Meter (m) und Sekunde (s) erhält man als Einheit 

das „Meter je Sekundequadrat“. 

Man möchte nun nachweisen, dass im Hinblick 

auf die Fläche unter der Geschwindigkeits-Linie 

im v, t-Diagramm das Gleiche gilt wie für die 

gleichförmige Bewegung: 

Die Geschwindigkeit v ändert sich von v0 ¼ 0am 

Anfang, auf vt am Ende des Zeitabschnittes Dt. 

Weil die Geschwindigkeitsänderung konstant ist, 

ergibt sich die mittlere Geschwindigkeit zu 

vm ¼ðv0þ vtÞ=2 ¼ vt=2, und der zurückgelegte 

Weg zu Ds ¼ vm Dt ¼ vt Dt=2. Das entspricht 

aber auch dem Flächeninhalt der Dreiecksfläche 

unter der v-Linie: 

In jedem v, t-Diagramm entspricht die Fläche A 

unter der Geschwindigkeitslinie dem Wegabschnitt 

Ds (A ¼b Ds). 

Mit dieser Erkenntnis kann man nun einen 

Lösungsplan entwickeln, der alle zur Lösung erforderlichen 

Gleichungen liefert. 

Geschwindigkeitsänderung Dv 

a ¼ 

zugehöriger Zeitabschnitt Dt 

a ¼ Dv 

Dt 

Grundgleichung der gleichmäßig beschleunigten 

(verzögerten) Bewegung 

a, t-Diagramm der gleichmäßig 

beschleunigten Bewegung 

ðaÞ ¼ ðvÞ 

ðtÞ ¼ 

m 

s m 2 

¼ ¼ ms 

s s2 v 

v 0 = 0 

0 

A= s= 

t 

Mittlere Geschwindigkeit vm 

Fläche A ¼b Weg Ds 

Gilt für jede Bewegung 

a Dv Dt 

m 

s 2 

v 0 + vt 

2 

t 

v m 

Beachte: Man braucht nur die Grundgleichung 

a ¼ Dv=Dt im Kopf zu haben; 

alle anderen Gleichungen können aus dem 

v, t-Diagramm abgelesen werden. 

m 

s 

s 

4 Dynamik 

t m 

v = 2v 

t


4.1.5 Arbeitsplan zur gleichmäßig beschleunigten oder verzögerten Bewegung 

v; t-Diagramm aufzeichnen 

Man muss sich klar sein, ob die Bewegung 

beschleunigt (ansteigende v-Linie) oder verzögert 

ist (fallende v-Linie), und ob die Bewegung aus 

dem Ruhezustand heraus erfolgt oder bis zur 

Ruhestellung verläuft. Danach skizziert man das 

v, t-Diagramm (unmaßstäblich). 

Als Beispiel betrachtet man eine gleichmäßig beschleunigte 

Bewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit 

(v0 6¼ 0). 

Grundgleichung aufstellen 

Ausgangsgleichung ist immer die Definitionsgleichung 

für die Beschleunigung a ¼ Dv=Dt. 

Auch die erweiterte Form mit den speziellen Bezeichnungen 

aus dem v, t-Diagramm wird aufgeschrieben: 

hier also mit Dv ¼ vt v0. 

Weggleichungen aufstellen 

Man weiß, dass die Fläche A unter der v-Linie 

dem Wegabschnitt Ds entspricht. Je nach Flächenform 

(hier Trapez) entwickelt man mit den eingetragenen 

Bezeichnungen Gleichungen für Ds, 

zunächst ohne Rücksicht darauf, ob für die spezielle 

Aufgabenstellung alle Gleichungen gebraucht 

werden: In der Praxis muss man häufig 

alle Größen der Bewegung bestimmen. 

Gleichungen auswerten 

Grundgleichung und Weggleichungen bilden ein 

Gleichungssystem mit mehreren Unbekannten. In 

der Regel werden zwei Unbekannte gesucht. Es 

genügen dann meistens die Grundgleichung und 

eine der Weggleichungen zur Lösung. 

Hier nimmt man an, es sei Dt ¼ f ðv0, a, DsÞ 1) gesucht, 

also v0, a, Ds gegeben und der Zeitabschnitt 

Dt die gesuchte Größe. Benutzt man die Gleichsetzungsmethode, 

kann man sowohl die Grundgleichung 

als auch die erste Weggleichung nach vt 

auflösen, beide Gleichungen gleichsetzen und auf 

gewohnte Weise weiterentwickeln. Als Ergebnis 

erhält man eine gemischt-quadratische Gleichung. 

v 

v0 

v 

0 

v-Linie 

v 0 + vt 

A= s= 

2 

t 

a ¼ Dv 

Dt ¼ vt v0 

Dt 

t 

vt 

Ds ¼ v0 þ vt 

Dt (Trapezfläche) 

2 

Dv Dt 

Ds ¼ v0 Dt þ ; Dv ¼ vt v0 

2 

(Rechteckfläche þ Dreieckfläche) 

Ds ¼ vt Dt 

Dv Dt 

; Dv ¼ vt 

2 

v0 

(Rechteckfläche Dreieckfläche) 

1. Schritt 

t 

2. Schritt 

3. Schritt 

4. Schritt 

a ¼ vt v0 

Dt ) vt ¼ v0 þ a Dt (Grundgleichung) 


2 Dt ) vt ¼ 

2 Ds 

Dt 

(erste Weggleichung) 

2 Ds 

v0 þ a Dt ¼ 

Dt 

v0 

ðDtÞ 2 þ 2v0 

a Dt 

2Ds 

¼ 0 

a 

Dt1;2 ¼ v0 

a 

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

v0 

2 2 Ds 

þ 

a a 

Dt ¼ f ðv0, a, DsÞ 1) 

1) Die Schreibweise Dt ¼ f ðv0, a, DsÞ heißt: Dt ist eine Funktion von v0, a, Ds ðist abhängig von v0, a, DsÞ 

v0

154 

Tabelle 4.1 Gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung 

Die Gleichungen gelten auch für den freien Fall ohne Luftwiderstand: Für die Beschleunigung a wird die 

Fallbeschleunigung g ¼ 9,81 m/s 2 eingesetzt. Die Normfallbeschleunigung beträgt gn ¼ 9,80665 m/s 2 . 

Alle Aufgaben des Buches wurden mit g ¼ 9,81 m/s 2 gerechnet. 

Die Gleichungen dieser Tabelle 

gelten in Verbindung mit den 

Bezeichnungen der nebenstehenden 

v, t-Diagramme 

Einheiten 

Ds Dt v0, vt a, g 

m s m 

s 


(Definition) 


(bei v0 ¼ 0) 


(bei v0 6¼ 0) 

Endgeschwindigkeit vt 

(bei v0 ¼ 0) 


(bei v0 6¼ 0) 

Wegabschnitt Ds 

(bei v0 ¼ 0) 


(bei v0 6¼ 0) 

Zeitabschnitt Dt 

(bei v0 ¼ 0) 

m 

s 2 

v 

0 

v-Linie 

Δs = 

Δt 

vtΔt 2 

v t 

Beschleunigte Bewegung 

ohne Anfangsgeschwindigkeit 

(v0 ¼ 0) 

t 

Geschwindigkeitszunahme Dv 

a ¼ in 


m 

s2 a ¼ vt 

2 

vt 2 Ds 

¼ ¼ 

Dt 2 Ds ðDtÞ 2 

a ¼ vt v0 

Dt ¼ vt 2 v0 2 

2 Ds 

vt ¼ a Dt ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 

2a Ds 

vt ¼ v0 þ Dv ¼ v0 þ a Dt 

vt ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

v0 2 p 

þ 2a Ds 

Ds ¼ vt Dt 

2 

¼ aðDtÞ2 

2 

¼ vt 2 

2a 


2 Dt ¼ v0 Dt þ aðDtÞ2 

2 

Ds ¼ vt 2 v0 2 

2a 

Dt ¼ vt 

a ¼ 

rffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

2 Ds 

a 


(bei v0 6¼ 0) Dt ¼ vt v0 v0 

¼ 

a a 


v0 

2 2 Ds 

þ 

a a 

Δv 

v 0 

v 

0 

v-Linie 

v 0 + vt 

Δs = 

2 

Δt 

4 Dynamik 

Δt 

v t 

Beschleunigte Bewegung 

mit Anfangsgeschwindigkeit 

(v0 6¼ 0) 

t


Tabelle 4.2 Gleichmäßig verzögerte geradlinige Bewegung 

Die Gleichungen gelten auch für den senkrechten Wurf nach oben ohne Luftwiderstand: Für die Verzögerung a 

wird die Fallbeschleunigung g ¼ 9,81 m/s 2 eingesetzt. Die Normfallbeschleunigung beträgtgn ¼ 9,80665 m/s 2 . 

Alle Aufgaben des Buches wurden mit g ¼ 9,81 m/s 2 gerechnet. 

Die Gleichungen dieser Tabelle 

gelten in Verbindung mit den 

Bezeichnungen der nebenstehenden 

v, t-Diagramme 

Einheiten 

Ds Dt v0, vt a, g 

m s 

Verzögerung a 

(Definition) 


(bei vt ¼ 0) 


(bei vt 6¼ 0) 

Anfangsgeschwindigkeit v0 

(bei vt ¼ 0) 



(bei vt ¼ 0) 


(bei vt 6¼ 0) 


(bei vt ¼ 0) 

m 

s 

m 

s 2 

v0 

v 

v-Linie 

v0 Δt 

Δs = 

2 

0 Δt t 

verzögerte Bewegung 

ohne Endgeschwindigkeit 

(vt ¼ 0) 

Geschwindigkeitsabnahme Dv 

a ¼ in 


m 

s2 a ¼ v0 

2 

v0 2 Ds 

¼ ¼ 

Dt 2 Ds ðDtÞ 2 

a ¼ v0 vt 

Dt ¼ v0 2 vt 2 

2 Ds 

v0 ¼ a Dt ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 

2a Ds 

vt ¼ v0 Dv ¼ v0 a Dt 

vt ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

v0 2 p 

2a Ds 

Ds ¼ v0 Dt 

2 

¼ aðDtÞ2 

2 


2 Dt ¼ v0 Dt 

Ds ¼ v0 2 vt 2 

2a 

Dt ¼ v0 

a ¼ 


2 Ds 

a 


(bei vt 6¼ 0) Dt ¼ v0 vt v0 

¼ 

a a 

¼ v0 2 

2a 

aðDtÞ 2 

2 


2 2 Ds 

a 

v0 

a 

v0 

v 

v 0 + vt 

Δs = 

2 

0 Δt 

v-Linie 

Δt 

Δv 

vt 

verzögerte Bewegung 

mit Endgeschwindigkeit 

(vt 6¼ 0) 

t

156 

Lehrbeispiele: v,t-Diagramm 


Zwei Wagen A und B fahren mit einer Geschwindigkeit 

von 75 km/h im Abstand von 20 m hintereinander. Der 

vordere Wagen A bremst plötzlich mit einer Verzögerung 

von 3,5 m/s2 . 

Wie viele Sekunden nach dem Bremsen von A fährt B auf? 

Wie groß ist dann die Geschwindigkeit des Wagens A? 

Lösung: 

Das v, t-Diagramm zeigt die Bewegungen als Geraden. Die Flächen darunter entsprechen den zurückgelegten 

Wegen. Im Zeitpunkt t des Einholens hat B einen 20 m längeren Weg als A zurückgelegt, dann ist 

der Abstand auf null gesunken. Diesem Weg Ds ¼ 20 m entspricht die schraffierte Diagrammfläche. 

Dv Dt 

Ds ¼ 

2 

a ¼ Dv 

) Dv ¼ a Dt eingesetzt 

Dt 

a Dt Dt 

Ds ¼ ¼ 

2 

aðDtÞ2 

2 

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

2 Ds 2 20 m 

Dt ¼ ¼ 

a 3,5 m 

s2 v 

u 

t ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

11,43 s2 p 

¼ 3,38 s 

v2 ¼ v1 a Dt ¼ 20,83 m 

s 


3,5 m 

s 

m 

3,38 s ¼ 9,0 2 s 

¼ 32,4 km 

h 

Zwei Wagen A und B fahren im Abstand von 5 m mit der 

gleichen Geschwindigkeit von 36 km/h hintereinander. 

Der vordere Wagen A bremst plötzlich. Wie groß darf die 

Reaktionszeit Dt beim Fahrer des Wagens B höchstens sein, 

damit er nicht auffährt? Die Bremsverzögerung ist für beide 

Wagen gleich. 

Wagen B 

Wagen A 

Lösung: 

Das v, t-Diagramm zeigt, dass B bis zum Stillstand einen längeren Weg zurücklegt als A. Der Unterschied 

darf nicht mehr als 5 m betragen. Dieser Wegdifferenz Ds ¼ 5 m entspricht die schraffierte Diagrammfläche. 

Ds ¼ v Dt ¼ 5m 

Dt ¼ Ds 5m 

¼ 

v 10 m 

¼ 0,5 s 

s 

Der Betrag der Bremsverzögerung hat keinen Einfluss auf die Größe der schraffierten Fläche und damit 

auch nicht auf die Reaktionszeit Dt, solange für beide Wagen die Bremsverzögerung gleich groß ist. 

v 

v 

Δt 

Wagen A 

Δs =20m 

Δt 

Δs=5m 

v 2 Δv 

4 Dynamik 

v 1 

Wagen B 

Δt 

t 

v 

t


4.1.6 Freier Fall und Luftwiderstand 

Bei der Behandlung des freien Falls im Unterricht tritt immer die Frage auf, welchen Einfluss 

der Luftwiderstand auf den Bewegungsablauf hat. 

Bislang war es kaum üblich, neben den physikalischen (Widerstandsbeiwert, Geschwindigkeit) 

auch die mathematischen Zusammenhänge näher zu erläutern und Berechnungen durchzuführen. 

Mit den Rechnern lassen sich heute die Berechnungsgleichungen leicht auswerten. Aus 

diesem Grund wird der freie Fall mit Luftwiderstand ausführlicher behandelt. 

4.1.6.1 Freier Fall ohne Luftwiderstand 

Fällt ein Körper im Vakuum frei abwärts, z. B. in 

einer luftleer gepumpten Glasröhre, dann wirkt auf 

ihn allein die Schwerkraft FG (Gewichtskraft). 

Alle Körper fallen dann gleich schnell. Sie werden 

mit der Fallbeschleunigung g gleichmäßig beschleunigt, 

beim senkrechten Wurf nach oben 

mit g gleichmäßig verzögert. 

Für den freien Fall und für den senkrechten Wurf 

gelten die Gesetze der gleichmäßig beschleunigten 

(verzögerten) Bewegung und damit auch die Gleichungen 

und v, t-Diagramme in den Tabellen 4.1 

und 4.2 (Seite 154, 155). 

4.1.6.2 Luftwiderstand Fw 

Auf jeden in ruhender Luft bewegten Körper, z. B. 

auf ein fahrendes Auto, wirkt unter anderem auch 

der Luftwiderstand Fw bremsend. 

Versuche haben ergeben, dass der Luftwiderstand 

quadratisch mit der Geschwindigkeit v des Körpers 

wächst. Er nimmt linear zu mit der Luftdichte r L 

und mit dem Anströmquerschnitt Ap des Körpers 

(Projektionsfläche). Außerdem beeinflusst die 

Körperform den Luftwiderstand. Dieser Einfluss 

wird durch den Luftwiderstandsbeiwert cw berücksichtigt. 

Beachte: 

Die Fallbeschleunigung g wird mit zunehmendem 

Abstand des Körpers vom Erdmittelpunkt 

kleiner. 

In Erdnähe gilt die Normfallbeschleunigung 

g ¼ 9,80665 m/s 2 . In der Technik wird mit 

g ¼ 9,81 m/s 2 gerechnet. 

Beispiel: 

Für die Endgeschwindigkeit vt eines frei 

fallenden Körpers gilt nach Tabelle 4.1 mit 

a ¼ g: 

vt ¼ g Dt (Dt Zeitabschnitt) 

Fw ¼ cw r L Ap 

2 

v 2 Luftwiderstand 

Beispiele für den Luftwiderstandsbeiwert: 

cw ¼ 0,2 für Kugeln 

cw ¼ 0,3 ...0,4 für Pkw 

Dichte r L ¼ 1,19 kg/m 3 bei 20 C und 

Luftdruck 1000 mbar.

158 

4.1.6.3 Freier Fall mit Luftwiderstand 

Auf den frei fallenden Körper wirkt die Gewichtskraft 

FG lotrecht nach unten. Entgegengesetzt dazu 

wirkt der Luftwiderstand Fw. Dadurch verringert 

sich die Geschwindigkeitszunahme des Körpers 

immer mehr, bis der Gleichgewichtszustand mit 

Fw ¼ FG erreicht ist und die Geschwindigkeit 

v ¼ konstant bleibt. 

Der Körper hat dann die stationäre Sinkgeschwindigkeit 

vs erreicht. 

Mit Hilfe der Gleichgewichtsbetrachtungen nach 

d’Alembert (siehe Seite 195) findet man eine Gleichung 

für den momentanen Bewegungszustand 

des fallenden Körpers im beliebigen Zeitpunkt (t). 

Solange der Körper beschleunigt fällt (a > 0), 

wirkt in Richtung des Luftwiderstandes Fw auch 

die d’Alembert’sche Trägheitskraft T. Es gilt die 

Gleichgewichtsbedingung SFy ¼ 0 unter Einschluss 

der Trägheitskraft T ¼ ma. 

Aus Gleichung (2) lässt sich über eine Differenzialgleichung 

eine Berechnungsgleichung für den 

Betrag der Momentangeschwindigkeit vðtÞ im 

Zeitpunkt (t) entwickeln. 

Mit dieser Gleichung (3) kann für beliebige Zeiten t 

die Momentangeschwindigkeit vðtÞ berechnet werden. 

Die in Gleichung (3) enthaltene stationäre 

Sinkgeschwindigkeit vs hat man vorher mit Gleichung 

(1) ermittelt. 

Wie vs ist auch die Größe ts eine Konstante. Sie ist 

abhängig von der Masse m, dem Luftwiderstandsbeiwert 

cw, der Luftdichte r L , der Projektionsfläche 

Ap und der Fallbeschleunigung g. Gleichung 

(4) wurde nur zu dem Zweck aufgestellt, die Berechnung 

von vðtÞ zu vereinfachen. Man bezeichnet 

ts als Zeitkonstante, weil sie die Zeiteinheit 

Sekunde hat, wie eine Einheitenprobe zeigt. 

FG ¼ Fw 

mg ¼ cwrLAp vs 

2 

2 

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

2mg 

vs ¼ 

cwr L Ap 

(1) 

Stationäre Sinkgeschwindigkeit 

vs m g r L Ap cw 

m 

s 

Nach d’Alembert 

freigemachter Körper 

beim Fallen. 

vðtÞ ist die Fallgeschwindigkeit 

im Zeitpunkt (t). 

SFy ¼ 0 ! T þ Fw FG ¼ 0; T ¼ ma 

ma þ Fw mg ¼ 0j: m 

a þ Fw 

m 

g ¼ 0 

vðtÞ ¼vs tan h t 

ts 

(2) 

(3) 

Momentangeschwindigkeit 

ts ¼ 

kg m 

s 2 

kg 

m 3 

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

2m 

cw rL Ap g 

m 2 1 

ts m cw r L Ap g 

s kg 1 

kg 

m 3 

(4) Zeitkonstante 

m 2 

4 Dynamik 

vðtÞ, vs t, ts 

m 

s 2 

Beachte: Bei der Auswertung der Gleichungen 

(3) und (5) wird vorausgesetzt, dass die 

Luftdichte r L und die Fallbeschleunigung g 

während des Bewegungsablaufs konstant 

bleiben. 

m 

s 

s


Gleichung (3) lässt sich mit dem Rechner leicht 

auswerten, wenn vorher die Konstanten vs (Sinkgeschwindigkeit) 

und ts berechnet wurden. Neu ist 

die Hyperbelfunktion tanh (Tangens Hyperbolicus). 

Aber man braucht den Hyperbelfunktionswert 

nur genauso zu behandeln wie die Kreisfunktionswerte 

sin, cos und tan. Der Taschenrechner hat 

dazu die Taste „hyp“. 

Mit Hilfe der höheren Mathematik kann aus Gleichung 

(3) eine Gleichung für die vom fallenden 

Körper zurückgelegte Wegstrecke sðtÞ entwickelt 

werden (Gleichung (5)). Darin ist ln cosh der 

natürliche Logarithmus der Hyperbelfunktion cosh. 

Zum Abschluss der Untersuchungen des freien 

Falls mit Luftwiderstand werden die Gleichungen 

(3) und (5) ausgewertet und die Graphen vðtÞ und 

sðtÞ konstruiert und diskutiert. Man rechnet mit 

dem Taschenrechner oder schreibt ein einfaches 

PC-Programm. Damit ist dann auch das Zeichnen 

der Graphen möglich. 

Kontrollwerte: 

vð2Þ ¼17,04 m=s sð2Þ ¼18,3 m 

vð4Þ ¼25,2 m=s sð4Þ ¼61,9 m 

vð6Þ ¼27,77 m=s sð6Þ ¼115,4 m 

Beispiel: Für einen Winkel von 30 sind mit 

dem Taschenrechner die Funktionswerte tan 

und tanh zu ermitteln. 

Lösung: Man stellt den Rechner auf den 

RAD-Modus ein (Bogenmaß). 

Dann ergibt 

tan ð30 p=180Þ ¼ 0,57735 

tanh ð30 p=180Þ ¼0,48047 

sðtÞ ¼vsts ln cosh t 

Momentanwegstrecke 

sðtÞ vs t, ts 

m m 

s 

ts 

(5) 

Gegeben: 

Zeitabschnitte t ¼ 0 ...10 s 

Masse m ¼ 1kg 

Luftwiderstandsbeiwert cw ¼ 0,2 (Kugel) 

Luftdichte r L ¼ 1,19 kg/m 3 

Projektionsfläche Ap ¼ 0,1 m 2 

Fallbeschleunigung g ¼ 9,81 m/s 2 

Das Diagramm enthält neben den Kurven vðtÞ und 

sðtÞ auch den Graphen für den freien Fall im 

Vakuum. Dieser Graph vðtÞ ¼g t ist eine ansteigende 

Gerade (siehe Seite 154). Am Graphen vðtÞ 

für den freien Fall unter Berücksichtigung des 

Luftwiderstandes sieht man, dass mit der Zeit t 

der Geschwindigkeitszuwachs laufend kleiner 

wird, bis die stationäre Sinkgeschwindigkeit 

vs ¼ 28,7 m/s erreicht ist. 

Beim Graphen vðtÞ ¼g t dagegen bleibt der 

Geschwindigkeitszuwachs konstant 

Dv ¼ g ¼ 9,81 m=s 2 . Graphen vðtÞ und sðtÞ für den freien Fall 

s

160 

4.1.7 Ûbungen zur gleichmäßig beschleunigten und verzögerten Bewegung 

Es muss konsequent nach dem vorher erarbeiteten Lösungsplan vorgegangen werden, auch 

wenn es in einigen Fällen nicht notwendig erscheint. 

1. Ûbung: Ein Auto wird aus der Geschwindigkeit 

v0 ¼ 100 km/h gleichmäßig bis zum Stillstand abgebremst. 

Die Bremsverzögerung soll a ¼ 6 m/s2 betragen (Notbremsung). 

Es ist eine Gleichung für den Bremsweg Ds zu 

entwickeln und daraus Ds zu berechnen. 

Lösung: Die v-Linie im skizzierten v, t-Diagramm 

ist eine von v0 ¼ Dv abfallende Gerade. Mit v0 

und Dt begrenzt sie eine Dreieckfläche, die dem 

Bremsweg Ds entspricht. 

Die Grundgleichung wird in allgemeiner und spezieller 

Form aufgeschrieben. 

Die Weggleichung wird aus dem v, t-Diagramm 

abgelesen (Dreieckfläche). 

Zum Schluss entwickelt man mit Hilfe der Einsetzungsmethode 

aus Grund- und Weggleichung die 

gesuchte Beziehung Ds ¼ f ðv0; aÞ und berechnet 

daraus den Bremsweg Ds. 

Die Gleichung für Ds steht auch in Tabelle 4.2 

(Seite 155). Die Einheit der gesuchten Größe ergibt 

sich aus den Einheiten der gegebenen Größen. 

In vielen Fällen kommt es in der Technik nicht nur 

auf den Betrag einer Größe an, sondern man will 

auch wissen, in welcher Weise die beteiligten 

Größen voneinander abhängen. 

Gegeben: v0 ¼ 100 km 

h 

a ¼ 6 m 

s 2 

Gesucht: Ds ¼ f ðv0; aÞ 

v = v 

0 

v 

0 

A= s 

t 

a ¼ Dv v0 

¼ 

Dt Dt 

Ds ¼ v0 Dt 

2 

a ¼ v0 v0 

) Dt ¼ 

Dt a 

Ds ¼ v0 Dt 

2 ¼ 

v0 

2 

v0 

Ds ¼ 

2a ¼ 

Ds ¼ f ðv0; aÞ 

v0 

a 

2 

100 m m 

¼ ¼ 27,78 

3,6 s s 

t 

¼ v0 2 

2a 

27,78 m 

s 

2 6 m 

s 2 

2 

4 Dynamik 

¼ 64,3 m 

1. Schritt 

2. Schritt 

3. Schritt 

4. Schritt 

Beispiel: Die Beziehung Ds ¼ f ðv0; aÞ sagt 

aus: Der Bremsweg für Autos wächst mit 

dem Quadrat der Geschwindigkeit.


2. Ûbung: Ein Fahrzeug beschleunigt in 5 s auf 

40 km/h, fährt dann 50 s lang mit dieser Geschwindigkeit 

und bremst in 4 s bis zum Stillstand. 

Es ist der Gesamtweg für diesen Bewegungsvorgang 

zu bestimmen. 

Lösung: In das v, t-Diagramm wird eingetragen: 

Eine ansteigende Gerade über dem Zeitabschnitt 

Dt1, 

daran anschließend die zur t-Achse parallele 

v-Linie über Dt2 und 

abschließend die fallende Gerade über Dt3. 

Dann stellt man die Grundgleichungen für alle drei 

Bewegungsabschnitte auf. 

Die von den v-Linien begrenzte Gesamtfläche wird 

in drei Teilflächen zerlegt: 

A1 ¼b Beschleunigungsweg Ds1 (Dreieck), 

Gegeben: Dt1 ¼ 5s 

Dt2 ¼ 50 s 

Dt3 ¼ 4s 

Dv ¼ 40 km 40 

¼ 

h 3,6 

Gesucht: Ds ¼ f ðDt1; Dt2; Dt3; DvÞ 

v 

0 

A 1 A 2 A 3 

t 1 

v 

t 2 

t 3 

a1 ¼ Dv 

; a2 ¼ 0; a3 ¼ 

Dt1 

Dv 

Dt3 

Dv Dt1 

Ds1 ¼ 

2 

(Dreieckfläche) 

A2 ¼b Weg Ds2 mit Dv ¼ konstant (Rechteck), Ds2 ¼ Dv Dt2 (Rechteckfläche) 

A3 ¼b Verzögerungsweg Ds3 (Dreieck). 

Damit hat man die Weggleichungen und auch die 

gesuchte Bestimmungsgleichtung für Ds. Nun 

kann der Gesamtweg berechnet werden. 

Auch wenn nicht alle Grundgleichungen gebraucht 

werden, schreibt man sie auf, denn die Aufgabenstellungen 

in der Praxis sind immer umfangreicher, 

als das hier darzustellen möglich ist. Meistens wird 

man für alle Größen Gleichungen entwickeln 

müssen. 

Dv Dt3 

Ds3 ¼ 

2 

(Dreieckfläche) 

Ds ¼ Ds1 þ Ds2 þ Ds3 

Dv Dt1 

Ds ¼ 

2 þ Dv Dt2 

Dv Dt3 

þ 

2 

Ds ¼ Dv Dt1 

2 þ Dt2 þ Dt3 

2 

Ds ¼ f ðDt1; Dt2; Dt3; DvÞ 

Ds ¼ 11,11 m 

ð2,5 s þ 50 s þ 2sÞ 

s 

Ds ¼ 605,5 m 

m m 

¼ 11,11 

s s 

t 

1. Schritt 

2. Schritt 

3. Schritt 

4. Schritt

162 

3. Ûbung: Ein Autofahrer fährt mit 120 km/h. Er 

sieht ein Hindernis, bremst nach kurzer Reaktionszeit 

mit einer Verzögerung von 5 m/s2 und kommt 

160 m nach dem Erblicken des Hindernisses zum 

Stehen. 

Gesucht werden die Reaktionszeit DtR (vom Wahrnehmen 

des Hindernisses bis zum Ansprechen der 

Bremse) und der dabei durchfahrene Weg DsR. 

Lösung: Die Gesamtzeit Dt setzt sich zusammen 

aus der Reaktionszeit DtR und der Verzögerungszeit 

DtV. Entsprechend ist der Gesamtweg 

Ds ¼ DsR þ DsV. Dabei muss man beachten, dass 

während der Reaktionszeit DtR die Geschwindigkeit 

v konstant bleibt. DsR entspricht einer Rechteckfläche, 

DsV der Dreiecksfläche. 

Das bedeutet auch, dass man in die Grundgleichung 

den Zeitabschnitt DtV einsetzen muss. 

Im 4. Schritt wird wieder die Gleichsetzungsmethode 

angewandt, indem die Grundgleichung 

und die Weggleichung nach DtV aufgelöst und 

die erhaltenen Ausdrücke gleichgesetzt werden. 

Daraus erhält man DtR ¼ f ðv, a, DsÞ. 

Die Bestimmungsgleichung für DsR entwickelt 

man wieder aus Grund- und Weggleichung, benutzt 

also nicht den vorher berechneten Wert für 

DtR, umDsR ¼ v DtR zu berechnen. Nur mit der 

Bestimmungsgleichung DsR ¼ f ðv, a, DsÞ hat man 

einen Ûberblick über die gegenseitigen Abhängigkeiten 

zwischen den gegebenen Größen und dem 

Reaktionsweg. 

Man bekommt damit auch die Möglichkeit, eine 

echte Probe vorzunehmen. 

Gegeben: v ¼ 120 km m 

¼ 33,33 

h s 

a ¼ 5 m 

s2 Ds ¼ 160 m 

Gesucht: DtR ¼ f ðv, a, DsÞ 

DsR ¼ f ðv, a, DsÞ 

v 

s R 

s V 

v 

0 t t 

R tV a ¼ Dv v 

¼ 

Dt DtV 

Ds ¼ DsR þ DsV 

v DtV 

Ds ¼ v DtR þ 

2 

a ¼ v 

) DtV ¼ 

DtV 

v 

a 

1. Schritt 

2. Schritt 

3. Schritt 

4. Schritt 

v DtV 

Ds ¼ v DtR þ 

2 ) DtV 

2ðDs 

¼ 

v DtRÞ 

v 

2a Ds 

DtR ¼ 

2av 

DtR ¼ f ðv; a; DsÞ 

v2 

DtR ¼ 1,467 s 

Auf gleiche Weise ergibt sich für 

v 

DsR ¼ Ds 

2 

2a 

DsR ¼ f ðv, a, DsÞ 

DsR ¼ 48,9 m 

4 Dynamik 

Probe: 

DsR ¼ v DtR ¼ 33,33 m 

1,467 s ¼ 48,9 m 

s


4. Ûbung: Von einem Turm wird ein Stein fallen 

gelassen. Der Aufschlag des Steines auf den 

Boden wird oben nach Dt ¼ 5,3 s gehört. Die als 

konstant angenommene Schallgeschwindigkeit in 

der Luft beträgt vs ¼ 333 m/s. 

Es soll eine Gleichung zur Bestimmung der Turmhöhe 

h ¼ f ðDt; vs; gÞ entwickelt und damit h 

berechnet werden. 

Lösung: Man unterteilt die Gesamtzeit Dt vom 

Fallbeginn bis zum Höreindruck in die Fallzeit Dtf 

und die Schallzeit Dts. Während der Fallzeit Dtf ist 

die v-Linie eine von 0 bis ve ansteigende Gerade 

(freier Fall mit Aufschlaggeschwindigkeit ¼ Endgeschwindigkeit 

ve). Da der Schall mit konstanter 

Geschwindigkeit vs nach oben steigt, verläuft die 

v-Linie während der Schallzeit Dts waagerecht 

(gleichförmige Bewegung). 

Stein und Schall müssen den gleichen Weg zurücklegen: 

Turmhöheh ¼ Fallweg Dsf ¼ Schallweg Dss. 

Im v, t-Diagramm muss demnach die Dreieckfläche 

A1 gleich der Rechteckfläche A2 sein. 

In den Nenner der Grundgleichung wird aus der 

Bedingung Dt ¼ Dtf þ Dts ) Dtf ¼ Dt Dts eingesetzt. 

Die Weggleichung für die Turmhöhe h findet man 

aus der Dreieckfläche A1 ¼b ve Dtf=2 und der 

Rechteckfläche A2 ¼b vs Dts. Beide Flächen sind 

gleich groß. 

Grund- und Weggleichung löst man nach der Endgeschwindigkeit 

ve auf und setzt die gefundenen 

Ausdrücke gleich. Aus der zweiten Weggleichung 

(h ¼ vs Dts) setzt man für die Schallzeit 

Dts ¼ h=vs und schreibt den Klammerausdruck 

ðDt h=vsÞ 2 in der dreigliedrigen Form 

Dt 

h 

vs 

2 

¼ Dt 2 

2 Dt h 

vs 

þ h2 

vs 2 

Gegeben: a ¼ g ¼ 9,81 m 

s2 vs ¼ 333 m 

; Dt ¼ 5,3 s 

s 

Gesucht: h ¼ f ðDt; vs; gÞ 

v 

0 

e f 

v = gt Aufschlag 

tf 

t 

A 1 = sf 

a ¼ g ¼ Dv ve 

¼ 

Dt Dtf 

h ¼b A1 ¼ A2 

h ¼ Dsf ¼ Dss 

h ¼ ve Dtf 

2 ¼ vs Dts 

ts 

Höreindruck 

vs 

A 2 = ss 

ve 

¼ 

Dt Dts 

1. Schritt 

t 

2. Schritt 

3. Schritt 

4. Schritt 

ve ¼ gðDt DtsÞ ¼ 2h 2h 

¼ 

Dtf Dt Dts 

2h 

gðDt DtsÞ ¼ 

Dt Dts 

h ¼ g 

2 ðDt DtsÞ 2 für Dts ¼ h 

eingesetzt: 

vs 

h ¼ g 

2 Dt 

2 

h 

vs

164 

Abschließend wird die Gleichung auf die Normalform 

gebracht und nach h aufgelöst. Das ist die 

gesuchte Bestimmungsgleichung für die Turmhöhe 

h. 

Von den beiden berechneten Beträgen für die 

Turmhöhe kann nur h2 ¼ 119,7 m richtig sein, wie 

die Auswertung der Gleichung h ¼ vs Dts 

(3. Schritt) mit h1 ¼ 26017 m ergibt: 

Schallzeit Dts ¼ h1 

¼ 

vs 

26 017 m 

333 m 

s 

¼ 78,1 s 

Bei dieser Turmhöheh1 wäre die Schallzeit Dts größer 

als die Gesamtzeit: Dts ¼ 78,1 s > Dt ¼ 5,3 s. 


4.1.8 Zusammengesetzte Bewegungen 

4.1.8.1 Kennzeichen der zusammengesetzten Bewegung 

Beim Kopieren eines Kegelstumpfes auf der Drehmaschine 

soll die Meißelspitze vom Anfangspunkt 

A zum Endpunkt E wandern. Der Drehmeißel wird 

dabei gleichzeitig 

vom Bettschlitten mit dem Längsvorschub sl und 

vom Planschlitten mit dem Planvorschub sp 

geradlinig bewegt. Zwei Einzelbewegungen „überlagern“ 

sich hier zu einer resultierenden (zusammengesetzten) 

Bewegung: 

Eine zusammengesetzte Bewegung entsteht 

durch Ûberlagerung von Einzelbewegungen. 

h ¼ g 

2 Dt2 

h 2 

h 

2vs 2 

g 

2 

vs 

h1;2 ¼ 

2 Dt h h2 

þ 

vs vs 2 

g Dt 

1 þ 

vs 

þ vs 2 Dt 2 ¼ 0 

g 

g Dt 

1 þ 

vs 


g Dt 

1 þ 

2 

vs 2 Dt2 s 

vs 2 

g 

h ¼ f ðDt, vs, gÞ 

h1 ¼ 26017 m 

h2 ¼ 119,7 m 

vs 

Zusammengesetzte Bewegung 

4 Dynamik 

Die Einzelbewegungen können gleichförmig 

oder ungleichförmig sein; sie können in beliebiger 

Richtung zueinander verlaufen.


4.1.8.2 Ûberlagerungsprinzip 

Theoretisch erreicht man den Endpunkt E der 

Meißelspitze auch, wenn man von A ausgehend 

zunächst den Längsvorschub allein laufen lässt, 

bis Punkt B erreicht ist, und dann anschließend mit 

dem Planvorschub bis E fährt. Auch in umgekehrter 

Reihenfolge wird das Ziel erreicht: 

Man findet den Ort eines Körperpunktes bei 

zusammengesetzter Bewegung, indem man die 

Einzelbewegungen gedanklich nacheinander 

ausführt. Die Reihenfolge ist beliebig. 

Das Ûberlagerungsprinzip wird in der Technik 

häufiger angewendet, wenn resultierende Wirkungen 

leichter ermittelt werden sollen. Ein markantes 

Beispiel ist die Berechnung der Durchbiegung 

eines Biegeträgers, der durch beliebig viele Kräfte 

belastet wird. 

Geometrische Addition von Wegen 

Zur Lösung von Aufgaben setzt man die für 

die Einzelbewegung gültigen Gesetze an 

(siehe waagerechter Wurf, Seite 167). 

Hinweis: Siehe auch: Festigkeitslehre, 

Abschnitt 5.9.10, die 5. Ûbung, Seite 350. 

4.1.8.3 Zusammensetzen und Zerlegen von Wegen, Geschwindigkeiten und 

Beschleunigungen 

Soll ein Körper oder Körperpunkt von A nach E 

gelangen, dann kann diese Ortsveränderung auf 

verschiedene Weise ablaufen. Der kürzeste Weg 

wird durch den „Ortsvektor s“ gekennzeichnet. 

Aber auch mit den beiden rechtwinklig aufeinander 

stehenden Ortsvektoren sx, sy kommt man von 

A nach E, oder mit den beiden beliebig gerichteten 

Ortsvektoren s1, s2. Wie alle Vektoren sind auch 

die Ortsvektoren eindeutig bestimmt durch ihren 

Betrag (z. B. s ¼ 4 m), durch ihre Richtung (z. B. 

a ¼ 30 ) und durch den Richtungssinn (Pfeil zeigt 

von A nach E). Das Gleiche gilt für Geschwindigkeiten 

und Beschleunigungen: 

Wege (Wegabschnitte) s, Geschwindigkeiten v 

und Beschleunigungen a sind Vektoren (gerichtete 

Größen). Sie werden rechnerisch und 

zeichnerisch behandelt wie Kräfte, also geometrisch 

addiert. 

Geometrische Addition von Wegen, 

Geschwindigkeiten und Beschleunigungen 

Wie bei Kräften gilt der Parallelogrammsatz; 

Längs- und Parallelverschiebungssatz sowie 

Erweiterungssatz haben hier keinen Sinn 

(siehe Statik).

166 

4.1.9 Ûbungen zur zusammengesetzten Bewegung 

4.1.9.1 Ûberlagerung von zwei gleichförmig geradlinigen Bewegungen 

1. Ûbung: Der Laufkran in einer Gießerei fährt 

mit der Geschwindigkeit v1 ¼ 120 m/min. Gleichzeitig 

bewegt sich rechtwinklig zur Fahrtrichtung 

die Laufkatze mit v2 ¼ 40 m/min. 

Es soll die Geschwindigkeit der an der Laufkatze 

hängenden Last und der Neigungswinkel a des 

Lastweges zur Fahrtrichtung des Krans bestimmt 

werden. 

Lösung: Die beiden Geschwindigkeitsvektoren 

stehen rechtwinklig aufeinander. Die gesuchte Geschwindigkeit 

vr ist die Resultierende aus diesen 

beiden Vektoren. Sie wird, wie bei den Kräften, 

mit dem Lehrsatz des Pythagoras berechnet. 

Aus dem Geschwindigkeitsdreieck erkennt man, 

dass sich der Neigungswinkel a über die Tangensfunktion 

bestimmen lässt. 

2. Ûbung: Ein Boot überquert vom Punkt A aus 

einen Fluss. Die Eigengeschwindigkeit des Bootes 

beträgt v1 ¼ 30 km/h und liegt unter dem Winkel 

a ¼ 30 zur Stromrichtung. Durch die Strömungsgeschwindigkeit 

v2 ¼ 10 km/h wird das Boot aus 

seiner Fahrtrichtung abgelenkt und erreicht das 

gegenüberliegende Ufer im Punkt B. 

Zu bestimmen sind: 

a) die resultierende Geschwindigkeit vr des 

Bootes, 

b) der Winkel b, 

c) die Strecke l2. 

Lösung: Man skizziert das Geschwindigkeitsdreieck 

aus v1, v2, vr und trägt die Winkel ein. Nach 

dem Parallelogrammsatz muss die resultierende 

Geschwindigkeit vr vom Anfangspunkt der zuerst 

gezeichneten zum Endpunkt der zuletzt gezeichneten 

Geschwindigkeit (hier v2) gerichtet sein. Ûber 

den Kosinussatz berechnet man dann vr. Natürlich 

kann auch die zeichnerische Lösung allein oder 

zusätzlich angefertigt werden. 

Lageskizze 

vr ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

v1 2 þ v2 2 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

p 

¼ 120 m 2 

þ 40 

min 

m 

r 

2 

min 

vr ¼ 126,491 m m 

¼ 2,108 

min s 

a ¼ arctan v2 

40 

¼ arctan 

v1 

m 

min 

120 m ¼ 18,4 

min 

vr ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

v1 2 þ v2 2 p 

2v1v2 cos a 

vr ¼ 21,918 km 

h 

4 Dynamik 

Lageskizze 

Geschwindigkeitsskizze


Mit dem Sinussatz wird eine Gleichung zur Berechnung 

des Winkels d zwischen den Geschwindigkeitsvektoren 

v1 und vr entwickelt. Der Richtungswinkel 

b der resultierenden Geschwindigkeit 

vr ist die Winkelsumme a þ d. 

Zum Schluss findet man über die Tangensfunktion 

die gesuchte Strecke l2. 

sin a sin d 

¼ ) sin d ¼ v2 

sin a 

vr 

d ¼ arcsin 

v2 

10 km 

h 

21,918 km 

h 

b ¼ a þ d ¼ 43,187 

l2 ¼ l1 480 m 

¼ 

tan b tan 43,187 

vr 

sin 30 ¼ 13,187 

¼ 511,4 m 

4.1.9.2 Ûberlagerung von gleichförmiger und gleichmäßig beschleunigter Bewegung 

a) Waagerechter Wurf (ohne Luftwiderstand) 

Ein Körper, z. B. eine Kugel, bewegt sich auf horizontaler 

Unterlage in x-Richtung mit konstanter 

Geschwindigkeit v0. Sobald die Kugel die Unterlage 

verlassen hat, unterliegt sie den Gesetzen des 

freien Falls. Der gleichförmigen Bewegung in 

x-Richtung überlagert sich eine gleichmäßig beschleunigte 

Bewegung in y-Richtung. Wie man 

später aus der Weggleichung sehen wird, ist die 

Wurfbahn eine Parabel. 

Man stellt nun die beiden Einzelbewegungen im 

v, t-Diagramm dar und liest daraus die Berechnungsgleichungen 

ab. 

Das v, t-Diagramm für die Horizontalbewegung 

des Körpers beim waagerechten Wurf ist das typische 

Diagramm für die gleichförmige Bewegung 

mit v0 ¼ vx ¼ konstant und dem Flächeninhalt 

Ax ¼b sx ¼ v0 tx. 

Das v, t-Diagramm für die Vertikalbewegung ist 

das typische Diagramm für den freien Fall ohne 

Luftwiderstand und ohne Anfangsgeschwindigkeit 

(vy ¼ 0). Auch hier kann die Weggleichung abgelesen 

werden: Ay ¼b h ¼ vytx=2. 

Damit stehen alle Gleichungen zur Verfügung, die 

für einen beliebigen speziellen Fall gebraucht werden. 

Es ist also nur eine Frage der mathematischen 

Geschicklichkeit, wie schnell eine Lösung gefunden 

wird. Zwei Ûbungen sollen den Weg zeigen. 

v0 

v 

A = s = v t 

x x 0 x 

0 tx 

t 

v 

g= vy 

tx 

vytx A y = h = 

2 

vy 

0 tx t 

sx ¼ v0 tx 

g ¼ vy 

tx 

h ¼ vytx 

2 

Weggleichung 

(Wurfweite) 

vy ¼ gtx Grundgleichung 

2 2 

vy gtx 

¼ ¼ 

2g 2 

Weggleichungen 

(Fallhöhe)

168 

1. Ûbung: Von einem h ¼ 80 m über der Auftreffebene 

liegenden Punkt wird ein Körper mit 

v0 ¼ 297 m/s horizontal abgeschossen. 

Gesucht wird die Wurfweite sx. 

Lösung: Für die horizontale (gleichförmige) Bewegung 

gilt die Weggleichung sx ¼ v0tx. Der freie 

Fall (die vertikale Bewegung) wird durch die Weggleichungen 

für die Fallhöhe erfasst. Die hier 

zweckmäßigste ist die Gleichung h ¼ gtx 2 =2, weil 

sie nicht die zusätzliche Unbekannte vy enthält. 

Beide Gleichungen löst man nach tx auf, setzt sie 

gleich und erhält die Bestimmungsgleichung 

sx ¼ f ðv0, h, gÞ, nach der sx berechnet wird. 

2. Ûbung: Man möchte sich nun Klarheit darüber 

verschaffen, wie die Wurfbahn beim waagerechten 

Wurf aussieht. Zunächst wird die allgemeine 

Beziehung für die Wurfbahn gesucht, d. h. es muss 

eine Funktionsgleichung für die Fallhöhe h in Abhängigkeit 

von der Wurfweite sx gefunden werden. 

Diese Beziehung wurde für die vorhergehende 

Ûbung schon entwickelt, sie braucht nur umgestellt 

zu werden. 

Fallbeschleunigung g und horizontale Geschwindigkeit 

v0 sind konstante Größen, so dass man den 

Quotienten g=2v0 2 als Konstante k einsetzen kann. 

Damit hat man die gesuchte Funktionsgleichung 

in der übersichtlichsten Form. Sie zeigt, dass die 

Fallhöhe h beim waagerechten Wurf mit dem Quadrat 

der Wurfweite wächst. Als Wurfbahn ergibt 

sich damit eine Parabel ( y ¼ kx 2 ). 

Trägt man h als y-Wert und sx als x-Wert in einem 

Koordinatensystem auf, erhält man die allgemeine 

Form y ¼ kx 2 der Parabel. 

Gegeben: a ¼ g ¼ 9,81 m 

s2 h ¼ 80 m 

v0 ¼ 297 m 

s 

Gesucht: sx ¼ f ðv0, h, gÞ 

horizontale vertikale 

Bewegung Bewegung 

sx ¼ v0 tx 

2 gtx 

h ¼ 

2 

tx ¼ sx 

v0 

sx ¼ v0 

sffiffiffiffiffiffi 

2h 

g 

tx ¼ 


2h 

g 

sx ¼ 297 m 

s 

sx ¼ f ðv0, h, gÞ sx ¼ 1 199,4 m 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

2 80 m 

9,81 m 

s2 v 

u 

t 

Aus der obigen Ûbung wird übernommen: 


2h 

sx ¼ v0 ¼ f ðv0, h, gÞ 

g 

Nach Quadrieren und Umstellen folgt daraus: 

h ¼ g h Fallhöhe 

2 

sx 

2v0 

2 g Fallbeschleunigung 

v0 horizontale 

h ¼ f ðg; v0; sxÞ Geschwindigkeit 

sx Wurfweite 

g 

¼ konstant ¼ k 

2v0 

2 

h ¼ ksx 2 

4 Dynamik 

Gleichung der Wurfbahn beim waagerechten 

Wurf (Wurfparabel)


Mit der Funktionsgleichung h ¼ ksx 2 soll die 

Wurfparabel punktweise berechnet werden, z. B. 

für die horizontale Geschwindigkeit v0 ¼ 3 m/s. 

Zunächst wird die Konstante bestimmt: 

k ¼ g 9,81 

¼ 

2v0 

2 m 

s2 2 9 m2 

s2 ¼ 0,545 1 

m 

Damit berechnet man für die Wurfweiten 

sx ¼ 1 m, 2 m und 3 m die zugehörigen Fallhöhen 

h und trägt diese Beträge in die Wertetabelle ein. 

Die zueinander gehörenden Werte von sx und h 

sind die Koordinaten jeweils eines Punktes der 

Wurfbahn, die man damit aufzeichnen kann. 

Die resultierende Geschwindigkeit vr lässt sich für 

jeden Bahn- und Zeitpunkt aus dem Geschwindigkeitsdreieck 

berechnen (Pythagoras). 

Der Geschwindigkeitsvektor vr liegt auf der Tangente 

T des jeweiligen Bahnpunktes, z. B. Punkt B. 

Der Winkel a des Vektors vr ergibt sich aus 

tan a ¼ vy=v0. 


Wurfparabel für 

den waagerechten 

Wurf 

vr ¼ 

vr ¼ 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

v0 2 þ vy 2 

q 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

v0 2 þðgtÞ 2 

q 

Geschwindigkeit vr 

nach der Wurfzeit t 

vr ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

v0 2 p Geschwindigkeit vr 

þ 2gh nach der Fallhöhe h 

a ¼ arctan vy 

v0 

a ¼ arctan gt 

v0 

Wertetabelle 

sx 

h 

1 m 0,545 m 

2 m 2,18 m 

3 m 4,905 m 

Richtungswinkel a

170 

b) Schräger Wurf (ohne Luftwiderstand) 

Beim schrägen Wurf wird ein Körper mit der 

Abwurfgeschwindigkeit v0 unter dem Steigungswinkel 

a0 abgeworfen. Seine Wurfbahn ist wie 

beim waagerechten Wurf eine Parabel. 

Liegen Abwurf- und Auftreffpunkt auf gleicher 

Höhe, sind Abwurf- und Auftreffgeschwindigkeit 

v0 gleich groß, ebenso deren Winkel a0. Voraussetzung: 

kein Luftwiderstand. 

Man zerlegt den Geschwindigkeitsvektor v0 in die 

beiden Komponenten v0x und v0y. Es gilt auch hier 

das Ûberlagerungsprinzip: 

Der gleichförmigen Horizontalbewegung mit 

v0x ¼ konstant ist die gleichmäßig beschleunigte 

und dann verzögerte Vertikalbewegung mit 

v0y 6¼ konstant überlagert. 

Die Vertikalbewegung ist schon bekannt. Es ist der 

senkrechte Wurf mit anschließendem freien Fall. 

Das zeigt auch das v, t-Diagramm c), das bereits 

bekannt ist (Seite 154): Die Vertikalkomponente vy 

der Abwurfgeschwindigkeit v0 nimmt von v0y laufend 

bis auf null ab (wenn hmax erreicht ist), um 

dann wieder bis auf v0y ¼ v0y zuzunehmen. Für 

die weiteren Rechnungen hat das Vorzeichen (entgegengesetzter 

Richtungssinn) keine Bedeutung. 

Es werden die v, t-Diagramme ausgewertet: 

Die Grundgleichung (1) schreibt man mit den speziellen 

Bezeichnungen. 

Diagramm b) liefert die Weggleichung (2) für die 

Wurfweite als Funktion der Zeit t. v0 und a0 sind 

Konstante. 

Diagramm c) liefert die Weggleichungen für die 

Vertikalbewegung. Das sind die Gleichungen für 

die Wurfhöhe h in Abhängigkeit von den Geschwindigkeiten 

v (3) und von der Zeit t (4) und 

(5). Für die letzte Form der Gleichung (3) wird aus 

(1) für tx ¼ðv0y vyÞ=g eingesetzt. Das Binom 

ergibt ðv0y þ vyÞðv0y vyÞ ¼v0y 2 

vy 2 . 

a) s, h-Diagramm (Wurfparabel) 

b) v, t-Diagramm der Horizontalbewegung 

c) v, t-Diagramm der Vertikalbewegung 

Beachte: Es ist v0x ¼ v0 cos a0 

g ¼ Dv 

tx 

¼ v0y vy 

tx 

v0y ¼ v0 sin a0 

sx ¼ v0 cos a0 tx (2) 

(1) Grundgleichung 

Weggleichung 

(Wurfweite) 

h ¼ v0y þ vy 

tx ¼ 

2 

v0y 2 vy 2 

2g (3) 

h ¼ vytx þ g 2 

tx 

2 

h ¼ v0 sin a0 tx 

(4) 

g 2 

tx 

2 

Beachte: v0y ¼ v0 sin a0 

(5) 

4 Dynamik 

Weggleichungen 

(Wurfhöhe)


Zur Konstruktion der Wurfbahn muss man wie 

beim waagerechten Wurf die Abhängigkeit der 

Wurfhöhe h von der Wurfweite sx kennen, also 

eine Funktionsgleichung für h entwickeln, in der 

die Zeit t nicht erscheint. Dazu löst man die Gleichung 

sx ¼ v0 cos a0tx nach tx auf und setzt den 

gefundenen Ausdruck in die Gleichung für die 

Wurfhöhe h ¼ v0 sin a0tx gtx 2 =2 ein (Gleichung 

(5)). Damit erhält man h ¼ f ðsx, g, v0, a0Þ. 

Die Größen g, v0, tana0 und cos a0 sind 

konstante Größen. Mit den beiden Konstanten 

k1 ¼ tan a0 und k2 ¼ g=2v0 2 cos 2 a0 erhält man 

die Funktionsgleichung in der zweckmäßigsten 

Form für die punktweise Berechnung der Wurfparabel. 

Es werden nun noch einige häufig gebrauchte 

Gleichungen entwickelt: 

Die Steigzeit ts erhält man aus der Gleichung 

vy ¼ v0 gt (siehe v, t-Diagramm c) und der 

Ûberlegung, dass im Scheitelpunkt der Wurfparabel 

die Geschwindigkeit in y-Richtung vy ¼ 0 ist 

(Richtungsumkehr der senkrechten Teilbewegung). 

Die Scheitelhöhe hmax ist der Weg der verzögerten 

Bewegung in vertikaler Richtung während der 

Steigzeit ts (Dreieckfläche im v, t-Diagramm c). 

Für ts wird die in Gleichung (8) entwickelte Beziehung 

eingesetzt. 

Die gesamte Wurfzeit T bis zum Aufschlag ist das 

Doppelte der Steigzeit (immer unter Vernachlässigung 

des Luftwiderstandes). 

Die größte Wurfweite smax erhält man mit der 

Wurfzeit T. Dann ist smax ¼ v0xT ¼ v0 cos a0T. 

Für T wird der vorher entwickelte Ausdruck eingesetzt 

und für 2 sin a0 cos a0 ¼ sin 2a0 (siehe 

Handbuch Maschinenbau). 

Bei gegebener Abwurfgeschwindigkeit v0 hängt 

smax nur noch vom Steigungswinkel a0 ab. Da der 

Sinus eines Winkels nicht größer als 1 werden 

kann, wird der Maximalwert für die größte Wurfweite 

dann erreicht, wenn sin 2a0 ¼ 1 ist. Das ist 

der Fall, wenn 2a0 ¼ 90 und damit der Steigungswinkel 

a0 ¼ 45 beträgt. 

sx ¼ v0 cos a0tx ) tx ¼ 

h ¼ v0 sin a0tx 

h ¼ v0 sin a0 

h ¼ sx tan a0 

gtx 2 

2 

sx 

v0 cos a0 

h ¼ f ðsx, g, v0, a0Þ 

g 

sx 

v0 cos a0 

gsx 2 

2v0 2 cos 2 a0 

2v0 2 cos2 sx 

a0 

2 (6) 

h ¼ k1sx k2sx 2 (7) 

Gleichung der Wurfbahn beim schrägen Wurf 

(Wurfparabel) 

vy ¼ v0y gtx; v0y ¼ v0 sin a0; tx ¼ ts 

vy ¼ v0 sin a0 gts ¼ 0 

ts ¼ v0 sin a0 

g 

hmax ¼ v0y ts 

2 ¼ v0 sin a0 ts 

2 

hmax ¼ v0 2 sin 2 a0 

2g 

T ¼ 2v0 sin a0 

g 

(8) Steigzeit 

(9) Scheitelhöhe 

(10) Wurfzeit 

2v0 sin a0 

smax ¼ v0 cos a0T ¼ v0 cos a0 

g 

smax ¼ v0 2 sin 2a0 

g 

(11) 

größte 

Wurfweite 

Größter Wert für smax bei a0 ¼ 45 , weil dann 

sin 2a0 ¼ sin 90 ¼ 1 ist. 

Beachte: Die hier entwickelten Gleichungen 

gelten auch für den waagerechten Wurf, wenn 

in den Gleichungen a0 ¼ 0 gesetzt wird. 

Der waagerechte Wurf ist also nur ein 

Sonderfall des schrägen Wurfs.

172 

Die Momentangeschwindigkeit v in einem beliebigen 

Bahnpunkt P1 nach dem Zeitabschnitt tx, ist 

die Resultierende der momentanen Vertikalgeschwindigkeit 

vy ¼ v0 sin a0 gtx (v, t-Diagramm 

c), Seite 170) und der konstanten Horizontalgeschwindigkeit 

v0x ¼ v0 cos a0. 

Man erhält die Momentangeschwindigkeit v in 

Abhängigkeit von der Abwurfgeschwindigkeit v0, 

dem Steigungswinkel a0, dem Zeitabschnitt tx und 

der Fallbeschleunigung g. 

Soll der Zeitabschnitt tx in Gleichung (12) aus der 

Wurfhöhe h ermittelt werden, hilft die Gleichung 

(5) weiter: 

Man formt die Gleichung zur Normalform einer 

gemischt quadratischen Gleichung um. Danach 

stellt man die Lösungsformel für tx1/2 auf und 

schreibt die endgültige Form mit v0y ¼ v0 sin a0. 

Mit der Weggleichung (2) ist dann auch der Wegabschnitt 

sx zu berechnen. 

Beim Berechnen des Zeitabschnitts tx nach Gleichung 

(13) ergeben sich zwei Werte tx1 und tx2. 

Beide Werte sind richtig, denn die Wurfparabel 

(Seite 170) schneidet eine Höhenlinie in den beiden 

Punkten P1 und P2. Die zugehörigen Zeitabschnitte 

sind die berechneten Werte tx1 und tx2. 

Den momentanen Richtungswinkel a an der Wurfparabel 

im s, t-Diagramm a) auf Seite 170 erhält 

man aus dem rechtwinkligen Dreieck mit der 

Kosinusfunktion. 

v ¼ 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

v0x 2 þ vy 2 

q 

v0x ¼ v0 cos a0; vy ¼ v0 sin a0 gtx 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

v ¼ ðv0 cos a0Þ 2 þðv0 sin a0 gtxÞ 2 

q 

(12) 

Geschwindigkeit vðtÞ 

Beachte: In dieser Gleichung muss für den 

Winkel a0 immer der spitze Winkel zur positiven 

x-Achse eingesetzt werden (siehe Wurfparabel 

Seite 170). 

h ¼ v0y tx 

g 

2 tx 2 (Gleichung (5)) 

tx 2 2v0y 

g tx þ 2 

h ¼ 0 

g 

tx1=2 ¼ v0y 

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

g 

v0y 

g 

2 

2h 

g 

tx1=2 ¼ v0 

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

sin a0 

g 

Zeitabschnitt txðhÞ 

v0 sin a0 

g 

2 

2h 

g 

(13) 

Beispiel: Ein Körper wird mit v0 ¼ 100 m/s 

unter a0 ¼ 60 abgeworfen. Die Rechnung 

nach (13) mit h ¼ 300 m ergibt (aus Platzgründen 

ohne Einheiten geschrieben): 

100 sin 60 

tx1 ¼ 

s 

9,81 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

2 

100 sin 60 2 300 

9,81 9,81 

tx1 ¼ 12,9 s 

tx2 ¼ 4,73 s 

cos a ¼ v0x 

v ¼ v0 cos a0 

v 

a ¼ arccos v0 cos a0 

v 

(14) 

4 Dynamik


1. Ûbung: Das s; h-Diagramm, Bild a), zeigt die 

Wurfparabel eines schrägen Wurfs, bei dem die 

Abwurfebene (Punkt E1) nicht zugleich Auftreffebene 

ist. Diese liegt um die Fallhöhe hE tiefer 

(Punkt E2). 

Gegeben: Abwurfgeschwindigkeit v0 ¼ 10 m/s 

Abwurfwinkel a0 ¼ 50 

Fallhöhe hE ¼ 2m 

Gesucht: Gesamtzeit t, Wurfweite s, Auftreffgeschwindigkeit 

vE, Auftreffwinkel aE, 

Teilzeit tE und Teilweg s E. 

Lösung: Es sollte nicht versucht werden, die bereits 

hergeleiteten Gleichungen für die symmetrische 

Wurfparabel (Seite 170) auf den vorliegenden 

Fall anzuwenden. Das führt leicht zu Fehlern. Daher 

skizziert man für jeden speziellen Fall, so wie 

hier, die zugehörigen v, t-Diagramme b) und c) 

und wertet die Diagramme wie gewohnt aus. Gegenüber 

den Diagrammen, Seite 170, braucht man 

nur die vx- und die vy-Linie bis zum Auftreffpunkt 

E2 zu verlängern. 

Wurfzeit t und Teilzeit tE: Die gesamte Wurfzeit t 

setzt sich zusammen aus der Wurfzeit T nach Gleichung 

(10) und der Teilzeit tE für den Teilweg sE 

und für die Fallhöhe hE. 

Eine Gleichung für die Teilzeit tE erhält man mit 

der Weggleichung hE nach dem v, t-Diagramm c). 

Darin entspricht die Trapezfläche A ¼b Fallhöhe 

hE ¼ v0y tE þ gtE 2 =2. 

Die gemischt-quadratische Gleichung liefert eine 

Beziehung für die Teilzeit tE. 

Mit v0 ¼ 10 m/s, a0 ¼ 50 und hE ¼ 2 m erhält 

man als physikalisch sinnvolle Teilzeit 

t E ¼ t E1 ¼ 0,228 s. 

Mit Gleichung (10) bekommt man die Gesamtzeit 

t ¼ T þ t E ¼ 2v0 sin a0=g þ t E. 

a) s; h-Diagramm (Wurfparabel) 

b) v, t-Diagramm der Horizontalbewegung 

c) v, t-Diagramm der Vertikalbewegung 

A ¼b hE ¼ v0y tE þ g 2 

tE 

2 

tE 2 þ 2 

g v0y 

2 

tE 

g hE ¼ 0 

tE1=2 ¼ v0y 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

g 

v0y 

g 

2 

þ 2hE 

s 

g 

Mit v0y ¼ v0 sin a0 erhält man 

tE1=2 ¼ v0 sin a0 

g 

Teilzeit 

tE1 ¼ 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

2 

v0 sin a0 

þ 

g 

2hE 

s 

g 

(15) 

10 m=s sin 50 

9,81 m=s2 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

10 m=s sin 50 

9,81 m=s2 2 

2 2m 

þ 

9,81 m=s2 s 

tE1 ¼ 0,228 s; tE2 ¼ 1,7896 s 

2 10 m=s sin 50 

t ¼ 

9,81 m=s2 þ 0,228 s ¼ 1,79 s

174 

Um auf direktem Weg die Gesamtzeit t berechnen 

zu können, werden die beiden Gleichungen (10) 

und (15) zu einer Gleichung zusammen gefasst. 

Man erhält dann die Gleichung (16). 

Auch hier ergibt nur der positive Wurzelwert ein 

physikalisch sinnvolles Ergebnis. 

Auftreffgeschwindigkeit vE: Sie ist die Resultierende 

aus der Horizontalgeschwindigkeit 

v0x ¼ v0 cos a0 und der Vertikalgeschwindigkeit vy, 

die sich nach Bild c) Seite 173 zusammensetzt aus: 

v0y ¼ v0 sin a0 und gtE. 

Der Auftreffwinkel aE kann mit Gleichung (14) 

berechnet werden, wenn man für v ¼ vE einsetzt. 

Wurfweite s und Teilweg sE: Der Teilweg sE ist 

nach Bild b) Seite 173 aus 

t1=2 ¼ T þ tE1=2 ¼ 2 v0 sin a0 

þ tE1=2 g 

t 1=2 ¼ 2 v0 sin a0 

g 

t 1=2 ¼ v0 sin a0 

g 

Gesamtzeit 

v0 sin a0 

g 

... 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

2 

v0 sin a0 

þ 

g 

2hE 

s 

g 

vE ¼ 


v0x 2 þ vy 2 

q 

v0x ¼ v0 cos a0; vy ¼ v0y þ gtE 

(16) 

vy ¼ v0 sin a0 þ gtE 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

vE ¼ ðv0 cos a0Þ 2 þðv0 sin a0 þ gtEÞ 2 

q 

Auftreffgeschwindigkeit 

(17) 

Rechnung aus Platzgründen ohne Einheiten: 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

vE ¼ ð10 cos 50 Þ 2 þð10 sin 50 þ 9,81 0,228Þ 2 

q 

vE ¼ 11,8 m 

s 

aE ¼ arccos v0 cos a0 

aE ¼ 57 

vE 

sE ¼ v0 cos a0 tE 

¼ arccos 

(18) 

4 Dynamik 

10 m 

cos 50 

s 

11,8 m 

s 

sE ¼ 10 m=s cos 50 0,228 s ¼ 1,466 m 

sE ¼ v0xtE ¼ v0 cos a0tE 

zu berechnen. Mit dieser Gleichung und mit Gleichung 

(11) kann eine Gleichung für s entwickelt 

s ¼ 

werden. 

v0 2 sin 2a0 

þ sE 

g 

(19) 

s ¼ ð10 m=sÞ2 sin 100 

9,81 m=s2 þ 1,466 m ¼ 11,5 m 

Kontrolle: Nach Bild b) ist s ¼ v0x t ¼ v0 cos a0 t 

mit t nach Gleichung (16). s ¼ v0 cos a0 t (20) 

s ¼ 10 m 

s 

cos 50 1,79 s ¼ 11,5 m


2. Ûbung: Eine Dachpfanne gleitet unter einem 

Winkel a0 ¼ 30 mit einer Geschwindigkeit 

v0 ¼ 5 m/s von der Dachtraufe, die h ¼ 20 m über 

dem Erdboden liegt. Es soll eine Gleichung zur 

Bestimmung des Abstandes sx ¼ f ða0; v0; hÞ des 

Auftreffpunktes von der Hausmauer entwickelt 

und damit sx berechnet werden. 

Lösung: Es werden als Erstes wieder die beiden 

v, t-Diagramme für die Horizontal- und die Vertikalbewegung 

skizziert. 

Während des Zeitabschnitts tx wird die Strecke sx 

mit der konstanten Geschwindigkeitskomponente 

v0x ¼ v0 cos a0 zurückgelegt. Im gleichen Zeitabschnitt 

fällt die Dachpfanne im freien Fall um 

die Höhe h. Dabei steigt die Geschwindigkeitskomponente 

(Vertikalgeschwindigkeit) von 

v0y ¼ v0 sin a0 um Dv ¼ gtx auf vy. 

Der Vergleich der beiden v, t-Diagramme mit den 

Diagrammen b) und c) auf Seite 173 zeigt vollständige 

Ûbereinstimmung des Bewegungsvorgangs 

zwischen den Punkten E1 und E2 der Parabel. 

Man kann also ohne Bedenken die dort 

entwickelten Gleichungen verwenden. Für die vorliegende 

Aufgabe ist das Gleichung (15) in Verbindung 

mit Gleichung (18). 

Man hat damit die gesuchte Beziehung 

sx ¼ f ða0; v0; hÞ gefunden. 

Der Aufschlagpunkt liegt um sx ¼ 7,71 m von der 

Hausmauer entfernt. 


Gegeben: 

a0 ¼ 30 

v0 ¼ 5 m 

s 

h ¼ 20 m 

a ¼ g ¼ 9,81 m 

s 2 

Gesucht: 

sx ¼ f ða0; v0; hÞ 

v0y v0x 

gt x 

v x 

v y 

s = v t 

x 0x x 

h=v t + 

0y x 

t x 

2 gtx 

2 

v y 

t 

t 

a) siehe auch 

v, t-Diagramm b) 

Seite 173 

b) siehe auch 

v, t-Diagramm c) 

Seite 173 

v, t-Diagramm der Horizontalbewegung a) 

und der Vertikalbewegung b) 

tx ¼ v0 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

sin a0 

þ 

g 

v0 sin a0 

g 

2 

þ 2h 

s 

g 

sx ¼v0 cos a0 tx 

Nur die positive Lösung für tx ist sinnvoll. 

Der Ausdruck für tx (nach Gleichung (15)) 

wird in die Gleichung für sx eingesetzt. 

" 

sx ¼ v0 cos a0 

v0 sin a0 

þ 

g 


þ 

v0 sin a0 

g 

2 

þ 2h 

s 3 

5 

g 

(21) 

sx ¼ 7,71 m

176 

4.2 Gleichförmige Drehbewegung (Kreisbewegung) 

Die bisher behandelten Gesetze gelten für geradlinige und krummlinige Bewegungen, also 

auch für die Bewegung eines Punktes auf der Kreisbahn, zum Beispiel für die Bewegung eines 

Schleifkorns auf einer umlaufenden Schleifscheibe. Die Drehbewegung wird gesondert behandelt, 

weil für diese technisch wichtigste Bewegungsform besondere physikalische und 

geometrische Größen eingeführt wurden. Das gilt beispielsweise für die Begriffe Drehzahl, 

Drehwinkel, Umfangsgeschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung und 

Ûbersetzung. 

4.2.1 Die Drehzahl n 

Bringt man auf einer umlaufenden Scheibe (Werkstückspanner 

einer Drehmaschine, Schleifscheibe 

usw.) mit Kreide eine Markierung an, dann kann 

die Anzahl der Umdrehungen gezählt werden. Sie 

werden hier mit z bezeichnet, also beispielsweise 

z ¼ 25 U (Umdrehungen). Dividiert man z durch 

den zugehörigen Zeitabschnitt Dt, dann erhält man 

die Drehzahl n der Scheibe: 

Die Drehzahl n ist der Quotient aus der Anzahl 

z der Umdrehungen und dem zugehörigen Zeitabschnitt 

Dt. 

Die Drehzahl n umlaufender Maschinenteile wird 

meistens auf die Minute als Zeiteinheit bezogen. 

Mit 1 min ¼ 60 s kann leicht umgerechnet werden. 

Das Wort Umdrehung mit dem Kurzzeichen U 

steht nur für die Zahl 1, so dass in der Technik die 

Einheit für die Drehzahl n auch mit der Eins 

geschrieben wird, meistens in der Potenzschreibweise 

ðmin 1 Þ. 

Beim Kurbelgetriebe eines Verbrennungsmotors 

entspricht einer Auf- und Abwärtsbewegung 

(Doppelhub) des Kolbens eine Umdrehung der 

Kurbelwelle. Zur Berechnung der Kolbengeschwindigkeit 

ermittelt man daher die Zeit für eine 

Kurbelwellenumdrehung (Umlaufzeit): 

Die Periodendauer T (Umlaufzeit) ist der Kehrwert 

der Drehzahl n. 

Beachte: Die Angabe einer Drehzahl bezieht 

sich immer auf den ganzen umlaufenden Körper, 

z. B. auf den Rotor eines Elektromotors. 

Mit welcher Geschwindigkeit sich die einzelnen 

Punkte bewegen, ist noch unbekannt. 

Anzahl Umdrehungen z 

n ¼ 


n ¼ z 

Dt 

Beispiel: 

n ¼ 1 500 U U U 

¼ 1500 ¼ 25 

min 60 s s 

Beispiel: 

n ¼ 1500 U 

min 

U 1 

1 

¼ ¼ min 

min min 

1 

1 

¼ 1500 ¼ 1500 min 

min 

Hinweis: In der Schwingungslehre ist T der 

kürzeste Zeitabschnitt, nach dem sich eine 

Schwingung periodisch wiederholt. Siehe 

auch Seite 151. 

1 

T ¼ 

Drehzahl n 

T ¼ 1 

n 

n z Dt 

U 1 

¼ 

min min ¼ min 1 U min 

T n 

min, s min 1 ,s 1 

4 Dynamik

4.2 Gleichförmige Drehbewegung (Kreisbewegung) 177 

4.2.2 Die Umfangsgeschwindigkeit vu 

Umfangsgeschwindigkeit vu ist die Bezeichnung 

für die Geschwindigkeit eines Umfangspunktes im 

Abstand r von der Drehachse eines umlaufenden 

Körpers auf seiner Kreisbahn. 

Bei gleichförmiger Drehbewegung ist die Umfangsgeschwindigkeit 

vu der Quotient aus Wegund 

Zeitabschnitt. 

Drehbewegung um eine Drehachse 

Bei der ungleichförmigen Drehbewegung ist 

der Quotient aus Weg- und Zeitabschnitt die 

mittlere Umfangsgeschwindigkeit vum 

(Durchschnittsgeschwindigkeit). 

4.2.3 Richtung der Umfangsgeschwindigkeit vu 

Man stellt sich den Umfangspunkt B als Körper 

vor, der an einem Faden um die Drehachse A umläuft. 

Wird der Faden in einer der eingezeichneten 

Stellungen los gelassen, bewegt sich der Körper 

nach dem Trägheitsgesetz mit der momentanen 

Umfangsgeschwindigkeit vu geradlinig fort und 

zwar in Richtung der jeweiligen Tangente an seine 

Kreisbahn: 

Richtung der Umfangsgeschwindigkeit 

Die Umfangsgeschwindigkeit vu ist immer tangential 

gerichtet; sie ist eine Tangentialgröße. 

4.2.4 Umfangsgeschwindigkeit vu und Drehzahl n 

Der Wegabschnitt Ds eines umlaufenden Umfangspunktes 

wird durch den Kreisumfang ausgedrückt. 

Bei z Umdrehungen wird damit Ds ¼ 2prz. Mit 

z=Dt ¼ n erhält man die übliche Gleichung zur Berechnung 

der Umfangsgeschwindigkeit. 

Bei der gleichförmigen Drehbewegung ist die 

Drehzahl n ¼ konstant. Die Umfangsgeschwindigkeit 

vu eines Umfangspunktes dagegen ändert sich, 

wie die Gleichung zeigt, mit dem Radius r: Je größer 

der Radius, umso größer ist auch vu. Man sagt 

auch: vu wächst proportional mit dem Radius 

(vu r). 

vu ¼ Ds 2prz 

¼ 

Dt Dt 

vu ¼ 2pr z 

Dt 

vu ¼ 2prn 

vu r n 

m 

s m 

U 1 1 

¼ ¼ s 

s s 

m 

min 

m 

U 1 

¼ ¼ min 

min min 

1 

Beispiel: 

Wie groß ist die Umfangsgeschwindigkeit 

eines Umfangspunktes B, der doppelt so weit 

vom Scheibenmittelpunkt entfernt liegt wie 

Punkt A? 

Lösung: 

vuB ¼ 2prB n rB¼2rA vuB ¼ 2p 2rA n ¼ 2 2prA n ¼ 2vuA

178 

4.2.4.1 Zahlenwertgleichungen für die Umfangsgeschwindigkeit 

Für Rechnungen an Werkzeugmaschinen wird die 

Umfangsgeschwindigkeit als Schnittgeschwindigkeit 

v meist in m/min gebraucht (Richtwerttabellen), 

wobei der Durchmesser d ¼ 2r in mm eingesetzt 

werden soll. Man rechnet dann mit einer auf 

diese Einheiten zugeschnittenen Zahlenwertgleichung. 

Für Schleifscheiben würden sich mit der obigen 

Zahlenwertgleichung zu große Zahlenwerte ergeben. 

Man arbeitet dort mit der Einheit m/s und 

muss daher im Nenner noch den Faktor 60 aufnehmen. 

Man entwickelt aus der Größengleichung dann 

eine Zahlenwertgleichung, wenn häufig mit denselben 

Einheiten gerechnet wird. 

v ¼ pdn 

1000 

Schnittgeschwindigkeit v an Drehmaschinen, 

Fräsmaschinen usw. 

Beachte: Beim Rechnen mit Zahlenwertgleichungen 

darf man die Einheiten nicht 

mitschreiben. 

4.2.5 Umfangsgeschwindigkeit und Mittelpunktsgeschwindigkeit 

Ein Rad vom Radius r rollt ohne zu gleiten (also 

schlupffrei) auf seiner Unterlage. Ein Umfangspunkt 

P besitzt die Umfangsgeschwindigkeit 

vu ¼ 2prn. Die Geschwindigkeit des Radmittelpunktes 

M parallel zur Unterlage wird mit der Mittelpunktsgeschwindigkeit 

vM bezeichnet. Es soll 

geklärt werden, in welchem Verhältnis vu und vM 

zueinander stehen. 

Bei einer Umdrehung rollt der Radumfang 2pr 

ab, bei z Umdrehungen z-mal so viel, also legt der 

Radmittelpunkt M den Wegabschnitt Ds ¼ 2prz 

zurück. Damit ergibt sich seine Geschwindigkeit 

vM ¼ 2prz=Dt. Das aber ist genau die Gleichung 

für die Umfangsgeschwindigkeit vu: 

Beim schlupffrei rollenden Rad sind Umfangsgeschwindigkeit 

und Mittelpunktsgeschwindigkeit 

gleich groß. 

Das rollende Rad „kippt“ laufend um den jeweiligen 

Stützpunkt A. Die momentane Geschwindigkeit 

v der Radpunkte auf dem gedachten Durchmesser 

AMP wächst linear von vA ¼ 0 auf 

vM ¼ vu und weiter auf vP ¼ 2vM ¼ 2vu. 

Mittelpunkts- Umfangsgeschwindigkeit 

geschwindigkeit 

vM ¼ 2prz 

Dt ¼ 2prn vu ¼ 2prz 

¼ 2prn 

Dt 

vM ¼ vu 

4 Dynamik 

v d n 

m 

1 

mm min 

min 

v ¼ pdn 

60 000 

v 

m 

s 

d 

mm 

n 

1 

min 

Schnittgeschwindigkeit v für Schleifscheiben 

Beachte: vM ist bezogen auf die Unterlage, 

vu dagegen bezogen auf den Radmittelpunkt 

M.


4.2.6 Die Winkelgeschwindigkeit w 

Die Umfangsgeschwindigkeit vu kennzeichnet 

immer nur den Bewegungszustand eines einzelnen 

Punktes, denn vu ist vom Radius abhängig 

(vu r). Körperpunkte auf unterschiedlichen Radien 

legen bei jeder Umdrehung verschieden große 

Wege zurück. Für alle Punkte ist aber der überstrichene 

Drehwinkel Dj gleich groß. Deshalb hat 

man für umlaufende Teile eine vom Radius unabhängige 

Größe definiert, die Winkelgeschwindigkeit 

w (Omega): 

Die Winkelgeschwindigkeit w eines gleichförmig 

umlaufenden Körpers ist der Quotient aus 

dem überstrichenen Drehwinkel Dj und dem 

zugehörigen Zeitabschnitt Dt. Alle Punkte 

eines rotierenden Körpers haben im gleichen 

Zeitpunkt gleiche Winkelgeschwindigkeit, 

nicht aber gleiche Umfangsgeschwindigkeit. 

Dreht sich der Körper nicht gleichförmig, dann 

erhält man mit dieser Definitionsgleichung die 

mittlere Winkelgeschwindigkeit wm (Durchschnitts-Winkelgeschwindigkeit). 

Die Einheit für die Winkelgeschwindigkeit w ergibt 

sich aus den gewählten Einheiten für den Drehwinkel 

und dem Zeitabschnitt oder aus der gewählten 

Einheit für die Drehzahl n. 

Als Einheit für den Drehwinkel benutzt man nicht 

die Einheit „Grad“ (obgleich grundsätzlich möglich), 

sondern die Einheit „Radiant“ (Kurzzeichen: 

rad). Wie „Umdrehung U“ ist auch „Radiant rad“ 

eine Umschreibung für die Zahl Eins. 

Statt rad/s kann man immer auch 1/s schreiben, 

ebenso: statt U/min auch 1/min. 

w ¼ Dj 2pz 

¼ 

Dt Dt 

w ¼ 2pn 

Grundgleichung der 

gleichförmigen 

Drehbewegung 

Beispiel: 

Beim ungebremsten Auslaufen braucht eine 

Drehspindel 60 U und 90 s bis zum Stillstand. 

Dann ist 

wm ¼ Dj 

Dt 

ðwÞ ¼ ðjÞ 

ðtÞ 

¼ 2pz 

Dt 

2p60 4 

¼ ¼ 

90 s 3 

rad 1 1 

¼ ¼ ¼ s 

s s 

ðwÞ ¼ð2pÞðnÞ ¼ rad 1 

1 

¼ ¼ min 

min min 

Umrechnungen: 

2p rad ¼ 360 

1rad¼ 180 

p 

4.2.7 Winkelgeschwindigkeit und Umfangsgeschwindigkeit 

Aus den nun bekannten Gleichungen für die Umfangs- 

und Winkelgeschwindigkeit kann man 

sofort die gegenseitige Abhängigkeit erkennen. 

Die Winkelgeschwindigkeit w ¼ 2pn ist in der 

Gleichung für vu ¼ 2prnenthalten. 

w Dj z Dt n 

rad 1 

¼ 

s s 

57,3 

Beispiel: 

w ¼ 90 rad 1 

1 

¼ 90 ¼ 90 s 

s s 

vu ¼ 2prn ¼ 2pnr ¼ wr 

vu ¼ wr 

rad 1 s 

1 1 

¼ s 

s 

vu w r 

m 

s 

1 rad 

¼ 

s s 

rad rad 

p ¼ 4,19 

s s 

m

180 

Man kann den Zusammenhang zwischen vu und w 

auch zeichnerisch darstellen. 

Bei gleichförmiger Drehung ist n ¼ konstant, also 

auch w ¼ 2pn ¼ konstant, und die jeweilige Umfangsgeschwindigkeit 

der einzelnen Umfangspunkte 

hängt vom Radius r ab. Man sagt auch: vu 

ist proportional r (vu r). Aus der zeichnerischen 

Darstellung ergibt sich, dass die Zahlenwerte der 

Umfangsgeschwindigkeit auf dem Einheitskreis 

und der Winkelgeschwindigkeit gleich groß sind. 

4.2.7.1 Zahlenwertgleichung für die Winkelgeschwindigkeit 

Da die Drehzahl n in der Technik meist in 

U/min ¼ 1/min angegeben wird, für die Winkelgeschwindigkeit 

w aber die Einheit rad/s ¼ 1/s 

üblich ist, arbeitet man gern mit der entsprechend 

zugeschnittenen Zahlenwertgleichung. 

Man erhält die Zahlenwertgleichung für w, indem 

man in die Größengleichung w ¼ 2pn die Umrechnungszahl 

aus 1 min ¼ 60 s aufnimmt und die 

Zahlenwerte kürzt. 

Mit p=30 1=10 erhält man eine Beziehung zwischen 

Winkelgeschwindigkeit w und Drehzahl n, 

mit der schnell überschlägig gerechnet werden 

kann oder genaue Rechnungen kontrolliert werden 

können (Stellenzahlkontrolle). 

Zusammenhang zwischen Umfangs- und 

Winkelgeschwindigkeit 

w ¼ 2p n n 

¼ p 

60 30 

w ¼ pn 

30 

w 

n 

¼ 0,1n 

10 

4.2.8 Baugrößen und Größen der Bewegung in Getrieben 

Getriebe übertragen eine Drehbewegung von einer 

Antriebswelle A auf eine Abtriebswelle B, meist 

bei gleichzeitiger Ønderung der Drehzahl n und 

damit auch der Winkelgeschwindigkeit w. 

Beim Riemengetriebe treibt ein Flach- oder Keilriemen 

durch Kraftschluss (nicht durch Formschluss 

wie beim Zahnradgetriebe) beide Scheiben 

mit gleicher Umfangsgeschwindigkeit 

vu ¼ vu1 ¼ vu2 

Der geringfügige Schlupf wird vernachlässigt. 

Beim Riemengetriebe verhalten sich Drehzahlen 

und Winkelgeschwindigkeiten umgekehrt 

wie die Scheibendurchmesser. 

Beispiel: 

Für n ¼ 1500 min 1 wird 

w ¼ pn p 1500 1 rad 

¼ ¼ 157 

30 30 s s 

n ¼ 1500 min 1 ) w 150 s 1 

vu1 ¼ vu2 

2pr1 n1 ¼ 2pr2 n2 

pd1 n1 ¼ pd2 n2 ) n1 

n1 

n2 

¼ w1 

¼ 

w2 

d2 

d1 

n2 

w n 

¼ d2 

d1 

Riemengetriebe 

d1 und d2 sind die 

Baugrößen 

Drehzahlen und Winkelgeschwindigkeiten 

verhalten sich umgekehrt wie die Baugrößen. 

1 

s 

4 Dynamik 

1 

1 

¼ min 

min


Werden die beiden Scheiben aneinander gepresst, 

entsteht das Reibradgetriebe. Verzahnt man beide 

Scheiben, hat man ein Zahnradgetriebe, das die 

Drehbewegung durch Formschluss (Zähne) und 

daher schlupflos überträgt. Hier rollen die beiden 

(gedachten) Teilkreise aufeinander ab (Teilkreisdurchmesser 

d1, d2). Für den Teilkreisdurchmesser 

kann das Produkt aus Zähnezahl und Modul gesetzt 

werden. Daher können die Teilkreisdurchmesser 

d1, d2 auch durch die Zähnezahlen z1, z2 

ausdrückt werden. 

Beim Zahnradgetriebe verhalten sich die Drehzahlen 

und Winkelgeschwindigkeiten umgekehrt 

wie die Teilkreisdurchmesser und Zähnezahlen. 

Zahnradgetriebe 

vu1 ¼ vu2 

pd1 n1 ¼ pd2 n2 

pz1 mn1 ¼ pz2 mn2 

n1 

n2 

¼ w1 

¼ 

w2 

d2 

¼ 

d1 

z2 

z1 

d ¼ zm 

d1, d2, z1, z2 

sind die Baugrößen 

Drehzahlen und Winkelgeschwindigkeiten 

verhalten sich umgekehrt wie die Baugrößen. 

Das folgende Bild zeigt die geometrischen Größen am geradverzahnten Stirnrad (ohne Profilverschiebung). 

Wichtigste Größe ist der Modul m, weil alle anderen Größen darauf bezogen 

werden. Sind Modul m und Zähnezahl z eines Zahnrades bekannt, können alle anderen Maße 

des Zahnrades berechnet werden. 

4.2.9 Ûbersetzung i (Ûbersetzungsverhältnis) 

Der Begriff Ûbersetzung i ist festgelegt als Verhältnis 

(Quotient) von Antriebsdrehzahl nan zu 

Abtriebsdrehzahl nab. 

Da sich die Baugrößen eines Getriebes umgekehrt 

wie die Drehzahlen und Winkelgeschwindigkeiten 

verhalten, kann man die Ûbersetzung i auch mit 

den Baugrößen ausdrücken. 


d Teilkreis-˘ ¼ mz 

db Grundkreis-˘ ¼ d cos a 

da Kopfkreis-˘ ¼ d þ 2m 

df Fußkreis-˘ ¼ d 2,5m 

p Teilung ¼ s þ w ¼ pm 

m Modul ¼ p=p (genormt nach 

DIN 780 von 0,3...75 mm) 

a Eingriffswinkel (20 ) 

s Zahndicke ¼ p/2 

w Lückenweite ¼ p/2 

ha Zahnkopfhöhe ¼ 1m 

hf Zahnfußhöhe ¼ 1,25 m 

EL Eingriffslinie 

i ¼ nan 

¼ 

nab 

n1 

¼ 

n2 

w1 

w2 

i ¼ n1 

¼ 

n2 

w1 

¼ 

w2 

d2 

¼ 

d1 

z2 

z1 

n1 ¼ w1=2p 

n2 ¼ w2=2p

182 

Besteht ein Zahnradgetriebe aus mehreren hintereinander 

geschalteten Räderpaaren, also auch aus 

mehreren Einzelübersetzungen, dann lässt sich aus 

den Einzelübersetzungen i1; i2; i3 ... die Gesamtübersetzung 

iges bestimmen: 

Die Gesamtübersetzung iges ist immer das 

Produkt der Einzelübersetzungen. 

Aus der Definition für i ¼ nan/nab ergibt sich: 

i > 1 ) Übersetzung ins ,,Langsame‘‘ 

i < 1 ) Übersetzung ins ,,Schnelle‘‘ 

iges ¼ nan 

¼ i1 i2 i3 ... in 

nab 

4.3 Gesetze und Diagramme der gleichmäßig beschleunigten 

(verzögerten) Drehbewegung 

Mehrfach- 

Ûbersetzung 

Man versteht die Gesetze und Diagramme und auch das Verfahren zum Lösen von Aufgaben 

der Kreisbewegung leicht, wenn man sich der entsprechenden Gesetze erinnert, die in der allgemeinen 

Bewegungslehre entwickelt wurden. Denn das gilt grundsätzlich auch hier, nur muss 

jede Größe der allgemeinen Bewegung durch die entsprechende Kreisgröße ersetzt werden. 

Das nennt man den Analogieschluss. 

4.3.1 Gegenüberstellung der allgemeinen Größen mit den entsprechenden Kreisgrößen 

Allgemeine Größe mit Definitionsgleichung Einheit Kreisgröße mit Definitionsgleichung Einheit 

Zeitabschnitt Dt s Zeitabschnitt Dt s 

Wegabschnitt Ds m Drehwinkel Dj rad ¼ 1 


(v ¼ konstant) 

v ¼ Ds 

Dt 

m 

s 


(w ¼ konstant) 

w ¼ Dj 

Dt 

rad 1 

¼ 

s s 

Geschwindigkeitsänderung Dv ¼ a Dt 

m 

s 

Winkelgeschwindigkeitsänderung 

Dw ¼ a Dt 

rad 1 

¼ 

s s 

Beschleunigung 

(Grundgleichung) 

a ¼ Dv 

Dt 

m 

s2 Winkelbeschleunigung 


a ¼ Dw 

Dt 

rad 1 

¼ 

s2 s2 v, t-Diagramm je nach Aufgabenstellung: 

w, t-Diagramm je nach Aufgabenstellung: 

Δv=aΔt v 0 

v 

v-Linie 

A= Δs= 

0 Δt 

v + v 

0 t 

2 

Δt 

v t 

Beachte: Die Fläche A unter der v-Linie 

entspricht dem Wegabschnitt Ds. 

t 

Δv = α Δt 

v 0 

v 

v-Linie 

A= Δϕ = 

v0 + vt 

Δt 

2 

v t 

0 Δt 

t 

4 Dynamik 

Beachte: Die Fläche A unter der w-Linie 

entspricht dem Drehwinkel Dj.

4.3 Gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Drehbewegung 183 

4.3.2 Winkelbeschleunigung a 

Bei der gleichmäßig beschleunigten oder verzögerten 

Kreisbewegung muss die Ønderung der 

Winkelgeschwindigkeit Dw konstant bleiben 

(Dw ¼ konstant), wie im allgemeinen Fall 

Dv ¼ konstant war (Seite 151). Die Winkelgeschwindigkeitslinie 

im w, t-Diagramm muss 

eine ansteigende oder abfallende Gerade sein. 

Wird ein Körper aus der Ruhelage heraus drehend 

gleichmäßig beschleunigt, so dass er nach 

Dt ¼ 6 s eine Momentan-Winkelgeschwindigkeit 

wt ¼ 9 rad=s besitzt, dann beträgt seine Winkelgeschwindigkeitszunahme 

in jeder Sekunde 

Dw ¼ 1,5 rad=s. 

Entsprechend der Beschleunigung a im allgemeinen 

Fall hat man für die Kreisbewegung die 

Winkelbeschleunigung a als Vergleichsgröße festgelegt: 

Die Winkelbeschleunigung a eines gleichmäßig 

beschleunigten oder verzögerten Körpers ist der 

Quotient aus der Winkelgeschwindigkeitsänderung 

Dw und dem zugehörigen Zeitabschnitt 

Dt. Die Winkelbeschleunigung ist ein Vektor. 

Vergleiche diese Definition mit Seite 152. 

Die Einheit der Winkelbeschleunigung a ergibt 

sich in gewohnter Weise aus der Definitionsgleichung 

für die Größe, hier also „Radiant je Sekundequadrat“ 

(beachte: rad ¼ 1). 

4.3.3 Der Drehwinkel im w, t-Diagramm 

Es muss noch nachgewiesen werden, dass für den 

Drehwinkel Dj im w, t-Diagramm das Gleiche 

gilt wie für den Wegabschnitt Ds im v, t-Diagramm 

(vergleiche mit Seite 152). 

Die Winkelgeschwindigkeit w ändert sich von 

w0 ¼ 0 am Anfang auf wt am Ende des Zeitabschnittes 

Dt. Weil die Winkelgeschwindigkeitsänderung 

konstant ist, ergibt sich die mittlere 

Winkelgeschwindigkeit zu wm ¼ðw0 þ wtÞ=2 

und der überstrichene Drehwinkel zu 

Dj ¼ wm Dt ¼ wt Dt=2. Das entspricht dem Flächeninhalt 

der Dreieckfläche unter der w-Linie. 

Winkelbeschleunigung a, dargestellt im 

w, t-Diagramm 

Hinweis: Vergleiche das w, t-Diagramm mit 

dem v, t-Diagramm auf Seite 151. 

Winkelgeschwindigkeitsänderung Dw 

a ¼ 

zugehöriger Zeitabschnitt Dt 

a ¼ Dw 

Dt 

Grundgleichung der gleichmäßig beschleunigten 

(verzögerten) Kreisbewegung 

ðaÞ ¼ ðwÞ 

ðtÞ ¼ 

v 

rad 

s 

s 

¼ rad 

s 

a Dw Dt 

rad 1 

¼ 

s2 s2 rad 1 

¼ 

s s 

1 2 

¼ ¼ s 2 s2 v m 

0 m 

v =2v 

v0 + vt 

A= Δϕ = Δt 

2 

v0 =0 

0 Δt 

t 

Mittlere Winkelgeschwindigkeit wm 

s

184 

In jedem w, t-Diagramm entspricht die Fläche 

A unter der Winkelgeschwindigkeitslinie dem 

überstrichenen Drehwinkel Dj (A ¼b Dj). 

4.3.4 Die Tangentialbeschleunigung aT 

Wird ein Körper drehend mit der Winkelbeschleunigung 

a bewegt, werden alle Körperpunkte in 

jedem Augenblick in Richtung der Tangente mit 

der Tangentialbeschleunigung aT beschleunigt. 

Wie jede Beschleunigung ist auch aT ein Verhältnis 

von Geschwindigkeitsänderung und Zeitabschnitt. 

Hier handelt es sich um die Zunahme 

der Umfangsgeschwindigkeit Dvu ¼ Dw r. Damit 

ist über aT ¼ Dvu=Dt ¼ Dw r=Dt ¼ ar die Verbindung 

zwischen Tangential- und Kreisgröße hergestellt. 

Das wurde auch schon für vu und w nachgewiesen 

(Seite 179, 4.2.7). 

Tangentialgrößen (Umfangsgeschwindigkeit vu 

und Tangentialbeschleunigung aT) ergeben sich 

aus den Kreisgrößen durch Multiplikation mit 

dem Radius r. 

4.3.5 Arbeitsplan zur Kreisbewegung 

(vergleiche mit Abschnitt 4.1.5) 

w, t-Diagramm aufzeichnen 

Als Erstes wird geprüft, ob die Bewegung beschleunigt 

(ansteigende w-Linie) oder verzögert ist 

(fallende w-Linie), und ob die Bewegung aus dem 

Ruhezustand heraus erfolgt oder bis zur Ruhestellung 

verläuft. Danach skizziert man das w, t-Diagramm 

(unmaßstäblich). 

Als Beispiel wird eine gleichmäßig beschleunigte 

Kreisbewegung mit Anfangs-Winkelgeschwindigkeit 

(w0 6¼ 0) betrachtet. 

Fläche A ¼b Drehwinkel Dj 

Gilt für jede Drehbewegung 

aT ¼ Dvu 

Dt 

Δv 

v 0 

aT ¼ ar 

v 

Zusammenhang zwischen 

Tangentialgrößen und Kreisgrößen 

¼ Dw r 

Dt 

v-Linie 

A= Δϕ = 

¼ ar 

aT a r 

m 

s 2 

v0 + vt 

Δt 

2 

rad 1 

¼ 

s2 s2 vt 

0 t 

Δt 

4 Dynamik 

m 

1. Schritt


Grundgleichung aufschreiben 

Ausgangsgleichung ist immer die Definitionsgleichung 

für die Winkelbeschleunigung a ¼ Dw=Dt. 

Drehwinkelgleichungen aufschreiben 

Es ist bekannt, dass die Fläche A unter der w-Linie 

dem überstrichenen Drehwinkel Dj entspricht. Je 

nach Flächenform (hier Trapez) entwickelt man 

mit den eingetragenen Bezeichnungen Gleichungen 

mit Dj, zunächst ohne Rücksicht darauf, ob 

für die spezielle Aufgabenstellung alle Gleichungen 

gebraucht werden. In der Praxis werden 

häufig alle Größen der Bewegung verlangt. 

Gleichungen auswerten 

Grundgleichung und Drehwinkelgleichungen bilden 

ein Gleichungssystem mit mehreren Unbekannten. 

In der Regel werden zwei Unbekannte 

gesucht. Es genügen dann meistens die Grundgleichung 

und eine der Drehwinkelgleichungen 

zur Lösung. 

Angenommen es ist die Funktionsgleichung 

Dt ¼ f ðw0, a, DjÞ gesucht. Dann sind w0, a, Dj 

gegebene Größen. Der Zeitabschnitt Dt ist die 

gesuchte Größe. Wird die Gleichsetzungsmethode 

benutzt, kann man sowohl die Grundgleichung als 

auch die erste Drehwinkelgleichung nach wt auflösen, 

beide Gleichungen gleichsetzen und auf 

gewohnte Weise weiterentwickeln. 

Als Ergebnis erhält man hier eine gemischtquadratische 

Gleichung (siehe Tabelle 4.3, Seite 186). 

Die analoge Gleichung wurde in 4.1.5 (Seite 153) 

entwickelt. 


a ¼ Dw 

Dt ¼ wt w0 

Dt 

2. Schritt 

Dj ¼ w0 þ wt 

Dt 

2 

(Trapezfläche) 

3. Schritt 

Dw Dt 

Dj ¼ w0 Dt þ ; 

2 

Dw ¼ wt w0 

(Rechteckfläche þ Dreieckfläche) 

Dj ¼ wt Dt 

Dw Dt 

; 

2 

Dw ¼ wt w0 

(Rechteckfläche Dreieckfläche) 

4. Schritt 

Hinweis: Lösung nach dem Einsetzungsoder 

Gleichsetzungsverfahren. 

a ¼ wt w0 

Dt ) wt ¼ w0 þ a Dt 



2 

2 Dj 

Dt ) wt ¼ 

Dt 

(erste Drehwinkelgleichung) 

2 Dj 

w0 þ a Dt ¼ 

Dt 

w0 

2 Dj 

2w0 þ a Dt ¼ 

Dt 

Dt 

a 

ðDtÞ 2 þ 2w0 

a Dt 

Dt1, 2 ¼ w0 

a 

Dt ¼ f ðw0, a, DjÞ 

2 Dj 

¼ 0 

a 

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

2 2 Dj 

þ 

a 

w0 

a 

w0

186 

Tabelle 4.3 Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung 

Die Gleichungen dieser Tabelle gelten in Verbindung v 

mit den Bezeichnungen der nebenstehenden 

w, t-Diagramme. 

Einheiten 

Dj Dt w0, wt a r vu aT 

rad s 

Winkelbeschleunigung a 

(Definition) 


(bei w0 ¼ 0) 


(bei w0 6¼ 0) 

Tangentialbeschleunigung aT 

Endwinkelgeschwindigkeit wt 

(bei w0 ¼ 0) 


(bei w0 6¼ 0) 

Drehwinkel Dj 

(bei w0 ¼ 0) 

Drehwinkel Dj 

(bei w0 6¼ 0) 


(bei w0 ¼ 0) 

rad 

s 

rad m 

m 

s2 s 

v-Linie 

vt 

0 

vt t 

Δϕ = 

Δt t 

Δ 

2 

Beschleunigte Kreisbewegung 

ohne 

Anfangsgeschwindigkeit 

(w0 ¼ 0) 

Δv 

Winkelgeschwindigkeitszunahme Dw 

a ¼ in 


rad 

s2 a ¼ wt 

2 

wt 2 Dj 

¼ ¼ 

Dt 2 Dj ðDtÞ 2 

a ¼ wt w0 

Dt ¼ wt 2 w0 2 

2 Dj 

aT ¼ ar ¼ Dw Dvu 

r ¼ 

Dt Dt 

wt ¼ a Dt ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 

2a Dj 

wt ¼ w0 þ Dw ¼ w0 þ a Dt 

wt ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

w0 2 p 

þ 2a Dj 

Dj ¼ wt Dt 

2 

¼ aðDtÞ2 

2 

¼ wt 2 

2a 


Dt ¼ w0 Dt þ 

2 

aðDtÞ2 

2 

Dj ¼ wt 2 w0 2 

2a 

Dt ¼ wt 

a ¼ 


2 Dj 

a 


(bei w0 6¼ 0) Dt ¼ wt w0 

¼ 

a 

w0 

a 

m 

s 2 

w0 

a 

v0 


2 2 Dj 

þ 

a 

v 

v-Linie 

4 Dynamik 

v0 vt 

Δϕ = + 

Δt 

2 

vt 

0 Δt 

t 

Beschleunigte Kreisbewegung 

mit 

Anfangsgeschwindigkeit 

(w0 6¼ 0)


Tabelle 4.4 Gleichmäßig verzögerte Kreisbewegung 

Die Gleichungen dieser Tabelle gelten in Verbindung 

mit den Bezeichnungen der nebenstehenden 

w, t-Diagramme. 

Einheiten 

Dj Dt w0, wt a r vu aT 

rad s 

Winkelverzögerung a 

(Definition) 


(bei wt ¼ 0) 


(bei wt 6¼ 0) 

Tangentialverzögerung aT 

Anfangswinkelgeschwindigkeit w0 

(bei wt ¼ 0) 


Drehwinkel Dj 

(bei wt ¼ 0) 

Drehwinkel Dj 

(bei wt 6¼ 0) 


(bei wt ¼ 0) 

rad 

s 

rad m 

s2 m 

s 

v0 

v 

0 

v-Linie 

v0 Δt 

Δϕ = 

2 

Δt 

Verzögerte Kreisbewegung 

ohne 

Endgeschwindigkeit 

(wt ¼ 0) 

Winkelgeschwindigkeitsabnahme Dw 

a ¼ in 


rad 

s2 a ¼ w0 

2 

w0 2 Dj 

¼ ¼ 

Dt 2 Dj ðDtÞ 2 

a ¼ w0 wt 

Dt ¼ w0 2 wt 2 

2 Dj 

aT ¼ ar ¼ Dw Dvu 

r ¼ 

Dt Dt 

w0 ¼ a Dt ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 

2a Dj 

wt ¼ w0 Dw ¼ w0 a Dt 

wt ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

w0 2 p 

2a Dj 

Dj ¼ w0 Dt 

2 


2 

Dj ¼ w0 2 wt 2 

2a 

Dt ¼ w0 

a ¼ 

¼ aðDtÞ2 

2 


2 Dj 

a 


(bei wt 6¼ 0) Dt ¼ w0 wt 

¼ 

a 

w0 

a 

m 

s 2 

¼ w0 2 

2a 

Dt ¼ w0 Dt 

aðDtÞ 2 

2 

t 

v0 


w0 

2 2 Dj 

a a 

v 

v-Linie 

v0 vt 

Δϕ = + 

Δt 

2 

Δv 

vt 

0 Δt 

t 

Verzögerte Kreisbewegung 

mit 

Endgeschwindigkeit 

(wt 6¼ 0)

188 

4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) 

4.4.1 Das Trägheitsgesetz (Beharrungsgesetz), erstes Newton’sches Axiom 

Nach den Gesetzen des freien Falls und der Bewegung 

der Körper auf der schiefen Ebene fand 

Galilei das Trägheits- oder Beharrungsgesetz, das 

später von Newton formuliert wurde: 

Jeder Körper beharrt im Zustand der Ruhe 

(v ¼ 0) oder der gleichförmigen geradlinigen 

Bewegung (v ¼ konstant), solange keine resultierende 

Kraft auf ihn einwirkt. 

Diese Körpereigenschaft heißt Trägheit oder 

Beharrungsvermögen. 

Galilei leitete das Trägheitsgesetz gedanklich von 

seinen Erkenntnissen bei den Bewegungsvorgängen 

auf der schiefen Ebene ab: 

Aus der Höhe h rollt der Körper K von A nach O 

reibungsfrei herab. Bei O angekommen, hat er eine 

bestimmte Geschwindigkeit (v ¼ ffiffiffiffiffiffiffi p 

2gh). 

Leitet 

man den Körper von O aus auf die verschieden geneigten 

Bahnen OB oder OC, so wird er wieder 

genau bis zur Höheh emporsteigen. 

Bleibt der Körper jedoch auf der horizontalen 

Bahn OD, wirkt jetzt keine zur Bahn parallele 

Komponente der Gewichtskraft auf ihn. Dann ist 

SF ¼ 0, d. h. die Gewichtskraft FG ist gleich der 

Stützkraft FN (Normalkraft). Wegen SF ¼ 0 und 

damit Fres ¼ 0 muss der Körper mit konstanter 

Geschwindigkeit v auf seiner horizontalen Bahn 

geradlinig in Bewegung bleiben. 

Galileo Galilei, ital. Mathematiker und 

Physiker, 1564 –1642. 

Isaac Newton, engl. Physiker, Begründer der 

Mechanik, 1642–1726 

Beachte: 

Auch die Umkehrung gilt: 

Wirkt keine resultierende Kraft, dann ist auch 

v ¼ 0 oder v ¼ konstant. 

Ruhezustand und gleichförmig geradlinige 

Bewegung sind gleichwertig. In beiden Fällen 

wirkt keine resultierende Kraft (Betonung 

auf „resultierende“ Kraft). 

Trägheitsgesetz 

4 Dynamik 

Beachte: Ist die Summe aller Kräfte gleich 

null (SF ¼ 0), dann heißt das auch, dass keine 

resultierende Kraftwirkung vorhanden ist, 

also Fres ¼ 0.

4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) 189 

Die Zustände „Ruhe“ und „gleichförmig geradlinige 

Bewegung“ heißen auch „Gleichgewichtszustände“ 

des Körpers, weil keine resultierende 

Kraft auf den Körper wirkt: 

Ein Körper befindet sich dann im Gleichgewicht, 

wenn die Summe aller an ihm angreifenden 

äußeren Kräfte gleich null ist (SF ¼ 0). 

Man kann den vorstehenden Satz auch umkehren 

und sagen: 

Es wirkt immer dann eine resultierende Kraft 

Fres auf einen Körper, wenn sich sein Bewegungszustand 

(Ruhe oder gleichförmig geradlinige 

Bewegung) ändert: 

Die resultierende Kraft Fres ist die Ursache 

jeder Bewegungsänderung (nach Betrag und 

Richtung). 

Beispiel: 

Ein Körper, der mit v ¼ konstant eine schiefe 

Ebene abwärts gleitet, ist genauso „im 

Gleichgewicht“ wie der auf horizontaler 

Ebene ruhende Körper: 

Eine Bewegungsänderung liegt nicht nur 

dann vor, wenn sich der Betrag der Geschwindigkeit 

ändert (v 6¼ konstant), sondern 

auch dann, wenn sich ihre Richtung ändert, 

wie bei der gleichförmigen Bewegung eines 

Körpers auf der Kreisbahn (siehe Fliehkraft 

4.9.7, Seite 242). 

Man findet auf der Erde keine Möglichkeit, einen Körper ohne äußere Kraftwirkung in gleichförmiger 

Bewegung zu halten, weil niemals die Reibungswiderstände der Bewegung (Unterlage, 

Wasser, Luft) ausgeschaltet werden können. Dadurch kommt jeder Körper, der sich 

bewegt, früher oder später zur Ruhe, wenn die Triebkraft fehlt, z. B. auch eine Stahlkugel, die 

über die Eisfläche eines Sees gestoßen wird. Rollwiderstand und Luftreibung ergeben hier eine 

bewegungsändernde resultierende Kraftwirkung, durch die die Kugel verzögert wird. 

4.4.2 Masse, Gewichtskraft und Dichte 

Aus der Erfahrung weiß man, dass der Trägheitswiderstand 

eines Körpers umso größer ist, je mehr 

Materie er enthält. Umso größer muss auch die 

resultierende Kraft Fres sein, wenn sein Bewegungszustand 

geändert werden soll. 

Beispiel: 

Das Beschleunigen (oder Abbremsen) eines 

Güterwagens erfordert eine erheblich größere 

resultierende Kraft als die gleiche Bewegungsänderung 

eines Fahrrades. 

Gleiche Bewegungsänderung heißt hier 

gleiche Beschleunigung a.

190 

Als ein Maß für die Menge an Materie (z. B. Luftmenge, 

Wassermenge, Stahlmenge) wurde die 

Masse m eingeführt. Sie ist damit auch zugleich 

ein Maß für die Trägkeit des Körpers. 

Die gesetzliche und internationale Einheit der 

Masse m ist das Kilogramm (kg). 

1 Gramm (g) ¼ 10 3 kg; 1000 g ¼ 1kg 

1 Tonne (t) ¼ 10 3 kg; 1000 kg ¼ 1t 

Jeder Körper auf der Erde oder auf einem anderen 

Planeten unterliegt der Schwerkraft (Massenanziehungskraft). 

Diese Kraft nennt man Gewichtskraft 

(Formelzeichen: FG). Sie kann mit der Federwaage 

am frei aufgehängten Körper gemessen werden. 

Die Masse m eines Körpers und seine Gewichtskraft 

FG sind zwei physikalische Größen verschiedener 

Art, man darf sie nicht miteinander verwechseln. 

Daher sollen beide Größen noch klarer 

voneinander abgegrenzt werden: 

Ein z. B. 1-kg-Wägestück (man sollte nicht Gewichtsstück 

sagen) behält überall auf der Erde – 

auch auf anderen Planeten – seine Materiemenge 

und damit auch die gleiche Trägheit. 

Dagegen ändert sich die Gewichtskraft FG des 

Wägestückes von der Masse m ¼ 1 kg bei jedem 

Ortswechsel. Das liegt an der Fallbeschleunigung 

g, die sich mit dem Ort ändert. 

Beispielsweise ist die Gewichtskraft des Kilogrammstücks 

auf der Sonnenoberfläche etwa 

28mal so groß wie auf der Erde, während sie auf 

dem Mond nur etwa 1/6 der Erd-Gewichtskraft 

beträgt. 

Auch auf der Erde selbst bleibt die Gewichtskraft 

FG eines Körpers nicht überall gleich groß, 

weil sich die Fallbeschleunigung g bis zu 0,5% 

ändert, wenn man sie einmal an den Polen und 

zum anderen am Øquator misst. Zu internationalen 

Vergleichen hat man eine Normfallbeschleunigung 

gn festgelegt. Die zur Normfallbeschleunigung 

gehörende Gewichtskraft heißt Normgewichtskraft 

FGn. 

4 Dynamik 

Beachte: 

Viel Materie ¼ große Masse m ¼ große 

Trägheit. 

Wenig Materie ¼ kleine Masse m ¼ kleine 

Trägheit. 

Die Masse kann durch Wägung mit der Hebelwaage 

gemessen werden. Als gesetzliche Basiseinheit 

wurde dazu das Kilogramm (kg) 

eingeführt, dessen internationaler Kilogramm-Prototyp 

(ein Platin-Iridiumzylinder) 

im Internationalen Bürofür Maße und 

Gewichte in Sèvres bei Paris aufbewahrt wird. 

In DIN 1304 (Allgemeine Formelzeichen) 

wird FG als Formelzeichen für die Gewichtskraft 

empfohlen. 

Ein Körper hat viele physikalische Eigenschaften. 

Sie werden durch Größen verschiedener 

Art beschrieben, z. B. die Temperatur 

T, die Wärmeleitfähigkeit l, und auch 

die Masse m und die Gewichtskraft FG. 

Die Gewichtskraft FG ändert sich mit dem 

Ort, die Masse m dagegen bleibt überall 

dieselbe. 

Hinweis: Den formalen Zusammenhang 

zwischen Masse m, Gewichtskraft FG und 

Fallbeschleunigung g zeigt das dynamische 

Grundgesetz für Gewichtskräfte auf Seite 

192 unten. 

Beispiele: 

Normfallbeschleunigung (international 

festgelegt): 

gn ¼ 9,80665 m/s 2 

Fallbeschleunigung in Øquatornähe 

gä ¼ 9,78049 m/s 2 

Fallbeschleunigung in Polnähe 

gp ¼ 9,83221 m/s 2


Die Masse m eines Körpers ist eine unveränderliche 

Größe, sie wird in kg gemessen. Die 

Masse ist ein Skalar. 

Die Gewichtskraft FG eines Körpers ist eine 

vom Ort abhängige Größe, sie wird in Newton 

(N) gemessen (siehe 4.4.4, Seite 193). 

Die Gewichtskraft ist (wie jede Kraft) ein 

Vektor. 

Die Aussage von der Unveränderlichkeit der Masse 

m eines Körpers gilt uneingeschränkt nur in der 

klassischen Mechanik. Das ist der Bereich für 

Geschwindigkeiten v, die wesentlich kleiner sind 

als die Lichtgeschwindigkeit c ¼ 300 000 km/s. 

In der relativistischen Mechanik mit Geschwindigkeiten 

v in der Größenordnung der Lichtgeschwindigkeit 

c ist die Masse m eines Körpers abhängig 

vom Geschwindigkeitsverhältnis v/c. Solche Fälle 

treten in der Technik nicht auf. 

Die Dichte r einer Materie ist der Quotient aus der 

Masse m und dem zugehörigen Volumen V. 

Die Einheit der Dichte ist daher auch der Quotient 

aus einer Masseneinheit und einer Volumeneinheit. 

Neben der Einheit kg/m 3 sind für die Dichte auch 

alle Einheiten zulässig, die als Quotient aus einer 

zulässigen Masseneinheit und einer zulässigen 

Volumeneinheit gebildet werden. 

4.4.3 Das dynamische Grundgesetz, 

zweites Newton’sches Axiom 

Nach dem Trägheitsgesetz wird ein Körper dann 

beschleunigt, verzögert oder zu einer Richtungsänderung 

gezwungen, wenn auf ihn eine resultierende 

Kraft Fres wirkt, d. h. wenn sich bei der 

zeichnerischen oder rechnerischen Zusammenfassung 

aller äußeren Kräfte (Kräftereduktion) eine 

resultierende Kraft Fres ergibt. 

Beispiel: 

Für einen Körper von der Masse m ¼ 1kg 

(z. B. das 1-kg-Wägestück) wird mit der 

Federwaage die Gewichtskraft FG ¼ 9,81 N 

festgestellt: 

In Erdnähe verhalten sich die Zahlenwerte 

der Masse m in kg und der Gewichtskraft FG 

in N etwa wie 1:10. 

Beachte: Masse m und Gewichtskraft FG sind 

Größen verschiedener Art. 

Die relativistische Mechanik geht auf Einsteins 

Relativitätstheorie zurück. Hier gilt für 

die Masse m eines Körpers: 

m0 m0 Ruhemasse 

m ¼ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

v 2 v Geschwindigkeit 

1 

des Körpers 

c 

c Lichtgeschwindigkeit 

Beispiel: Für einen Körper mit der Masse 

m ¼ 1000 kg und der Geschwindigkeit 

v ¼ 0,9 c wird die Masse 

m0 1000 kg 

m ¼ sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ ¼ 2294 kg 

2 

0,9 c 

0,436 

1 

c 

Masse m 

Dichte r ¼ 

Volumen V 

r ¼ m 

V 

r m V 

kg 

m 3 kg m 3 

Beispiele: kg kg g 

dm 

3; cm3; cm 3 

Lageskizze Kräfteplan 

Der Körper wird durch Fres ¼ Fz FR 

(Zugkraft minus Reibungskraft) in horizontaler 

Richtung beschleunigt.

192 

Newton entdeckte, dass der Betrag der resultierenden 

Kraft Fres von der Masse m des Körpers und 

von der Beschleunigung a (oder Verzögerung a) 

abhängt. Jeder Versuch bestätigt dieses wichtigste 

Gesetz der Dynamik: 

Die auf einen Körper von der Masse m einwirkende 

konstante resultierende Kraft Fres ist 

gleich dem Produkt aus der Masse m und der 

Beschleunigung (Verzögerung) a des Körpers. 

Man erkennt, dass das Trägheitsgesetz (erstes 

Newton’sches Axiom) im dynamischen Grundgesetz 

enthalten ist, denn für Fres ¼ 0 ist auch 

a ¼ 0, d. h. der Körper wird weder beschleunigt 

noch verzögert. 

Der frei fallende Körper wird mit der Fallbeschleunigung 

g in Richtung Erdmittelpunkt beschleunigt 

(beim senkrechten Wurf entsprechend verzögert). 

Die auf den Körper einwirkende resultierende 

Kraft ist die Gewichtskraft FG ¼ Fres. Damit kann 

die Gewichtskraft FG eines Körpers aus seiner 

Masse m (auf der Hebelwaage gewogen) und der 

örtlichen Fallbeschleunigung g bestimmt werden. 

Vielfach kann man mit g ¼ 10 m/s 2 rechnen. In 

diesem Buch und in der Aufgabensammlung 

wurde mit g ¼ 9,81 m/s 2 gerechnet. 

Die Normgewichtskraft FGn ist das Produkt aus 

der Masse m und der Normfallbeschleunigung gn 


Die drei Newton’schen Axiome: 

Trägheitsgesetz, Dynamisches Grundgesetz, 

Wechselwirkungsgesetz (actio gleich 

reactio). 

resultierende 

Kraft ¼ Masse m Fres 

Beschleunigung 

a 

Fres ¼ ma 

Dynamisches 

Grundgesetz 

Die Krafteinheit N (Newton) wird im folgenden 

Abschnitt 4.4.4 erläutert. 

Hinweis: Ist ein Produkt gleich null, dann 

muss einer der Faktoren null sein; bei 

Fres ¼ ma ¼ 0 kann nur a ¼ 0 sein, weil 

m ¼ 0 nicht möglich ist. 

Bei a ¼ 0 ruht der Körper oder er bewegt 

sich geradlinig gleichförmig (v ¼ konstant). 

Beide Zustände sind gleichwertig. 

Für Fres wird die Gewichtskraft FG und für 

die Beschleunigung a die Fallbeschleunigung 

g in das dynamische Grundgesetz eingesetzt: 

GewichtsFallbeschleunikraft 

¼ Masse m FG gung g 

FG ¼ mg 

Dynamisches 

Grundgesetz 

für Gewichtskräfte 

FGn ¼ mgn 

Fres m a 

kg m 

N ¼ 

s2 kg m 

s2 FG m g 

kg m 

N ¼ 

s2 4 Dynamik 

kg m 

s 2 

Normgewichtskraft


4.4.4 Die gesetzliche und internationale Einheit für die Kraft 

Die Einheit einer physikalischen Größe erhält man 

immer über die Definitionsgleichung für die jeweilige 

Größe. Für die Kraft F ist die Definitionsgleichung 

das dynamische Grundgesetz 

Fres ¼ ma. Die Einheit der Masse m ist gesetzlich 

und international als die Basiseinheit „Kilogramm 

kg“ festgelegt worden. Die Einheit für die Beschleunigung 

a liegt ebenfalls mit „Meter je 

Sekundequadrat m/s 2 “ fest. Also muss die Krafteinheit 

das Produkt dieser beiden Einheiten sein: 

1 Newton (N) ist diejenige resultierende Kraft, 

die einem Körper von der Masse m ¼ 1 kg die 

Beschleunigung a ¼ 1 m/s 2 erteilt. 

4.4.5 Ûbungen zum dynamischen Grundgesetz 

1. Ûbung: Ein Mann stellt sich auf die Waage. 

Der Zeiger bleibt bei 75 kg stehen. Welche physikalische 

Bedeutung hat diese Anzeige? 

2. Ûbung: An einem Kranhaken hängt ein Körper 

von der Masse m ¼ 2000 kg. Er soll beim Heben 

mit 0,3 m/s 2 beschleunigt werden. Welche Zugkraft 

Fz hat das Seil aufzunehmen? 

Lösung: Man zeichnet die Lageskizze (Körper 

freigemacht). Beschleunigung a und Geschwindigkeit 

v werden in Klammern eingetragen, um sie 

deutlich von den Kräften zu unterscheiden. Dann 

zeichnet man die Kräfteskizze. Aus der Statik ist 

bekannt, dass die Resultierende vom Anfangspunkt 

A zum Endpunkt E der äußeren Kräfte zeigt 

(statischer Teil der Aufgabe): 

Im ersten Schritt verschafft man sich am freigemachten 

Körper Klarheit über den Richtungssinn 

der resultierenden Kraft Fres. 

ðFÞ ¼ðmÞ ðaÞ 

ðFÞ ¼kg m 

s 2 ¼ kg m s 2 ¼ Newton ðNÞ 

1N¼ 1 

kg m 

2 

¼ 1kgms 

s2 Die Form kg m s 2 wird als „Potenzprodukt 

von Basiseinheiten“ bezeichnet, hier der 

Basiseinheiten kg, m, s (Kilogramm, Meter, 

Sekunde). 

Zur Veranschaulichung: 

Hängt man eine 100-g-Tafel Schokolade an 

einem Faden auf, dann beträgt die Zugkraft 

im Faden etwa 1 Newton. 

Als Krafteinheit ist das Newton natürlich 

auch die Einheit der Gewichtskraft FG. 

Der Mann besitzt die Masse m ¼ 75 kg und 

damit die Normgewichtskraft: 

FGn ¼ mgn ¼ 75 kg 9,80665 m 

FGn ¼ 735,5 

kg m 

¼ 735,5 N 

s2 Gegeben: m ¼ 2000 kg 

a ¼ 0,3 m 

s 2 

g ¼ 9,81 m 

s 2 

Gesucht: Seilkraft Fz 

Lageskizze Kräfteskizze 

s 2 

1. Schritt 

Hinweis: Als positiven Richtungssinn legt 

man den Richtungssinn von Fres fest, weil 

dann a immer positiv wird: 

Fres ¼ Fz FG ¼ Fz mg

194 

Nachdem man die Beziehung für die resultierende 

Kraft Fres gefunden hat, setzt man sie in die Gleichung 

für das dynamische Grundgesetz ein (kinetischer 

Teil der Aufgabe): 

Im zweiten Schritt setzt man Fres mit dem 

Produkt ma gleich; bei mehreren Teilkörpern 

gleicher Beschleunigung muss die Gesamtmasse 

mges eingesetzt werden. 

In manchen Aufgaben ist die Beschleunigung a 

nicht direkt gegeben, sondern muss erst aus anderen 

Größen bestimmt werden (kinematischer Teil 

der Aufgabe): 

Im dritten Schritt ermittelt man nach 4.1.5 (Seite 

153) eine Beziehung für die Beschleunigung 

a, wenn sie nicht schon gegeben ist. 

Zum Schluss braucht man nur noch alle statischen, 

kinetischen und kinematischen Lösungsansätze 

algebraisch auszuwerten: 

Im vierten Schritt bestimmt man aus den entwickelten 

Gleichungen die unbekannten Größen 

nach den mathematischen Gesetzen. 

3. Ûbung: Ein Kraftfahrzeug von der Masse 

m ¼ 1000 kg soll auf horizontaler Bahn auf einer 

Strecke von 100 m bis zum Stillstand abgebremst 

werden. Die Geschwindigkeit beträgt 72 km/h, der 

Fahrwiderstand (Summe aller Reibungswiderstände) 

des Fahrzeugs beträgt Fw ¼ 500 N. 

Zu bestimmen ist die Bremskraft Fb. 

Lösung: Man fertigt als Erstes wieder die Skizze 

des freigemachten Körpers an (Lageskizze): 

Gewichtskraft FG und Normalkraft FN wirken in 

y-Richtung (SFy ¼ 0). In x-Richtung werden 

Bremskraft Fb und Fahrwiderstand Fw nach links 

wirkend eingetragen. Man nimmt an, dass sich das 

Fahrzeug von links nach rechts bewegt. Die Verzögerung 

a ist dann nach links gerichtet, ebenso 

wie die resultierende Kraft Fres, die sich nach der 

Kräfteskizze als Summe von Fb und Fw ergeben 

muss (SFx 6¼ 0). Das Ergebnis des ersten Schrittes 

ist also Fres ¼ Fb þ Fw. 

Fres ¼ Fz mg ¼ ma 

2. Schritt 

3. Schritt 

In der vorliegenden Aufgabe ist die Beschleunigung 

a ¼ 0,3 m/s 2 schon bekannt. 

Fres ¼ ma ¼ Fz mg 

4. Schritt 

Fz ¼ maþ mg ¼ mða þ gÞ 

Fz ¼ 2000 kg 0,3 m m 

þ 9,81 

s2 s2 kg m 

Fz ¼ 20 220 ¼ 20,22 kN 

s2 Gegeben: m ¼ 1000 kg 

Ds ¼ 100 m 

v ¼ 72 km 

h 

Fw ¼ 500 N 

Gesucht: Fb (Bremskraft) 

¼ 72 

3,6 

4 Dynamik 

m m 

¼ 20 

s s 

1. Schritt 

Lageskizze Kräfteskizze (zwei Möglichkeiten 

gezeichnet)


Im zweiten Schritt wird wieder Fres und das Produkt 

ma gleichgesetzt. 

Im dritten Schritt hat man hier die Beschleunigung 

a zu bestimmen (kinematischer Lösungsteil). Dazu 

wird der schon bekannte Lösungsplan nach 4.1.5, 

Seite 153 benutzt, der hier verkürzt wiedergegeben 

wird: v; t-Diagramm, Grundgleichung, Weggleichung, 

Auswertung der Gleichungen (a ¼ 

v2 =2 Ds). Es kann die gefundene Gleichung für a 

in die weitere Rechnung übernommen werden 

oder es wird der Betrag berechnet. 

Im letzten Schritt wertet man die entwickelten 

Gleichungen aus und stellt die Gleichung 

Fb ¼ f ðm, v, Ds, FwÞ auf, mit der man dann noch 

den Betrag der Bremskraft berechnet. 

Vor dem Rechnen sollte immer wieder geprüft 

werden, ob die Einheiten „stimmen“: Da rechts 

vom Gleichheitszeichen zwei Glieder stehen, müssen 

beide die gleiche Einheit führen. Das erste 

Glied hat die Einheit kg m/s2 ¼ N, die gleiche Einheit 

wie das zweite Glied. 

4.4.6 Prinzip von d’Alembert 

Das d’Alembert’sche Prinzip führt zu einem 

Lösungsverfahren für Dynamikaufgaben, das die 

meisten Techniker dem Ansatz des dynamischen 

Grundgesetzes vorziehen, weil es auch komplizierteste 

Aufgaben durchsichtig macht. 

Der Grundgedanke des d’Alembert’schen Prinzips 

ist leicht zu erfassen, wenn noch einmal die Kräfteskizzen 

zu den beiden letzten Ûbungen betrachtet 

werden. In beiden Fällen erhält man sofort 

einen geschlossenen Kräftezug, wenn man nur den 

Richtungssinn der resultierenden Kraft Fres umkehrt. 

Das ist der Kunstgriff, der die Möglichkeit 

schafft, die zeichnerischen und rechnerischen 

Gleichgewichtsbedingungen auf Dynamikaufgaben 

anzuwenden. Kurz gesagt: Aus der Dynamikaufgabe 

wird eine Statikaufgabe gemacht. Man 

möchte nun noch nachweisen, dass der Richtungssinn 

von Fres umgekehrt werden darf und welche 

Bedeutung das hat. 

Fres ¼ Fb þ Fw ¼ ma 

a ¼ Dv v v 

¼ ) Dt ¼ 

Dt Dt a 

v Dt 

Ds ¼ 

2 ¼ 

v v 

2 

a v 

¼ 

2 2a 

2 v 

a ¼ 

2 Ds ¼ 

20 m 2 

s 

2 100 m 

Fb þ Fw ¼ ma 

Fb þ Fw ¼ m 

2 mv 

Fb ¼ 

2 Ds 

v 2 

2 Ds 

Fw 

Fb ¼ f ðm, v, Ds, FwÞ 

1000 kg 400 

Fb ¼ 

m2 

s2 2 100 m 

¼ 2 m 

s 2 

Δv =v 

2. Schritt 

3. Schritt 

v 

0 

A= Δs 

Δt t 

4. Schritt 

500 N ¼ 1500 N 

d’Alembert, französischer Gelehrter, 

1717–1783. 

Beachte: Auch das Prinzip von d’Alembert 

beruht auf dem dynamischen Grundgesetz. 

a) Kräftepläne zum dynamischen Grundgesetz 

b) Kräftepläne zum d’Alembert’schen Prinzip 

(geschlossen)

196 

Nach dem dynamischen Grundgesetz wird jeder 

Körper in Pfeilrichtung der resultierenden Kraft 

beschleunigt. Fres ist also ausschließlich dazu erforderlich, 

die dem Körper innewohnende Trägheit 

zu überwinden. Die Trägheit äußert sich als eine 

Kraft, die sich der Beschleunigung widersetzt. 

Diese Trägheitskraft T ist immer genauso groß wie 

Fres, aber von entgegengesetztem Richtungssinn. 

Wächst Fres (Beschleunigung a wird größer), dann 

wächst in gleichem Maß auch die Trägheitskraft T, 

denn Fres ist nur deshalb aufzubringen, weil T vorhanden 

ist und umgekehrt. 

Weil beide Kräfte Fres und T immer gleich groß 

sind, auf gleicher Wirklinie liegen und entgegengesetzten 

Richtungssinn haben, muss ihre geometrische 

Summe gleich null sein. 

Da der Betrag von Fres nach dem dynamischen 

Grundgesetz gleich ma ist, darf man auch für die 

Trägheitskraft T ¼ ma setzen. 

Resultierende Kraft Fres und Beschleunigung a 

(Verzögerung) haben immer gleichen Richtungssinn. 

Die Trägheitskraft T wirkt der resultierenden 

Kraft Fres entgegen. Folglich gilt auch: 

Die Trägheitskraft T ist immer der Beschleunigung 

a (oder Verzögerung a) entgegengesetzt 

gerichtet. 

Werden jetzt noch einmal die beiden Kräftepläne 

betrachtet, dann erkennt man mit d’Alembert: 

Wird ein Körper beschleunigt (verzögert), so 

kann man durch Einführung der Trägheitskraft 

T ¼ ma für den Körper die statischen Gleichgewichtsbedingungen 

ansetzen, um damit unbekannte 

Größen zu bestimmen. 

Hinweis: Man wählt für die Trägheitskraft 

das Zeichen T, weil es sich nicht um eine 

äußere Kraft handelt: Der Körper bringt sie 

„aus sich heraus“ hervor. 

Die Trägheitskraft T wird durch die Masse m 

des Körpers hervorgerufen, daher wird sie 

immer im Körperschwerpunkt S angetragen. 

Fres T ¼ 0 

Trägheitskraft T ¼ ma 

4 Dynamik 

Ist der Richtungssinn der Beschleunigung a 

(Verzögerung) bekannt, kennt man auch den 

Richtungssinn von T ¼ ma: entgegengesetzt 

zu a. 

Beachte: Mit Hilfe des Prinzips von d’Alembert 

wird aus einer „Ungleichgewichtsaufgabe“ 

eine „Gleichgewichtsaufgabe“, die 

nach den Gesetzen der Statik zeichnerisch 

oder rechnerisch gelöst werden kann.


4.4.7 Arbeitsplan zum Prinzip von d’Alembert 

Körper freimachen (Lageskizze) 1. Schritt 

Beschleunigungsrichtung eintragen 2. Schritt 

Trägheitskraft T ¼ ma entgegengesetzt zum Richtungssinn der Beschleunigung 

eintragen (im Schwerpunkt angreifend) 

Gleichgewichtsbedingungen der Statik unter Einschluss der Trägheitskraft T 

ansetzen oder zeichnerische Verfahren anwenden 

Wie beim Lösen von Aufgaben nach dem dynamischen Grundgesetz kann es erforderlich sein, 

zusätzlich nach dem Lösungsplan 4.1.5 (Seite 153) die Beschleunigung (Verzögerung) a zu 

bestimmen. 


4.4.8 Ûbungen zum Prinzip von d’Alembert 

1. Ûbung: Wie groß muss die Anzugskraft F des 

Lastseiles sein, wenn eine Last von der Masse 

m ¼ 1000 kg mit der Beschleunigung a ¼ 1,6 m/s2 nach oben befördert werden soll? 

Lösung: Am Lastschwerpunkt greifen zwei äußere 

Kräfte an: Die Anzugskraft F im Seil und die 

Gewichtskraft FG. 

Im zweiten und dritten Schritt hat man nur darauf 

zu achten, dass Trägheitskraft T und Beschleunigung 

a immer entgegengesetzten Richtungssinn 

erhalten. 

Im vierten Schritt können entweder die statischen 

Gleichgewichtsbedingungen ansetzt werden, hier 

also SFy ¼ 0, oder es wird das geschlossene 

Krafteck zur zeichnerischen Lösung entwickelt. 

Hier wird die Funktionsgleichung F ¼ f ðm, a, gÞ 

aus der rechnerischen Gleichgewichtsbedingung 

SFy ¼ 0 gewonnen und die zeichnerische Lösung 

skizziert. 

Gegeben: m ¼ 1000 kg 

a ¼ 1,6 m 

s2 g ¼ 9,81 m 

s2 Gesucht: F ¼ f ðm, a, gÞ 

SFy ¼ 0 ¼ F FG T 

F FG T ¼ 0 

F mg ma ¼ 0 

F ¼ mðg þ aÞ 

F ¼ f ðm, a, gÞ 

3. Schritt 

4. Schritt 

1. Schritt 

2. Schritt 

3. Schritt 

4. Schritt 

F ¼ 1000 kgð9,81 þ 1,6Þ m 

¼ 11,41 kN 

s2

198 

Lehrbeispiel: Prinzip von d’Alembert 


Ein Lkw fährt mit v ¼ 60 km/h. Er ist mit einem 

Kessel beladen, der nur gegen seitliches Rollen 

gesichert ist. Reibungszahlen zwischen Kessel 

und Lkw : m0 ¼ 0,3; m ¼ 0,25 

Masse des Kessels m ¼ 8000 kg. 

a) Welcher kürzeste Bremsweg ist möglich, ohne dass die Last ins Rutschen kommt? 

Lösung: 

Lageskizze 

Soll kein Rutschen auftreten, so muss unter Berücksichtigung der Trägheitskraft 

T sein: 

SFy ¼ 0 ¼ FN FG FN ¼ FG 

SFx ¼ 0 ¼ FR0 max þ T FR0max ¼ T ¼ ma 

FR0 max ¼ FNm0 ¼ FGm0 ¼ mg m0 a ¼ FR0 max 

m ¼ mg m0 m ¼ m m m 

0 g ¼ 0,3 9,81 ¼ 2,943 

s2 s2 Dem Weg Ds entspricht im v, t-Diagramm eine Dreieckfläche. Damit erhält 

man die Weggleichung Ds ¼ v Dt=2, in die aus der Grundgleichung für den 

Zeitabschnitt Dt ¼ v=a eingesetzt wird : 

a ¼ Dv v 

¼ 

Dt Dt 

v Dt 

Ds ¼ 

2 

v Dt 

Ds ¼ 

2 

v 

Ds ¼ 

v 

2 

a v 

¼ 

2 2a 

a ¼ v v 

) Dt ¼ 

Dt a eingesetzt 

60 m 

3,6 s 

Ds ¼ 

2 2,943 m ¼ 47,193 m 

Der Bremsweg darf nicht kleiner als 47,193 m sein. 

b) Der Lkw wird gleichmäßig gebremst und kommt nach 25 m zum Stehen. Wie groß ist die Kraft F, die 

der Kessel auf die Stirnwand ausübt? 

Lösung: 

(a 

F R0 max = FN0 

F G = mg 

m 

v 

v 

A=Wegs t 

(a 

) 

) 

T=ma 

FN 

T=ma 

F = F 

R Nm F N 

F = mg 

G 

t 

F 

2 

s 2 

a ¼ v 

Dt 

v 2 

a ¼ 

2 Ds ¼ 

v Dt 

Ds ¼ 

2 

60 m 

2 

3,6 s 

2 25 m 

2 Ds 

) Dt ¼ 

v eingesetzt 

¼ 5,556 m 

s 2 

SFy ¼ 0 ¼ FN FG FN ¼ FG ¼ mg 

SFx ¼ 0 ¼ T F FR 

F ¼ T FR ¼ ma FNm 

F ¼ ma mgm ¼ mða gmÞ 

F ¼ 8000 kg ð5,556 9,81 0,25Þ m kg m 

¼ 24 828 

s2 s2 F ¼ 24 824 N 24,8 kN 

Lageskizze Die Kraft auf die Stirnwand beträgt 24,8 kN. 

4 Dynamik


2. Ûbung: Auf einer schiefen Ebene mit dem 

Neigungswinkel a ¼ 30 zur Horizontalen liegt 

ein Körper von der Masse m1. Ûber Seil und Rolle 

ist er mit einem zweiten Körper von der Masse 

m2 ¼ 1,5m1 verbunden. Die Reibungszahl beträgt 

m ¼ 0,2. Rolle und Seil sind masselos und reibungsfrei 

gedacht. 

Mit welcher Beschleunigung a bewegen sich die 

beiden Körper? 

Lösung: Man schneidet das Seil gedanklich durch 

und fertigt für beide Körper die Lageskizze an. Da 

Seil und Rolle masselos und reibungsfrei sein 

sollen, muss die Seilkraft F an jeder Stelle des 

Seils gleich groß sein; man braucht also nicht 

zwischen F1 und F2 zu unterscheiden. 

Aus der zweiten Gleichgewichtsbedingung 

SFy ¼ 0 für Körper 1 folgt FN ¼ FG1 cos a. 

Diesen Ausdruck braucht man für die Reibungskraft 

FR ¼ FN m ¼ FG1 cos am in der Gleichgewichtsbedingung 

SFx ¼ 0, die nach F auflöst 

wird. Für FG1 setzt man m1g ein, für die Trägheitskraft 

T1 ¼ m1a. 

Für den Körper 2 ist nur die Gleichgewichtsbedingung 

SFy ¼ 0 anzusetzen. Daraus findet man eine 

zweite Gleichung für die Seilkraft F. 

Zum Schluss werden beide Gleichungen für die 

Seilkraft F einander gleich gesetzt. Als Vereinfachung 

bietet sich hier an, mit dem Verhältnis der 

beiden Massen zu arbeiten. Man setzt also 

k ¼ m2/m1 und löst die Gleichung nach der gesuchten 

Beschleunigung a auf. 

Gegeben: m1 

Gesucht: a ¼ f ðm, m, a, gÞ 

m2 ¼ 1,5m1 

a ¼ 30 

m ¼ 0,2 

g ¼ 9,81 m 

s 2 

1.–3. Schritt 

Lageskizze Lageskizze 

für Körper 1 für Körper 2 

SFx ¼ 0 ¼ F FR FG1 sin a T1 

4. Schritt 

SFy ¼ 0 ¼ FN FG1 cos a ) FN ¼ FG1 cos a 

F ¼ FR þ FG1 sin a þ T1 ¼ FN m þ FG1 sin a þ T1 

F ¼ FG1 cos amþ FG1 sin a þ T1 

F ¼ m1gm cos a þ m1g sin a þ m1a 

F ¼ m1ðgm cos a þ g sin a þ aÞ 

SFy ¼ 0 ¼ F þ T2 FG2; T2 ¼ m2a 

F ¼ m2 g m2 a ¼ m2ðg aÞ 

m1ðgm cos a þ g sin a þ aÞ ¼m2ðg aÞ 

m2 gm cos a þ g sin a þ a 

¼ ¼ k 

m1 g a 

kg ka ¼ gð m cos a þ sin aÞþa 

að1 þ kÞ ¼gðk m cos a sin aÞ 

k 

a ¼ g 

m cos a 

k þ 1 

sin a 

a ¼ f ðk, g, m, aÞ

200 

Bei dem gegebenen Neigungswinkel von 30 ergibt 

sich eine Beschleunigung a ¼ 3,244 m/s2 . 

Verkleinert man den Neigungswinkel a, dann 

ändert sich auch die Beschleunigung, und zwar 

müsste sie nach der Erfahrung größer werden. 

Für a ¼ 0würde z. B. sin a ¼ 0 und 

m cos a ¼ 0,2 1 ¼ 0,2 und damit 

a ¼ 1,3g=2,5 ¼ 5,101 m=s 2 . 

Aufgaben dieser Art kann man auch lösen, ohne 

die beiden Körper voneinander zu trennen. Trotzdem 

sollten vorher die Lageskizzen wie oben 

angefertigt werden, damit die Gewichtskraftkomponenten 

klar erkannt und tatsächlich alle Kräfte 

erfasst werden. 

Man kann dabei nach Bild a) vorgehen und danach 

die Gleichgewichtsbedingung SFx ¼ 0 ansetzen. 

Am einfachsten wird der Ansatz zur Lösung, wenn 

man beide Körper sofort zu einem zusammenfasst 

(mges ¼ 2,5m) Bild b). Das ist richtig, weil beide 

Körper der gleichen Beschleunigung unterliegen. 

Aber auch hier sollte man von den beiden Lageskizzen 

der ersten Lösung ausgehen, um klare 

Verhältnisse zu schaffen. Das gilt vor allem für 

den richtigen Ansatz für die Reibungskraft 

FR ¼ FN m, worin FN durch FG1 cos a ersetzt werden 

muss. 

3. Ûbung: Ein Transportband soll die Last von der 

Masse m nach oben befördern. Das Band ist unter 

dem Winkel a ¼ 20 zur Waagerechten geneigt. 

Die Haftreibungszahl beträgt m0 ¼ 0,4. 

Gesucht ist die höchstzulässige Bandbeschleunigung 

amax, bei der ein Rutschen der Last gerade 

noch vermieden wird. 

a ¼ 9,81 m 

s 2 

a ¼ 3,244 m 

s 2 

a) 

1,5 0,2 cos 30 sin 30 

1,5 þ 1 


b) 

Ansatz nach Lageskizze b): 4. Schritt 

SFx ¼ 0 ¼ FG2 T FG1 sin a FN m 

FG1 ¼ mg; FG2 ¼ 1,5mg 

FN ¼ FG1 cos a ¼ mgcos a 

1,5mg 2,5ma mgsin a mgcos am ¼ 0 

1,5g 2,5a g sin a gm cos a ¼ 0 

2,5a ¼ gð1,5 m cos a sin aÞ ¼0 

a ¼ g 

ð1,5 

2,5 

m cos a 

m 

sin aÞ ¼3,244 

s2 Gegeben: a ¼ 20 

m0 ¼ 0,4 

g ¼ 9,81 m 

s 2 

Gesucht: amax ¼ f ða, m 0 , gÞ 

4 Dynamik


Lösung: Die Lageskizze enthält alle am Körper 

angreifenden Kräfte einschließlich der Trägheitskraft 

T ¼ mamax. DaderKörper nach rechts oben 

beschleunigt wird, wirkt die Trägheitskraft T nach 

links unten. Die Haftreibungskraft FR0 max nimmt 

den Körper nach oben mit. Sie muss also den entsprechenden 

Richtungssinn erhalten. 

Nach der Lageskizze werden die beiden Gleichgewichtsbedingungen 

für das zentrale Kräftesystem 

angesetzt. Aus SFy ¼ 0 findet man die Beziehung 

für die Normalkraft FN, für FG wird wie üblich das 

Produkt aus Masse m und Fallbeschleunigung g 

eingesetzt, ebenso für T ¼ mamax. Damit erhält 

man die gesuchte Gleichung und kann amax berechnen. 

Bisher wurden die Aufgaben mit Hilfe der rechnerischen 

(analytischen) Gleichgewichtsbedingungen 

gelöst. Natürlich kann diese Aufgabe auch 

trigonometrisch gelöst werden. 

Man beginnt die Krafteckskizze mit FN und 

FR0 max, die man zu Fe zusammensetzt, um damit 

das geschlossene Krafteck aus Fe, T und FG zu 

zeichnen. 

Nun wird der Sinussatz angesetzt und dabei beachtet, 

dass man für sin ð90 r0Þ den Funktionswert 

cos r0 einsetzen kann. 

Die Gewichtskraft FG wird durch FG ¼ mg 

ausgedrückt, ebenso die Trägheitskraft T durch 

T ¼ mamax. Die Gleichung wird durch die Masse 

m dividiert und nach amax aufgelöst. 

Die Rechnung führt zum gleichen Ergebnis, obwohl 

die Gleichung eine andere Form besitzt. Es 

wird hier gezeigt, wie die erste Gleichung in die 

zweite überführt werden kann. Dazu ersetzt man 

zunächst die Haftreibungszahl m0 durch den Tangens 

des Reibungswinkels. Zur Vereinfachung 

schreibt man amax ¼ a. 

Lageskizze 


SFx ¼ 0 ¼ FR0 max FG sin a 

4. Schritt 

T 

SFy ¼ 0 ¼ FN FG cos a ) FN ¼ FG cos a 

FR0 max ¼ FN m0 ¼ FG cos am0 ¼ mgm0 cos a 

SFx ¼ 0 ¼ mgm 0 cos a mgsin a mamax 

amax ¼ gðm 0 cos a sin aÞ amax ¼ 0,33 m 

s 2 

a ¼ f ða, m 0 , gÞ 

T 

sin ðr 0 


FG 

aÞ ¼ 

sin ð90 r0Þ mamax mg 

¼ 

sin ðr0 aÞ cos r0 amax ¼ g sin ðr0 aÞ 

cos r0 : m 

amax ¼ f ða, r0 , gÞ 

a ¼ gðm0 cos a sin aÞ 

m 0 ¼ tan r 0 ¼ sin r 0 

cos r 0 

a ¼ g 

sin r0 cos a sin a 

cos r0 ¼ FG 

cos r 0 

amax ¼ 0,33 m 

s 2

202 

Die beiden Glieder in der Klammer bringt man auf 

den Hauptnenner cos r 0 , indem sin a mit 

1 ¼ cos r 0 =cos r 0 erweitert wird. Dadurch erhält 

man über dem Bruchstrich einen zweigliedrigen 

Ausdruck, der nach den trigonometrischen Regeln 

durch sin ðr 0 aÞ ersetzt werden kann (siehe 

Handbuch Maschinenbau: Additionstheoreme, 

Summenformeln). Das Ziel ist erreicht. 

a ¼ g 

sin r0 cos a 

cos r0 sin a cos r0 cos r0 a ¼ g sin r0 cos a cos r0 sin a 

cos r0 a ¼ g sin ðr0 aÞ 

cos r0 |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 

zweite Form 

4.4.9 Impuls (Bewegungsgröße) und Impulserhaltungssatz 

Es ist möglich das dynamische Grundgesetz in 

eine andere Form zu bringen. Dazu schreibt man 

für die Beschleunigung a ¼ Dv=Dt und multipliziert 

die so entstandene Gleichung mit dem Zeitabschnitt 

Dt. Diese Gleichung eignet sich besonders 

für Aufgaben, in denen der (meist sehr kurze) 

Zeitabschnitt Dt eine Rolle spielt. 

Das Produkt aus der resultierenden äußeren Kraft 

Fres und dem Zeitabschnitt Dt heißt Kraftstoß. 

Das Produkt aus der Masse m eines Körpers und 

seiner Geschwindigkeit v wird als Impuls oder Bewegungsgröße 

bezeichnet: 

Die Ønderung des Impulses eines Körpers ist 

gleich dem Kraftstoß der resultierenden Kraft 

während des betrachteten Zeitabschnitts Dt. 

Der Impuls ist ein Vektor. 

Ist die Resultierende Fres aller äußeren Kräfte 

gleich null (kräftefreies System), dann ist auch der 

Kraftstoß Fres Dt gleich null: 

Bei Fres ¼ 0 bleibt der Impuls eines Körpers 

unverändert (mv ¼ konstant). 

Der Impulserhaltungssatz wird beim physikalischen 

Vorgang „Stoß“ und in der Hydrodynamik 

angewendet (siehe 4.8, Seite 224). 

¼ gðm 0 cos a sin aÞ 

|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 

erste Form 

Fres ¼ ma a ¼ Dv 

Dt 

Fres ¼ m Dv 

Dt 

Dt 

Fres Dt ¼ m Dv Dt ¼ t2 t1 

Dv ¼ v2 v1 

Fres ðt2 t1Þ 

|fflfflfflffl{zfflfflfflffl} 

Dt 

¼ m ðv2 v1Þ 

|fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl} 

Dv 

gilt für 

Fres ¼ konstant 

Fres Dt Kraftstoß der resultierenden Kraft 

mv Impuls (Bewegungsgröße) des 

Körpers 

Fres Dt ¼ mv2 mv1 

Fres Dt ¼ mv2 mv1 ¼ 0 

mv2 ¼ mv1 ¼ konstant 

Impulserhaltungssatz 

4 Dynamik

4.5 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad 203 

Ûbung: Ein Hobelmaschinentisch mit Werkstück 

besitzt die Masse m ¼ 14 700 kg. Er wird aus einer 

Schnittgeschwindigkeit von 80 m/min in 0,5 s bis 

zum Stillstand gleichmäßig abgebremst. 

Wie groß muss die Bremskraft Fb sein, wenn von 

Reibungskräften abgesehen wird? 

Lösung: Ohne Berücksichtigung der Reibungskraft 

ist Fres ¼ Fb. Da die Endgeschwindigkeit 

vt ¼ 0 sein soll, ist Dv ¼ v0 vt ¼ v0 0 ¼ 

v0 ¼ v, womit sich sofort die Gleichung für die 

Bremskraft Fb ¼ f ðm, v, DtÞ ergibt. 


4.5 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad 

4.5.1 Arbeit W einer konstanten Kraft F 

Soll der skizzierte Wagen längs eines Weges s gezogen 

(oder geschoben) werden, muss dazu eine 

Kraft F in Richtung des Weges wirken. Ihren Betrag 

kann man z. B. mit einer Federwaage messen. 

Zunächst wird angenommen: Die Kraft F wirkt 

exakt in Richtung des Weges, also nicht etwa 

schräg nach oben oder unten, und ihr Betrag bleibt 

während des Vorgangs gleich groß (F ¼ konstant). 

Um den physikalischen Aufwand bei solchen 

Vorgängen vergleichen zu können, hat man den 

Begriff der Arbeit W geschaffen: 

Die Arbeit W einer konstanten Kraft F ist das 

Produkt aus Kraft F und Verschiebeweg s 

(Arbeit gleich Kraft mal Weg). 

Die Arbeit ist ein Skalar. 

Die Einheit für die Arbeit erhält man aus der 

Definitionsgleichung W ¼ Fs. 


Arbeit W ist das Joule J. 


v ¼ 80 m 80 m 

¼ 

min 60 s 

Dt ¼ 0,5 s 

Gesucht: Fb ¼ f ðm, v, DtÞ 

Fres ¼ Fb 

Fb Dt ¼ m Dv Dv ¼ v 

Fb ¼ mv 

Dt 

14,7 10 

Fb ¼ 

3 kg 80 

60 

0,5 s 

Fb ¼ f ðm, v, DtÞ Fb ¼ 39200 N 

Kraftwirkung längs eines Weges ist die 

Arbeit W 

Hinweis: Im Unterschied z. B. zur elektrischen 

Arbeit spricht man bei Kräften auch 

von mechanischer Arbeit. 

W ¼ Fs 

Definitionsgleichung 

der mechanischen 

Arbeit 

ðWÞ ¼ðFÞ ðsÞ ¼N m ¼ 

¼ 

kg m 

s 2 

kg m2 

m ¼ 

s2 ¼ J 

m 

s 

W F s 

Nm ¼ J N m 

1Nm¼ 1J¼ 1Ws 

Nm Newtonmeter 

Ws Wattsekunde 

Die Einheit Joule wurde nach dem Physiker 

J. P. Joule (1818–1889) benannt. 

Aussprache: „dschul“.

204 

1 Joule (Kurzzeichen J) ist gleich der Arbeit, 

die verrichtet wird, wenn der Angriffspunkt der 

Kraft 1 Newton (1 N) in Richtung der Kraft um 

den Weg 1 m verschoben wird (1 J ¼ 1 Nm). 

Im Ergebnis einer Rechnung wird nicht mehr das 

Newtonmeter (Nm) als Einheit eingesetzt, sondern 

das Joule (J). Es wurde für die mechanische Arbeit, 

die elektrische Arbeit, die Wärmemenge und 

die Energie die gleiche Einheit festgelegt, das 

Joule (J), weil es sich um physikalische Größen 

gleicher Art handelt. 

Bei schräg am Körper angreifenden Kräften werden 

häufig Fehler gemacht. Zur Berechnung der 

aufgebrachten Arbeit W darf man in solchen 

Fällen nur die Kraftkomponente einsetzen, die tatsächlich 

Arbeit verrichtet. Das ist immer nur die in 

Bewegungsrichtung fallende Kraftkomponente, 

hier die Kraft F cos a. Die zweite Komponente 

F sin a drückt den Körper auf seine Unterlage, 

ohne ihn zu verschieben. Mit ihr wird also keine 

Arbeit im Sinn der Begriffsbestimmung aufgebracht: 

Fallen Kraft- und Wegrichtung nicht zusammen, 

muss mit der Kraftkomponente gerechnet 

werden, die in die Bewegungsrichtung fällt. 

4.5.2 Zeichnerische Darstellung der Arbeit W 

Wird die Kraft F über dem Weg s in einem rechtwinkligen 

Achsenkreuz aufgetragen, so erhält man 

das Kraft-Weg-Diagramm (F, s-Diagramm). Bei 

konstanter Kraft F ist die Kraftlinie eine zur 

s-Achse parallele Gerade. Die Fläche A unter der 

Kraftlinie ist dann ein Rechteck mit dem Flächeninhalt 

A ¼ Fs, und man erkennt: 

In jedem F, s-Diagramm entspricht die Fläche 

A unter der Kraftlinie der von der Kraft F aufgebrachten 

Arbeit W. 

1 Joule ðJÞ ¼1Nm¼ 1 

kg m2 

s 2 

¼ 1m2 kg s 2 

Zur Veranschaulichung: 

Hebt man eine 100-g-Tafel Schokolade 1 m 

hoch, dann hat man an der Tafel die Arbeit 

von etwa 1 Joule aufgebracht. 

Beispiel: 

Ein Auto wird mit der konstanten Kraft 

F ¼ 300 N parallel zur Fahrbahn gezogen. 

Der Verschiebeweg beträgt s ¼ 15 m. Dann 

gilt für die mechanische Arbeit: 

W ¼ Fs ¼ 300 N 15 m ¼ 4 500 Nm ¼ 4 500 J 

Arbeit W einer schräg wirkenden Kraft 

(W ¼ F cos a s) 

mechanische Arbeit bei 

W ¼ F cos as 

schräg angreifender Kraft 

Welche Winkelfunktion zu benutzen ist (sin 

oder cos ) hängt von der Lage des Winkels 

ab (siehe 1. Ûbung, Seite 206). 

F 

Kraft F 

Kraft-Linie (F-Linie) 

Fläche A = Arbeit W 

denn A = Fs = W 

s 

Weg s 

F; s-Diagramm (Arbeitsdiagramm) bei 

konstanter Kraft F 

Fläche A ¼b Arbeit W ¼ Fs 

4 Dynamik


Das ist eine wichtige Erkenntnis, denn es ist jetzt 

möglich auch die Arbeit W einer veränderlichen 

Kraft F zu berechnen. Das entspricht dem Vorgehen 

zur Bestimmung des Wegabschnitts bei 

der gleichmäßig beschleunigten Bewegung im 

v, t-Diagramm. Man zerlegt in solchen Fällen die 

Gesamtfläche in berechenbare Teilflächen (Rechtecke, 

Trapeze, Dreiecke) und erhält die Gesamtarbeit 

als Summe der Teilarbeiten. 

F 1 

Kraft F 

s 1 

A 1 

F-Linie 

A 2 

A 3 

A 4 

Arbeit W = 

A +A +A +A 

1 2 3 4 

s2 s3 s4 Gesamtweg 

F 2 

Weg s 

F, s-Diagramm einer veränderlichen Kraft F 

4.5.3 Federarbeit Wf (Formänderungsarbeit) als Arbeit einer veränderlichen Kraft 

Wichtigstes Beispiel für die Arbeit einer veränderlichen 

Kraft ist die zur Formänderung einer Feder 

aufzubringende Arbeit Wf (Federkraft). Bei den 

meisten Federn steigt die zur Formänderung erforderliche 

Kraft von null gleichmäßig (linear) an. 

Die Kraftlinie ist eine ansteigende Gerade; sie 

heißt auch Federkennlinie. Angenommen, eine 

schon vorgespannte Schraubenzugfeder soll um 

Ds verlängert werden. Dann steigt die dazu 

erforderliche Zugkraft von F1 auf F2 an. Die 

Fläche unter der Federkennlinie hat Trapezform, 

das heißt, die Federarbeit kann aus 

Wf ¼ðF1 þ F2Þ Ds=2 berechnet werden. 

Meistens ist die Federrate R der Feder bekannt, 

oder sie wird durch einen Versuch bestimmt1) : 

Die Federrate R gibt an, welche Kraft F für 

einen Federweg s ¼ 1 mm erforderlich ist. 

Formal exakter: Die Federrate ist im elastischen 

Bereich der Proportionalitätsfaktor zwischen 

Federkraft F und Federweg (Verformungsweg) 

s einer Feder: F ¼ Rs. 

Mit der Federrate R ¼ F1=s1 ¼ F2=s2 und daraus 

F1 ¼ Rs1 sowie F2 ¼ Rs2 kann man eine Gleichung 

für die Federarbeit Wf entwickeln, in der 

nur die Federrate R und die Federwege s1, s2 enthalten 

sind. Wie die Entwicklung zeigt, ergibt sich 

das Binom ðs2 þ s1Þðs2 s1Þ ¼s2 2 

s1 2 . 

ΔF 

F 1 

Federkraft F 

a 

s 1 

F = 0 

0 

F-Linie 

s 2 

A=W f 

F 1 

Δs 

F 2 

Federweg s 

Federarbeit (Formänderungsarbeit) Wf beim 

Spannen einer Schraubenzugfeder 

Federkraft F 

R ¼ 

Federweg s 

R ¼ DF 

Ds 

¼ F1 

s1 

Wf ¼ F1 þ F2 

2 

¼ F2 

¼ ... 

s2 

Federrate 2) 

Ds Federarbeit 

Wf ¼ Rs1 þ Rs2 

ðs2 

2 

s1Þ 

Wf ¼ R 

2 ðs2 þ s1Þðs2 s1Þ 

R F s 

1) Versuch in A. Böge; J. Eichler: Physik: Grundlagen, Versuche, Aufgaben, Lösungen, ViewegþTeubner 2008 

2) Bezeichnung Federrate R nach DIN 2089, Nov. 92 

N 

mm 

N mm 

F 2

206 

Setzt man in Rechnungen die Federrate in N/mm 

und den Federweg s in mm ein, erhält man die 

Federarbeit Wf in Nmm. Wf ist die Arbeit, die an 

einer um s1 vorgespannten Feder verrichtet werden 

muss, um sie auf die Strecke s2 weiter zu verformen. 

4.5.4 Ûbungen mit der Größe Arbeit 

1. Ûbung: Ein Wagen von der Masse m ¼ 400 kg 

soll auf eine um h ¼ 2,4 m höher liegende Rampe 

gebracht werden: 

a) mit Hilfe eines Krans, 

b) durch Verschieben auf einer unter a ¼ 30 

geneigten Fahrbahn. 

Im Fall b) soll die Verschiebekraft F parallel zur 

schiefen Ebene wirken. Die Reibung soll unberücksichtigt 

bleiben (geringe Rollreibung). 

Für beide Fälle ist die aufzubringende Arbeit W zu 

bestimmen. 

Lösung: 

a) Bei Kranen und anderen Senkrechtfördergeräten 

spricht man von Hubarbeit Wh. 

Da hier die Seilkraft F gleich der konstanten 

Gewichtskraft FG ¼ mg zu überwinden ist, gilt 

Wh ¼ FGh ¼ mgh. 

Wichtig ist die Erkenntnis, dass für horizontale 

Bewegungen des Krans mit der Last keine Hubarbeit 

aufgebracht werden muss, weil keine 

Höhendifferenz zu überwinden ist (Dh ¼ 0). 

b) Man beginnt mit der Skizze des freigemachten 

Wagens (Lageskizze) und entwickelt daraus die 

Krafteckskizze. Schon hier erkennt man, dass die 

Verschiebekraft F gleich der Gewichtskraftkomponente 

FG sin a ist. Diese Komponente heißt auch 

Hangabtriebskomponente der Gewichtskraft FG. 

Zu Ûbungszwecken werden noch einmal die 

beiden Gleichgewichtsbedingungen angesetzt 

(Achsenkreuz um a zur Waagerechten gedreht). 

Wf ¼ R 2 

ðs2 

2 

Wf R s 

Nm 

1Nm¼1000 Nmm ¼ 1J 

N 

mm mm 

s1 2 Þ Federarbeit 

Gegeben: Masse m ¼ 400 kg 

Höhe h ¼ 2,4 m 

Winkel a ¼ 30 

Gesucht: Hubarbeit Wh 

Wh ¼ FG h ¼ mgh Hubarbeit 

Wh FG m h g 

J ¼ Nm N kg m m 

s2 4 Dynamik 

Wh ¼ mgh ¼ 400 kg 9,81 m 

2,4 m 

s2 Wh ¼ 9 417,6 Nm ¼ 9 417,6 J 

Lageskizze Krafteckskizze 

SFx ¼ 0 ¼ F FG sin a ) F ¼ FG sin a 

SFy ¼ 0 ¼ FN FG cos a


Mit F ¼ FG sin a hat man die in Wegrichtung 

fallende Verschiebekraft (Kraft- und Wegrichtung 

müssen zusammenfallen). Der Verschiebeweg s 

kann mit Hilfe der Sinusfunktion aus der Hubhöhe 

h bestimmt werden (s ¼ h=sin a). 

Da auch hier die Verschiebekraft konstant ist, gilt 

die einfache Beziehung: Arbeit ist gleich Kraft 

mal Weg. 

Die Rechnung führt zum gleichen Ergebnis wie im 

Fall des Krans ( sin a kürzt sich heraus). 

Das heißt: 

Es ist gleichgültig, auf welchem Weg eine Last 

auf eine höhere Ebene gebracht wird. Immer ist 

dazu die Hubarbeit Wh ¼ Gewichtskraft FG mal 

Hubhöhe h erforderlich. Horizontale Verschiebungen 

einer Last haben keinen Einfluss auf 

die Hubarbeit. 

2. Ûbung: In eine Vorrichtung sollen Schrauben- 

Druckfedern eingebaut werden, deren Federrate 

vorher zu R ¼ 80 N/mm ermittelt worden ist. Jede 

Feder soll nach dem Einbau unter einer Vorspannkraft 

F1 ¼ 400 N stehen. Sie wird dann um weitere 

12 mm zusammengedrückt. 

Nach dem skizzierten Federdiagramm sind zu 

bestimmen: 

a) der Vorspannweg s1 nach dem Einbau, 

b) die maximale Federkraft F2, 

c) die Federarbeit Wf beim Betriebshub. 

Lösung: 

a) Die Federrate R ist der Quotient aus Federkraft 

und Federweg, also bekommt man aus R ¼ F1/s1 

den Vorspannweg s1. 

b) Auf gleiche Weise findet man die maximale 

Federkraft F2. Es darf nur nicht der falsche 

Federweg einsetzt werden: Zur Federkraft F2 

gehört der Federweg s2. 

sin a ¼ h 

s 

s ¼ h 

sin a 

W ¼ Fs ¼ FG sin a h 

sin a 

W ¼ FG sin a h 

sin a ¼ FG h ¼ mgh 

W ¼ mgh ¼ 9417,6 J (wie vorher) 

Beachte: Beim Verschieben einer Last auf 

einer schiefen Ebene wird nichts an mechanischer 

Arbeit gespart. Zwar wird die Verschiebekraft 

umso kleiner, je kleiner der Neigungswinkel 

a der schiefen Ebene ist, umso 

größer wird dann jedoch der Verschiebeweg. 

Das Produkt aus beiden ist immer wieder 

gleich der Hubarbeit. 

Gegeben: Federrate R ¼ 80 N 

mm 

Vorspannkraft F1 ¼ 400 N 

Ds ¼ 12 mm 

Gesucht: Vorspannweg s1 

Federkraft F2 

Federarbeit Wf 

R ¼ F1 

¼ 

s1 

F2 

¼ ... 

s2 

s1 ¼ F1 400 N 

¼ 

R 

80 N 

¼ 5mm 

mm 

F2 ¼ Rs2 (nicht etwa ¼ R Ds) 

F2 ¼ 80 N 

17 mm ¼ 1360 N 

mm

208 

c) Die Federarbeit während des Hubes findet man 

mit den entsprechenden Größen als Trapezfläche 

unter der Federkennlinie. Wird die früher hergeleitete 

Gleichung mit der Federrate R benutzt, darf 

nicht ðs2 2 

s1 2 Þ¼ðDsÞ 2 gesetzt werden. 

Natürlich kann man auch eine Funktionsgleichung 

Wf ¼ f ðR, F1, DsÞ für die ursprünglich gegebenen 

Größen entwickeln. 

3. Ûbung: Ein Werkstück von der Masse 

m ¼ 10 kg soll auf horizontaler Bahn durch die 

Kraft F mit konstanter Geschwindigkeit v um den 

Weg sR ¼ 2 m verschoben werden. Die Kraft F 

greift unter dem Winkel a ¼ 30 zur Horizontalen 

an. Die Gleitreibungszahl zwischen Werkstück 

und Unterlage beträgt m ¼ 0,25. 

Gesucht wird eine Gleichung für die Reibungsarbeit 

WR und deren Betrag. 

Lösung: Zunächst wird festgelegt, was unter Reibungsarbeit 

zu verstehen ist: 

Reibungsarbeit WR ist das Produkt aus der konstanten 

Reibungskraft FR und dem Reibungsweg sR. 

Die erste Aufgabe besteht darin, eine Beziehung 

für die Normalkraft FN zu entwickeln. Man erhält 

sie aus den Gleichgewichtsbedingungen für das 

freigemachte Werkstück, indem sowohl SFx ¼ 0 

als auch SFy ¼ 0 nach F aufgelöst wird und dann 

die beiden Gleichungen gleichgesetzt werden: 

FN m=cos a ¼ðFN FGÞ=sin a : 

Beim Auflösen nach FN ergibt sich der Quotient 

sin a=cos a, der durch tan a ersetzt wird. 

Mit der Beziehung für die Normalkraft FN erhält 

man die gesuchte Funktionsgleichung 

WR ¼ f ðm, g, m, a, sRÞ. 

Die Reibungsarbeit WR ist die beim Verschieben 

des Werkstücks erforderliche Arbeit. Sie wandelt 

sich in Wärme um. 

Das Endergebnis schreibt man mit der Einheit 

Joule (J), weil dies die gesetzliche Einheit für die 

Arbeit ist (1 Nm ¼ 1 J). 

Wf ¼ F1 þ F2 

Ds ¼ 10 560 Nmm 

2 

oder: 

Wf ¼ R 2 

ðs2 s1 

2 2 Þ¼ 80 N 

ð289 25Þ mm2 

2 mm 

Wf ¼ 10,56 Nm ¼ 10,56 J 

Wf ¼ 2F1 þ R Ds 

2 

Wf ¼ f ðR, F1, DsÞ 

Federarbeit 

Gegeben: Masse m ¼ 10 kg 

Reibungszahl m ¼ 0,25 

Winkel a ¼ 30 

Weg sR ¼ 2m 

Gesucht: Reibungsarbeit 

WR ¼ f ðm, g, m, a, sRÞ 

WR ¼ FR sR 

WR ¼ FN msR 

Reibungsarbeit 

SFx ¼ 0 ¼ F cos a FN m 

SFy ¼ 0 ¼ FN FG F sin a 

m 

F ¼ FN 

cos a ¼ FN FG 

sin a 

FN ¼ 

1 

FG 

m tan a ¼ 

1 

mg 

m tan a 

WR ¼ FR sR ¼ FN msR ¼ 

1 

mg 

m tan a msR 

WR ¼ f ðm, g, m, a, sRÞ 

10 kg 9,81 

WR ¼ 

m 

s2 0,25 2m 

1 0,25 tan 30 

WR ¼ 57,32 Nm ¼ 57,32 J 

4 Dynamik


Diskussion der Gleichung für die Reibungsarbeit 

WR 

Bei der nummerischen Auswertung der Gleichung 

können sich positive oder negative Werte oder null 

ergeben. Das richtet sich nach dem Wert des Nenners 

1 m tan a. Die Reibungszahl m ist immer positiv 

mit technisch brauchbaren Werten m > 0 

< 0,5. Das gilt auch für Winkelwerte von a 0 

< 90 . Negative Werte für die Reibungsarbeit WR 

können sich bei großen m- und großen a-Werten ergeben 

(physikalisch unbrauchbar). Wird der Nenner 

null, dann ist die Reibungsarbeit WR unendlich 

groß. Das System ist selbsthemmend. 

4.5.5 Leistung P 

Ist die mechanische Arbeit W, die zur Ortsveränderung 

eines Körpers erforderlich ist bekannt, dann 

ist damit noch nichts über die Zeit ausgesagt, in der 

diese Arbeit verrichtet wird. Gerade das aber muss 

man in der Technik wissen, weil zeitlich geplant werden 

muss. Es wurde daher die in der Zeiteinheit (1 s) 

verrichtete Arbeit als besondere Größe festgelegt: 

Die Leistung P ist der Quotient aus der verrichteten 

Arbeit W und der dazu erforderlichen oder 

verwendeten Zeit t (Leistung gleich Arbeit 

durch Zeit). 

Die Leistung ist ein Skalar. 


Leistung P ist das Watt W: 

1 Watt (Kurzzeichen W) ist gleich der Leistung, 

bei der während der Zeit 1 s die Arbeit 1 J umgesetzt 

wird. 

Mit der Gleichung P ¼ W/t berechnet man die 

mittlere Leistung während eines Zeitabschnittes t, 

denn es ist unbekannt, ob in der dritten Sekunde 

ebenso viel Arbeit verrichtet worden ist wie in der 

zwölften Sekunde. 

Das Endergebnis wird mit der Einheit Watt (W) 

geschrieben, weil dies die gesetzliche Einheit für 

die Leistung ist (1 Nm/s ¼ 1 W). Siehe auch Vorsatzzeichen 

(Vorsätze) am Ende des Buches. 

Bei 1 > m tan a ergeben sich positive Werte 

für die Reibungsarbeit (WR > 0). Das ist der 

übliche Fall. 

Bei 1 ¼ m tan a liegt Selbsthemmung vor 

(WR !1). 

Bei 1 < m tan a ergeben sich physikalisch 

unbrauchbare Werte für die Reibungsarbeit 

(WR < 0). 

Beispiel: 

Zum Heben einer Last ist eine Hubarbeit 

Wh ¼ 10000 J erforderlich. 

Zur Planung muss man wissen, ob diese 

Arbeit mit den vorhandenen Geräten in einer 

Stunde oder in einer Minute „geleistet“ werden 

kann. 

Arbeit W 

P ¼ 

zugehörige Zeit t 

P ¼ W 

t 

J 

s 

Mittlere Leistung 

während der Zeit t 

1 J 

s 


der Leistung 

P W t 

Nm 

¼ ¼ W J ¼ Nm s 

s 

Nm 

¼ 1 ¼ 1W 

s 

Die Einheit Watt wurde nach dem englischen 

Erfinder der ersten brauchbaren Dampfmaschine 

J. Watt (1736–1819) benannt. 

1W¼ 1 J Nm 

¼ 1 

s s ¼ 1m2kg s 3 

Beispiel: 

Ein Kran hebt einen Körper von der Masse 

m ¼ 600 kg auf h ¼ 5mHöhe. Der Vorgang 

dauert 100 s. Die Hubgeschwindigkeit v 

ändert sich dabei mehrfach. 

Ph ¼ Wh mgh 

¼ 

t t ¼ 

600 kg 9,81 m 

5m 

s2 100 s 

Ph ¼ 294,3 Nm J 

¼ 294,3 ¼ 294,3 W 

s s 

Ph ¼ 0,294 kW mittlere Leistung.

210 

Sind die Arbeitsbeträge je Sekunde verschieden 

groß, dann gilt das auch für die Leistungen. Das 

kann zwei Ursachen haben: Entweder ist die 

Kraft F, welche die Arbeit verrichtet, nicht konstant, 

oder es werden in gleichen Zeiten verschiedene 

Wege zurückgelegt, d. h. die Geschwindigkeit 

v ist nicht konstant. Es kann auch beides 

zugleich der Fall sein. 

Aus der Definitionsgleichung für die Leistung 

P ¼ W/t kann eine Gleichung für die Momentanleistung 

entwickelt werden, die unbeschränkt 

angewendet werden kann, also nicht nur bei konstanter 

Arbeit. 

Die Leistung P ist das Produkt aus der Verschiebekraft 

F und der Verschiebegeschwindigkeit 

v (Leistung gleich Kraft mal Geschwindigkeit). 

Man prägt sich die Definitionen der beiden technisch 

wichtigen Größen Arbeit W und Leistung P 

besser ein, wenn man sie untereinander stehend 

vor Augen hat. Man erkennt: W enthält nicht die 

Zeit t; P dagegen ist geschwindigkeits- und daher 

zeitabhängig. 

Entsprechend den speziellen Bezeichnungen für 

die mechanischen Arbeitsformen kennzeichnet 

man auch die Leistung. 

4.5.6 Wirkungsgrad h 

Kein technischer Vorgang läuft verlustfrei ab. Ein 

Teil der aufgebrachten Arbeit (oder Leistung) geht 

für den eigentlichen Zweck verloren. In technischen 

Maschinen und Vorrichtungen ist das vor allem die 

Reibungsarbeit (oder Reibungsleistung) infolge der 

unvermeidlichen Reibung zwischen den Maschinenteilen. 

Die Reibungsarbeit wird dabei in Wärme 

umgewandelt, spürbar in der Temperaturerhöhung 

des festen, flüssigen oder gasförmigen Körpers. 

Mit der Arbeitsdefinition W ¼ Fs und der 

Gleichung für die konstante Geschwindigkeit 

v ¼ s/t erhält man: 

P ¼ W Fs s 

¼ ¼ F ¼ Fv 

t t t 

Leistung P ¼ Kraft F Geschwindigkeit v 

Beachte: Wie bei der mechanischen Arbeit W 

Kraft- und Wegrichtung übereinstimmen 

müssen, so müssen auch bei der mechanischen 

Leistung die Wirklinien von Kraft F 

und Geschwindigkeit v zusammenfallen. 

P ¼ Fv 

Momentanleistung 

Arbeit W ¼ Kraft F Weg s 

Leistung P ¼ Kraft F Geschwindigkeit v 

W ¼ Fs 

P ¼ Fv 

W ¼ Nm J 

¼ 

s s 

4 Dynamik 

P F v 

N m 

s 

W P F s v 

J W N m m 

s 

Beispiele: 

Hubarbeit Wh 

Hubleistung Ph ¼ 

Zeit t 

Reibungsarbeit WR 

Reibungsleistung PR ¼ 

Zeit t 

Beispiel: 

Die Reibung in den Lagern eines Getriebes 

erwärmt Welle und Lagerteile, ebenso wie 

die Reibung zwischen den Zahnflanken die 

Zahnräder erwärmt. Das Úl erwärmt sich und 

muss im Rücklauf gekühlt werden. Durch 

Konvektion und Strahlung geht ein Teil der 

Wärme an die umgebende Luft über.


Zur Beurteilung der Verluste in Maschinen, in einzelnen 

Maschinenteilen und Vorrichtungen hat 

man den Wirkungsgrad definiert: 

Der Wirkungsgrad h ist das Verhältnis der 

Nutzarbeit Wn (Nutzleistung Pn) zur aufgewendeten 

Arbeit Wa (aufgewendeten Leistung Pa). 

Es ist üblich, die aufgewendete Leistung Pa als 

Antriebsleistung zu bezeichnen und mit dem Index 1 

zu kennzeichnen (Pa ¼ Pan ¼ P1). Die Nutzleistung 

Pn wird als Abtriebsleistung mit P2 bezeichnet. 

Meistens setzt man nicht die Arbeiten, sondern 

die Leistungen ins Verhältnis. 

Am Beispiel eines einfachen Getriebes soll untersucht 

werden, wie sich der Gesamtwirkungsgrad 

hges einer Anlage aus den Einzelwirkungsgraden 

zusammensetzt. 

Die Antriebsleistung Pan ¼ P1 wird durch die Lagerverluste 

in den Lagern 1 und 2 vermindert auf 

h Lg1, 2 P1. Das ist zugleich die „neue“ Antriebsleistung, 

die in den Zahneingriff einfließt und dort 

verringert wird auf h Lg1, 2 h z P1. Dieser Leistungsbetrag 

wiederum wird in den Lagern 4 und 5 

auf h Lg1, 2 h z h Lg4, 5 P1 reduziert. Das ist die 

Abtriebsleistung Pab ¼ P2. 

Mit der Ausgangsgleichung h ¼ P2/P1 erhält man 

abschließend die Beziehung für den Gesamtwirkungsgrad. 

Der Gesamtwirkungsgrad hges einer Maschine, 

einer Anlage oder eines physikalischen Vorgangs 

ist das Produkt der Einzelwirkungsgrade. 

Der Wirkungsgrad wird nicht nur als Dezimalzahl 

angegeben, z. B. h ¼ 0,86, sondern auch als Prozentzahl, 

z. B. h ¼ 86%. 


Nutzarbeit Wn 

h ¼ 

< 1 

aufgewendete Arbeit Wa 

h ¼ Wn 

¼ 

Wa 

Pn 

¼ 

Pa 

P2 

< 1 

P1 

Hinweis: Die Wirkungsgraddefinition gilt für 

alle technischen Vorgänge, also auch z. B. für 

wärmetechnische und chemische Vorgänge. 

Allein wegen der immer vorhandenen Reibungswiderstände 

kann der Wirkungsgrad 

niemals den Wert 1 erreichen. 

1, 2, 4, 5 Leistungsverluste durch Reibungsleistung 

in den Lagern 

(Lagerverluste) 

3 Leistungsverlust zwischen den 

Zähnen (Zahnverluste) 

hges ¼ Pab 

¼ hLg1, 2 hz hLg4, 5 ¼ 

Pan 

P2 

P1 

h ges ¼ h 1 h 2 h 3 ... h n ¼ Pab 

Gesamtwirkungsgrad 

Beispiele für Wirkungsgrade: 

Gleitlager h ¼ 0,98 (98%) 

Verzahnung h ¼ 0,98 (98%) 

E-Motor h ¼ 0,9 (90%) 

Ottomotor h ¼ 0,25 (25%) 

Pan 

¼ P2 

< 1 

P1

212 

4.5.7 Ûbungen mit den Größen Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad 

1. Ûbung: Beim Zerspanen auf einer Drehmaschine 

wird mit dem Schnittkraftmessgerät die 

Schnittkraft Fc ¼ 5000 N gemessen. Werkstückdrehzahl 

und -durchmesser ergeben eine Schnittgeschwindigkeit 

(Umfangsgeschwindigkeit) von 

vu ¼ 60 m/min. 

Der Gesamtwirkungsgrad hges der Drehmaschine 

vom Elektromotor bis zur Zerspanungsstelle z 

wird mit 78% angenommen. 

Es ist die Antriebsleistung Pmot für den Motor zu 

bestimmen. 

Lösung: Das Schnittkraftmessgerät zeigt nur geringe 

Schwankungen für den Betrag der Schnittkraft 

Fc an, es kann also Fc ¼ konstant angenommen 

werden. Ebenso ist vu ¼ konstant. Die 

Wirklinien von Kraft und Geschwindigkeit decken 

sich (Tangente), so dass die Schnittleistung aus 

Pc ¼ Fcvu berechnet werden kann. 

Aus der allgemeinen Beziehung h ¼ Pab/Pan erhält 

man die erforderliche Motorleistung Pmot. Sie 

muss natürlich größer sein als die Schnittleistung 

(Pmot > Pc). 

Bei allen Aufgaben dieser Art wird in Zukunft 

aber nicht schrittweise vorgegangen, sondern 

man geht von der Definitionsgleichung für den 

Wirkungsgrad aus und bestimmt daraus die gesuchte 

Größe. 

2. Ûbung: Ein Kran hebt eine Last von der 

Masse m ¼ 2 t mit einer Hubgeschwindigkeit 

v ¼ 0,25 m/s. Der Antriebsmotor entnimmt dabei 

dem Netz die Leistung Pnetz ¼ 7 kW, sein Wirkungsgrad 

beträgt hmot ¼ 0,9. 

Es ist der Wirkungsgrad hanlage der restlichen 

Maschinenteile vom Motorritzel bis zum Kranhaken 

zu bestimmen. 

Lösung: Hier geht man von der Gleichung für den 

Gesamtwirkungsgrad h ges ¼ h moth anlage aus. Für 

Pab und Pan werden dann die speziellen Größen 

mit den allgemeinen Bezeichnungen eingesetzt 

und nach der gesuchten Größe aufgelöst, hier also 

nach hanlage. 

Gegeben: 

Schnittkraft Fc ¼ 5000 N 

Schnittgeschwindigkeit vu ¼ 60 m 

min 

Gesamtwirkungsgrad hges ¼ 0,78 

Gesucht: Antriebsleistung Pmot 

Die Schnittleistung Pc beträgt: 

Pc ¼ Fcvu ¼ 5000 N 1 m 

s 

Pc ¼ 5 000 Nm J 

¼ 5000 ¼ 5000 W 

s s 

Pc ¼ 5kW 

Pab 

hges ¼ 

Pan 

Pc 

Pmot 

Pmot ¼ Pc 

h ges 

¼ 5kW 

¼ 6,41 kW 

0,78 

hges ¼ Pab 

¼ 

Pan 

Pc 

¼ 

Pmot 

Fc vu 

Pmot 

Pmot ¼ Fc vu 

¼ 

hges Gegeben: m ¼ 2t 

v ¼ 0,25 m 

s 

Pnetz ¼ 7kW 

hmot ¼ 0,9 

Gesucht: hanlage 

5000 N 1 m 

s ¼ 6,41 kW 

0,78 

hges ¼ Pab 

¼ 

Pan 

Ph 

¼ hmothanlage Pnetz 

h anlage ¼ mgv 

Pnetzh mot 

h anlage ¼ 

Ph ¼ mgv 

(Hubleistung) 

2000 kg 9,81 m 

s2 m 

0,25 

s 

7000 Nm 

s 

0,9 

4 Dynamik 

¼ 0,779

4.6 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad bei der Drehbewegung 213 

4.6 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad bei der Drehbewegung 

(Kreisbewegung) 

4.6.1 Gegenüberstellung der allgemeinen Größen mit den entsprechenden 

Kreisgrößen 

Ebenso wie im Abschnitt 4.3.1 (Seite 182) werden hier die Kreisgrößen den allgemeinen 

Größen gegenüber gestellt (Analogieverfahren). Dabei erkennt man die Gleichartigkeit einander 

entsprechender Größen und Gleichungen und kommt zu besserem Verständnis. Wer die 

Definitionen der allgemeinen Größen kennt, hat dann auch sofort die Definitionen der entsprechenden 

Kreisgrößen zur Hand, und er wird beim Lösen von Aufgaben sicherer sein. Vor allem 

ist die Erkenntnis wichtig, dass der Kraft F (Verschiebekraft) im allgemeinen Fall das Drehmoment 

M bei der Kreisbewegung entspricht (F ¼b M). 

Allgemeine Größe mit Definitionsgleichung Einheit Kreisgröße mit Definitionsgleichung Einheit 

Zeit t s Zeit t s 

Verschiebeweg s m Drehwinkel j rad 

Verschiebegeschwindigkeit 


v ¼ s 

t 

m 

s 



w ¼ j 

t 

Verschiebekraft F N Drehmoment M ¼ FT r Nm 

Arbeit W ¼ Fs Nm ¼ J Dreharbeit Wrot ¼ Mj ¼ FT r j Nm ¼ J 

Leistung P ¼ W 

t 

¼ Fv 

Nm 

s ¼ W Drehleistung Prot ¼ Wrot 

¼ Mw 

t 

F; s-Diagramm je nach Aufgabenstellung: M; j-Diagramm je nach Aufgabenstellung: 

F 1 

F 

A=W= 

F-Linie 

F 1 + F2 

s 

2 

F 2 

0 s 

s 

Beachte: Die Fläche A unter der F-Linie 

entspricht der Arbeit W 

M 1 

M 

A=W = 

rot 

M-Linie 

M 1 + M2 

f 

2 

M 2 

rad 

s 

0 f f 

Beachte: Die Fläche A unter der M-Linie 

entspricht der Dreharbeit Wrot 

Nm 

¼ W 

s

214 

4.6.2 Dreharbeit Wrot (Rotationsarbeit) 

An einer Kurbel oder Kurbelwelle wirkt die konstante 

Kraft FT in tangentialer Richtung. Man 

spricht daher auch von Tangentialkraft oder Umfangskraft. 

FT dreht hier die Kurbel rechts herum 

und verrichtet über dem Drehweg s die Dreharbeit 

Wrot ¼ FT s. 

Mit der Anzahl der Umdrehungen z kann man für 

den Drehweg s ¼ 2prz schreiben und hat damit 

schon eine auf Kreisgröße bezogene Gleichung für 

die Dreharbeit Wrot. 

Das Produkt aus Tangentialkraft FT und Wirkabstand 

r (Radius) ist das Drehmoment M. Das 

Produkt 2pz ist schon aus der Drehbewegung 

bekannt als Drehwinkel j ¼ 2pz. Damit erhält 

man die der allgemeinen Definition W ¼ Fs entsprechende 

Definitionsgleichung für die Dreharbeit 

Wrot. 

Zeichnerisch stellt sich die Dreharbeit Wrot im 

M; j-Diagramm als Fläche unter der M-Linie dar. 

Man erkennt hier wieder die Entsprechung zur 

Fläche unter der F-Linie im F; s-Diagramm (siehe 

4.5.2, Seite 204): 

In jedem M; j-Diagramm entspricht die Fläche 

A unter der M-Linie der Rotationsarbeit Wrot 

des Drehmoments M. 

Ist das Drehmoment M nicht konstant, sondern 

steigt es linear an, dann gelten die gleichen Diagramme 

und Gleichungen wie auf der Seite 205, 

wenn darin für die Federkraft F das Drehmoment 

M und für den Federweg s der Drehwinkel j einsetzt 

wird. 

An die Stelle der in 4.5.3 (Seite 205) behandelten 

Schraubenzugfeder tritt die Torsionsstabfeder. 

Wrot ¼ FT s 

Wrot ¼ FT 2prz 

FTr ¼ Drehmoment M (Kraftmoment) 

2pz ¼ Drehwinkel j 

Wrot ¼ FT s ¼ Mj Rotationsarbeit 

Wrot M j 

Nm ¼ J Nm rad¼1 Wrot FT s, r z 

Nm ¼ J N m 1 

Arbeitsdiagramm für die Drehbewegung 

Beispiel: Das Drehmoment in der Torsionsstabfeder 

eines Autos steigt linear von 

120 Nm auf 250 Nm an. Dabei wird die 

Feder um 30 verdreht. 

Die Federarbeit beträgt dann nach Seite 205: 

Wf ¼ M1 þ M2 ð120 þ 250Þ Nm 

j ¼ 

2 

2 

Wf ¼ 96,9 J 

4 Dynamik 

30 p 

180


4.6.3 Drehleistung Prot (Rotationsleistung) 

Wie bei der Herleitung der Gleichung für die 

Dreharbeit geht man auch hier von der Tangentialkraft 

FT aus. In jedem Augenblick sind die Tangentialkraft 

FT und die Umfangsgeschwindigkeit 

vu gleichgerichtet. Dann gilt die allgemeine Beziehung: 

Leistung ist Kraft mal Geschwindigkeit. 

Mit den speziellen Bezeichnungen gilt demnach 

P ¼ FT vu. 

Nach Abschnitt 4.2.7 (Seite 179) kann für die Umfangsgeschwindigkeit 

vu das Produkt aus Winkelgeschwindigkeit 

w und Radius r eingesetzt werden. 

Das Produkt aus Tangentialkraft FT und Radius r 

ist wieder das Drehmoment M. Damit erhält man 

die der allgemeinen Definition P ¼ Fv entsprechende 

Definitionsgleichung für die Drehleistung 

Prot (F ¼b M und v ¼b w, siehe 4.6.1, 

Seite 213). 

Mit den kohärenten Einheiten Newton N, Meter m 

und Sekunde s erhält man als kohärente Einheit 

für die Leistung P das Watt W. 

4.6.4 Zahlenwertgleichung für die Drehleistung Prot 

Auf den Leistungsschildern der Motoren ist nicht 

die Winkelgeschwindigkeit w, sondern die Drehzahl 

n angegeben (in U=min ¼ min 1 ). Soll diese 

Drehzahl unmittelbar in die Leistungsgleichung 

eingesetzt werden, muss sie durch 60 dividiert 

werden. Die Leistung ergibt sich dann in der 

Einheit Watt. Um Kilowatt kW zu bekommen, 

muss noch durch 1000 dividiert werden 

(1 kW ¼ 1000 W). 

Fasst man den Quotienten von 

2p=ð60 1 000Þ ¼1=9550 zusammen, ergibt das 

die in der Technik übliche Zahlenwertgleichung 

für die Drehleistung Prot. Wie jede Zahlenwertgleichung 

gilt sie nur für die eingetragenen Einheiten. 

Auf den Leistungsschildern steht neben der Motordrehzahl 

n auch die zur Verfügung stehende Leistung 

P. Aus beiden Angaben kann mit der nach M 

aufgelösten Gleichung das verfügbare Drehmoment 

in Nm berechnet werden (siehe auch Festigkeitslehre, 

Torsionsbeanspruchung). 

Prot ¼ FT vu 

vu ¼ r w ¼ r 2pn 

Prot ¼ FT r w ¼ FT 2prn 

FTr ¼ Drehmoment M 

Prot ¼ Mw ¼ M 2pn Drehleistung 

Nm 

s 

2p 

1 

Prot ¼ Mn ¼ Mn 

60 1000 60 000 

2p 

1 

Prot ¼ Mn 

9550 

Prot ¼ Mn 

9550 

Zahlenwertgleichung 

M ¼ 9550 Prot 

n 


Prot FT vu 

Nm 

¼ W N 

s 

Prot M w n 

rad 1 

¼ W Nm ¼ 

s s 

1 1 

¼ s 

s 

m 

s 

Prot M n 

kW Nm min 1 

M Prot n 

Nm kW min 1

216 

4.6.5 Wirkungsgrad, Drehmoment und Ûbersetzung 

Eine wichtige Beziehung zwischen Wirkungsgrad 

h, Drehmoment M und Ûbersetzung i erhält man, 

wenn von der Definitionsgleichung für den Wirkungsgrad 

ausgegangen wird und man für die 

Leistung P ¼ Mw oder P ¼ M 2pn einsetzt. Es 

kann damit beispielsweise der Wirkungsgrad eines 

Getriebes berechnet werden, wenn man vorher 

An- und Abtriebsmoment gemessen und die Ûbersetzung 

an Hand der Baugrößen (z. B. Zähnezahl) 

bestimmt hat. 

h ¼ Pab 

¼ 

Pan 

P2 

¼ 

P1 

M2w2 

¼ 

M1w1 

M2 2pn2 

M1 2pn1 

w2 

w1 

¼ n2 

n1 

h ¼ M2 

M1 

¼ 1 

(siehe 4.2.9, Seite 181) 

i 

1 

i 

M2 ¼ M1ih 

M2 Abtriebsmoment, M1 Antriebsmoment 

4.6.6 Ûbungen zu Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad und Ûbersetzung 

bei Drehbewegung 

1. Ein Werkstück von m ¼ 100 kg Masse soll 

10 m hoch gehoben werden. Es steht eine Winde 

mit dem Kurbelradius r ¼ 400 mm zur Verfügung. 

Die Handkraft (Tangentialkraft) an der Kubel soll 

60 N betragen. Es soll die Anzahl z der Kurbelumdrehungen 

bestimmt werden, wenn von Verlusten 

abgesehen wird. 

2. Der Flanschmotor eines Getriebes gibt bei 

n ¼ 2 880 min 1 eine Leistung von 18 kW ab. 

Das Getriebe hat eine Ûbersetzung von i ¼ 420 

und einen geschätzten Wirkungsgrad von h ¼ 0,7. 

Welches Drehmoment steht an der Abtriebswelle 

des Getriebes zur Verfügung? 

3. Ein E-Motor gibt am Wellenstumpf ein Drehmoment 

von 16 Nm ab bei einer Drehzahl von 

2800 min 1 . Das Wattmeter zeigt hierbei eine 

elektrische Leistungsaufnahme von 5,6 kW an. 

Wie groß ist der Wirkungsgrad des Motors? 

Hier wird schrittweise gelöst, um Größengleichungen 

und Zahlenwertgleichungen nicht miteinander 

zu vermischen. 


Wh ¼ mgh 

Wrot ¼ FT 2prz ¼ Wh 

FT 2prz ¼ mgh 

z ¼ mgh 

FT 2pr ¼ 

erforderliche Hubarbeit 

(Hubarbeit ¼ 

Dreharbeit) 

100 kg 9,81 m 

10 m 

s2 ¼ 65,05 U 

60 N 2p 0,4 m 

M1 ¼ 9550 P1 18 

¼ 9550 Nm ¼ 59,69 Nm 

n1 2 880 

M2 ¼ M1ih ¼ 59,69 Nm 420 0,7 

M2 ¼ 17549 Nm 

Hinweis: Ohne Berücksichtigung des 

Wirkungsgrades hätte sich ergeben: 

M2 ¼ M1i ¼ 59,69 Nm 420 ¼ 25 070 Nm 

Pmot ¼ Pab ¼ Prot ¼ Mn 

9550 

Pab ¼ 4,69 kW ¼ Pmot 

hmot ¼ Pab 

¼ 

Pan 

Pmot 

¼ 

Pnetz 

4 Dynamik 

16 2800 

¼ kW 

9550 

4,69 kW 

¼ 0,838 

5,6 kW


Lehrbeispiel: Wirkungsgrad 


Welche Last kann mit der skizzierten Handwinde 

gehoben werden? 

Gegebene Größen: 

Handkraft Fh ¼ 150 N 

Handkurbelradius rk ¼ 350 mm 

Gesamtwirkungsgrad h ¼ 0,6 

Trommeldurchmesser dt ¼ 180 mm 

Trommelraddurchmesser d2 ¼ 490 mm 

Ritzeldurchmesser d1 ¼ 70 mm 

Lösung: 

Die Handkraft Fh soll in jeder Kurbelstellung tangential (im rechten Winkel zum Radius) angreifen. Der 

Seildurchmesser kann vernachlässigt werden. 

Getriebe sollen meist das Drehmoment von Welle zu Welle ändern. Ûbersetzungen ins „Langsame“ vergrößern 

das Abtriebsmoment, Ûbersetzungen ins „Schnelle“ verkleinern es. 

Antriebsdrehzahl nan 

Ûbersetzung i ¼ oder 

Abtriebsdrehzahl nab 

i ¼ nk 

¼ 

nt 

d2 

d1 

i ¼ 

Beachte: Die Baugrößen (d1, d2 ) verhalten sich umgekehrt wie die 

Drehzahlen (nk Drehzahl der Kurbelwelle, nt Drehzahl der Trommelwelle). 

490 mm 

¼ 7 (Ûbersetzung ins „Langsame“, weil i > 1 ist) 

70 mm 

Für Ûbersetzung i und Drehmoment M gilt: 

i ¼ M2 Mt 

¼ 

M1h Mk h 

Mt ¼ Mk ih ¼ Fhrk ih 

Mt ¼ 150 N 0,35 m 7 0,6 

Mt ¼ 220,5 Nm 

Das Drehmoment Mt der Trommelwelle T ist: 

Mt ¼ FG 

dt 

2 daraus FG ¼ 2Mt 

dt 

Mt Trommeldrehmoment 

Mk Kurbeldrehmoment 

fürFG ¼ mg eingesetzt und nach der Masse m aufgelöst: 

m ¼ 2Mt 

dt g 

kg m2 

2 220,5 

m ¼ 

s2 0,18 m 9,81 m 

s2 ¼ 250 kg Last 

F h 

F G 

d 2 

d 1 

Trommel 

Trommelwelle T 

Kurbelwelle K

218 

4.7 Energie 

4.7.1 Energie, Begriffsbestimmung und Einheit 

Unter bestimmten Bedingungen sind feste Körper, 

Flüssigkeiten und Gase in der Lage, von sich aus 

Arbeit zu verrichten. Das ist immer dann der Fall, 

wenn an ihnen selbst vorher eine Arbeit aufgebracht 

wurde. Die im Körper „gespeicherte“ Arbeit 

kann dann „abgerufen“ werden: 

Die im Körper gespeicherte Arbeitsfähigkeit 

heißt Energie E des Körpers. 

Kurz: Energie gleich Arbeitsfähigkeit. 

Die Energie ist wie die Arbeit ein Skalar, 

mehrere Energiebeträge dürfen also algebraisch 

addiert werden. 

Nach dem Ursprung des Arbeitsvermögens der 

Körper unterscheidet man drei mechanische Energiearten: 

die potenzielle Energie (Höhenenergie), 

die kinetische Energie (Bewegungsenergie) und 

die Spannungsenergie (Verformungsenergie) elastischer 

Körper. 

Darüber hinaus gibt es noch andere Energiearten, 

z. B. Wärmeenergie, chemische Energie (in allen 

Brennstoffen), Atomenergie, Druckenergie, elektrische 

Energie, Strahlungsenergie (z. B. von der 

Sonne). 

Die verschiedenen Energiearten können ineinander 

überführt werden. Man spricht dann von Energieumwandlung, 

meint aber damit nicht nur die 

Umwandlung von einer Energieart in eine andere, 

sondern auch die Umwandlung von Energie in 

mechanische Arbeit und umgekehrt. 

Bei jeder technischen Energieumwandlung treten 

„Verluste“ auf. Das heißt nicht, dass Energie „verschwindet“, 

man meint damit nur, dass ein Teil der 

Anfangsenergie für den beabsichtigten technischen 

Zweck verloren geht. 

4 Dynamik 

Beispiele: 

Der herabfallende Bär eines Fallhammers 

verformt das Schmiedestück, verrichtet also 

Verformungsarbeit (Formänderungsarbeit). 

Ein fahrendes Auto prallt auf ein Hindernis. 

Es verrichtet Formänderungsarbeit. 

Eine vorher gespannte Schraubenfeder hebt 

ein Werkstück. Sie verrichtet Hubarbeit. 

Beispiele: 

Der Bär des Fallhammers hatte in seiner 

oberen Ruhelage potenzielle Energie 

(Höhenenergie, Energie der Lage). 

Das fahrende Auto besaß vor dem Aufprall 

kinetische Energie (Bewegungsenergie). 

Gespannte Federn aller Art besitzen Spannungsenergie 

(Verformungsenergie). 

Beispiele: 

Die chemische Energie im Brennstoff wird in 

Wärme umgewandelt, ebenso die Strahlungsenergie 

der Sonne. 

Jede Reibung erzeugt Wärme: Reibungsarbeit 

wird in Wärme umgewandelt (Temperaturerhöhung 

der Maschinenteile). 

Bei technischen Vorgängen ist der Arbeitsaufwand 

immer größer als der Nutzen. Diese 

Tatsache führte zur Festlegung des Begriffes 

Wirkungsgrad (siehe 4.5.6, Seite 210).

4.7 Energie 219 

Bei der Energieumwandlung in Maschinen treten 

Energieverluste hauptsächlich dadurch auf, dass 

sich ein Teil der Energie über die Reibungsarbeit 

in Wärmeenergie umwandelt. 

Dass Energie nicht verloren geht, sondern nur von 

der einen in die andere Form übergeht, ist schon 

seit über hundert Jahren bekannt und konnte bis 

heute nur bestätigt werden. Es gilt der Satz von der 

Erhaltung der Energie (Energieerhaltungssatz): 

Die Summe aller im Universum vorhandenen 

Energien bleibt erhalten (konstant); Energie 

kann weder aus Nichts gewonnen werden noch 

geht sie verloren. Energie kann nur umgewandelt 

werden. 

Da Energie die Fähigkeit der Körper ist, Arbeit zu 

verrichten, müssen Energie- und Arbeitseinheit 

gleich sein. 

4.7.2 Potenzielle Energie Epot und Hubarbeit Wh 

Wird ein Körper von der Masse m um die Höhe h 

gegenüber einer Bezugsebene gehoben, dann ist 

dazu die Hubarbeit Wh ¼ FG h ¼ mgh erforderlich 


Das ist genau die Energie oder Arbeitsfähigkeit, 

mit der er nun an einem anderen Körper Arbeit 

verrichten kann. Er kann z. B. über Seil und Rolle 

einen anderen Körper heben. 

Besitzt der Körper schon die potenzielle Energie 

Epot1 ¼ mgh1 gegenüber der um h1 tiefer liegenden 

Bezugsebene, dann ist zum weiteren Heben auf 

die Höhe h2 die Hubarbeit Wh ¼ mgðh2 h1Þ 

erforderlich. Das ist zugleich die Ønderung der 

potenziellen Energie des Körpers: 

Wh ¼ DEpot ¼ Epot2 Epot1. 

Hinweis: Die bei der Umwandlung von Reibungsarbeit 

in Wärme auftretende Temperaturerhöhung 

der Teile ist technisch nicht 

mehr nutzbar. 

Mayer und Helmholtz haben diesen wichtigen 

Erfahrungssatz um 1840 unabhängig 

voneinander gefunden. Alle Versuche haben 

ihn bis heute bestätigt. 

Der Energieerhaltungssatz muss auch für 

technische Vorgänge gelten, wenn man sie 

sich „abgeschlossen“ vorstellt: Man spricht 

dann von einem abgeschlossenen System und 

meint damit ein von äußeren Kräften freies 

System. 

Die Einheit der Energie und der Arbeit ist 

das Joule (J), siehe 4.5.1, Seite 203. 

1J¼ 1Nm¼ 1Ws¼ 1 

kg m2 

s 2 

¼ 1m2 kg s 2 

potenzielle Energie Epot ¼ Hubarbeit Wh 

Epot ¼ FG h ¼ mgh 

Epot, Wh FG m g h 

J ¼ Nm N kg m 

s2 m 

Wh ¼ mgðh2 h1Þ ¼DEpot 

Ønderung der potenziellen Energie 

potenzielle Energie 

(Höhenenergie)

220 

4.7.3 Kinetische Energie Ekin und Beschleunigungsarbeit Wa 

Wird ein Körper, z. B. ein Auto, aus dem Stillstand 

auf die Geschwindigkeit v gebracht, dann ist dazu 

nach dem dynamischen Grundgesetz die resultierende 

Kraft Fres ¼ ma erforderlich. Fres wirkt 

dabei in Bewegungsrichtung auf dem Weg s, verrichtet 

also am Körper eine Arbeit, die Beschleunigungsarbeit 

Wa ¼ Fres s genannt wird. 


mit der der Körper nun an einem anderen Körper 

Arbeit verrichten kann. Da nur solche Körper diese 

Energieart besitzen, die sich mit der Geschwindigkeit 

v bewegen, spricht man von Bewegungsenergie 

oder kinetischer Energie Ekin. 

Besitzt ein Körper schon die Geschwindigkeit v1 

und wird durch Fres auf dem Wegabschnitt s auf 

die Geschwindigkeit v2 beschleunigt, dann wird 

für s nicht v Dt=2 (wie oben) eingesetzt, sondern 

ðv2 2 

v1 2 Þ=2a (Tabelle 4.1, Seite 154). Damit erhält 

man eine Gleichung für die Beschleunigungsarbeit 

Wa in der allgemeinen Form. Wa gibt dann 

zugleich die Ønderung der kinetischen Energie des 

Körpers an: 

Wa ¼ DEkin ¼ Ekin2 Ekin1. 

Fres ¼ ma ¼ m Dv 

; Dv ¼ v gesetzt 

Dt 

Fres s ¼ m v 

Dt s 

Fres s ¼ m v 

Dt 

v Dt 

2 

Fres s ¼ m 

2 v2 ¼ Wa 

Δv =v 

kinetische 

¼ 

Energie Ekin 

Beschleunigungsarbeit 

Wa 

Fres s ¼ mas ¼ Wa 

s ¼ v2 2 v1 2 

2a 

Wa ¼ ma v2 2 v1 2 

2a 

Wa ¼ m 2 

ðv2 

2 

4.7.4 Spannungsenergie Es und Formänderungsarbeit Wf 

F 

Wird eine vorher unverformte Feder gespannt, 

dann ist dazu die Formänderungsarbeit oder Federarbeit 

Wf erforderlich (siehe 4.5.3, Seite 205). Aus 

dem Federdiagramm (F; s-Diagramm) liest man 

dafür Wf ¼ Fs=2 ¼ Rs 2 =2 ab, mit R als Federrate. 


mit der die gespannte Feder nun an einem anderen 

Körper Arbeit verrichten kann. Diese Energie wird 

Spannungsenergie Es genannt. 

Besitzt die Feder schon die Spannungsenergie Es1, 

weil sie mit F1 vorgespannt worden ist, dann ist 

zum weiteren Spannen die Federarbeit 

Wf ¼ðF1 þ F2Þ s=2 ¼ Rðs2 2 

s1 2 Þ=2 erforderlich. 

Das ist zugleich die Ønderung der Spannungsenergie 

in der Feder: Wf ¼ DEs ¼ Es2 Es1. 

v1 

v 

v 

s= 

vΔt 2 

0 Δt t 

Ekin ¼ m 

2 v2 

Ekin, Wa 

J ¼ Nm 

m 

kg 

v 

kinetische Energie (Bewegungsenergie) 

m 

s 

v 2 – v2 

2 1 

s= 

2a 

0 Δt 

v1 2 Þ¼DEkin 

Ønderung der kinetischen Energie 

F 

A=E s = 

Fs R 

= s 

2 2 

2 

0 s s 

Spannungsenergie Es ¼ Federarbeit Wf 

Es ¼ Fs R 2 

¼ s 

2 2 

Spannungsenergie 

Wf ¼ F1 þ F2 

2 

s ¼ R 2 

ðs2 

2 

Ønderung der Spannungsenergie 

4 Dynamik 

v2 

Wf, Es F s R 

J ¼ Nm N m N 

m 

s1 2 Þ¼DEs 

t


4.7.5 Energieerhaltungssatz für technische Vorgänge 

Ein Körper der Masse m, zunächst durch die Sperre 

S in Ruhe gehalten, wird nach seiner Freigabe 

durch eine Zugfeder die schiefe Ebene abwärts 

gezogen. Er durchläuft den Weg s vom Anfangspunkt 

(A) des Vorganges bis zum Endpunkt (E), 

wo die Feder gerade entspannt ist, also noch nicht 

zusammengedrückt wird. 

In (A) besitzt der Körper die Anfangsenergie 

EA ¼ Epot ¼ mgh gegenüber der um h tiefer liegenden 

Bezugsebene BE. 

Am Ende des Vorganges ist Epot ¼ 0 geworden; 

dafür besitzt der Körper die Endenergie 

EE ¼ Ekin ¼ mv 2 =2. 

Nach dem Energieerhaltungssatz müssten die beiden 

Energiebeträge gleich groß sein (EE ¼ EA). 

Das kann hier nicht sein, weil der Körper auf dem 

Weg s sowohl Arbeit aufgenommen als auch abgegeben 

hat: 

Aufgenommen hat der Körper die zugeführte 

Federarbeit Wzu ¼ Wf ¼ Rs 2 =2. 

Abgegeben hat der Körper die abgeführte 

Reibungsarbeit Wab ¼ WR ¼ FRs. 

Die Energieumwandlung durch Zu- und Abfuhr 

mechanischer Arbeit kann man in das Schema der 

Energiebilanz eintragen und danach den Energieerhaltungssatz 

für technische Vorgänge aufstellen, 

so wie er künftig beim Lösen von Aufgaben angewandt 

wird: 

Beachte: Es wäre ein Fehler zu meinen, 

die Arbeit der Abtriebskomponente der 

Gewichtskraft FG sin a mit aufnehmen zu 

müssen: 

Der Arbeitsbetrag FG sin as ist die beim 

Heben um die Höhe h vorher aufgenommene 

potenzielle Energie Epot ¼ mgh (siehe 4.5.4, 

Seite 206, 1. Ûbung). 

Schema der Energiebilanz 

Energieerhaltungssatz 

Die Energie EE am Ende eines Vorgangs ist gleich der Energie EA am Anfang des Vorgangs, 

vermehrt um die während des Vorgangs zugeführte Arbeit Wzu und vermindert um die 

während des Vorgangs abgeführte Arbeit Wab. 

EE ¼ EA þ Wzu Wab 

Energie am 

Ende des 

Vorgangs 

¼ 

Energie am 

Anfang des 

Vorgangs 

þ zugeführte 

Arbeit 

abgeführte 

Arbeit

222 

4.7.6 Ûbungen zum Energieerhaltungssatz 

1. Ûbung: Ein Waggon von der Masse 

m ¼ 40000 kg rollt aus der Geschwindigkeit 

v ¼ 1,8 m/s auf horizontaler Bahn aus. Dabei 

wirkt ein Fahrwiderstand Fw ¼ 280 N. 

Wie lang ist der Ausrollweg s? 

Lösung: Am Ende des Vorgangs ruht der Körper 

auf der Bezugsebene, das heißt, seine Endenergie 

ist null (EE ¼ 0). 

Am Anfang des Vorgangs besitzt er die kinetische 

Energie EA ¼ mv 2 =2. 

Zwischen Anfang und Ende des Vorgangs wird die 

Arbeit des Fahrwiderstands W ab ¼ F w s abgeführt. 

Aus dem Energieerhaltungssatz findet man damit 

auf einfache Weise die gesuchte Gleichung und 

den Betrag für den Ausrollweg s. 

2. Ûbung: Die Skizze zeigt das Schema einer 

Sackrutsche. Die Reibungszahl zwischen Sack und 

Rutsche soll m ¼ 0,3 betragen. 

Gesucht ist die Endgeschwindigkeit v des Sackes 

am Ende der schiefen Ebene. 

Lösung: Man geht wieder vom Energieerhaltungssatz 

aus: Die Energie am Ende des Vorgangs kann 

nur kinetische Energie sein, denn der Körper besitzt 

dort die Geschwindigkeit v, und der Höhenunterschied 

zur Bezugsebene BE ist null geworden 

(Epot ¼ 0). Am Anfang besaß der Körper nur 

potenzielle Energie, denn er ruhte in der Höheh. Abgeführt 

wird nur die Reibungsarbeit WR ¼ FRs. Für 

die Reibungskraft wird FR ¼ FNm und für die Normalkraft 

FN ¼ FG cos a ¼ mgcos a eingesetzt. 


v ¼ 1,8 m 

s 

Fw ¼ 280 N 

Gesucht: Ausrollweg s 

EE ¼ EA Wab 

0 ¼ m 

2 v2 

s ¼ mv2 

2Fw 

Fws 

s ¼ f ðm; v; FwÞ 

40 000 kg 3,24 

s ¼ 

m2 

s2 kg m 

2 280 

s2 ¼ 231,4 m 

EE ¼ EA Wab 

kinetische 

Energie 

¼ potenzielle 

Energie 

Reibungsarbeit 

Ekin ¼ Epot WR 

m 

2 v2 

m 

2 v2 

v 2 

2 

4 Dynamik 

¼ mgh FR s 

¼ mgh mgcos amsj : m 

¼ gh gms cos a


Da der Weg s nicht gegeben ist, wird s ¼ l= cos a 

eingesetzt (l ist gegeben). Dadurch kürzt sich 

auch cos a heraus und man findet die einfachste 

Gleichung für die Endgeschwindigkeit 

v ¼ f ðg; h; m; lÞ. 

Man erkennt, dass die erreichbare Endgeschwindigkeit 

des Sackes unabhängig von seiner Masse 

m ist. Das gilt für alle auf einer schiefen Ebene 

ohne zusätzliche äußere Kraftwirkung gleitenden 

Körper. 

3. Ûbung: Welcher Hubarbeit Wh oder potenziellen 

Energie Epot oder Wärme (Wärmemenge) Q 

entspricht die kinetische Energie eines Autos von 

1500 kg Masse, das mit 160 km/h fährt? 

Lösung: 

a) Die kinetische Energie eines Fahrzeuges 

wächst mit dem Quadrat seiner Geschwindigkeit. 

Eine Verdoppelung der Fahrzeuggeschwindigkeit 

hat also eine Erhöhung der kinetischen Energie auf 

das Vierfache zur Folge. 

b) Eine Vorstellung von den Folgen eines Aufpralls 

aus dieser Geschwindigkeit erhält man, 

wenn die Fallhöhe h berechnet wird, die dieser 

Energie entspricht. 

c) Da Ekin auch gleich der Wärme Q ist, kann man 

eine entsprechende wärmetechnische Rechnung 

durchführen. Die Wärme Q zum Erwärmen eines 

Stoffes ist gleich dem Produkt von Masse m, 

spezifischer Wärmekapazität c und Temperaturdifferenz 

DT (siehe Böge/Eichler, Physik): 

Die kinetische Energie des Autos würde ausreichen 

(bei h ¼ 1), die Temperatur von 10 kg 

Wasser (10 l) umDT ¼ 35,4 K zu erhöhen. 


v2 ¼ gh gm 

2 

v 2 ¼ 2gðh mlÞ 

v ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

p 

2gðh mlÞ 

l 

cos a 

cos a 

v ¼ f ðg, h, m, lÞ 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

v ¼ 2 9,81 m 

r 

ð2 m 0,3 6mÞ 

s2 v ¼ 1,98 m 

s 


v ¼ 160 km 160 m 

¼ 

h 3,6 s 

Gesucht: Ekin 

Ekin ¼ m 

2 v2 1 500 kg 

¼ 

2 

160 

3,6 

2 m 2 

Ekin ¼ 1 481 481,5 Nm ¼ 1 481 481,5 J 

Ekin ¼ Epot ¼ Wh ¼ Q ¼ 1 481 481,5 J 

Ekin ¼ Epot ¼ mgh 

h ¼ Ekin 

mg ¼ 

kg m2 

1 481 481,5 

s2 1 500 kg 9,81 m 

s2 ¼ 100,67 m 

Q ¼ mcDT 

DT ¼ Q 

mc ¼ 

1 481 481,5 J 

J 

10 kg 4 186,8 

kg K 

DT ¼ 35,4 K ¼ 35,4 C 

s 2 

Q m c DT 

J ¼ Nm kg 

J 

kg K K

224 

4.8 Gerader zentrischer Stoß 

4.8.1 Stoßbegriff, Kräfte und Geschwindigkeiten beim Stoß 

Der physikalische Vorgang Stoß liegt dann vor, 

wenn sich zwei Körper während eines sehr kleinen 

Zeitabschnitts Dt berühren und dabei ihren Bewegungszustand 

ändern. 

Bei Berührung wirken an den Berührungsflächen 

gleich große Normalkräfte (Wechselwirkungsgesetz). 

Während der Berührungszeit Dt erfahren 

also beide Körper den gleichen Kraftstoß F Dt 

(siehe 4.4.9, Seite 202). Dadurch verringert sich 

der Impuls mv des einen Körpers um denselben 

Betrag, um den der Impuls des anderen Körpers 

zunimmt, und man erkennt: 

Die Summe der Impulse (Bewegungsgrößen) 

beider Körper bleibt in jedem Augenblick des 

Stoßes konstant. 

Da die Massen beider Körper unverändert bleiben, 

bedeutet das, dass die Geschwindigkeit des einen 

Körpers kleiner, die des anderen größer wird. 

4.8.2 Merkmale des geraden zentrischen Stoßes 

Durch den Berührungspunkt beider Körper bei 

Stoßbeginn legt man die Tangentialebene und errichtet 

darauf im Berührungspunkt eine Normale, 

die Stoßnormale. Sie ist die Wirklinie der beiden 

Normalkräfte, die während des Stoßes zwischen 

beiden Körpern wirken. 

Verläuft die Stoßnormale durch die Schwerpunkte 

beider Körper, dann spricht man von zentrischem 

Stoß. Wird diese Bedingung nicht erfüllt, dann 

liegt exzentrischer Stoß vor. 

Liegen die Geschwindigkeitsvektoren v1 und v2 

beider Körper beim Stoßbeginn parallel zur Stoßnormalen, 

dann spricht man von geradem Stoß. 

Bewegt sich einer der Körper oder auch beide 

nicht parallel zur Stoßnormalen, dann liegt schiefer 

Stoß vor. 

Beim geraden zentrischen Stoß verläuft die 

Stoßnormale durch beide Körperschwerpunkte. 

Beide Körper bewegen sich in Richtung der 

Stoßnormalen. 

Beachte: Ønderung des Bewegungszustandes 

heißt Ønderung der Geschwindigkeit der 

Körper nach Betrag oder Richtung oder auch 

nach beiden gleichzeitig. 

Beachte: Werden die beiden Körper als ein 

System betrachtet, dann sind die Normalkräfte 

beim Stoß innere Kräfte dieses Systems. 

Da während des Stoßes keine äußeren Kräfte 

auf die beiden Körper wirken, handelt es sich 

um ein kräftefreies System nach 4.4.9, dessen 

gesamter Impuls auch während des Stoßes 

konstant bleibt. 

m1v1 þ m2v2 ¼ m1c1 þ m2c2 

Smv ¼ Smc 


für zwei Körper 

m1, m2 Massen beider Körper 

v1, v2 Geschwindigkeiten vor dem Stoß 

Geschwindigkeiten nach dem Stoß 

c1, c2 

4 Dynamik 

Beachte: Die Lage der Normalkräfte im 

Berührungspunkt bestimmt, ob zentrischer 

oder exzentrischer Stoß vorliegt. 

Beachte: Die Richtung der Geschwindigkeiten 

v1 und v2 bestimmt, ob gerader oder 

schiefer Stoß vorliegt. 

Beispiel für geraden zentrischen Stoß: 

Zusammenstoß von Kegelkugeln auf der 

Rücklaufbahn. 

Eine weitere Unterteilung der Stoßarten ist 

notwendig durch das unterschiedliche Verformungsverhalten 

der Körper: Man unterscheidet 

elastischen, unelastischen und wirklichen 

Stoß.

4.8 Gerader zentrischer Stoß 225 

4.8.3 Elastischer Stoß 

Elastische Körper verformen sich beim Stoß 

federnd. Nach dem Stoß ist die Verformung 

vollständig zurückgegangen. Auch die Verluste 

infolge äußerer und innerer Reibung werden vernachlässigt. 

Zwei Kugeln bewegen sich in gleichem Richtungssinn 

auf gemeinsamer Bahn. Stößt die 

schnellere Kugel mit der Masse m1 und der 

Geschwindigkeit v1 auf die langsamere Kugel mit 

der Masse m2 und der Geschwindigkeit v2, so wird 

beim Stoß die schnellere Kugel verzögert und die 

langsamere Kugel beschleunigt. 

Zur Berechnung der Geschwindigkeiten c1, c2 

beider Kugeln nach dem Stoß wird der gesamte 

Stoßvorgang in zwei Abschnitte unterteilt. 

Erster Stoßabschnitt (Zusammendrücken) 

Er beginnt mit der Berührung der Kugeln und 

endet, wenn ihr Abstand ein Minimum (lmin) 

geworden ist (siehe F; s-Diagramm). Dabei verformen 

sich die Kugeln. Die Formänderungsarbeit 

W1 wird der kinetischen Energie der schnelleren 

Kugel entzogen. 

Am Ende des ersten Stoßabschnitts besitzen beide 

Kugeln dieselbe Geschwindigkeit c. 

Zweiter Stoßabschnitt (Entspannen) 

Er beginnt beim Abstandsminimum lmin der Kugelmittelpunkte 

und endet mit der Trennung der 

Kugeln. Dabei wird die durch die Abplattung der 

Kugeln gespeicherte Spannungsenergie verlustlos 

an die Kugel 2 abgegeben (E2 ¼ E1). Kugel 1 

ändert dabei ihre Geschwindigkeit von c auf c1 

und Kugel 2 von c auf c2. 

Beim Entspannen wirkt auf beide Kugeln der gleiche 

Kraftstoß wie beim Zusammendrücken. Folglich 

ist für jede der beiden Kugeln die Geschwindigkeitsänderung 

in beiden Stoßabschnitten gleich 

groß: v1 c ¼ c c1 und c v2 ¼ c2 c. Aus 

dieser Erkenntnis kann eine Gleichung für die 

Geschwindigkeit c1 der Kugel 1 nach dem Stoß 

entwickelt werden; in gleicher Weise erhält man 

die entsprechende Gleichung für die Kugel 2. 

Merkmale des elastischen Stoßes: 

Keine bleibende Formänderung nach dem 

Stoß, vollständige Trennung der Körper voneinander 

nach dem Stoß, verlustfreier Energieaustausch. 

Nach dem Impulserhaltungssatz bleibt die 

Summe der Impulse (Bewegungsgrößen) 

konstant: 

vor dem nach dem ersten 

Stoß 

zfflfflfflfflfflfflfflffl}|fflfflfflfflfflfflfflffl{ 

¼ 

Stoßabschnitt 

zfflfflfflfflfflffl}|fflfflfflfflfflffl{ 

m1c þ m2c 

m1v1 þ m2v2 

c ¼ m1v1 þ m2v2 

m1 þ m2 

Für Kugel 1 gilt: 

v1 c ¼ c c1 daraus folgt: 

c1 ¼ 2c v1 ¼ 2 m1v1 þ m2v2 

m1 þ m2 


beider Körper am 

Ende des ersten 

Stoßabschnitts 

v1 

¼ 2ðm1v1 þ m2v2Þ ðm1 þ m2Þ v1 

m1 þ m2 

¼ m1v1 þ 2m2v2 m2v1 

m1 þ m2 

¼ ðm1 m2Þ v1 þ 2m2v2 

m1 þ m2 

c1 ¼ ðm1 m2Þ v1 þ 2m2v2 

m1 þ m2 

c2 ¼ ðm2 m1Þ v2 þ 2m1v1 

m1 þ m2 

Geschwindigkeiten beider Körper 

nach dem Stoß

226 

Da ein „kräftefreies System“ vorausgesetzt wird 

(es wirken keine äußeren Kräfte), gilt neben dem 

Impulserhaltungssatz auch der Energieerhaltungssatz 

(4.7.1, Seite 219). 

Beim elastischen Stoß bleibt die Summe der 

kinetischen Energien beider Körper bei horizontaler 

Bewegung konstant. 

Mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes und des 

Impulserhaltungssatzes kann man eine weitere 

wichtige Beziehung herleiten: 

Beim elastischen Stoß wird die Relativgeschwindigkeit 

(Differenz der Geschwindigkeiten 

v1 und v2) nicht geändert. 

Sonderfälle des geraden zentrischen Stoßes elastischer 

Körper: 

Beim elastischen Stoß zweier Körper mit 

gleichen Massen tauschen die Körper ihre 

Geschwindigkeiten aus. 

Beim elastischen Stoß eines Körpers gegen 

eine starre Wand, prallt er mit gleicher Geschwindigkeit 

zurück. 

Beim elastischen Stoß eines Körpers sehr großer 

Masse m1 gegen einen ruhenden Körper 

kleiner Masse m2 erhält der ruhende Körper die 

doppelte Geschwindigkeit des stoßenden Körpers 

(c2 ¼ 2v1). 

Energieerhaltungssatz für den elastischen 

Stoß: 

EEnde des Stoßes ¼ EAnfang des Stoßes 

1 

2 ðm1c1 2 þ m2c2 2 Þ¼ 1 

2 ðm1v1 2 þ m2v2 2 Þ 

Der umgeformte Energieerhaltungssatz wird 

durch den Impulserhaltungssatz dividiert: 

m1ðv1 2 c1 2Þ m1ðv1 c1Þ ¼ m2ðc2 2 v2 2Þ m2ðc2 v2Þ 

v1 þ c1 ¼ c2 þ v2 

v1 v2 ¼ c2 c1 

Aus der Gleichung von Seite 225: 

c1 ¼ ðm1 m2Þ v1 þ 2m2 v2 

m1 þ m2 

ergibt sich mit m1 ¼ m2 ¼ m: 

c1 ¼ ðm mÞ v1 þ 2mv2 

m þ m 

c1 ¼ 2mv2 

2m ¼ v2 und analog c2 ¼ v1 

m2 ¼1; v2 ¼ 0; m1 vernachlässigt 

c1 ¼ m2 v1 þ 2m2 

m2 

0 

¼ v1 

c1 ¼ v1 

m1 > m2; v2 ¼ 0; m2 vernachlässigt 

c2 ¼ m1 0 þ 2m1 v1 

m1 

c2 ¼ 2v1 

¼ 2v1 

4 Dynamik 

Bewegen sich die beiden Körper auf der Stoßnormalen aufeinander zu, so erhalten die 

Geschwindigkeiten v1 und v2 und damit auch die Impulse beider Körper entgegengesetzte Vorzeichen 

(der Impuls ist ein Vektor). Beim Stoß kehrt dann entweder einer der beiden Körper 

seine Bewegungsrichtung um, oder beide. 

Auch für diesen Fall gelten für die Geschwindigkeiten c, c1 und c2 die entwickelten Gleichungen. 

Man erkennt die Richtungsumkehr eines Körpers daran, dass seine Geschwindigkeit nach 

dem Stoß ein anderes Vorzeichen hat als vor dem Stoß.


4.8.4 Unelastischer Stoß 

Unelastische Körper verformen sich beim Stoß 

plastisch, d. h. sie erhalten eine bleibende Formänderung. 

Es wird also angenommen, dass keiner 

der beiden Körper federt. 

Erster Stoßabschnitt 

Er verläuft wie beim elastischen Stoß. Beide Körper 

besitzen am Ende des ersten Stoßabschnitts 

die gemeinsame Geschwindigkeit c. Die Formänderungsarbeit 

wurde jedoch nicht als Spannungsenergie 

gespeichert, sondern in Wärme umgesetzt. 

Da auch hier ein kräftefreies System vorliegt, 

bleibt wie beim elastischen Stoß der Gesamtimpuls 

erhalten, und für die Geschwindigkeit c gilt 

dieselbe Beziehung wie beim elastischen Stoß. 

Zweiter Stoßabschnitt 

Er entfällt, weil ohne gespeicherte Spannungsenergie 

auch kein Kraftstoß mehr auftritt, sobald beide 

Körper die gemeinsame Geschwindigkeit c erreicht 

haben. Beide bewegen sich mit der Geschwindigkeit 

c weiter: 

Beim unelastischen Stoß wird die Relativgeschwindigkeit 

zu null. Ein Teil der kinetischen 

Energie wird über die Formänderungsarbeit 

DW in Wärme umgesetzt. 

Der Energieverlust der Körper (¼ Formänderungsarbeit 

DW) wird aus dem Energiesatz berechnet, 

in den der Ausdruck für die Geschwindigkeit c 

(Seite 225) einzusetzen ist. 

Merkmale des unelastischen Stoßes: 

bleibende Formänderung nach dem Stoß, 

keine Trennung der Körper voneinander nach 

dem Stoß. 

Energieerhaltungssatz für den unelastischen 

Stoß: 

1 

2 ðm1 þ m2Þ c 2 ¼ 1 

2 ðm1v1 2 þ m2v2 2 Þ DW 

DW ¼ 1 

2 ½m1v1 2 þ m2v2 2 

ðm1 þ m2Þ c 2 Š 

c 2 ¼ m1v1 þ m2v2 

m1 þ m2 

eingesetzt und umgeformt ergibt: 

DW ¼ 1 

2 

2 

m1m2ðv1 v2Þ 2 

m1 þ m2 

Energieabnahme beim 

unelastischen Stoß 

Dieser Energie-„Verlust“ ist für einige technische Anwendungsfälle von großer Bedeutung: 

das Schmieden und Kaltumformen von Werkstücken, das Nieten und das Rammen. 

4.8.4.1 Schmieden und Nieten 

Hierbei soll die aufgebrachte Energie der Formänderung 

dienen. Die verbleibende kinetische 

Energie der Körper nach dem Stoß muss niedrig 

gehalten werden. 

Beim Schmieden ist der angestrebte technische 

Nutzen die Formänderung des Werkstücks. 

W m v 

J kg m 

s 

Hinweis: Die Erfahrung lehrt, dass zum 

Nieten ein Hammer kleiner Masse und als 

Gegenhalter ein Körper großer Masse zweckmäßig 

sind. 

Formänderungsarbeit DW 

h ¼ 

kinetische Energie E1 vor dem Stoß

228 

Der Schlagwirkungsgrad h ist dann das Verhältnis 

zwischen der Formänderungsarbeit DW und der 

kinetischen Energie E1 ¼ m1v2 2 =2 des Hammerbärs 

beim Stoßbeginn. Amboss und Werkstück haben 

die gemeinsame Masse m2 und ihre Geschwindigkeit 

vor dem Stoß ist v2 ¼ 0. 

Die Wirkungsgradgleichung zeigt: Je größer die 

Ambossmasse m2 im Verhältnis zur Bärmasse m1 

wird, umso größer wird der Wirkungsgrad h. 

Tatsächlich verformt sich der Bär elastisch. Er 

springt also nach dem Schlag geringfügig zurück. 

Dadurch wird der Wirkungsgrad verringert. 

4.8.4.2 Rammen von Pfählen, Eintreiben von Keilen 

Hier wird keine Formänderung angestrebt. Vielmehr 

sollen beide Körper nach dem ersten Stoßabschnitt 

eine möglichst große gemeinsame Geschwindigkeit 

c besitzen, um den Widerstand der 

Unterlage gegen das Eindringen zu überwinden. 

Beim Rammen ist der angestrebte technische Nutzen 

eine möglichst große kinetische Energie E2 

beider Körper nach dem Stoß (genauer: nach dem 

1. Stoßabschnitt, weil der Untergrund durch plastische 

Verformung nachgibt). Der Schlagwirkungsgrad 

h ist darum hier das Verhältnis zwischen der 

kinetischen Energie E2 bei Stoßende und der kinetischen 

Energie E1 bei Stoßbeginn. Auch hier ist 

die Geschwindigkeit des einzurammenden Pfahles 

(Körper 2) v2 ¼ 0. Die entwickelte Gleichung 

zeigt, dass der Wirkungsgrad umso größer wird, je 

größer die Masse m1 des Bärs oder Hammers gegenüber 

der Masse m2 des Pfahles oder Keiles ist. 

Tatsächlich federn aber beide Körper beim Schlag. 

Dadurch wird der Wirkungsgrad kleiner. 

4.8.5 Wirklicher Stoß 

Wirkliche Körper sind weder vollkommen elastisch 

noch vollkommen unelastisch, so dass ihr Verhalten 

zwischen den beiden in 4.8.3 und 4.8.4 behandelten 

Grenzfällen liegt. Die Aussagen für elastischen 

und unelastischen Stoß lassen sich für den 

wirklichen Stoß kombinieren. 

h ¼ 

m1m2ðv1 v2Þ 2 

2ðm1 þ m2Þ 

m1v1 2 

2 

h ¼ m2 

¼ 

m1 þ m2 

1 

1 þ m1 

m2 

¼ m2ðv1 v2Þ 2 

ðm1 þ m2Þ v1 2 

v2 ¼ 0 

Wirkungsgrad 

beim Schmieden 

Hinweis: Bei normalen Maschinenhämmern 

ist die Masse der Schabotte (¼ Amboss mit 

Unterbau) etwa zwanzigmal so groß wie die 

Masse des Bärs. 

Der Schmiedevorgang ist nur annähernd ein 

unelastischer Stoß. 

Hinweis: Die Erfahrung lehrt, dass beim 

Rammen und Eintreiben ein schwerer Bär 

oder Hammer wirksamer ist als ein leichter. 

h ¼ kinetische Energie E2 bei Stoßende 

kinetische Energie E1 bei Stoßbeginn 

h ¼ 

ðm1 þ m2Þ c 2 

2 

m1v1 2 

2 

c 2 ¼ m1v1 þ m2v2 

m1 þ m2 

v2 ¼ 0 

h ¼ ðm1 þ m2Þ m1 2v1 2 

m1v1 2 m1 

¼ 2 

ðm1 þ m2Þ m1 þ m2 

h ¼ 

1 

1 þ m2 

m1 

Wirkungsgrad 

beim Rammen 

4 Dynamik 

Beachte: Das Rammen ist nur annähernd ein 

unelastischer Stoß. 

Merkmale des wirklichen Stoßes: 

Ein Teil der Formänderungsarbeit W1 verwandelt 

sich infolge der inneren Reibung in 

Wärme Q ¼ DE und wird nicht zurückgegeben. 

Es kann bleibende Formänderung auftreten 

(geringer als beim unelastischen Stoß). 

Trennung der Körper nach dem Stoß. 

2


Beim wirklichen Stoß verkleinert sich die Relativgeschwindigkeit. 

Die Formänderungsarbeit 

wird im zweiten Stoßabschnitt nicht vollständig 

zurückgegeben, sondern teilweise in Wärme 

umgewandelt. 

Die für den elastischen Stoß hergeleiteten Gleichungen 

lassen sich für den wirklichen Stoß weiterentwickeln, 

wenn als Verhältnis der Relativgeschwindigkeiten 

die Stoßzahl k eingeführt wird. 

Die Stoßzahl k hängt von der Werkstoffpaarung ab 

und wird durch Fallversuche ermittelt. 

Beim Fallversuch fällt eine Kugel aus dem einen 

Werkstoff auf eine festliegende Unterlage aus einem 

anderen Werkstoff. Die Geschwindigkeit der 

Unterlage vor und nach dem Stoß ist gleich null 

(v2 ¼ 0 und c2 ¼ 0). Die Fallhöhe h und die 

Rücksprunghöhe h1 werden gemessen. Daraus 

wird mit den Gesetzen des freien Falls und des 

Wurfs senkrecht nach oben die Stoßzahl k berechnet. 

Auch für den wirklichen Stoß gilt der Impulserhaltungssatz 

für kräftefreie Systeme. Wird in den Impulserhaltungssatz 

die Beziehung für c2 eingesetzt, 

die man aus der Definitionsgleichung für die Stoßzahl 

entwickeln kann, dann ergibt die weitere Entwicklung 

eine Gleichung für die Geschwindigkeit 

c1 des Körpers 1 nach dem wirklichen Stoß. 

Durch Vertauschen der Indizes erhält man die entsprechende 

Gleichung für die Geschwindigkeit c2 

des Körpers 2. 

Werden die so entwickelten Beziehungen für c1 

und c2 in die Gleichung für den Energieerhaltungssatz 

des wirklichen Stoßes E2 ¼ E1 DW eingesetzt, 

dann erhält man nach einer längeren Entwicklung 

die Gleichung für den Energieverlust 

DW beim wirklichen Stoß. 

F 

1. Stoßabschnitt 

E > E 

1 2 

+ + + + + + 

v > v 

1 2 

k ¼ c2 c1 

v1 v2 

2. Stoßabschnitt 

c c < c 

1 2 

Wärme ΔQ = ΔE 


der Stoßzahl 

Stoßzahlen: k ¼ 1 elastischer Stoß 

k ¼ 0 unelastischer Stoß 

k ¼ 0,35 Stahl bei 1100 C 

k ¼ 0,7 Stahl bei 20 C 

pffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

rffiffiffiffi 

0 ð c1Þ c1 2gh1 h1 

k ¼ ¼ ¼ pffiffiffiffiffiffiffi ¼ 

v1 0 v1 2gh h 

rffiffiffiffi 

k ¼ 

h1 

h 

Die Rückprallgeschwindigkeit c1 der Kugel 

ist der Aufprallgeschwindigkeit v1 entgegengerichtet 

und muss deshalb mit negativem 

Vorzeichen in die Stoßzahlgleichung eingesetzt 

werden. 

m1v1 þ m2v2 ¼ m1c1 þ m2c2 

c2 ¼ kðv1 v2Þþc1 eingesetzt ergibt: 

c1 ¼ m1v1 þ m2v2 m2ðv1 v2Þ k 

m1 þ m2 

c2 ¼ m1v1 þ m2v2 þ m1ðv1 v2Þ k 

m1 þ m2 

Geschwindigkeiten nach dem wirklichen Stoß 

E2 ¼ E1 DW 

1 

2 ðm1c1 2 þ m2c2 2 Þ¼ 1 

2 ðm1v1 2 þ m2v2 2 Þ DW 

DW ¼ 1 

2 

m1m2ðv1 v2Þ 2 ð1 k 2 Þ 

m1 þ m2 

Energieverlust beim wirklichen Stoß 

s

230 

4.8.6 Ûbungen zum geraden zentrischen Stoß 

1. Ûbung: Ein beladener Waggon von 80 t Masse 

stößt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s auf 

einen Waggon von 15 t Masse, der ihm mit einer 

Geschwindigkeit von 1,8 m/s entgegenkommt. 

Welche Geschwindigkeit c haben beide nach dem 

ersten Stoßabschnitt und mit welchen Geschwindigkeiten 

c1, c2 fahren sie nach dem Stoß weiter, 

wenn elastischer Stoß angenommen wird? 

Lösung: Da sich beide Waggons aufeinander zu 

bewegen, muss die eine Geschwindigkeit ein negatives 

Vorzeichen bekommen. Man wählt dafür die 

Geschwindigkeit v2 des kleineren Körpers, da die 

Erfahrung lehrt, dass meistens der Körper mit größerer 

Masse seine Bewegungsrichtung beibehält. 

Der Betrag für die gemeinsame Geschwindigkeit c 

hat ein positives Vorzeichen, also gleichen Richtungssinn 

wie v1 (kein Vorzeichenwechsel), aber 

entgegengesetzten Richtungssinn wie v2 (Vorzeichenwechsel). 

Zur Berechnung der Geschwindigkeiten c1 und c2 

setzt man in die Gleichungen aus 4.8.3 (Seite 225) 

den Betrag der Geschwindigkeit v2 mit negativem 

Vorzeichen ein. 

Beide Geschwindigkeiten c1 und c2 ergeben sich 

positiv, d. h. Waggon 1 behält seine Bewegungsrichtung 

bei, Waggon 2 läuft rückwärts weiter. 

Zusammenfassend kann gesagt werden: 

Waggon 2 läuft nach dem Stoß in entgegengesetzter 

Richtung mit erhöhter Geschwindigkeit weiter, 

Waggon 1 wird langsamer, behält aber seine Bewegungsrichtung 

bei. 

2. Ûbung: Der Bär eines Fallhammers wiegt 

1000 kg und seine Schabotte 25000 kg. Der Bär 

trifft mit einer Geschwindigkeit von 6 m/s auf das 

Werkstück. Die Stoßzahl beträgt k ¼ 0,5. 

Zu berechnen sind: der Schlagwirkungsgrad h und 

die prozentuale Verteilung der Gesamtenergie am 

Schlagende auf Bär, Schabotte und Werkstück. 

Die Massen von Amboss und Werkstück können 

vernachlässigt werden. 

Gegeben: m1 ¼ 80 t v1 ¼ 1 m 

s 

m2 ¼ 15 t v2 ¼ 1,8 m 

s 

Gesucht: Geschwindigkeiten 

c, c1 und c2 

Die gemeinsame Geschwindigkeit c nach der 

ersten Stoßperiode beträgt: 

c ¼ m1v1 þ m2v2 

m1 þ m2 

80 t 1 

c ¼ 

m 

m 

þ 15 t 1,8 

s s 

80 t þ 15 t 

c1 ¼ ðm1 m2Þ v1 þ 2m2 v2 

m1 þ m2 

c1 ¼ 

¼ 0,5579 m 

s 

ð80 15Þ t 1 m 

þ 2 15 t 

s 

80 t þ 15 t 

m 

1,8 

s 

c1 ¼ 0,1158 m 

s 

c2 ¼ ðm2 m1Þ v2 þ 2m1v1 

m1 þ m2 

ð15 80Þ t 1,8 

c2 ¼ 

m 

s 

c2 ¼ 2,9158 m 

s 

80 t þ 15 t 

Gegeben: 

Bärmasse m1 ¼ 1000 kg 

Schabottemasse m2 ¼ 25000 kg 

Auftreffgeschwindigkeit v1 ¼ 6 m/s 

Stoßzahl k ¼ 0,5 

4 Dynamik 

þ 2 80 t 1 m 

s 

Gesucht: 

Wirkungsgrad h, prozentuale Verteilung der 

Energie auf Bär, Werkstück und Schabotte.


Lösung: Den Wirkungsgrad berechnet man aus 

Nutzen und Aufwand beim Schlag. 

Der Nutzen besteht hierbei in der dem Werkstück 

zugeführten Verformungsarbeit. Das ist der Energieverlust 

DW beim Stoß. 

Als Aufwand wird die Energie E1 beider Körper 

unmittelbar vor dem Stoß eingesetzt. Das ist die 

kinetische Energie des Bärs, da die Schabotte mit 

Amboss und Werkstück ruht. 

Der errechnete Wirkungsgrad sagt aus, dass die 

Anfangsenergie zu 72,11% in Verformungsarbeit 

umgesetzt wird. Der Rest verbleibt als kinetische 

Energie nach dem Stoß in beiden Körpern. 

Es werden zunächst die Geschwindigkeiten c1 und 

c2 der Körper nach dem Stoß berechnet. 

Die Geschwindigkeit c1 enthält ein negatives Vorzeichen, 

d. h. sie ist der positiv in die Rechnung 

eingesetzten Geschwindigkeit v1 entgegengerichtet 

(Vorzeichenwechsel ¼ Rückprall des Bärs). 

Die Geschwindigkeit c2 der Schabotte nach dem 

Stoß bestimmt man am einfachsten aus der Definitionsgleichung 

für die Stoßzahl k. 

In die Gleichung für c2 muss c1 mit seinem Minus- 

Zeichen eingesetzt werden. 

Nun ist es möglich die kinetischen Energien E2B 

für den Bär und E2S für die Schabotte nach dem 

Stoß zu berechnen. 

Die Energiebilanz zeigt, dass fast 20% der aufgewendeten 

Energie durch den Rückprall des Bärs 

nicht in Verformungsarbeit umgesetzt werden; eine 

Folge des halbelastischen Stoßes mit der Stoßzahl 

0,5. 

Der Schlagwirkungsgrad wird dadurch beträchtlich 

verschlechtert. 


m1m2 

DW ¼ 

2ðm1 þ m2Þ ðv1 v2Þ 2 ð1 k 2 Þ 

DW ¼ 103 kg 25 10 3 kg 

2 26 10 3 kg 

36 m2 

0,75 

s2 DW ¼ 12 980,77 Nm ¼ 1,298 10 4 J 

2 

m1v1 

E1 ¼ 

2 ¼ 

h ¼ DW 

E1 

1 000 kg 36 m2 

s2 ¼ 1,8 10 

2 

4 J 

¼ 1,298 104 J 

1,8 104 ¼ 0,7211 

J 

c1 ¼ m1v1 þ m2v2 m2ðv1 v2Þ k 

; v2 ¼ 0 

m1 þ m2 

c1 ¼ m1v1 m2v1k 

m1 þ m2 

10 

c1 ¼ 

3 kg 6 m 

s 

25 10 3 kg 6 m 

s 0,5 

26 10 3 kg 

6 

c1 ¼ 

m 

75 

s 

m 

s ¼ 

26 

2,6538 m 

s 

k ¼ c2 

v1 

c1 

¼ 

v2 

c2 c1 

mit v2 ¼ 0 

v1 

c2 ¼ kv1 þ c1 

c2 ¼ 0,5 6 m 

m 

þ 2,6538 

s s 

2 

m1c1 

E2B ¼ 

2 ¼ 

103 kg 2,6538 m 

s 

2 

E2B ¼ 3521,33 Nm ¼ 3,521 10 3 J 

2 

m2c2 

E2S ¼ 

2 ¼ 

¼þ0,3462 m 

s 

25 103 kg 0,3462 m 

s 

2 

E2S ¼ 1498,18 Nm ¼ 1,498 10 3 J 

Energiebilanz: 

Körper Energie in J % 

Bär 3521,33 19,56 

Schabotte 1498,18 8,32 

Werkstück 12980,77 72,11 

E1 18000,28 99,99 

2 

2

232 

4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation) 

Wie in der Bewegungslehre sollen auch hier die hergeleiteten Gleichungen und die wichtigsten 

Erkenntnisse sofort mit den entsprechenden Gleichungen der Dynamik für die geradlinige Bewegung 

verglichen werden (Analogiebetrachtung). Damit kommt man über Bekanntes leichter 

zum Verständnis des Neuen. 

4.9.1 Das dynamische Grundgesetz für die Drehbewegung 

Das dynamische Grundgesetz Fres ¼ mader geradlinigen 

Bewegung gilt auch für jede Teilmasse Dm 

des beschleunigt umlaufenden Körpers. Für die resultierende 

Kraft Fres setzt man hier die (kleine) 

Tangentialkraft DFT ein. Gleichsinnig gerichtet ist 

die Tangentialbeschleunigung aT. Damit wird aus 

Fres ¼ ma nach 4.4.3 (Seite 192) das dynamische 

Grundgesetz für die Teilmasse DFT ¼ DmaT. 

Multipliziert man das dynamische Grundgesetz für 

die Teilmasse Dm mit dem Radius r, dann steht 

links vom Gleichheitszeichen mit DFTr ¼ DM 

das Teil-Drehmoment der Tangentialkraft FT in 

Bezug auf die Drehachse A des beschleunigt umlaufenden 

Körpers. Außerdem wird nach 4.3.4 

(Seite 184) für die Tangentialbeschleunigung 

aT ¼ ar eingesetzt (a Winkelbeschleunigung). 

Es wird nun die Summe aller Teil-Drehmomente 

SDM gebildet. 

Dann steht auf der linken Gleichungsseite das resultierende 

Drehmoment Mres, was der resultierenden 

Kraft Fres bei der geradlinigen Bewegung entspricht 

(Mres ¼b Fres). 

Auf der rechten Seite der Gleichung darf die konstante 

Winkelbeschleunigung a vor das Summenzeichen 

gesetzt werden. Der restliche Summenausdruck 

SDmn rn 2 wird als Trägheitsmoment J 

bezeichnet. Das muss man gesondert behandeln 

(4.9.2, Seite 233). 

Damit ist das dynamische Grundgesetz für die 

Drehung eines Körpers um eine raumfeste Achse 

gefunden. 

Resultierende Tangentialkraft DFT und Tangentialbeschleunigung 

aT der Teilmasse Dm 

Fres ¼ ma 

DFT ¼ DmaTj r 

DFT r ¼ DmaT r 

DM ¼ DmaT r 

DM ¼ Dm arr ¼ Dmr 2 a 

SDM ¼ SDmn rn 2 a 

Mres ¼ SDmn rn 2 a 

(Index n heißt natürliche Zahl, also 1, 2, 3, ...) 

Mres ¼ a SDmn rn 2 

|fflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflffl} 

J 

Mres ¼ a J 

4 Dynamik 

Das Trägheitsmoment J kann nach DIN 1304 

auch als Massenmoment 2. Grades bezeichnet 

werden. 

Gleichungen für das Trägheitsmoment 

verschiedener Körper siehe Seite 235.

4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation) 233 

Das auf einen Körper vom Trägheitsmoment J 

einwirkende resultierende Drehmoment Mres ist 

gleich dem Produkt aus dem Trägheitsmoment 

J und der Winkelbeschleunigung a (Winkelverzögerung) 

des Körpers. 

Der Vergleich mit dem dynamischen Grundgesetz 

Fres ¼ ma zeigt: 

Das resultierende Drehmoment entspricht der 

resultierenden Kraft (Mres ¼b Fres), das Trägheitsmoment 

entspricht der Masse des Körpers (J ¼b m) 

und die Winkelbeschleunigung entspricht der Beschleunigung 

(a ¼b a). 

4.9.2 Trägheitsmoment J und Trägheitsradius i 

4.9.2.1 Definition des Trägheitsmomentes 

In der Herleitung des dynamischen Grundgesetzes 

für die Drehung eines Körpers entstand der Summenausdruck 

SDmnrn 2 ,dermitTrägheitsmoment J 

bezeichnet wird: 

Multipliziert man jede Teilmasse Dm eines 

Körpers mit dem Quadrat ihres Abstands von 

der Drehachse, dann ergibt die Summe dieser 

Produkte das Trägheitsmoment J dieses Körpers. 

Die Einheit des Trägheitsmoments J ergibt sich 

wie gewohnt aus der Definitionsgleichung: 

Mit den kohärenten Einheiten kg und m erhält 

man hier das Kilogramm-Meterquadrat (kg m2 ). 

Natürlich kann auch mit jedem anderen Produkt 

aus einer gesetzlichen Masseneinheit und dem 

Quadrat einer gesetzlichen Längeneinheit gerechnet 

werden. 

Mit Hilfe der Gesetze der Integralrechnung hat 

man für geometrisch einfache Körper die Berechnungsgleichungen 

für das Trägheitsmoment 

entwickelt (siehe Tabelle 4.5, Seite 235). Für kompliziertere 

Körper bestimmt man das Trägheitsmoment 

z. B. durch Schwingungsversuche (siehe 

Fußnote Seite 205). 

resultierendes 

Drehmoment 

Mres 

Mres ¼ Ja 

¼ Trägheitsmoment 

J 

Winkelbeschleunigung 

a 

Dynamisches Grundgesetz für Drehung 

Mres ¼b Fres J ¼b m a ¼b a 

Fres ¼ ma 

Mres ¼ Ja 

Mres ¼ aSDmn rn 2 ¼ a J 

siehe auch 4.3.1, Seite 182 

und 4.6.1, Seite 213. 

J ¼ Dm1 r1 2 þ Dm2 r2 2 þ Dm3 r3 2 þ ...þ Dmn rn 2 

J ¼ SDmn rn 2 

ðJÞ ¼ðmÞðr 2 Þ 

ðJÞ ¼kg m 2 

Mres J a 

kg m2 

Nm ¼ 

s2 kg m2 rad 

s2 J Dm r 

kg m2 kg m 

Beispiel: 

J ¼ 0,004 kg m 2 ¼ 0,004 10 3 g 10 6 mm 2 

J ¼ 4 10 6 gmm 2 ¼ 4 10 4 gcm 2 ¼ 40 000 g cm 2 

Beispiel: 

Für einen Kreiszylinder wird in Bezug auf 

seine Längsachse mit m ¼ 10 kg und 

r ¼ 200 mm nach Tabelle 4.5, Seite 235: 

Jx ¼ 1 

2 mr2 ¼ 1 

2 10 kg ð0,2 mÞ2 ¼ 0,2 kg m 2

234 

4.9.2.2 Ûbung zum Trägheitsmoment 

Das Verständnis für die Berechnungsgleichungen 

in Tabelle 4.5 (Seite 235) wird vertieft, indem mit 

Hilfe der Definitionsgleichung für das Trägheitsmoment 

J ¼ SDmn rn 2 eine Gleichung entwickelt 

wird, die für den Kreiszylinder gilt. Für die x-Achse 

des Kreiszylinders muss man nach Tabelle 4.5 

die Gleichung Jx ¼ rpr 4 h=2 finden (r ist die 

Dichte des Stoffes). 

Man löst zunächst den Kreiszylinder in drei Teilkörper 

auf (Dm1, Dm2, Dm3) und legt deren mittlere 

Radien r1, r2, r3 in Abhängigkeit vom Radius r 

fest, denn das sind die Radien, mit deren Quadrat 

die Teilmassen Dm1, Dm2, Dm3 zu multiplizieren 

sind (Jx ¼ SDmn rn 2 ). 

Die Teilmassen selbst erhält man nach 4.4.2 

(Seite 189) als Produkt aus Dichte r, Fläche A und 

Dicke h. 

A1 ¼ p 2 

10 r 

A2 ¼ p 6 

10 r 

A3 ¼ p 10 

10 r 

2 

2 4 

¼ pr 

100 

2 

2 

p 2 

10 r 

p 6 

10 r 

2 

2 32 

¼ pr 

100 

2 

2 64 

¼ pr 

100 

Die Summierung der Produkte SDmn rn 2 ¼ Jx 

ergibt in der Rechnung vor dem Produkt rpr 4 h 

den Faktor 1/2,17, während die exakte Berechnung 

zu dem Faktor 1/2,00 führen würde, wie die Tabelle 

4.5 (Seite 235) zeigt. Wenn die sehr grobe Aufteilung 

des Kreiszylinders schon zu dieser Annäherung 

führt, dann ist anzunehmen, dass eine 

Unterteilung in 6 oder 12 Teilkörper fast genau 

den exakten Faktor 1/2,00 ergibt. 

2 4 

Dm1 ¼ rA1h ¼ rhpr 

100 

2 32 


100 

2 64 


100 

Dm1 r1 2 2 4 

¼ rhpr 

100 

¼ rpr 4 h 

4 

10 000 

Dm2 r2 2 2 32 

¼ rhpr 

100 

¼ rpr 4 h 512 

10 000 

Dm3 r3 2 2 64 

¼ rhpr 

100 

1 

100 r2 

16 

100 r2 

64 

100 r2 

¼ rpr 4 h 4096 

10 000 

SDmn rn 2 ¼ 4612 

10 000 rpr4h ¼ 1 

2,17 rpr4h Jx ¼ 1 

2,17 rpr4 h 

4 Dynamik 

exakt nach Tabelle 4.5: Jx ¼ 1 

2,00 rpr4 h


Tabelle 4.5 Gleichungen für Trägheitsmomente J (Massenmoment 2. Grades) 

Art des Körpers Trägheitsmoment J (Jx um die x-Achse; 

Jz um die z-Achse; J0 um die 0-Achse) 

Rechteck, Quader 

Kreiszylinder 

Hohlzylinder 

Kreiskegel 

Zylindermantel 

Hohlzylinder mit Wanddicke s ¼ðD dÞ=2 

sehr klein im Verhältnis zum mittleren 

Durchmesser dm ¼ðD þ dÞ=2 

Kugel 

Hohlkugel (Kugelschale) 

Wanddicke s ¼ðD dÞ=2 sehr klein 

im Verhältnis zum mittleren 

Durchmesser dm ¼ðD þ dÞ=2 

Ring 

Jx ¼ 1 

12 mðb2 þ h 2 Þ¼ 1 

12 rhbsðb2 þ h 2 Þ 

bei geringer Plattendicke s ist 

Jz ¼ 1 

12 mh2 ¼ 1 

12 rbh3s; J0 ¼ 1 

3 mh2 ¼ 1 

3 rbh3s Würfel mit Seitenlänge a: Jx ¼ Jz ¼ m a2 

6 

Jx ¼ 1 

2 mr2 ¼ 1 

8 md2 ¼ 1 

32 rpd4 h ¼ 1 

2 rpr4 h 

Jz ¼ 1 

16 m d2 þ 4 

3 h2 ¼ 1 

64 rpd2 h d 2 þ 4 

3 h2 

Jx ¼ 1 

2 mðR2 þ r 2 Þ¼ 1 

8 mðD2 þ d 2 Þ¼ 1 

32 rphðD4 d 4 Jx ¼ 

Þ 

1 

2 rphðR4 r 4 Þ 

Jz ¼ 1 

4 m R2þr 2 þ 1 

3 h2 ¼ 1 

16 m D2þd 2 þ 4 

3 h2 

Jx ¼ 3 

10 mr2 

Kreiskegelstumpf: Jx ¼ 3 

10 m R5 r5 R3 r3 Jx ¼ 1 

4 mdm 2 ¼ 1 

4 rpdm 3 hs 

Jz ¼ 1 

8 m dm 2 þ 2 

3 h2 ¼ 1 

8 rpdm hs dm 2 þ 2 

3 h2 

Jx ¼ 2 

5 mr2 ¼ 1 

10 md2 ¼ 1 

60 rpd5 ¼ 8 

15 rpr5 

Jx ¼ Jz ¼ 1 

6 mdm 2 ¼ 1 

6 rpdm 4 s 

Jz ¼ m R 2 þ 3 

4 r2 ¼ 1 

4 m D2 þ 3 

4 d2 

Jz ¼ 1 

16 rp2 Dd 2 D 2 þ 3 

4 d2 ¼ 1 

4 mD2 1 þ 3 

4 

" # 

d 

D 

2

236 

4.9.2.3 Verschiebesatz (Steiner’scher Satz) 

Die Berechnungsgleichungen für Trägheitsmomente 

J in Tabelle 4.5 (Seite 235) wurden für die 

Schwerachsen der Körper entwickelt, so wie bei 

der Herleitung der Gleichung Jx ¼ 0,5rpr 4 h für 

den Kreiszylinder. Diese Gleichungen gelten also 

für den Fall, dass die Körperschwerachse zugleich 

Drehachse ist. 

Decken sich Körperschwerachse x x und Drehachse 

0–0 (Bezugsachse) nicht, wie z. B. beim 

Kurbelzapfen (Kreiszylinder) auf der Kurbelscheibe, 

dann muss man das Trägheitsmoment J0 des 

Teilkörpers (Kurbelzapfen) in Bezug auf die parallele 

Drehachse 0–0 nach dem Verschiebesatz von 

Steiner bestimmen. Das ist das gleiche Verfahren 

wie z. B. bei der Biegebeanspruchung in der Festigkeitslehre, 

wenn die Flächenschwerachse der 

Teilfläche nicht zugleich Biegeachse der ganzen 

Fläche ist (siehe 5.7.6, Seite 313). 

Zur Herleitung des Verschiebesatzes geht man von 

der uneingeschränkt gültigen Definitionsgleichung 

für das Trägheitsmoment aus, hier bezogen auf die 

Drehachse 0–0. Der Abstand der Teilmasse Dm 

von der Bezugsachse beträgt jetzt l þ rn, wie die 

Skizze der Kurbelscheibe zeigt. 

Das erste Glied der gefundenen Gleichung führt 

zum Produkt ml 2 , weil SDm ¼ m ¼ Masse des 

Kurbelzapfens ist. 

Das zweite Glied wird null, weil SDmnrn ¼ 0 ist. 

SDmn rn ist die Summe der statischen Momente 

aller Teilmassen bezogen auf die Schwerachse des 

Körpers. Diese Momentensumme ist gleich null 

(siehe Momentensatz und Schwerpunktslehre). 

Das dritte Glied erkennt man sofort: Es ist das 

Trägheitsmoment Jx des Teilkörpers (Kurbelzapfen) 

in Bezug auf die eigene Schwerachse (Jx ¼ Js 

nach Tabelle 4.5). 

In Tabelle 4.5 (Seite 235) sind die x-Achsen 

und die z-Achsen Schwerachsen der Körper. 

Jx ist das Trägheitsmoment des Körpers bezogen 

auf die Schwerachse x x usw. 

x x Schwerachse des Kreiszylinders 

0–0 Drehachse (Bezugsachse) 

rn 

Dmn 

l 

zu Dmn gehöriger Radius 

beliebige Teilmasse 

Abstand Schwerachse-Drehachse 

(Bezugsachse) 

J0 ¼ Summe aller Teilmassen mal Abstandsquadrat 

J0 ¼ SDmnðl þ rnÞ 2 

J0 ¼ SDmnðl 2 þ 2lrn þ rn 2 Þ 

J0 ¼ l 2 SDmn þ 2lSDmn rn þ SDmn rn |fflfflfflffl{zfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} 

1: Glied 2: Glied 

2 

|fflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflffl} 

3: Glied 

l 2 SDmn ¼ l 2 m ¼ ml 2 

2l SDmn rn ¼ 2l 0 ¼ 0 

SDmn rn 2 ¼ Jx ¼ Js 

4 Dynamik 

Js ist das Trägheitsmoment des Körpers bezogen 

auf die eigene Schwerachse. Es kann Jx, 

Jz oder J0 nach Tabelle 4.5 sein.


Damit kann man den Verschiebesatz formulieren: 

Das Trägheitsmoment J0 für eine Drehachse 

0–0 ist gleich dem Trägheitsmoment Js für die 

parallele Schwerachse s s des Körpers, vermehrt 

um das Produkt aus der Masse m des 

Körpers und dem Abstandsquadrat l 2 der beiden 

Achsen. Eine der beiden parallelen Achsen 

muss immer Schwerachse sein. 

Sind die Trägheitsmomente Js1, Js2, Js3 mehrerer 

Teilkörper auf eine zu den Teilschwerachsen parallele 

Drehachse 0–0 zu beziehen, dann ist immer 

das Produkt m1l1 2 , m2l2 2 , m3l3 2 hinzuzufügen. 

Decken sich die Schwerachsen der Teilkörper mit 

der Drehachse, dann werden die Produkte ml 2 

gleich null, d. h. man darf dann (aber nur dann) 

die Trägheitsmomente einfach addieren (für Bohrungen 

subtrahieren). 

Ûbung: Die im Abstand l ¼ 200 mm um eine 

Drehachse 0 rotierende Kugel hat den Radius 

r ¼ 10 mm und die Dichte r ¼ 8,6 g/cm 3 .Essoll 

das Trägheitsmoment J0 für die Drehachse bestimmt 

werden. 

Lösung: Der Verschiebesatz wird angesetzt. Für 

das Trägheitsmoment Js der Kugel in Bezug auf 

die eigene Schwerachse findet man in Tabelle 4.5 

(Seite 235) die Beziehung Jx ¼ð2=5Þ mr 2 ¼ Js. 

Aus der Mathematik ist die Gleichung für das Kugelvolumen 

bekannt. Außerdem weiß man, dass 

m ¼ Vr ist (4.4.2, Seite 191). 

Für die Ausrechnung wird hier als Masseneinheit g, 

und als Längeneinheit cm benutzt. 

Mit 1 g ¼ 10 3 kg und 1 cm 2 ¼ 10 4 m 2 kann abschließend 

leicht umgerechnet werden. 

J0 ¼ Js þ ml 2 

Verschiebesatz 

J0 ¼ Js1 þ m1l1 2 þ Js2 þ m2l2 2 þ ... 


Beachte: Bei Bohrungen werden Js und auch 

ml 2 für die Bohrung negativ. 

J0 ¼ Js1 þ Js2 þ Js3 þ ...þ Jsn 

(gilt nur für l1 ¼ 0; l2 ¼ 0; l3 ¼ 0 ...ln ¼ 0) 

J0 ¼ Js þ ml 2 

m ¼ 4 

3 pr3 r (Kugelmasse) 

Js ¼ 2 

5 mr2 (nach Tabelle 4.5, Seite 235) 

J0 ¼ 2 

5 mr2 þ ml 2 ¼ m 2 

5 r2 þ l 2 

J0 ¼ 4 

3 pr3 r 

2 

5 r2 þ l 2 

J0 ¼ 14 424 g cm 2 ¼ 14,4 kg cm 2 

J0 ¼ 14,4 10 4 kg m 2 

J0, Js m l 

kg m 2 kg m

238 

4.9.2.4 Reduzierte Masse mred und Trägheitsradius i 

Reduzierte Masse mred eines Körpers ist eine in beliebigem 

Abstand r von der Drehachse gedachte 

Ersatzmasse, die in Bezug auf die Drehachse das 

gleiche Trägheitsmoment Js besitzt, wie die verteilte 

Masse m des ursprünglichen Körpers. Dabei 

kann man sich die reduzierte Masse mred als sehr 

dünnen Hohlzylinder, als Kugel, als Punkt usw. 

denken. Manche Rechnungen und Ûberlegungen 

werden dadurch einfacher. Je nach Wahl des Abstandes 

r für die reduzierte Masse erhält man dafür 

einen anderen Betrag, denn es muss immer von 

der Definitionsgleichung für das Trägheitsmoment 

ausgegangen werden, in diesem Fall also von 

Js ¼ mredr 2 . 

Im nebenstehenden Beispiel soll die Masse m des 

Kreiszylinders auf den Zylinderumfang bezogen 

werden (r bleibt gleich groß). Dann ergibt sich aus 

Js ¼ mredr 2 die reduzierte Masse 

mred ¼ Js=r 2 ¼ m=2. 

Man erhält demnach die reduzierte Masse mred, 

indem das Trägheitsmoment Js des ursprünglichen 

Körpers durch das Quadrat des gewählten Radius 

dividiert wird. 

Trägheitsradius i eines Körpers ist derjenige Abstand 

von der Drehachse, in dem man sich die 

Masse m des Körpers als reduzierte Masse umlaufend 

vorstellen muss, ohne dass sich das ursprüngliche 

Trägheitsmoment Js des Körpers ändert. 

Nach der Definitionsgleichung für das Trägheitsmoment 

muss mit Masse m und Trägheitsradius i 

jetzt Js ¼ mi 2 gelten. Daraus lässt sich der Trägheitsradius 

bestimmen. 


Beispiel: 

Gesucht ist die reduzierte Masse mred für 

einen Kreiszylinder der Masse m, wenn man 

sich die Masse m auf den Zylinderumfang 

reduziert denkt. 

Js ¼ mr2 

2 

Js ¼ mred r 2 

mred ¼ Js 

r 2 

Js ¼ mi 2 

i ¼ 

mred ¼ Js mr2 m 

¼ ¼ 

r2 2r2 2 

mred Ersatzmasse 

(reduzierte Masse) 

4 Dynamik 

rffiffiffiffi Js gegebenes Trägheitsmoment 

Js 

m gegebene Masse 

m i gesuchter Trägheitsradius


4.9.3 Ûbung zum dynamischen Grundgesetz für die Drehung 

Ûbung: Durch einen Bremsversuch soll das Trägheitsmoment 

J einer Scheibenkupplung bestimmt 

werden. Die Kupplung besitzt die Masse 

m ¼ 135 kg. Sie wird durch ein resultierendes 

Bremsmoment von 20 Nm in 25 s von n1 ¼ 

2800 min 1 auf n2 ¼ 1345 min 1 abgebremst. 

Lösung: Im dynamischen Grundgesetz ersetzt 

man die Winkelbeschleunigung a definitionsgemäß 

durch a ¼ Dw=Dt ¼ðw1 w2Þ=Dt und 

löst die Gleichung nach J auf. 

In der Ausrechnung wird die Einheit Nm für das 

resultierende Drehmoment durch die Basiseinheiten 

(1 N ¼ 1 kgm/s 2 ) ersetzt. 

Gegeben: Mres ¼ 20 Nm 

Dt ¼ 25 s 

w1 ¼ pn1 

30 

w2 ¼ pn2 

30 

¼ 293,2 rad 

s 

¼ 140,8 rad 

s 

Gesucht: Js ¼ J ¼ f ðMres, Dt, w1, w2Þ 

Mres ¼ Ja ¼ J Dw 

Dt ¼ J w1 w2 

Dt 

J ¼ Mres Dt 

w1 w2 

J ¼ 

kg m2 

20 

s2 25 s 

ð293,2 140,8Þ rad 

s 

4.9.4 Drehimpuls (Drall) und Impulserhaltungssatz für die Drehung 

Das dynamische Grundgesetz für Drehung kann in 

eine andere Form gebracht werden, mit der sich 

bestimmte Aufgaben einfacher lösen lassen. Dazu 

schreibt man für die Winkelbeschleunigung 

a ¼ Dw=Dt und multipliziert die so entstandene 

Gleichung mit dem Zeitabschnitt Dt. Diese Gleichung 

eignet sich besonders für Aufgaben, in 

denen der (meist sehr kurze) Zeitabschnitt Dt eine 

Rolle spielt (vergleiche mit 4.4.9, Seite 202). 

Das Produkt aus dem resultierenden äußeren Drehmoment 

Mres und dem Zeitabschnitt Dt heißt Momentenstoß. 

Das Produkt aus dem Trägheitsmoment J eines 

Körpers und seiner Winkelgeschwindigkeit w wird 

als Drehimpuls oder Drall bezeichnet: 

Die Ønderung des Drehimpulses eines Körpers 

ist gleich dem Momentenstoß des resultierenden 

Drehmomentes während des betrachteten 

Zeitabschnitts. 

Der Drehimpuls ist ein Vektor. 

Mres ¼ Ja a ¼ Dw 

Dt 

Mres ¼ J Dw 

Dt Dt 

Mres Dt ¼ J Dw 

Mres ðt2 t1Þ 

|fflfflfflffl{zfflfflfflffl} 

Dt 

J ¼ f ðMres, Dt, w1, w2Þ 

¼ J ðw2 w1Þ 

|fflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflffl} 

Dw 

¼ 3,28 kg m 2 

Dt ¼ t2 t1 

Dw ¼ w2 w1 

gilt für 

Mres ¼ konstant 

Mres Dt Momentenstoß des resultierenden 

Drehmomentes 

Jw Drehimpuls (Drall) des Körpers 

Mres Dt ¼ Jw2 Jw1

240 

Ist das resultierende Drehmoment Mres aller äußeren 

Drehmomente gleich null (momentfreies System), 

dann ist auch der Momentenstoß Mres Dt 

gleich null: 

Bei Mres ¼ 0 bleibt der Drehimpuls eines Körpers 

unverändert (Jw ¼ konstant). 

Ein Vergleich der voranstehenden Entwicklungen 

mit den Herleitungen zum Impuls bei geradliniger 

Bewegung (4.4.9, Seite 202) zeigt deutlich die 

strukturelle Ûbereinstimmung der Gesetze der geradlinigen 

Bewegung und der Drehbewegung 

(Analogie). 

4.9.5 Kinetische Energie Erot (Rotationsenergie) 

Man geht auf die gleiche Weise vor wie im Abschnitt 

4.7.3, Seite 220: 

Wird ein Körper, z. B. eine Schwungscheibe, aus 

dem Stillstand heraus auf die Winkelgeschwindigkeit 

w gebracht, dann ist dazu nach dem dynamischen 

Grundgesetz das resultierende Drehmoment 

Mres ¼ Ja erforderlich (4.9.1, Seite 232). 

Mres dreht den Körper um den Drehwinkel Dj, 

verrichtet also am Körper eine Arbeit, die Beschleunigungsarbeit 

Wa ¼ Mres Dj. 


mit der der Körper, z. B. das Schwungrad, an 

einem anderen Körper Arbeit verrichten kann. Da 

nur solche Körper diese Energieart besitzen, die 

sich mit der Winkelgeschwindigkeit w drehen, 

spricht man von Rotationsenergie Erot. 

Mit der bisherigen Kenntnis der einander entsprechenden 

Größen der geradlinigen und der Drehbewegung 

hätte man die Gleichung für die Rotationsenergie 

sofort aufschreiben können. 

Besitzt ein Körper schon die Winkelgeschwindigkeit 

w1 und wird er durch Mres über dem Drehwinkel 

Dj auf die Winkelgeschwindigkeit w2 gebracht, 

dann wird für Dj ¼ðw2 2 w1 2 Þ=2a 

eingesetzt (Tabelle 4.3, Seite 186). Damit erhält 

man eine Gleichung für die Beschleunigungsarbeit 

Wa in der allgemeinen Form. Wa gibt dann zugleich 

die Ønderung der Rotationsenergie des Körpers 

an (DErot ¼ Erot 2 Erot 1). Vergleiche mit 

Seite 220. 

Mres Dt ¼ Jw2 Jw1 ¼ 0 

Jw2 ¼ Jw1 ¼ konstant 

Impulserhaltungssatz für 

Drehung 

Mres ¼ Ja ¼ J Dw 

Dt 

Dw ¼ w gesetzt 

Mres Dj ¼ J w 

Dt Dj 

Mres Dj ¼ J w 

Dt 

w Dt 

2 

Mres Dj ¼ J 

2 w2 ¼ Wa 

RotationsBeschleunigungsenergie ¼ 

Erot arbeit Wa 

Erot ¼ J 

2 w2 

Rotationsenergie 

Masse m ¼b Trägheitsmoment J 

Geschwindigkeit v ¼b Winkelgeschwindigkeit 

w 

Ekin ¼ m 

2 v2 ) Erot ¼ J 

2 w2 

Mres Dj ¼ Ja Dj 

Dj ¼ w2 2 w1 2 

2a 

Mres Dj ¼ Ja w2 2 w1 2 

2a 

Wa ¼ J 

2 ðw2 2 w1 2 Þ¼DErot 

Ønderung der Rotationsenergie 

4 Dynamik 

Erot, Wa J w 

J ¼ Nm kg m2 rad 

s


4.9.6 Energieerhaltungssatz für Drehung 

Der Energieerhaltungssatz für technische Vorgänge nach Abschnitt 4.7.5, Seite 221, muss auch 

für die Drehbewegung gelten. 

Energieerhaltungssatz 

Die Rotationsenergie Erot E am Ende eines Vorgangs ist gleich der Rotationsenergie Erot A 

am Anfang des Vorgangs, vermehrt um die während des Vorgangs zugeführte Arbeit Wzu 

und vermindert um die während des Vorgangs abgegebene Arbeit Wab. 

Erot E ¼ Erot A þ Wzu Wab 


am Ende 

des Vorgangs 

¼ 


am Anfang 

des Vorgangs 

Ûbung: Eine Schleifscheibe von d1 ¼ 500 mm 

Durchmesser und der Masse m ¼ 25 kg wird bei 

einer Drehzahl n ¼ 1 480 min 1 ausgeschaltet und 

läuft in 387 s aus. Der Lagerdurchmesser beträgt 

d2 ¼ 50 mm. 

Gesucht wird die mittlere Reibungszahl m in den 

beiden Gleitlagern der Schleifscheibenwelle. 

Lösung: Bei diesem „Auslaufversuch“ zur Bestimmung 

der Reibungszahl in den Lagern ist 

Erot E ¼ 0, denn am Ende des Vorgangs ruht die 

Scheibe. Ebenso ist Wzu ¼ 0, weil keine Arbeit zugeführt 

wird. Dagegen wird während des Vorgangs 

Reibungsarbeit WR abgeführt (Reibungsarbeit der 

Reibungskraft FN m). 

Anfangsenergie ist die Rotationsenergie 

Erot ¼ Jw 2 =2, mit J ¼ mr 2 =2 nach Tabelle 4.5, 

Seite 235. Für r 2 muss man ðd1=2Þ 2 einsetzen. 

Beim Auslaufen wird demnach die gesamte Anfangsenergie 

durch die Reibungsarbeit aufgezehrt 

(Erot ¼ WR). 


þ zugeführte 

Arbeit 

Erot E ¼ Erot A þ Wzu Wab 

0 ¼ J 

2 w2 þ 0 WR 

WR ¼ MR Dj; Dj ¼ 

abgeführte 

Arbeit 

w Dt 

2 

v 

v 

0 

Δf = 

Δt t 

vΔt 

2 

MR ¼ FN m d2 d2 

¼ mgm 

2 2 ; FN ¼ FG ¼ mg 

WR ¼ mgm d2 

2 

w Dt 

2 

J 

2 w2 ¼ WR ; J ¼ 1 

2 mr2 ¼ 1 

2 

1 

2 

d1 2 

1 

2 

2 

d1 

m 

4 w2 ¼ mgm d2 

2 

4 w ¼ gmd2 Dt 

m ¼ d1 2 w 

4gd2 Dt 

m ¼ 0,051 

w Dt 

2 

m d1 

2 

2 

4 

mw

242 

4.9.7 Fliehkraft 

4.9.7.1 Zentripetalbeschleunigung und Zentripetalkraft 

Nach dem Trägheitsgesetz bewegt sich jeder Körper 

mit konstanter Geschwindigkeit (v ¼ konstant) 

auf geradliniger Bahn weiter, solange keine resultierende 

Kraft auf ihn einwirkt. Dann bleibt also 

nicht nur der Betrag des Geschwindigkeitsvektors 

erhalten (z. B. v ¼ 4 m/s), sondern auch Richtung 

und Richtungssinn. 

Soll sich ein Körper auf einer kreisförmigen Bahn 

bewegen, dann kann zwar der Betrag der Geschwindigkeit 

vu (Umfangsgeschwindigkeit) gleich 

groß bleiben (vu ¼ konstant), aber die Richtung des 

Geschwindigkeitsvektors ändert sich laufend. 

Es soll nun der Betrag der zum Mittelpunkt M gerichteten 

Zentripetalbeschleunigung az bestimmt 

werden: 

Bei gleichförmiger Kreisbewegung bleibt der Betrag 

der Umfangsgeschwindigkeit gleich groß, also 

vu1 ¼ vu2 ¼ vu, jedoch hat sich ihre Richtung auf 

dem Weg von P1 nach P2 geändert. In beiden 

Punkten ist vu tangential gerichtet. Der Kreisbogen 

_ 

P1P2 muss entsprechend der Grundgleichung für 

die gleichförmige Bewegung gleich vu Dt sein, 

also _ P1P2 ¼ vu Dt. 

Der Radius des Kreises wird mit rs bezeichnet, um 

schon hier deutlich zu zeigen, dass immer die Umlaufbahn 

des Massenschwerpunkts eines Körpers 

zu betrachten ist. 

Man zeichnet sich nun die beiden Geschwindigkeitsvektoren 

in den beiden Punkten P1 und P2 heraus 

(Parallelverschiebung) und bezeichnt die Endpunkte 

der Geschwindigkeitspfeile mit P 0 1 und P02 . 

Aus der Øhnlichkeit der beiden schraffierten Dreiecke 

kann die Verhältnisgleichung herausgelesen 

werden. 

Für sehr kleine Zeitabschnitte Dt kann man 

_ 

P 0 1P02 ¼ P01 P02 setzen. Die Richtungsänderung der 

beiden Geschwindigkeitsvektoren vu1, vu2 ist der 

Vektor der Geschwindigkeitsänderung Dv. Damit 

wird die Verhältnisgleichung entsprechend umgeschrieben. 

Beachte: Wichtig ist für die folgende Betrachtung, 

dass jeder Körper ohne äußere 

Einflüsse von sich aus bestrebt ist, die gerade 

Bewegungsbahn beizubehalten. 

Beachte: Auch bei gleichförmiger Kreisbewegung 

muss der umlaufende Körper dauernd 

in Richtung zum Mittelpunkt hin abgelenkt 

werden: Das ist ein 

Beschleunigungsvorgang und es gilt 

Fres ¼ ma. 

_ 

P1P2 

rs 

Tangente 

M’ 

n( ω) 

r s 

_ 

P 

¼ 

0 1P02 vu 

_ 

P1P2 ¼ vu Dt 

P 0 1 P0 2 

vu Dt 

rs 

¼ Dv 

¼ Dv 

vu 

Δϕ 

P 1 

a z 

M 

v u2 

Δϕ 

P’ 2 

v u1 

Normale 

4 Dynamik 

a z 

P’ 1 

v u1 

s=vu t 

P 2 

v u2 

v=v 

u2 –v u1, 

denn v u1 + v 

= vu2


Löst man die Gleichung nach Dv=Dt auf, und beacht, 

dass jeder Quotient aus einer Geschwindigkeitsänderung 

und dem zugehörigen Zeitabschnitt 

eine Beschleunigung darstellt, dann erhält man die 

Gleichung für den Betrag der Zentripetalbeschleunigung 

az. Eine zweite Form findet man, indem 

nach 4.2.7 (Seite 179) für vu ¼ rs w eingesetzt 

wird. Die Zentripetalbeschleunigung az ist zum 

Drehmittelpunkt gerichtet. 

Ursache jeder Beschleunigung ist nach dem dynamischen 

Grundgesetz immer eine resultierende Kraft 

Fres ¼ ma. Diese Kraft heißt hier Zentripetalkraft 

Fz. Sie steht nach d’Alembert im Gleichgewicht 

mit der entgegengesetzt gerichteten Trägheitskraft 

des Körpers, die Fliehkraft oder Zentrifugalkraft 

heißt. Diese Kräfte haben Bedeutung bei Fliehkraftreglern, 

Kreiselpumpen, Unwuchten, Schleudergussverfahren, 

Kurvenfahrten von Fahrzeugen 

usw. 

4.9.7.2 Ûbungen zur Fliehkraft 

1. Ûbung: Eine Rennstrecke soll in einer Kurve 

vom Radius rs ¼ 400 m eine Geschwindigkeit von 

v ¼ 280 km/h ermöglichen, ohne dass an den Reifen 

seitliche Reibungskräfte abgestützt werden 

müssen. Dazu muss der Neigungswinkel a der 

Fahrbahn so groß werden, dass die Resultierende 

aus Fliehkraft Fz und Gewichtskraft FG in Normalenrichtung 

auf der Fahrbahn steht. 

Welchen Neigungswinkel a muss die Fahrbahn erhalten? 

Lösung: Der Neigungswinkel a der Fahrbahndecke 

zur Horizontalen tritt auch im Krafteck auf, 

und zwar zwischen Gewichtskraft FG und Resultierender 

Fres. 

Die Entwicklung der Gleichung zeigt, dass der 

Neigungswinkel a der Fahrbahn unabhängig ist 

von der Masse m des Fahrzeugs, jedoch nicht von 

der Fallbeschleunigung g. 

Dv 

Dt ¼ az ¼ vuvu 

2 

vu 

¼ 

rs rs 

2 

vu 

az ¼ ¼ rsw 

rs 

2 

Zentripetalbeschleunigung 

Beachte: rs ist der Radius des Kreises, auf 

dem der Schwerpunkt des Körpers umläuft. 

Fres ¼ ma 

Fres ¼ Fz 

a ¼ az 

Fz ¼ maz ¼ mrs w 2 ¼ m 

Zentripetalkraft 

tan a ¼ Fz 

2 

vu 

m 

rs ¼ 

FG mg 

tan a ¼ v2 

grs 

a ¼ arctan v2 

grs 

az vu rs w 

m 

s 2 

m 

s 

vu 2 

rs 

m 

Fz m az rs w vu 

N ¼ kgm 

s 2 

kg m rad 

m 

s2 s 

m 

s 

rad 

s 

vu ¼ v gesetzt 

280 m 

3,6 s 

a ¼ arctan 

9,81 m ¼ 57 

400 m 

s2 2

244 

2. Ûbung: Ein Lieferwagen mit der Masse 

m ¼ 1000 kg fährt mit v ¼ 80 km/h durch eine 

nicht überhöhte Kurve vom Radius rs ¼ 55 m. Der 

Fahrzeugschwerpunkt S liegt h ¼ 0,65 m über der 

Fahrbahndecke, die Spurweite der Räder beträgt 

l ¼ 1,2 m. Als Haftreibungszahl wird m0 ¼ 0,6 angenommen. 

Es ist zu untersuchen, ob der Wagen in der Kurve 

kippt oder rutscht. 

Lösung: Die Lageskizze zeigt, dass der Wagen 

dann nicht um A kippt, wenn das linksdrehende 

Moment Fzh (Kippmoment) kleiner ist als das 

rechtsdrehende FG l=2 (Standmoment). Auch hier 

zeigt die Entwicklung der Gleichung die Unabhängigkeit 

von der Masse m des Wagens. 

Die Ausrechnung ergibt: Der Wagen kippt (gerade 

noch) nicht. 

Der Wagen rutscht in der Kurve, wenn die Summe 

der an den vier Rädern angreifenden Reibungskräfte 

kleiner ist, als die nach links wirkende 

Fliehkraft Fz. Diese Bedingung wird überprüft, indem 

man die Gleichung nach der Haftreibungszahl 

m0 auflöst. 

Die Ausrechnung zeigt: Die Haftreibungszahl m0 

ist kleiner als erforderlich, d. h. der Wagen rutscht 

( m0 ¼ 0,6 < 0,915). 

3. Ûbung: Ein dünner Ring von der Dichte r läuft 

mit der Winkelgeschwindigkeit w (Umfangsgeschwindigkeit 

vu) um. 

Es soll eine Gleichung zur Bestimmung der Zugspannung 

sz im Schnitt A B des Ringes hergeleitet 

werden. 

Lösung: Für den geschnittenen Ring muss in der 

gezeichneten Stellung SFx ¼ 0 sein, d. h. im Flächenschwerpunkt 

beider Querschnitte greift die 

Normalkraft FN ¼ Fz=2 als innere Kraft an. Diese 

Normalkraft FN erzeugt die Zugspannung 

sz ¼ FN=A ¼ Fz=2A (A ¼ Querschnittsfläche). 

Fz h FG 

v 2 

rs 

l 

2 

h g l 

2 

80 m 

0,65 m 

3,6 s 

55 m 

5,836 < 5,886 

FR0 max 

mgm 0 

m 0 

m 0 

2 

v 2 

grs 

Fz 

m v2 

rs 

2 v 

Fz ¼ m 

rs 

80 m 

3,6 s 

9,81 m ¼ 0,915 

55 m 

s2 0,6 < 0,915 

sz ¼ Fz 

2 mrsw 

¼ 

2A 2A 

m ¼ Vr ¼ prAr 

rs ¼ 2r 

p 

2 

FG ¼ mg 

9,81 m 

0,6 m 

s2 Schwerpunktsabstand 

des Halbkreisbogens 

4 Dynamik


Die Fliehkraft Fz ist eine Trägheitskraft (siehe 

d’Alembert, 4.4.6, Seite 195), d. h. sie greift im 

Schwerpunkt der Halbkreislinie mit dem Radius r 

an: rs ¼ 2r=p. Es muss zwischen r und rs unterschieden 

werden. 

Man sieht, dass die Zugspannung sz unabhängig 

von der Querschnittsfläche A des dünnen Ringes 

ist. 

Dreht sich der dünne Ring mit einer Umfangsgeschwindigkeit 

von 36 m/s, und besitzt er eine 

Dichte von 7850 kg/m 3 , dann beträgt die Zugspannung 

sz 10 N=mm 2 . 


prAr 

sz ¼ 

2r 

p w2 

2A 

sz ¼ r 2 w 2 r 

sz ¼ vu 2 r 

sz ¼ vu 2 2 m2 

r ¼ 36 

sz ¼ 10,17 10 

1 N 6 

¼ 10 

m2 N 

s2 kg 

7850 

m3 ¼ 10,17 

m2 N 

4.9.8 Gegenüberstellung der translatorischen und rotatorischen Größen 

Geradlinige (translatorische) Bewegung Drehende (rotatorische) Bewegung 

6 N 

sz r w vu r 

N rad 

m 

m2 s 

mm 2 

Größe Definitionsgleichung Einheit Größe Definitionsgleichung Einheit 

Zeit t Basisgröße s Zeit t Basisgröße s 

Verschiebeweg s Basisgröße m Drehwinkel j j ¼ b 

r 

rad 

Masse m Basisgröße kg Trägheitsmoment J J ¼ S Dmr 2 

Geschwindigkeit v 


v ¼ Ds 

Dt 

m 

s 


w 


w ¼ Dj 

Dt 

Arbeit W W¼Fs J Dreharbeit Wrot Wrot ¼ Mj ¼ FTr j J 

Leistung P P ¼ W 

t ¼ Fv W Drehleistung Prot Prot ¼ Wrot 

¼ Mw 

t 

W 

Elastische 

F ¼ Rs 

Verformung 

(geradlinig) 

W ¼ 1 

2 Rs2 

N Elastische 

M ¼ Rj 

J 

Verformung 

(kreisförmig) W ¼ 1 

2 Rj2 

Nm 

J 

Beschleunigung a a ¼ Dv 

Dt 

Beschleunigungskraft 

Fres 

kinetische 

Energie Ekin 


m 

s 2 

Winkelbeschleunigung 

a 

Fres ¼ ma N Beschleunigungsmoment 

Mres 

Ekin ¼ m 

2 v2 J Rotationsenergie 

Erot 

mv ¼ konstant Impulserhaltungssatz 

a ¼ Dw 

Dt 

mm 2 

m 

s 

kg 

m 3 

kgm 2 

rad 

s 

rad 

s 2 

Mres ¼ Ja Nm 

Erot ¼ J 

2 w2 

Jw ¼ konstant 

J

246 

4.10 Mechanische Schwingungen 

4.10.1 Begriff 

Schwingung ist eine auch im Alltag bekannte Bewegungsform von Körpern oder Masseteilchen, 

die sich am Ort um eine Ruhe- oder Nulllage herum bewegen (pendeln, schwingen), 

z. B. hin und her bei allen Pendeln wie Uhrenpendel, Fadenpendel, Federpendel. Brücken 

schwingen bei Belastung, ebenso eine Blattfeder oder (drehend) eine Torsionsstabfeder am 

Auto, aber auch Masseteilchen in einer Flüssigkeit oder Elektronen in der Atomhülle schwingen. 

Man spricht von elektrischen Schwingungen (Schwingkreis), optischen und akustischen 

(Ton-) Schwingungen. In diesem Kapitel werden nur mechanische Schwingungen behandelt; 

unterteilt in den kinematischen Bereich mit der Frage nach den Veränderungen der Bewegungsgrößen 

Weg s, Geschwindigkeit v, Beschleunigung a und in den kinetischen Bereich 

mit der Frage nach den Kräften F und Kraftmomenten M. 

4.10.2 Ordnungsbegriffe 

Der Pendelkörper (Schwinger) einer Uhr führt eine freie Schwingung aus, wenn er ohne Antrieb 

nie zur Ruhe käme. Tatsächlich tritt immer Reibung auf und es kommt zu gedämpften 

Schwingungen. Die Reibung entzieht dem Schwinger (Kugel, Pendel) Energie, die Auslenkung 

(Größtwert: Amplitude) wird immer kleiner. Wird dem Schwinger von außen Energie zugeführt, 

spricht man von erzwungener Schwingung. Ist dabei die zugeführte Energiemenge durch 

Regelung so dosiert, dass die Schwingung gerade aufrecht erhalten bleibt, nennt man das eine 

erzwungene selbsterregte Schwingung (mechanisches Uhrwerk). 

4.10.3 Die harmonische Schwingung 

4.10.3.1 Die Bewegungsgesetze der harmonischen Schwingung 

Läuft der Punkt P auf dem Radius r gleichförmig 

mit der Winkelgeschwindigkeit w um, dann entspricht 

einem Umlauf auf der Kreisbahn eine Aufund 

Abwärtsbewegung des projizierten Punktes 

auf der Projektionswand. Die so entstandene Bewegung 

heißt harmonische Schwingung. 

Gesucht werden die Gesetzmäßigkeiten zur Berechnung 

von Auslenkung y, Geschwindigkeit vy 

und Beschleunigung ay des schwingenden Punktes 

P. 

Die gefundenen Gleichungen sind die Gleichungen 

der harmonischen Schwingung. 

0 

8 

1 

P r 

7 

Auslenkung y 

2 

ω = konst. 

6 

M 

3 

5 

4 

-y 

2 

1(3) 

Nulllage 

0,8(4) 

4 Dynamik 

7(5) 

6 

Projektionsebene

4.10 Mechanische Schwingungen 247 

4.10.3.1.1 Auslenkung-Zeit-Gesetz 

Der Punkt P bewegt sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit 

w von 0 bis 1. Der Radius r hat 

dabei den Drehwinkel Dj überstrichen. Die zugehörige 

momentane Auslenkung y von der Mittellage 

(Nulllage) ist die Sinuskomponente des Radius 

r (y ¼ r sin Dj). 

Wird nach 4.2.6 (Seite 179) w ¼ Dj=Dt und daraus 

Dj ¼ w Dt eingesetzt, ergibt sich das Auslenkung-Zeit-Gesetz 

y ¼ r sin ðwtÞ. 

Für Dt schreibt man verkürzt t und bezeichnet den 

Klammerausdruck als „Omega-t“. 

4.10.3.1.2 Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz 

Punkt P läuft mit der tangential gerichteten konstanten 

Umfangsgeschwindigkeit vu um. 

Gesucht wird die momentane Geschwindigkeit vy 

des auf der Projektionsebene schwingenden Punktes 

P. Wie das Parallelogramm nach der Zerlegung 

des Geschwindigkeitsvektors vu zeigt, ist vy die 

Kosinuskomponente der Umfangsgeschwindigkeit 

vu: vy ¼ vu cos Dj. 

Für die Umfangsgeschwindigkeit vu kann nach 

4.2.7 (Seite 179) das Produkt aus Winkelgeschwindigkeit 

w und Radius r eingesetzt werden 

(vu ¼ wr). 

4.10.3.1.3 Beschleunigung-Zeit-Gesetz 

Jeder auf einer Kreisbahn umlaufende Punkt, auch 

der gleichförmig umlaufende, wird in jedem Augenblick 

zum Kreisbahnmittelpunkt M hin beschleunigt. 

Diese Beschleunigung heißt Zentripetalbeschleunigung 

az (siehe 4.9.7.1, Seite 242). 

Die momentane Beschleunigung des Punktes P in 

der Projektionsebene ist die Sinuskomponente 

ay ¼ az sin Dj. Die Beschleunigung ay ist immer 

der Auslenkung y entgegengerichtet. Deshalb 

steht rechts vom Gleichheitszeichen das Minuszeichen. 

1 

P y 

0 

-0 

r 

Δϕ 

M 

ω 

y ¼ r sin Dj 

y ¼ r sin ðw DtÞ 

y ¼ r sin ðwtÞ 

v y 

1 

Δϕ 

Δϕ 

v u 

M 

ω 

vy ¼ vu cos Dj 

vy ¼ rw cos ðwtÞ 

vy ¼ rw sin p 

2 wt 

Beachte: Es ist 

cos Dj ¼ sin ð90 DjÞ, also 

cos ðwtÞ ¼ sin ðp=2 wtÞ 

-0 

1 

a y 

Δϕ 

a z 

ω 

ay ¼ az sin Dj 

ay ¼ rw 2 sin ðwtÞ 

ay ¼ yw 2

248 

4.10.3.2 Die Graphen der harmonischen Schwingung 

Werden mit den entwickelten Bewegungsgesetzen für gleiche Zeitabschnitte Dt (z. B. 

Dt ¼ 10 s) die Auslenkung y, die Geschwindigkeit vy und die Beschleunigung ay im rechtwinkligen 

Achsenkreuz über der Zeitachse t aufgetragen, erhält man die folgenden Kurven: 

a) Für die Auslenkung-Zeit-Linie (y; t-Linie) gilt das zuvor entwickelte Auslenkung-Zeit-Gesetz 

y ¼ r sin Dj ¼ r sin ðwtÞ. Der Radius r ist eine Konstante, folglich ist die y; t-Linie 

eine Sinuskurve mit positivem Richtungssinn für die Auslenkung y im Drehwinkelbereich 

Dj 0 180 und negativem Richtungssinn im Drehwinkelbereich Dj 180 360 . 

b) Für die Geschwindigkeit-Zeit-Linie (v; t-Linie) gilt das zuvor entwickelte Geschwindigkeit- 

Zeit-Gesetz vy ¼ vu cos Dj ¼ rw cos ðwtÞ. Radius r und Winkelgeschwindigkeit w sind 

Konstante, folglich ist die v; t-Linie eine Kosinuskurve mit positivem Richtungssinn für die 

Geschwindigkeit vy im Drehwinkelbereich zwischen 0 und 90 sowie zwischen 270 und 

360 und negativem Richtungssinn im Drehwinkelbereich zwischen Dj 90 270 . 

c) Für die Beschleunigung-Zeit-Linie (ay; t-Linie) gilt das zuvor entwickelte Beschleunigung- 

Zeit-Gesetz ay ¼ az sin Dj ¼ rw 2 sin ðwtÞ. Radius r und Winkelgeschwindigkeit w 

sind Konstante, folglich ist die ay; t-Linie eine Sinuskurve mit negativem Richtungssinn für 

die Beschleunigung ay im Drehwinkelbereich zwischen 0 und 180 und positivem Richtungssinn 

zwischen 180 und 360 . 

0 

8 

0 

8 

vy Δϕ 

1 

7 

b) 

0 

8 

c) 

1 

y 

P 

7 

a) 

1 

7 

a y 

r 

Δϕ 

r 

Δϕ 

r 

Δϕ 

2 

6 

vu 2 

6 

2 

6 

M 

v x 

M 

a x 

a z 

ω 

ω 

3 

5 

3 

5 

5 

4 

4 

y 

vy 

a y 

y=rsin Δϕ =rsin( ωt) 

ω = konst. y 

y max = r 

4 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 

3 

y = - r 

max 

π 

v y = vu cos Δϕ = r ω cos ( ωt) = r ω sin( + 

2 

ωt) 

v y max = vu 

v y max = vu 

vy 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 

v ymax= -vu 

a =-a sin Δϕ=-r ω sin( ωt) =-y ω 

y z 

2 2 

a = a 

y max z 

0 2 3 4 5 6 7 8 

ay 

a ymax=-az t 

t 

t 

4 Dynamik


4.10.3.3 Zusammenstellung der wichtigsten Größen und Gleichungen der harmonischen 

Schwingung 

y 

Periode (Schwingung) ist ein Hin- und Hergang; 

eine Schwingung entspricht einem Umlauf auf der 

Kreisbahn (siehe 4.10.3.1). 

Auslenkung y (Elongation) ist die momentane 

Entfernung des schwingenden Punktes von der 

Nulllage (Mittellage, Gleichgewichtslage). 

Amplitude A (Schwingungsweite) ist die maximale 

Auslenkung aus der Nulllage. A ist konstant 

bei ungedämpfter Schwingung. 

Periodendauer T (Schwingungsdauer) ist die Zeit 

für eine volle Schwingung. 

Frequenz f ist der Quotient aus der Anzahl z der 

Perioden und dem zugehörigen Zeitabschnitt Dt, 

also die Anzahl der Perioden je Sekunde. 

Die Frequenz f hat die Einheit 1/s und die Bezeichnung 

Hertz 1) (Hz). 

Kreisfrequenz w ergibt sich aus w ¼ 2pf ¼ 

2pz=Dt, sie ist also die schon bekannte Winkelgeschwindigkeit 

w (nach DIN 1304). 

Phase Dj ist der Winkel im Bogenmaß, den der 

umlaufende Punkt im Zeitabschnitt Dt durchläuft. 

Mit den festgesetzten Größen können die hergeleiteten 

Bewegungsgesetze für die harmonische 

Schwingung neu geschrieben werden. Dazu setzt 

man für den Radius r die Amplitude A und für die 

Kreisfrequenz w ¼ 2pf ¼ 2pz=T ein. 

y, A t, T w, f vy ay 

m s 

1 

s 

m 

s 

m 

s 2 


1) Heinrich Hertz, deutscher Physiker, 1857–1894. 

-y 

0 

T ¼ Dt 

z 

A 

T= 1 

f 

f ¼ z 1 w 

¼ ¼ 

Dt T 2p 

w ¼ 2pf ¼ 2p 

T 

A 

Dj ¼ w Dt ¼ 2pf Dt ¼ 2pz 

y ¼ A sin ðwtÞ ¼A sin ð2pf tÞ 

y ¼ A sin 2pt 

T 

Zeit t 

vy ¼ Aw cos ðwtÞ ¼Aw cos ð2pf tÞ 

vy ¼ Aw cos 2pt 

T 

ay ¼ Aw 2 sin ðwtÞ ¼ Aw 2 sin ð2pf tÞ 

ay ¼ Aw2 sin 2pt 

¼ 

T 

yw2

250 

4.10.3.4 Rückstellkraft FR, Richtgröße D und lineares Kraftgesetz bei der harmonischen 

Schwingung 

In den vorausgegangenen Kapiteln wurden die Bewegungsgleichungen für die harmonische 

Schwingung entwickelt und in 4.10.3.3 zusammengestellt. Jetzt sind noch die Kräftegleichungen 

für den harmonisch schwingenden Körper zu ermitteln. Auch dabei muss von der Kreisbewegung 

ausgegangen werden. 

Aus Kapitel 4.9.7, Seite 242, ist die Zentripetalkraft 

Fz ¼ mrw 2 bekannt, die den Körper der Masse 

m auf der Kreisbahn hält und immer zum 

Kreismittelpunkt M hin gerichtet ist. Ist die Winkelgeschwindigkeit 

w konstant, gilt das auch für 

die Zentripetalkraft Fz und für deren Komponenten 

Fx ¼ Fz cos Dj und Fy ¼ Fz sin Dj. 

Die Komponente Fy ist die in Schwingungsrichtung 

wirkende Rückstellkraft FR ¼ Fy ¼ 

Fz sin Dj. Sie ist immer der Auslenkung y entgegen 

zur Nulllage hin gerichtet. Der Sinus des 

Drehwinkels Dj lässt sich durch die Auslenkung y 

und die Amplitude A ausdrücken (sin Dj ¼ y=A), 

sodass sich für die Rückstellkraft FR ¼ Fz y=A ergibt. 

Darin sind Zentripetalkraft Fz (gleichförmige 

Drehung) und Amplitude A ¼ r ¼ konstante Größen. 

Damit ist auch der Quotient Fz/A konstant. 

Diese Größe wird in der Schwingungslehre als 

Richtgröße D bezeichnet. 

Die Rückstellkraft FR ist demnach der momentanen 

Auslenkung y proportional (FR y). 

Zusammenfassung: Die kinematische Untersuchung 

führte bei der gleichförmigen Kreisbewegung 

zu den Bewegungsgleichungen der 

harmonischen Schwingung. Die kinetische 

Untersuchung hat gezeigt, dass die Rückstellkraft 

FR linear von der Auslenkung y abhängig ist. 

Wird diese Aussage in den folgenden Untersuchungen 

bestätigt, liegt eine harmonische 

Schwingung vor: 

Eine harmonische Schwingung liegt vor, wenn 

die Rückstellkraft FR dem linearen Kraftgesetz 

in der Form FR y ¼ Dy folgt. 

y 

m 

Fz 

r=A 

0 

Fy M 

0 

Nulllage 

ω 

Δϕ 

Fy ¼ FR ¼ Fz sin Dj ¼ Fz y=A 

FR ¼ Fz 

A y 

F x = Fz cos Δϕ 

Δϕ 

Fz 

¼ konstant ¼ Richtgröße D 

A 

FR ¼ Dy FR y 

FR ¼ Dy 

4 Dynamik 

F z 

F y = Fz sin Δϕ 

Kriterium für die harmonische 

Schwingung


4.10.4 Das Schraubenfederpendel 

4.10.4.1 Rückstellkraft FR und Federrate R 

Eine unbelastete, masselos gedachte Schraubenfeder 

wird mit einem Körper der Masse m belastet, 

sodass sie sich um Ds dehnt. 

In dieser Ruhelage (Nulllage 0–0) ist die Federspannkraft 

FS gleich der Gewichtskraft FG des 

Körpers (FS ¼ FG), wie der frei gemachte Körper 

zeigt. 

Wird der Körper um die Amplitude A ¼ ymax nach 

unten gezogen und dann losgelassen, schwingt er 

um die Ruhelage 0–0 mit der Amplitude A weiter 

(reibungsfrei betrachtet). 

Im unteren Umkehrpunkt des frei gemachten Pendelkörpers 

zieht die Feder mit der Federkraft FS 

nach oben, denn sie wirkt in dieser Stellung als 

Zugfeder. 

Die Rückstellkraft FR ist immer die resultierende 

Kraft, hier also die Differenz von Federspannkraft 

FS und Gewichtskraft FG: FR ¼ FS FG. 

Im oberen Umkehrpunkt wirkt die Feder als 

Druckfeder auf den Pendelkörper. Gewichtskraft 

FG und Federspannkraft FS sind gleich gerichtet 

(beide nach unten). 

Dann ist die Rückstellkraft FR die algebraische 

Summe von Gewichtskraft und Federspannkraft: 

FR ¼ FG þ FS. 

Auch die Untersuchung des frei gemachten Pendelkörpers 

in beliebigen Zwischenstellungen kann 

zu keinem anderen Ergebnis führen: 

Δs 

y 

Umkehrpunkt 

Ebene der 

0 0 

Ruhelage m 

0 

y 

-y 

y 

-y 

A=y max 

A=y max 

-y 

v = 0 

y 

v = 0 

y 

Umkehrpunkt 

0 0 

FR ¼ FS FG 

0 

F S 

F G 

F S 

F G 

F = 0 

R 

F = F – F 

R S G 

F R 

F G 

F S 

F G 

F S 

F R 

F = F + F 

R S G

252 

Die Rückstellkraft FR beim Federpendel ist die 

Resultierende aus Federspannkraft FS und Gewichtskraft 

FG des Pendelkörpers (Summe oder 

Differenz). 

Nach Kapitel 4.5.3 (Seite 205) ist die Federrate 

R 1) der Quotient aus Federkraft FS und zugehörigem 

Federweg Ds, also diejenige Kraft, die erforderlich 

ist, die Feder um eine Längeneinheit zu 

dehnen oder zu verkürzen. 

Zur Klärung der Frage, ob für das Federpendel das 

lineare Kraftgesetz der harmonischen Schwingung 

aus dem vorhergehenden Kapitel 4.10.3.4 gilt, 

werden zwei Pendelstellungen untersucht. 

Stellung a), unterhalb der Nulllinie 

FR ¼ FS FG ¼ Rs R Ds 

s ¼ y þ Ds 

FR ¼ Rðy þ Ds DsÞ ¼Ry 

Stellung b), oberhalb der Nulllinie 

FR ¼ FG þ FS ¼ R Ds þ Rs 

s ¼ y Ds 

FR ¼ R Ds þ Rðy DsÞ ¼Ry 

In beiden Fällen ist die Rückstellkraft FR der Auslenkung 

y proportional (R ist eine Konstante) und 

damit gilt: 

Das Federpendel schwingt harmonisch, denn es 

gilt das lineare Kraftgesetz. 

Δs 

Federkraft FS 

F ¼ 

Federweg Ds 

ay FR 0 ay vy FR 0 

F G =RΔs y 

s 

a) b) 

F =R 

S S 

F G =RΔs v y 

F =R 

S S 

s 

Δs 

y 

Beachte: 

Für die Schraubenfeder gilt FR ¼ Ry, folglich 

ist die Federrate R gleich der Richtgröße D. 

FR ¼ Dy ¼ Ry 

R FS Ds 

In der Maschinenbautechnik (z. B. Pressen- und Vorrichtungsbau) reicht zur federnden Kraftübertragung 

häufig eine Einzelfeder nicht aus. 

In diesem Fall werden je nach Verwendungszweck zwei oder mehr Federn in Parallel- oder 

Reihenschaltung (Hintereinanderschaltung) angeordnet. Für die konstruktiven Berechnungen 

braucht man dann die Federrate des ganzen Federsystems, die so genannte resultierende Federrate 

R0, deren Betrag von der Art der Federschaltung abhängt. 

N 

mm 

N mm 

FR D, R y 

N 

N 

m m 

4 Dynamik 

1) Versuch in A. Böge; J. Eichler: Physik: Grundlagen, Versuche, Aufgaben, Lösungen, ViewegþTeubner 2008 

Bezeichnung Federrate R nach DIN 2089, Nov. 92


Parallelschaltung 

Das Diagramm zeigt die Federkennlinien zweier 

parallel geschalteter Einzelfedern mit bekannten 

Federraten R1 und R2. Wird das Federsystem von 

s ¼ 0 auf den Federweg s0 gedehnt, gilt für die resultierende 

Federkraft F0 ¼ F1 þ F2, für den resultierenden 

Federweg dagegen s0 ¼ s1 ¼ s2. Mit 

diesen Bedingungen kann eine Gleichung zur Berechnung 

der resultierenden Federrate R0 bei Parallelschaltung 

entwickelt werden: 

R0 ¼ F0 

s0 

R0 ¼ R1 þ R2 

¼ F1 þ F2 

s0 

¼ F1 

þ 

s1 

F2 

¼ R1 þ R2 

s2 

Reihenschaltung 

Das Diagramm zeigt die Federkennlinien zweier 

in Reihe (hintereinander) geschalteter Einzelfedern 

mit den Federraten R1 und R2. Wird das Federsystem 

von F ¼ null auf die Federkraft 

F ¼ F0 ¼ F1 ¼ F2 belastet, gilt für den resultierenden 

Federweg s0 ¼ s1 þ s2. Mit diesen Bedingungen 

kann eine Gleichung zur Berechnung der 

resultierenden Federrate R0 bei Reihenschaltung 

entwickelt werden: 

R0 ¼ F0 

s0 

1 

R0 

¼ s1 þ s1 

F0 

¼ F0 

s1 þ s2 

¼ s1 

þ 

F1 

s2 

¼ 

F2 

1 

þ 

R1 

1 

R2 

4.10.4.2 Periodendauer T des Schraubenfederpendels 

Die Rückstellkraft FR ist immer die resultierende 

Kraft Fres und es gilt das dynamische Grundgesetz 

Fres ¼ ma. Bei der harmonischen Schwingung ist 

für die momentane Beschleunigung a ¼ ay und 

nach 4.10.3.1.3 (Seite 247) ay ¼ yw 2 einzusetzen. 

R0 ¼ R1 þ R2 þ ...þ Rn 

Federrate bei Parallelschaltung 

von n Federn 

1 

R0 

¼ 1 

þ 

R1 

1 

þ ...þ 

R2 

1 

Rn 

Federrate bei Reihenschaltung 

von n Federn 

R0 ¼ R1 R2 

R1 þ R2 

gilt nur für zwei Federn 

FR ¼ may; ay ¼ yw 2 ; w ¼ 2p 

T 

FR ¼ myw 2

254 

Das dort vorhandene negative Vorzeichen entfällt, 

da nur der Absolutbetrag interessiert. 

Die Periodendauer T ist unabhängig von der 

Amplitude A. Sie ist umso größer, je größer die 

Masse m des Pendelkörpers und je kleiner die 

Federrate R ist, d. h. je „weicher“ die Feder ist. 

Aus der Gleichung für die Schwingungsdauer 

kann auch eine neue Beziehung für die Berechnung 

der Federrate der Schraubenfeder entwickelt 

werden. 


4.10.5 Das Torsionsfederpendel 

FR ¼ m 4p2 

y ¼ Ry 

T2 rffiffiffiffi 

m 

T ¼ 2p 

R 

R ¼ m 4p2 

¼ D 

T2 4.10.5.1 Federrate R, Rückstellmoment MR und Periodendauer T 

Wird der in Ruhelage an einem Stahldraht hängende 

Körper um den Drehwinkel Dj verdreht, 

beschreibt jedes Teilchen eine Kreisbewegung. 

Zur Ûberleitung von der geradlinigen in die kreisförmige 

Bewegung wird das Analogieverfahren 

benutzt. Die Beziehung für die Kreisbewegung bekommt 

man, indem in die bekannte Beziehung der 

geradlinigen Bewegung die entsprechenden Größen 

der Kreisbewegung eingesetzt werden. Beim 

Torsionsfederpendel entspricht der Rückstellkraft 

FR das Rückstellmoment MR, der Auslenkung y 

der Drehwinkel Dj. Auch für die Torsionsbeanspruchung 

des tordierten Drahtes gilt das 

Hooke’sche Gesetz, sodass die Gleichung für die 

Federrate R mit den entsprechenden Größen festgelegt 

werden kann. 

Das Rückstellmoment MR ändert seinen Betrag 

proportional mit dem Drehwinkel Dj (MR Dj) 

(wie beim Schraubenfederpendel die Rückstellkraft 

FR mit der Auslenkung y), sodass man feststellen 

kann: 

Für das Torsionsfederpendel gilt ein lineares 

Momentengesetz und es liegt eine harmonische 

Schwingung vor. 

Δϕ 

Rückstellmoment MR 

R ¼ 

Drehwinkel Dj 

R ¼ MR 

Dj 

FR m T R 

N kg s N 

m 

R, D m T 

N 

m 

FR ¼b MR 

y ¼b Dj 

R MR j 

Nm 

rad 

Nm rad 

4 Dynamik 

kg s 

MR ¼ R Dj kreisförmige Pendelbewegung 

FR ¼ Ry geradlinige Pendelbewegung


Eine Gleichung für die Periodendauer T beim 

Torsionsfederpendel erhält man mit der Analogiebetrachtung 

zum Schraubenfederpendel im vorhergehenden 

Kapitel 4.10.4.2. Das Trägheitsmoment J 

beim Torsionsfederpendel entspricht der Masse m 

des Pendelkörpers. 

Auch beim Torsionsfederpendel ist die Periodendauer 

T unabhängig von der Amplitude A. 

Sie ist umso größer, je größer das Trägheitsmoment 

J und je kleiner die Federrate R ist. 

rffiffiffi 

J 

T ¼ 2p 

R 

rffiffiffiffi 

m 

T ¼ 2p 

R 

Torsionsfederpendel Schraubenfederpendel 

Beachte: J ist das Trägheitsmoment bezogen 

auf die Drehachse (siehe Kapitel 4.9.2, 

Seite 233) 

4.10.5.2 Experimentelle Bestimmung von Trägheitsmomenten J aus der Periodendauer 

Kupplungsscheiben, Zahnräder, Wellen und 

Schwungscheiben müssen im Betrieb beschleunigt 

und verzögert werden. Den erforderlichen Berechnungen 

liegt das dynamische Grundgesetz für die 

Rotation Mres ¼ Ja zugrunde (siehe 4.9.1, Seite 

232). Dazu muss das Trägheitsmoment J des umlaufenden 

Bauteils bekannt sein. 

Nicht alle Bauteile sind so einfach aufgebaut, dass 

das Trägheitsmoment J aus fertigen Formeln berechnet 

werden kann (siehe Tabelle 4.5, Seite 235). 

Dann wird das Trägheitsmoment J experimentell 

auf folgende Weise bestimmt: 

Ein geometrisch einfacher Rotationskörper K1 von 

bekanntem oder berechenbarem Trägheitsmoment 

J1 wird an einen Torsionsstab von bekanntem 

Durchmesser d und bekannter Länge l gehängt. 

Benutzt man als Körper K1 z. B. eine Kreisscheibe, 

kann nach Tabelle 4.5 das Trägheitsmoment J1 berechnet 

werden. 

Für den p Körper ffiffiffiffiffiffiffiffiffi K1 gilt für die Periodendauer 

T1 ¼ 2p J1=R. 

Steckt man beide Prüfkörper 

auf, dannpgilt ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi für die Periodendauer 

T2 ¼ 2p ðJ1 þ J2Þ=R. 

Darin ist R die in beiden 

Fällen gleiche Federrate des Torsionsstabs. 

Körper K 1 

d 

J1 ¼ 1 

2 rpr4 h 

r 

l 

h 

r Stahl ¼ 7,85 10 3 kg=m 3 

T1 2 2 J1 

¼ 4p 

R 

T2 2 ¼ 4p 2 J1 þ J2 

R 

Prüfkörper K 2 

mit unbekanntem J 2 

J r r, h 

kg m2 kg 

m3 m

256 

Durch Division beider Gleichungen ergibt sich 

eine Gleichung für das unbekannte Trägheitsmoment 

J2, in der neben dem berechneten Trägheitsmoment 

J1 nur noch die Periodendauer T1 

und T2 steht, die man experimentell bestimmt. 


4.10.6 Das Schwerependel (Fadenpendel) 

Auch hier wird als Erstes untersucht, ob die Rückstellkraft 

FR der Auslenkung (hier dem Bogen s) 

proportional ist, denn nur dann gilt das lineare 

Kraftgesetz als Voraussetzung für eine harmonische 

Schwingung. 

Die Auslenkung s lässt sich aus der Pendellänge l 

und dem Winkel a bestimmen. Da für kleine 

Winkel (a < 14 ) der Arcus gleich dem Sinus 

gesetzt werden kann (arc a ¼ sin a), 

ist s ¼ l arc a ¼ l sin a und daraus sin a ¼ s=l. 

Die Rückstellkraft FR ist die Sinuskomponente der 

Gewichtskraft FG des Pendelkörpers. Sie ändert 

sich laufend mit dem Winkel a. Masse m, Fallbeschleunigung 

g und Pendellänge l sind für ein 

bestimmtes Pendel gleich bleibende Größen, d. h. 

es ist auch der Quotient mg=l eine Konstante. Sie 

ist die schon bekannte Richtgröße D: 

Auch für das Schwerependel gilt das lineare Kraftgesetz 

und es liegt eine harmonische Schwingung 

vor. 

Die Periodendauer T für das Schwerependel erhält 

man, wenn in die Gleichung für das Schraubenfederpendel 

T ¼ 2p ffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 

m=R für die Federrate 

R ¼ Richtgröße D ¼ mg=l eingesetzt wird. 

T1 2 

J1 

¼ 

T2 

2 

J1 þ J2 

T2 

J2 ¼ J1 

2 T1 2 

T1 2 

h 

y 

FG cos α 

l 

α 

F G 

s 

α 

F R = F 

G 

sin α 

αmax 

FR ¼ FG sin a ¼ mgsin a 

sin a ¼ s 

eingesetzt ergibt 

l 

FR ¼ mgsin a ¼ mg 

s 

l 

FR ¼ Ds D ¼ mg 

l 

FR D s, l m g 

N N 

m 

m kg m 

s 2 

Einschränkung: Die Auslenkung muss klein 

sein. Allerdings beträgt der Fehler bei 

a ¼ 14 nur ca. 1%. 

rffiffiffiffi 

rffiffiffiffi 


m m ml 

T ¼ 2p ¼ 2p ¼ 2p 

R D mg 

4 Dynamik 

v 0


Beim Schwerependel ist die Periodendauer T 

unabhängig von der Amplitude s und von der 

Masse m des Pendelkörpers. 

Am selben Ort, also bei gleicher Fallbeschleunigung 

g, verhalten sich die Quadrate der Periodendauer 

verschiedener Pendel wie ihre Pendellängen l. 


4.10.7 Schwingung einer Flüssigkeitssäule 

In Ruhe steht die Flüssigkeit in Höhe der Nulllinie 

0–0. Hebt man z. B. durch Ansaugen die Flüssigkeitssäule 

auf der einen Seite um die Höhe h,muss 

sie auf der anderen Seite um den gleichen Betrag 

sinken. 

Die Rückstellkraft FR ist die resultierende Gewichtskraft 

FG der überstehenden Flüssigkeitssäule 

mit dem Volumen V ¼ A 2h. 

Fläche A, Dichte r und Fallbeschleunigung g sind 

konstante Größen, die man wieder zu einer Richtgröße 

D zusammenfassen kann. Damit ist nachgewiesen, 

dass auch bei der schwingenden Flüssigkeitssäule 

im U-Rohr die Rückstellkraft FR der 

Auslenkung h proportional ist. 

Für die schwingende Flüssigkeitssäule gilt das 

lineare Kraftgesetz und damit die Gesetzmäßigkeit 

der harmonischen Schwingung. 

Die Periodendauer T für die schwingende Flüssigkeitssäule 

erhält man wieder, indem in die Gleichung 

für pdas 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffi Schraubenfederpendel 

T ¼ 2p 

m=R 

für die Federrate 

R ¼ Richtgröße D ¼ 2Arg eingesetzt wird. 

Außerdem wird für die Masse m ¼ Vr ¼ Alr eingesetzt. 

Dann gilt: 

sffiffiffiffi 

l 

T ¼ 2p 

g 

T1 2 

l1 

¼ 

T2 

2 

l2 

h 

0 

2h 

Rohrquerschnitt A 

l 

h 

FR ¼ FG ¼ Vrg ¼ A 2hrg 

D ¼ 2Arg FR ¼ Dh 

rffiffiffiffi 

rffiffiffiffi 

m m 

T ¼ 2p ¼ 2p 

R D 

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

Alr 

T ¼ 2p 

2Arg 

T l g 

s m m 

s2 FR D A r g h 

N N 

m m2 kg 

m 3 

0 

m 

m 

s2

258 

Die Periodendauer T ist unabhängig von der 

Amplitude h und von der Masse m ðDichte rÞ 

der Flüssigkeit. 

Ein Vergleich mit der Gleichung für die Periodendauer 

des Schwerependels zeigt, dass die 

Periodendauer Tf der Flüssigkeitssäule mit der 

Periodendauer TS eines Schwerependels übereinstimmt, 

dessen Länge ls gleich der halben Länge l 

der Flüssigkeitssäule ist. 

sffiffiffiffiffi 

l 

T ¼ 2p 

2g 

Aufgaben Nr. 634 

4.10.8 Analogiebetrachtung zum Schraubenfederpendel, Torsionsfederpendel, 

Schwerependel und zur schwingenden Flüssigkeitssäule 

Physikalische Größe 

Federrate R 

(Richtgröße D) 

Rückstellkraft FR und 

Rückstellmoment MR 

Schrauben- 

Federpendel 

R ¼ d4 G 

8Dm 3 if 

rffiffiffiffi 

m 

Periodendauer T T ¼ 2p 

R 

Torsionsfederpendel 

R ¼ IpG 

l ¼ pd4 G 

32 l 

G ¼ Schubmodul, d ¼ Draht- oder Stabdurchmesser, Dm ¼ mittlerer Windungsdurchmesser, if ¼ Anzahl der 

Windungen, l ¼ Pendellänge, s ¼ Auslenkung des Pendelkörpers, h ¼ Auslenkung der Flüssigkeitssäule, 

Ip ¼ polares Flächenmoment 2. Grades nach Tabelle 5.2 (Seite 311), J ¼ Trägheitsmoment nach Tabelle 4.5 

(Seite 235) 

4.10.9 Dämpfung, Energiezufuhr, erzwungene Schwingung, Resonanz 

4.10.9.1 Dämpfung 

Durch die Gleitreibung in den Gelenken und Führungen, 

durch Luft- oder Flüssigkeitsreibung wird 

die Bewegung eines schwingenden Körpers gebremst. 

Neben dieser „äußeren“ Reibung steht die 

„innere“, die Reibung der Teilchen im Körper 

selbst. Ergebnis: Die Schwingung wird gedämpft. 

y 

Schwerependel 

a 

b 

D ¼ mg 

l 

A 

wird kleiner 

T 

bleibt erhalten 

Schwingende 

Flüssigkeitssäule 

D ¼ 2Arg 

FR ¼ Ry MR ¼ R Dj FR ¼ Ds FR ¼ Dh 

rffiffiffi 

J 

T ¼ 2p 

R 

sffiffiffiffi 

l 

T ¼ 2p 

g 

T l g 

s m m 

s2 4 Dynamik 

sffiffiffiffiffi 

l 

T ¼ 2p 

2g 

Auslenkung-Zeit-Diagramm für ungedämpfte 

(a) und gedämpfte Schwingung (b) 

t


4.10.9.2 Energieminderung durch Dämpfung 

Durch die Reibung wird dem schwingenden Körper 

Energie in Form von Reibungsarbeit entzogen 

(siehe 4.5.4, Seite 206). Beispiel Schwerependel: 

Der Pendelkörper schwingt nicht bis zur Ausgangshöhe 

zurück, die Amplitude verringert sich von A 

auf A1, der Winkel von a auf a1 und die abgeführte 

Reibungsarbeit WR entspricht der Höhendifferenz 

Dh, was mit dem Energieerhaltungssatz (siehe 

4.7.5, Seite 221) nachgewiesen werden kann. 

Was für das Schwerependel gilt, kann bei allen 

Schwingungsvorgängen beobachtet werden: 

Durch Dämpfung wird die Amplitude A jeder 

mechanischen Schwingung immer kleiner, weil 

sich die Energie des Schwingers laufend um 

die Reibungsarbeit WR vermindert. 

Soll die Dämpfung überwunden werden, muss 

dem schwingenden System dauernd Energie zugeführt 

werden. 

Aufgabe Nr. 635 

4.10.9.3 Energiezufuhr 

Ursache jeder Dämpfung ist die dauernde Energieumwandlung 

in Reibungsarbeit. Den umgewandelten 

Energiebetrag muss man immer wieder ersetzen, 

wenn die Amplitude unverändert bleiben oder 

der Schwingungsvorgang überhaupt in Gang gehalten 

werden soll. Das kann z. B. durch periodisches 

Anstoßen des Schwingers geschehen, aber 

im richtigen Augenblick, damit der Schwingungsvorgang 

nicht gestört wird. 

Die Energiezufuhr wird daher am besten durch die 

Eigenschwingung des schwingenden Systems gesteuert. 

Das nennt man Selbststeuerung oder 

Rückkopplung, wie z. B. bei der Pendeluhr durch 

Anker und Steigrad. Das Steigrad wird durch die 

Uhrfeder angetrieben, ruckt bei jeder Pendelschwingung 

um einen Zahn weiter und gibt dabei 

einen Energiebetrag über den Anker an das Pendel 

ab (Arbeit wird zugeführt). 

m 

A 

α α 1 

WE ¼ WA Wab 

A 1 

Δh 

h 

Wab ¼ WA WE 

Wab ¼ mgh mgðh DhÞ 

Wab ¼ mgDh ¼ Reibungsarbeit WR 

Anker 

Steigrad 

Pendel 

BE

260 

Die Frequenz des periodisch wirkenden äußeren 

Erregers heißt Erregerfrequenz f, die Frequenz des 

Schwingers nach einmaligem Anstoßen ist die Eigenfrequenz 

f0. 

4.10.9.4 Die erzwungene Schwingung und Resonanz 

Der Erreger (Oszillator) 1) , z. B. Motor mit Exzenter 

zwingt der Schraubenfeder mit dem anhängenden 

Körper der Masse m, dem Resonator 2) 

Schwingungen mit der Erregerfrequenz f auf. Dabei 

soll die Masse des Resonators klein sein gegenüber 

der Masse des Erregers, damit die 

Schwingungen des Resonators nicht auf den Erreger 

zurückwirken. 

Wählt man zunächst die Frequenz f der erzwungenen 

Schwingung sehr klein gegenüber der Frequenz 

f0 der Eigenschwingung, macht der Resonator 

genau die Bewegung der Führungsstange mit. 

Mit wachsender Erregerfrequenz f werden die Amplituden 

des Resonators immer größer. 

Die Erregerschwingung läuft der Eigenschwingung 

etwa um eine Viertelperiode voraus. Bei fehlender 

Dämpfung würden dann die Amplituden 

des Resonators unendlich groß und das System 

würde zerstört werden. Das sind die in der Technik 

gefürchteten Resonanzkatastrophen, z. B. bei Brücken, 

Schiffen, Maschinenfundamenten. 

Wächst die Erregerfrequenz f weiter (f > f0), werden 

die Amplituden des Resonators wieder kleiner, 

die Bewegung wird ungeordnet, bis schließlich ein 

kaum merkliches Zittern die kleinsten Amplituden 

anzeigt. 

m 

Schnur 

Erreger 

(Oszillator) 

Führungsstange 

Mitschwinger 

(Resonator) 

1) Oszillator: Gerät zur Erzeugung von Schwingungen 

2) Resonator: Körper, der vom Erreger zum Schwingen angeregt wird (Mitschwinger) 

n e 

4 Dynamik 

Beachte: Kleine Frequenz f heißt geringe Anzahl 

Schwingungen je Sekunde. 

Bei f < f0 bewegen sich Führungsstange und 

Mitschwinger (Resonator) fast wie ein starrer 

Körper. 

Die Amplitude des Resonators wird umso 

größer, je mehr sich die Erregerfrequenz f der 

Eigenfrequenz f0 des Mitschwingers nähert 

(unterkritischer Bereich). 

Bei Resonanz (f ¼ f0) wird die Amplitude am 

größten (kritischer Bereich). 

Im überkritischen Bereich (f > f0) verringert 

sich die Amplitude mit zunehmender Erregerfrequenz.


4.10.9.5 Das Amplituden-Frequenz-Diagramm 

Ûber der Erregerfrequenz f (als Vielfaches der Eigenfrequenz 

f0) ist die Vergrößerungszahl VZ als 

Verhältnis der Amplitude der erzwungenen 

Schwingung zur Amplitude des Erregers aufgetragen. 

Kurve a gilt für die dämpfungsfreie Schwingung, 

Kurve b für schwache, Kurve c für stärkere 

und Kurve d für sehr starke Dämpfung des Resonators. 

Man erkennt, dass das Maximum mit zunehmender 

Dämpfung nach links rückt, also zu 

Frequenzen f < f0. 

Die bei f ¼ f0 auftretende Resonanz ist im Maschinenbau 

von größter Bedeutung. Vor allem bei 

Kraft- und Arbeitsmaschinen und Getrieben mit 

schnell laufenden Wellen zeigen sich durch kleine 

Ungleichförmigkeiten Schwingungen, die etwa die 

Frequenz der Drehzahl (oder eines Vielfachen davon) 

haben. Stimmt die Frequenz f eines Antriebsmotors 

mit der Eigenfrequenz f0 der umlaufenden 

Teile eines Getriebes überein, kann es zu Resonanzschwingungen 

mit großer Amplitude kommen, 

die zerstörende Wirkung haben. Die Resonanzdrehzahl 

einer Maschine heißt kritische 

Drehzahl, die möglichst schnell durchfahren werden 

muss, d. h. man muss möglichst im über- oder 

im unterkritischen Drehzahlbereich arbeiten, um 

Bruch oder auch nur Verminderung der Lebensdauer 

zu vermeiden. 


V z 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

d 

c 

a 

b 

f=f0 Resonanzstelle 

f=2f 0 

Erregerfrequenz f 

Beispiel: 

Die Gehäuseteile eines großen Walzwerkgetriebes 

sind durch Passstifte miteinander 

verbunden. Diese lösen sich durch Schwingungen: 

das Getriebe fällt aus, die Produktion 

steht vorübergehend still.

262 

5 Festigkeitslehre 


A mm2 ,cm2 ,m2 Fläche, AM Momentenfläche 

a mm Abstand 

b mm Stabbreite 

R 

N N 

, 

mm m 

Federrate 

d mm Stabdurchmesser 

d0 mm ursprünglicher Stabdurchmesser 

d1 mm Durchmesser des geschlagenen Nietes ¼ Nietlochdurchmesser 

Dd mm Durchmesserabnahme oder -zunahme 

E 

N 

mm2 Elastizitätsmodul 

e1 mm Entfernung der neutralen Faser von der Druckfaser 

e2 mm Entfernung der neutralen Faser von der Zugfaser 

F N Kraft, Belastung, Last, Tragkraft 

F 0 N 

m 

Belastung der Längeneinheit, Streckenlast 

FK N Knickkraft (nach Euler) 

f mm Durchbiegung 

G 

N 

mm2 Schubmodul 

H mm Gesamthöhe eines Querschnitts 

h mm Höhe allgemein, Stabhöhe 

I mm4 ,cm4 axiales Flächenmoment 2. Grades 

Ia, Ix, Iy mm4 auf die Achse a, x oder y bezogenes Flächenmoment 2. Grades 

Ip mm4 polares Flächenmoment 2. Grades 

Ixy mm4 Zentrifugal- oder Fliehmoment 

II, III mm4 Hauptflächenmoment 2. Grades 

Is mm4 Flächenmoment 2. Grades, bezogen auf die Schwerachse des 

Querschnitts 

i mm Trägheitsradius 

l (L) mm Stablänge nach der Dehnung oder Stauchung 

l0 (L0) mm ursprüngliche Stablänge (Ursprungslänge) 

Dl mm Längenzunahme oder -abnahme 

lr km Reißlänge 

M Nmm, Nm Drehmoment, Moment einer Kraft, Kraftmoment 

Mb Nmm, Nm Biegemoment 

MT Nmm, Nm Torsionsmoment 

n 

1 

1 

¼ min 

min 

Drehzahl 

1) siehe Fußnote Seite 1

Formelzeichen und Einheiten 263 

P W, kW Leistung 

p 

N 

mm2 Flächenpressung 

r mm Radius 

v 1 Sicherheit gegen Knicken 

s mm Stabdicke, Blechdicke 

V mm3 ,m3 Volumen 

W Nm ¼ J ¼ Ws Arbeit, Formänderungsarbeit 

W mm3 axiales Widerstandsmoment 

Wx, Wy mm3 auf die x- oder y-Achse bezogenes Widerstandsmoment 

Wp mm3 polares Widerstandsmoment für Kreis- und Kreisringquerschnitt 

Wt mm3 Widerstandsmoment bei Torsion nicht kreisförmiger Querschnitte 

al 

1 1 

¼ 

K C 

Längenausdehnungskoeffizient 

a0 1 Anstrengungsverhältnis 

d % Bruchdehnung, Bruchstauchung 

e 1 Dehnung, Stauchung, e ¼ Dl 

eq 1 Querdehnung, eq ¼ Dd 

J C 

d0 

Temperatur in Grad Celsius (1 C ¼ 1K) 

DT K, C Temperaturdifferenz 

l 1 Schlankheitsgrad 

l0 1 Grenzschlankheitsgrad (untere Grenze) 

m 1 Poisson-Zahl, m ¼ eq 

e 

v 1 Sicherheit, allgemein bei Festigkeitsuntersuchungen 

r mm Biegeradius, Krümmungsradius der elastischen Linie 

s Normalspannung allgemein 

(Druck, Zug, Biegung, Knickung) 

Rm (sB) Zugfestigkeit 

sb 

Biegespannung 

Druckspannung 

sd 

sE 

sK 

sl 

sP 

Rp 0,2 

sz |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 

N 

mm 2 

Spannung an der 

Elastizitätsgrenze 

Knickspannung 

Lochleibungsdruck 

Spannung an der 

Proportionalitätsgrenze 

Re (sS) Streckgrenze 

0,2-Dehngrenze 

Zugspannung 

l0 

szul 

|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 

zulässige Normalspannung 

(sb zul, sdzul, sKzul, sz zul) 

sEntwurf Entwurfsspannung 

t Schubspannung allgemein, 

Tangentialspannung 

N (Schub, Abscheren, Torsion) 

ta 

mm2 Abscherspannung, ta ¼ F 

A 

ts 

Schubspannung, ts ¼ c F 

A 

tt 

Torsionsspannung 

j rad Biege- oder Verdrehwinkel

264 

5.1 Grundbegriffe 

5.1.1 Die Aufgabe der Festigkeitslehre 

Man betrachtet die technische Zeichnung einer 

Getriebewelle. Sie enthält sämtliche zur Herstellung 

nötigen Maße. Beispielsweise sieht man sofort, 

dass der linke Lagerzapfen 30 mm Durchmesser 

und 16 mm Länge haben soll. Wie ist der 

Konstrukteur, der die Welle entworfen hat, gerade 

auf diese Maße gekommen? Es soll seinen Ûberlegungen 

bei der Gestaltung der Welle einmal nachgegangen 

werden. 

Der Konstrukteur kennt das Drehmoment M, das 

von der Welle übertragen werden soll. Mit Hilfe 

der statischen Gleichgewichtsbedingungen werden 

sämtliche an der Welle angreifenden Kräfte ermittelt. 

Das sind die am Zahn angreifenden Umfangskräfte 

Fu und Radialkräfte Fr sowie die an den Lagerzapfen 

angreifenden Stützkräfte FA und FB mit 

den Komponenten FAy, FAz und FBy, FBz. Damit 

ist die Belastung der Welle bekannt. Nach einer 

Reihe gegebener Bedingungen werden die Abstände 

l, l1, l2 festgelegt. Der Werkstoff wird gewählt. 

Von diesem sind die wichtigsten Festigkeitswerte 

aus Tabellen oder Diagrammen greifbar. Jetzt beginnen 

die Ûberlegungen der Festigkeitslehre. 


Technische Zeichnung einer Getriebewelle 

Belastungsskizze einer Getriebewelle 

Fu1, Fu2 Umfangskräfte, Fr1, Fr2 Radialkräfte, 

FAy, FAz, FBy, FBz Komponenten der Stützkräfte 

FA, FB, M Drehmoment

5.1 Grundbegriffe 265 

Die Welle darf nicht brechen. Sie darf sich aber 

auch nicht derart stark verformen (durchbiegen, 

verdrehen), dass das Getriebe klemmt oder durch 

starken Verschleiß vorzeitig unbrauchbar wird, 

z. B. durch eine unzulässig hohe Kantenpressung 

in den Lagern. Kantenpressung im Lager infolge der Durchbiegung 

Die „von außen“ auf ein Bauteil einwirkenden 

Kräfte wie beispielsweise die Umfangskräfte am 

Zahnrad, die Stützkräfte in den Lagern und die Gewichtskräfte 

nennt man äußere Kräfte. Sie rufen 

im Werkstoffgefüge die inneren Kräfte hervor, die 

dem Bruch und der Verformung des Bauteils entgegenwirken. 

Bevor die Maße für ein Bauteil festgelegt 

werden können, müssen Betrag, Richtung 

und Richtungssinn der inneren Kräfte bekannt 

sein, z. B. die inneren Kräfte im Querschnitt x –x 

eines Zahnrades oder eines Hebezeugträgers. Øußere Kräfte rufen innere Kräfte hervor 

5.1.2 Das Schnittverfahren zur Bestimmung des inneren Kräftesystems 

Die erste und wichtigste Arbeit beim Lösen einer Aufgabe aus dem Bereich der Festigkeitslehre 

ist die Beantwortung der Frage, welche inneren Kräfte die Bauteile zu übertragen haben. 

Denn von der Art des „inneren Kräftesystems“ hängt es ab, mit welchen Festigkeitsgleichungen 

gearbeitet werden muss. Aus der Statik ist bekannt, dass eine Kraft nur dann eindeutig 

bestimmt ist, wenn ihr Betrag (z. B. 150 N), ihre Richtung (z. B. waagerecht, senkrecht, in 

Richtung der x-Achse) und ihr Richtungssinn (z. B. Druckkraft, Zugkraft) festgelegt worden 

ist. Das gilt auch für innere Kräfte. Das Verfahren, mit dem die drei Bestimmungsstücke für 

jede innere Kraft ermittelt werden, heißt Schnittverfahren. Es wird an einem einfachen Beispiel 

Schritt für Schritt vorgeführt. 

Das stabförmige Bauteil mit der Querschnittsfläche 

A wird durch die Federkräfte F ¼ 50 N belastet 

(äußere Kräfte). Der Stab befindet sich im 

Gleichgewicht, das heißt, die beiden Zugkräfte 

sind gleich groß (von gleichem Betrag). Sie wirken 

auf einer gemeinsamen Wirklinie und sind entgegengesetzt 

gerichtet. 

a 

F = 50 N 

b 

I 

Zugfederbelasteter Rundstab (a), 

freigemacht (b) 

x 

x 

A 

II 

F = 50 N

266 

Man denkt sich den Stab an der (beliebigen) Stelle 

x –x quer zur Stabachse durchgeschnitten. So entstehen 

die beiden Teilstücke I und II. Der Werkstoffzusammenhang 

ist damit aufgehoben und eine 

Kraftübertragung vom Schnittufer I zum Schnittufer 

II nicht mehr möglich: Die beiden Teilstücke 

werden durch die äußeren Kräfte nach links und 

rechts gerissen. 

Im Schnittflächenschwerpunkt SP wird nun eine 

Normalkraft FN angebracht, die den Restkörper 

wieder ins Gleichgewicht zurückversetzt. Damit 

ist diejenige innere Kraft gefunden, die von der 

Querschnittsfläche (kurz: Schnittfläche) im unbeschädigten 

Zustand übertragen wurde. 

Den Betrag der von einem Schnittufer zu übertragenden 

inneren Kraft liefern die rechnerischen 

Gleichgewichtsbedingungen aus der Statik: Für jedes 

Stabteil muss die Summe aller Kräfte gleich 

null sein (Kraftmomente wirken hier nicht). 

Schnittverfahren: 

Im Schnittflächenschwerpunkt SP werden diejenigen 

Kräfte und Kraftmomente angebracht, 

die den „abgeschnittenen“ Teilkörper in das 

Gleichgewicht zurückversetzen. Diese inneren 

Kräfte und Kraftmomente hat der Querschnitt 

zu übertragen. 

5.1.3 Spannung und Beanspruchung 

Es wird angenommen, dass mit dem Schnittverfahren 

die innere Kraft, die ein Zugstab aufzunehmen 

hat, mit FN ¼ 300 N gefunden wurde. 

Damit ist noch unklar, ob diese innere Kraft den 

Werkstoff stark oder weniger stark „beansprucht“. 

Das hängt offenbar davon ab, wie viele 

Flächenteilchen an der Kraftübertragung beteiligt 

sind, z. B. 60 mm2 oder nur 6 mm2 . Als Maß für 

die Höhe der Beanspruchung des Werkstoffes 

bietet sich diejenige innere Kraft an, die von der 

Flächeneinheit übertragen werden muss, z. B. 

von 1 mm2 oder von 1 cm2 . 


Zugfederbelasteter Rundstab getrennt in 

Teilstücke I und II und mit inneren Kräften 

versehen. 

für Teilstück I: für Teilstück II: 

F þ FN ¼ 0 FN þ F ¼ 0 

FN ¼ F ¼ 50 N FN ¼ F ¼ 50 N 

Ergebnis des Schnittverfahrens im Beispiel: 

Die untersuchte Querschnittsfläche hat eine in 

Normalenrichtung auf die Schnittfläche wirkende 

innere Kraft FN ¼ 50 N zu übertragen. 

Beachte: Normalkräfte FN stehen rechtwinklig 

auf der Schnittfläche, Querkräfte Fq dagegen 

liegen in der Schnittfläche. 

Nach dem Wechselwirkungsgesetz (Aktion 

¼ Reaktion) von Newton müssen die inneren 

Kräfte und Kraftmomente beider Schnittufer 

gleich groß sein (von gleichem Betrag), jedoch 

entgegengesetzten Richtungssinn haben. 

Spannung als innere Kraft je Flächeneinheit; 

wegen der einfacheren Rechnung wurde ein 

Rechteckquerschnitt gewählt. 

Beachte: Der Werkstoff wird durch innere 

Kräfte beansprucht, derKörper wird durch 

äußere Kräfte belastet.


Wird vorausgesetzt, dass jedes Flächenteilchen 

eines Querschnitts gleichmäßig an der Kraftübertragung 

beteiligt ist, dann ist der Quotient aus 

der inneren Kraft (z. B. FN ¼ 300 N) und der 

Querschnittsfläche (z. B. A ¼ 6mm 2 ) ein Maß für 

die Beanspruchung des Werkstoffs. 

Der Quotient aus innerer Kraft und der an der 

Kraftübertragung beteiligten Fläche heißt Spannung. 

Die Einheit der Spannung muss ebenfalls 

der Quotient aus einer Krafteinheit (z. B. Newton) 

und einer Flächeneinheit (z. B. mm 2 ) sein: 

Die Spannung ist vorstellbar als die pro Flächeneinheit 

vom Werkstoff aufzunehmende Kraft. 

Einheit der Spannung ist der Quotient aus einer 

gesetzlichen Krafteinheit und einer gesetzlichen 

Flächeneinheit. 

Statt Spannung sagt man auch „mechanische“ 

Spannung. 

Ûbung: Der Kreisquerschnitt eines Stahlstabes 

von 3 mm Durchmesser hat eine innere Kraft 

FN ¼ 50 N zu übertragen. Es soll die Beanspruchung 

des Werkstoffs bestimmt werden. 

Die Rechnung zeigt, dass jeder Quadratmillimeter 

eine innere Kraft von 7,07 N zu übertragen hat. 

Beispiel: 

Mit FN ¼ 300 N und A ¼ 6mm 2 beträgt das 

Maß für die Beanspruchung des Werkstoffs 

50 N/mm 2 . Mit anderen Worten: Jeder Quadratmillimeter 

des Querschnitts überträgt 

eine Kraft von 50 N. 

Man sagt: „Die Spannung beträgt 50 Newton 

pro Quadratmillimeter“. 

innere Kraft 

Spannung ¼ 

Querschnittsfläche 

Einheit der Spannung ¼ N 

mm 2 

Hinweis: In der Festigkeitslehre wird als 

Einheit der mechanischen Spannung das 

„Newton pro Quadratmillimeter“ verwendet. 

Lösung: Bei d ¼ 3 mm Durchmesser beträgt 

die Querschnittsfläche 

A ¼ pd2 pð3 mmÞ2 

¼ ¼ 7,069 mm 

4 4 

2 

Damit ergibt sich die zu übertragende 

Spannung ¼ FN 

A ¼ 

50 N 

N 

¼ 7,07 

7,069 mm2 mm2 5.1.4 Die beiden Spannungsarten (Normalspannung s und Schubspannung t) 

Nicht immer liegt die Wirklinie der äußeren Kraft 

in der Stabachse, sie kann auch rechtwinklig 

(quer) zur Stabachse liegen. Die entsprechenden 

inneren Kräfte erhalten daher unterschiedliche Bezeichnungen: 

Steht eine innere Kraft in Normalrichtung auf 

dem Querschnitt A, dann heißt sie 

Normalkraft FN, 

liegt die innere Kraft dagegen im Querschnitt A, 

dann nennt man sie 

Querkraft Fq. 

F N 

Normalkraft FN 

A 

F N 

F q 

Querkraft Fq 

F q 

A

268 

Die beiden inneren Kräfte, die Normalkraft FN 

und die Querkraft Fq, stehen rechtwinklig aufeinander, 

also auch die aus ihnen zu berechnenden 

Spannungen. Es sind daher zwei Spannungsarten 

zu unterscheiden. 

Wird die Spannung aus einer inneren Normalkraft 

FN berechnet, dann heißt sie Normalspannung und 

wird mit dem griechischen Buchstaben s (Sigma) 

bezeichnet. Wie die Normalkraft FN muss auch die 

von ihr herrührende Normalspannung rechtwinklig 

auf dem Querschnitt stehen. Spannungen dieser Art 

treten als Zugspannung z. B. in Kettengliedern, als 

Druckspannung z. B. in Pleuelstangen auf. 

Die Normalspannung s, hervorgerufen durch 

die Normalkraft FN, steht rechtwinklig auf der 

Querschnittsfläche. 1mm 2 

Wird die Spannung aus einer inneren Querkraft Fq 

berechnet, dann heißt sie Schubspannung und wird 

mit dem griechischen Buchstaben t (Tau) bezeichnet. 

Wie die Querkraft Fq muss auch die von ihr 

herrührende Schubspannung in der Querschnittsfläche 

liegen. Spannungen dieser Art treten als Abscherspannung 

z. B. in Scherstiften auf. 

Die Schubspannung t, hervorgerufen durch die 

Querkraft Fq, liegt in der Querschittsfläche. 

5.1.5 Die fünf Grundbeanspruchungsarten 

1mm 2 

Normalspannung σ = FN 

A 

N 

mm2 in 

A Querschnittsfläche in mm 2 

Schubspannung τ = 

F Normalkraft in N 

N 

( zum Schnitt) 

Fq 

A 

N 

mm2 in 

A Querschnittsfläche in mm 2 

F Querkraft in N 

q 

( zum Schnitt) 

Am stabförmigen Bauteil lassen sich die Beanspruchungsarten am einfachsten erkennen. 

Dazu wird das Schnittverfahren (siehe 5.1.2) eingesetzt. 

Die Berechnungsgleichungen in den gerasterten Rechtecken werden später hergeleitet. 

5.1.5.1 Zugbeanspruchung (Zug) 

Die äußeren Kräfte ziehen in Richtung der Stabachse. 

Sie versuchen, die beiden Schnittufer I und 

II voneinander zu entfernen: Der Stab wird verlängert 

(gedehnt). Die innere Kraft FN steht rechtwinklich 

auf der Schnittfläche, es entsteht die Normalspannung 

sz (Zugspannung). 

F 

A 

Stabachse 


sz = FN 

N 

in 

A mm2 Beispiele für Zugbeanspruchung: 

Seile, Ketten, Zuganker, Turbinenschaufeln 

und Luftschrauben infolge der Fliehkräfte, 

Zugstäbe in Fachwerkträgern. 

F


5.1.5.2 Druckbeanspruchung (Druck) 

Die äußeren Kräfte drücken in Richtung der Stabachse. 

Sie versuchen, die beiden Schnittufer einander 

näher zu bringen: Der Stab wird verkürzt. Die 

innere Kraft FN steht normal (rechtwinklig) zur 

Schnittfläche, es entsteht wieder eine Normalspannung 

sd (Druckspannung). Bei schlanken Stäben 

besteht die Gefahr des „Ausknickens“. Diese Beanspruchungsart 

wird als Sonderfall Knickung behandelt 

(5.10, Seite 351). 

Die Beanspruchung der Berührungsflächen von 

zwei aufeinander gepressten Bauteilen heißt 

Flächenpressung (5.5, Seite 288). 

5.1.5.3 Abscherbeanspruchung (Abscheren) 

Beim Scherschneiden wirken zwei gleich große 

gegensinnige Kräfte F auf leicht versetzten parallelen 

Wirklinien quer zur Stabachse. Sie versuchen, 

die beiden Schnittufer parallel zueinander 

zu verschieben. Das entstehende Kräftepaar 

wird erst in Abschnitt 5.6.1 (Seite 295) in die 

Untersuchung einbezogen. Im Schnittufer bewirkt 

die innere Querkraft Fq ¼ F die Schubspannung 

t. Zur Kennzeichnung der Beanspruchungsart 

heißt sie Abscherspannung ta. 

5.1.5.4 Biegebeanspruchung (Biegen) 

Die äußeren Kräfte ergeben zwei Kräftepaare, die 

im Gleichgewicht stehen. Die beiden Kräftepaare 

wirken in einer durch die Stabachse verlaufenden 

Ebene und versuchen die Schnittufer gegeneinander 

schräg zu stellen: Der Stab wird gebogen. 

Da das innere Kraftmoment, das Biegemoment 

Mb, in einer Ebene rechtwinklig zur Schnittfläche 

wirkt, entsteht die Normalspannung s (Biegespannung 

sb ¼ Zug- und Druckspannung). 

In den Gleichungen sb ¼ Mb=W und tt ¼ MT=Wp 

erscheinen die Größen W und Wp. Sie heißen Widerstandsmomente 

und werden in einem besonderen 

Abschnitt (5.7, Seite 303) behandelt. 

F 

A 

Stabachse 

sd = FN 

N 

in 

A mm2 F F 

Stabachse ausgeknickt 

F 

E p2 

sK = 

l2 

Beispiele für Druckbeanspruchung: 

Kolbenstangen, Druckspindeln, Säulen, 

Lochstempel, Nähmaschinennadeln, Knickstäbe 

im Stahlhochbau und Kranbau. 

Stabachse 

Schneidspalt u 

beim Scherschneiden 

ta = 

F 

Fq 

N 

in 

A mm2 

F A 

Beispiel für Abscherbeanspruchung: 

In gescherten (Scherschneiden) und 

gestanzten Werkstücken, in Nieten, 

Schrauben, Bolzen, Schweißnähten. 

M b 

F F 

F Stabachse 

F 

sb = Mb 

N 

in 

W mm2 

M b 

Beispiele für Biegebeanspruchung: 

Biegeträger im Stahlhochbau und Kranbau, 

Wellen, Achsen, Drehmaschinenbetten, 

Spindeln von Arbeitsmaschinen, Kranhaken.

270 

5.1.5.5. Torsionsbeanspruchung (Torsion, Verdrehung) 

Die äußeren Kräfte ergeben zwei Kräftepaare, die 

im Gleichgewicht stehen. Die beiden Kräftepaare 

wirken in zwei rechtwinklig (quer) zur Stabachse 

stehenden Ebenen und versuchen, die Schnittufer 

gegeneinander zu verdrehen: Der Stab wird verdreht 

(tordiert). 

Da das innere Kraftmoment, das Torsionsmoment 

MT, in der Schnittfläche wirkt, entsteht die Schubspannung 

t (Torsionsspannung tt). 

5.1.5.6 Kurzzeichen für Spannung und Beanspruchung 

Aus dem Kurzzeichen für die Spannung (s oder t) sz 

erkennt man, ob es sich um eine rechtwinklig (in 

Normalenrichtung) auf dem Querschnitt stehende 

sz zul 

Normalspannung (Kurzzeichen s) oder um eine sd 

im Querschnitt liegende Schubspannung (Kurzzei- sd zul 

chen t) handelt. 

Die Beanspruchungsart, also Zugbeanspruchung, 

Druckbeanspruchung, Abscherbeanspruchung, 

sb 

sb zul 

Biegebeanspruchung und Torsionsbeanspruchung ta 

wird mit einem Index gekennzeichnet. 

ta zul 

Eine Einführung in den Begriff der zulässigen 

Spannung steht im Abschnitt 5.12 (Seite 375). 

Vorläufig wird die zulässige Spannung für alle 

Festigkeitsaufgaben gegeben (siehe „Aufgabensammlung 

Technische Mechanik“). 

tt 

tt zul 

5.1.6 Die zusammengesetzte Beanspruchung 

Die meisten Bauteile werden durch die äußeren 

Kräfte so beansprucht, dass mehrere der vorstehenden 

Grundbeanspruchungsarten gleichzeitig auftreten. 

Kraftrichtungen mit beliebigem Winkel zur 

Stabachse ergeben immer zusammengesetzte Beanspruchung. 

Auch hierbei gibt das Schnittverfahren 

Aufschluss. 

Im beliebigen Schnitt x –x müssen zur Herstellung 

des Gleichgewichts am abgetrennten Stabteil die 

inneren Kräfte FN und Fq sowie das Biegemoment 

Mb angebracht werden. Der Vergleich mit den fünf 

Grundbeanspruchungsarten ergibt Zug-, Abscherund 

Biegebeanspruchung. 

F 

F 

MT Stabachse 

tt = MT 

N 

in 

Wp 

mm2 

F 

F 

M T 

Beispiele für Torsionsbeanspruchung: 

Getriebewellen, Torsionsstabfedern, 

Schraubenfedern, Schrauben, Kurbelwellen 

Zugspannung 

zulässige Zugspannung 


Druckspannung 

zulässige Druckspannung 

Biegespannung 

zulässige Biegespannung 

Abscherspannung 

zulässige Abscherspannung 

Torsionsspannung 

zulässige Torsionsspannung 

Zusammengesetzte Beanspruchung durch 

eine schräg zur Stabachse wirkende Einzelkraft 

F


5.1.7 Bestimmen des inneren ebenen Kräftesystems (Schnittverfahren) und der 

Beanspruchungsarten 

Für die fünf Grundbeanspruchungsarten Zug, 

Druck, Abscheren, Biegung und Torsion gelten 

einfache Gleichungen, die später gründlich entwickelt 

werden. Jetzt geht es darum, Sicherheit im 

Erkennen der Beanspruchungsarten zu gewinnen, 

die bei den verschiedenartigen Belastungen in den 

Bauteilen entstehen. Den Schlüssel zum Verständnis 

liefert immer das Schnittverfahren. Dazu ist es 

erforderlich, die folgenden Ûbungen gewissenhaft 

durchzuarbeiten. 

Die Ûbungen eignen sich sehr gut zur Gruppenarbeit: 

Jede Gruppe erarbeitet eine Ûbung oder einen 

Ûbungsschritt. 

Zur Einführung in das Schnittverfahren wird das 

allgemeine innere Kräftesystem untersucht. 

5.1.7.1 Das allgemeine innere Kräftesystem 

Im allgemeinen Fall kann der Querschnitt eines 

Bauteils das folgende innere Kräftesystem zu übertragen 

haben: 

eine normal auf der Schnittfläche stehende innere 

Kraft FN, sie erzeugt die Normalspannung s (Zugoder 

Druckspannung sz, sd); 

eine in der Schnittfläche liegende innere Kraft Fq 

(Komponenten Fqx, Fqy), sie erzeugt die Schubspannung 

t; 

ein normal auf der Schnittfläche wirkendes Biegemoment 

Mb (Komponenten Mbx, Mby), es erzeugt 

die Normalspannung s (Biegespannung sb); 

ein in der Schnittfläche liegendes Torsionsmoment 

MT, es erzeugt die Schubspannung t (Torsionsspannung 

tt). 

Zugbeanspruchung: 

sz ¼ FN 

A ¼ 

Normalkraft 


Druckbeanspruchung: 

sd ¼ FN 

A ¼ 

Normalkraft 


Biegebeanspruchung: 

sb ¼ Mb 

W ¼ 

Biegemoment 

axiales Widerstandsmoment 

Abscherbeanspruchung: 

ta ¼ Fq 

A ¼ 

Querkraft 


Torsionsbeanspruchung: 

Torsionsmoment 

¼ 

polares Widerstandsmoment 

tt ¼ MT 

Wp 

z 

x 

M 

F 

F qx 

F qy 

y 

y 

M = M 

y by 

M = M 

z T 

F N 

x 

M = M 

x bx 

Das allgemeine innere Kräftesystem 

In nicht leicht durchschaubaren Fällen (z. B. Kurbelwelle) ist es zweckmäßig, diese vier statischen 

Größen in der Schnittfläche anzubringen und mit den Gleichgewichtsbedingungen am 

„abgeschnittenen“ Bauteil die inneren Kräfte und Momente zu bestimmen. 

Meist wird es genügen, wenn durch Hinzufügen von inneren Kräften und Kraftmomenten das 

abgeschnittene Bauteil Schritt für Schritt ins Gleichgewicht gesetzt wird. Dafür stehen die folgenden 

Ûbungen. 

z

272 

Da diese Ûbungen eine der wichtigsten Grundaufgaben der Festigkeitslehre erfassen, geht man 

nach einem Arbeitsplan vor. In jedem Fall müssen zuerst die äußeren Kräfte und Kraftmomente 

mit den Gesetzen der Statik bestimmt werden. 

5.1.7.2 Arbeitsplan zur Bestimmung des inneren Kräftesystems 

und der Beanspruchungarten 

Øußere Kräfte und Kraftmomente mit Hilfe der statischen Gleichgewichts- 1. Schritt 

bedingungen bestimmen (zeichnerisch oder rechnerisch). 

Bauteil durch einen Schnitt quer zur Stabachse an der Stelle schneiden, deren 2. Schritt 

Beanspruchung untersucht werden soll. 

In den Schnitt Normalkraft FN, Querkraft Fq und Kraftmomente Mb und MT 3. Schritt 

so einzeichnen, dass der Restkörper wieder im Gleichgewicht steht. 

Beträge der inneren Kräfte und Kraftmomente mit Hilfe der rechnerischen 4. Schritt 

Gleichgewichtsbedingungen bestimmen. 

Beanspruchungsarten durch Vergleich des inneren Kräftesystems mit den 5. Schritt 

Angaben im Abschnitt 5.1.5 festlegen. 

Spannungen nach Abschnitt 5.1.7 berechnen. 6. Schritt 


5.1.7.3 Ûbungen zum Schnittverfahren 

1. Ûbung: Durch die Last F wird ein Seil (Kette, 

Draht) belastet. Man macht das Seil frei und zerlegt 

es durch den Schnitt x –x in Teil I und II. Der 

betrachtete Restkörper ist wieder im Gleichgewicht, 

wenn man im Schnitt die normal (rechtwinklig) 

zur Schnittfläche wirkende innere Kraft 

FN ¼ F ¼ 4000 N anbringt (SFy ¼ 0). Der Vergleich 

mit den Angaben im Abschnitt 5.1.5 ergibt, 

dass Zugbeanspruchung vorliegt. Es tritt die Normalspannung 

sz (Zugspannung) auf. Ihr Betrag 

wird bestimmt durch die Zug-Hauptgleichung 

sz ¼ FN=A. Inneres Kräftesystem beim Seil 

5 Festigkeitslehre


2. Ûbung: Das innere Kräftesystem im Querschnitt 

x –x eines Stützträgers soll bestimmt 

werden. Zunächst müssen mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen 

am Gesamtkörper die Stützkräfte 

FA und FB berechnet werden. 

Die Rechnung ergibt 

für die Stützkraft FA ¼ 20 kN ¼ 20 000 N 

für die Stützkraft FB ¼ 40 kN ¼ 40 000 N 

Stützträger, freigemacht 

SM ðAÞ ¼ 0 ¼ FB l Fl2 

FB ¼ F l2 

l 

4m 

¼ 60 kN ¼ 40 kN 

6m 

SFy ¼ 0 ¼ FA F þ FB 

FA ¼ F FB ¼ 20 kN 

Man sieht sich die Teilstücke an, und wählt zunächst 

Teil I. Soll sich der Restkörper I nicht mehr 

verschieben, muss im Schnitt eine nach unten wirkende 

innere Kraft Fq ¼ FA ¼ 20 000 N angebracht 

werden (SFy ¼ 0). Nun bilden Fq und FA 

jedoch ein Kräftepaar, das den Restkörper rechtsdrehend 

belastet. Folglich bringt man im Schnitt 

ein linksdrehendes, normal zur Fläche wirkendes 

Biegemoment Mb ¼ FAl1 ¼ 60 000 Nm an, das 

die Drehung verhindert (SM ðSPÞ ¼ 0). 

Auf diese Weise kann auch der Restkörper II untersucht 

werden. Stützbalken geschnitten und mit innerem 

Kräftesystem versehen. Die inneren Kräftesysteme 

in I und II sind gleich groß und 

entgegengesetzt gerichtet. 

Man erkennt: 

Waagerecht wirkende Kräfte sind nicht vorhanden. 

Die im Schnitt wirkende innere Kraft 

Fq ¼ 20 000 N ergibt nach Abschnitt 5.1.5 Abscherbeanspruchung 

mit Schubspannung ta (Abscherspannung). 

Ihr Betrag wird bestimmt durch 

die Abscher-Hauptgleichung ta ¼ Fq=A. 

Außer der inneren Querkraft Fq hat der Querschnitt 

noch ein Biegemoment Mb zu übertragen. 

Wie jedes Kraftmoment wird auch das Biegemoment 

Mb durch ein Kräftepaar erzeugt. Die Teilkräfte 

dieses Kräftepaares stehen hier normal zur 

Fläche und ergeben nach Abschnitt 5.1.5 Biegebeanspruchung 

mit der Normalspannung sb. Ihr 

Betrag wird bestimmt durch die Biege-Hauptgleichung 

sb ¼ Mb=W. Biegemoment und Kräftepaar

274 

3. Ûbung: Durch das Anziehen soll in der Schraubenspindel 

der skizzierten Schraubzwinge eine 

Längskraft F ¼ 3000 N entstehen. Diese Kraft 

wird die Schraubzwinge etwas aufweiten. Es soll 

für die willkürlich gelegten Schnitte x –x und y –y 

das innere Kräftesystem und die dort vorhandenen 

Beanspruchungsarten festgelegt werden. 

a) Schnitt x –x 

Die Kraft F würde Schnittteil I nach rechts verschieben. 

Daher muss man im Schnitt die innere 

Kraft Fq ¼ F ¼ 3000 N anbringen (SFx ¼ 0). 

Øußere Kraft F und innere Kraft Fq ergeben nun 

aber ein Kräftepaar, das den Körper mit dem 

rechtsdrehenden Kraftmoment 

M ¼ Fl1 ¼ 3000 N 0,2 m ¼ 600 Nm 

rechtsherum drehen würde. Gleichgewicht bringt 

erst das eingezeichnete linksdrehende Biegemoment 

Mb ¼ Fl1 ¼ 600 Nm (SM ðSPÞ ¼ 0). Damit 

liegen auch die Beanspruchungsarten fest. 

b) Schnitt y –y 

Zur Herstellung des Gleichgewichts am abgeschnittenen 

Bauteil II muss man im Schnitt die innere 

Normalkraft FN ¼ F ¼ 3000 N anbringen 

(SFx ¼ 0). Auch hier hat man dann ein Kräftepaar 

mit dem Kraftmoment Fl2, dem man mit dem eingezeichneten 

Biegemoment Mb ¼ Fl2 rechtsdrehend 

entgegenwirken muss (SM ðSPÞ ¼ 0). Damit 

liegen auch für diesen Schnitt die Beanspruchungsarten 

fest. 


Schraubzwinge mit äußerer Belastung F 

SFx ¼ 0 ¼ F Fq 

Fq ¼ F ¼ 3000 N 

SMðSPÞ ¼ 0 ¼ Fl1 þ Mb 

Mb ¼ Fl1 ¼ 600 Nm 

Inneres Kräftesystem 

am Teilstück I 

Beanspruchungsarten im Schnitt x –x: 

Abscherbeanspruchung durch die Querkraft 

Fq ¼ F ¼ 3000 N mit Abscherspannung 

ta ¼ Fq=A und Biegebeanspruchung durch 

das Biegemoment Mb ¼ Fl1 ¼ 600 Nm mit 

Biegespannung sb ¼ Mb=W. 

SFx ¼ 0 ¼ F þ FN 

FN ¼ F ¼ 3000 N 

SMðSPÞ ¼ 0 ¼ Fl2 Mb 

Mb ¼ Fl2 ¼ 900 Nm 

Inneres Kräftesystem am Teilstück II 

Beanspruchungsarten im Schnitt y –y: 

Zugbeanspruchung durch die Normalkraft 

FN ¼ F ¼ 3000 N mit Zugspannung 

sz ¼ FN=A und Biegebeanspruchung durch 

das Biegemoment Mb ¼ Fl2 ¼ 900 Nm mit 

Biegespannung sb ¼ Mb=W.


4. Ûbung: Nun zu einer recht schwierigen Aufgabe: 

Für die drei eingezeichneten Schnittstellen I, 

II, III einer Handkurbel sollen das innere Kräftesystem 

und die Beanspruchungsarten bestimmt 

werden. Gleiche oder ähnliche Probleme sind in 

der Praxis häufig. z. B. bei Kurbelwellen, bei 

Getriebewellen, überall dort, wo eine äußere Kraft 

drehend auf einen Körper wirkt. 

a) Schnittstelle I (Bolzen) 

Um das Gleichgewicht am abgeschnittenen Bolzen 

wieder herzustellen, muss man zunächst die 

innere Querkraft Fq ¼ F ¼ 200 N anbringen 

(SFy ¼ 0). Dadurch entsteht das aus Fq und F 

bestehende (rechtsdrehende) Kräftepaar. 

In gleicher Ebene wirkt das linksdrehende Biegemoment 

Mb ¼ 200 N 0,120 m ¼ 24 Nm. Es ergibt 

sich aus der Momentengleichgewichtsbedingung 

um den Schnittflächenschwerpunkt SP 

(SM ðSPÞ ¼ 0). 

Die Beanspruchungsarten mit der jeweiligen Spannung, 

hier Abscherspannung ta und Biegespannung 

sb, erhält man durch Vergleich mit den Angaben 

im Abschnitt 5.1.5, Seite 268. 

SFy ¼ 0 ¼ F þ Fq 

Fq ¼ F ¼ 200 N 


Inneres 

Kräftesystem 

in der 

Schnittstelle I 

Mb ¼ Fl1 ¼ 200 N 0,12 m ¼ 24 Nm 

Beanspruchungsarten im Schnitt I: 



ta ¼ Fq=A und 

Biegebeanspruchung durch das Biegemoment 

Mb ¼ Fl1 ¼ 24 Nm mit Biegespannung 

sb ¼ Mb=W.

276 

b) Schnittstelle II (Kurbel) 

Bevor das innere Kräftesystem im Schnitt II des 

Kurbelarms bestimmt werden kann, muss man 

wissen, wie die Handkraft F in Bezug auf den 

Kurbelarm wirkt. Um das festzustellen, werden 

nach dem Parallelverschiebungssatz (siehe Statik) 

im Kurbelarmpunkt A zwei gleich große gegensinnige 

Kräfte F angebracht. Man erkennt, dass die 

Handkraft im Punkt A zweierlei bewirkt: zum 

einen die nach unten gerichtete Kraft F, zum anderen 

aber noch das dem Kräftepaar (zweifach gestrichene 

Kräfte) entsprechende (rechtsdrehende) 

Drehmoment M ¼ Fl0 1 ¼ 26 Nm. 

Mit diesem in A wirkenden Kräftesystem kann nun 

weitergearbeitet werden. 

Die in A angreifende Einzelkraft F ¼ 200 N und 

das um A drehende Drehmoment M ¼ 26 Nm sind 

dasjenige äußere Kräftesystem, dem man in der 

Querschnittsstelle II ein entsprechendes inneres 

Kräftesystem entgegensetzen muss. 

Der Kurbelarm soll sich weder verschieben noch 

soll er sich um seine Längsachse z –z verdrehen. 

Die Verschiebung kann ausgeschlossen werden, 

indem man im Schnitt die Querkraft 

Fq ¼ F ¼ 200 N anbringt (SFy ¼ 0). 

Dadurch entsteht ein Kräftepaar (aus F und FqÞ, 

dem man im Schnitt ein entsprechendes Moment entgegensetzen 

muss. Das kann nur das um die x-Achse 

drehende Biegemoment Mb ¼ Fl2 ¼ 40 Nm sein 

(SM ðSPÞ ¼ 0). 

Nun würde aber das äußere Drehmoment 

M ¼ 26 Nm den Kurbelarm um die z-Achse 

rechtsherum drehen. Folglich hat der Querschnitt 

noch das linksdrehende und in der Fläche liegende 

Torsionsmoment MT ¼ 26 Nm zu übertragen. 

Statt SM ðSPÞ ¼ 0 müsste man hier exakter 

SM ðz-AchseÞ ¼ 0 sagen. 

Die Beanspruchungsarten mit der zugehörigen 

Spannung erhält man wie gewohnt nach Abschnitt 

5.1.5. 

Kurbelarm mit Handkraft F und äußerem 

Kräftesystem in Punkt A 

Inneres Kräftesystem in der Schnittstelle II 


Fq ¼ F ¼ 200 N 


Mb ¼ Fl2 ¼ 200 N 0,2 m ¼ 40 Nm 

SMðSPÞ ¼ 0 ¼ M þ MT 

MT ¼ M ¼ 26 Nm 


Beanspruchungsarten im Schnitt II: 



ta ¼ Fq=A und 


Mb ¼ Fl2 ¼ 40 Nm mit Biegespannung 

sb ¼ Mb=W und 

Torsionsbeanspruchung durch das Torsionsmoment 

MT ¼ 26 Nm mit der Torsionsspannung 

tt ¼ MT=Wp.


c) Schnittstelle III (Kurbelwelle) 

Auch hier muss erst einmal festgestellt werden, 

welche Wirkung die Handkraft F auf den zu untersuchenden 

Körper ausübt. Dazu wird die Achse 

x –x der Welle bis zum Schnittpunkt B verlängert. 

Dort bringt man die beiden gleich großen gegensinnigen 

Kräfte F an. 

Man erhält in Bezug auf die x-Achse die äußere 

Kraft F ¼ 200 N und das dem gestrichenen Kräftepaar 

entsprechende (rechtsdrehende) Drehmoment 

M ¼ Fr ¼ 50 Nm. 

Mit diesem in Punkt B wirkenden Kräftesystem 

kann man weiterarbeiten. 

Schritt für Schritt wird nun der abgeschnittene 

Körper ins Gleichgewicht zurückversetzt: 

Zuerst bringt man eine nach oben gerichtete Querkraft 

Fq im Schnittflächenschwerpunkt an. Damit 

wird das Gleichgewicht in der x, y-Ebene wieder 

hergestellt (SFy ¼ 0). 

Nun ist aber das Kräftepaar F, Fq entstanden, das 

die Welle in der x, y-Ebene rechtsdrehend belastet. 

Folglich muss man als nächstes ein in gleicher Ebene 

wirkendes Kraftmoment im Schnitt anbringen, das 

linksdrehende Biegemoment Mb ¼ Fl4 ¼ 52 Nm 

(SMðSPÞ ¼ 0). 

Bis hierher ist gesichert, dass sich die Welle in 

der x, y-Ebene weder verschiebt noch dreht. Sie 

würde sich aber unter der Wirkung des Drehmomentes 

M um die x-Achse drehen (gegenüber 

dem Restteil der Welle). Das verhindert das in 

der Schnittebene liegende linksdrehende Torsionsmoment 

MT ¼ 50 Nm. 

Wie üblich erhält man die Beanspruchungsarten 

und die Spannungen nach Abschnitt 5.1.5. 

Handkurbel mit Handkraft F und äußerem 

Kräftesystem in Punkt B 

Inneres Kräftesystem in der Schnittstelle III 


Fq ¼ F ¼ 200 N 


Mb ¼ Fl4 ¼ 200 N 0,26 m ¼ 52 Nm 

SMðSPÞ ¼ 0 ¼ M þ MT 

MT ¼ M ¼ 50 Nm 

Beanspruchungsarten im Schnitt III: 


Fq ¼ 200 N mit Abscherspannung 

ta ¼ Fq=A, 


Mb ¼ 52 Nm mit Biegespannung 

sb ¼ Mb=W und 

Torsionsbeanspruchung durch das Torsionsmoment 

MT ¼ 50 Nm mit der Torsionsspannung 

tt ¼ MT=Wp.

278 

5.2 Beanspruchung auf Zug 

5.2.1 Spannung 

Ein Stab von beliebiger, gleich bleibender Querschnittsfläche 

A wird durch die äußere Kraft F auf 

Zug beansprucht. 

Man legt einen Schnitt x –x quer (rechtwinklig) 

zur Stabachse. Das Gleichgewicht am linken Stabteil 

wird hergestellt durch die im Schnittflächenschwerpunkt 

SP angreifende innere Kraft FN 

normal zum Schnitt (Normalkraft). Die Gleichgewichtsbedingung 

SFx ¼ 0 ergibt FN ¼ F. 

Angenommen jedes Flächenteilchen des Querschnitts 

ist gleich stark an der Aufnahme der inneren 

Kraft beteiligt. Dann erhält man die Zugspannung 

sz einfach als Quotienten aus der 

Normalkraft FN und dem Flächeninhalt A der 

Querschnittsfläche. 

Damit wurde die Zug-Hauptgleichung gefunden, 

die für jede gerade vorliegende Aufgabe umgestellt 

werden kann. 

Ist der Querschnitt längs der Stabachse gleichbleibend, 

herrscht auch in jedem Schnitt die gleiche 

Spannung. Bei (allmählichen) Querschnittsänderungen 

gehört zum kleineren Querschnitt die 

größere Spannung und umgekehrt. Die im so genannten 

gefährdeten Querschnitt herrschende 

Spannung darf den festgelegten zulässigen Spannungswert 

nicht überschreiten. 

Gefährdet ist bei Zugbeanspruchung der Querschnitt 

mit der kleinsten Fläche. 

F 

F 

SP 

x 

x 

F N 

Zugbeanspruchter Stab 

F 

Querschnittsfläche A 


Zugspannung sz ¼ 


sz ¼ FN 

A 

Zug-Hauptgleichung 

Je nach vorliegender Aufgabe wird die Zug- 

Hauptgleichung umgestellt: 

Aerf ¼ FN 

sz zul 

sz vorh ¼ FN 

A 

FN max ¼ A sz zul 

sz zul 


sz FN A 

N 

N mm2 

mm2 erforderlicher 

Querschnitt 

vorhandene 

Spannung 

maximale 

Belastung 

5.2.2 Erkennen des gefährdeten Querschnitts in zugbeanspruchten Bauteilen 

Eine festigkeitstechnische Aufgabe kann nur dann richtig gelöst werden, wenn das zu untersuchende 

Bauteil richtig freigemacht und der gefährdete Querschnitt Agef richtig erkannt 

wird. 

Zur Ûbung wird das Aufsuchen des gefährdeten Querschnitts bei Zugbeanspruchung an einigen 

häufig vorkommenden Bauteilen erläutert.

5.2 Beanspruchung auf Zug 279 

5.2.2.1 Profilstäbe mit Querbohrung 

In ungeschwächten Profilstäben (Kreis-, Kreisring, 

Rechteck-, Winkel-, Doppel-T-Profile usw.) muss 

in jedem Querschnitt längs der Zugachse die gleiche 

Spannung herrschen, weil die Querschnittsfläche 

überall gleich groß ist. Querbohrungen oder 

Querschnittsminderungen anderer Art führen an 

dieser Stelle zur Spannungserhöhung. Dort liegt 

also auch der gefährdete Querschnitt Agef; für den 

man mit den gewählten Bezeichnungen für die 

geometrischen Größen (Durchmesser d, Breite b, 

Dicke s usw.) eine Gleichung schreiben kann, z. B. 

für den gefährdeten Querschnitt eines Flachstahls 

in der Form Agef ¼ bs ds ¼ sðb dÞ. Falsch 

wäre etwa Agef ¼ bs sd2p=4. 5.2.2.2 Zuglaschen 

Øndern sich bei Zugstäben Querschnittsform oder 

Flächeninhalt längs der Zugachse, so legt man 

einen Schnitt nach jeder Querschnittsänderung; in 

der skizzierten Zuglasche beispielsweise die 

Schnitte x –x und y –y. Erst der Vergleich der Flächeninhalte 

Ax, Ay lässt den gefährdeten Querschnitt 

erkennen; er liegt dort, wo der Flächeninhalt 

am kleinsten ist, denn nach sz ¼ FN=A 

gehört zum kleineren Querschnitt die größere 

Spannung und umgekehrt. 

5.2.2.3 Zugschrauben 

Auch für Schrauben gilt, dass der gefährdete Querschnitt 

dort liegt, wo sich der kleinste Flächeninhalt 

ergibt. Setzt man einen Schnitt im Gewindegrund 

eines Spitzgewindes an, dann endet dieser 

Schnitt auf der anderen Seite im Gewindegang, 

und die Form des Querschnitts weicht etwas von 

der Kreisform ab. Der so entstandene gefährdete 

Querschnitt heißt Spannungsquerschnitt AS. Erist 

für alle Befestigungsgewinde (Spitzgewinde) berechnet 

worden. Man kann ihn in mm 2 den Tabellen 

entnehmen (siehe Formelsammlung). 

A gef 

A gef 

∅ D 

∅ d 

∅d1 

s 

s 

∅d 

d 

b 

s 

A = A oder A 

gef x y 

A gef 

d 

b 

Agef ¼ Ax ¼ p 

4 d2 

dd1 

Agef ¼ Ax ¼ sðb dÞ 

Ax ¼ sðD dÞ 

Ay ¼ bs 

Agef ¼ Ax ¼ AS 

AS Spannungsquerschnitt 

Hinweis: Als gefährdeten Querschnitt bei 

Bewegungsgewinden (z. B. Trapezgewinde) 

nimmt man immer den Kernquerschnitt.

280 

5.2.2.4 Herabhängende Stäbe oder Seile 

Man denkt sich einen frei herabhängenden Stab 

der von unten nach oben fortschreitend durch die 

Schnitte x1 x1, x2 x2 usw. zerlegt ist, dann hat 

der jeweils höher liegende Schnitt eine größere 

Teilgewichtskraft FGx aufzunehmen. Das bedeutet, 

dass die Spannung an der Einspannstelle am größten 

ist. Dort liegt der gefährdete Querschnitt. Da 

die Belastung durch das Eigengewicht linear zunimmt, 

muss die Begrenzung der Spannungsverteilung 

eine Gerade sein. Trägt der Stab am unteren 

Ende noch die Last F, dann beträgt die 

Gesamtbelastung Fges ¼ F þ FG. Damit ist die 

maximale Spannung smax zu berechnen. 

Vielfach muss bei solchen Aufgaben die Gewichtskraft 

FG ¼ mg berechnet werden. Dazu ersetzt 

man die Gewichtskraft durch das Produkt aus dem 

Volumen V, der Dichte r des Stoffes und der Fallbeschleunigung 

g. 

5.2.2.5 Ketten 

Zur Vereinfachung werden Ketten entgegen den 

tatsächlichen komplizierteren Beanspruchungsverhältnissen 

(Biegung) nur auf Zug berechnet. Die 

Sicherheit im Hinblick auf die tatsächliche größte 

Beanspruchung eines Kettengliedes liegt in der 

behördlich vorgeschriebenen zulässigen Zugspannung. 

Bei den Rechnungen wird häufig vergessen, dass 

der Schnitt x –x zwei Rundstahlquerschnitte trifft. 


Agef ¼ Ax 

5.2.3 Elastische Formänderung (Hooke’sches Gesetz) 

Bei Belastung verändert ein Werkstück seine 

Form. Man unterscheidet „elastische“ und „plastische“ 

Formänderung. Hier wird nur auf die elastische 

Formänderung eingegangen, bei der das 

Werkstück nach Entlastung seine ursprüngliche 

Form wieder annimmt. 

F þ FG 

smax ¼ 

Ax 

Ax Querschnitt an der Einspannstelle 

FG ¼ Vrg FG ¼ mg 

FG V r m g 

kg m 

N ¼ 

s2 m 3 

kg 

m 3 

kg m 

s 2 

Agef ¼ 2 p 

4 d2 ¼ p 

2 d2 

Das von Robert Hooke (engl. Physiker, 

1635 –1703) gefundene Gesetz ist das 

Grundgesetz für jede elastische Verformung 

fester Körper. 

Im Physik-Lehrbuch 1) wird ein Versuch zum 

Hooke’schen Gesetz beschrieben. 

1) A. Böge, J. Eichler: Physik: Grundlagen, Versuche, Aufgaben, Lösungen. Viewegþ Teubner, 2008 

Agef 

d 

5 Festigkeitslehre


5.2.3.1 Verlängerung Dl und Dehnung e 

Jeder auf Zug beanspruchte Körper (Gummifaden, 

Stahldraht, Zugstab eines Fachwerkes usw.) verlängert 

sich um einen bestimmten Betrag Dl. Hat 

der Körper im ungespannten Zustand die Ursprungslänge 

l0, im gespannten Zustand dagegen 

die Länge l, so ist seine Verlängerung Dl die Differenz 

von Länge l bei Belastung und Ursprungslänge 

l0. 

Es wird angenommen, ein Stahlstab von beliebiger 

Länge l0 verlängere sich bei einer bestimmten 

Zugspannung um 10 mm. Dann würde sich ein 

doppelt so langer Stab unter sonst gleichen Voraussetzungen 

um 20 mm verlängern. Je nach größerer 

oder kleinerer Ursprungslänge l0 wird also die Verlängerung 

Dl trotz gleicher Spannung größer oder 

kleiner. Um längenunabhängige Vergleichswerte 

für die Werkstoffbeurteilung zu erhalten, bezieht 

man die Verlängerung Dl auf die Ursprungslänge 

l0. Dieser Quotient aus Verlängerung Dl und Ursprungslänge 

l0 heißt Dehnung e. 

In der Werkstoffprüfung gibt man die Dehnung in 

Prozenten an. In Festigkeitsrechnungen dagegen 

darf nur mit der Dezimalzahl gerechnet werden. 

5.2.3.2 Querdehnung eq 

An einem Gummifaden erkennt man, dass er bei 

Belastung nicht nur länger, sondern auch dünner 

wird. Ebenso nimmt auch der Querschnitt eines auf 

Zug beanspruchten Metallstabs ab, wenn auch 

nicht mit bloßem Auge erkennbar. 

Jede Dehnung ist also mit einer Querschnittsminderung 

verbunden. Daher hat man entsprechend 

der Dehnung e die Querdehnung eq definiert, 

und zwar als Verhältnis von Dickenänderung 

Dd (entsprechend Dl) und Ursprungsdicke d0 (entsprechend 

l0). 

Als Verhältnis zweier Längen muss auch die Querdehnung 

eq die Einheit Eins erhalten. 

Dl ¼ l l0 

Stab ungespannt und gespannt 

Verlängerung Dl 

Dehnung e ¼ 

Ursprungslänge l0 

e ¼ Dl 

l0 

l l0 

¼ 

l0 

Beachte: Als Verhältnis zweier Längen 

(Verlängerung Dl und Ursprungslänge l0)ist 

die Dehnung e eine Verhältnisgröße mit der 

Einheit Eins. 

Beispiel: Ein Stab von 100 mm Länge verlängert 

sich bei einer bestimmten Belastung um 

10 mm. Dann beträgt die Dehnung 

e ¼ Dl 10 mm 

¼ ¼ 0,1 ð10 %Þ 

100 mm 

l0 

Querdehnung des Stabes 

Dickenänderung Dd 

Querdehnung eq ¼ 

ursprüngliche Dicke d0 

eq ¼ Dd 

d0 

¼ d0 d 

d0 

e Dl, l0, l 

1 mm 

eq Dd, d0, d 

1 mm

282 

5.2.3.3 Poisson-Zahl m 

Für bestimmte Festigkeitsuntersuchungen ist es 

bequem, mit dem Verhältnis von Querdehnung eq 

und Dehnung e zu rechnen. Dieses Verhältnis bezeichnet 

man als Poisson-Zahl m. FürStahl wurde 

die Poisson-Zahl m ¼ 0,3 ermittelt; für Gusseisen 

ist m ¼ 0,25; für Gummi ist m ¼ 0,5. 

5.2.3.4 Das Hooke’sche Gesetz 

Für viele Festigkeitsrechnungen ist es wichtig, den 

Zusammenhang zwischen der Spannung s und der 

zugehörigen Dehnung e zu erkennen. Beim Ziehen 

eines Gummifadens sieht man, dass mit zunehmender 

Spannung s auch die Dehnung e (Verlängerung 

Dl) ansteigt. Versuche mit Probestäben 

(siehe Spannungs-Dehnungs-Diagramm, Seite 

375) zeigen, dass bei vielen Werkstoffen die Dehnung 

e mit der Spannung s im gleichen Verhältnis 

(proportional) wächst. Bei doppelter Spannung s 

zeigt sich dann auch die doppelte Dehnung e. Man 

kann auch sagen: Das Verhältnis von Spannung s 

und Dehnung e ist für jeden Werkstoff ein bestimmter, 

in den für die Praxis wichtigen Spannungsgrenzen 

gleich bleibender Wert, der Elastizitätsmodul 

E. 

Der Elastizitätsmodul (kurz: E-Modul) ist eine 

Werkstoffkonstante, die man selbst durch einfache 

Dehnversuche ermitteln kann. Im Physik-Lehrbuch 

ist ein solcher Versuch ausführlich beschrieben. 

Die Tabellen 5.8 und 5.9 (Seite 385) enthalten 

den E-Modul für die wichtigsten Werkstoffe. 

Dem Elastizitätsmodul E entspricht für Schubspannungen 

(Abscher- und Torsionsspannung) dem 

Schubmodul G (5.6.2, Seite 297). 

Querdehnung eq 

Poisson-Zahl m ¼ 

Längsdehnung e 

m ¼ eq 

e 

Spannung s 

Elastizitätsmodul E ¼ 

Dehnung e 

Umgestellt und für e ¼ Dl=l0 eingesetzt, 

ergibt sich die übliche Form: 

s ¼ eE ¼ Dl 

E 

l0 

Hooke’sches Gesetz 

Hinweis: Versuche mit druckbeanspruchten 

Stäben zeigen die gleichen Gesetzmäßigkeiten 

wie bei Zugbeanspruchung: 

Das Hooke’sche Gesetz gilt für Zug- und 

Druckbeanspruchung. Statt sz und sd 

schreibt man daher hier nur s. 

Beispiele: 

EStahl ¼ 210 000 N 

N 

¼ 2,1 105 

mm2 N 

EAlCuMg ¼ 0,72 10 5 

mm2 EGG26 ¼ 1,2 10 5 

N 

mm 2 


s, E Dl, l0 e 

N 

mm 1 

mm2 mm 2 

Hinweis: Manchmal erscheint eine Aufgabe 

nur deshalb schwierig, weil man vergisst, 

dass der E-Modul schon bekannt ist 

(Tabelle 5.8).


Nach dem Hooke’schen Gesetz s ¼ eE muss der 

E-Modul die Einheit der Spannung haben 

(N/mm 2 ), denn die Dehnung e hat die Einheit 

Eins. Ûber das Hooke’sche Gesetz E ¼ s=e kann 

man den E-Modul auch als diejenige Spannung 

ansehen, die bei der Dehnung e ¼ 1 auftreten würde. 

Allerdings muss dabei beachtet werden, dass 

sich Metallstäbe nicht auf das Doppelte ihrer Ursprungslänge 

verlängern lassen und dass das 

Hooke’sche Gesetz nur im elastischen Bereich gilt 

(Spannungs-Dehnungs-Diagramm, Seite 375). 

5.2.3.5 Wärmespannung 

Alle Metallstäbe dehnen sich bei Erwärmung aus 

und ziehen sich bei Abkühlung wieder auf die Ursprungsgröße 

l0 zusammen. Die Verlängerung Dl 

(Verkürzung) des Stabes ist abhängig von der Ursprungslänge 

l0, von der Temperaturdifferenz 

DT ¼ J2 J1 vor und nach der Erwärmung (Abkühlung) 

und vom Längenausdehnungskoeffizienten 

al (siehe Physik-Lehrbuch). 

Wird ein Metallstab durch entsprechende Einspannungen 

an der Längenänderung gehindert, dann 

müssen Zug- oder Druckspannungen auftreten. Sie 

können mit Hilfe des Hooke’schen Gesetzes berechnet 

werden. Diese Normalspannungen heißen 

Wärmespannung sJ, weil die Temperatur allgemein 

mit dem griechischen Buchstaben Theta 

bezeichnet wird. Den Elastizitätsmodul E entnimmt 

man den Tabellen 5.8 und 5.9, Seite 385, den Längenausdehnungskoeffizienten 

al dem Handbuch 

Maschinenbau. 

5.2.3.6 Formänderungsarbeit Wf 

Im elastischen Bereich steigt die Belastung F von 

Zug- und Druckstäben proportional zur Längenänderung 

an. Dabei verrichtet die Kraft F auf dem 

Weg Dl (Verlängerung) eine mechanische Arbeit, 

die im Werkstoff gespeichert und bei Entlastung 

wieder vollständig frei wird. Man sagt: Der Körper 

„federt“. 

Das Kraft-Verlängerungs-Schaubild zeigt als Kraftlinie 

eine ansteigende Gerade. Die darunter liegende 

Fläche entspricht der mechanischen Arbeit. 

Beispiel: 

Angenommen, ein Probestab verlängert sich 

bei der Spannung sz ¼ 1000 N=mm 2 auf das 

Doppelte seiner Ursprungslänge. Dann wäre 

seine Dehnung e ¼ Dl=l0 ¼ 1 und damit 

E ¼ sz 

e 

¼ 1000 

1 

Dl ¼ l0 al DT 

N 

mm 

N 

¼ 1000 2 mm 

2 ¼ sz 

Hinweis: Für Stahl ist al St ¼ 12 10 6 1=K, 

das heißt, ein Stahlstab von 1 m Länge verändert 

sich bei Erwärmung um 1 K ¼ 1 Cum 

12 10 6 m ¼ 0,012 mm. 

sJ ¼ eE ¼ Dl 

E 

l0 

Hooke’sches Gesetz 

in allgemeiner Form 

Für die Verlängerung (Verkürzung) wird 

Dl ¼ l0 al DT eingesetzt: 

sJ ¼ l0 al DT 

l0 

E 

sJ ¼ al DT E 

Wärmespannung 

Beachte: Die Wärmespannung sJ ist unabhängig 

von den Abmessungen des Stabs. 

l 0 

Kraft 

Δl 

Δl 

W = 

f 

F Δl 

2 

Dl, l0 al DT 

F 

mm 

F 

Verlängerung 

1 

K 

Kraft-Verlängerung-Schaubild eines elastisch 

verlängerten Stabs. 

Beachte: Bei Zug- oder Druckfedern 

ohne Vorspannung ist die Arbeitsfläche 

ein Dreieck. 

K 

sJ, E al DT 

N 

mm 2 

1 

K K

284 

Mit Hilfe des Hooke’schen Gesetzes 

s ¼ eE ¼ DlE=l0 schreibt man für die Verlängerung 

s l0 

Dl ¼ 

E : 

Für die Zugkraft F schreibt man mit der Zug- 

Hauptgleichung F ¼ s A. 

Dann ergibt sich mit Al0 ¼ Volumen V die übliche 

Form für Wf. 

Die Formänderungsarbeit Wf wird auch als Federarbeit 

bezeichnet. Als Einheit erhält man das 

Newtonmillimeter. Zur Umrechnung in J ¼ Nm 

dividiert man den Betrag durch 1000 

(1 mm ¼ 1/1000 m ¼10 3 m). 

5.2.4 Reißlänge 

Die Belastung frei hängender Seile z. B. in Förderanlagen 

setzt sich aus der Nutzlast und der 

Eigengewichtskraft des Seiles zusammen. Mit 

zunehmender Seillänge wird man infolge der 

ansteigenden Gewichtskraft FG des Seiles immer 

weniger Nutzlast anhängen dürfen, bis der gefährdete 

Querschnitt (Aufhängequerschnitt) nur noch 

die Seilgewichtskraft FG tragen kann. 

Wie das Bild zeigt, steigt die allein durch die Seilgewichtskraft 

verusachte Zugspannung sz linear 

mit der Länge an. Das zeigt auch die folgende Entwicklung 

(siehe 5.2.2.4, Seite 280). 

In der Zug-Hauptgleichung wird die Zugkraft F 

durch die Gewichtskraft FG ¼ mg ersetzt. Die 

Masse m des Seils ersetzt man durch das Produkt 

aus Dichte r und dem Volumen V, letzteres wieder 

durch das Produkt aus Querschnittsfläche A und 

Seillänge l. 

Nach der Gleichung sz ¼ rlgist die Zugspannung 

im Seil nicht vom Seildurchmesser abhängig. 

Wird in sz ¼ rlg statt der Zugspannung sz die 

Zugfestigkeit Rm für den Seilwerkstoff eingesetzt, 

so erhält man eine Gleichung für die so genannte 

Reißlänge l r, bei der das frei hängende Seil unter 

seiner Eigengewichtskraft reißt. 

Kraft F Verlängerung Dl 

Wf ¼ 

2 

F Dl 

Wf ¼ 

2 

s A s l0 

Wf ¼ 

2E 

F Dl 

Wf ¼ 

2 ¼ s2V 2E 

sz ¼ FG 

A 

sz ¼ rAlg 

¼ rlg 

A 

sz ¼ rlg 

Formänderungsarbeit 

FG ¼ mg ¼ rVg¼ rAlg 

Hinweis: Die Gleichung für sz zeigt, dass die 

Zugspannung gleichmäßig mit der Seillänge l 

nach oben hin ansteigt. 

sz ¼ rlg; sz ¼ Rm ; l ¼ l r 

l r ¼ Rm 

rg 

Reißlänge 

Wf F Dl s, E V 

Nmm ¼ 10 3 J N mm 


N 

mm3 

mm2 Rm Zugfestigkeit (Seite 375) 

r Dichte 

g Fallbeschleunigung

5.3 Beanspruchung auf Druck 285 

Setzt man in die Größengleichung für die Reißlänge 

die Zugfestigkeit Rm in N/mm2 ein, die Dichte 

r in kg/m3 und die Fallbeschleunigung g in m/s2 , 

dann muss bei der Ausrechnung die Flächeneinheit 

mm2 in m2 umgewandelt werden. Hierfür gilt 

1mm 2 ¼ð10 3 mÞ 2 ¼ 10 6 m 2 : 

Damit kann auch eine auf die Längeneinheit km 

zugeschnittene Zahlenwertgleichung entwickelt 

werden. 

Auch nach der Zahlenwertgleichung ist die Reißlänge 

eines Seils nicht vom Seildurchmesser oder 

vom Querschnitt A abhängig. 


5.3 Beanspruchung auf Druck 

Die äußeren Kräfte wirken hier entgegengesetzt 

wie bei der Zugbeanspruchung. Man kann sagen: 

Zug- und Druckbeanspruchung liegen spiegelbildlich 

zueinander, und die Gesetzmäßigkeiten 

sind von gleicher Art. Das gilt sowohl für die 

Spannungsart (Normalspannung) als auch für die 

Spannungsverteilung. Daher hat die Druck-Hauptgleichung 

die gleiche Form wie die Zug-Hauptgleichung. 

Grundsätzlich gilt auch für die Druckbeanspruchung: 

Bei gleich bleibendem Querschnitt herrscht in 

jedem Schnitt die gleiche Spannung. 

Bei Querschnittsänderungen tritt im kleineren 

Querschnitt die größere Spannung auf und umgekehrt. 

Die im gefährdeten Querschnitt vorhandene Spannung 

darf den festgelegten zulässigen Spannungsbetrag 

nicht überschreiten. 

Gefährdet ist der Querschnitt mit dem kleinsten 

Flächeninhalt (siehe auch Seite 278). 

Für die Formänderungsarbeit Wf gelten die Beziehungen 

von Seite 283. 

ðlrÞ ¼ ðRmÞ 

ðrÞðgÞ ¼ 

N 

mm 2 

kg 

m 3 

m 

s 2 

¼ N m3 s 2 

mm 2 kg m 

kgm 

s 

ðlrÞ¼ 

2 

m3 s 2 

10 6 m2 kg m ¼ 

kg m4 s2 10 6 m2 kg m s2 ðlrÞ ¼10 6 m ¼ 10 3 km 

3 Rm 

lr ¼ 10 

rg 


F 

F 

x 

x 

SP FN 

Rm siehe Seite 385 

A 

F 

Druckbeanspruchter 

Stab 


Druckspannung sd ¼ 


sd ¼ FN 

A 

Druck-Hauptgleichung 

Je nach vorliegender Aufgabe wird die 

Druck-Hauptgleichung umgestellt: 

Aerf ¼ FN 

sdzul 

sd vorh ¼ FN 

A 

FN max ¼ Asdzul 

sdzul 

lr Rm r g 

km 

N 

mm 2 

kg 

m 3 

sd FN A 

erforderlicher 

Querschnitt 

vorhandene 

Spannung 

maximale 

Belastung 

m 

s 2 

N 

N mm2 

mm2

286 

5.4 Ûbungen zur Zug- und Druckbeanspruchung 

Hier wird die rechnerische Auswertung der bisher bekannten festigkeitstechnischen Beziehungen 

vorgeführt. Der Studierende wird vor allem lernen, welche Form seine Rechnungen haben 

müssen und nach welchem Konzept er technische Berechnungen aufbauen sollte. 

Die beiden folgenden Aufgaben sind von der gleichen Art, wie sie in dem Buch „Aufgabensammlung 

Technische Mechanik“ zusammengestellt wurden. 

Die Lösungsgedanken stehen links, die numerische Rechnung in der rechten Spalte. 

1. Ûbung: Ein Stahldraht aus 20MnCr5 von 1 mm 

Durchmesser und 2 m Länge wird durch Zugbelastung 

um 4 mm verlängert. 

Zu bestimmen sind 

a) die Dehnung des Drahtes, 

b) die vorhandene Zugspannung, 

c) die Zugkraft. 

d) Es soll nachgewiesen werden, dass im Rechnungsbereich 

das Hooke’sche Gesetz tatsächlich 

noch gilt. 

Lösung: 

a) Da Ursprungslänge l0 und Verlängerung Dl gegeben 

sind, lässt sich die Dehnung e sofort berechnen 

(als Dezimalzahl und in %). 

b) Ist eine Formänderung im Spiel, hier die gegebene 

Verlängerung Dl, dann ist sicher, dass das 

Hooke’sche Gesetz gebraucht wird (sz ¼ eE oder 

auch in der Form sz ¼ Dl E=l0Þ. Daher hat man 

unter „Gegeben“ auch sofort den E-Modul aufgeschrieben. 

c) Die Zugkraft F lässt sich nun über die Zug- 

Hauptgleichung mit der vorher bestimmten Zugspannung 

berechnen. Allerdings: Das Ergebnis 

dieser Rechnung kann nur dann richtig sein, wenn 

sz vorh fehlerfrei bestimmt wurde. Auch für Teilrechnungen 

sollte man daher immer versuchen, 

eine Gleichung für die gesuchte Größe (hier Zugkraft 

F) zu entwickeln, in der rechts vom Gleichheitszeichen 

nur die gegebenen Ausgangsgrößen 

stehen. In diesem Sinn wäre auch die hier vorgeführte 

Kontrollrechnung noch nicht exakt, weil 

statt pd 2 =4 der schon berechnete Wert für den 

Querschnitt A ¼ 0,785 mm 2 eingesetzt wurde. 

Gegeben: 

A ¼ p 

4 d2 ¼ p 

4 ð1mmÞ2 ¼ 0,785 mm 2 

l0 ¼ 2m¼ 2 10 3 mm ; Dl ¼ 4mm 

EStahl ¼ 2,1 10 5 

N 

mm 2 

Gesucht: 

a) e b) sz vorh c) F 

d) Spannungsnachweis für Hooke 

e ¼ Dl 

¼ 

l0 

4mm 

2 103 mm ¼ 2 10 3 ¼ 0,002 

e ¼ 2 10 3 100 % ¼ 2 10 1 % ¼ 0,2 % 

sz vorh ¼ FN 

A 

F 

¼ ) führt nicht weiter. 

A 

sz vorh ¼ eE ¼ 2 10 3 5 N 

2,1 10 

mm2 sz vorh ¼ 4,2 10 3 5 N 

10 

F ¼ sz vorh A ¼ 420 N 

F ¼ 329,7 N 


N 

¼ 420 

mm2 0,785 mm2 

mm2 mm 2 

Kontrolle: 

sz ¼ Dl 

E sz ¼ 

l0 

F 

A eingesetzt: 

F Dl 

¼ E ) nach F aufgelöst: 

A l0 

F ¼ DlEA 

l0 

4mm 2,1 10 

F ¼ 

5 N 

0,785 mm2 

mm2 2 103 mm 

F ¼ 329,7 N ðwie obenÞ

5.4 Ûbungen zur Zug- und Druckbeanspruchung 287 

d) Nach Tabelle 5.8, Seite 385, beträgt die Rp0,2 

Dehngrenze für 20 MnCr5 850 N/mm 2 , d. h. bei 

dieser Spannung würde sich der Probestab um 

0,2 % bleibend gedehnt haben. Da die hier vorhandene 

Spannung (420 N/mm 2 ) weit unter dieser 

Dehngrenze 850 N/mm 2 liegt, durfte tatsächlich mit 

dem Hooke’schen Gesetz gerechnet werden. 

2. Ûbung: Ein Gummipuffer mit Kreisquerschnitt 

soll durch eine Druckkraft F ¼ 500 N von 30 mm 

auf 25 mm elastisch zusammengedrückt werden. 

Der E-Modul der verwendeten Gummisorte ist mit 

5 N/mm 2 angegeben. 


a) die Druckspannung im Gummipuffer, 

b) der erforderliche Pufferdurchmesser, 

c) die vom Puffer aufgenommene Formänderungsarbeit. 

Lösung: 

a) Man sollte sich künftig die Erkenntnisse aus der 

vorigen Aufgabe zunutze machen und grundsätzlich 

die entsprechende Hauptgleichung und das 

Hooke’sche Gesetz aufschreiben. Entweder führt 

dann eine der beiden Gleichungen direkt zum Ziel 

oder beide werden zu einer Gleichung für die gesuchte 

Größe entwickelt. 

b) Aus der Druck-Hauptgleichung und dem 

Hooke’schen Gesetz wird eine Gleichung für die 

gesuchte Größe (hier derf) entwickelt. Nur so erhält 

man eine „rechnergemäße“ Beziehung, die es ermöglicht, 

die gegenseitigen Abhängigkeiten aller 

Größen zu diskutieren. Beispielsweise ist zu erkennen, 

dass bei größerem E-Modul der erforderliche 

Durchmesser kleiner wird, denn E steht im Nenner 

der Funktionsgleichung d ¼ f ðF, l0, Dl, EÞ. 

c) Die aufgenommene Federarbeit Wf erhält man 

direkt aus den gegebenen Größen F und Dl (siehe 

Seite 284). 

Rp0,2 ¼ 850 N 

mm 2 

sz vorh ¼ 420 N 

< Rp0,2 

mm2 Gegeben: 

F ¼ 500 N 

l0 ¼ 30 mm 10Dl ¼ 5mm 

E ¼ 5 N 

mm2 Gesucht: 

a) sd vorh b) derf c) Wf 

sd vorh ¼ F 

¼ eE 

A 

sd vorh ¼ eE ¼ Dl 

l0 

sd vorh ¼ 0,83 N 

mm 2 

E ¼ 5mm 

30 mm 

sd vorh ¼ F Dl 

¼ E ; A ¼ 

A l0 

p 

4 d2 

5 N 

mm 2 

A ¼ p 

4 d2 ¼ Fl0 

und daraus 

Dl E 

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

4Fl0 4 500 N 30 mm 

derf ¼ ¼ 

pDlE 

p 5mm 5 N 

mm2 v 

u 

t 

derf ¼ 27,6 mm 

Wf ¼ 

F Dl 

2 

500 N 5mm 

¼ ¼ 1250 Nmm 

2 

Wf ¼ 1,25 Nm ¼ 1,25 J

288 

5.5 Flächenpressung 

5.5.1 Begriff und Hauptgleichung 

Unter Flächenpressung p (auch: Pressung) versteht 

man die Beanspruchung in den Berührungsflächen 

(Oberflächen) zweier gegeneinander gedrückter 

Bauteile. Ursache jeder Flächenpressung ist eine 

Normalkraft FN, die häufig erst aus der beliebig 

gerichteten Kraft F bestimmt werden muss. Werden 

zwei ebene Flächen gegeneinander gepresst, 

dann gilt: 

Die Flächenpressung p ist der Quotient aus der 

Normalkraft FN und dem Flächeninhalt A der 

Berührungsfläche. 

Je nach vorliegender Aufgabe stellt man die 

Flächenpressungs-Hauptgleichung um. 

5.5.2 Flächenpressung an geneigten Flächen 

Im Maschinenbau und in der Feinwerktechnik 

stellt sich häufig die Aufgabe, die Flächenpressung 

auf geneigten ebenen Flächen zu bestimmen, wie 

beispielsweise zwischen den Gleitflächen einer 

Prismenführung. 

Der herausgeschnittene Teil der Gleitführung 

zeigt, dass das Prisma neben der Belastung 

F ¼ 800 N die Normalkräfte FN1 und FN2 aufzunehmen 

hat. Das zugehörige Krafteck bildet ein 

rechtwinkliges Dreieck, aus dem die Gleichungen 

für FN1 und FN2 abgelesen werden können. 

Sind die Flächeninhalte A1 und A2 der Gleitflächen 

bekannt, kann die Flächenpressung p1 und p2 berechnet 

werden. 

Flächenpressung 

ebener Flächen 


Flächenpressung p ¼ 

Berührungsfläche A 

p ¼ FN 

A 

Flächenpressungs- 

Hauptgleichung 

Aerf ¼ FN 

pzul 

pvorh ¼ FN 

A 

FN max ¼ Apzul 

p1 ¼ FN1 

A1 

p2 ¼ FN2 

A2 

A2 

pzul 


p FN A 

N 

N mm2 

mm2 erforderliche 

Berührungsfläche 

vorhandene 

Flächenpressung 

maximale 

Normalkraft 

F 

¼ 

A1 cos a 

F tan a 

¼ ¼ 0,462 N 

mm2 ¼ 0,462 N 

mm 2

5.5 Flächenpressung 289 

Die Flächenpressung p1 auf der geneigten Gleitfläche 

A1 lässt sich bequemer nach folgender 

Ûberlegung berechnen: 

Im Nenner der Gleichung p1 ¼ F=ðA1 cos aÞ steht 

der Ausdruck A1 cos a. Das ist die Projektion der 

Berührungsfläche A1 auf die zur Wirklinie von F 

rechtwinklige Ebene. Daraus folgt: Man kann – 

ohne den Umweg über die Normalkraft – mit der 

Kraft F und der so genannten projizierten Berührungsfläche 

Aproj die Flächenpressung p berechnen. 

In Zweifelsfällen führt der Weg über das exakte 

Freimachen und das Bestimmen der Normalkräfte 

FN immer zum Ziel. Jedoch ist es in vielen praktischen 

Fällen einfacher, mit der projizierte Fläche 

zu rechnen. Typische technische Beispiele zeigen 

die folgenden Bilder. 

p ¼ F 

Aproj 

Typische techische Beispiele für die Verwendung der Gleichung p ¼ F=Aproj 

p F Aproj 

N 

N mm2 

mm2 Beachte: Aproj ist die Projektion der Berührungsfläche 

auf eine Ebene, die rechtwinklig 

zur Wirklinie der Belastung F steht. 

Beispielsweise ist beim Kegelzapfen Aproj 

eine Kreisringfläche, wie das folgende Bild 

zeigt.

290 

5.5.3 Flächenpressung am Gewinde 

Der Verschleiß an den Gewindegängen einer 

Schraubenverbindung ist von der Flächenpressung 

zwischen Mutter- und Bolzengewinde abhängig. 

Vor allem bei so genannten Bewegungsschrauben 

(Spindeln in Pressen, Leitspindeln in Drehmaschinen 

usw.) muss die Mutterhöhe m so groß gemacht 

werden, dass die zulässige Flächenpressung im 

Gewinde nicht überschritten wird. 

Für Bewegungsschrauben benutzt man hauptsächlich 

metrisches ISO-Trapezgewinde, seltener metrisches 

ISO-Gewinde. Für beide Formen gelten 

die im Bild eingetragenen Bezeichnungen. 

Zur Herleitung einer Gleichung für die erforderliche 

Mutterhöhe m geht man von der projizierten 

Fläche eines Gewindeganges aus (DAproj). Diese 

projizierte Fläche DAproj ist eine Kreisringfläche 

mit der Tragtiefe H1 als Ringbreite (siehe auch 

Bilder Seite 289). 

Die Anzahl der tragenden Gewindegänge i erhält 

man, wenn die Mutterhöhe m durch die Gewindesteigung 

P dividiert wird. 

Die gesamte projizierte Berührungsfläche Aproj 

zwischen Gewindebolzen und Mutter muss das 

Produkt aus DAproj und i sein. Damit erhält man 

eine Gleichung zur Berechnung der Flächenpressung 

p im Gewinde. 

Bei dieser Berechnung wird vorausgesetzt, dass 

alle beteiligten Gewindegänge gleichmäßig tragen. 

Tatsächlich werden die ersten Gänge stärker beansprucht. 

Zum Schluss wird die Flächepressungsgleichung 

zur Berechnung der erforderlichen Mutterhöhe 

merf umgestellt. 

Bezeichnungen am Trapezgewinde 

DAproj ¼ pd2 H1 

Mutterhöhe m 

i ¼ 

Gewindesteigung P 

Aproj ¼ DAproj i ¼ pd2 H1 i ¼ pd2 H1 

p ¼ F 

¼ 

Aproj 

FP 

pd2 H1 m pzul 

m 

P 

Flächenpressungsgleichung für Gewinde 

FP 

merf ¼ 

pd2 H1 pzul 

m, P, d2, H1 F p 

mm N 

N 

mm2 5 Festigkeitslehre 

erforderliche 

Mutterhöhe


5.5.4 Flächenpressung in Gleitlagern, Niet- und Bolzenverbindungen 

Schwieriger als bei ebenen Flächen sind die Pressungsverhältnisse 

an der Oberfläche eines Lagerzapfens, 

eines Bolzens oder eines Nietes. Die Flächenpressung 

ist in Belastungsrichtung am größten 

(pmax) und nimmt nach den Seiten hin bis auf null 

ab. Der Maximalwert pmax müsste eingesetzt werden, 

wenn z. B. für ein Gleitlager die erforderliche 

Lagerlänge l bestimmt werden soll. Beziehungen 

zur Berechnung von pmax hat Hertz aufgestellt 

(Hertz’sche Gleichungen, siehe Seite 292). Diese 

Gleichungen sind nicht einfach aufgebaut. Deshalb 

arbeitet man bei der Berechnung von Gleitlagerabmessungen 

sowie bei Niet- oder Bolzenverbindungen 

nicht mit den Hertz’schen Gleichungen, 

sondern rechnet mit einem Mittelwert p der Flächenpressung. 

Dazu denkt man sich die Kraft F 

gleichmäßig über die projizierte Fläche Aproj des 

Zapfens (Bolzen, Niet) verteilt. 

Der „Fehler“ bei dieser Betrachtung wird dadurch 

ausgeglichen, dass man die zulässige Flächenpressung 

entsprechend niedriger festlegt, so dass die 

tatsächlich auftretende Pressung pmax von den verwendeten 

Werkstoffen vertragen wird. 

Die Flächenpressung am Nietschaft wird Lochleibungsdruck 

sl genannt. Er ist abhängig von der 

aufzunehmenden Kraft F, von der Anzahl n der 

Niete und von der projizierten Schaltfläche 

Aproj ¼ d1s eines Nietes. 

Bei einschnittigen Nietverbindungen muss man für 

s die kleinere der beiden Blechdicken einsetzen, 

weil hier der größere Lochleibungsdruck auftritt. 

Ist die Verbindung mehrschnittig, dann ist s die 

kleinere der beiden Bleckdickensummen in einer 

Kraftrichtung. Im skizzierten Beispiel (vierschnittig) 

müsste man also s ¼ 10,5 mm in die Gleichung 

für den Lochleibungsdruck sl einsetzen. 

p ¼ F 

¼ 

Aproj 

F 

dl 

pzul 

Flächenpressungsgleichung 

für Gleitlager und Bolzenverbindungen 

sl ¼ F 

¼ 

nAproj 

F 

nd1s 

sl zul 

Flächenpressungsgleichung 

für Nietverbindungen 

p F d, l 

N 

N mm 

mm2

292 

5.5.5 Flächenpressung an gewölbten Flächen (Hertz’sche Gleichungen) 

Die Flächenpressung zwischen Körpern mit gekrümmter 

(gewölbter) Oberfläche lässt sich mit 

den von Hertz aufgestellten Gleichungen berechnen. 

Diese Beanspruchungsart tritt beispielsweise 

zwischen den Wälzkörpern (Kugeln, Walzen, Rollen, 

Nadeln) und Laufringen von Wälzlagern auf 

(Kugellager, Kegelrollenlager, usw.). 

Die Hertz’schen Gleichungen gelten unter folgenden 

Voraussetzungen: 

a) Die Körper verhalten sich vollkommen elastisch 

(keine bleibende Formänderung). 

b) Es gilt das Hook’sche Gesetz s ¼ eE. 

c) Die elastische Verformung ist klein gegenüber 

den Abmessungen des Körpers. 

d) In der Berührungsfläche beider Körper treten 

nur Normalspannungen s auf, keine Schubspannungen 

t. 

Bedeutung der Formelzeichen: 

a Radius der kreisförmigen oder halben 

Breite der rechteckigen Druckfläche in mm 

F Druckkraft in N 

m Poisson-Zahl, Verhältnisgröße mit der 

Einheit 1, siehe Seite 282 

r Krümmungsradius der Kugel oder des Zylinders 

in mm; bei Krümmung beider Körper 

ist die Summe beider Krümmungen 

einzusetzen, also 1=r ¼ 1=r1 þ 1=r2. 

Für die ebene Platte ist 1=r2 ¼ 0, für die 

Hohlkugel ist 1=r2 negativ einzusetzen. 

E Elastizitätsmodul in N/mm 2 ; bei unterschiedlichen 

E-Moduln ist 

E ¼ 2E1E2=ðE1 þ E2Þ einzusetzen. 

l Länge des Zylinders in mm 

p Druck auf der Berührungsfläche im 

Abstand r in N/mm 2 

p0 ¼ pmax Druck in der Mitte der 

Berührungsfläche in N/mm 2 

r veränderlicher Radius oder Ordinate in 

Breitenrichtung der Berührungsfläche 

in mm 

d Gesamtabplattung in mm, d. h. die 

gesamte Näherung der beiden Körper 

5.5.5.1 Pressung zwischen Kugel und Ebene oder zwischen zwei Kugeln 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

1,5ð1 m 

a ¼ 

2 r 

rffiffiffiffiffi 

3 Þ Fr 

3 Fr 

¼ 1,11 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi E 

E 

a 

p ¼ p0 

2 r2 p 

a 

p0 ¼ 1 


1,5 FE 

p 

2 

r2ð1 m2Þ 2 

s 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

3 

FE 

¼ 0,388 

2 

r2 r 

3 1,5 F 

¼ 

pa2 d ¼ a2 

r ¼ 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

2,25ð1 m2Þ 2 F 2 

E 2 s 

ffiffiffiffiffiffiffiffi 

3 

F 

¼ 1,23 

r 

2 

E 2 r 

3 

r 

5.5.5.2 Pressung zwischen Zylinder und Ebene oder zwischen zwei Zylindern 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

8ð1 m 

a ¼ 

2 r 

rffiffiffiffiffiffi 

Þ Fr Fr 

¼ 1,52 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pEl 

El 

a 

p ¼ p0 

2 r2 r 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a 

FE 

p0 ¼ 

2prlð1 m2 s 


FE 

¼ 0,418 ¼ 

Þ 

rl 

2F 

pal 

5 Festigkeitslehre


5.5.6 Ûbungen zur Flächenpressung 

1. Ûbung: Eine Zugspindel soll über die Mutter in 

Längsrichtung 20 kN übertragen. Die Zugspannung 

in der Spindel darf 80 N/mm2 nicht überschreiten, 

die Flächenpressung im Gewinde soll 

höchstens 15 N/mm2 betragen. 


das erforderliche Trapezgewinde, 

die erforderliche Mutterhöhe. 

Lösung: Der Kernquerschnitt der Zugspindel muss 

bei sz zul ¼ 80 N=mm2 die Zugkraft F ¼ 20 000 N 

übertragen. Aus der Zug-Hauptgleichung (Seite 

278) findet man für Aerf ¼ 250 mm2 Kernquerschnitt. 

Aus der Formelsammlung wird dasjenige Trapezgewinde 

gewählt, das den nächstgrößeren Kernquerschnitt 

A3 ¼ 269 mm2 besitzt. 

Zur Berechnung der Mutterhöhe m setzt man in 

die Gleichung nach Seite 290 die gegebenen und 

die aus der Gewindetafel (Formelsammlung) entnommenen 

Größen ein. 

Als Normmaß wird m ¼ 40 mm gewählt. 

2. Ûbung: Ein Gleitlager hat eine Radialkraft 

Fr ¼ 15 000 N und eine Axialkraft Fa ¼ 6000 N 

aufzunehmen. Das Bauverhältnis soll l=d ¼ 1,2, 

die zulässige Flächenpressung 5 N/mm 2 betragen. 

Zu bestimmen sind die Maße d, D, l. 

Lösung: In die Flächenpressungsgleichung für 

Gleitlager, Seite 291, wird aus dem vorgegebenen 

Bauverhältnis l=d ¼ 1,2 entweder d ¼ l=1,2 oder 

für l ¼ 1,2d eingesetzt. Hier entscheidet man sich 

für die zweite Möglichkeit und erhält damit eine 

Gleichung zur Bestimmung des erforderlichen 

Wellendurchmessers d. Im anderen Fall hätte sich 

eine Gleichung zur Berechnung der Lagerlänge l 

ergeben. 

Aus dem Bauverhältnis l=d ¼ 1,2 ergibt sich die 

Lagerungslänge l. 

Gegeben: 

Zugkraft F ¼ 20 kN ¼ 20 10 3 N 

szzul ¼ 80 N 

mm 2 pzul ¼ 15 N 

mm 2 

Gesucht: 

Trapezgewinde 

Mutterhöhe m 

sz ¼ F 

A (Zug-Hauptgleichung) 

Aerf ¼ F 20 000 N 

¼ 

szzul 

80 N 

mm2 ¼ 250 mm 2 

Gewählt wird Tr 24 5 mit A3 ¼ 269 mm2 , 

Steigung P ¼ 5 mm, Flankendurchmesser 

d2 ¼ 21,5 mm, Tragtiefe H1 ¼ 2,5 mm. 

FP 

merf ¼ 

pd2 H1 pzul 

20 10 

merf ¼ 

3 N 5mm 

p 21,5 mm 2,5 mm 15 N 

mm2 merf ¼ 39,48 mm; m ¼ 40 mm gewählt 

p ¼ Fr 

¼ 

Aproj 

Fr 

dl 

p ¼ Fr Fr 

¼ 

d 1,2d 1,2d2 derf ¼ 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

Fr 

l 

¼ 1,2 ) l ¼ 1,2d 

d 

s 


15 000 N 

¼ 

1,2pzul 1,2 5 N 

mm2 v 

u 

t 

derf ¼ 50 mm 

l ¼ 1,2d ¼ 1,2 50 mm ¼ 60 mm

294 

Man setzt die Beziehung für den Kreisringquerschnitt 

A in die Flächenpressungs-Hauptgleichung 

p ¼ FN=A ¼ Fa=A ein und entwickelt eine Gleichung 

zur Berechnung des erforderlichen Bunddurchmessers 

D ¼ f (Fa, pzul, d), aus der D berechnet 

werden kann. 

Gewählt wird D ¼ 65 mm als nächsthöheres 

Normmaß. 

3. Ûbung: Für die Festigkeitsüberprüfung (Spannungsnachweis) 

der Abmessungen eines Zahnrades, 

insbesondere des gewählten Modus, ist die 

Flächenpressung pC im Wälzpunkt C der beiden 

Zahnflanken von besonderer Bedeutung. pC darf 

nicht größer sein als ein Grenzwert pzul, der in Versuchen 

ermittelt wurde. 

Die Krümmungsradien r1 und r2 für die skizzierte 

Nullstellung beider Räder lassen sich berechnen; 

hier ist r1 ¼ 60 mm, r2 ¼ 40 mm. 

Für b ¼ 50 mm Zahnradbreite und 

pzul ¼ 520 N/mm 2 soll die maximale Normalkraft 

FN max bestimmt werden, die zwischen den beiden 

Zahnflanken auftreten darf. 

Lösung: Die Berührung zweier Zahnflanken im 

Wälzpunkt C entspricht der Pressung zwischen 

zwei Zylindern nach 5.5.5.2, Seite 292. 

Da beide Körper gekrümmt sind, muss der Krümmungsradius 

r aus 1=r ¼ 1=r1 þ 1=r2 berechnet 

werden. Diese Gleichung kann man in eine zweckmäßigere 

Form bringen und daraus dann r berechnen. 

Die Ausgangsgleichung wird nach FNmax umgestellt, 

wobei man auch noch pC ¼ pzul setzt. Wegen 

der Wurzel muss die Gleichung zuerst quadriert 

werden. Das Elastizitätsmodul für Stahl beträgt wie 

üblich 2,1 10 5 N/mm 2 . Man erhält als Ergebnis 

für die größte Normalkraft FNmax ¼ 9187 N. 

Damit kann der Konstrukteur das maximal zulässige 

Drehmoment und die entsprechende Getriebeleistung 

festlegen. 


Fa 

p ¼ FN 

A ¼ p 

4 ðD2 

Derf ¼ 

d 2 Þ 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

4Fa 

þ d2 s 

ppzul 

D ¼ f ðFa, pzul, dÞ 

Derf ¼ 63,47 mm D ¼ 65 mm gewählt 

rffiffiffiffiffiffiffi 

FE 

p0 ¼ 0,418 

rl 

p0 ¼ pC F ¼ FN l ¼ b 

1 1 

¼ þ 

r r1 

1 

¼ 

r2 

r2 þ r1 

r1r2 

Hertz’sche Gleichung 

r ¼ r1r2 ð60 40Þ mm2 

¼ ¼ 24 mm 

r1 þ r2 ð60 þ 40Þ mm 

pC 2 ¼ 0,418 2 

rffiffiffiffiffiffiffiffiffi! 

2 

FNE 

rb 

pC 2 2 FNE 

¼ 0,418 

rb 

FN max ¼ p2zul rb 

0,4182E FN max ¼ 

2 

530 N 

mm2 24 mm 50 mm 

0,4182 2,1 105 N 

¼ 9187 N 


mm 2 

¼

5.6 Beanspruchung auf Abscheren 295 

5.6 Beanspruchung auf Abscheren 

5.6.1 Spannung 

Die Beanspruchungsart Abscheren tritt immer dann 

auf, wenn die Belastung F rechtwinklig (quer) zur 

Achse des Bauteils wirkt. 

Praktisches Beispiel für das Auftreten von Abscherspannungen 

ist das Scherschneiden. Die äußeren 

Schnittkräfte F bilden ein Kräftepaar mit 

dem (kleinen) Wirkabstand u (Schneidspalt). Das 

entsprechend kleine Kraftmoment M ¼ Fu wird 

bei dieser Untersuchung venachlässigt. 

In der Schnittfläche des Werkstücks W wird das 

Kräftegleichgewicht durch die innere Schnittkraft 

Fq (Querkraft) ¼ F wieder hergestellt. Fq wirkt 

tangential zur Schnittebene, die auftretende Spannung 

ist also die Schubspannung t (Tangentialspannung). 

Zur Kennzeichnung der Beanspruchungsart 

nennt man sie Abscherspannung ta. 

Vereinfachend wird zunächst angenommen, dass 

jedes Flächenteilchen gleichmäßig an der Ûbertragung 

der inneren Kraft Fq beteiligt ist. Dann erhält 

die Abscher-Hauptgleichung die gleiche Form wie 

die schon bekannten Zug/Druck-Hauptgleichungen. 

Die Abscherfestigkeit taB von Stahl und Gusseisen 

kann aus der Zugfestigkeit Rm bestimmt werden: 

für Flussstahl ist taB ¼ 0,85 Rm 

für Gusseisen ist taB ¼ 1,1 Rm 

Die Abscherfestigkeit taB wird für Aufgaben aus 

der Stanzereitechnik gebraucht (siehe z. B. Aufgabe 

741 aus der Aufgabensammlung). 

Zur richtigen Festlegung des gefährdeten Querschnitts 

in Abscheraufgaben geben die nachstehenden 

Lehrbeispiele Anregungen. 

W 

F = F 

q 

u 

F 

F 

F 

s 

A 

A = Querschnittsfläche 

Scherschneiden (Parallelschnitt) 

A ¼ ls Querschnittsfläche, 

W Werkstück, F Schnittkraft, 

u Schneidspalt 

l 

F 

Querkraft Fq 

Abscherspannung ta ¼ 


ta ¼ Fq 

A 

Abscher- 


Je nach vorliegender Aufgabe wird die 

Abscher-Hauptgleichung umgestellt: 

Aerf ¼ Fq 

ta zul 

ta vorh ¼ Fq 

A 

Fq max ¼ Ata zul 

ta zul 

F 

ta Fq A 

N 

N mm2 

mm2 erforderlicher 

Querschnitt 

vorhandene 

Spannung 

maximale 

Belastung

296 

Bei den auf Abscheren zu berechnenden Bauteilen 

wie Niete und Bolzen tritt außer der Querkraft 

noch ein Biegemoment auf. Allein deshalb ist eine 

einfache Schubspannungsverteilung im Querschnitt 

nicht zu erwarten. In warm eingezogenen 

Nieten tritt keine Schubspannung auf, sie werden 

durch das Schrumpfen auf Zug beansprucht und 

trotzdem auf Abscheren berechnet. Genauere rechnerische 

Untersuchungen am Rechteckquerschnitt 

zeigen eine parabolische Schubspannungsverteilung 

mit t ¼ 0 in der Randfaser und t ¼ tmax in 

der mittleren Faserschicht. 

Mit dem Mittelwert tmittel ¼ ta ¼ Fq=A ergibt die 

Rechnung für den Rechteckquerschnitt 

tmax ¼ð3=2Þ ta, d. h. die maximale Schubspannung 

ist um 50 % größer als die rechnerische Abscherspannung 

ta ¼ Fq=A. 

Niete und Bolzen werden mit der Abscher-Hauptgleichung 

berechnet, obwohl in der Schnittfläche 

noch ein Biegemoment übertragen werden muss. 

Berücksichtigt wird dies durch eine geringere zulässige 

Spannung ta zul. Bei längeren Bolzen sollte 

die Biegespannung überprüft werden. 

Die zulässigen Abscherspannungen für Nietverbindungen 

im Stahlhoch- und Kranbau sind vorgeschrieben 

(siehe Tabellen 5.5 und 5.6, Seite 

364). 


Schubspannungsverteilung im schubbeanspruchten 

Rechteckquerschnitt 

Für die folgenden Querschnittsformen gilt: 

Rechteckquerschnitt tmax ¼ð3=2Þ ta 

Kreisquerschnitt tmax ¼ð4=3Þ ta 

Rohrquerschnitt tmax ca. 2 ta 

Schnittuntersuchung 

am Niet


5.6.2 Elastische Formänderung (Hooke’sches Gesetz für Schub) 

Am Beispiel einer würfelförmigen Schubfeder kann 

die Formänderung bei Schub erläutert werden: 

Die Kraft F verschiebt die beiden Schnittufer 1 

und 2 parallel gegeneinander, so dass sich die Seitenflächen 

des Würfels um den Winkel g neigen. 

Für kleine Winkel g darf angenommen werden, 

dass der Abstand l0 der beiden Schnittufer während 

der elastischen Formänderung erhalten bleibt. 

Dann ist der Tangens des Winkels g ungefähr 

gleich dem Winkel in der Einheit rad, also 

tan g ¼ Dl=l0 g. Der Winkel g wird als Schiebung 

bezeichnet. 

Man versteht die Zusammenhänge besser und erhält 

zusätzlich eine gute Gedächtnisstütze, wenn 

man die Formänderung bei Schub und bei Zug 

(5.2.3.4, Seite 282) einander gegenüberstellt. 

Die bei Schubverformungen auftretende Schubspannung 

t wächst mit der Schiebung g verhältnisgleich: 

Bei doppelter Schiebung stellt sich die doppelte 

Spannung ein. 

Wie bei der Zugbeanspruchung (Seite 282) ist 

auch hier das Verhältnis von Spannung t und 

Schiebung g ein bestimmter und bei elastischer 

Verformung gleich bleibender Wert. Nach DIN 

1304 heißt er Schubmodul G. 

Wird die Gleichung für den Schubmodul G umgestellt, 

erhält man das Hooke’sche Gesetz für Schub 

mit dem gleichen Aufbau wie bei Zugbeanspruchung. 

Die Definitionsgleichung für den Schubmodul 

G ¼ t=g gibt zu erkennen, dass G die Einheit der 

Spannung besitzt (vgl. mit 5.2.3.4, Seite 282). 

Ebenso wie das Elastizitätsmodul E ist auch der 

Schubmodul G eine Werkstoffkonstante, die den 

Tabellen auf Seite 385 entnommen werden können. 


Verschiebung Dl 

Schiebung g ¼ 

Schnittuferabstand l0 

tan g g ¼ Dl 

l0 

Bei Zug ist die Dehnung e das Verhältnis von 

Verlängerung Dl und Ursprungslänge l0, bei 

Schub ist die Schiebung g das Verhältnis von 

Verschiebung Dl und Schnittuferabstand l0. 

Bei Zug wächst die Dehnung e proportional 

mit der Normalspannung s (siehe Seite 282), 

bei Schub wächst die Schiebung g proportional 

mit der Schubspannung t. 

Schubspannung t 

Schubmodul G ¼ 

Schiebung g 

t ¼ gG ¼ Dl 

G 

l0 

Hook’sches Gesetz 

für Schub 

ðGÞ ¼ ðtÞ 

ðgÞ ¼ 

N 

mm2 rad 

Beispiel: 

¼ N 

mm 2 

g Dl, l0 

rad mm 

t, G l, l0 g 

N 

mm 1 ¼ rad 

mm2 GStahl ¼ 80 000 N 

N 

¼ 8 104 

mm2 mm2

298 

Lehrbeispiel: Nietverbindung im Stahlhochbau 


An einen L 200 100 10 soll ein Flachstahl genietet 

werden. Zugkraft F ¼ 70 kN. 

Nietung und Flachstahlprofil sind zu berechnen, wenn 

das Breitenverhältnis für den Flachstahl 

Breite b 

¼ 10 gewählt wird 

Dicke s 

Niete aus USt 36-1; Stab aus S235JR (St 37); Lastfall H 

(Hauptlasten, siehe Tabelle 5.5, Seite 364) 

Lösung: 

a) Stabprofil: 

Beanspruchung auf Zug, gefährdeter Querschnitt im Schnitt quer zur Stabachse durch ein Nietloch. 

Die Schwächung des Stabprofils durch die Nietlöcher wird durch das 

Verschwächungsverhältnis v ¼ An 

A ¼ 

Nutzquerschnitt 

ungeschwächter Querschnitt berücksichtigt: 

Man wählt v 0,8. 

Die zulässige Spannung wird der Tabelle 5.5, Seite 364, entnommen. 

Für Bauteile aus S235JR szzul¼ 160 N 

mm2 A erf ¼ F 

sz zulv 

70 000 N 

A erf ¼ 

160 N 

¼ 547 mm 

0,8 

mm2 2 ¼ bs ¼ 10 s s ¼ 10 s 2 


A erf 

A erf ¼ ¼ 

10 


54, 7 mm2 p 

¼ 7,4 mm 

s ¼ 8mm b¼ 10 s ¼ 80 mm gewählt: 80 8 

b) Nietdurchmesser d1: 

Der Nietdurchmesser wird nach der Erfahrungsformel gewählt: 

d1 s þ 10 mm d1 ¼ 8mmþ 10 mm ¼ 18 mm 

s kleinste Blechdicke 

d1 Durchmesser des 

geschlagenen Nietes 

(dmax ¼ 28 mm nach DIN 997) 

gewählt: d1 ¼ 17 mm 

A1 ¼ 227 mm2 Rohnietdurchmesser d ¼ 16 mm 

F = 70 kN 

200 

s 


100


c) Nietanzahl n: 

Beanspruchung der Niete auf Abscheren. (Einschnittige Verbindung: m ¼ 1) 

F 

n erf ¼ 

ta zul ¼ 140 

ta zulA1m 

N 

mm2 70 000 N 

n erf ¼ 

140 N 

mm2 227 mm2 ¼ 2,2 

1 

(für Nietverbindungen 

mit Bauteilen aus S235JR 

und Nietwerkstoff USt 36-1 

nach Tabelle 5.5) 

gewählt: n ¼ 3 Niete 

d) Nachprüfung des Lochleibungsdruckes sl: 

Der Lochleibungsdruck kann unzulässig hohe Werte erreichen, auch wenn der Niet auf Abscheren sicher 

bestimmt wurde. 

sl vorh ¼ F 

d1sn 

slzul¼ 280 N 

mm2 nach Tabelle 5:5 sl 

70 000 N 

vorh ¼ 

17 mm 8mm 3 

s kleinste Blechdicke 

s ¼ 8mm 

¼ 172 N 

mm 2 

sl vorh ¼ 172 N 

mm2 < slzul¼ 280 N 

mm2 3 Niete zulässig mit d ¼ 16 mm 

Rohnietdurchmesser 

e) Spannungsnachweis für Stabprofil im Schnitt I –II: 

sz vorh ¼ F 

8mmdick 

70 000 N 

sz vorh ¼ 

80 mm 8mm 17 mm 8mm 

An 

sz vorh ¼ 139 N 

mm 2 < szzul ¼ 160 N 

mm 2 

f) Nietbild: 

Das Nietbild wird mit den Maßen für Nietabstand a und Randabstand e entwickelt. 

e=35 a=45 a=45 e=35 

I II 

17 

80 

e’ = 40 

160 

Nietabstand: 

a 2,5d1 ¼ 2,5 17 mm ¼ 42, 5 mm 

a 45 mm 

Randabstand: 

e ¼ 2d1 ¼ 2 17 mm ¼ 34 mm 

e 35 mm 

seitlicher Randabstand: 

e0 1, 5 d1 ¼ 1, 5 17 mm ¼ 25, 5 mm 

für 80 8 wird: 

e0 40 mm 

¼ 139 N 

mm 2

300 

Lehrbeispiel: Nietverbindung im Stahlbau 


Für eine Laufbühne sollen Konsolbleche an Stützen genietet 

werden. Belch S235JR; Niete USt 36-1. Zulässige Spannungen 

nach Tabelle 5.5, Seite 364. 

Es sind die Abmessungen des Blechs (s und h) und die 

Vernietung zu berechnen. Lastfall H. 

Lösung: 

a) Konsolblech 

Beanspruchung auf Biegung; gefährdeter Querschnitt in der Nietreihe. 

Werf ¼ Mb max 

sb zul ¼ 160 

sb zul 

N 

mm2 Werf ¼ Fl 12 000 N 600 mm 

¼ 

sb zul 

160 N 

mm2 ¼ 45 10 3 mm 3 

W ¼ sh2 

6 

b) Nietdurchmesser d1 

bei ungeschwächtem Querschnitt. 

Die Schwächung des Querschnitts wird durch das Verschwächungsverhältnis 

v ¼ 0,8 berücksichtigt: 

Werf ¼ 45 103 mm3 ¼ 56, 25 10 

0,8 

3 mm 3 

Daraus kann (bei s ¼ 8 mm (gewählt)) die Konsolblechhöhe h berechnet werden: 

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

6Werf 6 56, 25 10 

herf ¼ ¼ 

s 

3 mm3 r 

¼ 205 mm 

8mm 

gewählt: h ¼ 210 mm 

d1 s þ 10 mm d1 Durchmesser des geschlagenen Nietes: d1 ¼ 8mmþ10 mm ¼ 18 mm 

gewählt: d1 ¼ 19 mm 

A1 ¼ 284 mm2 c) Nietanzahl 

210 

30 

30 50 50 50 

Rohnietdurchmesser d ¼ 18 mm 

h 

l = 600 mm F = 12 kN 

Es werden zunächst n ¼ 4 Niete gewählt, weil diese gut in der Höhe 

verteilt werden können (a ¼ 2,5 d ¼ 2,5 18 mm ¼ 50 mm). 

Das Nietsystem muss sowohl das äußere Biegemoment Mb ¼ Fl als 

auch die Querkraft übertragen. Dabei werden die äußeren Niete am 

stärksten beansprucht. Die Abscherspannung und der Lochleibungsdruck 

sind nachzuprüfen. 

s 

5 Festigkeitslehre


3a 

2 

a 

2 

Konsolblech freigemacht 

(Kräfte bezogen auf Blech- 

Lochquerschnitt) 

Fmax 

F1 

F2 

F 1 

F 

4 

F 

4 

F 2 

F 

4 

F 

4 

F 1 

F 2 

F2 

Fmax 

F = F 

q 

Kräfte bezogen auf den 

einzelnen Niet 

(Reaktionskräfte aus 

obiger Skizze) 

SP = Schwerpunkt 

des Nietsystems 

F1 

l 

F 

Aus der Skizze des freigemachten Konsolblechs entnimmt 

man: 

SMðSP Þ ¼ 0 

2F1 

3 

a þ 2F2 

2 

a 

2 

Fl ¼ 0 

Das Belastungsbild zeigt die Proportion: 

3 

F1 

¼ 

F2 

a 

2 

¼ 

a 

2 

3 

daraus : 

1 

F2 ¼ F1 

3 eingesetz in SM ðSP Þ ¼ 0 

2F1 

3 F1 

a þ 2 

2 3 

a 

2 

Fl ¼ 0 

F1 3a þ a 

3 ¼ Fl ¼ 12 kN 600 mm ¼ 7,2 106 Nmm 

F1 ¼ 7,2 106 Nmm 

3 50 mm þ 50 

3 mm 

¼ 43 200 N 

Die maximale Nietbelastung wird: 

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

2 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

2 F 

Fmax ¼ F1 þ ¼ ð43,2 10 

4 

3 NÞ 2 þð3 103 NÞ 2 

q 

Fmax ¼ 43 300 N 

Die zusätzliche Belastung der Niete druch die Querkraft F/4 hätte 

man hier nicht zu berücksichtigen brauchen. 

Abscherspannung ta : 

ta ¼ Fmax 

A1 

43 300 N 

N 

¼ ¼ 152,46 

284 mm 2 mm 2 > ta zul ¼ 140 N 

Die zulässige Abscherspannung ist also überschritten. 

Neue Abmessungen geschätzt und nachgeprüft: 

4 Niete mit d1 ¼ 21 mm ; A1 ¼ 346 mm 2 

Blechhöhe h¼ 210 mm 

Nachprüfung für 4 Niete mit d1 ¼ 21 mm: 

Abscherspannung ta: 

43 300 N N 

¼ ¼ 125 

346 mm 2 mm 2 < ta zul¼ 140 N 

ta ¼ Fmax 

A1 

Lochleibungsdruck sl: 

sl ¼ Fmax 

d1s ¼ 

43 300 N 

21 mm 8mm 

mm 2 

mm 2 

¼ 258 N 

mm 2 < sl zul ¼ 280 N 

mm 2 

4 Niete mit d ¼ 20 mm Rohnietdruchmesser zulässig .

302 

Lehrbeispiel: Zugbolzen 

Aufgabenstellung 

Für den skizzierten Zugbolzen, der von einer Kraft F ¼ 2 104 N ruhend 

belastet wird, sind zu bestimmen: 

a) Der erforderliche Bolzendurchmesser d, wenn szzul¼ 60 N 

ist. 

mm 2 

b) Der Kopfdurchmesser D, wenn die Flächenpressung an der Berührungsstelle 

p zul ¼ 15 N 

nicht überschreiten soll. 

mm 2 

c) Die Kopfhöhe h bei einer zulässigen Abscherspannung 

ta zul ¼ 30 N 

mm 2 

Lösung: 

a) Bolzendurchmesser d: 

sz ¼ F 

A 

b) Kopfdurchmesser D: 

p ¼ F 

A 

c) Kopfhöheh: 

ta ¼ F 

A 

h 

S = Zylindermantel 

F 

A erf ¼ F 

sz zul 

¼ 

d erf ¼ 20,6 mm 

gewählt: d ¼ 22 mm 

Aerf ¼ F 

pzul 

A ¼ p 

4 ðD2 

¼ 

20 000 N 

60 N 

mm 2 

¼ 333 mm 2 

20 000 N 

15 N 

mm 2 

¼ 1 333 mm 2 ðRingflächeÞ 

d 2 Þ D 2 ¼ 4 

A þ d2 

p 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

4 

Derf ¼ 

p Aerf þ d2 r 

Bohrung angefast: Für d hier 22 mm þ 3mm¼ 25 mm 


4 

Derf ¼ 

p 1 333 þ 252 mm2 s 

¼ 48,2 mm 

gewählt: D ¼ 50 mm 

Aerf ¼ F 

ta zul 

¼ 

20 000 N 

30 N 

mm 2 

¼ 667 mm 2 

A ¼ pdh herf ¼ Serf 667 mm2 

¼ ¼ 9,66 mm 

pd p 22 mm 

gewählt: h ¼ 10 mm 

h 


D 

d+3mm 

d

5.7 Flächenmomente 2. Grades I und Widerstandsmomente W 303 

5.7 Flächenmomente 2. Grades I und Widerstandsmomente W 

Es bleibt selbstverständlich dem Lehrer überlassen, an welcher Stelle er im Stoffplan die Flächenmomente 

2. Grades und die Widerstandsmomente behandelt. Mancher Lehrer wird diesen 

Abschnitt erst einmal auslassen, um mit der Torsionsbeanspruchung und der Herleitung der 

Torsions-Hauptgleichung (5.8.2, Seite 322) einen engeren Bezug zu den Flächenmomenten 

herzustellen. Einige Lehrer sind der Meinung, man sollte auch noch die Biege-Hauptgleichung 

(5.9.4, Seite 330) vor diesen Abschnitt ziehen. 

Zum leichteren Einstieg für den Studierenden wurde der Stoff in Teilschritte zerlegt, und die 

Teilprobleme werden so eingehend behandelt, dass auch das Selbststudium zum Ziel führt. Die 

Aufgabenstellungen in den Ûbungen des Abschnitts 5.7.4, Seite 306 und 5.7.7, Seite 316, können 

den Gruppen zur selbstständigen Lösung vorgelegt werden. 

5.7.1 Gleichmäßige und lineare Spannungsverteilung (Gegenüberstellung) 

Zum Verständnis der Beanspruchungsarten Torsion, 

Biegung und Knickung muss man eine geometrische 

Betrachtung vorausschicken. 

Die bisher bekannten Hauptgleichungen sind alle 

nach dem gleichen Schema aufgebaut: 

Im Zähler des Bruchs steht in allen Fällen die 

Kraft F als statische Größe, im Nenner die Querschnittsfläche 

A als geometrische Größe, weil bei 

diesen vier Beanspruchungsarten jedes Flächenteilchen 

den gleichen Spannungsbetrag zu übertragen 

hat. Anders gesagt: Die Spannung (oder Pressung) 

ist gleichmäßig über dem Querschnitt 

verteilt. 

Das ist bei den Beanspruchungsarten Torsion und 

Biegung anders. Hier haben die Randfasern des 

Querschnitts die größte Spannung zu übertragen. 

(tmax bei Torsion und smax bei Biegung). 

Nach der Querschnittsmitte zu, genauer: zur neutralen 

Faser hin, sinkt die Spannung gleichmäßig 

bis auf null ab. Man spricht dann von einer linearen 

Spannungsverteilung, im Gegensatz zur 

gleichmäßigen Spannungsverteilung bei den Beanspruchungsarten 

Zug, Druck, Abscheren und 

Flächenpressung. 

Aussagebegrenzung: Alle Erläuterungen zur Torsionsbeanspruchung 

gelten nur für Kreis- und Kreisringquerschnitte. 

sz, d ¼ FN 

A 

Zug/Druck- 


p ¼ FN 

A 

ta ¼ Fq 

A 

Abscher- 


sl ¼ F1 

Aproj 

Flächenpressungs-Hauptgleichungen 

Spannungsbild bei Torsions- und Biegebeanspruchung 

(lineare Spannungsverteilung)

304 

5.7.2 Definition der Flächenmomente 2. Grades 

Aus der unterschiedlichen Spannungsverteilung 

gegenüber Zug-, Druck-, Abscher- und Pressungsbeanspruchung 

wird verständlich, dass die Hauptgleichungen 

für Biegung und Torsion nicht ganz 

so einfach aufgebaut sein können, wie die bisher 

bekannten Hauptgleichungen. 

Tatsächlich erscheint in den Herleitungen dieser 

Gleichungen (5.8.2, Seite 322 und 5.9.4, Seite 

330) nicht mehr die Querschnittsfläche als geometrische 

Größe im Nenner, sondern ein Summenausdruck, 

der als Flächenmoment 2. Grades I bezeichnet 

wird. 

Das Flächenmoment für Biegung heißt axiales, 

das für Torsion von Stäben mit Kreis- oder Kreisringquerschnitt 

(Wellen) heißt polares Flächenmoment 

2. Grades. Da beide Flächenmomente aus 

der Herleitung heraus gleichartig aufgebaut sind, 

gilt die folgende Definition: 

Multipliziert man jedes Flächenteilchen DA 

einer Fläche mit dem Quadrat seines Abstandes 

von einem Bezugspunkt oder von einer Bezugsachse 

(r, x, y), dann ergibt die Summe dieser 

Produkte das Flächenmoment zweiten Grades 

I dieser Fläche. 

Bezugsachse ist immer diejenige neutrale Faser 

des Querschnitts, um die gebogen oder verdreht 

wird (x –x, y –y oder 0). 

Aus dieser Definition ergibt sich auch die Einheit 

mm 4 (Fläche mal Abstandsquadrat). 

Beachte: 

Gleichmäßige Spannungsverteilung bei Zug, 

Druck, Abscheren und Flächenpressung. 

Lineare Spannungsverteilung bei Biegung 

und Torsion. 

sb ¼ Mb 

I 

e tt ¼ MT 

Biege- und Torsions-Hauptgleichung in noch 

nicht endgültiger Form (siehe Seite 323 und 

331). 

Ip 

Ix ¼ DA1y1 2 þ DA2y2 2 þ DA3y3 2 þ ...þ DAnyn 2 

Iy ¼ DA1x1 2 þ DA2x2 2 þ DA3x3 2 þ ...þ DAnxn 2 

Ix ¼ SDAy 2 

Iy ¼ SDAx 2 

axiales Flächenmoment 

2. Grades (für Biegung 

und Knickung erforderlich) 


Ip ¼ DA1r1 2 þ DA2r2 2 þ DA3r3 2 þ ...þ DAnrn 2 

Ip ¼ SDA r 2 



r 

polares Flächenmoment 

2. Grades (für Torsion 

von Stäben mit Kreisoder 

Kreisringquerschnitt 

erforderlich) 

ðIÞ ¼ðAÞ ðx, y, rÞ 2 ¼ mm 2 mm 2 ¼ mm 4 

ðIÞ ¼mm 4 

Hinweis: Man geht hier von der Längeneinheit 

mm aus, weil im Maschinenbau und in 

der Feinwerktechnik damit gearbeitet wird. 

Grundsätzlich dürfen auch cm und m benutzt 

werden (cm 4 ,m 4 ).


In den Herleitungen der Abschnitte 5.8.2 (Seite 

322) und 5.9.4 (Seite 330) erscheint außer dem 

Summenausdruck der Quotient Ip/r (bei Torsion) 

und I/e (bei Biegung). Darin sind r und e die 

Randfaserabstände, d. h. die Abstände vom Bezugspunkt 

oder von der Bezugsachse bis zur 

Randfaser. Dieser Quotient heißt 

Widerstandsmoment W ¼ 

Flächenmoment I 

Randfaserabstand r ðoder eÞ 

Am häufigsten werden die Widerstandsmomente 

in Bezug auf die beiden in der Querschnittsfläche 

liegenden Achsen x, y und in Bezug auf die rechtwinklig 

zum Querschnitt stehende 0-Achse gebraucht. 

Nach den Achsen werden sie auch bezeichnet. 

Mit Hilfe der Integralrechnung lassen sich für die 

verschiedenen Querschnittsformen Berechnungsgleichungen 

entwickeln; die wichtigsten sind in 

den Tabellen 5.1 (Seite 309) und 5.2 (Seite 311) 

zusammengestellt. Für genormte Profile (Winkel-, 

I-Profil usw.) enthalten die Profilstahltabellen ausgerechnete 

Werte für Flächenmomente I und Widerstandsmomente 

W. 

5.7.3 Herleitungsübung 

Um das Verständnis für das Flächenmoment zu 

vertiefen, wird erst einmal versucht, eine Berechnungsgleichung 

für das Flächenmoment Ix eines 

Rechteckquerschnitts ohne Integralrechnung zu 

entwickeln. Bezugsachse soll also die waagerecht 

im Rechteckquerschnitt liegende x-Achse sein. 

Was bei dieser Untersuchung herauskommen 

muss, kann aus Tabelle 5.1, Seite 309, abgelesen 

werden: In Bezug auf die dort eingezeichnete 

waagerechte Achse muss I ¼ bh 3 =12 sein. 

Randfaserabstand e und r 

Wx ¼ Ix 

W ¼ I 

e 

Wp ¼ Ip 

r 

ex 

Wy ¼ Iy 

ey 

Wp ¼ Ip 

r 

W, Wp I, Ip e, r 

mm 3 mm 4 mm 


in Bezug auf die x-Achse 


in Bezug auf die y-Achse 

polares Widerstandsmoment 

in Bezug auf die Verdrehachse 

0 (gilt nur für Kreisoder 

Kreisringquerschnitt) 

Gegebener Rechteckquerschnitt bh, zerlegt 

in Flächenstreifen DA parallel zur x-Achse.

306 

Lösung: Die Rechteckfläche von der Breite b und 

der Höhe h wird in 8 Flächenstreifen gleicher Höhe 

zerlegt, deren Flächeninhalt dann DA ¼ bh=8 

beträgt. Die mittleren Abstände der Flächenstreifen 

von der Bezugsachse x drückt man als Bruchteile 

der Gesamthöhe h aus und bildet die Produkte 

aus Flächenteilchen DA und zugehörigem Abstandsquadrat. 

DA1y1 2 ¼ bh 

8 

DA2y2 2 ¼ bh 

8 

DA3y3 2 ¼ bh 

8 

DA4y4 2 ¼ bh 

8 

1 

16 h 

3 

16 h 

5 

16 h 

7 

16 h 

Die Definitionsgleichung weist den weiteren Weg: Gemäß Ix ¼ SDAy 2 summiert man die 

Produkte aus Flächenteilchen DA und Abstandsquadrat und rechnet die bestimmten Zahlen aus: 

Ix ¼ SDAy 2 ¼ðDA1 y1 2 þ DA2 y2 2 þ DA3 y3 2 þ DA4 y4 2 Þ 2 

Ausgerechnet ergibt das: 

Ix ¼ bh 1 

8 256 h2 þ bh 9 

8 256 h2 þ bh 25 

8 256 h2 þ bh 49 

8 256 h2 

Ix ¼ 2 bh 

8 

h2 bh3 

ð1 þ 9 þ 25 þ 49Þ ¼ 

256 12,2 

2 

2 

2 

2 

2 

Beachte: Jedes Flächenteilchen 

DA1, DA2, DA3, 

DA4 ist oberhalb und 

unterhalb der x-Achse 

vorhanden, erscheint 

also zweimal in der 

Rechnung. 

Der Vergleich mit der Gleichung in Tabelle 5.1, Seite 309 (Ix ¼ bh 3 =12) zeigt, dass schon die 

grobe Aufteilung des Querschnitts dicht an den richtigen Wert im Nenner heranführt (12,2 statt 

12). Auf gleiche Weise können sämtliche Gleichungen der Tabellen 5.1 und 5.2 genügend 

genau entwickelt werden. Allerdings führt die Integralrechnung schneller zum genauen Ergebnis. 

5.7.4 Ûbungen mit Flächen- und Widerstandsmomenten einfacher Querschnitte 

1. Ûbung: Für eine Welle von 60 mm Durchmesser 

sollen die axialen und polaren Flächen- und 

Widerstandsmomente berechnet werden. 

Die erforderlichen Gleichungen stehen in den Tabellen 

5.1 und 5.2 ab Seite 309. 

Lösung: Wegen der Querschnittssymmetrie sind 

die axialen Flächenmomente Ix, Iy und die zugehörigen 

Widerstandsmomente Wx, Wy, jeweils gleich 

groß. 

Die axialen Widerstandsmomente Wx und Wy können 

auch einfacher aus den vorher berechneten 

Flächenmomenten bestimmt werden, wenn man 

sich daran erinnert, dass allgemein W ¼ I=e ist 

(e Randfaserabstand). 

Gegeben: 

Wellendurchmesser d ¼ 60 mm 

Gesucht: 

Ix, Wx, Iy, Wy, Ip, Wp 

Ix ¼ Iy ¼ pd4 

64 ¼ 63,6 104 mm 4 

Wx ¼ Wy ¼ pd3 

32 ¼ 21,2 103 mm 3 

Wx ¼ Ix Ix 

¼ 

e ðd=2Þ ¼ 21, 2 103 mm 3 

Wy ¼ Iy 

e 

wie vorher 

5 Festigkeitslehre


Ein Vergleich der Ergebnisse und auch der Gleichungen 

aus den Tabellen 5.1 und 5.2 zeigt: 

Die polaren Flächen- und Widerstandsmomente 

(Ip, Wp) sind beim Kreisquerschnitt und beim 

Kreisringquerschnitt doppelt so groß wie die 

axialen Widerstandsmomente (I, W ). 

2. Ûbung: Für eine Hohlwelle von 60 mm Außenund 

40 mm Innendurchmesser sollen wie in der 

ersten Ûbung die axialen und polaren Flächenund 

Widerstandsmomente bestimmt werden. 

Lösung: Die axialen Flächen- und Widerstandsmomente 

sind auch hier wegen der Querschnittssymmetrie 

für jede Schwerachse jeweils gleich 

groß, so dass man sie einfach mit I und W bezeichnen 

kann. 

Auch hier erkennt man wieder, dass die polaren 

Flächenmomente doppelt so groß sind wie die 

axialen, so dass Ip und Wp noch einfacher hätte berechnet 

werden können (Ip ¼ 2I und Wp ¼ 2W). 

3. Ûbung: Für einen Holzbalken mit Rechteckquerschnitt 

von 180 mm Höhe und 90 mm Breite 

sollen die axialen Flächenmomente 2. Grades 

bestimmt werden. Wird nichts anderes gesagt, 

gelten als Bezugsachsen die beiden rechtwinklig 

aufeinander stehenden „Hauptachsen“ (x- und 

y-Achse). 

Lösung: Die axialen Flächenmomente sind ein 

Maß für die Steifigkeit des Querschnitts gegen 

Biegung oder Knickung. Der Balken ist „hochkant“ 

schwerer zu biegen (Ix ¼ 43,74 10 6 mm 4 ) 

als „flachkant“ (Iy ¼ 10,94 10 6 mm 4 ). Bei Knickbeanspruchung 

würde er nach der Seite mit dem 

geringsten I ausknicken, also flachkant (um die 

y-Achse), weil Iy < Ix ist. 

Ip ¼ 

4 pd p 

¼ 

32 32 ð60 mmÞ4 ¼ 127,2 10 4 mm 4 

Wp ¼ pd3 p 

¼ 

16 16 ð60 mmÞ3 ¼ 42,4 10 3 mm 3 

oder einfacher wie beim axialen Widerstandsmoment: 

Wp ¼ Ip 

r ¼ 127,2 104 mm4 ¼ 42,4 10 

30 mm 

3 mm 3 

Gegeben: 

D ¼ da ¼ 60 mm, d ¼ di ¼ 40 mm 

Gesucht: 

Ix, Iy, Ip, Wx, Wy, Wp 

I ¼ p 

64 ðD4 

I ¼ 51,1 10 4 mm 4 

d 4 Þ¼ p 

64 ð604 

40 4 Þ mm 4 

W ¼ I 

ðD=2Þ ¼ 51,1 104 mm4 ¼ 17 10 

30 mm 

3 mm 3 

Ip ¼ p 4 

ðda 

32 

Ip ¼ 102,1 10 4 mm 4 

di 4 Þ¼ p 

32 ð604 

40 4 Þ mm 4 

Wp ¼ Ip 

ðda=2Þ ¼ 102,1 104 mm4 ¼ 34 10 

30 mm 

3 mm 3 

Gegeben: 

Rechteckquerschnitt mit h ¼ 180 mm, 

b ¼ 90 mm 

Gesucht: 

Ix, Wx, Iy, Wy 

Ix ¼ bh3 

12 ¼ 43,74 106 mm 4 

Wx ¼ Ix 

e ¼ 48,6 104 mm 3 

Iy ¼ hb3 

12 ¼ 10,94 106 mm 4 

Wy ¼ Iy 

e ¼ 24,3 104 mm 3

308 

4. Ûbung: Für den skizzierten Querschnitt 

(H-Profil) sollen die axialen Flächenmomente um 

die x- und y-Achse berechnet werden, damit festgelegt 

werden kann, um welche Achse ein Balken 

mit diesem Querschnitt die größere Biege- und 

Knicksteifigkeit besitzt. 

Lösung: Man benutzt die Gleichungen aus Tabelle 5.1 von Seite 310 zur Bestimmung von Ix 

und Iy und erkennt aus den Ergebnissen: 

Die größere Steifigkeit gegen Biegung und Knickung besitzt ein Balken dieses Querschnitts 

um die y-Achse (Iy > Ix). Bei Knickung würde er um die x-Achse ausknicken, weil Ix < Iy ist. 

Ix ¼ BH3 þ bh 3 

12 

Ix ¼ 17,19 10 6 mm 4 

¼ 60 mm ð150 mmÞ3 þ 140 mm ð30 mmÞ 3 

12 

Wx ¼ Ix 

e ¼ 17,19 106 mm4 ¼ 22,92 10 

75 mm 

4 mm 3 

Iy ¼ BH3 bh 3 

12 

Iy ¼ 72,56 10 6 mm 4 

150 mm ð200 mmÞ3 120 mm ð140 mmÞ 

¼ 3 

12 

Wy ¼ Iy 

e ¼ 72,56 106 mm4 ¼ 72,56 10 

100 mm 

4 mm 3 

Beachte: 

Flächenmomente I (nicht 

Widerstandsmomente W)von 

Teilflächen dürfen dann addiert 

oder subtrahiert werden, 

wenn sich die Schwerachsen 

der Teilflächen mit der Bezugsachse 

des Querschnitts 

decken. Das lässt sich hier sowohl 

für Ix als auch für Iy 

durch eine entsprechende Zerlegung 

der Gesamtfläche erreichen. 

Das Vorgehen wird 

im folgenden Abschnitt 5.7.5 

auf Seite 312 erläutert. 

5. Ûbung: Zur Ûbung im Auswerten von Tabellen sollen die Flächenmomente 2. Grades gegen 

Biegung und Knickung und die Widerstandsmomente aus den Profilstahltabellen herausgesucht 

werden (siehe Formelsammlung). 

Lösung: 

IPE 100 A¼ 1030 mm2 Ix ¼ 171 104 mm4 Wx ¼ 34,2 103 mm3 Iy ¼ 15,9 10 4 mm 4 Wy ¼ 5,79 10 3 mm 3 

größter Widerstand gegen Biegung und Knickung also um die x-Achse. 

U 100 A¼ 1350 mm 2 Ix ¼ 206 10 4 mm 4 Wx ¼ 41,2 10 3 mm 3 

Iy ¼ 29,3 10 4 mm 4 Wy1 ¼ 18,9 10 3 mm 3 

Wy2 ¼ 8,49 10 3 mm 3 

L 60 6 A¼ 691 mm 2 Ix ¼ 22,8 10 4 mm 4 Wx1 ¼ 13,5 10 3 mm 3 

Wx2 ¼ 5,29 10 3 mm 3 

5 Festigkeitslehre


Tabelle 5.1 Axiale Flächenmomente 2. Grades I, Widerstandsmomente W und Trägheitsradius i 

für Biegung und Knickung 

Ix ¼ bh3 

12 

Wx ¼ bh2 

6 

ix ¼ 0,289 h 

I ¼ 5 

pffiffi 

3 

Iy ¼ hb3 

12 

Wy ¼ hb2 

6 

iy ¼ 0,289 b 

16 s4 ¼ 0,5413s 4 

W ¼ 0,5413s 3 

i ¼ 0,456s 

I ¼ 6b2 þ 6bb1 þ b1 2 

36 ð2b þ b1Þ 

W ¼ 6b2 þ 6bb1 þ b1 2 

12 ð3b þ 2b1Þ 

e ¼ 1 

3 

4 pd 

I ¼ 

64 

W ¼ pd3 

32 

i ¼ d 

4 

Ix ¼ pa3b 4 

Wx ¼ pa2b 4 

ix ¼ a 

2 

3b þ 2b1 

2b þ b1 

d 4 

20 

d 3 

10 

Ix ¼ 0,0068d 4 

Wx1 ¼ 0,0238d 3 

Wy ¼ 0,049d 3 

Ix ¼ 0,1098 ðR 4 

Iy ¼ p R 4 r 4 

8 

h 

h 3 

h 2 

Iy ¼ pb3a 4 

Wy ¼ pb2a 4 

iy ¼ b 

2 

Iy ¼ 0,0245d 4 

Wx2 ¼ 0,0323d 3 

ix ¼ 0,132d 

r 4 Þ 0,283R 2 2 R r 

r 

R þ r 

Wy ¼ p ðR 4 r 4 Þ 

8R 

Ix ¼ Iy ¼ ID ¼ h4 

12 

Wx ¼ Wy ¼ h3 

6 

i ¼ 0,289 h 

I ¼ 5 

pffiffi 

3 

pffiffi h 

WD ¼ 2 

3 

12 

16 s4 ¼ 0,5413s 4 

W ¼ 5 

8 s 3 ¼ 0,625s 3 

i ¼ 0,456s 

I ¼ ah3 

36 

W ¼ ah2 

24 

I ¼ p 

64 ðD4 

e ¼ 2 

3 h 

i ¼ 0,236 h 

d 4 Þ 

W ¼ p D 

32 

4 d 4 

D 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

i ¼ 0,25 D 2 þ d 2 

p 

Ix ¼ p 

4 ða3b a1 3 b1Þ 

Ix 

p 

4 a2d ða þ 3bÞ 

W ¼ Ix 

a 

e1 ¼ 4r 

¼ 0,4244r 

3p 

Wx1 ¼ Ix 

e1 

Wx2 ¼ Ix 

e2 

p 

4 

ad ða þ 3bÞ 

e1 ¼ 2 ðD 3 d 3 Þ 

3p ðD 2 d 2 Þ

310 

Fortsetzung Tabelle 5.1 

Ix ¼ b 

12 ðH3 h 3 Þ 

Wx ¼ b 

6H ðH3 h 3 Þ 


ix ¼ 

H3 h3 s 

12 ðH hÞ 

I ¼ bðh3 h1 3Þþb1ðh1 3 h2 3 12 

Þ 

W ¼ bðh3 h1 3Þþb1ðh1 3 h2 3 6h 

Þ 

I ¼ BH3 þ bh3 12 

W ¼ BH3 þ bh3 6H 

I ¼ BH3 bh3 12 

W ¼ BH3 bh3 6H 

I ¼ 1 

3 

e1 ¼ 1 

2 

ðBe1 3 

e2 ¼ H e1 

I ¼ 1 

3 

e1 ¼ 1 

2 

aH 2 þ bd 2 

aH þ bd 

ðBe1 3 

e2 ¼ H e1 

bh 3 þ ae2 3 Þ 

bh 3 þ B1e2 3 

3 b 

Iy ¼ ðH 

12 

hÞ 

2 b 

Wy ¼ ðH 

6 

hÞ 

iy ¼ 0,289b 

b1h1 3 Þ 

aH 2 þ bd 2 þ b1 d1 ð2H d1Þ 

aH þ bd þ b1d1 

5 Festigkeitslehre


Tabelle 5.2 Polare Flächenmomente 2. Grades Ip und Widerstandsmomente Wp für Torsion 1) 

Querschnitt 

Widerstandsmoment 

Wp 

Wp ¼ p 

16 d3 d 3 

5 

Wp ¼ p 

16 

ha 

ba 

hi 

da 4 di 4 

da 

Wt ¼ p 

16 nb3 

h 

¼ n > 1 

b 

¼ hi 

¼ n > 1 

bi 

¼ 

ha 

bi 

¼ a < 1 

ba 

Wt ¼ p 

16 nba 3 ð1 a 4 Þ 

Flächenmoment 

Ip 

Ip ¼ p 4 d 

d 

32 

Ip ¼ p 4 

ðda 

32 

It ¼ p 

16 

It ¼ p 

16 

4 

10 

n 3 b 4 

n 2 þ 1 

n 3 

n 2 þ 1 

di 4 Þ 

ba 4 ð1 a 4 Þ 

Wt ¼ 0,208a 3 It ¼ 0,14a 4 ¼ a4 

7,1 

Wt ¼ 0,05b 3 ¼ pffiffi 

7,5 3 

3 h 2It 

Wt ¼ ¼ 

13 h 

h 3 

pffiffiffi 

15 3 

It ¼ h4 

It ¼ b4 

46,2 

Bemerkung 

größte Spannung 

in allen Punkten des 

Umfanges 

größte Spannung 

in allen Punkten des 

Umfanges 

in den Endpunkten der 

kleinen Achse: 

ttmax¼ MT 

Wt 


großen Achse: 

tt ¼ ttmax 

n 


kleinen Achse: ttmax 


großen Achse: 

tt ¼ ttmax 

n 

in der Mitte der Seite: 

ttmax 

in den Ecken: tt ¼ 0 

in der Mitte der Seite: 

ttmax 

in den Ecken: tt ¼ 0 

1) Der Torsion nicht kreisförmiger Querschnitte liegen andere schwierigere Gleichungen zugrunde als beim 

Kreis- oder Kreisringquerschnitt. Zur klaren Unterscheidung werden benannt: It Torsionsflächenmoment, Wt 

Torsionswiderstandsmoment. Es gelten die Gleichungen: Torsionsspannung ttmax¼ MT=Wt; Verdrehwinkel 

j ¼ MTl=ðGItÞ.

312 

5.7.5 Axiale Flächenmomente 2. Grades symmetrischer Querschnitte 

Lassen sich Querschnitte derart in Teilflächen zerlegen, dass alle Teilschwerachsen mit der 

Gesamtschwerachse zusammenfallen, dann kann das Flächenmoment 2. Grades des Gesamtquerschnitts 

aus der Summe oder Differenz der Teilflächenmomente berechnet werden. 

Anders ausgedrückt: 

Flächenmomente 2. Grades dürfen addiert und subtrahiert werden, wenn Teil- und Gesamtschwerachse 

zusammenfallen. 

Widerstandsmomete dürfen keinesfalls addiert oder subtrahiert werden. 

Man kann sich am Beispiel eines H-Profils klarmachen, wie vorzugehen ist. Das Profil lässt 

sich in drei Teilflächen zerlegen, deren Teilschwerachsen mit der Gesamtschwerachse x –x zusammenfallen. 

Gesamtflächenmoment 

2. Grades als Summe von 

Teilflächenmomenten 

Nun wird das Gesamtflächenmoment einfach aus der Summe der Teilflächenmomente berechnet. 

Die Teilflächen sind Rechtecke, für die I ¼ bh 3 =12 gilt (Tabelle 5.1, Seite 309): 

Ix ¼ 2I1 þ I2 ¼ 2 

30 mm ð150 mmÞ3 

12 

Wx ¼ Ix 

e ¼ 17,19 106 mm4 ¼ 22,92 10 

75 mm 

4 mm 3 

140 mm ð30 mmÞ3 

þ ¼ 17,19 10 

12 

6 mm 4 


Auch das axiale Flächenmoment des Querschnitts für die y-Achse lässt sich so bestimmen. 

Zur besseren Ûbersicht dreht man für die Rechnung den Querschnitt um 90 . 

Gesamtflächenmoment 

2. Grades als Differenz von 

Teilflächenmomenten


Wie vorher wird der Rechengang aus dem Bild der Teilflächen abgelesen, das heißt, man subtrahiert 

vom Teilflächenmoment I1 das doppelte Teilflächenmoment I2: 

Iy ¼ I1 2I2 ¼ 

150 mm ð200 mmÞ3 

12 

Wy ¼ Iy 

e ¼ 72,56 106 mm4 ¼ 72,56 10 

100 mm 

4 mm 3 

2 

60 mm ð140 mmÞ3 

12 

¼ 72,56 10 6 mm 4 

In der folgenden Bildtafel sind andere symmetrische Querschnitte so zerlegt, dass die Teilschwerachsen 

mit der Gesamtschwerachse zusammenfallen. Das Gesamtflächenmoment 

2. Grades kann dann als Summe oder Differenz der Teilflächenmomente berechnet werden. 

5.7.6 Axiale Flächenmomente 2. Grades unsymmetrischer Querschnitte 

(Steiner’scher Verschiebesatz) 

Zerlegt man die skizzierten unsymmetrischen 

Querschnitte in die Teilflächen A1 und A2, dann 

fällt auf, dass die Schwerachsen der Teilflächen 

(x1 x1 und x2 x2) nicht mit der Gesamtschwerachse 

x –x zusammenfallen. Beim Winkelprofil 

gilt das auch für die Achse y –y. Die Schwerachsen 

aller Teilflächen sind gegenüber den Gesamtschwerachsen 

um die Längen l parallel verschoben. 

Daher dürfen hier die Teilflächenmomente 2. Grades 

nicht einfach addiert werden, wie bei den 

Querschnitten in Abschnitt 5.7.5 auf Seite 312. 

Die Vorgehensweise in solchen Fällen kann am 

Beispiel des T-Profils gelernt werden. Dabei soll 

man aus dem speziellen Beispiel eine allgemein 

gültige Beziehung entwickeln. 

Profile mit gleichen 

Gesamt- und 

Teilschwerachsen 

Teil- und Gesamtschwerachsen unsymmetrischer 

zusammengesetzter Querschnitte

314 

5.7.6.1 Erste Herleitung des Steiner’schen Satzes 1) 

Für ein T-Profil soll das axiale Flächenmoment Ix 

für die Gesamtschwerachse x –x ermittelt werden. 

Das Problem wird vereinfacht, indem nur die Teilfläche 

A1 betrachtet wird. Deren Teilschwerachse 

x1 x1 liegt um die Länge l1 gegenüber der Gesamtschwerachse 

parallel verschoben. Erinnerung: 

Das Flächenmomet Ix1 der Teilfläche A1 in Bezug 

auf die Teilschwerachse x1 x1 ist bekannt; mit 

Ix1 ¼ bh 3 =12 könnte man es sofort berechnen. Es 

wird aber eine Gleichung gesucht, in der das Flächenmoment 

der Teilfläche A1 auf die Gesamtschwerachse 

x x bezogen ist. 

Das erreicht man mit dem folgenden Kunstgriff. 

Es wird ein zur Achse x x symmetrisches Profil 

gebildet, indem man die obere Teilfläche A1 noch 

einmal unterhalb der x-Achse ansetzt. Dann kann 

man nach Abschnitt 5.7.5, Seite 312, vorgehen 

und das Gesamtflächenmomemt in Bezug auf die 

x-Achse mit den allgemeinen Bezeichnungen bestimmen. 

Man subtrahiert vom Flächenmoment 

der aus bH gebildeten Rechteckfläche das Flächenmoment 

der Rechteckfläche bðH 2hÞ; 

(beide Schwerachsen decken sich). Dieses Flächenmoment 

muss doppelt so groß sein wie das 

von nur einer Teilfläche A1 gebildete Flächenmoment 

Ix, da die beiden Teilflächen A1 symmetrisch 

zur x-Achse liegen. Es kann also Ixges ¼ 2Ix gesetzt 

werden. 

Mit der bekannten Gleichung zur Berechnung des 

Flächenmomentes von Rechteckquerschnitten findet 

man die Ausgangsbeziehung, in die man für 

die Höhe H die Beziehung H ¼ 2l1 þ h einführt 

(siehe Skizze). 

Die Differenz der Potenzausdrücke 

ð2l1 þ hÞ 3 

ð2l1 hÞ 3 

wird gesondert berechnet und das Ergebnis eingesetzt. 

1) Jakob Steiner, Schweizer Mathematiker, 1796 –1863. 

Ixges ¼ 2Ix ¼ bH3 

12 

2Ix ¼ bð2l1 þ hÞ 3 

12 

bðH 2hÞ 3 

12 

b ð2l1 þ h 2hÞ 3 

12 

2Ix ¼ b½ð2l1 þ hÞ 3 

ð2l1 hÞ 3 Š 

12 

ð2l1 þ hÞ 3 


ð2l1 hÞ 3 ¼ 24hl1 2 þ 2h 3


Nach der Ausrechnung erhält man rechts vom 

Gleichheitszeichen eine Summe. Diese kann mit 

bh ¼ A1 vereinfacht werden. Darüber hinaus ist 

bekannt, dass bh 3 =12 das axiale Flächenmoment 

Ix1 der Teilfläche A1 in Bezug auf die eigene 

Schwerachse x1 x1 ist. Damit wurde der Verschiebesatz 

von Steiner gefunden: 

Das axiale Flächenmoment 2. Grades Ix einer 

Teilfläche A1 in Bezug auf eine zur Schwerachse 

um den Abstand l1 parallel verschobene Achse 

ist gleich dem Flächenmoment Ix1 der Teilfläche 

in Bezug auf deren Schwerachse, vemehrt um 

das Produkt aus der Teilfläche A1 und dem 

Abstandsquadrat l1 2 . 

Häufig muss mit mehreren Teilflächen A1, A2 ... 

gerechnet werden, deren Teilschwerachsen die Abstände 

l1, l2 ... von der Bezugsachse haben. Dazu 

schreibt man den Steiner’schen Satz in allgemeiner 

Form. I1, I2 ... sind die Flächenmomente 2. Grades 

der Teilflächen in Bezug auf die eigene Teilschwerachse. 

Sie werden mit den Gleichungen aus 

Tabelle 5.1, Seite 309, berechnet. 

2Ix ¼ bð24hl1 2 þ 2h3Þ ¼ 

12 

24bhl1 2 þ 2bh3 12 

Ix ¼ bhl1 2 þ bh3 

12 

Ix ¼ A1 l1 2 þ Ix1 

Ix ¼ Ix1 þ A1l1 2 Verschiebesatz 

von Steiner 

Ix Flächenmoment für parallele Achse x –x 

Ix1 Flächenmoment der Teilfläche in Bezug 

auf die eigene Schwerachse x1 x1 

A1 Flächeninhalt der Teilfläche 

l1 Abstand der parallelen Achsen 

I ¼ I1 þ A1l1 2 þ I2 þ A2l2 2 þ ...þ In þ Anln 2 

Verschiebesatz von Steiner 

Beachte: Fallen Teilschwerachsen und 

Bezugsachse zusammen, dann sind die 

Abstände l1, l2 ...gleich null, und es wird 

I ¼ I1 þ I2 þ ...þ In, d. h. die Teilflächenmomente 

2. Grades werden einfach addiert 

(siehe Tabelle 5.7.5, Seite 312). 

5.7.6.2 Zweite Herleitung des Steiner’schen Satzes 

Gesucht wird wieder eine Beziehung zur Berechnung 

des Flächenmomentes 2. Grades Ix einer 

Teilfläche A1 in Bezug auf eine zur Teilschwerachse 

x1 x1 parallel um den Abstand l1 verschobene 

Achse x x. Das Flächenmoment Ix1 der Teilfläche 

wird als bekannt vorausgesetzt (Tabelle 5.1, 

Seite 309). Man beginnt die Entwicklung mit der 

Lösungsskizze 

für alle Achsen gültigen allgemeinen Definitionsgleichung: 

Als „Abstandsquadrat“ wird hier ðl1 þ yÞ 2 einge- Ix ¼ SDA ðl1 þ yÞ 

setzt. Nach der Ausrechnung erhält man eine Summe 

von drei Gliedern. Die konstanten Größen werden 

vor das Summenzeichen geschrieben. 

2 

Ix ¼ SDA ðl1 2 þ 2l1 y þ y 2 Þ 

Ix ¼ SDAl1 2 þ SDA2l1 y þ SDAy 2 

Ix ¼ l1 2 SDA þ 2l1 SDAyþ SDAy 2 

Das erste Glied ergibt das Produkt aus dem 

Abstandsquadrat und der Teilfläche, weil 

SDA ¼ A1 ist. 

l1 2 SDA ¼ l1 2 A1

316 

Das zweite Glied ist gleich null, denn der Faktor 

SDAy stellt die Summe der Flächenmomente 

1. Grades aller Flächenteilchen DA in Bezug auf 

die Achse x1 x1 dar. Da das die Schwerachse der 

Fläche A1 ist, wird y0 ¼ 0 und damit auch das 

Produkt A1y0. 

Das dritte Glied ist das axiale Flächenmoment Ix1 

der Teilfläche A1, bezogen auf die Teilschwerachse 

x1 x1. 

Damit erhält man zum Schluss die gleiche Form 

für den Steiner’schen Satz wie in der ersten Herleitung 

über den speziellen Fall auf Seite 314. 

2l1SDAy ¼ 2l1A1y0 ¼ 0 

Beachte: Das Produkt aus einer Fläche A und 

ihrem Schwerpunktsabstand x oder y von 

einer Bezugsachse heißt Flächenmoment 

1. Grades (siehe Schwerpunktslehre 2.2.1, 

ab Seite 77). 

SDAy 2 ¼ Ix1 

Ix ¼ Ix1 þ A1l1 2 

5.7.6.3 Arbeitsplan zur Berechnung axialer Flächenmomente 2. Grades 

Querschnitt in Teilflächen A1, A2 ... zerlegen und deren Flächenschwerpunkte 

S1, S2 ...bestimmen. 

Abstände l1, l2 ...der Teilschwerachsen von der Bezugsachse für das Flächenmoment 

festlegen. 

Flächenmomente I1, I2 ...der Teilflächen A1, A2 ...nach Tabelle 5.1 

(Seite 309) berechnen. 

Flächeninhalte der Teilflächen und die Quadrate der Abstände (l1 2 , l2 2 ...) 

berechnen. 


von Steiner 

5.7.7 Ûbungen mit Flächen- und Widerstandsmomenten zusammengesetzter 

Querschnitte 

1. Ûbung: Für das skizzierte Winkelprofil soll das 

axiale Flächenmoment 2. Grades für die Profilschwerachse 

x x bestimmt werden. 

Nach dem Lösungsplan zerlegt man den Querschnitt 

in die Teilflächen A1 und A2. Die Lage der 

Teilschwerpunkte ergibt sich aus den gegebenen 

Längenmaßen, ebenso die Abstände l1, l2. 


1. Schritt 

2. Schritt 

3. Schritt 

4. Schritt 

Steiner’schen Satz aufstellen und ausrechnen. 5. Schritt


Lösung: 

Ix ¼ I1 þ A1l1 2 þ I2 þ A2l2 2 

Ix ¼ð0,75 þ 144 þ 229 þ 87,5Þ 10 4 mm 4 

Ix ¼ 461,25 10 4 mm 4 

Aus dem Flächenmoment Ix erhält man die beiden 

axialen Widerstandsmomente Wx1 und Wx2. 

2. Ûbung: Da der Steiner’sche Satz für beliebige 

parallele Achsen gilt, kann das axiale Flächenmoment 

des Winkelprofils aus der 1. Ûbung auch für 

die Achse N –N bestimmt werden. 

Die Schwerpunkte SP1 und SP2 der Teilflächen 

sind festgelegt, ebenso die Abstände der Teilschwerachsen 

von der Bezugsachse N –N mit 

l1 ¼ 5mmundl2 ¼ 70 mm. 

Lösung: 

IN ¼ I1 þ A1l1 2 þ I2 þ A2l2 2 

IN ¼ð0,75 þ 9 0,25 þ 229 þ 14 49Þ 10 4 mm 4 

IN ¼ 918 10 4 mm 4 

Nebenrechnung: 

I1 ¼ bh3 90 mm ð10 mmÞ3 

¼ ¼ 

12 12 

¼ 0,75 10 4 mm 4 

A1 ¼ bh ¼ 900 mm 2 ; l1 ¼ 40 mm 

I2 ¼ bh3 10 mm ð140 mmÞ3 

¼ ¼ 

12 12 

¼ 229 10 4 mm 4 

A2 ¼ bh ¼ 1400 mm 2 ; l2 ¼ 25 mm 

¼ 

e1 

461,25 104mm4 45 mm 

¼ 10,25 10 4 mm 3 

Wx1 ¼ Ix 

¼ 

e2 

461,25 104 mm4 95 mm 

¼ 4,86 10 4 mm 3 

Wx2 ¼ Ix 

Nebenrechnung: 

I1 ¼ bh3 

12 ¼ 0,75 104 mm 4 

A1 ¼ bh ¼ 9 10 2 mm 2 

¼ 

¼ 

l1 2 ¼ð5mmÞ 2 ¼ 0,25 10 2 mm 2 

I2 ¼ bh3 

12 ¼ 229 104 mm 4 

A2 ¼ bh ¼ 14 10 2 mm 2 

l2 2 ¼ð70 mmÞ 2 ¼ 49 10 2 mm 2

318 

3. Ûbung: Zu bestimmen sind das axiale Flächenmoment 

Ix und die Widerstandsmomente Wx1, Wx2 

für den skizzierten zusammengesetzten Querschnitt. 

Lösung: Es werden Fehler vermieden, wenn man 

sich eine kleine Ûbersicht zusammenstellt, etwa in 

der Form: 

Teilfläche A 

in mm 2 

1 

2 

204,7 10 2 

100 10 2 

Gesamt 304,7 10 2 

e 

in mm 

200 

412,5 

l 

in mm 

70 

142,5 

l 2 

in mm 2 

49 10 2 

203 10 2 

Die Teilschwerpunkte SP1 und SP2 liegen im Abstand 

e1 und e2 von der unteren Kante (¼ Bezugsachse 

für die Schwerpunktsbestimmung) entfernt. 

Die Lage des Gesamtschwerpunktes SP berechnet 

man nach 2.2.3.1, Seite 77. Als Bezugsachse wird 

die Unterkante des Querschnitts benutzt. 

Mit e0 kann man die Abstände der Teilschwerachsen 

von der Bezugskante x –x bestimmen. 

Nun lassen sich die Flächenmomente I1 und I2 der 

Teilflächen in Bezug auf ihre Schwerachsen berechnen. 

Zur Berechnung von I1 wird nach 5.7.5, 

ab Seite 312, vorgegangen. 

Es sind nun alle Größen vorhanden, die zur Berechnung 

des Flächenmomentes Ix gebraucht werden. 

Damit stellt man wieder den Steiner’schen 

Satz auf. 

Zum Schluss werden die beiden axialen Widerstandsmomente 

Wx1 und Wx2 berechnet. Der äußere Randfaserabstand 

für Wx1 ist die Länge e0 ¼ 270 mm, 

für Wx2 dagegen 425 mm e0 ¼ 155 mm. 

I 

in mm 4 

59 556 10 4 

52 10 4 

400 mm 

e1 ¼ ¼ 200 mm 

2 

e2 ¼ð400 þ 12,5Þ mm ¼ 412,5 mm 

e0 ¼ A1e1 þ A2e2 

¼ 270 mm 

A1 þ A2 

l1 ¼ e0 e1 ¼ 70 mm ; l1 2 ¼ 49 10 2 mm 2 

l2 ¼ e2 e0 ¼ 142,5 mm ; l2 2 ¼ 203 10 2 mm 2 

300 mm ð400 mmÞ3 

I1 ¼ 

12 

I1 ¼ 59 556 10 4 mm 4 

2 

143 mm ð348 mmÞ3 

12 

400 mm ð25 mmÞ3 

I2 ¼ ¼ 52 10 

12 

4 mm 4 

Ix ¼ I1 þ A1l1 2 þ I2 þ A2l2 2 

Ix ¼ð59 556þ204,7 49þ52þ100 203Þ 10 4 mm 4 

Ix ¼ 89 938 10 4 mm 4 

Wx1 ¼ Ix 

Wx2 ¼ 

e0 

¼ 89 938 104 mm 4 

270 mm 

Ix 


9 10 8 mm 4 

¼ 3331 10 3 mm 3 

¼ 5802 10 

425 mm e0 

3 mm 3


4. Ûbung: Für den skizzierten unsymmetrischen 

Querschnitt sollen die Flächen- und Widerstandsmomente 

berechnet werden. 

Lösung für die x-Achse: Man denkt sich den 

Querschnitt entstanden aus der vollen Rechteckfläche 

(200 300) mm2 abzüglich der Hohlraumfläche 

(160 150) mm2 , also A ¼ A1 A2. Mit 

dieser Ûberlegung berechnet man sowohl die 

Schwerpunktslage (e0) als auch die Flächenmomente 

2. Grades. Es wird mit der Schwerpunktsberechnung 

begonnen: 

Unsymmetrischer Querschnitt mit Hohlraum 

Ae0 ¼ A1 150 mm A2 175 mm ðMomentensatz für Flächen nach 2:2:3:1, Seite 80Þ 

A1 ¼ð200 300Þ mm 2 ¼ 600 10 2 mm 2 ; A2 ¼ð160 150Þ mm 2 ¼ 240 10 2 mm 2 

A ¼ A1 A2 ¼ð600 240Þ 10 2 mm 2 ¼ 360 10 2 mm 2 

e0 ¼ 600 102 mm 2 1,5 10 2 mm 240 10 2 mm 2 1,75 10 2 mm 

360 10 2 mm 2 

¼ 900 104 mm 3 420 10 4 mm 3 

3,6 10 4 mm 2 

e0 ¼ 133 mm 

l1 ¼ 150 mm e0 ¼ 17mm ; l1 2 ¼ 2,89 10 2 mm 2 ; l2 ¼ 175mm e0 ¼ 42mm 

l2 2 ¼ 17,6 10 2 mm 2 

200 mm ð300 mmÞ3 

I1 ¼ ¼ 45 000 10 

12 

4 mm 4 160 mm ð150 mmÞ3 

; I2 ¼ ¼ 4500 10 

12 

4 mm 4 

Ix ¼ I1 þ A1l1 2 

ðI2 þ A2l2 2 Þ¼ð45 000 þ 600 2,89 4500 240 17,6Þ 10 4 mm 4 

Ix ¼ 3,8 10 8 mm 4 

Wx1 ¼ Ix 

Wx2 ¼ 

e0 

¼ 3,8 108 mm 4 

133 mm ¼ 2,85 106 mm 3 

Ix 

300 mm e0 

¼ 3,8 108 mm 4 

167 mm ¼ 2,28 106 mm 3 

Lösung für die y-Achse: Die Berechnung der Flächen- 

und Widerstandsmomente für die y-Achse 

ist einfacher als für die x-Achse, weil jetzt Teilschwerachsen 

und Gesamtschwerachse zusammenfallen: 

300 mm ð200 mmÞ3 

Iy ¼ I1 I2 ¼ 

12 

150 mm ð160 mmÞ 3 

12 

Iy ¼ 1,488 10 8 mm 4 

Wy1 ¼ Wy2 ¼ Iy 

e ¼ 1,488 108 mm4 ¼ 1,488 10 

100 mm 

6 mm 3 

¼

320 

5. Ûbung: Ein Träger hat den skizzierten zusammengesetzten 

Querschnitt aus genormten L-Stählen 

und Blechen. Mit Hilfe der Profilstahltabelle 

aus der Formelsammlung ist zu berechnen: 

a) das Flächenmoment der oberen und unteren 

Gurtplatte, 

b) das Flächenmoment des Stegblechs, 

c) das Flächenmoment der L-Profile, 

d) das Gesamtflächenmoment in Bezug auf die 

Gesamtschwerachse 0 –0. 

e) das Widerstandsmoment. 

Lösung: 

200 mm ð10 mmÞ3 

aÞ I1 ¼ I2 ¼ ¼ 1,67 10 

12 

4 mm 4 

¼ 2250 10 4 mm 4 

bÞ I3 ¼ 

cÞ I4 ¼ I5 ¼ I6 ¼ I7 ¼ 52,6 10 4 mm 4 ðFormelsammlungÞ 

dÞ Iges ¼ 2ðI1 þ A1l1 2 ÞþðI3 þ A3l3 2 Þþ4ðI4 þ A4l4 2 Þ 

10 mm ð300 mmÞ3 

12 

Zwischenrechnung: A1 ¼ 200 10 mm 2 ¼ 20 10 2 mm 2 ; l1 ¼ 155 mm 

l1 2 ¼ 240 10 2 mm 2 

A3 ¼ 10 300 mm2 ¼ 30 102 mm2 ; l3 ¼ 0 ; l3 2 ¼ 0 

A4 ¼ 11,9 102 mm2 ðFormelsammlungÞ 

l4 ¼ð150 20,5Þ mm ¼ 129,5 mm ; l4 2 ¼ 167,7 102 mm2 9603 

zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{ 

Iges ¼½2ð1,67 þ 20 240Þ þð2250 þ 30 0Þþ4 ð52,6 þ 11,9 167,7ÞŠ 10 4 mm 4 

¼ 

¼ 2 10 8 mm 4 

e) W ¼ Iges 

e ¼ 2 108 mm 4 

1,6 10 2 mm ¼ 1,25 106 mm 3 

Obwohl die Einzelflächenmomente I1 und I2 der Gurtplatten nur je 1,67 10 4 mm 4 betragen, 

tragen sie doch den größten Anteil ( 9600 10 4 mm 4 10 8 mm 4 ) zum Iges bei, einfach deshalb, 

weil sie am weitesten von der Bezugsachse 0 –0 entfernt liegen. 

Daraus erkennt man: 

Es kommt beim Flächenmoment 2. Grades eines Querschnitts nicht auf den Flächeninhalt, 

sondern auf die Flächenform an, d. h. es muss möglichst viel Werkstoff möglichst weit von der 

Bezugsachse entfernt liegen, wenn der Querschnitt ein großes Flächenmoment haben soll. 

Weiter kann man sagen: Bohrungen in Schwerpunktsnähe haben nur geringen Einfluss; sie 

mindern das Flächenmoment 2. Grades nur geringfügig. 



¼

5.8 Beanspruchung auf Torsion 321 

5.8 Beanspruchung auf Torsion 

Die folgenden Herleitungen und Berechnungsgleichungen gelten für rotationssymmetrische 

Querschnitte (Kreise und Kreisringe). Für andere Querschnitte siehe Tabelle 5.2, Seite 311. 

5.8.1 Spannungsverteilung 

Eine Welle wird durch das Drehmoment M auf 

Torsion (Verdrehung) beansprucht. Ein achsparallel 

angebrachter Kreidestrich geht dabei in eine 

Schraubenlinie über. Man legt einen Schnitt rechtwinklig 

zur Stabachse und stellt durch das innere 

Torsionsmoment MT ¼ M das Gleichgewicht am 

Stabteil I wieder her. Die Mantelgerade AB ist zur 

Schraubenlinie AC geworden. Die Schnittufer werden 

demnach drehend gegeneinander verschoben. 

Es entsteht eine in der Fläche wirkende Schubspannung. 

Sie heißt Torsionsspannung tt. 

Im Gegensatz zur Zug-, Druck- und Abscherbeanspruchung 

werden die Werkstoffteilchen bei 

der Torsionsbeanspruchung nicht gleich stark verformt. 

Dementsprechend wird sich auch eine andere 

Spannungsverteilung über dem Querschnitt einstellen 

müssen. Verformungs- und Spannungsbild 

geben darüber Aufschluss. 

Das Verformungsbild des Schnittufers zeigt, dass 

die Stoffteilchen umso weiter drehend gegeneinander 

verschoben werden, je weiter sie von 

der Wellenachse entfernt liegen. Man sieht, dass 

Teilchen B auf dem Bogen b nach C gewandert 

ist, d. h. die stärkste Verdrehung stellt sich am 

Querschnittsumfang ein. Im Abstand r von der 

Wellenachse ist die Verdrehung schon geringer 

(B 0 wandert auf Db nach C 0 ). Die Wellenachse 0 

selbst ist unverformt. 

Im elastischen Bereich ist die Verformung der 

Spannung proportional (siehe Hooke’sches Gesetz, 

5.2.3.4, Seite 282), d. h. die Spannung muss im 

Querschnitt ebenso verteilt sein wie die Verformung. 

Man spricht von einer linearen Spannungsverteilung: 

Die Wellenachse ist unverformt, also 

spannungsfrei. Die Spannung wächst mit r bis 

zum Höchstwert tmax am Querschnittsumfang 

(Randspannung). Mit dieser Randspannung müssen 

die Festigkeitsrechnungen erfolgen. 

Torsionsbeanspruchte Welle 

Verformungsbild 

Die Verformungen wachsen linear mit dem 

Abstand von der neutralen Faser: 

Db r 

¼ 

b r 

Nach Hooke sind die Verformungen den 

Spannungen proportional: 

Db t 

t 

¼ und folglich ¼ 

b tmax 

tmax 

r 

r 

Daraus ergibt sich die Spannung t an einer 

beliebigen Stelle: 

t ¼ tmax 

r 

r 

Spannungsbild

322 

Bei Torsion erhalten die Randfasern die stärkste 

Beanspruchung, die Wellenachse ist spannungslos. 

Daher kann die Wellenachse auch 

zentrisch ausgebohrt werden. 

5.8.2 Herleitung der Torsions-Hauptgleichung 

Das Flächenteilchen DA im Abstand r von der 

Wellenachse (Spannungsbild) überträgt die im 

Querschnitt liegende Teilkraft DF. Unter der Annahme, 

daß die Spannung t über dem (sehr klein 

gedachten) Flächenteilchen DA gleichmäßig verteilt 

ist (wie beim Abscheren), kann man 

DF ¼ DAt schreiben. 

Die Teilkraft DF wirkt in Bezug auf die Wellenachse 

drehend am Hebelarm r. Sie erzeugt also 

ein „kleines“ Torsionsmoment DMT ¼ DFr. 

Mit der Spannung t kann man nichts anfangen; 

dagegen wird die Randfaserspannung tmax gebraucht, 

denn durch sie wird der Werkstoff am 

stärksten beansprucht. Man ersetzt daher t durch 

die aus dem Spannungsbild abgelesene Beziehung 

t ¼ tmax r=r und erhält damit eine erweiterte 

Gleichung für das Torsionsmoment DMT. 

Die Summe dieser kleinen Torsionsmomente ist 

das im Querschnitt wirkende (innere) Torsionsmoment 

MT. 

Die gleich bleibenden Größen tmax und r können 

vor das Summenzeichen gesetzt werden. 

Der Summenausdruck SDAr 2 ist das schon bekannte 

polare Flächenmoment 2. Grades Ip; der 

Ausdruck Ip=r ist das polare Widerstandsmoment 

Wp. Nur wegen der einfachen Schreibweise wird 

tmax ¼ tt eingesetzt. tt ist also ab jetzt immer die 

Randfaserspannung, die größte Spannung im 

Querschnitt. 

Hinweis: Vor allem im Fahrzeugbau wird 

der Konstrukteur Hohlwellen vorsehen 

(Leichtbau). 

DF ¼ DAt 

DMT ¼ DFr ¼ DAtr 

DMT ¼ DAtr ¼ DAtmax 

DMT ¼ tmax 

r DAr2 

MT ¼ SDMT 

r 

r r 

MT ¼ SDMT ¼ S tmax 

r DAr2 

MT ¼ tmax 

r SDAr2 

SDAr 2 ¼ Ip (siehe 5.7.2, Seite 304) 

Ip 

¼ Wp 

r 

MT ¼ tt 

Ip 

¼ ttWp 

r 

5 Festigkeitslehre


Die gefundene Gleichung löst man nach der Spannung 

auf und erhält so die gesuchte Torsions-Hauptgleichung. 

Torsionsmoment MT 

Torsionsspannung tt ¼ 

polares Widerstandsmoment Wp 

Am häufigsten werden Kreisring- und Kreisquerschnitte 

zu berechnen sein. Wird aus Torsionsmoment 

MT und zulässiger Torsionsspannung tt zul 

das erforderliche Widerstandsmoment Wp erf ermittelt, 

dann lassen sich mit den Gleichungen in 

Tabelle 5.2, Seite 311, die erforderlichen Durchmesser 

(d, da, di) berechnen. Ob dabei mit den genauen 

Gleichungen oder mit den abgerundeten Beziehungen 

gerechnet wird, ist gleichgültig. 

Statt zuerst Wperf und daraus erst den Durchmesser 

zu bestimmen, kann man auch sofort eine Gleichung 

für den erforderlichen Durchmesser entwickeln. 

Das wird in den folgenden Lehrbeispielen 

vorgeführt. 

Das die Welle beanspruchende Torsionsmoment 

MT ist gleich dem von der Welle zu übertragenden 

Drehmoment M. 

Das Drehmoment M wird entweder mit der 

Größengleichung P ¼ Mw oder mit der im Maschinenbau 

gebräuchlichen Zahlenwertgleichung 

bestimmt. Dann sind die im Einheitenraster angegebenen 

Einheiten zu benutzen. Bei der Größengleichung 

ist man von dieser Bedingung frei. 

Die Zahlenwertgleichung ist hier zugeschnitten 

auf die Einheit Nm für das Drehmoment M, wenn 

die Leistung P in kW und die Drehzahl n in min 1 

eingesetzt werden. 

tt ¼ MT 

Wp 

Torsions- 


tt MT Wp 

N 

Nmm mm3 

mm2 Je nach vorliegender Aufgabe wird die 

Torsions-Hauptgleichung umgestellt: 

Wperf ¼ MT 

tt zul 

tt vorh ¼ MT 

Wp 

MTmax ¼ Wptt zul 

MT ¼ M 

M ¼ P 

w 

tt zul 

w ¼ 2pn 

erforderliches 


vorhandene 

Spannung 

maximales 


Größengleichung zwischen Drehmoment M, 

Leistung P und Winkelgeschwindigkeit w 

M ¼ 9550 P 

n 

M P n 

Nm kW min 1 

Zahlenwertgleichung mit P in kW und n in 

U/min ¼ 1/min ¼ min 1

324 

5.8.3 Formänderung bei Torsion 

Zwei benachbarte Querschnitte einer Welle werden 

durch Torsionsbeanspruchung gegeneinander verdreht. 

Bringt man vor der Verformung auf der Welle 

mit der Wellenlänge l den Kreidestrich AB an, 

dann wird daraus nach der Verformung die Schraubenlinie 

AC. Zugleich dreht sich der Radius OB 

um den Kreismittelpunkt O in die Stellung OC, 

das heißt, die beiden Stirnflächen der Welle haben 

sich um den Verdrehwinkel j gegeneinander verdreht. 

Die stärkste Verformung zeigt die Randfaser: Das 

Stoffteilchen in B durchläuft die Formänderung b 

(Bogen BC _ 

). 

Im Bereich der elastischen Formänderung gilt 

auch bei Torsion das Hooke’sche Gesetz, in das 

die entsprechenden Größen der Torsionsbeanspruchung 

eingesetzt werden. Man setzt für 

Zugspannung s ) Torsionsspannung tt 

Formänderung Dl ) Formänderung b 

Stablänge l0 ) Wellenlänge l 

Stoffkonstante E ) Stoffkonstante G 

(Elastizitätsmodul) (Schubmodul) 

Das Bogenstück BC _ 

¼ b ist vom Radius r abhängig. 

Es ist einfacher, mit dem Verdrehwinkel j in 

Grad zu rechnen. Zwischen b und j besteht eine 

Beziehung, die man aus der Skizze für die Formänderung 

(oben) ablesen kann. 

Es wird nun in die Gleichung j ¼ b 180 =pr der 

Wert b ¼ tt l=G nach dem Hooke’schen Gesetz 

eingesetzt. 

Für tt kann man auch tt ¼ MT=Wp und für 

Wp r ¼ Ip einsetzen und damit drei Formänderungsgleichungen 

für Torsionsbeanspruchung entwickeln. 

Man erkennt aus den Gleichungen, dass bei Stahlwellen 

der Verdrehwinkel j unabhängig von der 

Werkstoffgüte ist, denn der Schubmodul G ist für 

alle Stahlsorten gleich groß (siehe Tabelle 5.8, 

Seite 385). 

tt ¼ b 

l G , s ¼ Dl 

E 

l0 

Hooke’sches 

Gesetz für 

Torsion 

Hooke’sches 

Gesetz für 

Zug/Druck 

Formänderung 

bei Torsionsbeanspruchung 

Beachte: Der Schubmodul G entspricht 

dem Elastizitätsmodul (siehe Tabelle 5.8, 

Seite 385) und Abschnitt 5.6.2, Seite 297): 

GStahl ¼ 80000 N/mm 2 

EStahl ¼ 210000 N/mm 2 

b j 

¼ 

2pr 360 

b 360 

j ¼ 

2pr 

j ¼ b 

r 

j ¼ ttl 

Gr 

j ¼ tt l 

Gr 

180 

p 

180 

p 

180 

p 

j ¼ MT l 

Wp rG 

j ¼ MT l 

IpG 

180 

p 

¼ b 

r 

180 

p 


180 

p 

j tt, G l, r MT 

N 

mm2 mm Nmm 

Wp Ip 

mm 3 mm 4


5.8.4 Formänderungsarbeit Wf 

Bei der Beanspruchung einer Welle auf Torsion 

steigt das Torsionsmoment MT von null bis zu einem 

Höchstwert proportional zum Verdrehwinkel 

an. Dabei wird in der Welle eine Formänderungsarbeit 

Wf gespeichert. Die Gleichung dafür liest 

man wieder aus dem Arbeitsdiagramm als Fläche 

unter der Belastungskurve ab. Das Arbeitsdiagramm 

oder Federungsdiagramm entsteht, wenn 

über dem Verdrehwinkel j das Torsionsmoment 

MT aufgetragen wird. 

Geht die Belastung von null aus, dann ist die Fläche 

unter der Federkennlinie ein Dreieck und es 

gilt Wf ¼ MTj=2. Bei vorbelasteter Feder ergibt 

sich eine Trapezfläche mit entsprechender Flächenformel. 

Die Neigung der Federkennlinie ist ein Maß für 

die „Härte“ oder „Weichheit“ der Feder. Eine Feder 

ist umso weicher, je flacher die Kennlinie verläuft 

oder, rechnerisch ausgedrückt, je kleiner die 

Federrate R ist. Sie entspricht dem Tangens des 

Neigungswinkels a (siehe Arbeitsdiagramm). 

Für Torsionsstabfedern von kreisförmigem Querschnitt 

kann man wie für die Zugfedern auf Seite 

284 die Gleichung für die Formänderungsarbeit 

weiter entwickeln, indem für MT ¼ ttWp (Torsions-Hauptgleichung) 

und für Wp ¼ pd 3 =16 (Tabelle 

5.2. Seite 311) eingesetzt wird. 

Mit der Formänderungsgleichung für den Verdrehwinkel 

j erhält man die endgültige Form der gesuchten 

Beziehung für Wf. 

Solange die Torsionsbeanspruchung im elastischen Bereich liegt, wird die im Werkstoff 

gespeicherte Arbeit bei Entlastung wieder vollständig frei. Torsions- oder Drehstabfedern verwendet 

man z. B. als Wagenfeder oder Drehstab-Stabilisator im Kraftfahrzeugbau, für Drehmomentenschlüssel 

zum Anziehen von Schrauben und Muttern oder im Messgerätebau. 



0 

Dreieckfläche = 

MT 

f 

W f = 

2 

Verdrehwinkel 

f 

Belastungslinie = Federkennlinie 

a 

M T 

Arbeitsdiagramm für Torsionsstabfedern im 

Gültigkeitsbereich des Hooke’schen Gesetzes 

(MT j) 

Wf ¼ MT 

j 

2 


(Federarbeit) 

R ¼ MT 

j 

Federrate 

MT ¼ ttWp 

j ¼ tt l 

G d 

2 

Wf ¼ MT 

Wf ¼ MT 

¼ tan a 

j 

2 ¼ tt A d 

4 

Wp ¼ pd3 

16 

¼ pd2 

4 

pd2 l ¼ Volumen V 

4 

j 

2 ¼ tt 2V 4G 

Wf MT j R 

J Nm rad ¼ 1 Nm 

rad 

tt l 

G d 

2 2 

¼ tt 2V 4G 

d 

4 


(Federarbeit), 

vergleiche mit 

Seite 284

326 

Lehrbeispiel: Torsionsstabfeder 


Eine Torsionsstabfeder soll für folgende 

Einbaugrößen berechnet werden: 

l1 ¼ 400 mm 

l ¼ 600 mm 

F ¼ 2500 N 

Werkstoff mit tt zul¼ 320 N 

mm 2 

N 

G ¼ 80 000 

mm 2 

Es sind zu berechnen: 

a) Federdurchmesser d bei Vollprofil 

b) Federweg f 

c) Außendurchmesser D und Innendurchmesser d für Rohrquerschnitt der Feder mit D 

Feder 

F 

Stellung bei 

ungespannter Feder 

10 

¼ 

d 8 

d) Federweg f’ für Rohrquerschnitt. 

Lösung: 

a) Federdurchmesser d: MT ¼ Fl1 ¼ 2500 N 400 mm ¼ 10 6 Nmm 

tt ¼ Mt 

Wp 

b) Federweg f: Ip ¼ pd4 

32 

j ¼ MT l 

IpG 

c) Rohrquerschnitt: Wp erf ¼ MT 

Wp ¼ p 

16 

D 4 d 4 

D 

Wp ¼ pd3 

16 

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

3 16MT 16 10 

derf ¼ ¼ 

p tt zul 

6 Nmm 

p 320 N 

mm 2 

v 

u 

¼ 25,2 mm 

t3 

¼ p 254 

32 mm4 ¼ 3,83 10 4 mm 4 

j ¼ 106 Nmm 0,6 103 mm 

3,83 104 mm4 N 

8 104 mm 2 

¼ 0,196 rad 

f ¼ jl1 ¼ 0,196 400 mm ¼ 78,4 mm 

tt zul 

¼ 106 Nmm 

320 N 

mm 2 

¼ 3,125 10 3 mm 3 

Wp erf ¼ p 

16 

D4 d4 ¼ 

D 

p 

16 

D4 ð0,8DÞ 4 

D 

Derf ¼ 


3,125 103 mm 3 

s 

3 

¼ 29,98 mm 

0,116 

¼ p 

16 

d) Federweg f’: Ip ¼ pðD4 d4 Þ 

¼ 

32 

pð304 244Þ mm4 ¼ 4,695 10 

32 

4 mm 4 

Ip ¼ p 

32 ðD4 

d 4 Þ j ¼ MT l 

IpG ¼ 

106 Nmm 0,6 103 mm 

4,695 104 mm4 N 

8 104 mm 2 

¼ 0,16 rad 

l 

f 0 ¼ jl1 ¼ 0,16 400 mm ¼ 64 mm 

l 1 

f 


gewählt: 

d ¼ 25 mm 

d ¼ 0,8 D 

D4 ð1 0,84Þ ¼ 0,116 D 

D 

3 

gewählt: 

D ¼ 30 mm 

d ¼ 0,8 D ¼ 24 mm


Lehrbeispiel: Verdrehwinkel (Drehmomentschlüssel) 

Aufgabenstellung 

Ein Torsionsstab-Messgerät soll bei einem Torsionsmoment 

von MT ¼ 8 Nm einen Verdrehwinkel von j ¼ 35 anzeigen. 

Werkstoff 42CrMo4 mit tt zul ¼ 400 N/mm2 . 

Bestimme: 

a) Stabdurchmesser d 

b) Stablänge l 

Lösung: 

a) Stabdurchmesser d: 

tt ¼ MT 

Wp 

Wp erf ¼ MT 

tt zul 

Wp ¼ pd3 

16 

derf ¼ 4,67 mm 

gewählt: d ¼ 4,8 mm 

b) Stablänge l aus der Verdrehwinkel-Gleichung: 

j ¼ MT l 

GIp 

180 

p 

4 N 

G ¼ 8 10 

mm 2 

¼ 8 103 Nmm 

400 N 

mm2 ¼ 20 mm 3 

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 


3 16 Wp erf 16 20 mm 

derf ¼ 

¼ 

p 

3 

r 

3 

p 

Ip ¼ pd4 

32 ¼ p 4,84 mm4 ¼ 52 mm 

32 

4 

l ¼ pjGIp 

4 N 

p 35 8 10 52 mm4 

mm 2 

¼ 

180 MT 180 8 103 Nmm 

¼ 317,65 mm

328 

5.9 Beanspruchung auf Biegung 

5.9.1 Spannungsarten und inneres Kräftesystem bei Biegeträgern 

Der skizzierte Stab wird durch die Kraft F auf Biegung 

beansprucht. Die vor der Belastung gerade 

Stabachse verformt sich zur Biegelinie. 

Auf Biegung beanspruchte gerade stabförmige 

Bauteile wie Achsen, Wellen, Hebel nennt man 

Träger oder auch Balken. 

An einer beliebigen Stelle der Trägerlänge l legt 

man den Schnitt x –x rechtwinklig zur Stabachse 

und bringt im Schnittflächenschwerpunkt dasjenige 

innere Kräftesystem an (Fq und Mb), das den 

Restteil I ins Gleichgewicht setzt. 

Nach der Berechnung der Stützkräfte FA ¼ 500 N 

und FB ¼ 1500 N ergibt die Untersuchung des 

Kräftegleichgewichts für Trägerteil I: 

SFy ¼ 0 ¼þFA Fq Fq ¼ FA ¼ 500 N 

SMðSPÞ ¼ 0 ¼ FA x þ Mb 

Mb ¼ FA x ¼ 500 N 1,2 m ¼ 600 Nm 

Der Querschnitt hat demnach wegen SFy ¼ 0 die 

in der Fläche liegende Querkraft Fq ¼ FA ¼ 500 N 

zu übertragen. Die Querkraft Fq ruft die Schubspannung 

t hervor. 

Aus SMðSPÞ ¼ 0 ergibt sich weiter, dass der Querschnitt 

noch das rechtwinklig zur Fläche wirkende 

Biegemoment Mb ¼ FA x ¼ 600 Nm zu übertragen 

hat. 

Die Lage der größten Durchbiegung fmax wird 

durch die Länge xm bestimmt: 

xm ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

ðl 2 l2 2 p 

Þ=3 ¼ 2,23 m 

Bei Biegung muss der Querschnitt eine Querkraft 

Fq und ein Biegemoment Mb übertragen. 

Das Biegemoment belastet den Querschnitt am 

stärksten; es erzeugt Biegespannungen sb: 

FA 

FA 

x = 1,2 m 

l =4m 

l 1 =3m l 2 =1m 

x 

F = 2000 N 

A B 

Biegelinie 

(l2 - l 2 )/3 = 2,23 m 

2 

fmax -Stelle 

x m = 

x 

xm F 

M b Mb 

SP SP 

Fq Fq 


F B 

Inneres Kräftesystem bei Biegung 

Hinweis: Das Biegemoment Mb ruft im 

Schnitt die Normalspannung s hervor, weil 

es dem in Normalenrichtung auf der Fläche 

stehenden Kräftepaar FN entspricht. Diese 

Normalspannung heißt Biegespannung sb 

und besteht aus Zug- und Druckspannungen, 

entsprechend den beiden Normalkräften FN 

(Zug- und Druckkraft). 

Hinweis: Bei langen Stäben ist der Einfluss 

der Querkraft gering, d. h. die Schubspannung 

t kann daher meist vernachlässigt werden. 

Bei kurzen, dicken Stäben ist zu prüfen, 

ob der Wert zulässig ist. 

F N 

F N

5.9 Beanspruchung auf Biegung 329 

5.9.2 Bestimmung der Biegemomente und Querkräfte an beliebigen Trägerstellen 

Das Biegemoment Mb für eine beliebige Stelle längs des Biegeträgers erhält man als Momentensumme 

für die Schnittstelle am linken oder rechten Trägerteil; ebenso erhält man die Querkraft 

Fq als Kraftsumme an einem der beiden Teile. Am besten wird Schritt für Schritt nach 

folgendem Arbeitsplan vorgegangen: 

Arbeitsplan zur Biegemomenten- und Querkraftbestimmung: 

Freimachen des Bauteils (Biegeträger). 1. Schritt 

Bestimmung der Stützkräfte mit den drei statischen Gleichgewichtsbedingungen 

(SFx ¼ 0, SFy ¼ 0, SM ¼ 0). 

Momentensumme für die Schnittstelle bilden. Damit ergibt sich das dort 

vorhandene Biegemoment Mb. 

Kraftsumme für die Schnittstelle bilden (nur Querkräfte nehmen). Damit 

ergibt sich die dort vorhandene Querkraft Fq. 

Man schaut von der Schnittstelle aus nach links 

(oder rechts) und addiert die Momente. Das Ergebnis 

ist das Biegemoment Mb: 

Man schaut von der Schnittstelle aus nach links 

(oder rechts) und addiert die Querkräfte. 

Das Ergebnis ist die Querkraft Fq. 

5.9.3 Spannungsverteilung im Trägerquerschnitt bei Biegung 

Die äußere Kraft F biegt den Träger nach unten 

durch. Die vorher gerade Trägerachse wird eine 

gekrümmte Linie, auch Biegelinie oder „elastische 

Linie“ genannt. 

Zwei vorher parallele Schnitte ab; cd stellen sich 

bei Biegebelastung schräg gegeneinander: a 0 b 0 , 

c 0 d 0 . Dabei werden die oberen Werkstoff-Fasern 

verkürzt (Stauchung e), die unteren dagegen verlängert 

(Dehnung þe), so wie es das Verformungsbild 

auf der folgenden Seite zeigt. 

2.Schritt 

3. Schritt 

4. Schritt 

Hinweis: Dieser Merksatz veranschaulicht 

den dritten und vierten Schritt. Da sich Biegemoment 

und Querkraft längs des Trägers 

ändern, müssen mehrere Schnittstellen untersucht 

werden. 

Biegebeanspruchter Träger (Biegeträger)

330 

Zwischen den oberen (gestauchten) und den unteren 

(gestreckten) Stoffteilchen muss eine Faserschicht 

liegen, die sich weder verkürzt noch verlängert, 

die ihre Länge also beibehält. Das ist die 

„neutrale Faserschicht“, bei der e ¼ 0 ist. Sie 

geht durch den Schwerpunkt SP der Schnittfläche. 

Nach dem Hooke’schen Gesetz sind im elastischen 

Bereich die Spannungen ebenso verteilt wie die 

Formänderungen. Wie die Längenänderung wächst 

auch die Spannung von der neutralen Faserschicht 

(Nulllinie) nach oben und unten gleichmäßig. Die 

Spannung verteilt sich linear. Die neutrale Faserschicht 

ist unverformt, also auch spannungslos. 

Die Spannung wächst mit dem Abstand y von der 

neutralen Faser bis zum Höchstwert þsmax (Zugspannung) 

und smax (Druckspannung). Genau 

wie bei der Torsion muss man also auch bei der 

Biegung mit der Randspannung smax rechnen, wobei 

die Unterscheidung zwischen þsmax als größter 

Zugspannung und smax als größter Druckspannung 

nur bei solchen Werkstoffen notwendig 

ist, die auf Zug und Druck unterschiedlich reagieren, 

z. B. Gusseisen. 

Bei Biegung erhalten die Randfasern die stärkste 

Beanspruchung, die neutrale Faserschicht 

ist spannungslos, Bohrungen in Schwerpunktsnähe 

schaden daher nicht. Biegespannungen 

sind Zug- und Druckspannungen (Normalspannungen). 

Sie sind linear über dem Querschnitt 

verteilt. 

5.9.4 Herleitung der Biege-Hauptgleichung 

Das Flächenteilchen DA im Abstand y von der 

x-Achse (Schwerachse) überträgt die rechtwinklig 

auf dem Querschnitt stehende Teilkraft DF. Unter 

der Annahme, dass die Spannung s gleichmäßig 

über dem Flächenteilchen DA verteilt ist (wie bei 

Zugbeanspruchung), kann man für DF ¼ DAs 

schreiben. 

Verformungsbild 

Die Verformungen wachsen linear mit dem 

Abstand von der neutralen Faserschicht. 

Nach Hooke sind die Verformungen den 

Spannungen proportional, also wachsen auch 

die Spannungen linear mit dem Abstand von 

der neutralen Faserschicht. Wie das Spannungsbild 

zeigt, ist 

s 

¼ y 

e 

smax 

Daraus ergibt sich für die Spannung s an 

einer beliebigen Stelle: 

s ¼ smax 

y 

e 


Spannungsbild


Die Teilkraft DF wirkt in Bezug auf die x-Achse 

drehend am Hebelarm y, sie erzeugt also ein „kleines“ 

Innenmoment DMi ¼ DFy. 

Die Spannung s ändert ihren Betrag mit dem Abstand 

y. Für die Hauptgleichung braucht man die 

Randfaserspannung smax, weil sie den Werkstoff 

am stärksten beansprucht. Es wird daher s durch 

die aus dem Spannungsbild abgelesene Beziehung 

s ¼ smax y=e ersetzt. 

Die Summe der kleinen Innenmomente DMi hält 

dem einwirkenden Biegemoment Mb das Gleichgewicht. 

Die gleichbleibenden Größen smax und Randfaserabstand 

e können vor das Summenzeichen gesetzt 

werden. 

Der Summenausdruck SDAy 2 ist das schon bekannte 

axiale Flächenmoment 2. Grades I, der 

Ausdruck I=e ist das axiale Widerstandsmoment W. 

Die gefundene Gleichung löst man nach der Spannung 

auf und erhält so die gesuchte Biege-Hauptgleichung. 

Biegemoment Mb 

Biegespannung sb ¼ 

axialesWiderstandsmoment W 

Hat man aus Biegemoment und zulässiger 

Biegespannung das erforderliche axiale Widerstandsmoment 

Werf berechnet, können mit den 

Gleichungen aus Tabelle 5.1, Seite 309, die Querschnittsmaße 

festgelegt werden. 

Bei Trägern mit konstantem Querschnitt, z. B. bei 

allen Profilstählen, reicht die Bestimmung des 

maximalen Biegemomentes aus. Dagegen ist es 

bei abgesetzten Bauteilen nötig, das Biegemoment 

für sämtliche Ûbergangsstellen zu ermitteln und zu 

garantieren, dass sb vorh sbzulist. DMi ¼ DFy ¼ DAs y 

DMi ¼ DAs y ¼ DAsmax 

DMi ¼ smax 

e DAy2 

y 

e y 

Mb ¼ SDMi ¼ S smax 

e DAy2 

Mb ¼ smax 

e SDAy2 

I 

Mb ¼ sb ¼ sbW 

e 

Hinweis: Nur wegen der einfacheren Schreibweise 

wird sb, statt smax geschrieben. sb ist 

also immer die Randfaserspannung, die 

größte Spannung im Querschnitt. 

sb ¼ Mb 

W 

Biege-Hauptgleichung 

Je nach vorliegender Aufgabe wird die Biege- 

Hauptgleichung umgestellt: 

Werf ¼ Mb max 

sbzul 

sb vorh ¼ Mb max 

W 

Mb max ¼ Wsb zul 

erforderliches 


sb zul 

sb Mb W 

N 

Nmm mm3 

mm2 vorhandene 

Spannung 

maximales 

Biegemoment

332 

5.9.5 Spannungsverteilung im unsymmetrischen Querschnitt 

Das skizzierte T-Profil (z. B. nach DIN EN 10025) 

ist zur y-Achse symmetrisch, zur x-Achse jedoch 

unsymmetrisch. Es gibt dann zwei verschieden 

große Randfaserabstände e1 6¼ e2 und damit auch 

die beiden unterschiedlichen Widerstandsmomente 

W1 und W2. 

Aus der Beziehung Ix=e1 ¼ W1 erhält man im Beispiel 

des T-Profils die größte Zugspannung, die 

kleiner sein muss als sz zul. 

Aus der Beziehung Ix=e2 ¼ W2 erhält man die 

größte Druckspannung, die kleiner sein muss als 

sd zul. 

Ûbung: Aus der Profilstahltabelle für das T-Profil 

T80 ist abzulesen: Ix ¼ 73,7 10 4 mm 4 , Randfaserabstand 

e1 ¼ 22,2 mm, damit wird e2 ¼ 

ð80 22,2Þ mm ¼ 57,8 mm. Für das zu übertragende 

Biegemoment Mbx ¼ 520 Nm sind die beiden 

Randfaserspannungen (sb1, sb2) zu berechnen. 

5.9.6 Gültigkeitsbedingungen für die Biege-Hauptgleichung 

Die Biegehauptgleichung sb ¼ Mb=W gilt unter 

folgenden Voraussetzungen: 

1. Die Stabachse ist gerade, also nicht gekrümmt 

wie z. B. beim Kranhaken. 

2. Die Belastungen F liegen in einer Ebene, die 

durch die Stabachse geht. Das ist gleichzeitig 

die Ebene, in der die Biegemomente wirken. 

3. Die Querschnitte bleiben bei der Beanspruchung 

eben. 

4. Für den Werkstoff gilt das Hooke’sche Gesetz. 

5. Der Elastizitätsmodul ist für Zug- und Druckbeanspruchung 

gleich groß (wie bei Stahl). 

6. Die Spannungen bleiben unter der Proportionalitätsgrenze 

sP (siehe Seite 375). 

Spannungsverteilung im unsymmetrischen 

Querschnitt 

sz max ¼ Mbx e1 

Ix 

sd max ¼ Mbx e2 

Lösung: 

Ix 

sb1 ¼ Mbx e1 

Ix 

sb1 ¼ 15,7 N 

mm 2 

sb2 ¼ Mbx e2 

Ix 

sb2 ¼ 40,8 N 

mm 2 

¼ Mb 

W1 

¼ Mb 

W2 

größte 

Zugspannung 

größte 

Druckspannung 

¼ 520 103 Nmm 22,2 mm 

73,7 10 4 mm 4 

¼ 520 103 Nmm 57,8 mm 

73,7 10 4 mm 4 

Rechteckträger, biegebeansprucht 

5 Festigkeitslehre


5.9.7 Ûbungen zur Berechnung des Biegemomenten- und Querkraftverlaufs 

bei den wichtigsten Trägerarten und Belastungen 

Man unterscheidet Freiträger und Stützträger. 

Ein typischer Freiträger ist z. B. das angeschweißte 

Konsolblech. 

Stützträger sind z. B. alle zwei- oder mehrfach an 

den Trägerenden gelagerte Achsen oder Wellen. 

Ein Stützträger wird als Kragträger bezeichnet, 

wenn er mit einem oder mit beiden Enden über die 

Lagerstelle hinausragt. 

5.9.7.1 Freiträger mit Einzellast 

Eine Blattfeder wird nach Skizze im Abstand 

l ¼ 120 mm von der Einspannstelle B durch die 

Federkraft F ¼ 100 N biegend und abscherend 

belastet. 

Es wird der Biegemomenten- und Querkraftverlauf 

(Mb- und Fq-Linie) gesucht. Dazu lässt man eine 

Schnittebene x –x von A nach B wandern und ermittelt 

von dort aus Biegemoment Mb und Querkraft 

Fq nach dem Arbeitsplan Seite 329. 

Erste Arbeit ist immer die Ermittlung der Stützkräfte 

und Momente am freigemachten Träger mit 

Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen SFx ¼ 0, 

SFy ¼ 0 und SM ¼ 0. Die Rechnung ergibt 

FB ¼ 100 N, MðBÞ ¼ 12 Nm. 

Für die eingezeichnete Schnittebene x –x im Abstand 

x vom Kraftangriffspunkt A erhält man die 

Funktionsgleichung für 

a) das Biegemoment MbðxÞ ¼ Fx und für 

b) die Querkraft FqðxÞ ¼ F 

Für die Festigkeitsberechnungen werden hier nur 

die Beträge der Biegemomente und Querkräfte 

gebraucht. 

In einem Mb, x-Diagramm ist MbðxÞ ¼ Fxdie Gleichung 

einer mit zunehmendem Abstand x 

ansteigenden Geraden. Das Biegemoment MbðxÞ wächst also proportional von null bis zum Größtwert 

Mb max an der Einspannstelle B. 

Dort beträgt bei x ¼ l ¼ 120 mm das Biegemoment 

Mb max ¼ Fl¼ 100 N 120 mm ¼ 12 000 Nmm ¼ 

¼ 12 Nm. 

Trägerarten: Freiträger, Stützträger, 

Kragträger 

Lageskizze einer Blattfeder als Freiträger mit 

Einzellast 

SFy ¼ 0 ¼ F þ FB ! FB ¼ F ¼ 100 N 

SM ðBÞ ¼ 0 ¼ Fl M ðBÞ ! M ðBÞ ¼ Fl 

M ðBÞ ¼ 100 N 120 mm ¼ 12 000 Nmm 

Für den Freiträger mit Einzellast gelten die 

Funktionsgleichungen: 

MbðxÞ ¼ Fx 

FqðxÞ ¼ F 

Mb, x-Diagramm 

Beachte: Die Vorzeichenregel für die Biegemomente 

Mb werden aus der Statik übernommen 

(Seite 4). 

Mb max ¼ Fl 

Maximales Biegemoment

334 

Die Querkraft Fq ist an jeder Trägerstelle gleich 

groß: Fq ¼ F ¼ 100 N. Daher hat die Querkraftfläche 

im Fq, x-Diagramm Rechteckform mit dem 

Flächeninhalt Aq ¼b Fl. 

Das ist exakt die Gleichung für das im Einspannquerschnitt 

zu übertragende maximale Biegemoment. 

Gleiches gilt für das Biegemoment M bðxÞ 

an der Schnittstelle: A qðxÞ ¼b M bðxÞ ¼ Fx. 

Von links nach rechts fortschreitend (A ! B) 

lässt sich für jeden Trägerquerschnitt die Gleichung 

für das Biegemoment Mb aus der Flächenformel 

für die Querkraftfläche Aq ablesen 

(Querkraftsatz). 

5.9.7.2 Freiträger mit mehreren Einzellasten 

Der skizzierte Freiträger wird durch drei Einzelkräfte 

F1, F2, F3 belastet. 

Gesucht werden die Querkraftfläche und eine Gleichung 

für das maximale Biegemoment Mb max in 

der Einspannstelle B des Trägers. Auch hier setzt 

man als erstes die Gleichgewichtsbedingungen an 

und berechnet FB ¼ 45 kN und MðBÞ ¼ 190 kNm. 

Es wurde festgestellt, dass die Querkraftfläche 

dem Biegemoment in der betrachteten Schnittstelle 

entspricht. Daher zeichnet man als erstes nach 

dem Arbeitsplan auf Seite 329 den Querkraftverlauf 

maßstäblich auf. Dann ergibt sich: 

Fq1 ¼ F1, Fq2 ¼ F1 þ F2, Fq3 ¼ F1 þ F2 þ F3. 

Wegen SFy ¼ 0 ist Fq4 ¼ Fq3 ¼ F1 þ F2 þ F3 

nach oben gerichtet. 

Das maximale Biegemoment Mb max entspricht 

dem Flächeninhalt Aq der gesamten Querkraftfläche. 

Darin ist das Produkt F1l1 das Biegemoment 

Mb1 allein aus der Kraft F1, ebenso Mb2 ¼ F2l2 

allein durch die Kraft F2 und Mb3 ¼ F3l3 allein 

durch F3. 

Die berechneten Ordinatenwerte trägt man im 

Mb, x-Diagramm auf und verbindet die Punkte 

durch Gerade miteinander, weil zwischen den 

Kraftangriffspunkten das Biegemoment linear zunimmt 

wie beim Freiträger mit Einzellast. 

Fq, x-Diagramm 

Aq ¼b Mb max 

Mb max ¼ Fl 

Maximales Biegemoment 

Beachte: Dieser Satz von der Querkraftfläche 

gilt für alle Trägerarten und Belastungen. Vor 

allem Lage und Betrag des maximalen Biegemoments 

lassen sich danach am einfachsten 

ermitteln. 

Lageskizze des Freiträgers mit Einzellasten 


Aq ¼b Mb max ¼ Mb1 þ Mb2 þ Mb3 

Mb max ¼ F1l1 þ F2l2 þ F3l3 



5 Festigkeitslehre


5.9.7.3 Freiträger mit konstanter Streckenlast (gleichmäßig verteilte Streckenlast) 

In einer Stahlbaukonstruktion wird ein Profilstahlträger 

IPE 360 nach DIN 1025 verwendet. Der 

360 mm hohe Freiträger hat eine Eigengewichtskraft 

von F 0 ¼ 560 N/m (siehe Formelsammlung). 

Das ist der typische Fall einer konstanten Streckenlast 

F 0 . Beim Profilstahlträger wird sie in 

Newton pro Meter (N/m) angegeben. 

Gesucht werden wieder die Querkraftfläche und 

eine Gleichung für das maximale Biegemoment 

Mb max an der Einspannstelle B des Trägers. 

Die Gleichgewichtsbedingungen SFy ¼ 0 und 

SM ðBÞ ¼ 0 liefern hier FB ¼ 2240 N und 

M ðBÞ ¼ 4480 Nm. 

Man zeichnet wie im vorhergehenden Fall zuerst 

das maßstäbliche Fq, x-Diagramm und geht dazu 

genau so vor wie bei der Einzelkraftbelastung. Die 

Querkraftfläche Aq wird durch die Querkraftlinie 

stufenartig begrenzt. Bei feinerer Unterteilung der 

Streckenlast, z. B. in acht Teilstrecken, ergibt sich 

eine immer feinere Stufung, bis die Querkraftfläche 

Aq eine Dreieckfläche wird. 

Mit der Erkenntnis, dass der gesamte Flächeninhalt 

Aq dem maximalen Biegemoment an der 

Einspannstelle entspricht, erhält man die Gleichung 

für Mb max ¼ Fl=2 ¼ F 0 l 2 =2. 

Auch bei dieser Trägerbelastung zeigt sich, welche 

Bedeutung Querkraftlinie und -fläche haben. Sie 

sollte daher immer als erstes aufgezeichnet werden. 

Wie bei der Gesamtfläche erhält man auch mit der 

Teilfläche A qðxÞ das im Schnitt x –x wirksame Biegemoment 

M bðxÞ. 

Die entsprechende Gleichung M bðxÞ ¼ F 0 x 2 =2ist 

die Funktionsgleichung zum Aufzeichnen des 

Mb, x-Diagrammes. Sie ist die Gleichung einer Parabel, 

wie die Mb-Linie im skizzierten Mb, 

x-Diagramm zeigt. 

Lageskizze des 

Freiträgers mit konstanter Streckenlast 


Aq ¼b Mb max 

0 l2 

Mb max ¼ F 

2 


M b 

0 

x 

M = F’ 

b(x) 

x2 

Mb-Linie 2 

M b max 

A Mb(x) B 

M,x b -Diagramm 

x

336 

5.9.7.4 Freiträger mit Mischlast (Einzellast und konstante Streckenlast) 

Bei Mischlast haben Biegeträger Strecken- und 

Einzellasten zu tragen. Diesen Fall zeigt der 

skizzierte Freiträger. Maße und Streckenlast 

F 0 ¼ 560 N/m sind dieselben wie bei der vorangegangenen 

Ûbung in 5.9.7.3. Zusätzlich wird der 

Träger durch die Einzelkraft F1 ¼ 1500 N belastet. 

Sie wirkt im Abstand l1 ¼ 3 m vom Einspannpunkt 

B unter dem Winkel a ¼ 60 zur Trägerachse. 

Biegend wirkt aber nur die rechtwinklig zur 

Trägerachse stehende Komponente F1 sin a. 

Die waagerechte Komponente F1 cos a muss die 

Einspannung in B aufnehmen (FBx ¼ F1 cos a). 

Gesucht werden wieder die Querkraftfläche und 

eine Gleichung für das maximale Biegemoment 

Mb max an der Einspannstelle B des Trägers. 

Mit den Angaben der Lageskizze wird maßstäblich 

das Fq, x-Diagramm gezeichnet. 

Vom Punkt A an nach rechts fortschreitend setzt 

man an die erste Streckenlast F 0 ¼ 560 N/m die 

Kraftkomponente F1 sin a ¼ 1299 N an. Danach 

folgen auf ihren Wirklinien die restlichen drei 

Streckenlasten und zum Abschluss die im Einspannquerschnitt 

B wirkende Gleichgewichtskraft 

FBy ¼ F 0 l þ F1 sin a. 

Die gesamte Querkraftfläche Aq setzt sich aus der 

Dreieckfläche Aq1 ¼b F 0 l 2 =2 und der Parallelogrammfläche 

F1 sin a l1 zusammen. Mbmax an der 

Einspannstelle B entspricht dem Inhalt dieser beiden 

Teilflächen. Es kann also die Berechnungsgleichung 

sofort aufgeschrieben werden. 

Man wäre zu der Gleichung für Mb max auch auf 

anderem Weg gekommen. 

Man hätte die Querkraftfläche nacheinander für 

den Träger mit konstanter Streckenlast F 0 und für 

die Einzelbelastung F1 sin a zeichnen können. Der 

Grundgedanke dazu: Der Träger wird erst allein 

mit der Streckenlast und danach allein mit der Einzelkraft 

belastet (Ûberlagerungsprinzip). 

Lageskizze des Freiträgers mit Mischlast 

Die Auswertung der Gleichgewichtsbedingungen 

ergibt: 

FBx ¼ 705 N FBy ¼ 3540 N 

M ðBÞ ¼ 8377 Nm 


Aq ¼ Aq1 þ Aq2 ¼b Mb max 

Mb max ¼ F 0 l 2 

2 þ F1 sin al1 



Hinweis: Das Verfahren, Belastungen schrittweise 

aufzusetzen, heißt Ûberlagerungsverfahren 

(auch: Ûberlagerungsprinzip oder 

Superpositionsprinzip).


Zum Aufzeichnen des Mb, x-Diagramms berechnet 

man einige MbðxÞ-Werte oder entwickelt die Funktionsgleichung 

für den Graphen. 

Für Querschnitte von x ¼ 0 bis zur Lastangriffsstelle 

von F1 gilt: 

MbðxÞ ¼ F 0 x x 0 F 

¼ 

2 2 x2 

An der Einspannstelle B gilt: 

M bðxÞ ¼ 

F 0 

2 x2 þF1 sin a½x ðl l1ÞŠ 

Der Ausdruck F 0 x 2 =2 weist auf einen parabolischen 

Kurvenverlauf hin. 

Beispiel für das maximale Biegemoment: 

Mit x ¼ l wird 

0 F 

Mbðx¼lÞ ¼ 

2 l 2 þ F1 sin a l1 ¼ Mbmax 

Mb max ¼ 560 N 

2 m 42 m 2 þ1500 N sin 60 3m 

Mb max ¼ 8377 Nm 

5.9.7.5 Stützträger mit Einzellast 

Wie bei Freiträgern lassen sich auch für Stützträger 

für jeden Querschnitt x Biegemoment M bðxÞ und 

Querkraft F qðxÞ berechnen (Arbeitsplan in 5.9.2). 

Der skizzierte Stützträger wird mit der Einzelkraft 

F ¼ 6000 N biegend belastet. 

Erste Aufgabe ist auch hier, am freigemachten Träger 

(Lageskizze) mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen 

SFy ¼ 0 und SM ðBÞ ¼ 0 die Stützkräfte 

FA und FB zu berechnen. 

Die Berechnung ergibt hier FA ¼ 4000 N, 

FB ¼ 2000 N. 

Für die eingezeichneten Schnittstellen 1, 2 und 3 

berechnet man die Biegemomente Mb1, Mb2 und 

Mb3 unter Beachtung der Vorzeichen (linksdrehend 

(þ), rechtsdrehend ( ÞÞ. Für jeden Schnitt zwischen 

dem Lagerpunkt A und der Kraftangriffsstelle 

ist das Biegemoment M bðxÞ ¼ FAx. Das ist 

im Mb, x-Schaubild der Graph einer Geraden 

ðy ¼ mx mit m ¼ konstant). 

M bðxÞ-Diagramm 


Lageskizze des frei gemachten Stützträgers 

mit Einzellast F ¼ 6000 N 

Mb1 ¼ FAx1 ¼ 4000 N 1m¼ 4000 Nm 

Mb2 ¼ FAx2 ¼ 4000 N 2m¼ 8000 Nm 

Mb3 ¼ FAx3 þ Fðx3 x2Þ 

¼ 4000 N 4mþ 6000 N 2m 

¼ 4000 Nm 

M bðxÞ-Diagramm

338 

Das Querkraftschaubild (Fq, x-Diagramm) wird 

wie beim Freiträger maßstäblich aufgezeichnet: 

Von A nach B fortschreitend trägt man die aus dem 

Lageplan erkennbaren Kräfte aneinander. Es ergeben 

sich zwei gleich große Rechteckflächen über 

und unter der Nulllinie: 

Das Biegemoment M bðxÞ in jedem Trägerquerschnitt 

entspricht der Fläche links oder rechts 

vom Schnitt. 

Das größte Biegemoment Mbmax liegt dort, wo 

die Querkraftlinie durch die Nulllinie geht. Geht 

die Querkraftlinie mehrfach durch null, muss 

für alle Nulldurchgänge das Biegemoment berechnet 

und so Mb max bestimmt werden. 

Greift die Einzelkraft in der Mitte des Trägers an, 

dann wird mit FA ¼ FB ¼ F=2 und l1 ¼ l=2 das 

maximale Biegemoment 

Mb max ¼ðF=2Þðl=2Þ¼ Fl=4. 

5.9.7.6 Stützträger (Kragträger) mit mehreren Einzellasten 

Die Querkraftfläche im Fq, x-Diagramm zeigt zwei 

Nulldurchgänge (1 und 2). 

Um festzustellen, welche der beiden Querschnittsstellen 

das maximale Biegemoment Mbmax zu 

übertragen hat, führt man eine Vergleichsrechnung 

durch (ohne Berücksichtigung der Vorzeichen). 


Mb max ¼b Aq 

Mb max ¼ FAl1 FBðl l1Þ 

FA ¼ 4000 N FB ¼ 2000 N 

Maximales 

Biegemoment 

Mb max ¼ FAl1 ¼ 4000 N 2m¼ 8000 Nm 

Mb max ¼ FBðl l1Þ ¼2000N 4m¼ 8000Nm 

Beachte: Beim Stützträger mit Einzellast 

wirkt Mb max dort, wo die Einzelkraft angreift. 

Berechnet wird Mb max aus der Querkraftfläche 

rechts oder links vom Nulldurchgang. 

Nulldurchgang 1: 

Mb1 ¼b Aq1 ¼b FAl1 

Mb1 ¼ 9,583 kN 2,5 m 

Mb1 ¼ 23,958 kNm 

5 Festigkeitslehre


Das Biegemoment Mb1 erhält man am einfachsten 

über die Rechteckfläche links vom Nulldurchgang 

1. Zur Mb2-Berechnung wird die Fläche rechts 

vom Nulldurchgang 2 genommen. 

Die Rechnung zeigt: 

Das größte Biegemoment tritt im Nulldurchgang 2 

auf. Mb2 ¼ 40 kNm > Mb1 ¼ 23,958 kNm. Damit 

hat man die Mb max-Stelle und den Betrag des 

maximalen Biegemoments gefunden. 

Zur Kontrolle kann die Fläche links vom Nulldurchgang 

2 berechnet werden. Die algebraische 

Summe der Flächeninhalte Aq1 und Aq3 muss 

gleich dem Flächeninhalt Aq2 sein. 

Begründung: Das Biegemoment Mb2 im linken 

Schnittufer des Querschnitts 2 muss gleich dem 

Biegemoment im rechten Schnittufer sein. 

Die beiden Beträge haben entgegengesetztes Vorzeichen 

( 40 kNm, þ40 kNm), weil für den 

Schwerpunkt des Querschnitts SM ¼ 0 erfüllt sein 

muss. 


Die Trägerstelle mit M bðxÞ ¼ 0 liegt zwischen den 

Lagerpunkten A und B. Für diese Schnittstelle 

muss die Summe der Querkraftflächen Aq1 und 

A qðxÞ gleich null sein. 

Nulldurchgang 2: 

Mb2 ¼b Aq2 ¼b F3l2 

Mb2 ¼ 20 kN 2m 

Mb2 ¼ 40 kNm 

Mb max ¼ Mb2 ¼ F3l2 

Mb max ¼ 40 kNm 

Mb2 ¼ FAl1 ðF1 FAÞðl l1Þ F2l3 

¼ð9,583 2,5 ð25 9,583Þ 3,5 10 1Þ kNm 

Mb2 ¼ 40 kNm 

Mb2 þ Mb2 ¼ 0 

Mb2 ¼ Mb2 

Zum Aufzeichnen des Mb, x-Diagramms 

werden die Biegemomente an den Lastangriffsstellen 

berechnet: 

Für x ¼ l1 ist: 

MbðxÞ ¼ FAl1 ¼ 9,583 kN 2,5 m 

¼ 23,958 kNm 

Für x ¼ l l3 ist: 

MbðxÞ ¼ F4ðl l3ÞþF1ðl l3 l1Þ 

¼ 9,583 kN 5mþ 25 kN 2,5 m 

¼ 14,585 kNm 

Für x ¼ l ist: 

Mb2 ¼ FAl þ F1ðl l1ÞþF2l3 

¼ 9,583 kN 6mþ 25 kN 3,5 m þ 10 kN 1m 

¼ 40 kNm ¼ Mb max 

Aq1 ¼ AqðxÞ FAl1 ¼ðx l1ÞðF1 FAÞ 

x ¼ FAl1 9,583 kN 2,5 m 

þ l1 ¼ þ 2,5 m 

F1 FA 25 kN 9,583 kN 

x ¼ 4,059 m

340 

5.9.7.7 Stützträger (Kragträger) mit konstanter Streckenlast 

Die Querkraftfläche zeigt auch hier zwei Nulldurchgänge 

(1 und 2) wie beim vorhergehenden 

Träger. 

Nur an einem der beiden kann Mb max auftreten. 

Auch hier lässt sich nicht sofort erkennen, welche 

der beiden Querkraftflächen größer ist, Aq1 oder 

Aq2. Daher müssen beide berechnet werden. 

Eine Kathete des rechtwinkligen Dreiecks der 

Querkraftfläche Aq1 hat die Länge x. Sie kann abgemessen 

oder berechnet werden. 

Zur Rechnung benutzt man hier die Tatsache, dass 

beim Nulldurchgang, von links nach rechts gesehen, 

die Querkraft gleich null geworden ist. 

Nun lassen sich beide Querkraftflächen auswerten 

und damit das maximale Biegemoment und dessen 

Lage bestimmen. 

Die Vergleichsrechnung zeigt, dass das maximale 

Biegemoment Mb max von 4410 Nm im linken 

Nulldurchgang 1 auftritt. 


Beachte: Das Biegemoment Mb1 im Nulldurchgang 

1 berechnet man mit Blickrichtung 

von 1 nach links und sieht Aq1.Für den 

Querschnitt 2 blickt man vom Lagerpunkt B 

aus nach rechts und sieht Aq2. 

Vom Nulldurchgang 1 aus nach links gesehen 

ergibt: 

FA F 0x ¼ 0 

x ¼ FA 4200 N 

¼ 

F 0 

2000 N 

¼ 2,1 m 

m 

x ¼ 2,1 m 

Mb1 ¼b Aq1 ¼ FAx 4200 N 2,1 m 

¼ 

2 2 

Mb1 ¼ 4410 Nm 

Mb2 ¼b Aq2 ¼ F 0 2 

l1 0 l1 

l1 ¼ F 

2 2 

Mb2 ¼ 2000 N 4m 

m 

2 

¼ 4000 Nm < Mb1 

2 

Mb max ¼ Mb1 ¼ 4410 Nm



Für die beiden Nulldurchgänge im Fq, x-Diagramm 

sollen die Biegemomente berechnet werden. 

Für die Schnittstelle 1 wurde x ¼ 2,1 m ermittelt. 

Das Biegemoment in der Lagerstelle B wird mit 

x ¼ l1 ¼ 2 m berechnet. 

Ein Verlgeich zeigt, dass im Trägerquerschnitt 1 

das größte Biegemoment auftritt: Mb1 > Mb2. 

Zur Ermittlung der Schnittstelle für den Nulldurchgang 

der Mb, x-Kurve ist Mb ¼ 0 in die Gleichung 

für die Schnittstelle 1 einzusetzen. Die Rechnung 

zeigt, dass im Trägerquerschnitt bei x ¼ 4,2 m das 

Biegemoment gleich null ist. 


Im Gegensatz zum Freiträger (5.9.7.4) sind 

hier wegen des Stützlagers B zwei Funktionsgleichungen 

zum Aufzeichnen des Mb, x-Diagramms 

erforderlich. 

Für die Mb-Werte zwischen 0 und B gilt mit 

Blick nach links in Richtung A in der Lageskizze: 

Mb1 ¼ F 0 x 2 

FA x 

2 

Für die Mb-Werte rechts von B gilt mit Blick 

nach rechts: 

Mb2 ¼ F 0 x 2 

2 

In beiden Gleichungen erscheint der mathematische 

Ausdruck F 0 x 2 =2. Die entsprechenden 

Kurvenzüge müssen daher parabolischen 

Verlauf haben (siehe Mb, x-Diagramm). 

Mb1 ¼ F 0 x 2 

2 

FA x 

2000 

Mb1 ¼ 

N 

ð2,1 mÞ2 

m 

2 

Mb1 ¼ 4410 Nm 

Mb2 ¼ F 0x2 2 ¼ 

2000 N 

m ð2mÞ2 

2 

Mb2 ¼ 4000 Nm 

Mb1 ¼ F 0 x 2 

2 

FAx ¼ 0 

4200 N 2,1 m 

F 0x2 2 

FA x ¼ 0;x 

0 F 

x 

2 

FA ¼ 0;x 6¼ 0 

x ¼ FA 2 4200 N 2 

¼ 

F 0 

2000 N 

¼ 4,2 m 

m

342 

5.9.7.8 Stützträger mit Mischlast (Einzellast und konstante Streckenlast) 

Lageskizze mit Fq, x-Diagramm 


Dieser Fall zeigt besonders deutlich, wie einfach sich Lage und Betrag von Mb max mit Hilfe 

der Querkraftfläche bestimmen lassen. 

Nachdem die Stützkräfte berechnet wurden, kann der Querkraftverlauf aufgezeichnet werden. 

Bei nur einem Nulldurchgang liegt die Mb max-Stelle sofort fest. Das Maß x wird abgemessen 

oder berechnet. Damit lässt sich dann aus der Querkraftfläche rechts oder links vom Nulldurchgang 

Mb max berechnen. 


Zum Aufzeichnen des Mb, x-Diagramms 

genügt es, die Mb-Werte für die Querschnitte 

unter dem Lastangriff von F und an den beiden 

Begrenzungen der Streckenlast F 0 zu 

berechnen: 

MbðFÞ ¼ FAl1 ¼ 3300 Nm 

M bðlinksÞ ¼ FA l l2 

þ F l l2 

¼ 4275 Nm 

l3 

2 þ 

l3 

þ l1 

2 

l3 

MbðrechtsÞ ¼ FB l2 ¼ 2625 Nm 

2 

Der Mb-Verlauf zwischen den Endpunkten 

der Ordinatenwerte und den Nullpunkten A 

und B muss liniear sein (siehe 5.9.7.1 und 

5.9.7.2). Dazwischen liegt der parabolische 

Kurvenzug für den Mb-Verlauf infolge der 

Streckenlast F 0 (siehe 5.9.7.3). 

5 Festigkeitslehre


5.9.8 Träger gleicher Biegespannung 

5.9.8.1 Allgemeine Anformungsgleichung 

Hat ein Biegeträger durchgehend gleichen Querschnitt 

(W ¼ konstant), dann hat im Normalfall 

jeder Querschnitt eine andere Biegespannung sb. 

Die Maximalspannung sb max tritt nur in dem 

Querschnitt auf, der das maximale Biegemoment 

zu übertragen hat. 

Durch die so genannte Anformung erreicht man, 

dass jeder Querschnitt gerade so groß wird, wie es 

zur Aufnahme der zulässigen Biegespannung sbzul 

erforderlich ist. Man hat dann einen Träger gestaltet, 

der in allen Querschnitten die gleiche Biegespannung 

aufweist. 

Für jeden beliebigen Querschnitt x gilt die Biege- 

Hauptgleichung sbx ¼ Mbx=Wx, mit Biegemoment 

Mbx und dem Widerstandsmoment Wx. Gleiche 

Biegespannung sbx ¼ sb zul werden dann erreicht, 

wenn dafür gesorgt wird, dass überall der Quotient 

Mbx=Wx gleich groß ist. Diese Bedingung führt zur 

Anformungsgleichung in der allgemeinen Form. 

5.9.8.2 Achsen und Wellen 

Am Beispiel einer Radachse von kreisförmigem 

Querschnitt wird die Anformung von Achsen und 

Wellen erläutert: 

Die Einspannstelle hat das maximale Biegemoment 

Mb max ¼ Fl zu übertragen und der (beliebige) 

Querschnitt x x das Biegemoment Mbx ¼ Flx. 

Die Anformung erfordert, dass der Quotient aus 

Biegemoment Mb und Widerstandsmoment W in 

allen Querschnitten gleich groß bleibt. 

Für die Mbmax-Stelle gilt Mb max=Wmax ¼ sbzul,für 

jede beliebige Stelle Mbx=Wx ¼ sbzul, so dass man 

beide Quotienten gleichsetzen kann. 

Beim Kreisquerschnitt gilt für das axiale Widerstandsmoment 

W ¼ 0,1d 3 . Wird dieser Ausdruck 

in die Ausgangsgleichung eingesetzt und außerdem 

die beiden Biegemomente durch Fl und Flx 

ersetzt, dann erhält man die gesuchte Anformungsgleichung 

für Achsen und Wellen mit kreisförmigem 

Querschnitt. 

sbx ¼ Mbx 

¼ sb zul ¼ konstant 

Wx 

Mbx1 

¼ 

Wx1 

Mbx2 

¼ ...¼ konstant 

Wx2 

Anformungsgleichung, allgemeine Form 

Mbmax 

Wmax 

Fl 

Flx 

¼ Mbx 

) 

Wx 

Mbmax 

¼ 

Mbx 

Wmax 

Wx 

¼ 0,1d 3 max 

0,1dx 3 

dx ¼ dmax 

rffiffiffi 

3 

lx 

l 

l 

lx 

¼ d 3 max 

dx 3 

Anformungsgleichung für Achsen und Wellen

344 

Mit der Anformungsgleichung können nun die Durchmesser dx für mehrere Trägerstellen x 

berechnet und in eine Wertetabelle eingetragen werden: 

Wertetabelle 

Lastentfernung lx ¼ l 

Wurzelfaktor ¼ 1 

3 

4 l 

rffiffiffiffi 

3 3 

0,9 

4 

1 

2 l 

rffiffiffiffi 

3 1 

0,8 

2 

1 

4 l 

rffiffiffiffi 

3 1 

0,63 

4 

1 

8 l 

rffiffiffiffi 

3 1 

0,5 

8 

Durchmesser dx ¼ dmax d1 ¼ 0,9 dmax d2 ¼ 0,8 dmax d3 ¼ 0,63 dmax d4 ¼ 0,5 dmax 

Die Durchmesser nehmen vom Höchstwert dmax 

an der Einspannstelle bis zum Trägerende nach 

einer kubischen Parabel ab. Als praktische Ausführung 

der Anformung dient die Kegelform. Der 

Kegelstumpfmantel muss den Parabelkörper einhüllen. 

Mit der Anformungsgleichung lässt sich die Anformung 

als Graph gut auf dem Rechner darstellen. 

5.9.8.3 Biegefeder mit Rechteckquerschnitt 

Der Rechteckquerschnitt von Biegeträgern lässt 

sich in der Breite b oder in der Höheh anformen. 

Als Beispiel kann man die Biegefeder als Biegeträger 

ansehen und sie in der Breite b anformen, 

also die Höhe (Dicke) h konstant halten. Dazu 

wird in gleicher Weise vorgegangen wie unter 

5.9.8.2 bei der angeformten Achse. Statt 

W ¼ 0,1 d 3 muss man hier W ¼ bh 2 =6 einsetzen 

(Tabelle 5.1, Seite 309). Die Anformung der Höhe 

h bei konstanter Breite b wird im Anschluss unter 

5.9.8.4 behandelt. 

Die Anformungsgleichung zeigt, dass die Breite 

von bmax an der Einspannstelle bis zum Trägerende 

gleichmäßig abnimmt. Es entsteht eine Dreieckblattfeder 

von gleichbleibender Dicke h. 

Wird der Wert bmax zu groß, teilt man die Blattfeder 

in gleich breite Streifen auf und schichtet 

diese aufeinander zur Mehrschichtfeder. 

Bei z ¼ Blattzahl ist bmax ¼ zb0, wobei b0 die 

Blattbreite ist. 

Anformung einer Radachse 

Mbmax 

Mbx 

Fl 

Flx 

¼ Wmax 

Wx 

¼ bmax h 2 6 

bx h 2 6 

bx ¼ bmax 

lx 

l 

l 

lx 

¼ bmax 

bx 

Anformungsgleichung 

für Blattfedern 

Anformung einer Biegefeder 

5 Festigkeitslehre


5.9.8.4 Konsolträger mit Einzellast 

Das Belastungsschema ist beim Konsolträger das 

gleiche wie bei der Blattfeder, nur wird man beim 

Konsolträger nicht die Breite b, sondern die Höhe 

h anformen. 

Wird auch hier wieder vom Rechteckquerschnitt ausgegangen, 

also W ¼ bh2 =6, dann kürzt sich in der 

Gleichung unter anderem die Breite b heraus. Man 

erhält die Anformungsgleichung für die Höhehx. 

Mit der Anformungsgleichung kann die Höhe hx 

für mehrere Trägerstellen x berechnet und in eine 

Wertetabelle eingetragen werden: 

Wertetabelle 

Lastentfernung lx ¼ l 

3l 

4 

Trägerhöhe hx ¼ hmax h1 ¼ 0,866 hmax h2 ¼ 0,707 hmax h3 ¼ 0,5 hmax h4 ¼ 0,354 hmax 

Die Höhen h1, h2 ...nehmen vom Höchstwert hmax 

an der Einspannstelle bis zum Trägerende nach einer 

quadratischen Parabel ab. 

Auch hier ist eine Graphik auf dem Rechner leicht 

zu erstellen. 

5.9.8.5 Konsolträger mit Streckenlast 

Auch bei gleichmäßig verteilter Last wird man einen 

Konsolträger nach der Höhe h anformen. 

Im Gegensatz zum Konsolträger mit Einzellast hat 

man hier in die allgemeine Anformungsgleichung 

für die Biegemomente einzusetzen: 

Mb max ¼ F 0 l 2 =2 und Mbx ¼ F 0 lx 2 =2. Dann wird 

in gewohnter Weise die Anformungsgleichung entwickelt. 

Sie ist ebenso aufgebaut wie die Gleichung 

in 5.9.8.3: Die Höhe hx wächst proportional 

mit lx. 

Die Querschnittshöhe nimmt vom Höchstwert hmax 

an der Einspannstelle bis zum Trägerende gleichmäßig 

ab. Es entsteht ein Träger in Hochdreieckform 

(Keilform). 

l 

2 

Mbmax 

Mbx 

Fl 

Flx 

¼ Wmax 

Wx 

¼ bh2 max 6 

bhx 2 6 

hx ¼ h max 

rffiffiffi 

lx 

l 

l 

4 

l 

lx 

¼ h 2 max 

hx 2 

Anformungsgleichung 

für Konsolträger 

l 

8 

Angeformter Konsolträger mit Einzellast 

Mbmax 

Mbx 

¼ Wmax 

Wx 

F 0l 2 =2 

F0 lx 2 =2 ¼ bh2max6 bhx 26 hx ¼ hmax 

lx 

l 

l 2 

lx 2 ¼ h 2 max 

hx 2 

Anformungsgleichung für 

Freiträger mit Streckenlast 

Angeformter 

Konsolträger 

mit 

Streckenlast

346 

5.9.9 Formänderung bei Biegung 1) 

Wird ein Stab elastisch gebogen, dann behält nur 

die neutrale Faserschicht ihre ursprüngliche Länge 

bei, alle anderen Schichten verlängern oder verkürzen 

sich. 

Die in der neutralen Faserschicht liegende und vor 

dem Kraftangriff noch gerade Stabachse wird zur 

Biegelinie verformt. Dabei entsteht die Durchbiegung 

f. Die Endtangente t der Biegelinie liegt unter 

dem Neigungswinkel a. 

Beide Größen sind für die Konstruktion von 

Biegeträgern aller Art von Bedeutung, z. B. für 

Getriebewellen. Es sollen deshalb Berechnungsgleichungen 

für Durchbiegung und Neigung der 

Biegelinie entwickelt werden. Dabei geht man immer 

von einem Träger mit gleichbleibendem Querschnitt 

aus (Achse, -Träger). 

5.9.9.1 Krümmungsradius, Krümmung 

Die beiden dicht beieinander liegenden Schnittufer 

1 und 2, die vor der Verformung parallel zueinander 

lagen, stehen nun unter dem Winkel j 

zueinander geneigt. Ihre Fluchtlinien schneiden 

sich im Krümmungsmittelpunkt 0 und ergeben 

den Krümmungsradius r x an der untersuchten 

Trägerstelle x. 

Gegenüber dem kleinen Bogenstück s der Biegelinie 

hat sich die äußere Zugfaser um Ds verlängert. 

Mit dem Øhnlichkeitssatz erhält man die 

Proportion Ds=s ¼ e=r x . 

Geometrische Verhältnisse am 

einseitig eingespannten Biegeträger 

(Freiträger) mit Einzellast; 

Krümmung stark übertrieben 

gezeichnet. 

s þ Ds 

s ¼ rx þ e 

ðÄhnlichkeitssatzÞ 

r x 

1 þ Ds e 

¼ 1 þ 

s rx ) Ds e 

¼ 

s rx 1) Formeln zur Berechnung der Stützkräfte, Momente und Durchbiegungungen bei Biegeträgern 

siehe A. Böge: Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, Verlag Vieweg+ Teubner. 

5 Festigkeitslehre


Mit dem Hooke’schen Gesetz, hier also mit 

sx ¼ eE, ergibt sich aus der Ausgangsproportion 

Ds=s ¼ e=r x eine Beziehung für den Krümmungsradius 

r x an der untersuchten Trägerstelle x. 

Darin ist sx die zwischen den Schnittufern herrschende 

Biegespannung. 

Schreibt man die Biegehauptgleichung in der 

Form sb ¼ Mb e=I nach 5.9.5 (Seite 332), dann 

lassen sich Biegespannung sx und Randfaserabstand 

e durch die Größen Biegemoment Mx und 

axiales Flächenmoment 2. Grades I ersetzen. 

Der Kehrwert des Krümmungsradius wird als 

Krümmung kx bezeichnet. 

5.9.9.2 Allgemeine Durchbiegungsgleichung 

Durch die Neigung der einzelnen Querschnitte entsteht 

am Trägerende die Durchbiegung f. Werden 

in den Punkten 1 und 2 an die Biegelinie die Tangenten 

angelegt, so schließen sie ebenso wie die 

Krümmungsradien r x den Winkel j ein. Die Tangenten 

schneiden auf der Vertikalen am Trägerende 

(Wirklinie von F) von der gesamten Durchbiegung 

f das stark übertrieben gezeichnete Stück D f 

ab. Es ist also f ¼ SDf : 

Aus der Øhnlichkeit der schraffierten Dreiecke an 

der Biegelinie ergibt sich die Proportion 

s=r x ¼ D f =x. Für den Krümmungsradius r x kann 

die oben hergeleitete Beziehung eingesetzt werden. 

Werden noch die Teillängen D f summiert, 

dann findet man die gesuchte Gleichung für die 

gesamte Durchbiegung f . Elastizitätsmodul E und 

Flächenmoment 2. Grades I sind Konstante, sie 

können also vor das Summenzeichen S gezogen 

werden. 

Ds 

¼ Dehnung e ðsiehe 5:2:3:1; Seite 281Þ 

s 

e ¼ sx 

E Hooke0sches Gesetz nach 5:2:3:4Þ 

Ds e 

¼ ¼ 

s rx sx 

E und daraus r eE 

x ¼ 

sx 

r x ¼ eE 

sx 

r x ¼ EI 

Mx 

Krümmungsradius 

kx ¼ 1 

¼ 

rx Mx 

EI 

r x 

1 

ϕ 

r x 

s 

s 

sx ¼ Mx e e 

) ¼ 

I sx 

I 

Mx 

2 

ϕ 

Krümmung 

x 

Biegelinie 

F 

f 

Beachte: Nur im Grenzfall sind die beiden 

schraffierten Dreiecke ähnlich. 

s 

r x 

D f sx 

¼ ) D f ¼ 

x rx D f ¼ sxMx 

EI 

¼ 1 

EI Mx sx 

f ¼ SDf ¼ S 1 

EI Mx sx 

f ¼ 1 

EI SMx sx 

r x E I Mx 

mm 

N 

mm 2 mm4 Nmm 

f 

α

348 

Das Produkt Mx s (Biegemoment mal Teillänge s an 

der Trägerstelle x) ist im Bild der Momentenfläche 

das Teilstück DAM der gesamten Momentenfläche 

AM. Aus der Schwerpunktslehre (2.2, Seite 77) ist 

bekannt, dass die Summe der Momente der Teilflächen 

gleich dem Moment der Gesamtfläche ist. 

Mit x0 als Schwerpunktsabstand der gesamten 

Momentenfläche (hier Dreieckfläche) ergibt sich 

abschließend die allgemeine Durchbiegungsgleichung. 

Die Momentenfläche DAM ist das Produkt aus 

dem Biegemoment Mx und der Teillänge s; folglich 

hat AM die Einheit Nmm mm ¼ Nmm 2 . 

5.9.9.3 Neigungswinkel der Biegelinie 

Das Bild zur allgemeinen Durchbiegungsgleichung 

zeigt, dass zwei dicht benachbarte Tangenten 

an die Biegelinie den Winkel j einschließen. 

Der Neigungswinkel a der Endtangente ist also 

die Summe aller Winkel j. Die Gleichung 

j ¼ s=r ist die Definitionsgleichung für den 

Winkel j. Das Produkt Mxs ist gleich dem Flächeninhalt 

der Teilfläche DAM; außerdem ist 

SDAM ¼ AM. 

Es ist bekannt, dass für kleine Winkel mit der 

Einheit rad auch der Tangens des Winkels eingesetzt 

werden kann. Damit ist die Endform für die 

Gleichung des Neigungswinkels a gefunden. In 

der zweiten Form dieser Beziehung hat man entsprechend 

der allgemeinen Durchbiegungsgleichung 

AM=EI ¼ f =x0 einzusetzen. 

SMxsx ¼ SDAMx ¼ AM x0 

f ¼ 1 

EI AMx0 

Allgemeine Durchbiegungsgleichung 

f E I AM x0 

mm 

N 

mm 2 mm4 Nmm 2 mm 

Bogenstück s 

j ¼ 

Krümmungsradius r 

a ¼ Sj ¼ 

P s 

a ¼ 

EI 

Mx 

P s 

r 

r ¼ EI 

eingesetzt 

Mx 

P sMx 1 

¼ ¼ 

EI EI SMx s 

a ¼ 1 

EI SDAM ¼ 1 

EI AM 

a ¼ arc a ¼ tan a 

tan a ¼ 1 

EI AM 

tan a ¼ f 

x0 


Neigung der Endtangente 

an die Biegelinie


5.9.10 Ûbungen zur Durchbiegungsgleichung 

1. Ûbung: Freiträger mit Einzellast 

Für den skizzierten Freiträger mit Einzellast hat 

die Momentenfläche die Form eines Dreiecks. Mit 

der Balkenlänge l und der Dreieckshöhe Mb max 

¼ Fl lässt sich der Flächeninhalt AM ausdrücken. 

Der Schwerpunktsabstand der Dreieckfläche beträgt 

x0 ¼ 2l=3. Mit den Beziehungen für Mb max, 

AM und x0 erhält man aus der allgemeinen Durchbiegungsgleichung 

die spezielle Durchbiegungsgleichung 

und die Gleichung zur Berechnung des 

Neigungswinkels a für die Endtangente. 

2. Ûbung: Freiträger mit konstanter Streckenlast 

Die Momentenfläche beim Freiträger mit konstanter 

Streckenlast wird von einer Parabel begrenzt 

(siehe 5.9.7.3, Seite 335). Der Flächeninhalt AM ist 

gleich einem Drittel der umschriebenen Rechteckfläche: 

AM ¼ Mb max l=3. Der Schwerpunktsabstand 

beträgt x0 ¼ 3l=4 (Formelsammlung). 

Das maximale Biegemoment ist hier halb so groß 

wie beim Freiträger mit Einzellast, also Mbmax ¼ 

Fl=2, mit der Resultierenden aus der Streckenlast 

F ¼ F 0 l. 

Damit erhält man wie in der 1. Ûbung die spezielle 

Durchbiegungsgleichung und die Gleichung für 

den Neigungswinkel a der Endtangente an die 

Biegelinie. 

3. Ûbung: Stützträger mit Einzellast in Trägermitte 

Zur Herleitung einer Gleichung für die maximale 

Durchbiegung f in Trägermitte darf nur mit der 

Momentenfläche bis zur Stelle der größten Durchbiegung 

gerechnet werden. Das ist zugleich die 

Mb max-Stelle, mit Mb max ¼ðF=2Þ ðl=2Þ ¼Fl=4 

(siehe 5.9.7.5, Seite 337). Der Schwerpunktsabstand 

der Momentenfläche AM (Dreieckfläche) beträgt 

x0 ¼ l=3. 

f ¼ 1 

EI AM x0; AM ¼ Mb max 

l l Fl2 

¼ Fl ¼ 

2 2 2 

f ¼ 1 

EI 

Fl2 2 

2 

3 l 

f ¼ Fl3 

3EI 

tan a ¼ f 

x0 

¼ Fl2 

2EI 

f ¼ 1 

EI AM x0 ; AM ¼ 1 

3 Mbmaxl ¼ 1 

3 

f ¼ 1 

EI 

f ¼ Fl3 

8EI 

Fl 2 

6 

3 

4 l 

tan a ¼ f 

x0 

¼ Fl2 

6EI 

Fl 

2 l

350 

Mit dem Ausdruck für x0 und mit der Beziehung 

für den Flächeninhalt der Momentenfläche 

AM ¼ Fl 2 =16 ergibt sich die spezielle Durchbiegungsgleichung 

und die Gleichung zur Berechnung 

des Neigungswinkels a für die Endtangente. 

4. Ûbung: Stützträger mit konstanter Streckenlast 

Zur Herleitung einer Gleichung für die maximale 

Durchbiegung f in Trägermitte darf nur mit der 

Momentenfläche bis zur Stelle der größten Durchbiegung 

gerechnet werden (siehe 3. Ûbung). 

Das ist hier zugleich die Mb max-Stelle, mit 

Mb max ¼ Fl=8. Der Flächeninhalt AM der Parabelfläche 

beträgt zwei Drittel der umschriebenen 

Rechteckfläche (siehe 2. Ûbung). Der Schwerpunktsabstand 

beträgt 5l=16 (siehe auch Handbuch 

Maschinenbau, Flächenschwerpunkt). 

Wie in der 2. Ûbung wird die Resultierende der 

Streckenlast mit F ¼ F 0 l berechnet. 

Wie in den vorhergehenden Ûbungen geht man 

von der allgemeinen Durchbiegungsgleichung aus, 

um die speziellen Gleichungen für f und tan a zu 

bekommen. 

5. Ûbung: Biegeträger mit mehreren Belastungen (Ûberlagerungsprinzip) 

In praktischen Aufgaben wirken häufig mehrere 

Belastungen zugleich in einer Ebene biegend, z. B. 

eine Einzelkraft neben der gleichmäßig über dem 

Träger verteilten Eigengewichtskraft. Solche Aufgabenstellungen 

löst man nach dem Ûberlagerungsprinzip. 

Es besteht darin, dass man sich die 

Belastungen einzeln auf den Träger aufgesetzt vorstellt, 

deren Einzeldurchbiegungen f1, f2, f3 ... mit 

den bekannten Gleichungen bestimmt und zum 

Schluss diese Beträge addiert. 

Im vorliegenden Fall sind die Gleichungen für f1 

(3. Ûbung) und f2 (4. Ûbung) bekannt und es kann damit 

eine Gleichung fürfges ¼ f1 þ f2 erstellt werden. 

f ¼ 1 

EI AM x0 

AM ¼ Mb max 

f ¼ 1 

EI 

f ¼ Fl3 

48EI 

l Fl 

¼ 

4 4 

Fl2 l 

16 3 

f ¼ 1 

EI AM x0 

AM ¼ 2 

3 Mbmax 

f ¼ 1 

EI 

f ¼ 5 

384 

Fl 2 

24 

Fl 3 

EI 

l 

2 

5 

16 l 

fges ¼ f1 þ f2 ¼ Fl3 

EI 

fges ¼ 0,034 Fl3 

EI 

l Fl2 

¼ 

4 16 

tan a ¼ f 

¼ 2 

3 


Fl 

8 

x0 

¼ l 

2 

tan a ¼ f 

¼ Fl2 

16EI 

x0 

1 5 

þ 

48 384 

¼ Fl2 

24EI

5.10 Beanspruchung auf Knickung 351 

5.10 Beanspruchung auf Knickung 

5.10.1 Grundbegriffe 

Ist bei der Beanspruchung auf Druck der Stab sehr 

schlank, d. h. ist die Stablänge l im Verhältnis zu 

seiner Querschnittsfläche A sehr groß, so besteht 

die Gefahr des seitlichen Ausknickens. Das kann 

geschehen, obwohl der Stab genau in Richtung 

seiner Achse belastet wird und obwohl die Druckspannung 

sd noch unter der Proportionalitätsgrenze 

sdP liegt. Die Tragfähigkeit ist also schon 

vorher erschöpft. Knickung ist daher auch kein 

Spannungsproblem wie Zug, Druck, Biegung und 

Torsion, sondern ein Stabilitätsproblem: Trotz gleicher 

Querschnittsfläche A und gleicher Druckkraft 

F steigt die Gefahr des Ausknickens mit zunehmender 

Länge l. 

Die besondere Problematik der Knickung hat zur 

Definition besonderer Größen geführt. 

Knickkraft FK ist diejenige Kraft, bei der das Ausknicken 

eines Stabes gerade beginnt. Dividiert 

man die Knickkraft FK durch die Querschnittsfläche 

A, erhält man eine Spannung, die als Knickspannung 

sK bezeichnet wird. Entsprechend der 

Definition von FK herrscht die Knickspannung sK 

dann, wenn der Stab auszuknicken beginnt. 

Da ein Bauteil nicht ausknicken darf, ist dafür zu 

sorgen, dass die tatsächliche Belastung, die Druckkraft 

F, immer wesentlich kleiner bleibt als die 

Knickkraft FK. Das gleiche gilt dann auch für die 

tatsächlich im Bauteil vorhandene Druckspannung 

sd vorh und für die Knickspannung sK. Immer muss 

sd vorh < sK sein. Knickkraft FK und Knickspannung 

sK sind also Größen, die niemals erreicht 

werden dürfen. 

Beispiele knickgefährdeter Bauteile aus dem 

Maschinenbau: 

Pleuelstangen, Kolbenstangen, Stößel, 

Spindeln von Pressen, Bremsgestänge 

zunehmende Länge bedeutet 

zunehmende Knickgefahr 

A 

F 

l 

A 

F 

l 

A 

F 

l 

Neue Größen sind: 

Knickkraft FK, Knickspannung sK, Trägheitsradius 

i, Schlankheitsgrad l (Lambda) 

A 

F 

l 

Knickkraft FK 

Knickspannung sK ¼ 


sK ¼ FK 

A 

Sicherheit gegen Knicken 

ðKnicksicherheit vÞ 

v ¼ FK 

F 

¼ sK 

sd vorh 

sK FK A 

N 

mm 2 N mm 2 

Knickkraft FK 

v ¼ 

Druckkraft F 

v 3 ...10 im 

Maschinenbau

352 

Die Knickkraft FK (Knickspannung sK) ist diejenige 

Kraft (Spannung), bei der das Ausknicken 

beginnt. Die vorhandene Druckkraft muss 

mit Sicherheit unter der Knickkraft bleiben, 

ebenso die vorhandene Druckspannung unter 

der Knickspannung. 

5.10.2 Elastische Knickung (Eulerfall) 

Für den Fall, dass die Knickspannung sK noch unterhalb 

der Proportionalitätsgrenze sdP des Werkstoffs 

liegt, hat Euler 1) eine Gleichung für die 

Knickkraft FK entwickelt. 

Mit einem Lineal kann man sich klarmachen, dass 

ein Stab immer um diejenige Achse knickt, für die 

das axiale Flächenmoment 2. Grades den kleinsten 

Wert hat (Imin). 

Die Knickkraft FK, also diejenige Kraft, bei der 

das Knicken gerade beginnen würde, kann allein 

durch die Führungsverhältnisse verändert werden, 

unter denen sich die Stabenden in Richtung der 

Stabachse aufeinander zu bewegen. Je sicherer es 

ist, dass die Druckkraft F während des Zusammendrückens 

exakt in der Stabachse wirkt, desto 

größer kann die Knickkraft FK angesetzt werden. 

Mit Ausnahme der Einspannung mit freiem Ende 

(Fall 1) sollte immer nach dem Grundfall (Fall 2) 

gearbeitet werden, das heißt, man setzt nicht 

s ¼ 0,707l (Fall 3) oder s ¼ 0,5l (Fall 4), sondern 

s ¼ l in die Eulergleichung ein. 

Die Eulergleichung wird nun so geschrieben, wie 

sie für das Lösen von praktischen Aufgaben gebraucht 

wird. Dazu sollte man sich der Beziehung 

zwischen Knickkraft FK und vorhandener Druckkraft 

F über die Knicksicherheit v ¼ FK=F erinnern. 

Statt Imin wird Ierf geschrieben, in Anlehnung 

an die Arbeitsgleichungen der vorangegangenen 

Beanspruchungsarten. Ist das erforderliche axiale 

Flächenmoment 2. Grades Ierf berechnet, können 

mit den Gleichungen aus Tabelle 5.1, Seite 309, 

die Querschnittsmaße festgelegt werden. 

1) Leonhard Euler, Mathematiker, 1707–1783 

Beispiel: 

Für die Kolbenstange einer Kolbenpumpe sei 

die Knickkraft FK ¼ 20 000 N. Mit Knicksicherheit 

v ¼ 8 darf die vorhandene Druckkraft 

höchstens 

F ¼ FK=v ¼ 20 000 N=8 ¼ 2500 N betragen. 

2 

EIminp 

FK ¼ 

s2 E Elastizitätsmodul (Tabelle 5.8, Seite 385) 

Imin kleinstes axiales Flächenmoment 

2. Grades des Querschnitts (Tabelle 5.1, 

Seite 309) 

s freie Knicklänge 

FK ¼ Fv ¼ EImin p 2 

Ierf ¼ vFs2 

E p 2 

s 2 


FK E I s 

N 

N 

mm2 mm4 mm 

Ierf v F E 

mm4 1 N 

N 

mm2 v Knicksicherheit (Einheit Eins) 

F vorhandene Druckkraft 

s ¼ l Einspannlänge 

E Elastizitätsmodul (Tabelle 5.8, Seite 385)


Die nach Ierf aufgelöste Eulergleichung garantiert 

nicht, dass der vorliegende Fall tatsächlich im Gültigkeitsbereich 

dieser Gleichung liegt, also im Gültigkeitsbereich 

des Hooke’schen Gesetzes. Nur in 

diesem Bereich ist der E-Modul eine Konstante, 

und nur für diesen Fall kann die Eulergleichung 

gelten. 

Um zu wissen, ob und wann man im Einzelfall mit 

der Eulergleichung rechnen darf, wird eine Gleichung 

für die Knickspannung sK entwickelt. Dazu 

benutzt man die Beziehung sK ¼ FK=A. Zur Vereinfachung 

wird statt Imin nur I geschrieben. 

Mit dem Ziel, eine möglichst einfach aufgebaute 

Gleichung für sK zu erhalten, hat man zwei neue 

Größen eingeführt, den Trägheitsradius i und den 

Schlankheitsgrad l: 

Zunächst bieten sich die beiden geometrischen 

Größen I und A zur Vereinfachung an. Man setzt 

das axiale Flächenmoment I ¼ i 2 A und bezeichnet 

i als den Trägheitsradius des Querschnitts. 

Für den Kreisquerschnitt ist nach Tabelle 5.1, Seite 

309, das axiale Flächenmoment I ¼ pd 4 =64; 

die Kreisfläche berechnet sich aus A ¼ pd 2 =4. 

Damit erhält man eine sehr einfache Beziehung für 

den Trägheitsradius eines Kreisquerschnitts. 

Nach der Einführung des Trägheitsradius erscheint 

bei entsprechender Schreibweise in der Eulergleichung 

für die Knickspannung nun der Quotient 

s 2 =i 2 (siehe oben). Die Wurzel daraus heißt 

Schlankheitsgrad l. 

Damit ist die einfachste Form für die Eulergleichung 

gefunden. Sie zeigt, dass Stäbe von gleichem 

Schlankheitsgrad (geometrisch ähnliche 

Stäbe) die gleiche Knickspannung sK haben und 

dass sK außer von l nur vom Elastizitätsmodul E 

abhängig ist. 

Beachte: Die Eulergleichung gilt nur dann, 

wenn die Knickspannung sK gleich oder 

kleiner ist als die Proportionalitätsgrenze sdP 

des Werkstoffs. 

Zur Proportionalitätsgrenze siehe 

Abschnitt 5.12.1, Seite 375. 

sK ¼ FK 

A 

¼ EIp2 

s 2 A 

sK ¼ E p 2 I 

A 

1 

s 2 

sK ¼ E p 2 ðI=AÞ 

s2 ¼ E p2 i2 E p2 

¼ 

s2 ðs2 =i2Þ rffiffiffiffi 

I 

Trägheitsradius i ¼ 

A 

i 2 ¼ I 

A 

(Gleichungen für i in Tabelle 5.1, Seite 309) 

4 pd 

I ¼ 

64 


I 

i ¼ 

A 

i ¼ d 

4 

2 pd 

A ¼ 

4 


pd 

¼ 

4 4 

64 pd 2 

r 

Trägheitsradius 

für Kreisquerschnitt 

freie Knicklänge s 

Schlankheitsgrad l ¼ 

Trägheitsradius i 

l ¼ s 

i 

E p2 

sK ¼ 

l 2 

Knickspannung 

sK, E l s, i 

N 

mm 2 1 mm

354 

Trägt man entsprechend der Eulergleichung die 

Knickspannung sK über dem Schlankheitsgrad l 

auf, so ergibt sich eine Hyperbel dritten Grades. Es 

wird mit dem Elastizitätsmodul für Stahl gerechnet: 

E ¼ 210 000 N=mm 2 ¼ 2,1 10 5 N=mm 2 : 

Bekannt ist, dass die Eulergleichung nur gilt, solange 

die Knickspannung sK sdP (Proportionalitätsgrenze) 

ist. Mit diesem Wert für sdP (für 

S235JR etwa 190 N/mm2 ) kann mit einer Waagerechten 

im Diagramm die obere und linke Grenze 

des Gültigkeitsbereichs für die Eulergleichung 

festgelegt werden (elastischer Bereich). Lotet man 

vom Schnittpunkt der Waagerechten mit der Euler- 

Hyperbel auf die l-Achse, dann wird als einfaches 

Kriterium für alle Rechnungen der Grenzschlankheitsgrad 

l0 gefunden. Nur mit Schlankheitsgraden 

l rechts vom Grenzschlankheitsgrad l0 ist 

die Gültigkeit der Eulergleichung gewahrt (siehe 

Arbeitsplan 5.10.4, Seite 356). 

Ûber die Eulergleichung für die Knickspannung 

kann man den Grenzschlankheitsgrad l0 für verschiedene 

Werkstoffe in Abhängigkeit von der Proportionalitätsgrenze 

sdP berechnen. Da l0 immer 

der untere Grenzwert ist, für den die Eulergleichung 

gerade noch gilt, wird l0 ¼ lmin geschrieben. 

Je höher die Proportionalitätsgrenze sdP des Werkstoffs 

liegt, umso kleiner ist der Grenzschlankheitsgrad 

l0, das heißt, umso größer wird der Bereich, 

für den die Eulergleichung gilt. 

Für die wichtigsten Werkstoffe gibt Tabelle 5.3 die 

Grenzschlankheitsgrade zur Euler’schen Knickberechnung 

an. 

Die Eulergleichung gilt nur, solange der errechnete 

Schlankheitsgrad l gleich oder größer ist 

als der in Tabelle 5.3 angegebene Grenzschlankheitsgrad 

l0. Gültigkeitsbereich der Eulergleichung: 

s=i ¼ lvorh l0. 

Euler-Hyperbel mit Grenzschlankheitsgrad 

l0 für S235JR 

Beachte: Bei allen Rechnungen nach Euler 

muss garantiert sein, dass der vorhandene 

Schlankheitsgrad lvorh größer ist als der 

Grenzschlankheitsgrad l0: 

lvorh > l0 


E 

l0 ¼ lmin ¼ p 

Eulerbedingung 

sdP 

Grenzschlankheitsgrad 

Beispiel: 

Für den Werkstoff Stahl mit 

E ¼ 2,1 10 5 N=mm 2 und einer Proportionalitätsgrenze 

sdP ¼ 190 N=mm 2 (S235JR) 

wird der Grenzschlankheitsgrad: 



2,1 10 

E 

l0 ¼ p ¼ p 

sdP 

5 N 

mm2 190 N 

mm2 v 

u 

t 

l0 ¼ 104,44 

5 Festigkeitslehre


Tabelle 5.3 Grenzschlankheitsgrad l0 für Euler’sche Knickung und Tetmajergleichungen 

Werkstoff E-Modul in N 

mm 2 

Nadelholz 

Gusseisen 

S235JR 

E295 und E335 

Al –Cu –Mg 

Al –Mg3 

10 000 

100 000 

210 000 

210 000 

70 000 

70 000 

Grenzschlankheitsgrad 

l0 

100 

80 

105 

89 

66 

110 

5.10.3 Unelastische Knickung (Tetmajerfall) 

Es wird nun die Frage geklärt, was zu tun ist, wenn 

sich bei der Nachrechnung des Schlankheitsgrades 

l mit den gegebenen Abmessungen zeigt, dass der 

Grenzschlankheitsgrad l0 (Tabelle 5.3) unterschritten 

worden ist (lvorh < l0). 

In diesem Fall können die Eulergleichungen nicht 

mehr gelten. Man hätte dann mit einer Knickspannung 

sK gerechnet, die größer ist als die Proportionalitätsgrenze 

sdP. In diesem Spannungsbereich 

gilt das Hooke’sche Gesetz, das Euler seiner Gleichung 

zugrunde gelegt hat, nicht mehr. Das wird 

daran erkannt, dass in den Eulergleichungen für 

die Knickkraft FK und Knickspannung sK der 

Elastizitätsmodul E erscheint. 

Tetmajer und andere Forscher haben für die Fälle 

lvorh < l0 aus vielen Versuchen Berechnungsgleichungen 

entwickelt. Weil diesen Versuchen Knickspannungen 

sK zugrunde liegen, die größer sind 

als die Proportionalitätsgrenze sdP, spricht man 

von unelastischer Knickung. 

Mit den Tetmajergleichungen ist eine unmittelbare 

Berechnung der Querschnittsabmessungen im Gegensatz 

zum Eulerfall nicht möglich. 

Bei allen Knickaufgaben mit unbekannten Querschnittsabmessungen, 

also auch unbekanntem 

Schlankheitsgrad l, berechnet man daher zunächst 

das erforderliche axiale Flächenmoment 2. Grades 

aus der Eulergleichung und bestimmt nach Tabelle 

5.1, Seite 309, die Querschnittsabmessungen (im 

Beispiel den Durchmesser d) und den Trägheitsradius 

i. 

Tetmajergleichungen 

für sK in N 

mm 2 

sK ¼ 29,3 0,194 l 

sK ¼ 776 12 l þ 0,053 l 2 

sK ¼ 310 1,14 l 

sK ¼ 335 0,62 l 

Beachte: Die Tetmajergleichungen sind 

Zahlenwergleichungen mit sK in N/mm 2 . 

Beispiel: 

Für einen knickbeanspruchten Stab aus 

S235JR stellt sich heraus: 

lvorh ¼ s 100 mm 

¼ 

i 2mm ¼ 50 < l0 ðS235JRÞ ¼ 105 

Für lvorh ¼ 50 und E ¼ 2,1 10 5 N=mm 2 

wird 

E p2 

sK ¼ 

l 

2 ¼ 

2,1 10 5 

N 

p2 

mm2 2500 

¼ 829 N 

mm 2 

Die Proportionalitätsgrenze für S235JR liegt 

dagegen bei etwa 190 N/mm 2 (siehe auch 

Euler-Hyperbel Seite 354). 

Beispiel: 

Nach Tabelle 5.3 ergibt sich mit l ¼ 50 aus 

der Tetmajergleichung für S235JR 

sK ¼ 310 1,14 l 

sK ¼ð310 1,14 50Þ N N 

¼ 253 

mm2 mm2 Beispiel: 

Für einen Stab aus S235JR (Kreisquerschnitt) 

wird bei s ¼ l ¼ 300 mm, F ¼ 10 000 N und 

10-facher Knicksicherheit (v ¼ 10): 

Ierf ¼ vFl2 

E p2 ¼ 10 10 4 N 9 10 4 mm2 N 

Ierf ¼ 4342 mm 4 

2,1 10 5 

derf ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 

4 

20 Ierf ¼ 17,2 mm 

i ¼ d 

¼ 4,3 mm 

4 

p2 

mm2

356 

Jetzt lässt sich der vorhandene Schlankheitsgrad 

berechnen und mit dem Grenzschlankheitsgrad 

(Tabelle 5.3, Seite 355) vergleichen. Ist lvorh größer 

als l0, dann war die Rechnung nach Euler zulässig. 

Die Aufgabe wäre also gelöst. 

Im anderen Fall berechnet man lvorh mit etwas vergrößerten 

Abmessungen und bestimmt damit nach 

Tetmajer die Knickspannung sK. 

Zur Ûberprüfung der Knicksicherheit v muss die 

vorhandene Druckspannung ermittelt werden. Ist 

vvorh kleiner als die geforderte Knicksicherheit verf, 

sind die Querschnittsabmessungen noch ein oder 

mehrere Male zu vergrößern, bis endlich verf erreicht 

wird. 

5.10.4 Arbeitsplan für Knickungsaufgaben 


lvorh ¼ s 300 mm 

¼ 

i 4,3 mm ¼ 69,8 < l0 ¼ 105 

Also war die Rechnung nach Euler nicht zulässig 

(lvorh < l0), daher mit etwas vergrößertem 

d ¼ 20 mm nach Tetmajer: 

lvorh ¼ l 

d=4 

¼ 4l 

d 

4 300 mm 

¼ ¼ 60 

20 mm 

sK ¼ 310 1,14 lvorh ¼ 241,6 N 

mm2 sd vorh ¼ F 

A ¼ 104 N 

N 

¼ 31,85 

314 mm2 mm2 vvorh ¼ sK 241,6 N=mm2 

¼ ¼ 7,586 

sd vorh 31,85 N=mm2 vvorh ¼ 7,586 < verf ¼ 10 

Knickkraft FK aus Sicherheit v und Belastung F berechnen. 1. Schritt 

Erforderliches Flächenmoment 2. Grades Ierf nach der Eulergleichung 2. Schritt 

berechnen. 

Durchmesser oder andere Querschnittsabmessungen mit den Gleichungen 3. Schritt 

aus Tabelle 5.1 (Seite 309) festlegen 

Trägheitsradius i nach Tabelle 5.1 berechnen. 4. Schritt 

Schlankheitsradius lvorh berechnen und mit dem Grenzschlankheitsgrad l0 

nach Tabelle 5.3 vergleichen. Ist lvorh l0, ist die Rechnung beendet. 

Bei lvorh kleiner als l0 wird mit den Tetmajer-Formeln aus Tabelle 5.3 die 

Knickspannung sK berechnet. Dabei lvorh (eventuell neu mit vergößertem 

Querschnitt), nicht etwa l0 einsetzen. 

5. Schritt 

6. Schritt 

Vorhandene Druckspannung sd vorh ¼ F=A berechnen 7. Schritt 

Mit sK und sd vorh die vorhandene Sicherheit v berechnen und mit der 

geforderten Sicherheit vergleichen. 

Bei zu kleiner Sicherheit v müssen die Querschnittsabmessungen weiter 

vergrößert werden. Die Rechnung ist vom 5. Schritt an zu wiederholen. 

Eventuell muss noch die auftretende Druckspannung sd vorh mit der zulässigen 

Druckspannung sdzul verglichen werden. 


8. Schritt 

9. Schritt 

10. Schritt


Lehrbeispiel: Knickung im elastischen Bereich 


Die Kolbenstange einer Wasserpumpe hat einen 

kreisförmigen Querschnitt. 

Werkstoff: E295 mit einer zulässigen Druckspannung 

von 98 N 

mm 2 

Gegebene Größen: 

F ¼ 80 kN; Sicherheit gegen Knicken n ¼ 3,5 

Gesucht: Kolbenstangendurchmesser d 

Lösung: 

a) Kolbenstangendurchmesser d: 

FK ¼ EIp2 

s 2 

Ierf ¼ FK s 2 

Ep 2 

Knickkraft FK ¼ Fn 

s ¼ l (Grundfall) 

Ierf ¼ Fnl2 

Ep2 ¼ 80 103 N 3,5 ð1,4 103 mmÞ 2 

2,1 105 N 

¼ 26,48 10 4 mm 4 

p2 

mm2 pd 

Io 

4 

64 ) derf 


ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

4 64 Ierf 64 26,48 10 

¼ ¼ 

p 

4 mm4 r 

4 

¼ 48,2 mm 

p 

gewählt: d ¼ 50 mm (Normalmaß nach DIN 3) 

b) Nachprüfung des Schlankheitsgrades l: 

l ¼ s 


l 

Io 

¼ io ¼ ¼ 

i i 

Ao 

d 

4 

(s ¼ l) 

1400 mm 4 

l ¼ 

50 mm ¼ 112 > l0 ð 89Þ 

Also war die Rechnung nach Euler richtig. 

c) Spannungsnachweis für die Druckspannung sd: 

sd vorh ¼ F 

A ¼ 80 103 N 4 

502 mm2 N 

¼ 40,7 

p mm 2 < sd zul¼ 98 N 

mm 2 

Die zulässige Spannung wurde eingehalten. 

d 

F F 

l = 1400 mm

358 

Lehrbeispiel: Knickung im unelastischen Bereich 


Ein Hydraulikarbeitszylinder soll eine Kraft F ¼ 100 kN 

aufbringen. Die freie Knicklänge beträgts ¼ l ¼ 350 mm. 

Es ist der Durchmesser der Kolbenstange mit kreisförmigem 

Querschnitt zu bestimmen. Sicherheit gegen Knicken n ¼ 5. 

Werkstoff E295. 

Lösung: 

FK ¼ EIp2 

s 2 

I ¼ pd4 

64 

l ¼ s 

i 

¼ l 

i 

Die Knickkraft FK , die der Stab gerade noch aushält, soll sein: 

FK ¼ Fn ¼ 100 kN 5 ¼ 500 kN 

Ierf ¼ FK s2 Ep2 ¼ 500 103 N 3,52 104 mm 2 

2,1 105 N 

¼ 2,955 10 4 mm 4 

p2 

mm 2 


ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

4 64 Ierf 64 2,955 10 

derf ¼ ¼ 

p 

4 mm4 r 

4 

¼ 27,85 mm 

p 

gewählt: d ¼ 30 mm 

Nachprüfung des Schlankheitsgrades: 

l ¼ 4s 4 350 mm 

¼ 

d 30 mm ¼ 46,7 < l0 ¼ 89 

Die Rechnung nach Euler ist also unzulässig. 

Nachrechnung nach Tetmajer: 

Da l ¼ 47 sehr weit im Tetmajer-Bereich liegt, wird der Durchmesser 

erhöht auf d ¼ 35 mm. Dadurch wird 

l ¼ 

4 350 mm 

¼ 40 

35 mm 

sK ¼ 335 0,62 l sK¼335 0,62 40 ¼ 310,2 N 

mm 2 

Die vorhandene Druckspannung sd vorh ist: 

sd vorh ¼ F 

A ¼ 100 103 N 4 

352 mm2 N 

¼ 103,94 

p mm 2 

nvorh ¼ sK 

310,2 

¼ 

sd vorh 

N 

mm 2 

103,94 N 

mm 2 

¼ 2,98 < nerf ¼ 5 d neu gewählt: d ¼ 45 mm 

Neuer Schlankheitsgrad l ¼ 

sK ¼ 335 0,62 31,1 ¼ 315,7 N 

mm 2 

sd vorh ¼ 100 103 N 4 

452 mm2 N 

¼ 62,88 

p mm 2 

nvorh ¼ sK 

sd vorh 

4 350 mm 

¼ 31,1 

45 mm 


315,7 

¼ 

N 

mm 2 

62,88 N 

mm 2 

¼ 5,02 Die verlangte Sicherheit ist vorhanden: 

l 

d 

F


5.10.5 Knickung im Stahlbau 

5.10.5.1 Vorschriften 

Die in den vorhergehenden Abschnitten entwickelten 

Knickungsgleichungen gelten nicht für die 

Druckstäbe im Stahlbau. Hier sind die Berechnungsverfahren 

und die dabei verwendeten Gleichungen 

in Normen vorgeschrieben. 

5.10.5.2 Tragsicherheitsnachweis bei 

einteiligen Knickstäben 

Nach DIN 18 800, Teil 2, muss die so genannte 

Tragsicherheit nachgewiesen werden. Tragsicherheit 

besteht dann, wenn in der Ausweichrichtung 

des Stabquerschnitts bei mittiger Druckbelastung 

die Bedingung der Tragsicherheits-Hauptgleichung 

erfüllt ist. Die dazu erforderlichen Berechnungen 

enthält der Arbeitsplan (AP) in 5.10.5.4. 

5.10.5.3 Herleitung einer Entwurfsformel 

(Zugeschnittene Größengleichung) 

Der Tragsicherheitsnachweis nach DIN 18 800 ist 

nur möglich, wenn die geometrischen Größen des 

Knickstabs bekannt sind (Querschnittsfläche A und 

axiales Flächenmoment I). Man nimmt daher versuchsweise 

einen Stabquerschnitt (Profil) an oder 

verwendet die folgende Entwurfsformel zur Profilermittlung. 

Sie wird hier aus der für elastische 

Knickung gültigen Eulergleichung entwickelt. 

Für die überschlägige Querschnittsbestimmung 

nimmt man eine Sicherheit an, z. B. v ¼ 3. Mit 

dem Elastizitätsmodul für Baustahl E ¼ 210 000 

N/mm 2 und 10 3 N ¼ 1 kN fasst man die Konstanten 

zusammen und erhält die Entwurfsformel. 

5.10.5.4 Arbeitsplan (AP) zum Tragsicherheitsnachweis 

bei einteiligen Knickstäben 

Sind sowohl die Belastung F des Knickstabs als 

auch das Stabprofil bekannt, bestimmt man der 

Reihe nach die folgenden Größen: 

Bis zum Erscheinen einer Europäischen 

Norm (EN) gilt für die Ausbildung von 

Druckstäben die Norm DIN 18 800 vom Nov. 

1990. Diese ersetzt die DIN 4114 von 1953, 

in der für die Knickungsberechnung das so 

genannte Omegaverfahren vorgeschrieben 

war. 

F 

jFpl 

1 

Tragsicherheits-Hauptgleichung 

F Belastung (Normalkraft) in Richtung der 

Stabachse 

Fpl Normalkraft im vollplastischen Zustand 

nach AP Nr. 8 

j Abminderungsfaktor nach AP Nr. 6 

Im Abschnitt 5.10.2 wird die Eulergleichung 

entwickelt: 

2 vFsK 

Ierf ¼ 

E p2 Ierf v F sK E 

mm4 1 N mm N/mm2 Ierf erforderliches axiales Flächenmoment 

v Knicksicherheit 

F vorhandene Druckkraft (Normalkraft) 

sK Knicklänge 

E Elastizitätsmodul (Tabelle 5.8, Seite 385) 

Ierf ¼ 

2 3 FsK 

210 000 p2 Ierf 1,5 10 3 FsK 2 

Entwurfsformel 

F Fpl j 

N N 1 

I F sK 

mm 4 kN mm 

Gegeben: Stabprofil (z. B. IPE 200), Werkstoff 

(z. B. S235JR), Belastung F des Druckstabs 

(z. B. F ¼ 50 kN). 

Gesucht: Tragsicherheit

360 

1. Knicklänge sK 

Die Knicklänge sK entspricht der freien Knicklänge 

s in Abschnitt 5.10.2 (Seite 352) (Eulerfall) 

und es gilt auch das Bild für die Führungsverhältnisse 

mit den Fällen 1 bis 4 (siehe Seite 352). 

Die Druckstäbe in Fachwerken können in der 

Fachwerkebene oder rechtwinklig dazu ausweichen 

(ausknicken). 

Für das Ausweichen in der Fachwerkebene ist die 

Systemlänge l der geschätzte Abstand der beiden 

Anschlussverbindungen an den Stabenden. 

Für das Ausweichen rechtwinklig zur Fachwerkebene 

ist die Systemlänge l der Abstand der Netzlinien. 

2. Schlankheitsgrad lK und Trägheitsradius i 

Der Schlankheitsgrad lK wird wie bei der Euler’schen 

Knickung in 5.10.2 (Seite 353) aus der 

Knicklänge sK und dem Trägheitsradius i berechnet. 

Der Trägheitsradius i ist die Wurzel aus dem Flächenmoment 

2. Grades I und der Querschnittsfläche 

A des Knickstabprofils. 

Die Beträge für das Flächenmoment I und die entsprechende 

Querschnittsfläche A werden den Profilstahltabellen 

entnommen. 1) 

3. Bezogener Schlankheitsgrad lK 

Der bezogene Schlankheitsgrad lK ist der Quotient 

aus dem Schlankheitsgrad lK und dem Bezugsschlankheitsgrad 

la, der von den Festigkeitswerten 

E (Elastizitätsmodul) und Re (Streckgrenze) des 

Profilwerkstoffs abhängt. 

sK b l 

sK ¼ bl 

mm 1 mm 

b Knicklängenbeiwert nach Bild in 5.10.2. 

Danach ist einzusetzen für 

Fall 1 Fall 2 Fall 3 Fall 4 

b ¼ 2 b ¼ 1 b ¼ 0,7 b ¼ 0,5 

Ausweichen in der 

Fachwerkebene 

lK ¼ sK 

i 

rffiffiffiffi 

I 

i ¼ 

A 

lK ¼ lK 

la 

1) Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, Vieweg þ Teubner, 21. Auflage 


Ausweichen rechtwinklig 

zur Fachwerkebene 

lK sK i 

1 mm mm 

i I A 

mm mm 4 mm 2 

lK lK la 

1 1 1


4. Bezugsschlankheitsgrad la 

Der Elastizitätsmodul für Stahl beträgt 

E ¼ 210 000 N=mm 2 , die Streckgrenze Re ist abhängig 

vom verwendeten Werkstoff des Knickstabs. 

Für die im Stahlbau häufig verwendeten 

Werkstoffe ergibt sich damit: 

Bei S235JR (RSt 37-2) mit Re ¼ 235 N=mm 2 und 

einer Erzeugnisdicke t 40 mm zu la ¼ 93,9, bei 

S355J2G3 (St 52-3) mit Re ¼ 355 N=mm 2 und einer 

Erzeugnisdicke t 40 mm zu la ¼ 76,4. 

In Klammern stehen die früher gültigen Bezeichnungen 

für Baustahl. 

5. Ermittlung der Knickspannungslinien 

Den im Stahlbau verwendeten verschiedenen Querschnittsformen 

(z. B. U-, L-, T-Profile) sind so genannte 

Knickspannungslinien a, b, c, d zugeordnet. 

Sie werden Tabelle 5.4 entnommen. Ausführlichere 

Hinweise in DIN 18 800, Teil 2, Tabelle 5. 

rffiffiffiffiffi 

E 

la ¼ p 

Re 

la ¼ 93,9 für S235JR und t 40 mm 

la ¼ 76,4 für S355J2G3 und t 40 mm 

Beispiel: 

Einem Doppel-T-Profil mit den Werten 

h=b > 1,2 und Erzeugnisdicke t 40 mm ist 

nach Tabelle 5.4 die Knickspannungslinie b 

zugeordnet, wenn das Ausknicken rechtwinklig 

zur y-Achse erfolgt. 

Die Werte für t (Steg- oder Flanschdicke) 

stehen in den Profilstahltabellen. 1) 

1) Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, Verlag Vieweg + 

Teubner, 21. Auflage 

la E Re 

1 

N 

mm 2 

N 

mm 2

362 

6. Abminderungsfaktor j 

Bereich lK 0,2 Bereich lK > 0,2 Bereich lK > 3,0 

j ¼ 1 j ¼ 

mit 

1 

1 

p j ¼ 

lK ðlK þ aÞ 

k þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

k 2 lK 2 

k ¼ 0,5 ½1 þ a ðlK 0,2ÞþlK 2 Š 

7. Parameter a zur Berechnung des Abminderungsfaktors j 

Knickspannungslinie a b c d 

8. Normalkraft Fpl 

a 0,21 0,34 0,49 0,76 

Fpl ist diejenige Normalkraft, bei der im Werkstoff 

des Stabes vom Querschnitt A vollplastischer Zustand 

erreicht wird. Als Widerstandsgröße wird die 

Streckgrenze Re oder die obere Streckgrenze ReH 

eingesetzt. 

5.10.5.5 Zusammengesetzte Knickstäbe 

Die Berechnungsgleichungen im obigen Arbeitsplan 

gelten für mittig belastete einteilige Knickstäbe. 

Dazu gehören auch die aus mehreren Walzprofilen 

zusammengesetzten Knickstäbe, wenn die 

Einzelprofile durch Nieten oder Schweißen (nicht 

Schrauben) so verbunden sind, dass sie als einzelnes 

Bauglied angesehen werden können. 

Die Gleichungen gelten nicht für Knickstäbe, 

deren Querschnitt eine stofffreie Achse y –y hat. 

Fpl ¼ Re A 

Re Streckgrenze, siehe Tabelle 5.8 

(Seite 385) 

A Querschnittsfläche, siehe Tabellen 

4.27 –4.31 1) 

1) Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, Vieweg þ Teubner, 21. Auflage 

Fpl Re A 

N 


N 

mm2 

mm2


Tabelle 5.4 Zuordnung der Knickspannungslinien zu den Stab-Querschnittsformen 

Hohlprofile 

d D=10 

geschweißte 

Kastenquerschnitte 

Stab-Querschnittsformen 

Ausknicken 

rechtwinklig 

zur Achse 

warm gefertigt x –x 

y –y 

kalt gefertigt x –x 

y –y 

dicke Schweißnaht 

und 

hx=tx < 30 

hy=ty < 30 

x –x 

y –y 

x –x 

y –y 

gewalzte I-Profile h=b > 1,2 t 40 mm x –x 

y –y 

geschweißte 

I-Querschnitte 

(tn ¼ t, t1, t2) 

gewalzte Profile 

und Vollquerschnitte 

h=b > 1,2 40 < t 80 mm 

h=b < 1,2 t 80 mm 

x –x 

y –y 

t > 80 mm x –x 

y –y 

tn 40 mm x –x 

y –y 

tn > 40 mm x –x 

y –y 

x –x 

y –y 

Knickspannungslinie 

a 

b 

b 

c 

a 

b 

b 

c 

d 

b 

c 

c 

d 

c

364 

Tabelle 5.5 Zulässige Spannungen im Stahlhochbau 

a) Zulässige Spannungen in N/mm2 für Bauteile 

Spannungsart 

S235 

Werkstoff 

S355 

Lastfall 

E360 

1) 

H HZ H HZ H HZ 

Druck und Biegedruck, wenn Stabilitätsnachweis 

nach DIN 18800 erforderlich ist 

140 160 210 240 410 460 

Zug und Biegezug, Biegedruck, wenn Stabilitätsnachweis 

nach DIN 18800 erforderlich ist 

160 180 240 270 410 460 

Schub 92 104 139 156 240 270 

b) Zulässige Spannungen in N/mm 2 für Verbindungsmittel 

Spannungsart 

Niete (DIN 124 und DIN 302) Passschrauben (DIN 7986) 

Ust 36-1 

für Bauteile 

aus S235 

RSt 44-2 

für Bauteile 

aus S355 

4.6 

für Bauteile 

aus S235 

5.6 

für Bauteile 

aus S355 

Lastfall 1) 

H HZ H HZ H HZ H HZ 

Abscheren ta zul 140 160 210 240 140 160 210 240 

Lochleibungsdruck sl zul 280 320 420 480 280 320 420 480 

Zug sz zul 48 54 72 81 112 112 150 150 

Tabelle 5.6 Zulässige Spannungen im Kranbau für Stahlbauteile und ihre Verbindungsmittel 

a) Zulässige Spannungen in N/mm2 für Bauteile 

Werkstoff Außer dem allgemeinen Spannungsnachweis 

Spannungsart 

S235 S355 

Lastfall 

auf Sicherheit gegen Erreichen der Fließgrenze 

ist für Krane mit mehr als 20000 

Spannungsspielen noch ein Betriebsfestigkeitsnachweis 

auf Sicherheit gegen Bruch bei 

zeitlich veränderlichen, häufig wiederholten 

Spannungen für die LastfälleHzuführen. 

Zulässige Spannungen beim Betriebsfestigkeitsnachweis 

siehe Normblatt. 

1) 

H HZ H HZ 

Zug- und Vergleichsspannung 

Druckspannung, Nachweis auf Knicken 

Schubspannung 

160 

140 

92 

180 

160 

104 

240 

210 

138 

270 

240 

156 

b) Zulässige Spannungen in N/mm 2 für Verbindungsmittel 

Spannungsart 

Abscheren einschnittig 

zweischnittig 

Lochleibungsdruck einschnittig 

zweischnittig 

Zug einschnittig 

zweischnittig 

Passschrauben (DIN 7986) Rohe Schrauben (DIN 7900) Niete 

4.6 

für Bautiele 

aus S235 

5.6 

für Bauteile 

aus S355 

4.6 

für Bauteile 

aus S235 

5.6 

für Bauteile 

aus S355 

(DIN 124) 

für Bauteile 

aus S235 

Lastfall 1) 

H HZ H HZ H HZ H HZ H HZ 

84 

112 

210 

280 

100 

100 

96 

128 

240 

320 

110 

110 

126 

168 

315 

420 

140 

140 

144 

192 

360 

480 

154 

154 


70 80 70 80 84 

112 

160 180 160 180 210 

280 

100 110 140 154 30 

30 

1) Einteilung nach DIN 18801 in Hauptlasten (H), Zusatzlasten (Z) und Sonderlasten (S). Hauptlasten (H) sind alle planmäßigen 

äußeren Lasten und Einwirkungen, die nicht nur kurzzeitig auftreten wie ständige Last, planmäßige Verkehrslast, 

Schneelast, sonstige Massenkräfte. Zusatzlasten (Z) sind alle übrigen bei der planmäßigen Nutzung auftretenden Lasten und 

Einwirkungen wie Windlast, Bremslast, Seitenstoßlast, nur kurzzeitig auftretende Massenkräfte, Wärmewirkung. Sonderlasten 

(S) sind nicht planmäßige mögliche Lasten und Einwirkungen aus möglichen Baugrundbewegungen. 

96 

128 

240 

320 

30 

30

5.11 Zusammengesetzte Beanspruchung 365 

5.11 Zusammengesetzte Beanspruchung 

5.11.1 Zug und Biegung 

Am Beispiel der skizzierten Schraubzwinge kann 

man sich Klarheit über das innere Kräfte- und 

Spannungssystem verschaffen und die Spannungsgleichungen 

herleiten. Wie gewohnt, wird ein 

Schnitt x –x an eine zweckmäßige Querschnittsstelle 

gelegt und dort dasjenige innere Kräftesystem 

angebracht, durch das der Restkörper wieder 

ins Gleichgewicht gesetzt wird. 

Aus der Kraft-Gleichgewichtsbedingung SFy ¼ 0 

ergibt sich als innere Kraft die Zugkraft FN und 

aus der Momentengleichgewichtsbedingung das 

Biegemoment Mb. 

Die innere Kraft FN (Normalkraft) ruft im Querschnitt 

x –x die gleichmäßig verteilte Zugspannung 

sz ¼ FN=A hervor (Zug-Hauptgleichung). 

Durch das innere Biegemoment Mb entsteht im 

Querschnitt x –x das bekannte System der Biegespannung, 

aufgebaut aus den linear verteilten 

Zug- und Druckspannungen (Biege-Hauptgleichung). 

Im symmetrischen Querschnitt sind die 

Größtwerte beider Normalspannungen gleich groß, 

also sbz ¼ sbd ¼ sb ¼ Mb=W. 

Sowohl Zug- als auch Biegebeanspruchung ergeben 

Normalspannungen s (rechtwinklig auf der 

Schnittfläche stehend), die wie parallele Kräfte 

addiert und subtrahiert werden können. Trägt man 

an die Spitzen der Biegespannung die Zugspannung 

richtungsgemäß an, erhält man das Bild der 

Gesamtspannung (resultierende Spannung). 

Aus dem Bild der Gesamtspannung lassen sich 

nun leicht die Beziehungen für die resultierende 

Zug- und Druckspannung ablesen. Beide müssen 

gleich oder kleiner als die zugehörige zulässige 

Spannung sein. 

Schraubzwinge Inneres Kräftesystem 

SFy ¼ 0 ¼ FN F ) FN ¼ F 

SMðSPÞ ¼ 0 ¼ Mb Fl) Mb ¼ Fl 

Gleichmäßig verteilte Zugspannung 

Linear verteilte Biegespannung 

sres Zug ¼ sbz þ sz sz zul 

sres Druck ¼ sbd sz sd zul 

sz ¼ FN 

A 

sb ¼ Mb 

W 

Bild der resultierenden 

Spannung

366 

Manchmal ist es zweckmäßiger, die Biegespannungen 

sbz und sbd nicht mit dem Widerstandsmoment 

W, sondern mit dem axialen Flächenmoment 

2. Grades I zu bestimmen. Das gilt vor allem 

bei unsymmetrischen Querschnitten mit unterschiedlichen 

Randfaserabständen e (siehe 5.9.5, 

Seite 332). In beide Gleichungen wurde für das 

Biegemoment Mb ¼ Fleingesetzt. 

Wie das Bild der resultierenden Spannung zeigt, 

ist die spannungsfreie Faserschicht um den Betrag 

a nach links verschoben. Aus der Øhnlichkeit der 

schraffierten Dreiecke erhält man eine Proportion, 

die zu einer einfachen Beziehung für die Verschiebungsgröße 

a weiterentwickelt werden kann. 

Aus dem Spannungsbild erkennen man weiter, 

dass die Verschiebungsgröße a ein Kriterium für 

die Spannungsverteilung ist. 

5.11.2 Druck und Biegung 

Grundsätzlich unterscheidet sich diese Beanspruchung 

von der vorangegangenen nur dadurch, dass 

sich hier der Biegespannung sb nicht eine Zugspannung 

sz, sondern die Druckspannung sd 

überlagert. Wieder erhält man das Bild der resultierenden 

Spannung, indem an die Spitzen der Biegespannung 

richtungsgemäß die über dem Querschnitt 

konstante Druckspannung angetragen wird. 

Die resultierende Druckspannung sres Druck ergibt 

sich ebenso wie die resultierende Zugspannung 

sres Zug nach dem Spannungsbild wieder als Summe 

oder Differenz der beiden Normalspannungen. 

Ist die Stablänge eines auf Druck und Biegung beanspruchten 

Bauteils groß im Verhältnis zum 

Querschnitt (schlanker Stab), dann muss auf Knickung 

nachgerechnet werden. 

sbz ¼ Mb e1 

I 

sbd ¼ Mb e2 

I 

a 

sz 

¼ Fle1 

I 

¼ Fle2 

I 

sres Zug ¼ Fle1 F 

þ 

I A 

sres Druck ¼ Fle2 

I 

F 

A 

¼ e 

) a ¼ 

sbz 

sz 

e 

sbz 

sz zul 

sd zul 

sz ¼ F 

A und sbz ¼ Mb Fle 

¼ eingesetzt : 

W I 

a ¼ Fl 

2 I=A i 

e ¼ ¼ 

AFle l l 

a > e bedeutet, dass nur Zugspannungen 

auftreten 

a < e bedeutet, dass sowohl Zug- als auch 

Druckspannungen auftreten 

Bild der resultierenden Spannung 

sres Druck ¼ sbd þ sd sd zul 

sres Zug ¼ sbz sd sz zul 

sres Druck ¼ Fle F 

þ 

I A 

sres Zug ¼ Fle 

I 

F 

A 

5 Festigkeitslehre


5.11.3 Ûbung zur zusammengesetzten Beanspruchung durch Normalspannungen 

An einem Träger aus IPE 160 ist ein 12 mm dickes 

Knotenblech angeschweißt, das die Zugkraft F in 

den Träger einleitet. Wie groß darf diese Zugkraft 

im Hinblick auf den Querschnitt A –B des Trägers 

höchstens werden, wenn 

sz zul ¼ sd zul ¼ 120 N/mm 2 nicht überschritten 

werden darf ? 

Lösung: Wie gewohnt wird der abgeschnittene 

Restkörper durch das innere Kräftesystem wieder 

ins Gleichgewicht gesetzt. Als inneres Kräftesystem 

erscheint die Zugkraft FN ¼ F und das Biegemoment 

Mb ¼ Fl. 

Mit der Vorstellung vom inneren Kräftesystem ist 

es leicht, das Bild der resultierenden Spannung zu 

skizzieren, wenn man zuerst den Verlauf der Biegespannung 

zeichnet und darauf die konstante 

Zugspannung aufsetzt. Allerdings weiss man noch 

nicht, ob die Verschiebungsgröße a tatsächlich 

kleiner ist als der Randfaserabstand e. Das wird 

erst die Rechnung erweisen. 

In der Formstahltabelle finden sich alle für die 

weitere Rechnung nötigen Größen, wobei vor 

allem darauf geachtet werden muss, dass das richtige 

Flächenmoment 2. Grades abgelesen wird, 

hier also Ix. 

Die Frage, ob die Verschiebungsgröße a größer 

oder kleiner als der Randfaserabstand e ist, wird 

durch die Rechnung a ¼ i 2 =l schnell geklärt. Da 

hier tatsächlich a < e ist, muss neben sres Zug noch 

sres Druck auftreten. 

Die resultierende Zugspannung sres Zug ist größer 

als die resultierende Druckspannung sres Druck. 

Folglich geht man von der Beziehung 

sres Zug ¼ sz þ sbz sz zul 

aus, schreibt sie in der erweiterten Form und entwickelt 

daraus eine „gleich-kleiner-Beziehung“ für 

die Zugkraft F. 

Das Ergebnis sagt aus, das die Zugkraft F immer 

unter 93 079 N bleiben muss, wenn sz zul nicht 

überschritten werden soll. 

Ix ¼ 869 cm 4 ¼ 869 10 4 mm 4 

A ¼ 20,1 cm 2 ¼ 20,1 10 2 mm 2 

Inneres 

Kräftesystem 

Bild der resultierenden 

Spannung 

Trägheitsradius i ¼ 6,58 cm ¼ 65,8 mm 

Randfaserabstand e ¼ 80 mm 

2 2 i i 

a ¼ ¼ 

l e þ s 

ð65,8 mmÞ2 

¼ 

86 mm 

2 

a ¼ 50,3 mm < e ¼ 80 mm 

F Fle 

þ 

A I 

F 1 le 

þ 

A I 

F 

F 

sz zul 

1 le 

þ 

A I 

sz zul 

sz zul 

120 N 

mm2 1 86 mm 80 mm 

þ 

2010 mm2 869 104 mm4 ¼ 93 079 N

368 

Zuerst wird die Zugspannung sz, dann die Biegespannung 

sbz ¼ sbd ¼ sb berechnet. Beide setzt 

man zur resultierenden Spannung zusammen und 

vergleicht diese Beträge mit der angegebenen zulässigen 

Spannung. Für die Zugseite ist das 

zugleich eine Kontrolle der Kraftberechnung, 

denn nur bei richtiger Rechnung kann sich 

sres Zug ¼ sz zul¼ 120 N/mm 2 ergeben. 

Die resultierende Druckspannung sres Druck erhält 

man nach dem Spannungsbild als Differenz von 

Biege- und Zugspannung (sres Druck ¼ sbd sz). 


5.11.4 Biegung und Torsion 

5.11.4.1 Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannung sv 

Wellen sollen Drehmomente übertragen, z. B. vom 

Elektromotor über ein Zahnradpaar auf eine zweite 

Getriebewelle. Neben der dadurch hervorgerufenen 

Torsionsbeanspruchung tritt aber auch noch Biegung 

auf. Der Querschnitt einer Welle hat demnach 

sowohl Normalspannungen (Biegespannung sb) 

als auch Schubspannungen (Torsionsspannung tt) 

aufzunehmen. Während die Normalspannung 

rechtwinklig auf dem Querschnitt steht, liegt die 

Schubspannung im Querschnitt. Eine einfache 

Addition beider Spannungen – wie bei Biegung 

und Zug/Druck – ist hier nicht möglich. 

Da beide Spannungsarten rechtwinklig aufeinander 

stehen, könnte man auf den Gedanken kommen, 

sie wie zwei Kräfte geometrisch zu einer 

resultierenden Spannung sres ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

s2 þ t2 p 

zusammenzusetzen. 

So einfach geht das schon deshalb 

nicht, weil der Werkstoff gegenüber einer Schubspannung 

anders reagiert als gegenüber einer Normalspannung 

(vergleiche Schub- und Elastizitätsmodul, 

Seite 385). 


sz ¼ F 93 079 N N 

¼ ¼ 46,3 

A 2010 mm2 mm2 sbz ¼ sbd ¼ sb ¼ Fle 

I 

93 079 N 86 mm 80 mm 

sb ¼ 

869 104 mm4 sbz ¼ sbd ¼ 73,7 N 

mm2 sres Zug ¼ sz þ sbz ¼ð46,3 þ 73,7Þ N 

mm 2 

sres Zug ¼ 120 N 

mm 2 ¼ sz zul 

sres Druck ¼ sbd sz ¼ð73,7 46,3Þ N 

mm 2 

sres Druck ¼ 27,4 N 

mm 2 < sd zul ¼ 120 N 

mm 2 

Kräfte und Momente in Bezug auf die 

obere Getriebewelle


Alle Festigkeitshypothesen zur Lösung dieses Problems 

laufen darauf hinaus, mit Hilfe einer so genannten 

Vergleichsspannung sv die gemeinsame 

Wirkung der beiden ungleichartigen Spannungen 

zu erfassen. Die Vergleichsspannung wird auch 

ideelle Spannung genannt. 

Hier wird mit der Vergleichsspannung nach der 

Hypothese der größten Gestaltänderungsenergie 

gearbeitet, weil sie mit Versuchsergebnissen gut 

übereinstimmt. Die geometrische Addition beider 

Spannungen nach der vorherigen Ûberlegung ist 

noch erkennbar. 

Der bei tt stehende Faktor a0 heißt Anstrengungsverhältnis. 

Es ist abhängig von den Grenzfestigkeitswerten 

für den betreffenden Werkstoff. 

Für Wellen aus Stahl ist das Verhältnis der zulässigen 

Spannungen in Abhängigkeit vom jeweiligen 

Belastungsfall annähernd bekannt, so dass man die 

angegebenen Werte für a0 einsetzen kann. 

Der Begriff Belastungsfall wird im Abschnitt 

5.12.2.3 (Seite 376) erläutert. 

5.11.4.2 Vergleichsmoment Mv 

Für Wellen mit Kreis- oder Kreisringquerschnitt 

lässt sich die Gleichung für die Vergleichsspannung 

weiter entwickeln. Dazu werden für die 

Spannungen sb und tt entsprechend den zugehörigen 

Hauptgleichungen, die Quotienten aus dem 

Kraftmoment und dem Widerstandsmoment eingesetzt. 

Die Gleichungen für axiales und polares Widerstandsmoment 

bei Kreis- und Kreisringquerschnitten 

zeigen, dass das polare Widerstandsmoment 

Wp doppelt so groß ist wie das axiale Widerstandsmoment 

WðWp ¼ 2WÞ, so dass im Nenner der 

Torsions-Hauptgleichung Wp durch 2W ersetzt 

werden kann. 

Hinweis: Bekannt geworden sind vor allem 

die Dehnungshypothese, die Schubspannungshypothese 

und die Hypothese der 

größten Gestaltänderungsenergie. 

sv ¼ 


sb 2 þ 3ða0ttÞ 2 

q 

a0 ¼ sb Grenz 

1,73tGrenz 

sb zul 

Anstrengungsverhältnis 

a0 ¼ 1 wenn sb und tt im gleichen 

Belastungsfall wirken 

a0 ¼ 0,7 wenn sb wechselnd (III) und tt 

schwellend (II) wirkt (Hauptfall 

bei Wellen, weil die Randfasern 

während jeder Wellenumdrehung 

einmal unter þsb und einmal 

unter sb stehen. 

sv ¼ 

sb ¼ Mb 

sv ¼ 


sb 2 þ 3ða0ttÞ 2 

q 

tt ¼ MT 

¼ 

Wp 

MT 

W 

2W eingesetzt: 

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

Mb 

W 

2 

MT 

þ3 a0 

2W 

Beispiel: 

Für den Kreisquerschnitt ist 

pd 3 

W ¼ 

32 

und 

3 pd 

Wp ¼ 

16 

also auch 

Wp ¼ 2 pd3 

¼ 2W 

32 

2

370 

Das Quadrat des Widerstandsmoments lässt sich 

unter der Wurzel ausklammern und dann als 1/W 

vor die Wurzel schreiben. Bringt man das Widerstandsmoment 

W nun noch auf die linke Seite der 

Gleichung, dann erhält man dort das Produkt 

svW. In Anlehnung an die Bezeichnung in der 

Biege-Hauptgleichung (Biegemoment Mb ¼ sbW) 

wird hier das entsprechende Produkt als Vergleichsmoment 

Mv bezeichnet. 

Das Vergleichsmoment Mv lässt sich auch zeichnerisch 

bestimmen (rechtwinkliges Dreieck, Lehrsatz 

des Pythagoras), wenn man beachtet, dass 

0,866 2 a0 2 MT 2 ¼ 0,75 (a0 MT) 2 ist. 

Entsprechend der Biege-Hauptgleichung schreibt 

man sv ¼ Mv=W sb zul und entwickelt daraus 

mit W ¼ 0,1d 3 eine Gleichung für den erforderlichen 

Durchmesser einer Welle mit Kreisquerschnitt. 

Ebenso kann man bei Kreisquerschnitt verfahren 

und 

Werf ¼ Mv=sb zul ¼ 0,1d 3 erf ð1 q4 Þ 

schreiben, wenn man q ¼ di=d setzt. Auf diese 

Weise erhält man auch für den Kreisringquerschnitt 

eine Gleichung für den erforderlichen 

Aussendurchmesser d. 

5.11.4.3 Ûbung zu Biegung und Torsion 

Der gefährdete Querschnitt einer Getriebewelle 

(Kreisquerschnitt) wird durch ein Biegemoment 

und ein Torsionsmoment beansprucht. Daraus sollen 

Vergleichsmoment und Wellendurchmesser bestimmt 

werden. Für das Anstrengungsverhältnis 

wird a0 ¼ 0,7 eingesetzt (siehe Seite 369). 

Lösung: Die Lösung macht keine 

Schwierigkeiten, weil hier nur mit den 

entwickelten Gleichungen zu arbeiten 

ist. 


sv ¼ 

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

Mb 2 

W 

sv ¼ 1 

W 4 ða0 MTÞ 2 

r 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

svW ¼ Mb 2 þ 0,75ða0 MTÞ 2 

q 

MT 

2 

þ 3a0 

2 

2 4W 2 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

Mb 2 þ 3 


Mv ¼ Mb 2 þ 0,75ða0 MTÞ 2 

q 

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

3 Mv 

derf ¼ 

0,1sb zul 

gilt für Kreisquerschnitt 

derf ¼ 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

Mv 

0,1sb zulð1 q 4 s 

3 

Þ 

gilt für Kreisquerschnitt mit: 

Innendurchmesser di 

q ¼ 

Außendurchmesser d 

Vergleichsmoment 

Zeichnerische Bestimmung 

des Vergleichsmoments 

Mv 

Gegeben: Mb ¼ 416 Nm 

MT ¼ 200 Nm 

sb zul ¼ 60 N=mm 2 ,gewählt 

a0 ¼ 0,7 

Gesucht: Mv und d 


Mv ¼ Mb 2 þ 0,75ða0 MTÞ 2 

q 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

Mv ¼ ð416 103 NmmÞ 2 þ 0,75ð0,7 200 103 NmmÞ 2 

q 

Mv ¼ 43,3 10 4 Nmm 

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

3 Mv 433 10 

derf ¼ ¼ 

0,1sb zul 

3 Nmm 

0,1 60 N 

mm2 v 

u 

t3 


derf Mv sb zul 

mm Nmm 

N 

mm 2 

derf ¼ 41,6 mm dausgeführt ¼ 42 mm ðNormmaßÞ


Lehrbeispiel: Berechnung einer Getriebewelle 


Ein Getriebe mit Geradzahn-Stirnrädern 

(Eingriffswinkel a ¼ 20 ) soll eine 

Gesamtübersetzung 

iges ¼ n1 

1 

960 min 

¼ ¼ 20 

n4 

1 

48 min 

durch zwei Zahnradpaare ermöglichen. 

Die Entwurfsberechnung ergab die Teilkreisdurchmesser: 

d1 ¼ 48 mm 

d2 ¼ 240 mm i1 ¼ 5 

d3 ¼ 72 mm i2 ¼ 4 

d4 ¼ 288 mm 

Getriebeskizze 

Es wird die Aufgabe gestellt, den Durchmesser für die Getriebewelle II festzulegen, für die Werkstoff E335 

verwendet werden soll. Da der Wirkungsgrad h für Zahnradgetriebe sehr gut ist (hier etwa h 0,96), kann 

er bei Festigkeitsrechnungen unberücksichtigt bleiben. 

Lösung: 

Die zu übertragenden Drehmomente können aus gegebener Antriebsleistung P ¼ 8 kW und Antriebsdrehzahl 

n ¼ 960 min 1 berechnet werden. 

M ¼ 9550 P 

n 

M ¼ Fu 

F 3 

F u 

F u2 

F u3 

 

M 

d 

2 

F 2 

I 

 

d 

d 

2 

Wälzpunkt C 1 

II 

III 

Rad 1 

Rad 2 

Rad 3 

Wälzpunkt C 3 

Rad 4 

MI ¼ 9550 P 

8 

¼ 9550 Nm ¼ 79,583 Nm 

n 960 

MII ¼ MIi1 ¼ 79,583 Nm 5 ¼ 397,915 Nm 

MIII ¼ MIIi2 ¼ 397,915 Nm 4 ¼ 1591,66 Nm 

Aus den errechneten Drehmomenten ergeben sich die Umfangskräfte 

am Teilkreisumfang: 

Fu2 ¼ 2MII 

d2 

Fu3 ¼ 2MII 

d3 

P=8kW 

n = 960 min –1 

Rad 2 

Rad 4 

Rad 1 

Rad 3 

80 120 80 

Welle I 

¼ 2 397,915 103 Nmm 

¼ 3316 N 

240 mm 

¼ 2 397,915 103 Nmm 

¼ 11 053 N 

72 mm 

Die Umfangskräfte Fu2 und Fu3 sind Komponenten der in Eingriffsrichtung 

auf die Zähne wirkenden Zahnkräfte F2 und F3 . 

Der Eingriffswinkel beträgta ¼ 20 . 

Beginn des Eingriffs 

Wälzvorgang in C3 vergrößert 

F u3 

 

Fu3 F3 = 

cos 

C 3 

Eingriffslinie 

i 1 

i 2 

II 

III 

Ende des Eingriffs 

70°

372 

Beachte: F3 ist die von Rad 4 auf Rad 3 ausgeübte Kraft. 

Die Kraftrichtungen nach dem Gefühl prüfen: Zahnrad 2 muss von Rad 1 nach unten, 

Rad 3 dagegen von Rad 4 nach oben gedrückt werden. 

F2 ¼ Fu2 3316 N 

¼ ¼ 3529 N 

cos a cos 20 

F3 ¼ Fu3 

cos a 

11 053 N 

¼ ¼ 11 762 N 

cos 20 

Diese Zähnekräfte F2 und F3 beanspruchen die Welle II auf Verdrehung und Biegung: Man bringt in den 

Radmittelpunkten je zwei Kräfte F2 bzw. F3 an (zweite und vierte statische Grundoperation), dann 

ergibt sich je ein Kräftepaar (Drehmoment MII) und eine Einzelkraft (Biegekraft F2 und F3 ). 

F2 

Biegekraft F2 

Rad 1 Kräftepaar 

erzeugt + MII 

F2x 

40° 

II 

F2y 

Rad 2 

Biegekraft F3 

F 3x 

Rad 4 

Die Kräftepaare ergeben Momente, die gleich groß sind und sich entgegenwirken: 

þMII MII ¼ 0; Welle II wird davon auf Verdrehung beansprucht. Die Komponenten Fx und Fy der 

Biegekräfte F2 und F3 sind aus dem Krafteck abzulesen: 

F2y ¼ F2 sin 40 ¼ 3529 N sin 40 ¼ 2268 N 

F2x ¼ F2 cos 40 ¼ 3529 N cos 40 ¼ 2703 N 

F3y ¼ F3 sin 20 ¼ 11 762 N sin 20 ¼ 4023 N 

F3x ¼ F3 cos 20 ¼ 11 762 N cos 20 ¼ 11 053 N 

F 3 

Kräftepaar 

erzeugt – M II 

Die perspektivische Belastungsskizze gibt Aufschluss über die Weiterentwicklung der Rechnung: 

F Ax 

Lager A 

F Ay 

F 2x 

80 80 

120 

F2 

F 2y 

Rad 2 

Welle II 

F 3y 

F 3x F Bx 

Rad 3 

F By 

Lager B 

20° 

F3y Rad 3 

II 

III 

F 3 

5 Festigkeitslehre


Man bestimmt nun die Stützkraft-Komponenten FAx ,FAy ,FBx ,FBy mit Hilfe der statischen Gleichgewichtsbedingungen 

(aus Platzgründen kann hier SM ¼ 0 nicht ausgeschrieben werden): 

waagerechte Ebene senkrechte Ebene 

SMðAÞ ¼ 0 ¼ ... SMðAÞ ¼ 0 ¼ ... 

FBx ¼ F2x 80 mm þ F3x 

280 mm 

200 mm 

FBy ¼ F3y 200 mm þ F2y 

280 mm 

80 mm 

FBx ¼ 8667 N FBy ¼ 2226 N 

SFx ¼ 0 ¼þFAx F2x F3x þ FBx SFy ¼ 0 ¼þFAy F2y þ F3y FBy 

FAx ¼ 5089 N FAy ¼ 471 N 

Die Komponenten werden geometrisch addiert: 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

FA ¼ FAx 2 þ FAy 2 

q 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

¼ 50892 N2 þ 4712 N2 p 

¼ 5111 N 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

FB ¼ FBx 2 þ FBy 2 

q 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

¼ 8667 2 N2 þ 2226 2 N2 p 

¼ 8948 N 

Zur Ermittlung der größten Biegebeanspruchung werden für die beiden Ebenen die Momentenflächen 

gekennzeichnet und zu einer resultierenden Momentenfläche geometrisch addiert. 

F Ax 

F Ay 

waagerechte Ebene 

F 2x 

F 2y 

F 3x 

senkrechte Ebene 

F 3y 

resultierende Momentenfläche 

M res2 

M res3 

F Bx 

FBy 

M2x =F ·80mm 

=40,7·10 Nmm 

Ax 

Die größte Biegebeanspruchung ist bei Rad 3 vorhanden. 

q 

Mb max ¼ Mres 3 ¼ 

Mb max ¼ 

4 

geometrische Addition 


M3x 2 þ M3y 2 


ð69,3 104 NmmÞ 2 þð17,8 104 NmmÞ 2 

q 

Mb max ¼ 71,55 10 4 Nmm 

M res2 

Mres3 

M = F · 80 mm 

2y Ay 

= 3,77 · 104 Nmm 

M3x 

=F ·80mm 

= 69,3 · 10 Nmm 

Bx 

4 

M = F · 80 mm 

3y By 

= 17,8 · 104 Nmm

374 

Die Welle II wird beim Rad 3 beansprucht durch 

das Biegemoment Mb max ¼ 71,55 10 4 Nmm und 

das Torsionsmoment MT ¼ 39,79 10 4 Nmm. 

Weil das Torsionsmoment MT ¼ MII in der Welle II von Rad 2 bis Rad 3 konstant ist, ergibt sich der gefährdete 

Querschnitt im Punkt der größten Biegebeanspruchung, also bei Rad 3. 

Das resultierende Moment Mv aus Biege- und Torsionsbeanspruchung (¼ Vergleichsmoment) beträgt: 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

Mv ¼ Mb 2 þ 0,75ða0MT Þ 2 

q 

Bei gleichbleibender Drehrichtung liegt wechselnde Biege- und schwellende Torsionsbeanspruchung vor, 

also a0 ¼ 0,7 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

Mv ¼ ð71,55 104 NmmÞ 2 þ 0,75ð0,7 39,79 104 NmmÞ 2 

q 

Mv ¼ 75,51 10 4 Nmm 

Nach Abschnitt 5.11.4.2 (Seite 369) lässt sich das Vergleichsmoment Mv auch zeichnerisch bestimmen. 

Beachte: 0,866 a0 MT ¼ 0,866 0,7 MT ¼ 0,606 MT . 

0,606 M T 

4 Nmm 

Momentenmaßstab MM ¼ 15 10 

cm 

(1 cm ¼b 15 104 Nmm) 

Ergebnis: 

4 Nmm 

Mv ¼ 5cm 15 10 

cm ¼ 75 104 Nmm 

Mit dem Vergleichsmoment Mv und der zulässigen Biegespannung kann der Wellendurchmesser 

bestimmt werden: 

sv ¼ Mv 

M v 

M bmax 

W sbzul W ¼ 0,1d 3 für den Kreisquerschnitt eingesetzt und nach d aufgelöst : 

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

3 Mv 

derf ¼ 

0,1sb zul 

sb zul ¼ 80 N 

mm 2 gewählt 


75,51 10 

derf ¼ 

4 Nmm 

0,1 80 N 

mm 2 

v 

u 

u3 

t 

derf ¼ 45,53 mm d ¼ 46 mm gewählt ðNormmaßÞ 

5 Festigkeitslehre

5.12 Festigkeit, zulässige Spannung, Sicherheit 375 

5.12 Festigkeit, zulässige Spannung, Sicherheit 

5.12.1 Festigkeitswerte im Spannungs-Dehnungs-Diagramm 

Beim Zugversuch nach DIN EN 10002 wird eine 

Zugprobe allmählich verlängert und die dabei von 

der Zugprüfmaschine angezeigte Zugkraft F ermittelt. 

Aus der Zugkraft F wird die auf den 

Ausgangsquerschnitt A0 bezogene Zugspannung 

sz ¼ F=A0 berechnet. Ebenso aus der Längenänderung 

Dl die auf die Messlänge l0 bezogene Dehnung 

e. 

Zu jeder berechneten Spannung gehört ein bestimmter 

Dehnungswert. Trägt man die Spannung 

s über der Dehnung e in ein rechwinkliges Achsenkreuz 

ein, dann erhält man das Spannungs-Dehnungs-Diagramm. 

Bis zum Punkt E verhält sich 

Stahl elastisch. Der zugehörige Festigkeitswert ist 

die Elastizitätsgrenze sE. Bei anschließender Entlastung 

ist keine bleibende Dehnung festzustellen. 

Bis zum Punkt P ist der Spannungsanstieg geradlinig, 

also gilt bis zur Proportionalitätsgrenze sP 

das Hooke’sche Gesetz s ¼ eE. Der Elastizitätsmodul 

E erscheint im schraffierten Dreieck als 

Tangens des Neigungswinkels der Spannungslinie 

(tan j ¼b E). 

Die den Punkten P und E entsprechenden Festigkeitswerte 

(Proportionalitäts- und Elastizitätsgrenze) 

sind nicht leicht zu bestimmen. 

Anders dagegen ist es mit Punkt S (Streckgrenze 

Re). Er ist durch einen plötzlichen Spannungsabfall 

deutlich markiert (jedenfalls bei weichem 

Stahl) und erscheint in allen Festigkeitsangaben. 

Die Streckgrenze ist der wichtigste Festigkeitswert 

bei statischer (ruhender) Belastung. Den eigentümlichen 

Zustand des Spannungsabfalls bei fortschreitender 

Verlängerung des Stabes nennt man 

Fließen des Werkstoffes. 

Es gibt Werkstoffe ohne erkennbare Streckgrenze 

(z. B. legierte Stähle). Als gleichwertigen Ersatz 

ermittelt man für diese Werkstoffe die 0,2 %- 

Dehngrenze und nennt die dort wirkende Spannung 

Rp0,2. 

Verlängerung Dl 

Dehnung e ¼ 

Ursprungslänge l0 

e ¼ Dl 

l0 

l l0 

¼ 

l0 

Spannungs-Dehnungs-Diagramm für Stahl 

(schematisch) 

Zusammenfassung der Festigkeitswerte für 

Zugbeanspruchung (Tabelle 5.8, Seite 385): 

Elastizitätsgrenze 

Proportionalitätsgrenze 

e Dl, l, l0 

1 mm 

von geringerer 

Bedeutung 

sE 

sP 

Re Streckgrenze, wichtigster Kennwert, 

für S235JR z. B. Re ¼ 235 N/mm2 Rm Zugfestigkeit für S235JR 

z. B. Rm 360 N/mm 2 

Rp0,2 0,2 %-Dehngrenze ist die Spannung, 

bei der nach Entlastung der Zugprobe 

eine bleibende Dehnung e ¼ 0,2 % 

zurückbleibt.

376 

5.12.2 Einflüsse auf die Festigkeit des Bauteils 

5.12.2.1 Beanspruchungsart und Festigkeit 

Die verschiedenen Beanspruchungsarten (Zug, Abscheren, 

Biegung usw.) rufen in den Bauteilen 

Spannungen verschiedener Richtung (Normal- und 

Schubspannungen) hervor. Auch die Spannungsverteilung 

über dem Querschnitt ist z. B. bei Zug 

und Biegung verschieden, so dass es einleuchtet, 

dass die Festigkeitswerte für die einzelnen Beanspruchungsarten 

zum Teil recht unterschiedlich 

sind. 

Den erheblichen Unterschied zwischen Zug- und 

Druckfestigkeit bei Gusseisen erklärt der Gefügeaufbau: 

Die zwischen den Korngrenzen liegenden 

Graphitteilchen vermindern bei Zugbeanspruchung 

den Zusammenhang der Körner, während sie bei 

Druck mittragen. 

Stahl hält im Gegensatz zu Gusseisen bei Zugund 

Druckbeanspruchung gleich viel aus. Andere 

Festigkeitswerte werden von der Art der Beanspruchung 

beeinflusst. So ändert sich beispielsweise 

die Streckgrenze bei E295 in folgender Weise: 

Re bei Zug ¼ 280 N/mm 2 

Re bei Biegung ¼ 350 N/mm 2 

Re bei Verdrehung ¼ 190 N/mm 2 

5.12.2.2 Temperatur und Festigkeit 

Bei höherer Temperatur als 20 ºC wird die Festigkeit 

des Werkstoffs vermindert. Zum Vergleich die 

Streckgrenzwerte für GJMW-400-5: 

Re bei 20 ºC ¼ 220 N/mm 2 

Re bei 200 ºC ¼ 180 N/mm 2 

Re bei 300 ºC ¼ 140 N/mm 2 

5.12.2.3 Belastungsart und Festigkeit 

Die Festigkeit eines Bauteils ist nicht nur von der 

Beanspruchungsart wie Zug, Verdrehung usw. abhängig; 

sie wird außerdem sehr stark beeinflusst 

durch die Belastungsart, d. h. durch den zeitlichen 

Verlauf der jeweils vorliegenden Spannung. 


Beispiel: 

Die Zugfestigkeit Rm von GJL-200 bei 

Raumtemperatur beträgt (siehe Tabelle 5.9, 

Seite 385): 

Zugfestigkeit Rm ¼ 200 N/mm2 Druckfestigkeit sdB ¼ 720 N/mm2 Biegefestigkeit sbB ¼ 290 N/mm2 sdB 4 Rm (gilt nur für GJL) 

Beachte: Bei der Auswahl der Festigkeitswerte 

ist die Beanspruchungsart (Zug, 

Druck, Biegung, Torsion) zu berücksichtigen. 

Beachte: Bei der Auswahl der Festigkeitswerte 

ist die Temperatur zu berücksichtigen. 

Beachte: Man unterscheidet drei idealisierte 

Belastungsfälle: ruhende, schwellende und 

wechselnde Belastung (Fall I, II und III).


a) Ruhende (statische) Belastung 

Wird ein Blechband nach Skizze im Schraubstock 

in eine Richtung gebogen und dort festgehalten, 

liegt festigkeitstechnisch „statische“ oder „ruhende“ 

Belastung vor. Die Spannung s steigt dabei von 

null auf einen Höchstwert an und bleibt dann gleich 

groß. Diese Belastungsart wird als Belastungsfall I 

bezeichnet. Er kann bei jeder Beanspruchungsart 

auftreten (Zug, Druck, Biegung, Torsion). 

Man unterscheidet in der Zustandsbeschreibung 

zwischen Belastung und Beanspruchung. 

Für Festigkeitsrechnungen maßgebend ist die im 

Zugversuch nach DIN 10 020 ermittelte Streckgrenze 

Re oder die für festere Stahlsorten entsprechende 

0,2 %-Dehngrenze Rp0,2 (siehe 5.12.1) und 

Tabelle 5.8 (Seite 385). 

b) Schwellende (dynamische) Belastung 

Wird das Blechband fortwährend in eine Richtung 

gebogen und von dort in die Ausgangsstellung 

zurückgeführt, ist das „schwellende“ Belastung. 

Die Spannung s schwillt dabei zwischen null und 

einem Höchstwert an und ab. Die Zeitdauer einer 

solchen Schwingung ist festigkeitstechnisch ohne 

Einfluss. 

Diese Belastungsart ist als Belastungsfall II bekannt. 

Er kann ebenfalls bei jeder Beanspruchungsart 

auftreten. 

Für Festigkeitsrechnungen an Bauteilen, die in 

dieser Weise belastet werden, ist die im Dauerschwingversuch 

nach DIN 50 100 ermittelte 

Schwellfestigkeit sSch oder tSch maßgebend 

(Werte in Tabelle 5.8). 

c) Wechselnde (dynamische) Belastung 

Wird das Blechband fortwährend in entgegengesetzte 

Richtungen gebogen, ist das „wechselnde“ 

Belastung. Ebenso wie die Belastung F wechselt 

die Spannung s ihre Richtung zwischen gleich 

großen Plus- und Minuswerten. Auch hier ist die 

Schwingungsfrequenz festigkeitstechnisch ohne 

Einfluss. Diese Belastungsart ist als Belastungsfall 

III bekannt. Er kann ebenfalls bei jeder Beanspruchungsart 

auftreten. 

Belastungsart ruhend 

Belastungsart schwellend 

Die Schwellfestigkeit ist diejenige Spannung, 

die ein schwellend belasteter, glatter, 

polierter Probestab dauernd erträgt, 

ohne zu brechen. 

Balastungsart wechselnd

378 

Für Festigkeitsrechnungen an Bauteilen, die in 

dieser Weise belastet werden, ist die im Dauerschwingversuch 

nach DIN 50100 ermittelte Wechselfestigkeit 

sW oder tW maßgebend (Werte in Tabelle 

5.8). 

Wie Tabelle 5.8 zeigt, ist die Wechselfestigkeit 

immer kleiner als die entsprechende Schwellfestigkeit: 

Ein wiederholt hin- und her gebogenes 

Bauteil bricht nach einer geringeren Anzahl Lastwechsel 

als ein schwellend belastetes Teil. 

5.12.2.4 Gestalt und Dauerfestigkeit 

Die Festigkeitswerte sSch, tSch, sW, tW aus dem 

Dauerschwingversuch nach DIN 50100 werden 

mit dem Sammelbegriff „Dauerfestigkeit sD, tD“ 

bezeichnet. Man ermittelt sie an glatten, polierten 

Stäben mit einem Durchmesser von 7 bis 15 mm, 

am häufigsten als Biegewechselfestigkeit sbW. 

Sollen die an Probestäben gemessenen Festigkeitswerte 

auf Bauteile anderer Größe, Form und Oberfläche 

übertragen werden, dann ist noch zu beachten: 

a) Größe und Dauerfestigkeit 

Die Dauerfestigkeitswerte nehmen vor allem bei 

Biegebeanspruchung mit steigendem Durchmesser 

ab. Bei Großteilen muss also mit kleineren Werten 

gerechnet werden. 

b) Form und Dauerfestigkeit 

Die meisten Bauteile weichen von der Form des 

Probestabs ab, hauptsächlich durch Kerben jeder 

Form. Im erweiterten Sinn ist jede schroffe Querschnittsänderung 

eine Kerbe. 

Die Kerbe ruft im Querschnitt örtliche Spannungsspitzen 

hervor. Messungen zeigen, dass die Spannungsspitze 

im Kerbgrund ein Mehrfaches der 

rechnerischen Spannung betragen kann. Die rechnerische 

Spannung heißt Nennspannung sn. Die 

Spannungsspitze wird umso größer, je spitzer die 

Kerbe ist; jedoch tritt nicht bei allen Werkstoffen 

die Spannungserhöhung in gleichem Maß auf. 

Hochlegierte und gehärtete Stähle sind am kerbempfindlichsten, 

Gusseisen und viele Leichtmetalllegierungen 

sind wenig kerbempfindlich. 

Die Wechselfestigkeit ist diejenige Spannung, 

die ein wechselnd belasteter, glatter, 

polierter Probestab dauernd erträgt, 

ohne zu brechen. 

Beispiele (siehe Tabelle 5.8, Seite 385): 

sb Sch, E335 ¼ 435 N/mm2 tt Sch, E295 ¼ 160 N/mm2 ¼ 310 N/mm2 szW, E360 

ttW, S235JR ¼ 105 N/mm2 5 Festigkeitslehre 

Beachte: Die Beanspruchungsart wird mit 

kleinem, die Belastungsart mit großem Buchstaben 

gekennzeichnet. 

Beispiele: 

10 % weniger bei 20 mm Durchmesser 




Beispiele für Kerben: 

Wellenabsätze, Keilnuten, Bohrungen, 

Naben. 

Spannungsverlauf im Kerbquerschnitt 

(Belastungsart wechselnd, 

Beanspruchungsart Zug/Druck).


Die tatsächliche örtliche Spannungsspitze smax ist 

die Kerbspannung, die aus Nennspannung sn und 

1) so genannter Kerbwirkungszahl bk berechnet 

wird. 

Jede Kerbe verringert demnach die Dauerfestigkeit 

des Bauteiles mehr oder weniger, wie man am Beispiel 

eines wechselnd auf Biegung beanspruchten 

Probestabs erkennen kann. sbWK ist die Kerb- 

Wechselfestigkeit. 

Der festigkeitsmindernde Einfluss der Kerbe wird 

bei hochfesten Stählen besonders deutlich. 

Die Dauerfestigkeitswerte sSch, sW, tSch, tW 

kennzeichnen diejenige Spannung, die ein 

glatter, polierter Probestab im Dauerschwingversuch 

(DIN 50100) dauernd erträgt, ohne zu 

brechen. 

Die Kerb-Dauerfestigkeitswerte sSch K, sWK, 

tSch K, tWK geben diejenigen Spannungen an, 

die ein gekerbter Probestab im Dauerschwingversuch 

dauernd erträgt, ohne zu brechen. 

Mit bekannter Kerbwirkungszahl bk und Dauerfestigkeit 

kann die Kerb-Dauerfestigkeit berechnet 

werden. 

Angenommen, die Kerbwirkungszahl bk einer mit 

Lagerzapfen abgesetzten Welle aus E295 sei bekannt 

(bk ¼ 1,8). Die Welle wird wechselnd auf 

Biegung beansprucht. Dann kann mit dem Festigkeitswert 

aus Tabelle 5.8 (Seite 385), die Kerbwechselfestigkeit 

sbWK berechnet werden. 

c) Oberfläche und Dauerfestigkeit 

Die Probestäbe sind poliert und geläppt. Eine 

andere Oberflächengüte setzt die Dauerfestigkeit 

des Bauteils herab. 

Oberflächendrücken, Härten und Ziehen kann 

dagegen die Dauerfestigkeit deutlich erhöhen. 

smax ¼ sn b k 

Beispiel: 

Biege-Wechselfestigkeit des glatten, polierten 

und des gekerbten (Index K) Stabes aus E295. 

sbW, glatt ¼ 245 N=mm 2 ðTabelle 5:8; Seite 385Þ 

sbWK ¼ 136,1 N=mm 2 

Beispiel: 

Für Federstahl beträgt: 

sbW ¼ 560 N=mm 2 

ðWechselfestigkeitÞ 

sbWK ¼ 270 N=mm 2 ðKerb-Wechselfestigkeit) 

Das Verhältnis von Dauerfestigkeit zur Kerb- 

Dauerfestigkeit nennt man die 

Kerbwirkungszahl b k ¼ Dauerfestigkeit 

Kerb- 

Dauerfestigkeit 

b k ¼ sD 

sDK 

Kerbwirkungszahl 

(Tabelle 5.7, Seite 385) 

Die Kerbwirkungszahl b K ist abhängig vom 

Werkstoff, von der Kerbform und von der 

Beanspruchungsart des gekerbten Stabes. 

sDK ¼ sD 

b k 

Kerb-Dauerfestigkeit 

Beispiel: 

sbW, E295 ¼ 245 N=mm 2 (Tabelle 5.8) 

sbWK ¼ sbW 

b k 

245 

¼ 

N 

mm2 ¼ 136,1 

1,8 

N 

mm2 Hinweis: Man rechnet mit einem Abzug 

von 10% bei geschliffener Oberfläche, 

von 20% bei geschlichteter Oberfläche und 

von 30% bei Walz-, Glüh- oder Gusshaut. 

1) Beachte: Zu den Rechnungen nach der FKM-Richtlinie (siehe 5.12.3.5) wird mit der Kerbwirkungszahl Kf gearbeitet.

380 

5.12.3 Spannungsbegriffe 

5.12.3.1 Nennspannung 

Berechnet man die Normal- oder Schubspannung (s, t) mit den klassischen Gleichungen der 

Festigkeitslehre (wie im Buch), z. B. die Normalspannung sz ¼ F=A in einem Zugstab, wird 

die Zuspannung als Zug-Nennspannung sz, n bezeichnet. Vereinbart gelten die Bedingungen: 

a) gleichmäßig verteilter Kraftfluss über dem belasteten Querschnitt, b) es treten nur elastische 

Verformungen auf, c) die Schnittflächen bleiben dabei eben. 

5.12.3.2 Úrtliche Spannung 

Bei den praktisch verwendeten Bauteilen treten die obigen Bedingungen selten zusammen auf. 

Die Bauteile weichen von der idealisierten Form des glatten, polierten Probestabs im genormten 

Zugversuch ab, z. B. durch Kerben aller Art (Rundkerbe, Spitzkerbe), durch Absätze mit unterschiedlichen 

Abrundungsradien, durch Querbohrungen und Wanddurchbrüche. Dadurch ändern 

sich Verlauf und Dichte der Kraftflusslinien, sie werden an Querschnittsübergängen zusammengedrängt 

und die auftretende Spannung wird um eine Formzahl größer als die berechnete Nennspannung 

sz, n ¼ F=A. Diese Spannung nennt man örtliche Spannung oder Kerbspannung. 

5.12.3.3 Zulässige Spannung 

Die zulässige Spannung wird zur Bestimmung geometrischer 

Größen am Bauteil gebraucht. Beispielsweise 

soll der erforderliche Querschnitt Aerf 

(Durchmesser d) eines Zugankers aus Stahl S235JR 

bei gegebener maximaler Zugkraft Fmax ¼ 50 MN 

ermittelt werden. Es liegt schwellende Belastung 

vor. Für die Zugbeanspruchung gilt die Nennspannungsgleichung 

sz, n ¼ F=A oder Aerf ¼ Fmax=sz zul. 

Zur Wahl der zulässigen Spannung sz zul wird der 

Werkstoffkennwert Kw des Werkstoffs zugrunde 

gelegt. 

Bei ruhender Belastung wäre dies die Streckgrenze 

Re des Werkstoffs: Kw ¼ Re ¼ 235 N/mm 2 

(Tabelle 5.8, Seite 385 für S235JR). 

In festigkeitstechnische Entwurfsberechnungen 

führt man den Ausnutzungsgrad n < 1 ein und 

setzt sz zul ¼ sz Entwurf ¼ n Kw ¼ n Re. 

Bei dynamischer Belastung wird als Werkstoffkennwert 

Kw die Schwell- oder Wechselfestigkeit 

(Tabelle 5.8) eingesetzt (Kw ¼ sz Sch oder sz, dW). 

Mit sz Sch, S235JR ¼ 158 N=mm 2 

und Ausnutzungsgrad 

n ¼ 0,8 für schwellende Belastung 

und geschmiedetes Bauteil erhält man den gesuchten 

erforderlichen Durchmesser derf ¼ 22,5 mm. 

Weitere Rechnungen werden mit dem nächst höheren 

Normmaß dNorm ¼ 25 mm durchgeführt. 

Spannungs-Dehnungs-Diagramm (schematisch) 


4Fmax 


s 

derf ¼ 

¼ 

p n sz; Sch 


4 50 10 

¼ 

3 N mm2 s 

¼ 22,5 mm 

p 0,8 158 N 

dNorm ¼ 20


5.12.3.4 Berechnungen im Buch 

Aufgaben zur Festigkeitslehre werden im Lehrbuch (Beispiele, Ûbungen) und im Lösungsbuch 

zur Aufgabensammlung1) auf folgenden Wegen gelöst: 

a) Gestalt und Bemaßung des Bauteils sind in einer Konstruktionsskizze dargestellt: 

Mit den Gesetzen der Statik werden die von außen auf das Bauteil einwirkenden Kräfte F 

(Normal- und Querkräfte) und Momente M (Dreh-, Biege- und Torsionsmomente) ermittelt. 

Mit diesen Größen lassen sich die inneren Kräfte und Momente bestimmen (siehe 5.1.7, Seite 

271). Daraus können die auftretenden Nennspannungen svorh und tvorh und die Formänderungen 

(z. B. Längenänderungen Dl) am vorhandenen Bauteil berechnet werden. 

b) Vom geplanten Bauteil sind die Hauptmaße für eine Entwurfsskizze zu berechnen: 

Die Hauptabmessungen wie Kantenlängen l oder Durchmesser d am Entwurf werden mit einer 

zulässigen Spannung szul und tzul ermittelt. Man nennt diese Entwurfsberechnung das 

„Dimensionieren“ des Bauteils. Dazu ist eine „zulässige“ Spannung vorzugeben (szul ¼ 

sEntwurf), die aus Tabellen entnommen oder aus Erfahrungswerten festgelegt werden kann. 

Für die Festigkeitsrechnungen im Lehrbuch und für die entsprechenden Aufgaben in der 

Aufgabensammlung werden die Bezeichnungen szul ¼ sEntwurf methodisch gleichwertig verwendet. 

5.12.3.5 Praktische Festigkeitsberechnungen im Maschinenbau 

Ziel aller Festigkeitsrechnungen ist die Ermittlung der vorhandenen Spannung und der Nachweis, 

dass ein konstruiertes Bauteil mit Sicherheit „hält“. So muss seine geforderte oder erwartete 

Tragfähigkeit unter allen denkbaren Umständen gewährleistet sein, es darf z. B. auch bei 

Dauerbelastung in der vorgeschriebenen Lebensdauer nicht brechen oder seine Form bleibend 

so verändern, dass es seine Funktion nicht mehr ausreichend erfüllt. Das gilt für den Maschinen- 

und Gerätebau ebenso wie für den Stahlbau- und Stahlhochbau (Brücken- und Gebäudebau) 

, den Schiffs- und Flugzeugbau. Am Ende dieser Berechnungen steht der Zahlenwert für 

die „Sicherheit S geforderter Mindestsicherheit Smin“. Die Festigkeitsrechnung beginnt mit dem Festlegen der Entwurfs- oder Dimensionierungsspannung 

sEntwurf szul. Damit werden die Hauptmaße der Konstruktion berechnet, z. B. der 

Durchmesser einer Welle an einer bestimmten Stelle, dem sog. gefährdeten Querschnitt. 

Mit der Wahl des Werkstoffs liegen die Festigkeitsgrößen vor, z. B. die Zug-, Druck-, Biegeund 

Torsions-Wechselfestigkeit (szW, sdW, sbW, ttW) oder die entsprechenden 0,2%-Dehngrenzen 

(Rp 0,2). Diese aus Tabellen greifbaren Werte sind an genormten (glatten, polierten) 

Probestäben ermittelt worden (also nicht am Maschinenbauteil selbst) oder an Bauteilen mit 

anderer Oberflächenbeschaffenheit, anderer Form usw. Zur Ermittlung der sog. Gestaltfestigkeit 

werden Faktoren K in die Berechnung der Sicherheit SD gegen Dauerbruch (Dauerhaltbarkeit) 

oder gegen bleibende Verformung (Fließgrenze) eingeführt, z. B. der Rauheitsfaktor KFs 

oder die Kerbwirkungszahl Kf, die aus der Kerbformzahl Kt berechnet werden kann. Auf diese 

Weise wird z. B. die Biegewechselfestigkeit des Probestabs sbW in die Biegewechselfestigkeit 

sbWK des gekerbten Stabs umgerechnet. 

1) Lösungen zur Aufgabensammlung Technische Mechanik, Böge/Schlemmer, 14. Auflage 2009, 

Vieweg þ Teubner

382 

Die dazu erforderlichen Rechnungsgänge, Methoden und Tabellen liegen unter anderem vor in: 

FKM-Richtlinie: Rechnerischer Festigkeitsnachweis für Maschinenbauteile, 5. erweiterte Ausgabe 

2003, VDMAVerlag; 

DIN 743 Tragfähigkeitsberechnung von Wellen und Achsen, Oktober 2000; 

VDI-Richtlinie, VDI 2230: Systematische Berechnung hoch beanspruchter Schraubenverbindungen. 

5.12.4 Dauerbruchsicherheit 

5.12.4.1 Sicherheit S D bei ruhender Belastung 

Ruhende Belastung ist im Maschinenbau selten. 

Der zugehörige Festigkeitswert ist für Baustahl die 

Streckgrenze Re des verwendeten Werkstoffs und 

der vorliegenden Beanspruchungsart (Zug, Druck, 

Biegung, Torsion). Bei festeren Stahlsorten wie 

Vergütungsstahl tritt an die Stelle der Streckgrenze 

die 0,2 %-Dehngrenze R p 0,2 (siehe 5.12.1). Eine 

Ûbersicht gibt Tabelle 5.8. 

Bei Werkstoffen ohne ausgeprägte Fließgrenze wie 

Gusseisen werden die Zugfestigkeit Rm und die 

Bruchfestigkeiten sdB, sbB aus Tabelle 5.9 verwendet. 

SD ¼ Re 

¼ 

sn 

Rp0;2 

sn 

Smin ¼ 1,5 

(gilt für Stahl; sn Nennspannung) 

SD ¼ Rm 

sn 

Smin ¼ 2,0 

(gilt für Gusseisen) 

Kerbwirkungen sind beim Belastungsfall I (ruhend) nicht zu berücksichtigen. Die Bruchgefahr 

wird bei Ruhelast durch Kerben nicht erhöht, sondern durch Stützwirkung weniger belasteter 

Stoffteilchen eher vermindert. Bei GJL (Lamellengusseisen) ist die Kerbwirkung durch das 

schon von Graphitteilchen vorgekerbte Gefüge selbst bei dynamischer Belastung (schwellend, 

wechselnd) kaum spürbar (Kerbwirkungszahl b k ¼ 1). 

5.12.4.2 Sicherheit SD bei dynamischer Belastung 

Schwellende und wechselnde Belastung tritt im 

Maschinenbau am häufigsten auf. 

SD ¼ 

Der zugehörige Festigkeitswert ist die Dauerfestigkeit 

sD des verwendeten Werkstoffs bei der vorliegenden 

Beanspruchungsart (Zug=Druck, Biegung, 

Torsion). 

sD b1 b2 

bk sn 

Smin ¼ 1,2 

(für Bauteile mit Kerbwirkung) 


sn Nennspannung, 

b 1 Oberflächenbeiwert, siehe Diagramm, 

b2 Größenbeiwert, siehe Diagramm, 

bk Kerbwirkungszahl siehe Tabelle 5.7 

(Seite 385).


Die Dauerfestigkeit s D des Probestabs wird durch 

die Faktoren b 1, b 2, b k verringert, sie erhalten in 

der neueren Literatur 1) zum Teil andere Bezeichnungen 

z. B. K f, b statt b k, b für die Kerbwirkungszahl 

bei Biegebeanspruchung. 

Die vorhandene Sicherheit vvorh lässt sich mit der 

Dauerfestigkeit, der Nennspannung sn und den 

beiden Beiwerten für Oberflächen- und Größeneinfluss 

sowie der Kerbwirkungszahl b k bestimmen. 

Die Nennspannung sn ist die Spannung, die mit 

Hilfe der bekannten Hauptgleichungen berechnet 

wurde. 

Der Oberflächenbeiwert b1 

berücksichtigt das Zurückgehen 

der Dauerfestigkeit 

durch Oberflächenrauigkeiten 

(Schleif- oder Drehriefen, 

Poren, Walznarben). 

Der Größenbeiwert b2 berücksichtigt 

das Zurückgehen 

der Dauerfestigkeit mit 

zunehmender Baugröße. b2 

kann nur für Wellen angegeben 

werden. 

5.12.5 Ûbungen zur Dauerfestigkeit 

1. Ûbung: Ein Bauteil aus S235JR wird durch 

F ¼ 6000 N schwellend auf Zug beansprucht. 

Gefährdeter Querschnitt A ¼ 100 mm2 Kerbwirkungszahl bk ¼ 3,1. 

Die vorhandene Sicherheit und die maximale 

Spannung sollen berechnet werden. 

Lösung: Die Nennspannung sn wird immer aus 

den bekannten Hauptgleichungen berechnet, hier 

also aus der Zug-Hauptgleichung. 

vvorh ¼ sDb1b2 

sn 

¼ mindestens 1,2 

bei Bauteilen ohne Kerbwirkung 

vvorh ¼ sDb1b2 

sn b k 

¼ mindestens 1,2 

bei Bauteilen mit Kerbwirkung, b k bekannt 

Gegeben: Werkstoff S235JR 

Zugkraft F ¼ 6000 N 

Belastungsfall II (schwellend) 

Querschnitt A ¼ 100 mm 2 

Kerbwirkungszahl b k ¼ 3,1 

Gesucht: Vorhandene Sicherheit SD; vorh 

Spannungsspitze smax 

sn ¼ F 

A 

1) z. B. FKM-Richtlinie für den rechnerischen Festigkeitsnachweis, siehe Seite 382 

6000 N N 

¼ ¼ 60 

100 mm2 mm2

384 

Aus Tabelle 5.8 wird die Zug-Schwellfestigkeit 

des Werkstoffs S235JR entnommen 

(sz Sch ¼ 158 N=mm 2 ) 

und bestimmt damit die vorhandene Sicherheit. 

Die Spannungsspitze ist das Produkt aus Nennspannung 

und Kerbwirkungszahl. Die Rechnung 

zeigt, dass smax > szSch ist. 

Abschließend bestimmt man noch die Festigkeit 

des gekerbten Bauteils, die Kerb-Dauerfestigkeit 

sDK. Sie soll größer sein als die geforderte Mindestsicherheit 

Smin ¼ 1,2. 

2. Ûbung: Für eine auf Biegung schwellend beanspruchte 

Achse aus S275JO ist die vorhandene 

Sicherheit Svorh zu ermitteln. 

Der Querschnitt ist durch eine Sicherungsring- 

Kerbe geschwächt. 

Lösung: Aus Tabelle 5.8 wird die Schwellfestig- 

keit sb Sch ¼ 320 N=mm 2 entnommen, aus Tabelle 

5.7 die Kerbwirkungszahl bk kerben. 

3fürSicherungs Die vorhandene Nennspannung beträgt mit 

d ¼ 50 mm sn ¼ 25,5 N/mm2 . 

Mit dem Oberflächenwert b1 ¼ 0,85 (geschlichtet) 

und mit dem Größenbeiwert b2 ¼ 0,7 (für 

40 ...120 mm) kann die Sicherhet SD gegen 

Dauerbruch berechnet werden. Die vorhandene 

Sicherheit ist größer als die Mindestsicherheit: 

SD vorh ¼ 2,5 > Smin ¼ 1,2. 

3. Ûbung: Der gefährdete Querschnitt des skizzierten 

Flachstabs wird mit einer Zugspannung 

(Nennspannung) sz, n ¼ 60 N/mm 2 schwellend 

beansprucht. Zu ermitteln ist die Sicherheit SD gegen 

Dauerbruch. 

Lösung: Mit szSch ¼ 158 N=mm 2 aus Tabelle 5.8 

und b k ¼ 1,8 aus Tabelle 5.7 für Flachstäbe mit 

Querbohrung sowie b1 ¼ 0,8 (geschruppt) und 

b2 ¼ 1 (geschätzt) ist die Sicherheit 

SD vorh ¼ 1,17 < Smin ¼ 1,2. 

vvorh ¼ szSch 

¼ 

sn bk 158 N 

mm 2 

60 N 

3,1 

mm2 ¼ 0,85 

smax ¼ sn bk ¼ 60 N 

N 

3,1 ¼ 186 

mm2 mm2 sDK ¼ sz Sch K ¼ sz Sch 

b k 

Gegeben: 

Werkstoff S275JO 

Belastungsfall II 

Biegebeanspruchung 

Durchmesser d ¼ 50 mm 

Gesucht: 

Sicherheit gegen Dauerbruch 

SD ¼ sD b1 b2 

b k sn 

¼ 

sn Nennspannung, 

158 

¼ 

N 

mm2 ¼ 51 

3,1 

N 

mm2 320 N 

0,85 0,7 

mm2 3 25,5 N 

mm2 ¼ 2,5 > Smin 

b1 Oberflächenbeiwert, siehe Diagramm, 

b2 Größenbeiwert, siehe Diagramm, 

bk Kerbwirkungszahl siehe Tabelle 5.7. 

Gegeben: Werkstoff S235JR 

Belastungsfall II 

Zugbeanspruchung 

Nennspannung 60 N/mm 2 

Gesucht: 

Sicherheit SD 

SD ¼ sD b1 b2 

b k sn 

¼ 


158 N 

0,8 1,0 

mm2 1,8 60 N 

mm2 ¼ 1,17


Tabelle 5.7 Richtwerte für die Kerbwirkungszahl b k 

Kerbform Beanspruchung Werkstoff b k 

Hinterdrehung in Welle (Rundkerbe) 

Hinterdrehung in Welle (Rundkerbe) 

Eindrehung für Sicherungsring in Welle 

abgesetzte Welle (Lagerzapfen) 

abgesetzte Welle (Lagerzapfen) 

Passfedernut in Welle 




Querbohrung in Achse (Schmierloch) 

Bohrung in Flachstab 

Bohrung in Flachstab 

Welle an Ûbergangsstelle zu festsitzender Nabe 

Tabelle 5.8 Festigkeitswerte für Stähle (alle Werte in N/mm 2 ) 

Biegung 

Verdrehung 

Biegung und Verdrehung 

Biegung 

Verdrehung 

Biegung 

Biegung 

Verdrehung 

Verdrehung 


Zug 

Biegung 


|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 

|fflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflffl} 

S235JR-E335 

CrNiSt 

S235JR-E335 

CrNiSt 

S235JR-E335 

Werkstoff Rm Re, Rp0,2 szd Sch szd W s b Sch 5Þ sbW t tSch 6Þ ttW Elastizitätsmodul 

E 

S235JR 

S275JO 

E295 

S355JO 

E335 

E360 

50 CrMo4 2) 

20 MnCr5 3) 

34 CrAlNi7 4) 

360 

430 

490 

510 

590 

690 

1100 

1200 

900 

235 

275 

295 

355 

335 

360 

900 

850 

680 

158 

185 

205 

215 

240 

270 

385 

365 

335 

160 

195 

220 

230 

265 

310 

495 

480 

405 

270 

320 

370 

380 

435 

500 

785 

765 

650 

180 

215 

245 

255 

290 

340 

525 

510 

435 

115 

140 

160 

165 

200 

220 

350 

335 

300 

105 

125 

145 

150 

170 

200 

315 

305 

260 

1) Richtwerte für dB < 16 mm, 2) Vergütungsstahl, 3) Einsatzstahl, 4) Nitrierstahl, 

5) berechnet mit 1,5 sbW, 6) berechnet mit 1,1 ttW 

Tabelle 5.9 Festigkeitswerte für Gusseisen (alle Werte in N/mm 2 ) 

210000 

210000 

210000 

210000 

210000 

210000 

210000 

210000 

210000 

1,5 ...2,2 

1,3 ...1,8 

3 ...4 

1,5 ...2,0 

1,3 ...1,8 

1,5 

1,8 

2,3 

2,8 

1,4 ...1,7 

1,6 ...1,8 

1,3 ...1,5 

2 

Schubmodul 

G 

80000 

80000 

80000 

80000 

80000 

80000 

80000 

80000 

80000 

Werkstoff Rm Re, Rp0,2 sdB sbB szdW sbW ttW Elastizitätsmodul E Schubmodul G 

GJL-150 

GJL-200 

GJL-250 

GJL-300 

GJL-350 

GJMW-400-5 

GJMB-350-10 

150 

200 

250 

300 

350 

400 

350 

90 

130 

165 

195 

228 

220 

200 

600 

720 

840 

960 

1080 

1000 

1200 

250 

290 

340 

390 

490 

800 

700 

40 

50 

60 

75 

85 

120 

1000 

70 

90 

120 

140 

145 

140 

120 

60 

75 

100 

120 

125 

115 

100 

82000 

100000 

110000 

120000 

130000 

175000 

175000 

35000 

40000 

43000 

49000 

52000 

67000 

67000 

Diese Werte gelten für 15–30 mm Wanddicke; für 8–15 mm 10% höher, für > 30 mm 10% niedriger; 

Dauerfestigkeitswerte im bearbeiteten Zustand; für Gusshaut 20 % Abzug.

386 

6 Fluidmechanik (Hydraulik) 


m kg Masse 

p N/m 2 ¼ Pa, bar Druck 

qm kg/s Massenstrom 

qV m 3 /s Volumenstrom 

Re 1 Reynolds’sche Zahl (Re-Zahl) 

t s Zeit 

V m 3 Volumen 

w m/s Strömungsgeschwindigkeit 

a 1 Durchflusszahl bei Blenden 

z 1 Widerstandszahl eines einzelnen Hindernisses in Rohrleitungen 

h 1 Wirkungsgrad 

h Ns/m 2 ¼ kg/ms dynamische Viskosität 

l 1 Widerstandszahl für Rohrleitung 

m 1 Reibungszahl zwischen Kolben und Dichtung 

m 1 Ausflusszahl 

v m 2 /s kinematische Viskosität; v ¼ h=r 

r kg/m 3 Dichte 

j 1 Geschwindigkeitszahl 

6.1 Statik der Flüssigkeiten (Hydrostatik) 

6.1.1 Eigenschaften der Flüssigkeiten 

Flüssigkeiten unterscheiden sich von festen Körpern 

durch leichte Verschiebbarkeit der Teilchen. 

Während bei festen Körpern vielfach erhebliche 

Kräfte nötig sind, um ihre Form zu ändern, ist die 

Formänderung einer Flüssigkeit ohne Krafteinwirkung 

möglich, wenn nur hinreichend Zeit zur Verfügung 

steht. Bei raschem Formwechsel ist auch 

bei Flüssigkeiten ein Widerstand spürbar; er hat 

seine Ursache in der „Zähigkeit“ (Viskosität) und 

der Massenträgheit. 

In Ruhezuständen oder bei sehr langsamen Bewegungen 

darf der Widerstand gegen Formänderung 

gleich null gesetzt werden. 

Hinweis: 

Fluid ist die übergeordnete Bezeichung für 

Flüssigkeiten, Gase und Dämpfe. Das Wort 

„Hydraulik“ kommt aus dem Griechischen: 

hydro ¼ Wasser. 

Im übertragenen Sinn spricht man von 

„Hydraulik“ auch bei Verwendung anderer 

Flüssigkeiten, wie z. B. Úl (Úlhydraulik). 

Die Hydraulik behandelt alle Vorgänge, bei 

denen Kräfte und Bewegungen durch eine 

Flüssigkeit übertragen werden. Die Flüssigkeit 

ist der Energieträger, z. B. im hydraulischen 

Getriebe, bestehend aus den hydraulischen 

Elementen Pumpe, Motor und 

Leitung. 

Der widerstandslosen Formänderung der Flüssigkeiten steht ihr großer Widerstand bei Volumenänderung 

gegenüber. Beispielsweise wird es nicht gelingen, 1 Liter Wasser in ein Gefäß 

von 1/2 Liter hineinzupressen. Ebensowenig ist es möglich, 1/2 Liter Wasser auf ein Volumen 

von einem Liter auszudehnen. Erst bei sehr hohen Drücken ist eine kleine Volumenänderung 

messbar, z. B. in Einspritzleitungen von Dieselmotoren. Wasser drückt sich bei einem Druck 

von 1000 bar um ca. 5% zusammen. Stöße und Drücke werden daher in unvermindeter Stärke 

übertragen, z. B. Wasserschläge in Rohrleitungen und Drücke in hydraulischen Pressen. 

1) siehe Fußnote Seite 1

6.1 Statik der Flüssigkeiten (Hydrostatik) 387 

6.1.2 Hydrostatischer Druck (Flüssigkeitsdruck, hydraulische Pressung) 

In der Festigkeitslehre nennt man die im Inneren 

eines festen Körpers je Flächeneinheit aufzunehmende 

Kraft die Spannung. Die Spannung in einer 

ruhenden Flüssigkeit heißt hydrostatischer Druck 

oder kurz Druck p. 

Der hydrostatische Druck ist die je Flächeneinheit 

von außen (oder in ihrem Inneren) auf 

eine Flüssigkeit wirkende Kraft. 

Die Einheit des Druckes ergibt sich aus der Definitionsgleichung 

p ¼ F=A: Sie ist der Quotient aus 

einer Krafteinheit und einer Flächeneinheit. 

Die gesetzliche und internationale Einheit 

(SI-Einheit) des Druckes p ist das Newton je 

Quadratmeter. Einheitenname: Pascal mit dem 

Kurzzeichen Pa: 

1 N 

¼ 1Pa 

m2 Die früher gebräuchliche Druckeinheit 

kp/cm 2 ¼ at ist ungefähr so groß wie das Bar 

(1 at 1 bar). 

6.1.3 Druckverteilung in einer Flüssigkeit ohne Berücksichtigung der Schwerkraft, 

das Druck-Ausbreitungsgesetz 

Jede Flüssigkeit hat eine Masse und folglich auch 

eine Schwerkraft, die Gewichtskraft FG. In vielen 

Fällen, z. B. bei hohen Drücken, braucht man sie 

nicht zu berücksichtigen. 

Man stellt sich im Inneren einer Flüssigkeit einen 

flachliegenden „Flüssigkeitsquader“ vor. Es ist 

kein Fehler, wenn dieser „Flüssigkeitskörper“ als 

erstarrte Flüssigkeit betrachtet wird und die Gesetze 

der Statik starrer Körper auf ihn anwendet. 

Beachte: Der Druck p steht immer 

rechtwinklig auf der betrachteten Fläche. 

Kraft F 

p ¼ 

Fläche A 

hydrostatischer Druck 

ðpÞ ¼ ðFÞ N 

¼ 

ðAÞ m2 ¼ Nm 2 ¼ Pascal ðPaÞ 

Hinweis: Weitere gesetzliche Einheiten sind 

1 MPa (Megapascal) ¼ 106 6 N 

Pa ¼ 10 

m2 1 bar (Bar) ¼ 105 5 N 

Pa ¼ 10 

m2 Einheitenname nach 

Blaise Pascal, 1623–1662 

1 bar ¼ 10 N 

cm 2 

1 kp 

¼ 1at: 

cm2 p F A 

N 

m 2 

N m 2

388 

Es soll das Gleichgewicht gegen Verschieben 

längs der Prismenachse betrachtet werden wobei 

man zunächst annimmt, dass die Drücke auf die 

Stirnseiten (p1 und p2) verschieden groß sind. Da 

die Druckkräfte auf den Seitenflächen immer 

rechtwinklig auf diese Flächen wirken, tragen sie 

zu den Kräften F1 und F2 auf die Stirnflächen 

nichts bei. 

Da der Quader in der Flüssigkeit ruht, muss für die 

auf die Stirnflächen wirkenden Kräfte F1 und F2 

die Gleichgewichtsbedingung SF ¼ 0 erfüllt sein. 

Die Entwicklung der Gleichung zeigt, dass der 

Druck an beiden Stirnseiten gleich ist. Dasselbe 

muss auch für die anderen einander gegenüberliegenden 

Flächen gelten. 

Daraus ergibt sich das von Pascal aufgestellte 

Druck-Ausbreitungsgesetz: 

Der Druck, der auf irgendeinen Teil einer abgesperrten 

Flüssigkeit ausgeübt wird, breitet sich 

nach allen Richtungen hin gleichmäßig aus. 

6.1.4 Anwendungen des Druck-Ausbreitungsgesetzes 

6.1.4.1 Hydraulischer Hebebock 

An das vollständig mit Wasser gefüllte Gefäß eines 

Wasserdruckhebebocks sind zwei Zylinder angeschlossen, 

in denen Kolben gleiten. Die Kolbenflächen 

sind A1 und A2. Auf den Kolben mit der 

Fläche A1 wirkt die Triebkraft F1. 

Es sollen die Beziehungen zwischen den Kolbenkräften, 

Kolbenflächen und Kolbenwegen untersucht 

werden. 

Der Druck in der abgeschlossenen Flüssigkeit ist 

überall gleich groß. Man kann ihn aus Triebkraft 

F1 und Triebkolbenfläche A1 oder aus der Last F2 

und der Lastkolbenfläche A2 berechnen. Hat der 

Triebkolben einen kleineren Durchmesser als der 

Lastkolben, kann man mit kleiner Triebkraft 

größere Lasten heben. 

Beachte: Weil p ¼ F=A ist, ist auch F ¼ pA, 

also F1 ¼ p1 A und F2 ¼ p2 A. 

SF ¼ 0 ¼ F1 F2 ¼ p1 A p2 A 

p1 A ¼ p2 A ! p1 ¼ p2 

d. h. es herrscht Druckgleichheit: 

p1 ¼ p2 ¼ p3 ¼ ... 

Beachte: Das Druck-Ausbreitungsgesetz, 

also Druckgleichheit an jeder Stelle der 

Flüssigkeit, gilt nur ohne Berücksichtigung 

der Schwerkraft der Flüssigkeit. 

Hydraulischer Hebebock 

p ¼ F1 

¼ 

A1 

F2 

¼ ...¼ 

A2 

Fn 

An 

F1 

F2 

¼ A1 

A2 


Die Kolbenkräfte verhalten 

sich zueinander wie die 

Kolbenflächen.


Bewegt sich der Triebkolben um die Strecke s1 

nach unten, so verdrängt er das Volumen V ¼ A1 s1. 

Das vom Triebkolben verdrängte Volumen muss 

gleich dem vom Lastkolben freigegebenen Raum 

V ¼ A2 s2 sein. 

Zum gleichen Ergebnis kommt man mit der Ûberlegung, 

dass die Triebarbeit W ¼ F1 s1 gleich der 

Lastarbeit W ¼ F2 s2 sein muss, wenn die Reibung 

unberücksichtigt bleibt. Für F ¼ pA eingesetzt 

ergibt sich für das Verhältnis der Kolbenwege 

s1=s2 ¼ A2=A1. 

Wird in die zuletzt gefundene Gleichung schließlich 

für die Fläche A1 ¼ pd1 2 =4 und für die Fläche 

A2 ¼ pd2 2 =4 eingesetzt, dann erhält man die 

Beziehung zwischen Kolbenwegen und Kolbendurchmessern. 

Ûbung: Mit einem hydraulischen Hebebock soll 

am Lastkolben eine Kraft von 80 kN erzeugt 

werden. Mit einer entsprechenden Hebelübersetzung 

wird auf den Triebkolben eine Triebkraft von 

1,2 kN ausgeübt. Der hydrostatische Druck im 

Behälter soll 45 bar betragen. 

Ohne Berücksichtigung der Reibung sind die 

Durchmesser der beiden Zylinder zu bestimmen. 

Außerdem ist die erforderliche Hebelübersetzung 

für eine Handkraft von 150 N zu berechnen. 

Lösung: Aus dem hydrostatischen Druck p, der 

Triebkraft F1 und der Hubkraft F2 können mit 

Hilfe der Druckgleichung die Kolbenflächen A1 

und A2 und daraus die Zylinderdurchmesser d1 

und d2 berechnet werden. Man setzt für 

1kN¼ 103 5 N 

N und 1 bar ¼ 10 

m2 in die Gleichungen ein und erhält die Kolbenflächen 

in der Einheit m2 . Mit 10 6 m2 ¼ 1mm2 kann dann umrechnet werden. 

Die erforderliche Hebelübersetzung i drückt man 

durch das Verhältnis der Triebkraft F1 zur Handkraft 

F aus. 

V ¼ A1 s1 ¼ A2 s2 

s1 

s2 

¼ A2 

A1 

W ¼ F1 s1 ¼ F2 s2 

s1 

s2 

s1 

s2 

pA1 s1 ¼ pA2 s2 

s1 

s2 

¼ A2 

A1 

¼ A2 

¼ 

A1 

pd2 2 =4 

pd1 2 =4 

2 

d2 

¼ 

d1 2 

Die Kolbenwege verhalten 

sich umgekehrt zueinander 

wie die Kolbenflächen. 

Die Kolbenwege verhalten 

sich umgekehrt zueinander 

wie die Quadrate der Kolbendurchmesser. 

Gegeben: 

Hubkraft F2 ¼ 80 kN ¼ 80 10 3 N 

Triebkraft F1 ¼ 1,2 kN ¼ 1; 2 10 3 N 

Druck p ¼ 45 bar ¼ 45 10 5 N/m 2 

Handkraft F ¼ 150 N 

Gesucht: 

Triebkolbendurchmesser d1 

Lastkolbendurchmesser d2 

Hebelübersetzung i 

p ¼ F1 

A1 

daraus erhält man 

A1 ¼ F1 

p ¼ 1,2 103 N 

45 10 5 N=m 2 ¼ 2,67 10 4 m 2 

A1 ¼ 267 mm 2 

p ¼ F2 

A2 

d1 ¼ 18,4 mm 

daraus erhält man 

A2 ¼ F2 

p ¼ 80 103 N 

45 10 5 N=m 2 ¼ 1,778 10 2 m 2 

A2 ¼ 17 780 mm 2 

i ¼ F1 

F 

1200 N 

¼ ¼ 8 : 1 

150 N 

d2 ¼ 150,5 mm

390 

6.1.4.2 Druckkraft auf gewölbte Böden 

Der zylindrische Kessel wird in Richtung seiner 

Längsachse durch die beiden Kräfte F1 und F2 belastet. 

Beide Kräfte sind gleich groß und werden 

aus dem inneren Ûberdruck p und der kreisförmigen 

Querschnittsfläche berechnet. 

Die Querschnittsfläche ist die Projektion der gewölbten 

Böden auf eine Ebene rechtwinklig zur 

Kraftrichtung. 

Im technischen Anwendungsbereich sind die Drücke 

meist in bar und die Durchmesser in mm oder 

cm gegeben. Man sollte diese Größen wie in der 

vorangegangenen Ûbung vor der Rechnung in die 

kohärenten Einheiten umrechnen. 

Um die dabei möglichen Fehler zu vermeiden, 

kann man aber auch eine Zahlenwertgleichung 

benutzen, in die der Druck in bar und der Durchmesser 

in mm unmittelbar eingesetzt werden. 

6.1.4.3 Beanspruchung einer Kessel- oder Rohrlängsnaht 

Die Kraft F, die einen Kessel oder ein Rohr in 

radialer Richtung auseinanderzureißen versucht, 

wird in ähnlicher Weise berechnet wie die Axialkraft 

auf gewölbte Böden. Die projezierte Fläche 

ist ein Rechteck mit den Seitenlängen d (lichter 

Durchmesser) und l (Kessel- oder Rohrlänge). Aus 

der Beziehung p ¼ F=A ergibt sich die Gleichung 

für die Kraft F. 

Auch hier kann eine Zahlenwertgleichung benutzt 

werden in die man den Druck p in bar, den Durchmesser 

d und die Länge l in mm einsetzt. 

Ist s die Wanddicke des Kessels oder Rohrs, dann 

erzeugt die Radialkraft F in zwei einander gegenüberliegenden 

Längsnähten die Zugspannung 

s ¼ F=A ¼ F=2 sl. Wird in diese Gleichung für 

F ¼ pdl eingesetzt, dann erhält man schließlich 

eine Gleichung für die erforderliche Wanddicke s 

bei gegebener zulässiger Spannung szul. 

F1 ¼ F2 ¼ p p 

4 d2 

F1 ¼ F2 ¼ 0,1p p 

4 d2 


p ¼ F F 

¼ 

A dl 

F ¼ pdl 

F ¼ 0,1pdl 


s ¼ F 

A 

s ¼ pdl 

2sl 

serf ¼ pd 

2szul 

Wanddicke 


F1, F2 p d 

N Pa ¼ N 

m2 m 

F1, F2 p d 

N bar mm 

F p d, l 

N Pa ¼ N 

m2 m 

F p d, l 

N bar mm 

A Bruchfläche beim Auseinanderreißen; 

es entstehen 

zwei Bruchflächen A ¼ 2sl. 

Daraus folgt die erforderliche 

Wanddicke: 

s p d szul 

m Pa ¼ N 

m 2 

m 

N 

m 2


Gebräuchlich ist eine Zahlenwertgleichung mit der 

zulässigen Zugspannung in N/mm 2 . 

6.1.4.4 Hydraulische Presse 

Die hydraulische Presse arbeitet wie der hydraulische 

Hebebock in 6.1.4.1. Auch hier gilt das 

Druck-Ausbreitungsgesetz. Beim Hebebock wurde 

die Reibung an den Dichtungsstellen vernachlässigt. 

Bei der hydraulischen Presse wird die Reibung 

berücksichtigt. 

Bei reibungsfreiem Betrieb verhalten sich die 

Kräfte zueinander wie die Kolbenflächen. Daraus 

erhält man eine Gleichung für die Presskraft F2. 

Soll die Reibung berücksichtigt werden, dann 

muss man sich klar darüber sein, dass die Reibungskräfte 

an den Dichtungsstellen den Kolbenkräften 

entgegen wirken. Die Lippendichtungen 

werden mit dem Druck p an die Kolben auf einer 

Ringfläche angepresst, die sich aus dem Kolbenumfang 

pd und der Dichtungshöhe h ergibt. 

Um in der Flüssigkeit den Druck p zu erzeugen, 

muss die tatsächliche Triebkraft F 0 1 um die Reibungskraft 

FR1 größer sein als bei reibungsfreiem 

Betrieb. Die Presskraft F 0 2 

dagegen ist um die Rei- 

bungskraft FR2 kleiner. Wird das Verhältnis 

F 0 1 =F 0 2 ¼ðF1þ FR1Þ=ðF2 FR2Þ gebildet, dann 

kann man daraus eine Gleichung zur Berechnung 

in Abhängigkeit 

der tatsächlichen Presskraft F 0 2 

von der tatsächlichen Triebkraft F 0 1 

, den Zylinder- 

durchmessern d1 und d2 und der Reibungszahl m 

zwischen Dichtung und Kolben entwickeln. 

Den letzten Faktor in der Gleichung für die Presskraft 

bezeichnet man als Wirkungsgrad h der 

hydraulischen Presse. 

Man erkennt, dass dieser Faktor von der Reibungszahl, 

den Kolbendurchmessern und den Höhen der 

Kolbendichtungen abhängt. 

serf ¼ pd 

20szul 


F1 

F2 

¼ A1 

p 

4 

¼ 

A2 p 

4 

d2 

F2 ¼ F1 

2 

d1 2 

d1 2 

d2 2 

FR1 ¼ FN1 m ¼ ppd1 h1 m 

FR2 ¼ FN2 m ¼ ppd2 h2 m 

F 0 1 

F 0 2 

Presskraft bei reibungsfreiem 

Betrieb 

p 

¼ p 

4 d1 2 þ ppd1 h1 m ¼ p p 2 

d1 

4 

p 2 

¼ p d2 

4 

ppd2 h2 m ¼ p p 2 

d2 

4 

Beide Gleichungen durcheinander dividiert: 

F 0 1 

F 0 2 

p 

¼ 

p 2 

d1 

4 

p p 2 

d2 

4 

F 0 2 ¼ F 0 d2 

1 

2 

d1 2 

1 þ 4m h1 

d1 

1 4m h2 

d2 

1 4m h2 

d2 

1 þ 4m h1 

d1 

2 

d1 

¼ 

d2 2 

1 þ 4m h1 

d1 

1 4m h2 

1 þ 4m h1 

d1 

1 4m h2 

Presskraft bei Berücksichtigung der Reibung 

1 4m 

h ¼ 

h2 

d2 

1 þ 4m h1 

d1 

F 0 2 ¼ F 0 d2 

1 

2 

h 

d1 

2 

s p d szul 

mm bar mm N 

mm 2 

Wirkungsgrad 

Presskraft bei Berücksichtigung 

der Reibung 

d2 

d2

392 

Ûbung: Der Lastkolben einer hydraulischen Presse 

hat 500 mm Durchmesser, der Triebkolben hat 

40 mm Durchmesser. Die Höhen der Lederdichtungen 

betragen h2 ¼ 100 mm und h1 ¼ 16 mm. 

Die Reibungszahl beträgt m ¼ 0,1. 

a) Wie groß ist der Wirkungsgrad h? 

b) Wie groß ist die Presskraft F 0 2 , wenn die Triebkraft 

F 0 1 ¼ 1000 N wirkt? 

c) Wie groß ist das Hubverhältnis der Kolben? 

Lösung: 

a) Der Wirkungsgrad wird mit der bekannten 

Gleichung aus den Kolbendurchmessern d1, d2, 

den Dichtungshöhen h1, h2 und der Reibungszahl 

m bestimmt. 

b) Da der Wirkungsgrad bekannt ist, verwendet 

man die letzte Presskraftgleichung und berechnet 

F 0 2 aus der Triebkraft F 0 1 , den Kolbendurchmessern 

d1, d2 und dem Wirkungsgrad. 

c) Unter dem Hubverhältnis versteht man das 

Verhältnis der Kolbenwege s2=s1. 


6.1.5 Druckverteilung in einer Flüssigkeit unter Berücksichtigung 

der Schwerkraft 

Im Abschnitt 6.1.3 (Seite 387) wurde gezeigt, dass 

der Druck in jeder waagerechten Ebene innerhalb 

einer Flüssigkeit konstant ist. Anders ausgedrückt: 

Der Druck an allen Stellen gleicher Flüssigkeitshöhe 

ist gleich groß. 

Es soll nun festgestellt werden, welche Beziehungen 

zwischen verschiedenen horizontalen Ebenen 

bestehen. Dazu wird das Gleichgewicht eines Flüssigkeitsquaders, 

dessen Längsachse vertikal steht, 

untersucht. 

Die Gewichtskraft FG (Schwerkraft) muss man 

jetzt in die Gleichgewichtsbetrachtung in Richtung 

der Längsachse mit einbeziehen. 

Gegeben: 

Lastkolbendurchmesser d2 ¼ 500 mm 

Triebkolbendurchmesser d1 ¼ 40 mm 

Dichtungshöhe h2 ¼ 100 mm 

Dichtungshöhe h1 ¼ 16 mm 

Triebkraft F 0 1¼ 1000 N 

Reibungszahl 

Gesucht: 

m ¼ 0,1 

Wirkungsgrad h, Presskraft F 0 2 , 

Hubverhältnis s2=s1 

1 4m 

h ¼ 

h2 

d2 

1 þ 4m h1 

10 cm 

1 4 0,1 

¼ 

50 cm 

¼ 0,79 

1,6 cm 

1 þ 4 0,1 

4cm 

F 0 2 ¼ F0 d2 

1 

2 

F 0 2 

s2 

s1 

d1 

¼ 123,4 kN 

2 

d1 

¼ 

d2 


ð500 mmÞ2 

h ¼ 1kN 

d1 

2 

ð40 mmÞ 2 0,79 

ð40 mmÞ2 1 

¼ ¼ 2 2 

ð500 mmÞ 156,25


Nach den Gesetzen der Statik müssen die Druckkräfte 

F1 und F2 die auf die Stirnseiten des Quaders 

einwirken und die Gewichtskraft FG die 

Gleichgewichtsbedingung erfüllen. Wird die Ansatzgleichung 

weiter entwickelt, dann ergibt sich 

eine Beziehung zwischen beiden Drücken p1, p2 

und der Druckwirkung der Schwerkraft (rgh). 

Legt man die obere Stirnfläche des Quaders in die 

Flüssigkeitsoberfläche, so ist dort der Druck 

p1 ¼ 0. Auf seine untere Stirnfläche wirkt dann 

allein der Druck p ð¼ p2Þ, der durch die Schwerkraft 

in der Tiefe h verursacht wird. Der hydrostatische 

Druck ist an allen Stellen gleicher Tiefe 

gleich groß. Die Funktionsgleichung p ¼ f ðr, hÞ 

zeigt, dass der hydrostatische Druck proportional 

mit der Flüssigkeitsdichte und der Tiefe zunimmt. 

Die Einheitenrechnung kann bei dieser Gleichung 

Schwierigkeiten bereiten. 

Man muss die Einheit kg/s 2 m mit 1 ¼ m/m erweitern, 

um die Druckeinheit Pa zu erhalten. 

Die Erkenntnis über den hydrostatischen Druck 

von Flüssigkeiten infolge ihrer Schwerkraft verwendet 

man unter anderem zum Messen von 

Drücken, besonders des Luftdrucks. Den Luftdruckunterschied 

zwischen zwei voneinander abgeschlossenen 

Räumen (oder Gefäßen) kann man 

z. B. mit einem beiderseits offenen U-Rohr messen, 

das teilweise mit einer Flüssigkeit gefüllt ist 

(siehe Skizze). 

Der Druck auf die Flüssigkeit an der Stelle E2 des 

U-Rohrs ist gleich dem absoluten Luftdruck im 

abgeschlossenen Raum (z. B. in einem Kesselraum). 

Der Druck in waagerechten Ebenen einer zusammenhängenden 

Flüssigkeit ist konstant. Folglich 

herrscht an der Stelle E1 des U-Rohrs der gleiche 

Druck p2 wie bei E2. Der Druck p2 ist die Summe 

aus dem Flüssigkeitsdruck der Säule von der 

Höhe h und dem Atmosphärendruck (äußeren 

Luftdruck) p1. 

SFy ¼ 0 ¼ F2 F1 FG 

F2 ¼ F1 þ FG 

für F1 ¼ p1A, F2 ¼ p2 A und 

FG ¼ rgV ¼ rgAh gesetzt, ergibt 

p2 A ¼ p1A þ rgAh. 

p2 ¼ p1 þ rgh 

p ¼ rgh 

Druck infolge 

der Schwerkraft 

Die Flüssigkeitshöhe h, die den Druck p 

hervorruft, heißt Druckhöhe oder auch 

Pressungshöhe. 

ðpÞ ¼ðrÞðgÞðhÞ ¼ kg 

m3 kg m 

s2 kg m=s2 

¼ 

m2 m2 N 

¼ 

m 

m kg 

m ¼ 

s2 s2 m 

2 ¼ Pa 

Beispiel: 

Der Kesselraum eines Schiffs wird durch 

ein Gebläse unter Ûberdruck pü gesetzt. Das 

mit Wasser gefüllte U-Rohr-Manometer zeigt 

einen Höhenunterschied von 200 mm an. 

Der äußere Luftdruck beträgt 1027 mbar. 

Zu berechnen ist der Ûberdruck pü und der 

absolute Druck p2 im Kesselraum. 

Lösung: 

Den Ûberdruck pü berechnet man aus der 

Flüssigkeitshöhe h ¼ 200 mm. 

3 kg m 

pü ¼ rgh ¼ 10 9,81 0,2 m ¼ 1962 Pa 

3 2 

m 

p r g h 

Pa ¼ N 

m 2 

pü ¼ 19,62 mbar 

p2 ¼ p1 þ pü ¼ 1027 mbar þ 19,62 mbar 

p2 ¼ 1047 mbar 

s 

kg 

m 3 

m 

s 2 

m

394 

6.1.6 Kommunizierende Röhren 

Kommunizierende Röhren sind oben offene, unten 

miteinander verbundene Röhren (vgl. U-Rohr). 

Enthält dieses Röhrengefäß nur eine Flüssigkeit, 

so steht sie in den beiden Schenkeln gleich hoch, 

unabhängig von der Form und Größe der Schenkel. 

Die Flüssigkeitsspiegel stehen immer waagerecht. 

Enthält das Gefäß zwei Flüssigkeiten von 

verschiedener Dichte, so steht bei Gleichgewicht 

die leichtere Flüssigkeit in dem einen Schenkel 

höher als die schwerere in dem anderen Schenkel. 

Sind r 1 und r 2 die Flüssigkeitsdichten und h1 und 

h2 ihre Flüssigkeitshöhen über der Trennebene 

A B, so sind in dieser Ebene die Drücke in beiden 

Schenkeln gleich groß: p1 ¼ p2 ¼ p. Die Entwicklung 

der Gleichung zeigt, dass sich die Flüssigkeitshöhen 

über der Trennebene umgekehrt zueinander 

verhalten wie die Flüssigkeitsdichten. 

6.1.7 Bodenkraft 

Auf den waagerechten Boden eines Flüssigkeitsbehälters 

wirkt der hydrostatische Druck p ¼ rgh 

(h Flüssigkeitshöhe über dem Boden). Die 

Bodenfläche A wird dann mit der Bodenkraft 

Fb ¼ pA ¼ rghA belastet. 

Die Belastung des Bodens ist also abhängig von 

der Flüssigkeitshöhe h über dem Boden, von der 

Bodenfläche A und von der Dichte der Flüssigkeit. 

Sie ist dagegen unabhängig von der Form des Gefäßes. 

Das zeigt auch die Versuchsanordnung zur 

Messung der Bodenkraft. Die vier Behälter haben 

die gleiche Bodenfläche A, die über einen Hebel 

gegen die Bodenöffung gepresst wird. Füllt man 

die Gefäße nacheinander mit Wasser, so wird man 

feststellen, dass sich die Bodenklappe bei allen 

Gefäßen bei der gleichen Füllhöhe h öffnet. Die 

Bodenkraft ist in allen vier Fällen gleich groß. 

p ¼ p1 ¼ p2 ¼ r 1 gh1 ¼ r 2 gh2 

h1 

h2 

¼ r 2 

r 1 

Beispiel: 

Wie groß ist die Dichte eines Úls, das einer 

500 mm hohen Wassersäule mit einer Höhe 

von 545 mm das Gleichgewicht hält? 

Lösung: 

h1 

h2 

¼ r 2 

r 1 

r 2 ¼ h1 r 1 

h2 

und daraus 

500 mm 1000 

¼ 

kg 

m3 ¼ 917 

545 mm 

kg 

m3 Fb ¼ pA ¼ rghA Bodenkraft 

Fb p r g h A 

N Pa ¼ N 

m 2 


kg 

m 3 

m 

m m2 

s2


6.1.8 Seitenkraft 

Da sich der Druck in einer Flüssigkeit nach allen 

Seiten hin gleichmäßig ausbreitet, wird nicht nur 

der Boden eines Gefäßes belastet, sondern auch 

seine Seitenwände. 

Teilt man die rechteckige Seitenwand eines Gefäßes 

in eine Anzahl schmaler Flächenstreifen DA 

von gleichem Flächeninhalt, so wird z. B. das 

Flächenteilchen DA unter der Höhe h1 mit 

F1 ¼ rgh1 DA, dasjenige unter der Höhe h2 mit 

F2 ¼ rgh2 DA belastet. Die Belastung nimmt 

proportional mit der Höhe nach dem Flüssigkeitsspiegel 

hin ab. Das Belastungsbild veranschaulicht 

diese Tatsache. 

Die Gesamtbelastung der Seitenfläche, die Seitenkraft 

Fs, ist die Summe aller Teilkräfte F. 

Der Klammerwert ist, bezogen auf den Flüssigkeitsspiegel, 

die Summe aller Flächenmomente der 

Teilflächen DA. Diese Summe muss gleich dem 

Flächenmoment der gesamten Fläche A sein (siehe 

2.2.1, Seite 77 Flächenschwerpunkt). Für die Seitenkraft 

Fs ergibt sich daraus eine Funktionsgleichung 

der Form Fs ¼ f ðA, y0, rÞ. Daraus geht 

hervor, dass die Seitenkraft vom Betrag der Seitenfläche 

A, von ihrem Schwerpunktsabstand y0, d.h. 

also ihrer Form, und von der Dichte r der Flüssigkeit 

abhängt. 

Der Angriffspunkt der Seitenkraft Fs heißt Druckmittelpunkt 

D, er liegt immer tiefer als der Schwerpunkt 

der gedrückten Fläche. Ist z. B. die gedrückte 

Fläche ein Rechteck, so ist das Belastungsbild ein 

Dreieck. Die Resultierende Fs aller Teilkräfte F 

muss durch den Schwerpunkt D des Dreiecks gehen, 

der h=3 von der Basis bzw. 2h=3 vom Flüssigkeitsspiegel 

entfernt liegt. 

Ist e der Abstand des Druckmittelpunkts D vom 

Flächenschwerpunkt, so gilt allgemein: 

Fs ¼ SF ¼ rg DAh1 þ rg DAh2 þ ...rg DAhn 

Fs ¼ rgðDAh1 þ DAh2 þ ...DAhnÞ¼rgAy0 

Fs ¼ rgAy0 

Seitenkraft 

y0 Schwerpunktsabstand der belasteten 

Seitenfläche vom Flüssigkeitsspiegel 

Beachte: Diese Momente der Flächen 

(DAh, Ay0) heißen nach DIN 1304 

„Flächenmomente 1. Grades“. 

e ¼ I 

Ay0 

Abstand 

e 

m 

I 

m 

A y0 

des Druckmittelpunkts 

vom Schwerpunkt 

4 m2 m 

y ¼ y0 þ e 

Abstand 

des Druckmittelpunkts 

vom Flüssigkeitsspiegel 

Flächenmoment 2. Grades der gedrückten Fläche bezogen auf die waagerechte Flächenschwerachse 

e ¼ 

Flächenmoment 1. Grades der gedrückten Fläche bezogen auf den Flüssigkeitsspiegel

396 

Die Gleichungen für Seitenkraft und Abstände 

gelten nicht nur für die ganze Seitenwand und 

Rechteckflächen, sondern auch für Teile oder 

Ausschnitte der Wand von beliebiger Form. 

1. Ûbung: Eine Ufermauer wird einseitig durch 

den Druck des Wassers belastet, das 6 m über der 

Sohle steht. 

a) Wie groß ist die Seitenkraft Fs für b ¼ 1m 

Mauerlänge? 

b) Wie tief liegt der Druckmittelpunkt unter dem 

Wasserspiegel? 

c) Wie groß ist das Kippmoment je Meter Länge, 

bezogen auf die Kippkante A? 

Lösung: 

a) Die gedrückte Fläche ist ein Rechteck mit 

Breite b ¼ 1 m und Höhe h ¼ 6 m. Ihr Schwerpunkt 

liegt in halber Höhe: y0 ¼ h=2 ¼ 3m. 

Die Kraft Fs wird mit der Seitenkraft-Gleichung 

berechnet. 

b) Das Flächenmoment 2. Grades der Rechteckfläche 

ist I ¼ bh 3 =12, ihr Flächeninhalt A ¼ bh 

und ihr Schwerpunktsabstand y0 ¼ h=2. Mit 

diesen Größen entwickelt man eine Gleichung 

für den Druckmittelpunktsabstand e. 

c) Das Kippmoment ist das Produkt aus der Seitenkraft 

Fs und ihrem Wirkabstand l von der 

Kippkante A. 

2. Ûbung: In einem Wehr befindet sich 1 m unter 

dem höchsten Wasserspiegel eine rechteckige 

Úffnung von 400 mm Breite und 600 mm Höhe. 

Die Úffnung ist mit einer drehbaren Klappe verschlossen, 

die sich öffnen soll, falls die Höhe des 

Wasserspiegels 1,80 m übersteigt. 

Beispiel: 

Für die im Bild dargestellte Rechteckfläche 

wird 

e ¼ I 

¼ 

Ay0 

bh 3 

12 

bh h 

2 

¼ h 

6 

y ¼ y0 þ e ¼ h h 2 

þ ¼ 

2 6 3 h 

d. h. der Druckmittelpunkt D liegt um 2h=3 

unter dem Flüssigkeitsspiegel. 

Gegeben: 

h ¼ 6m b ¼ 1m 

r ¼ 1000 kg=m 3 

Gesucht: 

Seitenkraft Fs 

Abstand y 

Kippmoment Mk 


3 kg m 

Fs ¼ rgAy0 ¼ 10 9,81 1m 6m 3m 

m3 s2 3 kg m 

Fs ¼ 17,6 10 ¼ 176,6 kN 

s2 e ¼ I 

¼ 

Ay0 

h 6m 

¼ ¼ 1m 

6 6 

(Entwicklung der Gleichung füre siehe oben) 

y ¼ y0 þ e ¼ 3mþ 1m¼ 4m 

Mk ¼ Fs l ¼ 176,6 kN ð6m 4mÞ 

Mk ¼ 352,2 kNm


Mit welcher Gewichtskraft FG muss der Klappenhebel 

belastet werden, wenn der Klappendrehpunkt 

950 mm unter dem höchsten Wasserspiegel 

liegt und die Hebelausladung 800 mm beträgt? 

Lösung: Um die Momentenverhältnisse an der 

Klappe untersuchen zu können, muss man die 

Seitenkraft Fs kennen, mit der die Klappe durch 

den Wasserdruck belastet wird. Dafür wird zuerst 

der Schwerpunktsabstand der Klappenfläche 

(Rechteck) vom höchsten Flüssigkeitsspiegel bestimmt: 

y0 ¼ l1 þ h=2. 

Außerdem muss der Angriffspunkt der Seitenkraft 

bekannt sein. Man ermittelt hierfür den Druckmittelpunkts-Abstand 

e und daraus den Abstand y 

der Seitenkraft vom Wasserspiegel. 

Die Klappe muss im Momentengleichgewicht 

sein. Man ermittelt den Wirklinienabstand l4 der 

Kraft Fs vom Klappendrehpunkt A und setzt dann 

die Momentengleichgewichtsbedingung für den 

Drehpunkt A an. 

6.1.9 Auftriebskraft 

Taucht ein Körper in eine Flüssigkeit ein, so wird 

seine Oberfläche allseitig durch den Flüssigkeitsdruck 

belastet. Die horizontalen Druckkräfte F3 

heben sich auf, aber in vertikaler Richtung ist die 

nach oben gerichtete Kraft F2 größer als die nach 

unten gerichtete Kraft F1. 

Die Resultierende dieser beiden Kräfte ist nach 

oben gerichtet. Sie heißt Auftriebskraft 

Fa ¼ F2 F1. 

Wird die Gleichung Fa ¼ F2 F1 weiter entwickelt, 

dann erkennt man, dass die Auftriebskraft 

Fa genauso groß ist wie die Gewichtskraft FG der 

von dem eingetauchten Körper verdrängten Flüssigkeitsmenge. 

Ihr Angriffspunkt muss demzufolge 

im Schwerpunkt F der verdrängten Flüssigkeitsmenge 

liegen (Verdrängungsschwerpunkt, 

Formschwerpunkt). Das gilt auch für teilweise eingetauchte, 

also schwimmende Körper. 

Gegeben: 

Úffnungsabstand l1 ¼ 1m 

Úffnungshöhe h ¼ 0,6 m 

Úffnungsbreite b ¼ 0,4 m 

Drehpunktsabstand l2 ¼ 0,95 m 

Hebelausladung l3 ¼ 0,8 m 

Dichte r ¼ 10 3 kg/m 3 

Gesucht: 

Gewichtskraft FG 

y0 ¼ l1 þ h 

¼ 1mþ 0,3 m ¼ 1,3 m 

2 

Dann ist die Seitenkraft 

3 kg m 

Fs ¼ rgAy0 ¼ 10 9,81 

m3 s2 0,24 m2 1,3 m 

Fs ¼ 3,06 10 3 N ¼ 3060 N 

e ¼ I 

¼ 

Ay0 

bh3 

¼ 

12bhy0 

h2 

¼ 0,023 m 

12y0 

y ¼ y0 þ e ¼ 1,3 m þ 0,023 m ¼ 1,323 m 

l4 ¼ y l2 ¼ 1,323m 0,95m ¼ 0,373m 

SMðAÞ ¼ 0 ¼ Fs l4 FG l3 

l4 0,373 m 

FG ¼ Fs ¼ 3060 N ¼ 1427 N 

0,8 m 

l3 

Vollständig 

eingetauchter 

Körper: 

Verdrägungsschwerpunkt 

F 

fällt mit Körperschwerpunkt 

K 

zusammen 

Es ist F1 ¼ rgh1A und F2 ¼ rgh2A und Fa ¼ F2 F1 ¼ rgAðh2 h1Þ 

Hierin ist Aðh2 h1Þ ¼V das Volumen, 

rAðh2 h1Þ ¼rV ¼ m die Masse und 

rAðh2 h1Þ g ¼ mg die Gewichtskraft der 

verdrängten Flüssigkeitsmenge. 

Fa V r g 

Fa ¼ Vrg 

Auftriebskraft 

N m 3 kg 

m 3 

m 

s 2

398 

Auftriebskraft und Gewichtskraft des eingetauchten 

Körpers sind entgegengerichtete Kräfte. Daraus 

folgt: 

Die Gewichtskraft eines in eine Flüssigkeit eingetauchten 

Körpers verringert sich (scheinbar) 

um die Gewichtskraft der von ihm verdrängten 

Flüssigkeitsmenge. 

Ûbung: Ein Körper mit der Masse mk ¼ 250 g 

hängt ganz in Wasser eingetaucht an einer Waage. 

Die Waage ist im Gleichgewicht, wenn sie mit 

einem Wägestück von 200 g Masse belastet ist. 

Wie groß sind Volumen V und Dichte r k des Körpers? 

Lösung: Die Auftriebskraft Fa am Körper ist die 

Differenz der Gewichtskräfte des Körpers FGk und 

des Wägestücks FG. In die Auftriebsgleichung 

setzt man für die Kräfte die Produkte aus Masse 

und Fallbeschleunigung ein und erkennt, dass die 

Masse mw des verdrängten Wassers gleich der Differenz 

zwischen Körpermasse mk und Wägestückmasse 

m ist. 

Aus der Beziehung mw ¼ Vr w wird das Verdrängungsvolumen 

V bestimmt, das gleich dem Körpervolumen 

V sein muss. 

Die Körpermasse mk ist das Produkt aus dem 

Volumen V und der Körperdichte r k . Aus dieser 

Beziehung kann die Dichte r k des eingetauchten 

Körpers bestimmt werden. 


6.1.10 Schwimmen 

Wirken nur die Gewichtskraft FG und die Auftriebskraft 

Fa auf einen Körper, so richtet sich sein 

Verhalten in einer Flüssigkeit danach, wie groß die 

Auftriebskraft ist. 

Schwimmender 

Körper: 

Verdrängungsschwerpunkt 

F 

liegt unter dem 

Körperschwerpunkt 

K. 

Beachte: Die Auftriebskraft ist nach oben 

gerichtet und gleich der Gewichtskraft der 

vom Körper verdrängten Flüssigkeitsmenge. 

Sie greift im Formschwerpunkt F (Verdrängungsschwerpunkt) 

der verdrängten Flüssigkeitsmenge 

an. 

Gegeben: 

Masse des Körpers mk ¼ 250 g 

Masse des Wägestücks m ¼ 200 g 

Dichte des Wassers rw ¼ 103 kg=m 3 

Gesucht: 

Volumen V und Dichte r k des Körpers 

Fa ¼ FGk FG 

mw g ¼ mk g mg 

Daraus ergibt sich: 

mw ¼ mk m 

mw ¼ Vr w , folglich ist 

V ¼ mw 

r w 


¼ mk m 

r w 

(mw Masse des verdrängten 

Wassers) 

¼ 50 10 3 kg 

3 kg 

10 

m 3 

V ¼ 50 10 6 m 3 ¼ 50 cm 3 

mk ¼ Vrk folglich ist 

rk ¼ mk 

V ¼ 250 10 3 kg 

50 10 6 kg 

¼ 5 103 

m3 m3 Beispiel: 

Wie tief taucht ein Würfel aus Gusseisen mit 

a ¼ 10 cm Kantenlänge und der Dichte 

r1 ¼ 7500 kg/m3 in ein Quecksilberbad mit 

der Dichte r2 ¼ 13 600 kg/m3 ein?


Ist die Auftriebskraft kleiner als die Gewichtskraft 

des Körpers, so sinkt er. Ist die Auftriebskraft 

gleich der Gewichtskraft, so bleibt der Körper an 

jeder beliebigen Stelle innerhalb der Flüssigkeit, er 

schwebt. Ist die Auftriebskraft größer als die 

Gewichtskraft, schwimmt der Körper an der Oberfläche. 

Er ist im Gleichgewicht, wenn er so weit 

auftaucht, dass die Auftriebskraft (¼ Gewichtskraft 

der verdrängten Flüssigkeit) gleich der Gewichtskraft 

des schwimmenden Körpers ist. Dann 

ist auch die Masse der verdrängten Flüssigkeit 

gleich der Masse des Körpers. 

6.1.11 Gleichgewichtslagen schwimmender Körper 

Man unterscheidet bei schwimmenden Körpern 

stabile und labile Gleichgewichtslagen. 

Das Bild zeigt den Fall einer stabilen Schwimmlage. 

Zwei Kräfte wirken auf den schwimmenden 

Körper: Die im Körperschwerpunkt K angreifende, 

nach unten gerichtete Schwerkraft FG (Gewichtskraft) 

und die im Verdrängungsschwerpunkt F angreifende 

Auftriebskraft Fa. In der Gleichgewichtslage 

wirken die beiden gleich großen Kräfte Fa und 

FG längs der gemeinsamen Wirklinie W – der Körpermittellinie 

– in entgegengesetzter Richtung. 

Dreht man nun den Körper in der Zeichenebene 

nach links (Schräglage), so wird die vorher vertikale 

Mittellinie W um den Winkel j geneigt. 

Dabei bleibt zwar die Lage des Körperschwerpunkts 

K erhalten, jedoch bringt jede Neigungsänderung 

den Verdrängungsschwerpunkt F an eine 

andere Stelle. Das heißt aber auch: Die Parallelkräfte 

Fa und FG bekommen einen mehr oder 

weniger großen Wirkabstand h, sie bilden ein 

rechtsdrehendes Kräftepaar. 

Das Drehmoment von Auftriebskraft Fa und Gewichtskraft 

FG wirkt der Drehung des Körpers entgegen: 

Der Körper hat also eine stabile Schwimmlage. 

Das Wiederaufrichtungsmoment – die Stabilität – 

hängt vom Wirkabstand h ab. Er heißt deshalb 

auch: Hebelarm der statischen Stabilität. 

Lösung: 

Die Masse des Würfels ist 

m1 ¼ V1r1 ¼ a 3 r1 ¼ 10 3 m 3 3 kg 

7,5 10 

m3 m1 ¼ 7,5 kg 

Bei Schwimmen ist die Masse m2 des verdrängten 

Quecksilbers gleich der Masse m1 

des Würfels. Das verdrängte Quecksilbervolumen 

hat die Form eines quadratischen 

Prismas mit der Höheh: V2 ¼ a2h: Folglich ist: 

m2 ¼ V2 r 2 ¼ a 2 hr 2 ¼ m1 

h ¼ m1 

a 2 r 2 

7,5 kg 

¼ 

10 2 m2 3 kg 

13,6 10 

m3 ¼ 5,51 cm 

Stabile Schwimmlage 

Fa Auftriebskraft, in F angreifend 

FG Gewichtskraft, in K angreifend 

W Mittellinie des Körpers 

(Schwimmachse) 

F Verdrängungsschwerpunkt ¼ Schwerpunkt 

der verdrängten Flüssigkeit 

K Schwerpunkt des Körpers 

M Metazentrum ¼ Schnittpunkt der 

Mittellinie W mit der Wirklinie der 

Auftriebskraft 

h ¼ MK sin j Hebelarm der statischen 

Stabilität 

j Neigungswinkel 

MK metazentrische Höhe

400 

Jeder andere Neigungswinkel j bringt eine andere 

Lage des Verdrängungsschwerpunktes F und damit 

auch einen anderen Hebelarm h. 

Kennzeichnend und entscheidend für das Verhalten 

eines schwimmenden Körpers bei Störungen 

des Gleichgewichts ist das so genannte Metazentrum 

M, der Schnittpunkt der Körpermittellinie W 

mit der Wirklinie der Auftriebskraft: Liegt Müber 

dem Körperschwerpunkt K, so schwimmt der 

Körper stabil. Das Drehmoment von Auftriebskraft 

und Gewichtskraft hat dann eine aufrichtende 

Wirkung. Die Strecke MK heißt metazentrische 

Höhe. 

Die labile Schwimmlage erkennt man sofort daran, 

dass das Metazentrum M unterhalb des Körperschwerpunkts 

K liegt. Der nach links gedrehte 

Körper richtet sich nicht wieder auf. Das linksdrehende 

Kräftepaar aus Auftriebskraft und Gewichtskraft 

unterstützt die Drehung des Körpers 

noch, bis er in die stabile Schwimmlage kommt. 

6.1.12 Stabilität eines Schiffes 

Das Bild zeigt ein Schiff von bestimmtem Ausrüstungszustand 

geneigt um zwei verschiedene 

Neigungswinkel j 1 und j 2. Während bei allen 

Neigungen die Lage des Schiffsschwerpunkts K 

unverändert bleibt, bekommt der Verdrängungsschwerpunkt 

F jeweils eine andere Lage (hier 

von F1 nach F2). Damit ändert sich auch die 

Lage des Metazentrums M (hier von M1 nach 

M2), es wandert je nach Neigung auf der Schiffsmittellinie 

auf- oder abwärts, die metazentrische 

Höhe MK wird größer oder kleiner. Ebenso verändert 

sich der Hebelarm h, dessen Größe die 

Stabilität des Schiffes, d. h. sein Wiederaufrichtungsvermögen 

bestimmt. Ist h klein, so ist auch 

das Drehmoment von Schiffsgewichtskraft FG 

und Auftriebskraft Fa klein. 


Labile Schwimmlage


Durch Auftragen der Größe h in Abhängigkeit 

vom Neigungswinkel j erhält man die „Stabilitätskurve“. 

Sie vermittelt eine Vorstellung von den 

Stabilitätseigenschaften des Schiffes. Je steiler die 

Hebelarmkurve gleich im Anfang ansteigt, d. h. je 

rascher die Hebelarme h zunehmen, desto stabiler 

(steifer) ist das Schiff. Die aufrichtenden Drehmomente 

sind dann schon bei Neigungsbeginn 

verhältnismäßig groß. Je flacher dagegen die 

Hebelarmkurve verläuft, desto weicher (ranker) ist 

das Schiff. Das größte Aufrichtungsvermögen 

wird gekennzeichnet durch den höchsten Punkt 

der Kurve, d. h. durch den maximalen Hebelarm h. 

Er liegt im Beispiel bei 35 . Bei einem guten 

Schiff liegt er zwischen 30 und 45 .10 bis 15 

sind schon unzulässig schlechte Werte. 

Neigt sich das Schiff über den Nulldurchgang der 

Hebelarmkurve hinaus (hier bei 75 ), so kehrt sich 

die Momentendrehrichtung um und unterstützt die 

Neigung des Schiffs; es würde kentern. Dieser 

Punkt wird deshalb auch Kenterpunkt genannt. 

Der Bereich von 0 bis zum Kenterpunkt heißt 

„Umfang der Stabilität“. Der Kenterpunkt (hier 

75 ) gilt jedoch nur dann, wenn das Schiff z. B. im 

Seegang bis auf diesen Winkel aufgeschaukelt 

würde, ohne dass ein kontinuierlich wirkendes 

krängendes Moment, z. B. durch einseitige Beladung, 

Trossenzug, Winddruck oder Zentrifugalkraft 

im Drehkreis verursacht wird. Neigt sich 

dagegen das Schiff druch ein solches, anhaltend 

wirkendes Moment bis zu dem Winkel, bei dem 

die Hebelarmkurve ihr Maximum besitzt (hier 

35 ), so kentert es bereits bei dieser Schräglage, 

nicht erst beim eigentlichen Kenterpunkt. 

Treten ein kontinuierlich wirkendes, jedoch zum 

Kentern allein nicht ausreichendes krängendes 

Moment und Schlingerbewegungen gleichzeitig 

auf, so liegt der Kenterwinkel zwischen Kurvenmaximum 

und Nulldurchgang (hier zwischen 35 

und 75 ). Das Schiff schlingert dann um diejenige 

Neigung als Mittellage, die dem krängenden 

Moment entspricht. 

Stabilitätskurve 

Hinweis: 

1. Sehr stabile (steife) Schiffe haben unangenehme, 

im Verhältnis zur Größe rasche 

Schlingerbewegungen. Im Fall der Resonanz 

mit den Wellenbewegungen, die bei 

diesen Schiffen leichter eintritt, werden 

die Ausschläge groß. 

2. Wenig stabile, ranke (weiche) Schiffe 

haben angenehme, im Verhältnis zur 

Größe langsame, meist kleine Schlingerbewegungen. 

3. Bei einem guten, seetüchtigen Schiff 

liegen die Eigenschaften dazwischen.

402 

6.2 Dynamik der Fluide (Strömungsmechanik) 

Die folgenden Gesetzmäßigkeiten gelten nicht nur für Flüssigkeiten, sondern auch für Gase 

und Dämpfe, wenn ihre Strömungsgeschwindigkeit unter 100 m/s liegt, was in der Technik 

meist der Fall ist. Diese Flüssigkeiten, Gase und Dämpfe nennt man Fluide. 

6.2.1 Kontinuitätsgleichung (Stetigkeitsgleichung) 

Verändert ein Fluid sein Volumen nicht, so muss 

durch die verschiedenen Querschnitte A1, A2 einer 

Leitung in jeder Sekunde das gleiche Volumen 

fließen. 

Das in einer Sekunde gleichförmig durch einen 

Strömungsquerschnitt fließende Volumen heißt 

Volumenstrom qV (auch Volumendurchfluss 

und Volumendurchsatz genannt). 

Der Volumenstrom qV ist das Produkt aus dem 

Strömungsquerschnitt A und der Strömungsgeschwindigkeit 

w. Er ist in allen Strömungsquerschnitten 

konstant. 

6.2.2 Bernoulli’sche Gleichung (Energieerhaltungssatz der Strömung) 

6.2.2.1 Horizontale Strömung (Strömung ohne Höhenunterschied) 

In einer horizontalen Leitung mit veränderlichem 

Querschnitt strömt ein Fluid. Im Querschnitt A 

hat es die kinetische Energie Ekin 1 ¼ mw1 2 =2, 

im Querschnitt E die kinetische Energie 

Ekin 2 ¼ mw2 2 =2 (siehe 4.7.3, Seite 220). 

Da der Leitungsquerschnitt A2 > A1 ist, muss 

nach der Kontinuitätsgleichung die Strömungsgeschwindigkeit 

w2 < w1 sein. Die Drücke p1, p2 

heißen statische Drücke. 

Beachte: Die kohärente Einheit des 

Volumenstroms qV ist das 

Kubikmeter 

Sekunde 


¼ m3 

s 

Volumenstrom qV ¼ Aw 

qV ¼ A1w1 ¼ A2w2 ¼ konstant 

Kontinuitätsgleichung 

qV A w 

m 3 

s 

m 2 

m 

s

6.2 Dynamik der Fluide (Strömungsmechanik) 403 

An einer beliebigen Stelle, z. B. bei A, wird dem 

Fluid über einen Kolben durch die Kraft F1 längs 

des Weges s1 die Arbeit W1 ¼ F1s1 zugeführt. Bei 

E wird gegen die Kraft F2 die Arbeit W2 ¼ F2s2 

abgeführt. 

Nach dem Energieerhaltungssatz (siehe 4.7.5, Seite 

221) ist die Energie EE am Ende dieses Vorganges 

gleich der Energie EA am Anfang, vermehrt um 

die zugeführte Arbeit Wzu und vermindert um die 

abgeführte Arbeit Wab: 

Wird in den Quotienten für die kinetische Energie 

für die Masse m das Produkt Volumen V multipliziert 

mit der Dichte r eingesetzt, dann erhält man 

den Energieerhaltungssatz in einer neuen Form. 

Auch die AusdrückeF1s1 und F2s2 können weiterentwickelt 

werden, indem man für die Kräfte 

F ¼ pAund fürAsdas Volumen V setzt. 

Der Energieerhaltungssatz erhält dann eine Form, 

in der die Quotienten rw2V=2 die kinetische 

Energie des Fluids und die Produkte pV seine 

Druckenergie darstellen. 

Dividiert man den Energieerhaltungssatz noch 

durch das Volumen V, dann erhält man die 

Bernoulli’sche Druckgleichung für horizontal strömende 

Fluide. 

Die einzelnen Glieder der Bernoulligleichung sind 

also nichts anderes, als die Energien je Volumeneinheit. 

Aus der Druckgleichung erkennt man: 

Bei horizontaler Strömung ist die Summe aus 

dem statischen Druck p und dem kinetischen 

Druck q ¼ rw 2 =2 konstant. 

6.2.2.2 Nichthorizontale Strömung (Strömung mit Höhenunterschied) 

Der einzige Unterschied gegenüber der horizontalen 

Strömung besteht darin, dass die Fluidteilchen 

im Verlauf der Strömung ihre Höhenlage gegenüber 

einer beliebig gewählten horizontalen Bezugsebene 

ändern. Dadurch erhalten sie verschieden 

große potenzielle Energie (Lageenergie). 

W1 ¼ F1 s1 

W2 ¼ F2 s2 

zugeführte Arbeit abgeführte Arbeit 


Ekin 2 ¼ Ekin 1 þ W1 W2 

mw2 2 

2 

mw1 2 

2 

¼ mw1 2 

2 þ F1 s1 F2 s2 

¼ rw1 2 

2 

V 

F1 s1 ¼ p1 A1 s1 ¼ p1V 

F2 s2 ¼ p2 A2 s2 ¼ p2V 

mw2 2 

2 

¼ rw2 2 

2 

r 

2 w2 2 V ¼ r 

2 w1 2 V þ p1V p2V 

Energieerhaltungssatz für horizontale 

Strömung 

p1 þ r 

2 w1 2 ¼ p2 þ r 2 

w2 

2 

Bernoulli’sche Druckgleichung für 

horizontale Strömung 

p r w V 

Pa ¼ N 

m 2 

kg 

m 3 

m 

s m3 

Beachte: Der kinetische Druck q ¼ rw 2 =2 

wird auch Geschwindigkeitsdruck oder 

Staudruck genannt. 

V

404 

Im Energieerhaltungssatz muss also noch die 

potenzielle Energie Epot ¼ mgh im Anfangs- und 

Endzustand hinzugefügt werden, hier bezogen auf 

die gekennzeichnete Bezugsebene. 

Wird dann wieder m ¼ Vr und 

Fs ¼ pV gesetzt, erhält man den Energieerhaltungssatz 

für die nicht horizontale 

Strömung. 

Die Division durch das Volumen V ergibt wieder 

die Energien je Volumeneinheit und damit die Bernoulli’sche 

Druckgleichung für nicht horizontal 

strömende Fluide. 

Man erkennt: 

In einem Fluid ist die Summe aus dem statischen 

Druck p, dem kinetischen Druck q ¼ rw 2 =2 

und dem geodätischen Druck rgh konstant. 

In der Praxis wird die Bernoulli-Gleichung oft in 

einer anderen Form angewendet. Wird die Druckgleichung 

durch rg dividiert, dann ergeben sich 

für die einzelnen Glieder Ausdrücke, die Höhen 

darstellen. 

Die auf diese Weise gewonnene Gleichung nennt 

man die Bernoulli’sche Druckhöhengleichung für 

nicht-horizontal strömende Fluide. 

Man erkennt: 

Bei nicht-horizontaler Strömung ist die Summe 

aus der statischen Druckhöhe, der kinetischen 

Druckhöhe und der geodätischen Druckhöhe 

konstant. 

Die drei Gleichungen dieses Abschnitts sind auch 

für die horizontale Strömung anwendbar. Dann ist 

h1 ¼ h2 und die Glieder, welche die Höhenlage 

berücksichtigen, fallen aus den Gleichungen 

heraus. 


mw2 2 

2 þ mgh2 ¼ 

mw1 2 

2 þ mgh1 þ F1 s1 F2 s2 

r 

2 w2 2 V þ rgh2V ¼ r 

2 w1 2 V þ rgh1V þ p1V p2V 

Energieerhaltungssatz für nicht-horizontale Strömung 

p1 þ rgh1 þ r 

2 w1 2 ¼ p2 þ rgh2 þ r 

2 

Bernoulli’sche Druckgleichung für nichthorizontale 

Strömung 

w2 2 

Beachte: 

p statischer Druck 

q ¼ r 

2 w2 kinetischer Druck (Geschwindigkeitsdruck, 

Staudruck) 

rgh geodätischer Druck 

Die Summe der drei Drücke ist der Gesamtdruck 

pges. Er ist an allen Stellen der Leitung 

gleich groß. 

p1 

rg þ h1 

2 

w1 p2 

þ ¼ 

2g rg þ h2 

2 

w2 

þ 

2g 

Bernoulli’sche Druckhöhengleichung für 

nicht-horizontale Strömung 

p r g h w V 

Pa ¼ N 

m 2 


kg 

m 3 

m 

s 2 

m 

Beachte: 

p 

statische Druckhöhe 

rg 

w2 kinetische Druckhöhe 

2g 

h geodätische Druckhöhe 

m 

s 

m 3 

Die Summe der drei Höhen ist die Gesamthöhe 

H. Sie ist für alle Stellen der Leitung 

gleich groß.


6.2.3 Anwendung der Bernoulligleichung 

6.2.3.1 Druck in einer Leitung 

In einer Leitung herrscht im Querschnitt 1 der 

Druck p ¼ 1,2 bar. Das Fluid hat eine Geschwindigkeit 

w1 ¼ 5 m/s. Es soll sich im ersten Fall um 

Wasser (r w ¼ 1000 kg/m 3 ), im zweiten Fall um 

Luft von 20 C(r l ¼ 1,4 kg/m 3 ) handeln. 

Der Atmosphärendruck beträgt in beiden Fällen 

p0 ¼ 1050 mbar. 

In beiden Fällen sollen für den Querschnitt 2 der 

Druck p2 und der Unterdruck pu gegenüber dem 

Atmosphärendruck p0 ermittelt werden. 

Es wird zunächst nach der Kontinuitätsgleichung 

die Strömungsgeschwindigkeit w2 im Querschnitt 2 

berechnet. 

Dann entwickelt man aus der Bernoulli’schen 

Druckgleichung für die horizontale Strömung eine 

Gleichung für den Druck p2. 

Für den Fall des strömenden Wassers setzt man in 

diese Gleichung neben den anderen Größen die 

Dichte des Wassers r w ¼ 1000 kg/m 3 ein. 

Der Unterdruck wird aus dem Atmosphärendruck 

p0 und dem Druck p2 in der Leitung berechnet. 

Für den Fall der strömenden Luft verfährt man genauso, 

jetzt mit r ¼ 1,4 kg/m 3 . Dabei wird voraus 

gesetzt, dass auch bei einem strömenden Gas die 

Dichte r l konstant bleibt. 

Die Rechnung ergibt im Querschnitt 2 einen größeren 

Druck als in der Atmosphäre. Es herrscht 

also kein Unterdruck, sondern Ûberdruck. 


Gegeben: 

Druck p1 ¼ 1,2 bar ¼ 1,2 10 5 Pa 

Geschwindigkeit w1 ¼ 5 m/s 

Dichte des Wassers r w ¼ 1000 kg/m 3 

Dichte der Luft r l ¼ 1,4 kg/m 3 

Atmosphärendruck p0 ¼ 1050 mbar 

Gesucht: 

Druck p2 

Unterdruck pu 

A1w1 ¼ A2w2 

w2 ¼ A1 

A2 

w1 ¼ 

707 mm2 m 

5 

254 mm2 s 

p1 þ r 

2 w1 2 ¼ p2 þ r 

2 

p2 ¼ p1 þ r 

2 

w1 2 

r 

w2 2 

5 N 

p2 ¼ 1,2 10 

m2 þ 103 kg 

2m3 ð5 2 

p2 ¼ 1,2 10 5 Pa 0,844 10 5 Pa 

p2 ¼ 0,356 10 5 Pa ¼ 356 mbar 

¼ 13,92 m 

s 

2 w2 2 ¼ p1 þ r 

2 ðw1 2 w2 2 Þ 

13,92 2 Þ m2 

s 2 

pu ¼ p0 p2 ¼ 1050 mbar 356 mbar 

pu ¼ 694 mbar 

p2 ¼ p1 þ r 

2 ðw1 2 w2 2 Þ 

p2 ¼ 1,2 10 5 Pa þ 0,7 kg 

m2 

ð25 194Þ 

m3 s2 p2 ¼ 1,2 10 5 Pa 118 Pa ¼ 1,1988 bar 

pü ¼ p2 p0 ¼ 1198,8 mbar 1050 mbar 

pü ¼ 148,8 mbar

406 

6.2.3.2 Ausfluss aus einem Gefäß 

Angenommen, die Fluidspiegelfläche B eines Gefäßes 

sei groß gegenüber der Ausflussöffnung A. 

Dann sinken die Fluidteilchen bei B sehr langsam 

ab, und man kann das Quadrat ihrer Geschwindigkeit 

gegen das der Geschwindigkeit bei A vernachlässigen. 

Da das Gefäß bei A und B offen ist, ist 

der statische Druck an beiden Stellen gleich dem 

Atmosphärendruck p0 ¼ pA ¼ pB. 

Die Ausflussgeschwindigkeit wird mit der Bernoulli’schen 

Druckhöhengleichung ermittelt. Die 

Entwicklung führt zu der Gleichung für die theoretische 

Ausflussgeschwindigkeit wA ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffi p 

2gh. 

Ein Vergleich mit den Gleichungen für den freien 

Fall in Tabelle 4.1, Seite 154, zeigt die Ûbereinstimmung 

mit der Gleichung vt ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 

2g Ds (mit Ds ¼ hÞ 

für die Endgeschwindigkeit vt eines Körpers nach 

dem freien Fall um die Fallhöhe h. Die theoretische 

Ausflussgeschwindigkeit wA ist demnach ebenso 

groß wie die Endgeschwindigkeit vt eines um die 

Höheh frei fallenden Flüssigkeitteilchens. 

Die Höhe h, die dem Fluid die Geschwindigkeit w 

erteilt, nennt man die Geschwindigkeitshöhe. 

Nach der gleichen Ûberlegung, die zur Kontinuitätsgleichung 

führte, strömt aus einer Úffnung mit 

dem Querschnitt A in jeder Sekunde der Volumenstrom 

qV ¼ Aw aus. 

Der wirkliche Volumenstrom ist kleiner als der 

theoretische, weil die Ausflussgeschwindigkeit we 

infolge der inneren Reibung und der Reibung an 

den Gefäßwänden nicht ganz den theoretischen 

Wert w ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffi p 

2gh erreicht. Dieser Einfluss wird 

durch die Geschwindigkeitszahl j < 1 berücksichtigt. 

Von noch größerem Einfluss auf die Verringerung 

des Volumenstroms ist die Einschnürung (so genannte 

Kontraktion) des Fluidstrahls: Die Stromfäden 

im Inneren des Gefäßes laufen radial auf die 

Úffnung zu und können nicht plötzlich in Strahlrichtung 

umlenken. Der wirkliche Strahlquerschnitt 

ist dann nicht A sondern aA. a ist die Kontraktionszahl; 

sie ist immer kleiner als eins. Das 

Produkt aj heißt Ausflusszahl m. 

Bernoulli’sche Druckhöhengleichung: 

p0 

rg 2 

wB p0 

þ hB þ ¼ 

2g rg þ hA 

2 

wA 

þ 

2g 

Die statische Druckhöhe p0=rg fällt auf beiden 

Seiten heraus, die Geschwindigkeitshöhe 

wB 2 =2g kann vernachlässigt werden und es 

bleibt: 

wA 2 

2g ¼ hB hA ¼ h 

w ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffi p theoretische Ausfluss- 

2gh geschwindigkeit 

h ¼ w2 

2g 

Geschwindigkeitshöhe 

pffiffiffiffiffiffiffiffi theoretischer 

qV ¼ Aw ¼ A 2gh Volumenstrom 

we ¼ jw ¼ j ffiffiffiffiffiffiffiffi p 

2gh 

wirkliche Ausflussgeschwindigkeit 

j ist abhängig von der Zähigkeit des Fluids 

und beträgt für Wasser 0,97 ...0,99. 

Strahlkontraktion 

6 Fluidmechanik (Hydraulik)


Der wirkliche Volumenstrom qVe ist das Produkt 

aus Ausflusszahl m und theoretischem Volumenstrom 

qV. 

Die Ausflusszahl m ist abhängig von der Form der 

Ausflussöffnung. Drei Hauptformen mit den zugehörigen 

Ausflusszahlen für Wasser zeigt das 

nebenstehende Bild. 

Ûbung: Ein Wasserbehälter hat eine Bodenöffnung 

von 65 mm Durchmesser. Sie liegt 5 m unter 

dem unveränderlich gedachten Wasserspiegel. Die 

Ausflusszahl beträgt 0,8. 

In welcher Zeit fließen Ve ¼ 2,5 m 3 Wasser aus 

der Bodenöffnung? 

Lösung: Zunächst wird die Querschnittsfläche A 

der Bodenöffnung berechnet. 

Um festzustellen, wieviel Wasser in einer Sekunde 

ausströmt, berechnt man den Volumenstrom qVe. 

Demnach kann aus dem Ausflussvolumen Ve und 

dem sekundlichen Ausflussvolumen ¼ Volumenstrom 

qVe die Ausflusszeit t berechnet werden. 

6.2.3.3 Ausfluss unter dem Fluidspiegel 

Verbindet eine Ausflussöffnung zwei benachbarte 

Gefäße unterhalb ihrer Fluidspiegel, so strömt das 

Fluid aus dem Gefäß 1 in das Gefäß 2 über, solange 

noch eine Höhendifferenz h ¼ h1 h2 vorhanden 

ist. 

Die theoretische Ausflussgeschwindigkeit w ist 

von dieser Druckhöhendifferenz abhängig, ebenso 

der wirkliche Volumenstrom qVe. 

6.2.3.4 Ausfluss bei Ûberdruck im Gefäß 

Auf dem Fluidspiegel B eines Gefäßes lastet der 

Druck p1, während an der Ausflussöffnung A der 

Atmosphärendruck p0 herrscht. Man nimmt wieder 

an, dass die Geschwindigkeit der Fluidteilchen bei 

B vernachlässigbar klein ist. 

pffiffiffiffiffiffiffiffi 

qVe ¼ mqV ¼ mA 2gh 

wirklicher Volumenstrom 

Ausflusszahlen für Wasser 

Gegeben: 

Úffnungsdurchmesser d ¼ 65 mm 

Geschwindigkeitshöhe h ¼ 5m 

Ausflusszahl m ¼ 0,8 

wirkliches Ausflussvolumen Ve¼ 2,5 m 3 

Gesucht: 

Ausflusszeit t 

A ¼ p 

4 d 2 ¼ p 

4 ð0,065 mÞ2 ¼ 0,00332 m 2 

pffiffiffiffiffiffiffiffi 

qVe ¼ mA 2gh 

qVe ¼ 0,8 0,00332 m 2 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

2 9,81 m 

r 

5m 

s2 ¼ 0,0263 m3 

s 

t ¼ Ve 2,5 m3 

¼ 

qVe 

0,0263 m3 

¼ 95 s 

s 

w ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

p 

2g ðh1 h2Þ 

theoretische 

Ausflussgeschwindigkeit 

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi wirklicher 

qVe ¼ mA 2g ðh1 h2Þ 

Volumenstrom

408 

Die Ausflussgeschwindigkeit ermittelt man mit 

Hilfe der Bernoulli’schen Druckhöhengleichung. 

Darin ist wB 2 =2g vernachlässigbar, also gleich 

null. Statt der beiden geodätischen Höhen hA 

und hB wird die geodätische Höhendifferenz 

h ¼ hB hA eingesetzt und erhält damit eine 

Gleichung für die theoretische Ausflussgeschwindigkeit 

wA ¼ w. 

Den wirklichen Volumenstrom bekommt man mit 

dieser Geschwindigkeit, der Úffnungsfläche A und 

der Ausflusszahl m mit Hilfe der bekannten Gleichung. 

Wird nun noch der Ûberdruck pü im Behälter 

gegenüber dem äußeren Luftdruck für die Druckdifferenz 

p1 p0 gesetzt, dann vereinfacht sich die 

Gleichung. 

Ûbung: In einem Dampfkessel lastet auf der 

Wasseroberfläche ein Ûberdruck von 3,5 bar. Das 

Ablassrohr liegt 2,3 m unter dem Wasserspiegel 

und hat eine lichte Weite von 50 mm. Die Ausflusszahl 

beträgt 0,8. 

Wieviel Wasser strömt in jeder Sekunde durch das 

Rohr? 

Lösung: Zunächst wird die Querschnittsfläche A 

des Ablassrohrs berechnet. 

Dann bestimmt man mit Hilfe der bekannten Gleichung 

den Volumenstrom qVe. Dabei muss beachtet 

werden, dass der Ûberdruck pü mit der Einheit 

Pa ¼ N=m 2 eingesetzt wird (1 bar ¼ 10 5 Pa). 

6.2.3.5 Ausfluss bei sinkendem Fluidspiegel 

Bei den bisherigen Betrachtungen wurde die geodätische 

Druckhöhe h des Fluidspiegels gegenüber 

der Ausflussöffnung als konstant angenommen. 

Damit war auch die Ausflussgeschwindigkeit 

konstant. 

p1 

rg þ hB 

2 

wB p0 

þ ¼ 

2g rg þ hA 

2 

wA 

þ 

2g 

wA 2 

2g 

¼ p1 

rg 

p0 

rg þ hB hA ¼ p1 p0 

rg 

þ h 


w ¼ 2g hþ p1 

s theoretische 

p0 

rg 


ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

qVe ¼ mAw ¼ mA 2g hþ p1 

s 

p0 

rg 


qVe ¼ mA 2g hþ pü 

s 

rg 

wirklicher Volumenstrom 

qVe m A g h p1, p0, pü r 

m 3 

s 


1 m 2 m 

s 2 

m Pa ¼ N 

m 2 

kg 

m 3 

Gegeben: 

Ûberdruck Pü ¼ 3,5 bar ¼ 3,5 10 5 Pa 

geodätische Druckhöhendifferenz h ¼ 2,3 m 

Rohrdurchmesser d ¼ 50 mm 


Gesucht: 

wirklicher Volumenstrom qVe 

A ¼ p 

4 d 2 ¼ p 

4 25 10 4 m 2 ¼ 19,63 10 4 m 2 


qVe ¼ mA 2g hþ pü 

s 

rg 

¼ 0,0429 m 

s2


Soll ein Gefäß aber ganz oder teilweise entleert 

werden, dann muss man den absinkenden Fluidspiegel 

berücksichtigen. Mit sinkendem Fluidspiegel 

nimmt die Ausflussgeschwindigkeit w und 

natürlich auch der Volumenstrom qVe ab. 

Die Ausflussgeschwindigkeit folgt dem Gesetz 

des freien Falls: w ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffi p 

2gh. 

Weil hier die Höhe 

aber nicht zu- sondern abnimmt, handelt es sich 

um einen gleichmäßig verzögerten Geschwindigkeitsverlauf. 

Man rechnt deshalb in diesem Fall mit der mittleren 

Ausflussgeschwindigkeit wm und erhält daraus 

den mittleren Volumenstrom qVem. Das wirklich 

ausfließende Volumen Ve ist das Produkt aus 

dem mittleren Volumenstrom qVem und der Ausflusszeit 

t: Ve ¼ qVem t. Aus dieser Beziehung 

kann schließlich auch die Ausflusszeit t ¼ Ve=qVem 


Soll das Gefäß völlig entleert werden, verringert 

sich die Ausflussgeschwindigkeit vom Anfangswert 

w1 bis auf w2 ¼ 0, weil die Höhe h2 am Ende 

der Entleerung gleich null ist. Damit vereinfachen 

sich die Gleichungen durch den Fortfall des letzten 

Zähler- oder Nennerglieds. 

Ûbung: Ein zylindrischer Wasserbehälter von 8 m 

Durchmesser hat in seinem Boden eine Ausflussöffnung 

von 400 mm Durchmesser. Das Wasser 

steht im Behälter 6 m hoch. Die Ausflusszahl beträgt 

0,65. 

In welcher Zeit fließen 120 m 3 Wasser aus? 

Lösung: Da nicht bekannt ist, ob der Behälter 

nach der Entnahme von 120 m 3 Wasser teilweise 

oder völlig entleert ist, wird zunächst die Wasserspiegelhöhe 

h2 nach der Entnahme bestimmt. 

Dann berechnet man die Ausflusszeit mit der Gleichung 

für teilweise Entleerung. 


Bei teilweiser Entleerung sind die Ausflussgeschwindigkeiten 

w1 ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 

2gh1 und w2 ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 

2gh2 

wm ¼ w1 þ w2 

2 

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

2gh1 þ 

¼ 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 

2gh2 

2 

mittlere theoretische Ausflussgeschwindigkeit 


2gh1 þ 

qVem ¼ mA 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 

2gh2 

2 

mittlerer wirklicher Volumenstrom 

t ¼ Ve 

2Ve 

¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

qVem mA ð 2gh1 þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 

2gh2Þ 

wirkliche Ausflusszeit 

wm ¼ 


2gh1 

2 


2gh1 

qVem ¼ mA 

2 

mittlere theoretische 


bei völliger Entleerung 

mittlerer 

wirklicher 

Volumenstrom 

2Ve 

t ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi wirkliche Ausflusszeit 

mA 2gh1 

Gegeben: 

Behälterdurchmesser d ¼ 8mm 

Úffnungsdurchmesser d1 ¼ 0,4 m 

Wasserspiegelhöhe h1 ¼ 6m 


wirkliches Ausflussvolumen Ve¼ 120 m 3 

Gesucht: Ausflusszeit t 

Ve ¼ p 

4 d 2 ðh1 h2Þ 

h2 ¼ h1 

4Ve 4 120 m3 

¼ 6m ¼ 3,61 m 

pd 2 2 

p ð8mÞ 

Der Behälter wird nur teilweise entleert. 

2Ve 

t ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

mA ð 2gh1 þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ¼ 152,5 s 

2gh2Þ

410 

6.2.4 Strömung in Rohrleitungen 

Fließt ein Fluid durch eine Rohrleitung, so muss 

es dabei Reibungswiderstände an den Rohrwänden 

überwinden. Die Folge ist ein Druckabfall Dp 

(Druckverlust), der von der Fluiddichte r, der 

Strömungsgeschwindigkeit w, dem Verhältnis zwischen 

Rohrlänge l und Rohrdurchmesser d und der 

Rohrreibungszahl l abhängt. 

Die Reibungszahl l (auch Widerstandszahl genannt) 

ist abhängig von der Reynolds’schen Zahl 

Re und von der Rauigkeit der Rohrwandung. 

1. Ûbung: Durch eine gerade, 600 m lange Rohrleitung 

von 400 mm Durchmesser fließen 12 m 3 

Wasser in der Minute. 

Die Widerstandszahl beträgt 0,03. 

Es soll die Ausflussgeschwindigkeit w und der 

Druckabfall Dp in der Rohrleitung berechnet 

werden. 

Lösung: Nach der Ûberlegung, die zur Kontinuitätsgleichung 

führte, fließt aus der Leitung der Volumenstrom 

qV ¼ Aw aus. Aus dieser Beziehung 

berechnet man die Ausflussgeschwindigkeit 

w ¼ Strömungsgeschwindigkeit. 

Mit den bekannten Größen wird der Druckabfall 

Dp ermittelt. 

2. Ûbung: Durch eine Rohrleitung von 100 NW 

und 60 m Länge sollen 210 m 3 Wasser je Stunde 

gedrückt werden. 

Welcher Druckunterschied ist zwischen den beiden 

Leitungsenden erforderlich, wenn die Rohrreibungszahl 

l ¼ 0,03 beträgt? 

Lösung: Hier führen dieselben Gedanken wie in 

der ersten Ûbung zum Ergebnis. 


Dp ¼ l l 

d 

r 

2 w2 

Druckabfall 

Dp l l, d r w 

Pa ¼ N 

m 2 

1 m 

kg 

m 3 

Gegeben: 

Rohrlänge l ¼ 600 m 

Rohrdurchmesser d ¼ 0,4 m 

Volumenstrom qV ¼ 12 m 3 /min ¼ 0,2 m 3 /s 

Rohrreibungszahl l ¼ 0,03 

Gesucht: 

Ausflussgeschwindigkeit w, Druckabfall Dp 

m 

s 

qV ¼ Aw 

w ¼ qV 

A ¼ 0,2 m3 =s m 

¼ 1,59 2 

p=4 ð0,4Þ s 

Dp ¼ llrw2 

2d ¼ 

0,03 600 m 10 

m3 2 0,4 m 

3 kg 

1,59 m 

s 

Dp ¼ 56 880 N=m 2 ¼ 56 880 Pa 0,569 bar 

Gegeben: 

Rohrdurchmesser d ¼ 100 mm ¼ 0,1 m 

Rohrlänge l ¼ 60 m 

Volumenstrom qV ¼ 210 m 3 =h ¼ 0,0583 m 3 =s 

Rohrreibungszahl l ¼ 0,03 

Gesucht: 

Druckabfall Dp 

w ¼ qV 

A ¼ 

0,0583 m3 

s m 

p ¼ 7,43 

ð0,1 s 

mÞ2 

4 

Dp ¼ llrw2 

2d 


¼ 4,97 bar 

2

Sachwortverzeichnis 411 

Sachwortverzeichnis 

A 

a, t-Diagramm 147, 150, 152 

abgeleitete Größen 144 

Abminderungsfaktor 362 

Abscher- 

– Hauptgleichung 295 

– beanspruchung 269, 271 

– festigkeit 295 

– Spannung 295 

Abscheren 295 

absoluter Druck 393 

Abtriebsdrehzahl 181 

Abtriebsmoment 216 

Achsen 343 

actio gleich reactio 192 

Additionstheoreme 102, 107, 202 

Øhnlichkeitssatz 346 

Allgemeine Durchbiegungsgleichung 347 

allgemeines Kräftesystem 21, 38 

Amboss 231 

Amplitude 246, 249 

Amplituden-Frequenz-Diagramm 261 

Analogie 240 

– -schluss 182 

– -verfahren 213 

Analogien bei Schwingungen 258 

analytische Lösung 101, 103, 106 

analytische Methode 22, 36 

Anfangsenergie 221 

Anfangsgeschwindigkeit 146, 154 

Anfangswinkelgeschwindigkeit 187 

Anformungsgleichung 343 

Anlaufreibung 116 

Anstrengungsverhältnis 369 

Anströmquerschnitt 157 

Antriebsdrehzahl 181 

Antriebsleistung 211 

Antriebsmoment 216 

Anzugsmoment 121, 123 

Aproj 289 

Arbeit 203, 213, 245 

Arbeit einer veränderlichen Kraft 205 

Arbeit, Ûbungen 206, 212, 216 

Arbeit, zeichnerische Darstellung 204 

Arbeitsdiagramm 214, 325 

Arbeitsfähigkeit 218, 240 

Atmosphärendruck 393, 405 

Auflagereibmoment 121 

Auflagerkräfte 2 

Auftriebskraft 397, 400 

Ausflussgeschwindigieit 406, 409 

Ausflussöffnung 406 

Ausflussvolumen 407 

Ausflusszahl 406–409 

Ausfluss aus einem Gefäß 406 

– bei sinkendem Fluidspiegel 408 

– bei Ûberdruck im Gefäß 407 

– unter dem Fluidspiegel 408 

Ausflusszeit 409 

Ausknicken 269, 351 

Auslaufversuch 241 

Auslenkung 246, 249 

Auslenkung-Zeit-Gesetz 247 

Auslenkung-Zeit-Linie 248 

Ausrollweg 222 

äußere Kräfte 265 

axiale Flächenmomente 303 

– Herleitung 304 

– Tabelle 309 

– symmetrischer Querschnitte 312 

– unsymmetrischer Querschnitte 313 

– Ûbungen 306 

axiale Widerstandsmomente 303 

– Ûbungen 306 

– Tabelle 309 

Axialkraft 64 

B 

Backenbremse 95, 128, 129 

Bandbremse 132 

Bandreibung 132 

Bar 387 

Bärmasse 228 

Basiseinheiten 144, 149, 152 

Basisgrößen 144 

Baugrößen 180 

Bauverhältnis 293 

Beanspruchung 266, 378 

– auf Abscheren 295 

– auf Biegung 328 

– auf Druck 285

412 

– auf Knickung 351 

– auf Torsion 321 

– auf Zug 278 

–, zusammengesetzte 270, 365 

Beanspruchungsart 268, 270, 271 

Befestigungsgewinde 279 

Befestigungsschraube 123 

Befestigungsschraube mit Spitzgewinde 121 

Beharrungsgesetz 188 

Beharrungsvermögen 188 

Belastungsart und Festigkeit 376 

– ruhend 377 

– schwellend 377 

– wechselnd 377 

Belastungsbild, Konsolblech 301 

Belastungsfall 377 

– I 377 

– II 377 

– III 377 

Belastungskräfte 2 

Bemaßung eines Bauteils 381 

Berechnung axialer Flächenmomente 2. Grades, 

Ûbungen 316 

Berechnung des Biegemomenten- und Querkraftverlaufs, 

Ûbungen 333 

Bernoulligleichung 403 

–, Anwendungen 405 

Bernoulli’sche Druckgleichung 403 

– Druckhöhengleichung 404, 406, 408 

– Gleichung 402 

Berührungsflächen 13, 289 

Beschleunigung 144, 152, 154, 182, 245 

beschleunigte Bewegung, Formeln 154 

Beschleunigung-Zeit-Diagramm 147, 150, 152 

Beschleunigung-Zeit-Gesetz 247 

Beschleunigung-Zeit-Linie 248 

Beschleunigungs-Linie 150, 152 

Beschleunigungsarbeit 220, 240 

Beschleunigungsbegriff 150 

Beschleunigungskraft 245 

Beschleunigungsmoment 245 

Bestimmung des Flächenschwerpunkts 79 

Bestimmung des inneren Kräftesystems und der 

Beanspruchungsarten 272 

Betrag einer Kraft 3 

Betragszeichen 24 

Bewegungsänderung 189 

Bewegungsaufgaben, Arbeitsplan 153 

Bewegungsbahn 145 

Bewegungsenergie 218 

Bewegungsgröße 202, 224 

Bewegungslehre 144 

Bewegungsprobe 15, 18, 19 


Bewegungsschraube 290 

– mit Flachgewinde 119 

– mit Spitz- oder Trapezgewinde 120 

Bewegungszustand 7, 145, 179, 189, 224 

Bewegung des Kolbens 151 

Bewegung in Getrieben 180 

bezogener Schlankheitsgrad 360 

Bezugsachse 236 

Bezugsebene 219, 221 

Bezugsschlankheitsgrad 361 

Biege-Hauptgleichung 331, 343, 365 

–, Gültigkeitsbedingungen 332 

–, Herleitung 330 

Biegebeanspruchung 269, 271, 273 

Biegefeder 344 

Biegefestigkeit 376 

Biegelinie 328, 346, 348 

Biegemoment 2, 271, 328, 331, 333–343, 

347, 365 

Biegemoment und Kräfepaar 273 

Biegemomenten- und Querkraftbestimmung, 

Arbeitsplan 329 

Biegemomentenverlauf 333 

Biegepresse 62 

Biegespannung 328, 331, 343, 365 

Biegeträger 329 

– mit mehreren Belastungen 350 

Biegewechselfestigkeit 379, 380 

Biegung 269, 328 

– und Torsion 368 

– –, Ûbung 370 

Blattfeder 333, 344 

Bodenfläche 394 

Bodenklappe 394 

Bodenkraft 394 

Bogen 78 

Bogenhöhe 79 

Bogenlänge 78, 84 

Bogenmaß 124, 159, 348 

Bohrmaschinentisch 115 

Bolzenverbindungen 291 

Bremsbacke 95, 128 

Bremsen 128 

Bremshebel 95, 128, 130, 132 

Bremshebeldrehpunkt 128, 132 

Bremsklotz 95 

Bremskraft 128, 130, 133, 194, 203 

Bremsmoment 95, 128, 130, 132, 239 

Bremsscheibe 95, 97, 128, 132 

Bremsversuch 239 

Bremsverzögerung 156, 160 

Bremsweg 160, 198 

Bruchfestigkeit 382


C 

Cremonaplan 74 

–, Arbeitsplan 75 

Culmann’sche Gerade 50–52 

D 

d’Alembert 195 

d’Alembert’sches Prinzip 195 

Dachbinder 68 

Dachpfanne 175 

Dachtraufe 175 

Dämpfung einer Schwingung 258 

Dauerbruchsicherheit 382 

Dauerfestigkeit 378, 383 

Dauerfestigkeitswerte 378 

Dauerschwingversuch 377 

Definitionsgleichung, Beispiele 182, 193, 203, 

213, 297, 304, 306 

Dehngrenze 375, 377 

Dehnung 281, 375 

Dehnungshypothese 369 

Diagramme der gleichförmigen Bewegung 148 

Dichte 189, 191, 394 

–, Einheit 191 

–, Luft 157 

Dichtungshöhe 391 

Dichtungsstellen 391 

Dickenänderung 281 

Differenzbremse 132 

Doppelbackenbremse 130 

Drall 239 

Dreharbeit 214, 245 

Drehbewegung 176, 232, 241 

–, Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad 213 

–, gleichmäßig beschleunigte 182 

Drehimpuls 239 

Drehleistung 213, 215, 245 

Drehmoment 2, 4, 5, 16, 122, 127, 213, 233, 

239, 323 

Drehmomentschlüssel 123, 327 

Drehsinn des Drehmoments 4 

Drehstab-Stabilisator 325 

Drehstabfedern 325 

Drehung 6, 7 

Drehweg 214 

Drehwinkel 179, 182, 186, 213, 245 

Drehwinkelgleichungen 185 

Drehwirkung 4, 6 

Drehzahl 176, 180, 215 

Dreieck 78 

– -blattfeder 344 

– -fläche 78 

Dreiecksumfang 84 

Dreiecksverband 68 

Dreikräfteverfahren 48, 96 


dreiwertige Lager 17 

Druck 269, 387, 393, 404 

Druck-Ausbreitungsgesetz 387 

Druck-Hauptgleichung 285 

Druck- und Zugbeanspruchung, Ûbungen 286 

Druckabfall 410 

Druckbeanspruchung 269, 271, 285 

Druckdifferenz 408 

Druckeinheit 387, 393 

Druckenergie 403 

Druckgleichung 403, 404 

Druckhöhe 393, 404 

Druckhöhendifferenz 407 

Druckkraft 351 

– auf gewölbte Böden 390 

Druckmittelpunkt 395 

Druckspannung 285 

Druckstäbe im Stahlbau 359 

Druckverlust 410 

Druckverteilung in einer Flüssigkeit 387, 392 

Druck in einer Leitung 405 

Druck und Biegung 366 

Durchbiegung 346, 350 

Durchbiegungsgleichung 347–350 

–, Ûbungen 349 

Durchschnittsgeschwindigkeit 148, 177 

Dynamik 143, 144 

– der Drehbewegung 232 

– der Fluide 402 

– der geradlinigen Bewegung 188 

dynamische Belastung 377 

Dynamisches Grundgesetz 192, 220, 232, 239 

– für Drehung 233 

– –, Ûbungen 193, 239 

E 

E-Modul 282 

Ebenenwinkel 92, 103 

Eigenfrequenz 261 

Eigenschwingungen 260 

Einbahnverkehr 33, 37 

Einbahnverkehrsregel 33, 35, 49, 52 

Eingriffslinie 181 

Eingriffspunkt 65 

Eingriffswinkel 181, 371 

Einheit 

– der Arbeit 203 

– der Beschleunigung 152 

– der Dichte 191 

– des Drucks 387

414 

– der Kraft 1, 2, 193, 393 

– der Leistung 209 

– der Masse 190 

– Eins 149, 281 

Einheiten 

–, Dynamik 143 

–, Festigkeitslehre 262 

–, Hydraulik 386 

–, Statik 1 

–, Umrechnungen Einheitskreis 180 

–, Geschwindigkeit 149 

Einscheibenbremse 133 

einschnittige Nietverbindung 291 

Einspannlänge 352 

Einspannmoment 17 

Einspannpunkt 336 

Einspannstelle 333, 336, 343 

Einspannung 352 

Eintreiben von Keilen 228 

einwertige Lager 15 

Einzellast 337 

Einzelübersetzung 182 

Einzelwirkungsgrad 211 

elastische Knickung 352 

elastische Formänderung 280, 297, 324 

elastischer Bereich 354 

elastischer Stoß 225 

Elastizitätsgrenze 375 

Elastizitätsmodul 282, 324, 375, 385 

elektrische Arbeit 204 

Elongation 249 

Endenergie 221 

Endgeschwindigkeit 146, 154 

Endtangente 346, 348, 350 

Endwinkelgeschwindigkeit 186 

Energie 218 


– austausch 225 

– bilanz 221, 231 

Energieerhaltungssatz 219, 221, 226, 241, 402, 

403 

Energieerhaltungssatz der Strömung 402 


Energieumwandlung 218 

Energieverluste 219, 227, 229, 231 

Entwurfsformel 359 

Entwurfsberechnungen 380 

erforderliche Berührungsfläche 288 

erforderlicher Querschnitt 278, 285 

erforderliches Widerstandsmoment 323, 331 

Ermittlung 

– der Resultierenden, rechnerisch 22, 38 

– der Resultierenden, zeichnerisch 26, 40 


– unbekannter Kräfte, Arbeitsplan 45 

– unbekannter Kräfte, rechnerisch 28, 44 

– unbekannter Kräfte, zeichnerisch 32, 48 

Ersatzkraft 3, 8, 91, 93, 95, 102, 104 

Erregerfrequenz 261 

erzwungene Schwingung 246, 260 

Euler 124, 352, 356, 358 

– -Hyperbel 354 

– -fall 352 

– -gleichung 352–355 

––,Gültigkeitsbereich 354 

Euler’sche 

– Gleichung 124, 127 

– Knickung 352 

– Zahl 124 

exzentrischer Stoß 224 

Eytelwein 124 

F 

F, s-Diagramm 204, 213 

Fachwerke 68 

Fachwerkträger 68 

Fadenpendel 256 

Fahrbahnneigung 243 

Fahrrad 5 

Fahrwerkbremse 129 

Fahrwiderstand 134–137, 194, 222 


Fahrwiderstandszahl 134 

Fallbeschleunigung 146, 157, 190 

Fallhammer 218, 230 

Fallhöhe 223 

Federarbeit 205, 220, 284, 287, 325 

Federdiagramm 205, 207 

Federdurchmesser 326 

Federkennlinie 205, 208, 325 

Federkraft 205, 207 

Federrate 205, 207, 252, 325 

Federreihenschaltung 253 

Federparallelschaltung 253 

Federungsdiagramm 325 

Federwaage 90 

Federweg 205, 326 

Feldkräfte 11 

Feste Rolle 138 

Festigkeit 375 

Festigkeitslehre 262 

Festigkeitsberechnungen im Maschinenbau 381 

Festigkeitsrechnung 2 

Festigkeitswerte 375, 382, 385 

Festlager 2, 15, 16, 53 

Festlagerkraft 60, 63 

Festlagerpunkt 53, 54, 56


Flächen- und Widerstandsmomente zusammengesetzter 

Querschnitte, Ûbungen 316 

Flächenmoment – Herleitungsübung 305 

Flächenmomente 304, 395 

Flächenmomente 2. Grades 303, 308, 312, 319, 396 


Flächenpressung 269, 288, 291 

– am Gewinde 290 

– an geneigten Flächen 288 

– an gewölbten Flächen 292 

– an Nieten 291 

– an Schrauben 290 

– in Gleitlagern 291 


Flächenpressungs-Hauptgleichung 288 

Flächenpressungsgleichungen 291 

Flächenschwerpunkt 77, 86 

–, Ûbung 81 

Flachführung 115 

Flachgewinde 120 

Flachriemengetriebe 127 

Flankendurchmesser 122 

Flankenradius 119 

Flankenumfang 119 

Flankenwinkel 120 

Flasche 141 

Fliehkraft 242, 245 


Fließen des Werkstoffes 375 

Fluidmechanik 386, 402 

Flüssigkeiten, Eigenschaften 386 

Flüssigkeits- 

– behälter 394 

– dichten 394 

– druck 387, 393 

– höhe 392 

– menge 397 

– oberfläche 393 

– quader 387 

– reibung 116 

– säule, Schwingung 257 

Form und Dauerfestigkeit 380 

Formänderung 324 

– bei Biegung 346 

– bei Schub 297 

– bei Torsion 324 

Formänderungsarbeit 205, 218, 220, 225, 283 

– bei Torsion 325 

Formänderungsgleichungen 324 

Formelzeichen und Einheiten, Dynamik 143 

–, Festigkeitslehre 262, 

Hydraulik 386 

–, Statik 1 

Fq, x-Diagramm 334–342 

Freier Fall 145, 157 

– mit Luftwiderstand 158 

– ohne Luftwiderstand 157 

freie Knicklänge 352 

freie Schwingung 246 

freigemachtes Konsolblech 301 

Freiheitsgrade 6 

Freimachen 11–17, 95 


–, Ûbungen 18–20 

Freischneiden 12 

Freiträger 17, 333, 336 

– mit Einzellast 333, 349 

– mit konstanter Streckenlast 335, 349 

– mit mehreren Einzellasten 334 

– mit Mischlast 336 

– mit Streckenlast 345 

Frequenz 249 

Führungsbuchse 116 

Führungslänge 116 

Führungsverhältnisse 352 

Funktionsgleichung 98, 103, 393, 395 

–, Beispiele 168, 185, 197, 200, 286, 333 

Fußkreisdurchmesser 181 

G 

Galilei 188 

gedämpfte Schwingung 246 

gefährdeter Querschnitt 278, 285 

Gelenke 13 

Gelenkpunkte 13, 68 

Gelenkviereck 69 

geodätische Druckhöhe 404 

geodätischer Druck 404 

geometrische Addition 165, 373 

Gesamtenergie 230 

Gesamtflächenmoment 320 

– 2. Grades 312 

Gesamtmoment 55, 61 

Gesamtresultierende 40 

Gesamtschwerpunkt 80, 85 

Gesamtspannung 365 

Gesamtübersetzung 182 

Gesamtwirkungsgrad 211 

geschlossenes Krafteck 33 

Geschwindigkeit 144, 148, 157, 182 

Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm 

(v, t-Diagramm) 145, 149 

Geschwindigkeits- 

– änderung 151 

– begriff 148 

– druck 403

416 

– einheit 148 

– Umrechnungsbeziehung 149 

– höhe 406 

– Linie 150 

– zunahme 146, 151 

Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz 247 

Geschwindigkeit-Zeit-Linie 248 

Gesetz der Dynamik 192 

Gestalt und Dauerfestigkeit 378 

Getriebe 180, 371 

Getriebewelle 2, 16, 64, 264, 333, 368, 371 

Getriebezwischenwelle 64, 67 

Gewichtskraft 11, 12, 189 

– der verdrängten Flüssigkeit 399 

Gewinde 289 

Gewindeflankendurchmesser 122 

Gewindegänge 290 

Gewindelinie 119 

Gewindereibmoment 120–122 

Gewindesteigung 119, 290 

gleichförmige Bewegung 145, 148 

Gleichgewicht 2, 6, 29, 189 

–, indifferentes 87 

–, labiles 87 

–, stabiles 87 

Gleichgewichtsbedingungen 7, 16 

–, rechnerische 29, 44 

–, zeichnerische 33, 48 

Gleichgewichtslagen 87 

– schwimmender Körper 399 

Gleichgewichtszustände 189 

gleichmäßig beschleunigte Bewegung 145 

gleichmäßig beschleunigte und verzögerte 

Bewegung, Ûbungen 160 

Gleichung der Wurfbahn 168 

Gleichungssysteme 53 

Gleitfläche 90, 91 

Gleitführung 288 

Gleitlager 15, 293 

Gleitreibung 90, 91 

Gramm 190 

Grauguss (Gusseisen) 376 

Grenzschlankheitsgrad 354, 356 

–, Tabelle 355 

Größe und Dauerfestigkeit 378 

Größenbeiwert 383 

Größengleichung 178, 180, 323 

Grundaufgaben der Statik 22, 38 

Grundbeanspruchungsarten 268 

Grundgleichung 153 

– der gleichförmigen Bewegung 148 

Grundkreisdurchmesser 181 

Guldin’sche 

– Oberflächenregel 86 

– Regeln 86 

– –, Ûbungen 87 

– Volumenregel 86 

Gummipuffer 287 

Gurte 68 

Gurtplatten 320 

Gusseisen (Grauguss) 376, 378, 385 


H 

Haftreibkraft 92, 201 

Haftreibung 90, 91 

Haftreibwinkel 92 

Haftreibzahl 92 

Halbkreisbogen 84 

Halbkreisfläche 78 

Halslager 16, 19, 44, 48 

Halslagerkraft 44, 48 

Haltekraftgleichung 106, 109 

Haltekraft 119, 121 

Handkraft 121, 276 

Handkurbel 275, 277 

Handraddurchmesser 122 

Handwinde 217 

Hangabtriebskomponente 206 

Hangabtriebskraft 134, 137 

harmonische Schwingung 246 

Hauptaufgaben der Statik 21 


–, Druck 285 

–, Flächenpressung 288 

–, Zug 278 

Hebebock 391 

Hebelarm 

– der Rollreibung 134, 136 

– der statischen Stabilität 399, 401 

Hebeldrehpunkt 129, 132 

Hebelübersetzung 389 

Herleitung des Steiner’schen Satzes 314 

Hertz’sche Gleichungen 292, 294 

Höhenenergie 218 

Hohlwellen 322 

Hohlzylinder 235, 238 

Hooke 280 

Hooke’sches Gesetz 280, 282, 297, 347 

– für Schub 297 

– für Torsion 324 

Horizontalbewegung 167, 170 

horizontale Strömung 402 

Hubarbeit 120, 139, 206, 210, 216, 218, 223 

Hubgeschwindigkeit 212 

Hubhöhe 207 

Hubleistung 210


Hubverhältnis 392 

Hubweg 139 

Hubwerksbremse 128 

Hydraulik 386 

Hydraulikkolben 62 

Hydraulikzylinder 133, 358 

hydraulische Elemente 386 

hydraulische Presse 391 

hydraulische Pressung 387 

hydraulischer Hebebock 388 

Hydrostatik 386 

hydrostatischer Druck 387, 389, 393 

Hypothese der größten Gestaltänderungsenergie 

369 

I 

ideelle Spannung 369 

Impuls 202, 224 

Impulserhaltungssatz 202, 224, 240, 245 

– für Drehung 239 

innere Kräfte 265 

inneres Kräftesystem 265, 271, 365, 367 

– bei Biegeträgern 328 


Internationales Einheitensystem 1 

J 

Joule 203, 219 

K 

Kantenpressung 265 

Kegel 87 

Kegelbremse 133 

Kegelkupplung 289 

Kegelstumpf 344 

Kegelzapfen 289 

Keilnut 114 

Keilreibkraft 114 

Keilreibzahl 114 

Keilriemen 114 

Keilwinkel 114 

Kentern 401 

Kenterpunkt 401 

Kenterwinkel 401 

Kerb-Dauerfestigkeit 379 

Kerbformen 385 

Kerbquerschnitt 378 

Kerbwechselfestigkeit 379 

Kerbwirkung 379, 382 

Kerbwirkungszahl 385 

Kernquerschnitt 293 

Kesselnaht 390 

Ketten 12, 280 

Kilogramm 190 

Kilowatt 215 

Kinematik 144 

kinetische Druckhöhe 404 

kinetische Energie 218, 220, 222, 240, 245, 402 

kinetischer Druck 403 

Kippen 88 

Kippkante 88, 136, 396 

Kippmoment 88, 244, 396 

Klappendrehpunkt 397 

Klapptisch 62 

Klemmbedingung 115, 116 

Klemmen 115 

Klotzbremsen 128 

Knickkraft 351, 352 

Knickung im Stahlbau 359 

Knicksicherheit 351, 356 

Knickspannung 351–356 

Knickspannungslinien 361, 363 

Knickstäbe 360, 362 

Knickung 269, 351 

–, elastische 352 

–, unelastische 355 

Knickungsaufgaben, Arbeitsplan 356 

Knoten 68 

Knotenblech 68 

Knotenschnittverfahren 70, 71 

Kolbendichtungen 391 

Kolbendurchmesser 389, 391 

Kolbenflächen 388, 391 

Kolbengeschwindigkeit 176 

Kolbenkräfte 388 

Kolbenpumpe 352 

Kolbenstange 357, 358 

Kolbenwege 389 

kommunizierende Röhren 394 

Konsolblech 300, 333 

–, freigemacht 301 

Konsolträger 

– mit Einzellast 345 

– mit Streckenlast 345 

konstante Streckenlast 336 

Kontinuitätsgleichung 402, 405 

Kontraktion 406 

Kontraktionszahl 406 

Koordinaten 62 

– des Festlagerpunktes 54 

– – Loslagerpunktes 54 

Koordinatenbedingung 54, 55, 60 

Koordinatendifferenz 54 

Kopfdurchmesser 302 

Kopfhöhe 302 

Kopfkreisdurchmesser 181

418 

Kosinussatz 37, 166 

Kraft 2, 3 

–, Einheit 2, 193 

– -Verlängerung-Schaubild 283 

– -Weg-Diagramm 204 

Krafteck 8 

Kräftedreiecke 8 

kräftefreies System 226 

Kräftegleichgewicht 328 

Kräftegleichgewichtsbedingung 50, 57, 58, 66 

Kräftemaßstab 3 

Kräftepaar 4, 270, 273, 372 

Kräfteparallelogramm 8 

Kräfteplan 27, 31, 33, 41 

Kräftereduktion 8, 22, 26, 38, 40, 191 

Kräftesystem 21 

Kraftmoment 2, 4 


Kraftstoß 202, 224 

Kraftzerlegung 9 

Kragträger 333, 338 

Krängungswinkel 401 

Kran 206, 209, 212 

Kranhaken 12, 193 

Kreisabschnitt 79 

Kreisausschnitt 78 

Kreisbahn 177, 189 

Kreisbewegung 145, 176, 182, 213 


–, Formeln 186 

Kreisbogen 84 

Kreisfrequenz 249 

Kreisgröße 182, 184, 213 

–, Gegenüberstellung 213 

Kreiskegel 235 

Kreiskegelstumpf 235 

Kreisringstück 78 

Kreiszylinder 235, 238 

krummlinige Bewegung 145 

Krümmung 346 

Krümmungsmittelpunkt 346 

Krümmungsradius 294, 346–348 

kubische Parabel 344 

Kugel 87, 235 

Kugellager 15 

Kupplung 90, 239 

Kupplungsbelag 289 

Kurbel 214 

Kurbelarm 276 

Kurbelgetriebe 176 

Kurbelwelle 176, 214 

Kurvenradius 243 


L 

labile Schwimmlage 400 

Lageplan 3, 27 

Lager 19, 116 

Lagerreibkraft 117 

Lagerungslänge 293 

Lagerverluste 211 

Lagerzapfen 116, 385 

Lageskizze 18, 19 

Längenausdehnungskoeffizient 283 

Längsdehnung 281 

Längsvorschub 164, 165 

Lambda 351 

Lastarbeit 389 

Lastfälle 364 

Lastheben 139 

Lastkahn 125 

Lastkolben 388, 392 

Lasttrum 127 

Laufkatze 166 

Laufkran 166 

Leertrum 127 

Lehrbeispiele: 

– Berechnung einer Getriebewelle 371 

– Knickung im elastischen Bereich 357 

– Knickung im unelastischen Bereich 358 

– Nietverbindung im Stahlbau 300 

– Nietverbindung im Stahlhochbau 298 

– Prinzip von d’Alembert 198 

– Rechnerische Bestimmung der Resultierenden 

Fr eines zentralen Kräftesystems 30 

– Reibung in Ruhe und Bewegung 94 

– Seileckverfahren, Zusammensetzung zweier 

Parallelkräfte 43 

– Torsionsstabfeder 326 

– Verdrehwinkel (Drehmomentschlüssel) 327 

– v, t-Diagramm 156 

– Wirkungsgrad 217 

– Zeichnerische Bestimmung der Resultierenden 

Fr eines zentralen Kräftesystems 31 

– Zugbolzen 302 

Leistung 209, 213, 245, 323 

–, Ûbungen 212, 216 

Leistungsgleichung 209, 215 

Leiter 18 

Leiteraufgabe 98 

Leitungsquerschnitt 402 

Lichtgeschwindigkeit 191 

lineare Spannungsverteilung 303, 321 

lineares Kraftgesetz 250 

Linienmomente 83 

Linienschwerpunkt 83, 86 

Linienzüge 84


Lochleibungsdruck 291, 299, 364 

lose Rolle 139 

Loslager 2, 15, 46, 53 

Loslagerkraft 47, 60, 63 

– Fehlerwarnung 57 

Loslagerpunkt 53, 56 

Lösungsmethoden der Statik 22 

Lückenweite 181 

Luftdichte 157 

Luftdruck 393, 408 

Lüften der Bremse 133 

Luftwiderstand 145, 157 

Luftwiderstandsbeiwert 157 

M 

M, j-Diagramm 213 

Magnetfeld 11 

Mantelfläche 86 

Masse 189, 238 

Masseneinheit 190 

Massenmoment 232 

Massenschwerpunkt 242 

maximale Belastung 278, 285 

maximale Normalkraft 288 

maximales Biegemoment 331, 333–337 

maximales Torsionsmoment 323 

Mb, x-Diagramm 333–342 

mechanische Arbeit 203, 283 

mechanische Energiearten 218 

mechanische Schwingungen 246 

Megapascal 387 

Mehrfachübersetzung 182 

Mehrscheibenbremsen 133 

Mehrschichtfeder 344 

mehrschnittige Nietverbindung 291 

metazentrische Höhe 399 

Metazentrum 399 

Mischlast 336 

Mischreibung 116 

Mittelpunktsgeschwindigkeit 178 

mittlere Geschwindigkeit 151, 152 

mittlere Leistung 209 

mittlere Winkelgeschwindigkeit 183 

Mobilkran 89 

Modul 181 

Momentangeschwindigkeit 151, 158, 

172 

Momentanwegstrecke 159 

Momentenbedingung 60 

Momentenbezugspunkt 45, 79, 82, 85 

Momentendrehpunkt 54, 140 

Momentendrehsinn 4, 80, 82 

Momentenfläche 348 

Momentengleichgewichtsbedingung 46, 56, 65, 

96, 128, 130, 131, 134, 397 

Momentensatz 38, 77, 80, 82, 85 


– für Flächen 77, 79, 319 

– für Linien 83, 85 

Momentenstoß 239 

Momentensumme 86 

Momentenverhältnis 88 

Motordrehmoment 127 

Mutterhöhe 290, 293 

N 

Neigungswinkel 346, 348, 401 

Nennspannung 380 

neutrale Faser 321 

neutrale Faserschicht 330 

Newton 2, 188, 191 

Newtonmeter 2, 203 

Newton’sches Axiom 192 

– erstes 188 

– zweites 191 

Nietabstand 299 

Nietanzahl 299 

Nietbild 299 

Nietdurchmesser 300 

Niete 364 

Nieten 227 

Nietverbindung 298 

Normalkeilriemen 114 

Normalkraft 13, 15, 16, 90, 268, 271 

Normalspannung 267, 268, 273 

Normfallbeschleunigung 157, 190, 192 

Normgewichtskraft 190, 192 

Nulldurchgang 337–340 

Nulllinie 330 

Nutzarbeit 120, 139, 211 

Nutzleistung 211 

Nutzquerschnitt 298 

O 

w, t-Diagramm 182, 186 

Oberfläche 86 

Oberfläche und Dauerfestigkeit 379 

Oberflächenbeiwert 383 

Oberflächenberechnung 86 

Oberflächenkräfte 11 

Obergurt 68 

örtliche Spannung 380 

Ortsvektor 165 

Ortsveränderung 144, 165 

Oszillator 260

420 

P 

Parabel 167, 335, 344 

Parabelfläche 350 

Parallelogramm 78 

Parallelogrammfläche 78 

Parallelogrammkonstruktion, wiederholte 40 

Parallelogrammsatz 8, 165 

Parallelogrammumfang 84 

Parallelschaltung von Federn 253 

Pascal 387 

Passfedernut 385 

Passschrauben 364 

Pendelstütze 13 

Periode (Schwingung) 249 

Periodendauer 176, 249 

physikalische Größe 2 

Planvorschub 164, 165 

Platin-Iridiumzylinder 190 

Poisson-Zahl 282 

Pol 41 

Polstrahl 41 

polare Flächenmomente 307, Tabelle 311 

polare Widerstandsmomente, Tabelle 311 

polares Flächenmoment 2. Grades 304 

polares Widerstandsmoment 305, 323 

Polstrahlen 41 

Polygon-Fachwerkträger 68 

Polynomdivision 141 

potentielle Energie 218, 222, 403 

Pressenstößel 115 

Presskraft 391 

Presskraftgleichung 391 

Pressung 292 

Pressungshöhe 393 

Prinzip von d’Alembert 195 



prismatische Nut 35 

Prismenführung 114, 288 

Probestab 381 

Profilfläche 86, 87 

Profillinie 86, 87 

Profilstäbe 279 

Profilstahlträger 335 

Programmablaufplan 61 

Programmschleife 61 

Programmverzweigung 61 

Projektionsfläche 158 

projizierte Berührungsfläche 289 

–, technische Beispiele 289 

projizierte Fläche 289, 291, 390 

Proportionalitätsgrenze 354, 375 

Pythagoras 58, 67, 166, 169, 370 

Q 

Quadranten 22, 53 

quadratische Gleichung 173 

–, Beispiele 153, 164, 172 

Querbohrung 279, 385 

Querdehnung 281 

Querkraft 268, 271, 329 

Querkraftfläche 334–340 

Querkraftlinie 335, 337 

Querkraftsatz 334 

Querkraftschaubild 337 

Querkraftverlauf 333, 340 

Querlager 116, 118 

Querschnittsfläche 265, 351 

Querschnittsformen 305 


R 

Radachse 344 

Radialkraft 14, 20, 64, 368 

Radiant (rad) 124, 179 

Rammen 228 

Randabstand 299 

Randfaser 324 

Randfaserabstand 305, 332, 366, 367 

Randfaserspannung 322, 331, 332 

Randspannung 321 

Rauigkeit 410 

räumliches Kräftesystem 64 

Reaktionszeit 162 

rechnerische Ermittlung 

– der Resultierenden, Arbeitsplan 26 

rechnerische Gleichgewichtsbedingungen 28, 

44, 46 

Rechnerprogramm 53, 55, 58, 61 

Rechteck 235 

reduzierte Masse 238 

Reibungsarbeit 208, 210, 221, 241 

–, Diskussion der Formel 209 

Reibungskraft 13, 90, 95 

Reibungsleistung 117, 210 

Reibungsmoment 116–118 

Reibungsradgetriebe 181 

reibungsschlüssige Schraubenverbindung 

123 

Reibung 13, 90 

– am Spurzapfen 117 

– am Tragzapfen 116 

– an Maschinenteilen 114 

– auf der schiefen Ebene 100 

– auf der schiefen Ebene, Ûbungen 113 

Reibungsaufgaben 95 

Reibungskegel 93, 115 

Reibungswinkel 91, 92


Reibungszahl 91, 92 

–, Ermittlung 92 

–, Wertetafel 92 

Reißlänge 284 

Reihenschaltung von Federn 252 

Relativgeschwindigkeit 226 

Relativitätstheorie 191 

Resonator 260 

Resonanz 260 

Resultierende 3, 8, 22, 26, 202 

resultierende 

– Druckspannung 366 

– Federrate 252 

– Kraft 189, 191, 193, 233 

– Momentenfläche 373 

– Spannung 365, 368 

– Zugspannug 367 

resultierendes 

– Moment 60, 374 

– Drehmoment 240 

Reynolds’sche Zahl 410 

Richtgröße 250 

Richtungsannahme 33 

Richtungsregel 28 

Richtungssinn 3 

Richtungswinkel 3, 10, 22, 28, 33, 59, 61, 169, 

172 

– der Loslagerkraft 54 

Riemen 12 

Riemengetriebe 127, 180 

Riemenkräfte 16 

Riemenscheibe 127 

Riemenvorspannkraft 127 

Riemenvorspannung 127 

Ring 235 

Ringfläche 86 

Ringspurlager 118 

Ringspurzapfen 117 

Ringvolumen 86 

Ritter’sches Schnittverfahren 72 

– Arbeitsplan 73 

Rohnietdurchmesser 298 

Rohrlängsnaht 390 

Rohrleitung 410 

Rohrreibungszahl 410 

Rollbedingung 135 

Rolle 14, 138 

Rollendrehpunkt 138 

Rollenradius 138 

Rollenzug 138, 141 

–, Ûbung 142 

Rollkörper 14, 134 

Rollkraft 134, 136 

Rollmoment 135 

Rollradius 134 

Rollreibung 135 

Rollwiderstand 13, 91, 134 

Rotation 232 

Rotationsarbeit 214 

Rotationsenergie 240, 245 

Rotationskörper 86 

Rotationsleistung 215 

Rückprallgeschwindigkeit 229 

Rückstellmoment 254 

ruhende Belastung 377 

Ruhezustand 189 

Rundkerbe 385 

Rutschbeginn 98 

Rutsche 113 

Rutschen 198 

S 

s, h-Diagramm 170 

s, t-Diagramm 149, 159 

Sackrutsche 222 

Schabotte 228, 230 

Schabottemasse 230 

Schallgeschwindigkeit 163 

Schallzeit 163 

Scheibenbremsen 133 

Scheibenkupplung 239 

Scheitelhöhe 171 

Schiebung 297 

schiefe Ebene 92, 100, 102, 188, 199 

schiefer Stoß 224 

Schiffsmittellinie 400 

Schiffsschwerpunkt 400 

Schlagwirkungsgrad 228, 231 

Schlankheitsgrad 353, 356, 360 

Schleifendurchlauf 61 

Schleifscheibe 178, 241 

Schlingerbewegungen 401 

Schlupf 180 

Schlüsselradius 121 

Schmieden 227 

Schmiedevorgang 228 

Schmierloch 385 

Schnittfläche 266, 365 

Schnittgeschwindigkeit 178, 212 

Schnittkraft 212 

Schnittkraftmessgerät 212 

Schnittmethode 266 

Schnittufer 266, 270, 297, 339, 347 

Schnittuntersuchung am Niet 296 

Schnittverfahren 265, 270 

–, Ûbungen 272

422 

Schrägaufzug 20 

Schräger Wurf 170 

Schräglage 399 

Schrägstirnradgetriebe 67 

Schraube 119, 121 


Schrauben 279, 364 

Schraubenfederpendel 251 

Schraubenlängskraft 119, 121, 122 

Schraubgetriebe 103, 119 

Schraubverbindung 121, 123 

Schraubzwinge 274, 365 

Schubfeder 297 

Schubkraftgleichung 110–113 

Schubmodul 297, 324, 327, 385 

Schubspannung 268, 273, 296, 321, 328 

Schubspannungshypothese 369 

Schubspannungsverteilung 296 

Schubverformung 297 

schwellende Belastung 377 

Schwellfestigkeit 377 

Schwenkarm 19 

Schwerachse 236 

Schwerebene 76 

Schwerefeld 11 

Schwerependel 256 

Schwerkraft 76 

Schwerlinie 76, 81, 82 

Schwerpunkt 76, 83 

–, zusammengesetzter Flächen 79 

Schwerpunktsabstand 78, 81, 83, 395 

Schwerpunktsberechung 319 

Schwerpunktsbestimmung 83 

– für Flächen, Arbeitsplan 80 

– für Liniengebilde, Arbeitsplan 85 

Schwerpunktslage 83 

Schwerpunktslehre 76, 86 

Schwerpunktsweg 87 

Schwimmen 398 

Schwimmlage 399 

Schwingung 176 

Schwingung, erzwungene 260 

Schwingungen, Analogien 258 

Schwingungsdauer 249 

Schwingungsweite 249 

Sechstelkreisbogen 84 

Sechstelkreisfläche 78 

Sehnenlänge 78, 84 

Seil 12 

Seileck 42 

Seileckverfahren 41, 76 


Seilgewichtskraft 284 


Seilkraft 124 

Seilreibkraft 124, 127 

Seilreibung 124, 132 


Seilstrahlen 42 

Seilzugkraft 124, 126 

Seitenhalbierende 78 

Seitenkraft 395, 397 

– -Gleichung 396 

selbsterregte Schwingung 246 

Selbsthemmung 119, 128, 132, 209 

Selbsthemmungsbedingung 93, 108, 128 

Selbsthemmungsbereich 93 

Selbsthemmungsgrenze 120 

Sicherheit 356 

– gegen Dauerbruch 382 

– gegen Knicken 351 

Sicherheitsgrad gegen Kippen 88 

Sicherungsring 385 

Sicherungsring-Kerbe 384 

SI-Einheiten 1 

Sinkgeschwindigkeit 158 

Sinussatz 37, 102, 167, 201 

Skalar 3, 203, 209 

Spannrolle 127 

Spannschienen 127 

Spannung 266, 278, 380 

Spannungart 268 

Spannungsbegriffe 380 

Spannungsbild 303, 321, 330, 366 

Spannungsenergie 218, 220, 225 

Spannungs-Dehnungs-Diagramm 375 

Spannungshypothese 369 

Spannungsnachweis 286, 299, 368, 382 

Spannungsquerschnitt 278 

Spannungsspitze 378 

Spannungsverlauf 378 

Spannungsverteilung 321 

– imTrägerquerschnitt bei Biegung 329 

– im unsymmetrischen Querschnitt 332 

Spannwellenbetrieb 127 

Spillanlage 126 

Spillkopf 125 

Spindelkopf 122 

Spindelpresse 103 

Spurlager 16, 19, 44, 49 

Spurlagerkraft 44, 49 

Spurzapfen 117 

Spurzapfenreibzahl 117 

stabile Schwimmlage 399 

– eines Schiffes 400 

Stabilitätsproblem 351 

Stabilitätskurve 401


Stahlbau 68 

Standfläche 88 

Standmoment 88 

Standsicherheit 87, 88 


Standsicherheitsgleichung 88 

Statik 1, 2 

– der Flüssigkeiten 386 

statische Belastung 377 

statische Bestimmtheit 69, 70 

statische Druckhöhe 404 

statischer Druck 403 

Staudruck 403 

s, t-Diagramm 149, 159 

Steigungswinkel 119, 122, 170 

Steigzeit 171 

Steiner’scher Verschiebesatz 236, 314–316 

Stetigkeitsgleichung 402 

Strebe 68 

stofffreie Biegeachse 362 

Stoß 202, 224 

–, Sonderfälle 226 


–, wirklicher 228 

Stoßabschnitt 225, 227, 229 

Stoßbegriff 224 

Stößel 151 

Stößelbewegung 147 

Stoßnormale 224, 226 

Stoßzahlen 229 

Stoßzahlgleichung 229 

Strahlquerschnitt 406 

Strahlungsenergie 218 

Strecke 83 

Streckenlast 335, 340 

Streckgrenze 375, 382, 385 

Stromfäden 406 

Strömung 402–404 

– in Rohrleitungen 410 

– mit Höhenunterschied 403 

Strömungsgeschwindigkeit 166, 402, 405, 410 

Strömungsmechanik 402 

Strömungsquerschnitt 402 

Stützbalken 273 

Stützflächen 13 

Stützhaken 16 

Stützkraftberechung 53, 62 

–, Programmablaufplan 61 

Stützkraftermittlung beim räumlichen Kräftesystem 

64 

Stützkräfte 2, 11, 16, 53, 64, 273 

Stützkraftkomponenten 64 

Stützträger 273, 333, 337 

– mit Einellast 337, 349 

– mit konstanter Streckenlast 340, 349 

– mit mehreren Einzellasten 338 

– mit Mischlast 340 

Summenbremse 132 

Summenformeln 202 

Symmetrieebene 76, 81, 84 

systemanalytisch 53 

systemanalytisches Lösungsverfahren 62 

– zur Stützkraftberechnung 53 

Systemgleichungen, Zusammenstellung 60 

T 

Tangensfunktion 24, 136 

Tangentialbeschleunigung 184, 186, 232 

Tangentialgröße 177, 184 

Tangentialkraft 13, 20, 64, 90, 214, 232 

Tangentialverzögerung 187 

Teilkreisdurchmesser 181 

Teilschwerpunkt 79 

Teilung 181 

Temperaturdifferenz 223 

Temperatur und Festigkeit 376 

Tetmajer 355, 358 

Tetmajergleichungen 355 

Tonne 190 

Torsion 270, 321 

–, Formänderung 324 

Torsionsbeanspruchung 270 

Torsions-Hauptgleichung 323 

–, Herleitung 322 

Torsionsmoment 2, 270, 321, 325, 327 

Torsionspendel 254 

Torsionsspannung 270, 321, 323 

Torsionsstabfeder 214, 325, 326 

Torsionsstab-Messgerät 326 

Totpunkt 151 

Trag- und Spurzapfenreibung, Ûbungen 118 

Träger 15 

– gleicher Biegespannung 343 

Trägerbelastung 335 

Tragsicherheit 359 

Tragsicherheitsnachweis 359 

Trägheit 188 

Trägheitsgesetz 7, 177, 188, 191, 242 

Trägheitskraft 158, 196, 201, 245 

Trägheitsmoment 232, 236, 245, 255 

–, Ûbung 234 

Trägheitsmomente, Gleichungen 235 

Trägheitsradius 233, 238, 309, 351, 367 

Tragtiefe 290 

Tragzapfen 116 

Tragzapfenreibzahl 116

424 

Translation 6, 188 

translatorische und rotatorische Größen, Gegenüberstellung 

245 

Transportband 200 

Trapez 78 

Trapezgewinde 120, 122, 279, 293 

–, Bezeichnungen 290 

Tretkurbel 5 

Triebarbeit 389 

Triebkolben 388, 392 

Triebkraft 189, 388, 391 

trigonometrische 

– Lösung 102, 104, 107 

– Auswertung 37 

– Methode 37 

Trum 127 

U 

U-Rohr 393 

U-Rohrmanometer 393 

Ûberdruck 393, 405, 408 

Ûberlagerung 164 

– von beschleunigter Bewegung 167 

– von gleichförmig geradlinigen Bewegungen 

166 

Ûberlagerungsprinzip 165, 336, 350 

Ûbersetzung 181, 216 


Ûbersetzungsverhältnis 181 

Ufermauer 396 

Umdrehung 176, 179 

Umdrehungsfrequenz 143 

Umfahrungssinn 37 

Umfangsgeschwindigkeit 117, 177, 212, 215 

Umfangskraft 16, 119, 368, 371 

Umkehrpunkt 151 

Umlaufzeit 176 

Umlenkrolle 138 

Umrechnungsbeziehung 149 

– (Grad in rad) 124 

Umschlingungswinkel 124, 126 

unelastische Knickung 355 

unelastischer Stoß 227 

ungleichförmige Bewegung 145 

unsymmetrische Querschnitte 313, 319 

Unterdruck 405 

Untergurt 68 

Ursprungslänge 281, 283, 375 

V 

v, t-Diagramm 144, 147, 152, 156, 182 

– des freien Falls 146 

– eines Stößelhubes 147 

– für senkrechten Wurf 146 


v-Linie 146, 152 

Vektor 3, 8, 152, 226 

verdrängte Flüssigkeitsmenge 397 

Verdrängungsschwerpunkt 397–399 

Verdrehung 270, 321 

Verdrehwinkel 324, 325, 327 

Verformungsarbeit 218, 231 

Verformungsbild 321, 330 

Verformungsenergie 218 

Vergleichsmoment 369, 374 

–, zeichnerische Bestimmung 370 

Vergleichsspannung 368 

Verhältnisgröße 281 

Verkürzung 283 

Verlängerung 281, 283, 375 

Versatzwinkel 64 

Verschiebegeschwindigkeit 210, 213 

Verschiebekraft 14, 207, 210, 213 

Verschiebesatz (Steiner’sche) 236, 314–316 

Verschiebeweg 207, 213, 245 

Verschiebung 6 

Verschiebungsgröße 366 

Verschwächungsverhältnis 298 

Vertikalbewegung 167, 170 

verzögerte Bewegung, Formeln 155 

Verzögerung 144, 147, 155 

Vierkräfteverfahren 50 


Viertelkreisbogen 84 

Viertelkreisfläche 78 

Viskosität 386 

Vollspurzapfen 117 

Volumen 191 

Volumenänderung 386 

Volumenberechnung 86 

Volumenkräfte 11 

Volumenstrom 402, 406–409 

vorhandene Flächenpressung 288 

vorhandene Spannung 278, 285, 323, 331 

Vorschubbewegung 145 

Vorspannkraft 119, 207 

W 

Waagerecht-Stoßmaschine 147 

Waagerechter Wurf 165, 167 

Walze 35 

Wälzpunkt 371 

Wanddicke eines Kessels 390 

Wanddrehkran 19, 44, 48 

Wärme 223 

Wärmekapazität 223 

Sachwortverzeichnis


Wärmemenge 204, 223 

Wärmespannung 283 

Wasserdruckhebebock 388 

Wassersäule 394 

Watt 209 

Wattsekunde 203 

Wechselfestigkeit 377, 379 

wechselnde Belastung 377 

Wechselwirkungsgesetz 192, 224 

Weg-Linie 149 

Weg-Zeit-Diagramm 149 

Wegabschnitt 144, 148, 154, 182 

Wegeinheit 148 

Weggleichung 153, 167 

– für Rollenzüge 141 

Wehr 396 

Wellen 343 

Wellenachse 322 

Wellendrehmoment 116 

Werkzeugträger 148 

Widerstandsmoment 303, 305, 309, 312, 319, 

320, 323, 366 


Widerstandszahl 410 

Winkelbeschleunigung 182, 186, 232, 245 

Winkelgeschwindigkeit 118, 179, 213, 215, 245, 

323 

Winkelgeschwindigkeitsänderung 183 

Winkelhebel 46, 53 

Winkelprofil 316 

Winkelverzögerung 187, 233 

Wirkabstand 2, 214 

– der Auflagereibkraft 121 

wirklicher Stoß 228 

Wirklinie 3 

Wirkungsgrad 203, 210, 216, 230 

– der festen Rolle 139 

– der hydraulischen Presse 391 

– der losen Rolle 140 

– mr des Rollenzuges 142 

– für Schraubgetriebe 120 

–, Ûbungen 212, 216 

–, Beispiele 211 

Wirkungsgradgleichung 139, 228 

Wirkungsgradtabelle 142 

Wurfbahn 170 

– beim waagerechten Wurf 168 

Wurfhöhe 170 

Wurfparabel 168, 173 

Wurfweite 168, 170, 174 

Wurfzeit 171, 173 

Z 

Zähigkeit 386 

Zahlenwertgleichung 178, 180, 215, 285, 323, 

355, 390 

Zahndicke 181 

Zahneingriff 64 

Zähnezahlen 181 

Zahnflanken 294 

Zahnfußhöhe 181 

Zahnkopfhöhe 181 

Zahnkraft 65 

Zahnkraftkomponente 16, 64 

Zahnrad 294 

Zahnradgetriebe 180 

Zahnradkraft 16 

Zapfenradius 138 

Zapfenreibzahl 116, 118 

zeichnerische Ermittlung 

– der Resultierenden, Arbeitsplan 28 

– unbekannter Kräfte, Arbeitsplan 34 

Zeitabschnitt 144, 148, 154, 182, 186 

Zeiteinheit 148 

Zeitkonstante 158 

zentrales Kräftesystem 21, 22 

Zentrifugalkraft 243 

Zentripetalbeschleunigung 242, 247 

Zentripetalkraft 242, 250 

Zerlegung einer Kraft 9 

Ziehschlitten 115 

Zug 268, 278 

Zug- und Druckbeanspruchung, Ûbungen 

286 

Zug und Biegung 365 

Zugbeanspruchung 268, 271, 278 

Zugbolzen 302 

Zug-Hauptgleichung 278, 365 

Zughaken 20, 137 

Zugkraft 12, 137 

– an der festen Rolle 138 

– beim Lastheben 140 

Zugkraftgleichung 101, 103 

– für Rollenzüge 141 

Zugfestigkeit 284, 375 

Zuglaschen 279 

Zugschrauben 279 

Zugspannung 278 

Zugversuch 375 

zulässige Spannung 380 

– Begriff 380 

– für Bauteile 364 

– für Verbindungsmittel 364 

– Spannungen im Stahlhochbau 364 

zusammengesetzter Querschnitt 320

426 

Zusammensetzen und Zerlegen von Wegen, 

Geschwindigkeiten und Beschleunigungen 165 

Zweigelenkstäbe 13, 68 

zweischnittig 364 

zweiwertige Lager 15 

Zwischenresultierende 40 

Zylinderführung 115 

Zylinderführungsbuchse 115 

Zylindermantel 235 

Sachwortverzeichnis

Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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