Probeklausur Analysis III WS 2012/2013
Probeklausur Analysis III WS 2012/2013
Probeklausur Analysis III WS 2012/2013
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
<strong>Probeklausur</strong> <strong>Analysis</strong> <strong>III</strong><br />
<strong>WS</strong> <strong>2012</strong>/<strong>2013</strong><br />
– Prof. Dr. D. Müller –<br />
Name: ............................ Vorname: ............................<br />
Übungsleiter: .................... Lehramt: Ja/ Nein ....................<br />
Alle Antworten sind zu begründen!<br />
Zum „Bestehen“ der <strong>Probeklausur</strong> müssen in jedem Aufgabenblock mindestens 40 % der<br />
Punkte erzielt werden, und insgesamt mindestens 50% der Punkte.<br />
Die letzte Aufgabe 6 auf der Rückseite muss von Lehramtsstudierenden nicht bearbeitet<br />
werden; diese können damit jedoch Zusatzpunkte erwerben.<br />
A. Rechenaufgaben<br />
1. Sei P ⊂ R2 das Parallelogramm mit den Ecken (0, 0), (1, 0), (1, 2) und (2, 2), und<br />
sei Z ⊂ R3 der Zylinder mit Basis P und Höhe 2. Zeichnen Sie P und Z, und<br />
bestimmen Sie <br />
x cos(zx) d(x, y, z) .<br />
Z<br />
2. Sei A ⊂ R 3 der Rotationskörper A := {(x, y, z) ∈ R 3 : 1 ≤ x 2 +y 2 ≤ e z , 0 ≤ z ≤ 1}.<br />
Zeichnen Sie A, und berechnen Sie das Volumen von A. (10)<br />
3. Bestimmen Sie mit Hilfe des Satzes von Lebesgue<br />
1 cos<br />
lim<br />
n→∞<br />
<br />
x<br />
n √<br />
1 − x2 dx.<br />
B. Aufgaben zur Theorie<br />
0<br />
4. a) Gibt es Nullmenge im R n mit inneren Punkten? (3)<br />
(10)<br />
b) Ist der Rand ∂A einer jeden Teilmenge A ⊂ R n stets Lebesgue-messbar? (3)<br />
c) Ist eine Teilmenge A ⊂ R n Lebegue-messbar genau dann, wenn ihre charakteristische<br />
Funktion dies ist? (4)<br />
5. Sei r > 0, und sei S : R n → R n die Abbildung S(x) = rx. Beweisen Sie anhand der<br />
Definitionen:<br />
Ist f ∈ L 1 (R n ), so ist auch f ◦ S ∈ L 1 (R n ), und es gilt<br />
<br />
R n<br />
f(rx)dx = r −n<br />
<br />
R n<br />
f(x)dx.<br />
(6)<br />
(10)
6. Sei {Ak}k∈N eine Folge Lebesgue-messbarer Teilmengen des R n mit <br />
k v(Ak) < ∞.<br />
Folgern Sie, dass f.a. x ∈ R n in höchstens endlich vielen der Mengen Ak liegen.<br />
Hinweis Betrachte die Funktion f := <br />
k 1Ak<br />
(10)