FACHBEREICH ARCHITEKTUR - Goepf Bettschen

BAULEITER HOCHBAU
K U R S
S T A T I K / F E S T I G K E I T S L E H R E
12) DURCHLAUFTRAEGER
und GELENKTRAEGER
1) Durchlaufträger (Mehrfeldträger)
a) Allgemeines
b) Statisch unbestimmte Systeme
c) Methoden zur Durchlaufträgerberechnung
d) Einflusslinien
e) Ungünstige Laststellungen
f) Beispiel Durchlaufträger
A
l 4
l 1 l 2 l 3 l 5
2) Gelenk- oder Gerberträger
a) System
b) Berechnung der Schnittkräfte
c) Beispiele
g.bettschen
B F
D E
C

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Kurs Statik/Festigkeitslehre - Durchlaufträger und Gerberträger - g.bettschen - Seite 2
1) Durchlaufträger
a) Allgemeines
Ein Durchlaufträger ist ein Mehrfeld-Träger über mehr als zwei Abstützungen.
Er kann in der Realität ein Holztäger, eine Betondedecke, eine Kranbahn oder ähnliches
sein.
Der Durchlaufträger kann über beliebig viele Stützen verlaufen bzw. beliebig viele Felder
haben. Am linken und rechten Rand können die Trägerenden gelenkig gelagert oder
eingespannt sein oder als Kragträger weiter gehen.
Das System ist immer statisch unbestimmt und daher schwieriger zu berechnen als ein
statisch bestimmter Einfeldträger. Der Vorteil der Zwischenstützen ist, dass die Stützweite
und die Durchbiegung in Feldmitte geringer werden und die Bauhöhe des Trägers niedriger
sein kann.
Seine statische Berechnung ist unabhängig vom Baumaterial.
Die Bemessung und konstruktive Ausbildung hängt jedoch maßgebend vom Baustoff ab.
Der Durchlaufträger kann abschnittsweise unterschiedliche Querschnittstypen (Platte,
Plattenbalken, Balken) haben.
Bei der Bemessung muss beachtet werden, dass die Lasten in ungünstiger Weise
feldweise oder einzeln wirken können. Die höchste Beanspruchung ergibt sich nicht
automatisch, wenn alle möglichen Lasten (Gleichlasten, Einzellasten, Stützensenkungen,
ständige Lasten, Verkehrs-/Nutzlasten, Wanderlasten, Fahrzeuge) gleichzeitig wirken.
Deshalb berechnet man Einflusslinien für Durchlaufträger und wertet sie mit Hilfe von
Computern aus.
b) Statisch unbestimmte Systeme
Ein System ist äusserlich statisch unbestimmt, wenn seine Auflagerkräfte nicht mehr mit
den Gleichgewichtsbedingungen der Ebene bestimmt werden können.
Grad der Unbestimmtheit ist die Differenz zwischen gesuchten Auflagerkräften und den
drei Gleichgewichtsbedingungen der Ebene.
A
M
A
A
A
A
AH
F
AV
F
BH
F
BH
F
D:\Dez 2011\Statik12.DOC 12.12.2011
BV
F
BV
BH
B
C
BV C D
F
BV C D
3 unbekannte Auflagerkräfte
3 Gleichgewichtsbedingungen der Ebene
→ statisch bestimmt
4 unbekannte Auflagerkräfte
3 Gleichgewichtsbedingungen der Ebene
→ 1-fach statisch unbestimmt
4 unbekannte Auflagerkräfte
3 Gleichgewichtsbedingungen der Ebene
→ 1-fach statisch unbestimmt
5 unbekannte Auflagerkräfte
3 Gleichgewichtsbedingungen der Ebene
→ 2-fach statisch unbestimmt
4 unbekannte Auflagerkräfte
2 Gleichgewichtsbedingungen der Ebene
→ 2-fach statisch unbestimmt

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c) Methoden zur Durchlaufträgerberechnung
Zum Berechnen der Auflagerkräfte bei statisch unbestimmten Systemen müssen also noch
zusätzliche Kriterien zu den 3 Gleichgewichtsbedingungen der Ebene herbeigezogen
werden. Man muss deshalb noch die sogenannten Formänderungsbedingungen
aufstellen.
Jedes belastete Tragwerk steht unter Spannungen. Diese rufen Formänderungen hervor.
Bleiben die Spannungen unterhalb der Elastizitätsgrenze des Baustoffes, so gehen die
Formänderungen bei Entlastung vollständig zurück. Man spricht dann von elastischen
Formänderungen gegenüber den plastischen oder bleibenden Formänderungen.
Formänderungen können Längen-, Winkel- und Gleitwinkeländerungen sein.
Man unterscheidet in der Baustatik zwei Zustände :
Der Belastungszustand gibt die Beziehungen zwischen den äusseren Kräften (Belastung,
Temperatur) und den inneren Kräften (Normalkräfte, Momente, Querkräfte) an.
Der Verschiebungszustand beschreibt den Zusammenhang zwischen den Formänderungen
eines Teiles des Systems und denen des Gesamtsystems.
Die Verbindung zwischen den beiden Zuständen, das heisst den Zusammenhang von
Spannungen und Dehnungen, stellt das Hookesche Gesetz dar. Es gilt für isotrope
Baustoffe, und zwar so lange, wie die Spannungen unterhalb der Proportionalitätsgrenze
bleiben, das Spannungsdehnungsdiagramm also geradlinig verläuft.
Mit Hilfe von Bedingungen, die der Kontinuität und den Verformungen des Systems gerecht
werden, können nun statisch unbestimmte Systeme gelöst werden.
Für die Berechnung von Durchlaufträgern stehen unter anderem folgende Methoden zur
Verfügung :
• Kraftmethode
Die Kraftmethode beruht darauf, dass man das statisch unbestimmte Tragwerk in ein
statisch bestimmtes Tragwerk umwandelt, an diesem aber Kräfte anbringt, die dem
ursprünglichen Zustand wieder gerecht werden
A
A
A B C
A XB C
Elastizitätsbedingung : δB B = 0
X1=1
D:\Dez 2011\Statik12.DOC 12.12.2011
C
C
Statisches Grundsystem GS
X = überzählige Grösse
δBo = Durchbiegung infolge äusserer Belastung
δB1 = Durchbiegung infolge x1 = 1
δBo
δB1
Elastizitätsgleichung :
δBo + x1 ⋅ δB1 = 0
x1 = - δBo / δB1

-
+
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Weitere Möglichkeiten für die Durchlaufträgerberechnung sind zum Beispiel:
• Methode Cross
• Dreimomentengleichung
• Näherungsberechnung mit Hilfswerten
• Tabellenwerke
• EDV
d) Einflusslinien
Bisher haben wir die Schnittkraftverteilung von festen Lasten über den ganzen Bauteil in
Form von Momenten- oder Querkraftflächen aufgezeichnet.
Bei beweglichen Lasten möchten wir aber oft den Einfluss der rollenden Last auf eine
bestimmte Stelle am Bauteil kennen. Dazu lassen wir eine Last von der Grösse F = 1 über
den Balken rollen und berechnen für den ausgezeichneten Schnitt die Schnittkräfte, diese
Werte tragen wir am jeweiligen Standort der Last auf (also nicht wie vorher, an der Stelle
wo die Schnittkraft wirkt).
Die Verbindungslinie dieser Punkte nennt man die
E i n f l u s s l i n i e
Einflusslinien sind also ein Hilfsmittel, um für gewisse ausgezeichnete Schnitte
den Einfluss von beweglichen Lasten auf die Schnittkräfte oder auf die Auflager
zu bestimmen.
Eine Einflusslinie wird immer für einen bestimmten Punkt konstruiert. Sie zeigt den
Verlauf des Einflusses der äusseren Belastung für die gesuchte Schnittkraft im
betreffenden Punkt.
Beispiel
Einflusslinie für MB :
- F auf Kragarm links : MB B = + 0.60
- F in Feldmitte Feld 1 : MB B = - 0.51
- F in Feldmitte Feld 2 : MB B = - 0.22
- F auf Kragarm rechts : MB B = + 0.30
- F auf A, B oder C : MB B = + 0.00
F = 1
A B C
2.00 l1 = 4.50 l2 = 3.00 1.50
- F auf ¼ von Feld 1 : MB B = - 0.32
- F auf 3 B
/4 von Feld 1
- usw.
: MB = - 0.44
D:\Dez 2011\Statik12.DOC 12.12.2011
B

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e) Ungünstige Laststellungen
Ähnlich wie bei den Trägern mit Kragarmen erhält man auch bei Durchlaufträgern die
ungünstigsten Werte für Schnittkräfte und Auflagerreaktionen nicht bei Vollbelastung des
ganzen Trägerzuges, sondern bei nur teilweiser Belastung. Am genauesten lassen sich die
jeweils ungünstigsten Laststellungen mit Einflusslinien ermitteln. Wir begnügen uns aber,
wie im Hochbau üblich, mit feldweise veränderlichen Lasten. Man trennt daher für die
Berechnung das ständig vorhandene Eigengewicht g von der wechselnden Nutzlast q,
bzw, bei Einzellasten G und Q.
Es ergeben sich dann zum Beispiel folgende Belastungszustände :
• Eigengewicht ( ständige Last)
l 1 l 2 l 3 l 4 l 5
A B C D E F
Diese Lasten sind ständig vorhanden, und daher sind mit ihnen alle Felder voll
zu belasten. Die Schnittkräfte dieses Belastungszustandes sind zu den Nutzlasten
dazuzuzählen, um die überhaupt ungünstigsten Werte zu erhalten.
• Nutzlast
l 1 l 2 l 3 l 4 l 5
A B C D E F
Die grössten Feldmomente ergeben sich durch gleichzeitige Belastung eines Feldes und
der übernächsten Felder. In den unbelasteten Feldern entstehen dann gleichzeitig die
kleinsten Feldmomente.
Die oben aufgezeichnete Belastung im 5-feldträger liefert auch die maximalen
Auflagerdrücke A und F.
l 1 l 2 l 3 l 4 l 5
A B C D E F
Das dem Betrage nach grösste negative Stützmoment und gleichzeitig den grössten
Stützendruck erhält man durch gleichzeitige Belastung der beiden der Stütze benachbarten
Felder und der übernächsten Felder.
Die massgebenden Querkräfte an den Auflagern erhält man durch die Lastzustände für die
grössten Stützendrücke.
D:\Dez 2011\Statik12.DOC 12.12.2011

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f) Beispiel Durchlaufträgerberechnung:
Einfeldträger:
l = 6.0 m, Eigengewicht gk= 0.83 +1.17 = 2.0 kN/m’, Nutzlast qk = 4.0 kN/m’
D:\Dez 2011\Statik12.DOC 12.12.2011
Feldmoment M = 27 kN m
Durchlaufträger mit 4 Feldern à 6.0 m:
Eigengewicht gk= 0.83 +1.17 = 2.0 kN/m’, Nutzlast qk = 4.0 kN/m
Feldmoment M = 20 kN m
Stützmoment M = - 25 kN m
Feldmoment M = 14 kN m

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2) Gelenk- oder Gerberträger
a) System
Durchlaufträger
Durchlaufträger sind gegenüber einfachenTrägern wirtschaftlicher, weil sie bei gleichen
Stützweiten und gleicher Belastung wegen ihrer geringen Biegemomente im Feld meist
kleinere Abmessungen haben.
Dagegen sind sie wegen ihrer statisch unbestimmten Lagerung äusserst empfindlich
gegen Stützensenkungen.
Dieser Nachteil lässt sich durch Einschalten von Gelenken, welche die
Durchlaufträger wieder in statisch bestimmte verwandeln, vermeiden, ohne dass der
Vorteil kleinerer Momente verlorengeht.
Gelenk
Gelenk
Gelenkträger
Gelenke können wohl Normal- und Querkräfte, aber keine Biegemomente
aufnehmen. Für jedes Gelenk besteht daher die Bedingungsleichung M = 0.
Ein Durchlaufträger auf n - Stützen lässt sich durch Einschalten von n-2 Gelenken statisch
bestimmt machen.
→ Anzahl der erforderlichen Gelenke = Anzahl der vorhandenen Mittelstützen.
Damit die Gelenkträger ( nach ihrem Erfinder auch Gerberträger genannt) stabil bleiben
und nicht in sich beweglich werden, dürfen in einem Felde nicht mehr als zwei Gelenke
angeordnet werden, die Nachbarfelder müssen dann von Gelenken freibleiben. Da die
Endauflager auch als Gelenke aufzufassen sind, darf in einem Endfeld nur ein weiteres
Gelenk vorkommen. Es ergeben sich daher bei verschiedener Felderzahl die nachfolgend
dargestellten Möglichkeiten an Gelenkanordnungen :
Gelenk G
2 Felder :
3 Felder :
3 Felder :
4 Felder :
5 Felder oder
mehr Felder:
Kragträger
D:\Dez 2011\Statik12.DOC 12.12.2011
Schwebeträge

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Man kann auch in jedem Felde mit Ausnahme eines einzigen nur je ein Gelenk anordnen.
Man erhält dann den Koppelträger :
Aufstellrichtung
Koppelträger sollten wegen ihrer leicht zu störenden Stabilität möglichst vermieden
werden.
Im Hochbau ordnet man die Gelenke meist so an, dass die Feldmomente gleich den
Stützenmomenten werden, dass also Momentenausgleich und damit eine gute Ausnutzung
der Baustoffe vorhanden ist.
In Wohngebäuden und ähnlichen Bauten sind aber Gelenkträger ungeeignet, weil die
Gelenke, damit sie frei spielen können, als durchgehende Fugen auszuführen sind. Im
Dachbau können dagegen Gelenke meist angeordnet werden, weil die oft dünne,
nachgiebige Dachhaut kleine Bewegungen aufnehmen kann.
b) Berechnung der Schnittkräfte
Schwebeträger Schwebeträger
Kragträger
G1
A B
l 1’
C
l
D
a b
3’
l 1
Die eingehängten Träger
( Schwebeträger) A-G1 und
G2-D können wie einfache
Balken berechnet werden.
D:\Dez 2011\Statik12.DOC 12.12.2011
A
G2
l 2 l 3
l 1’
Aus diesen einfachen Balken erhalten wir die Auflagerkraft A (bzw. D) und die Gelenkkraft
G1 ( bzw. G2), die Gelenkkräfte G1 und G2 sind auch Auflagerkräfte am einfachen Balken.
Mit diesen Gelenkkräften
können wir nun den
Kragträger berechnen.
G1
G2
G1
B
l C
a 2 b
Berechnung der Kragträger siehe ‘ Balken mit Kragarmen’
G2
l 3’
D

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c) Beispiele
Schlechte Anordnung der Gelenke – sehr grosse Stützmomente
Bessere Anordnung der Gelenke – Stützmomente und Feldmomente ca. gleich gross
D:\Dez 2011\Statik12.DOC 12.12.2011