BDB-Sonderheft 11/03-NEU - KUP-KOELN.de

Dipl.-Ing. Matthias Küttler
Beratender Ingenieur BDB
1. Problemstellung
Die Grundrisse unserer Wohnungs- und
Geschäftshäuser haben sich in den letzten
Jahrzehnten geändert. Wurden vor 30
Jahren noch sehr strukturierte Tragsysteme
errichtet, so ist es heute üblich, Grundrisse
ohne große Rücksicht auf die Tragsysteme
zu entwerfen. Diese Entwicklung
hat auch mit der breiten Einführung der
Finite-Elemente-Programme zu tun, die
sich als sehr flexibles Hilfsmittel zum Nachweis
der Standsicherheit erwiesen haben.
Bei diesen Berechnungen entstehen Probleme,
die vor Jahren noch als sehr selten
eingestuft wurden. Ein solches Problem ist
die Frage des Durchstanzens von Wandenden
und -ecken.
2. Behandlung des Problems
in den Normen
Während die „alte“ DIN 1045, die im wesentlichen
1972 formuliert wurde, das Problem
des Durchstanzens von Wandenden
noch nicht kennt, wurde der Nachweis
durch die Zulassungsbescheide der Dübelleisten
allmählich üblich und eingeführt.Im
EC 2 war das Problem behandelt.
Dies ist nun auch in DIN 1045-1 Ausgabe
2001 der Fall.
Die „neue“ Norm beschreibt die normale
Größe der Lasteinleitungsflächen, für die
der Formelsatz des Durchstanznachweises
entwickelt wurde. Dann folgt eine Festle-
BDB-NRW-Sonderheft 2003
Fachartikel 3
Fachartikel 3
Durchstanzen von Wandenden
Problem der Wahl einer
zutreffenden Durchstanzkraft
gung der anrechenbaren Rundschnitte
im Bild 1 für ausgedehnte Auflagerflächen.
Es wird ein „Rundschnitt“ definiert,
der der Tatsache Rechnung trägt,daß die
Druckspannungen sich an den Ecken der
Auflagerfläche konzentrieren (Bild 2).
Die Größe dieser Flächen ist von Länge
und Breite der Auflagerfläche sowie von
der Plattendicke (Nutzhöhe der Platte)
abhängig.
Damit ist dem Nutzer eine anwendbare
Regel zur Berechnung der Durchstanzsicherheit
von Wandenden in die Hand gegeben.
Der Nachweis hat nun die einfache
Form:
Bild 2: Spannungsverteilung am Stützenkopf
Während die Norm für den Beiwert β Hinweise
gibt, ist der Bemessungswert der
aufzunehmenden Querkraft aus einer
Schnittkraftermittlung zu bestimmen, die
nicht Gegenstand der Stahlbetonvorschrift
ist. Die Bestimmung dieser Kraft ist
hier erforderlich. Bei dieser Frage ergibt
sich bei der Berechnung von Wandenden
ein Abgrenzungsproblem: Für welche
Querkräfte ist der klassische Querkraftnachweis
zu führen und wo ist dieser
Nachweis durch einen Durchstanznachweis
zu ersetzen?
3. Abgrenzung Querkraftnachweis
– Durchstanznachweis
Obwohl beide Nachweise die Aufnahme
von Querkräften sichern, sind sie nicht
gegeneinander austauschbar. Beide
Nachweise wurden sehr stark an Versuchen
geeicht. Dabei ist der Querkraftnachweis
aus einer theoretischen Vorstellung
mit empirischen Beiwerten entwickelt,
während der Durchstanznachweis
wegen des ungleich komplexeren Verhaltens
unmittelbar aus Versuchsergebnissen
abgeleitet ist.Das Modell des Durchstanzverhaltens
ist noch immer als nicht abgeklärt
anzusehen.Somit ist auch Vorsicht bei
der Auslegung der Normgleichungen geboten.
Bild 3: Typischer Verlauf der Isolinien für die resultierende
Querkraft eines Durchstanzproblems (links)
und eines reinen Querkraftfalls (rechts).
Als wesentlicher Unterschied zwischen
dem Durchstanzen und der Querkrafttragfähigkeit
ist anzusehen,daß Querkräfte
im Querkraftnachweis zumindest teilweise
durch Druckstreben übernommen
werden können, die Tragfähigkeit also nur
wenig von der (unsicheren) Zugfestigkeit
des Betons abhängig ist. Beim Durchstanzen
entsteht dagegen eine Beanspruchung
der Zugfestigkeit des Betons, weil
die Druckspannungen in Form von Druckkegeln
um die Stütze herumlaufen können
und somit für die Übertragung der Querkräfte
ausfallen.Der entscheidende Unterschied
zwischen dem Querkraft- und dem
Durchstanztragverhalten liegt damit im
Verlauf der resultierenden Querkräfte in
der Platte. Dieser Verlauf entspricht auch
dem der Hauptmomente, da die Querkräfte
in jedem Falle von der partiellen Ableitung
dieser Momente abhängig sind.
Mit einem Querkraftproblem haben wir es
damit genau dann zu tun, wenn die resultierenden
Querkräfte in der Platte parallel
verlaufen. Verlaufen die Querkräfte jedoch
auf ein Zentrum hin (radial), so wird
das Problem zum Durchstanzproblem.
Man kann diesen Verlauf der Querkraft
leicht am Verlauf der Isolinien für die resultierende
Querkraft erkennen (siehe Bild 3).
4. Zur Bestimmung der Durchstanzlast
V Ed
4.1. Auflagerkräfte aus
FEM - Programmen
Die Durchstanzlast V Ed wird nicht selten
aus den Auflagerkräften einer FEM–Berechnung
gewonnen. Bei der Durchstanzbemessung
von Stützen ist dies korrekt und
von der gewählten Modell der Stütze
(Punktstützung oder 9- bzw. Mehrpunktmodell)
unabhängig. Bei der Bemessung
von Wandenden zeigte sich jedoch sehr
schnell ein Widerspruch. Die „Auflagerkraft“
des ersten Knoten wurde regelmäßig
sehr groß,während am zweiten Knoten
eine große Zugkraft entstand. Die Größe
dieser Kräfte war im wesentlichen von der
Elementgröße abhängig und zwar dergestalt,
daß die Kräfte um so größer wurden,
je kleiner die Elemente gewählt waren.
Dies ist darauf zurückzuführen,daß das Einspannmoment
durch ein Kräftepaar zwi-
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Fachartikel 3
Fachartikel 3
schen den ersten beiden Knoten aufgenommen
werden muß. Um diesen unnatürlichen
Ergebnissen abzuhelfen, wurde
von den Anbietern der üblichen FEM–Programme
eine federnde Stützung eingeführt.
Dabei wurden die Wände und Stützen
als Winklersche Bettung angesetzt.Als
Bettungszahl wird im allgemeinen die
Stabsehnenlängenänderung der Wand
oder Stütze in Folge einer Normalkraft angesetzt.
Diese, häufig auf die Geschoßhöhe bezogene
Federsteifigkeit führt dann zu einer
endlichen und eher vorstellbaren Spannung
am Ende der belasteten Wand oder
wandartigen Stütze (Bild 4). Bei dieser Berechnung
bleibt jedoch fraglich, ob die
geschoßhohen, voneinander unabhängigen
Federn zur Abschätzung des ungleichen
Druckes (siehe Bild 2) ein geeigneter
Ansatz sind.
Immerhin kann für diesen Lastfall nur der
obere Bereich von Wand oder Stütze (der
sog. St. Venantsche Störbereich) angesetzt
werden. In größerer Entfernung von der
Lasteintragungsstelle liegt eine Naviersche
Spannungsverteilung vor, die keine unterschiedlichen
Federsteifigkeiten kennt. Näherungsweise
kann also die Länge der beteiligten
Feder mit der halben Stützenbreite
bzw. Wandlänge angesetzt werden.
Bemerkenswert bleibt jedoch, daß die Lösung
des Problems dabei in der Wandhöhe
gesucht werden soll,die in DIN 1045 bei
der Berechnung der Durchstanzfestigkeit
keine Rolle spielt. Die Wandhöhe hat jedoch
in den der Norm zugrundeliegenden
Versuchen keine nachvollziehbare
Rolle gespielt.
4.2. Die Grundlage für V Ed
in DIN 1045-1
Betrachtet man die Durchstanzversuche,
soweit diese veröffentlicht wurden, so fällt
auf, daß ausschließlich Stützen in Versuchen
geprüft wurden. Das Verhalten von
Wandenden ist durch Versuche an wandartigen
Stützen gewonnen worden („kurzen“
Wänden).Dabei ist die Bruchlast (die
durch V Ed beschrieben ist),stets eindeutig
bekannt, da das System bei einer bestimmten
Last auf Durchstanzen versagte.
Betrachtet man nun die rechnerische
Spannungsverteilung,wie sie an einer kurzen
Wand ermittelt werden kann in Bild 5
(Spannungen unter Gesamtlast von 1200
kN,Plattendicke 20 cm,FEM–Mindlin–Reißner–Elemente,
Wanddicke 20 cm, Wandlänge
1,10 m, mitwirkende Höhe für Bettungszahl
1,0 m), so ist die Summe der
nach unten gerichteten Kräfte aus der
FEM–Berechnung größer als 1200 kN,da es
im Anschluß auch eine nicht unwesentliche
Zugspannung gibt. Eine richtige, d.h.
normgemäße Berechnung wird jedoch
nur 1200 kN auf die Gesamtstütze im
Durchstanznachweis mit dem Rundschnitt
nach Bild 1 verfolgen.
Bild 5: Druckspannungen am Kopf einer 1,10 m
langen Stütze von 20 cm Breite. Der Durchschnittswert
ist eingetragen. Im mittleren Bereich
der Stütze kommt es zu Zugspannungen
Bereich
Durchstanzen
Bereich Querkraftnachweis
Bild 6: Isolinien der resultierenden Querkraft für
ein Wandende. Es ist deutlich zu erkennen, daß die
Krümmung der Isolinien in dem Bereich am größten
ist, in dem die Querkraft aus dem Feld kommt.
Dabei sind die inneren Isolinien zu beachten.
Bild 7: Lasteinzugsflächen. Die Lasten aus den
grau gekennzeichneten Bereichen sind zum
Durchstanznachweis zu verwenden.
Damit wäre in unserem Fall nur mit 600 kN
am „Wandende“ als Durchstanzlast zu
rechnen. Die Ergebnisse der FEM–Untersuchung
für die Auflagerpressung sind also,
wiewohl in dieser Berechnung als elastizitätstheoretisch
zutreffend anzusehen, unbeachtlich
für den Durchstanznachweis.
4.3. Vorschlag für die praktische Bemessung
Da die Auflagerdrücke einer FEM–Berechnung
bei richtiger Programmanwendung
zwar die zutreffenden Beanspruchungen
der Wand ergeben, aber nicht für einen
Durchstanznachweis im Sinne von DIN
1045-1 geeignet sind, muß die Durchstanzlast
mittels der Auswertung von Lasteinzugsflächen
wie in Bild 7 gezeigt zu bestimmen.
Bei der Konstruktion der Lasteinzugsflächen
können die bekannten
Grundsätze aus DIN 1045 alt Bild 46 verwendet
werden.
Die so ermittelte Last ist mit β = 1,4 zu vervielfachen,
um die Ausmitte in Wandrichtung
zu berücksichtigen; die sich aus feldweise
wechselnden Lastfällen ergebende
Ausmitte in Querrichtung kann mit einem
weiteren Vervielfacher β = 1,05 berücksichtigt
werden. Sind die quer zur Wand
angrenzenden Felder ungleich, so ist damit
β = 1,50 zu wählen.
In den Fällen, in denen die Berechnung
der Durchstanzkraft mit Lasteinzugsflächen
nicht einfach ist, kann die dem
Durchstanzen zugeordnete Kraft auch mit
einem FEM-Ansatz abgeschätzt werden.
Dabei ist die Stützung starr anzunehmen.
Es ergibt sich dabei am ersten Knoten eine
sehr große Druckkraft, die um sämtliche,
dann folgenden Zugkräfte zu vermindern
ist. Bei dieser Berechnung sollte mit Elementen
ohne Schubverformung gearbeitet
werden. Das Ergebnis läßt sich noch
etwas verbessern, wenn das Auflager auf
der Wand auch als Einspannung der Decke
in Wandlängsrichtung (Momente,deren
Bewehrung parallel zur Wand liegt)
eingegeben wird. Bei Verwendung von
Elementen mit Schubverzerrung ist dies erforderlich,
da wegen der im kritischen Bereich
weicher angenommenen Platte die
abhebenden Kräfte weiter in die Stützung
hineinlaufen. Bei dieser Eingabe wird zwar
keine zutreffende Druckbeanspruchung
der Wand ermittelt, wohl aber kann die
zum Durchstanznachweis erforderliche
Kraft aus den Knotenkräften ermittelt werden,
indem die erste Knotenkraft um alle
folgenden Zugkräfte vermindert wird. Bei
dieser Berechnung entfällt auch die Erhö-
Bild 8: Beispielplatte Belastet ist der Plattenrand
mit 50 kN/m Durchstanzlast ist damit 50 kN/m 12
m = 600 kN Wegen Ausmitte 600 kN 1,4 = 840 kN
BDB-NRW-Sonderheft 2003

hung der Durchstanzkraft mit dem Faktor
β = 1,4, da diese Erhöhung bereits in
der Schnittkraftermittlung eingebaut
wurde.
5. Beispiel
Ein einfaches und überschaubares Beispiel
soll das oben Gesagte demonstrieren
(Bild 8). Eine Berechnung mit Finiten-
Elementen mit sehr enger Teilung und unter
Beachtung der Schubverzerrung führt
zu einer Belastung der Betonwand nach
Bild 9. Im Bild 6 ist die resultierende Querkraft
dieses Beispiels dargestellt.Es ist deutlich
erkennbar, daß nur im gekennzeichneten
Teil die Querkräfte in radialer Richtung
zunehmen.Nur in diesem Teil kann es
zum Durchstanzen kommen.
Bild 9: Auflagerkraft einer Betonwand mit Winklerscher
Bettung. Darunter Summe der Kräfte
vom Wandende an. Das Wandende liegt bei 9.35m
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Bild 10: Knotenlasten mit eingespannten Knoten.
Maßgebend werden: 1454 kN – 406 kN – 150 kN
– 38 kN –1 kN = 859 kN
Die Stützkraft dieses Bereiches ist in etwa
840 kN (Bild 9). Damit ergibt sich die gleiche
Durchstanzlast, die sich mit der Berechnung
des Lasteinzugsbereiches unter
Berücksichtigung des Erhöhungsfaktors ergibt.
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Fachartikel 3
Fachartikel 3
Im Bild 10 sind die Knotenkräfte dargestellt,
die sich ergeben, wenn die Knoten
auch im Hinblick auf das Moment x M gehalten
werden. Die Knoten in diesem Falle
wurden starr eingegeben.Auch hier ergibt
sich als Summe der ersten und der folgenden
abhebenden Kräfte eine vergleichbare
Kraft. Ähnlich ergibt sich die
Durchstanzlast wenn auf diese Einspannung
verzichtet wird (Bild 10).Deutlich wird
in beiden Fällen, daß sich die Erhöhung
der Kraft hier erübrigt, da der Einfluß der
Ausmitte bereits durch die Art der Schnittkraftermittlung
eingearbeitet ist.
Bild 11: Knotenkräfte m. starrer Stützung. Maßgebend
wird: 2186 kN – 1192 kN – 51 kN –75 kN = 868 kN
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