Die Umkehrfunktion.pdf - Schulen in Regensburg

Das solltest Du noch wissen
Die Umkehrfunktion
- Eine Funktion ordnet jedem x-Wert aus der Definitionsmenge Df genau einen y-Wert zu .
- Diese Zuordnung erfolgt üblicherweise durch die Funktionsgleichung y = f(x).
- Die zeichnerische Darstellung der Zuordnung heißt Graph der Funktion Gf .
- Die Menge aller, durch die Zuordnung entstehender y-Werte heißt Wertemenge Wf .
Jetzt geht’s los
Dreht man die „normale“ Zuordnung: x a y um, also: y a x so erhält man die Umkehrung der
Funktion f . Dabei gibt es zwei Möglichkeiten:
1.Möglichkeit
Die umgekehrte Zuordnung ist wieder eine
Funktion.
Zur Erinnerung: jedem y-Wert ist genau ein
x-Wert zugeordnet.
Beispiel:
Funktion: 1 a 2 ; 2 a 4 ; 3 a 6
(also y = 2x)
Umkehrung: 2 a 1 ; 4 a 2 ; 6 a 3
Merke: Ist die Umkehrung einer Funktion wieder eine Funktion, so heißt diese Umkehrung
UMKEHRFUNKTION und die ursprüngliche Funktion heißt UMKEHRBAR.
Beispiel (siehe oben): y = 2x ist umkehrbar, y = x 2 dagegen nicht (zumindest in Df = ℜ).
Wie sieht die Umkehrung beim Graphen aus?
Zunächst mal sieht man gar nichts, denn die Umkehrung der Zuordnung wirkt sich nicht auf die
zeichnerische Darstellung aus, da ja die Zuordnungsrichtung normalerweise nicht eingezeichnet
wird. Tut man es doch, dann sieht das zum Beispiel so aus:
y
5
4
3
2
1
-3 -2 -1 O 1 2 3
-1
1→2
y1=2*x
Funktion y=2x
2→4
x
1
2.Möglichkeit
Die umgekehrte Zuordnung ist keine
Funktion mehr.
Es gibt also y-Werte, denen mehr als ein x-
Wert zugeordnet ist.
Beispiel:
Funktion: 2 a 4 ; 3 a 9 ; − 2 a 4
(also y = x 2 )
Umkehrung: 4 a 2 ; 9 a 3 ; 4 a −2
y
5
4
3
2
1
-3 -2 -1 O 1 2 3
-1
2→1
y1=2*x
Umkehrung
4→2
x

Um nun aber die Graphen von Originalfunktion und Umkehrung unterscheidbar in dasselbe
Koordinatensystem zeichnen zu können, vertauscht man bei der Umkehrung die Variablen x und y
um auch hier die „normale“ Zuordnungsrichtung – also erst x, dann y – wieder herzustellen.
Dann sieht das beim obigen Beispiel so aus:
Rezept zum Bestimmen der Funktionsgleichung der Umkehrfunktion:
Anmerkungen: Du kannst auch erst vertauschen und dann
(nach y natürlich) auflösen
FOLGERUNGEN:
Da man x und y bei der Umkehrfunktion vertauscht,
- 2 -
Wenn nun die Funktion umkehrbar ist (also
die Umkehrung selber wieder eine Funktion
ist) dann muss diese Umkehrfunktion im
Allgemeinen auch eine Funktionsgleichung
besitzen.
Wie bekommt man aber diese
Funktionsgleichung?
f -1 spricht man so: f oben minus eins
a) vertauschen sich auch Definitionsmenge und Wertemenge der ursprünglichen Funktion.
D − 1 = W ( neue Definitionsmenge = alte Wertemenge )
Also: f
f
und : W − 1 = Df
( neue Wertemenge = alte Definitionsmenge )
f
y
5
4
3
2
1
-3 -2 -1 O 1 2 3 4
-1
2→4
y1=2*x Funktion y=2x
Umkehrung
y2=0,5*x
4→2
1) Löse die Gleichung der Ausgangsfunktion f nach x
auf (wenn es möglich ist).
2) Vertausche x und y miteinander und du erhältst die
Gleichung der zugehörigen Umkehrfunktion f -1 .
x
1) f : y = 2x
: 2
1 1
y = x schöner: x = y
2
2
2) f :
1
y x
2
1 −
=
b) sind die Graphen von Funktion und Umkehrung achsensymmetrisch zur Winkelhalbierenden
des 1. und 3. Quadranten ( Gleichung: y = x ) .
Zum Schluss noch ein nützliches Merkmal zur Prüfung der Umkehrbarkeit einer Funktion:
Eine Funktion f ist umkehrbar im ganzen Definitionsbereich Df oder in Teilen davon, wenn sie dort
entweder echt (streng) monoton steigend, oder echt (streng) monoton fallend ist.