Funktionale Modellierung - Schulen in Regensburg

Funktionale Modellierung im 

Informatikunterricht der Jahrgangstufe 9 

Markus Steinert 

Institut für Informatik 

Technische Universität München 

markus.schneider@in.tum.de 

http://ddi.in.tum.de

Objektorientiertes Analysieren: 

• Objektmodellierung 

• Klassenmodellierung 

• Beziehungen zwischen Objekten 

• Baumstrukturen 

• Informationsnetze 

Grundzüge der Ablaufmodellierung 

• Sequenzen 

• Entscheidungen 

• Wiederholungen 

• „Verteilte Aufgaben“ 

Was wurde bisher gemacht ? 

arkus Steinert MNU-Tagung 2007, Regensburg 2

Lehrplan: 9. Jahrgangstufe 

Zentrale Inhalte: 

Wie geht es weiter ? 

• Beschreibung Daten verarbeitender Prozesse mithilfe von Funktionen und 

Datenflüssen 

• Zentrale Hilfsmittel: 

- Funktion: Zentraler Begriff im Mathematikunterricht der Jahrgangstufe 8 

- Funktionskomposition: „Zusammenspiel“ mehrerer Funktionen 

- Datenflussdiagramme 

- Elementare Datentypen: Zahlen und Texte 

- Verallgemeinerung des aus der 8. Jahrgangsstufe bekannten Funktonsbegriffs 

- Logische Funktionen 

- Bedingte Funktionen 

• Datenmodellierung: Datenbanken (kein Gegenstand dieses Workshops) 


Karosserielager 

Karosseriemontage 

Endteilelager 

Endmontage 

Fahrgestelllager 

Fahrgestell 

-montage 

Radmontage 

PKW-Montageband 

Just-in-time- 

Anlieferung der 

Räder 


Vereinfachte Datenflussdiagramme: 

Syntaktische Elemente 

Datenspeicher Datenspeicher 

informationsverarbeitender 

Prozess 

Eingabedaten 

Ausgabedaten 

Datenflüsse 


Datenflussdiagramme und 

Funktionen 

Verarbeitungsprozesse in Datenflussdiagrammen können als Funktionen 

interpretiert werden 

Erinnerung: Eine Funktion ist eine Abbildung, die einer Menge A eindeutig einen 

Element einer Menge B zuordnet (Beispiel: Quadrat einer Zahl). 

Basis 

Zahl 

Quadrat 

Mehrstellige Funktionen: Funktionen können mehrere Eingabeparameter haben 

Die Parameter können Zahlen, Worte, oder andere Datentypen sein: 

text1 

text2 

Zeichenkette 

Verbinde 

Zeichenkette 

arkus Steinert MNU-Tagung 2007, Regensburg 6 

Zahl 

Zeichenkette

Realisierung der 

Datenflussdiagramme 

Zur effizienten Umsetzung von Datenflussdiagrammen auf dem Rechner 

benötigen wir Systeme, die uns eine Vielzahl von Funktionen zur 

Verfügung stellen: 

Anforderungen: 

• Standardsoftware; Programmierung nur ausnahmsweise 

• Arithmetische Operationen auf ganzen Zahlen und Fließkommazahlen 

• Statistische Operationen 

• Datentypen des Alltags (Währungen, Datumswerte, Zeiten etc.) 

• Verarbeitung von Texten 

• Möglichkeiten, den Datenfluss an Bedingungen zu knüpfen 

→ Tabellenkalkulationsprogramme 


VisiCalc Screen, early Alpha 1/4/79 

Tabellenkalkulation 

Spezielle Standardsoftware 

für 

mathematisch/kaufmännische 

Berechnungen 

Erfindung von D. Bricklin, B. 

Franston: VisiCalc (Apple II), 

1979 

später: Lotus 1-2-3, Excel, 

StarCalc, etc. 


Aufbau eines Rechenblattes 


Aufbau eines Rechenblattes 

Dokumente einer Tabellenkalkulation heißen Rechenblätter 

Rechenblätter bestehen aus Zellen, die in (endlich) vielen 

Zeilen und Spalten (z.B. Excel XP: 65.536 Zeilen mal 256 

Spalten) 

Zellen enthalten: 

• Daten verschiedener Sorten (Zahl, Währung, Datum, Text, 

..) oder 

• Formeln, die aus vordefinierten Funktionen 

zusammengesetzt werden (Summe, Mittelwert, Wochentag, 

etc.) 


Funktionsterm 

Datenflussdiagramme und 

Rechenblätter 


Übersetzung von 

Datenflussdiagrammen 

In einem ersten Schritt kann die geometrische Struktur des 

Datenflussdiagramms direkt auf die Tabellenkalkulation übertragen 

werden 

Daten und Funktionen werden dabei mit Zellen des Rechenblattes 

identifiziert 

Daten werden direkt eingetragen (Einstellung des Formats!) 

Funktionen werden durch ein „=„-Zeichen eingeleitet; anschließend 

folgt der Funktionsterm (Formateinstellung) 

Die Parameter der Funktionen werden in Zellbezüge übersetzt 


Beispiel: Zinsen für Guthaben 

Anfangsdatum Enddatum Zinssatz 

100 Kapital 

Datum 

Bruchteil 

von Jahren 

Zahl 

Datum 

Zahl 

Multiplikation 

Runden 

(2 Stellen) 

Division 

Zahl 

Währung 

Zahl 

Multiplikation 

Währung 

Währung 


Währung

Beispiel: Zinsen für Guthaben 

(Implementierung) 

Terme werden sofort ausgewertet ! 


Übung: Durchschnittsnote 

Erstellen Sie ein funktionales Modell (Datenflussdiagramm) und 

setzen Sie dieses anschließend mit einem Tabellenkalkulationssystem 

um. 

Zeugnisnote in Mathematik in der 10. Jahrgangsstufe: Die 

Durchschnittsnote ergibt sich aus dem schriftlichen und dem 

mündlichen Durchschnitt im Verhältnis 2:1. Der schriftliche 

Durchschnitt ergibt sich aus 4 Schulaufgaben, der mündliche aus 2 

mündlichen Noten und 2 Stegreifaufgaben zu gleichen Teilen. Die 

Zeugnisnote soll ab n,50 auf die nächst größere natürliche Zahl 

aufgerundet werden. 



a b 

Funktion1 

Funktion2 

Datenflussdiagramm 

r 

c 

Funktionale Strukturen in 

Rechenblättern 

Term 

r := Funktion2(Funktion1(a,b),c) 

Rechenblatt 


Funktionale Strukturen in 

Rechenblättern 

Für komplexe Aufgabenstellungen ist die direkte geometrische 

Übertragung vom Datenflussdiagramm zum Rechenblatt zu aufwendig 

Zusammenfassung von Teilen des Diagramms zu einem Term 

Gesucht: Verfahren zur Komprimierung eines Datenflussdiagramms zu 

einem Term 

Anforderung: Der Term soll zunächst unabhängig von der späteren 

Implementierung sein; es wird somit noch nicht berücksichtigt, wie die 

Funktionen beispielsweise in Excel genannt werden. 

In einem letzten Schritt wird der Term an die jeweilige Implementierung 

angepasst. 


5 

7 

Addition von Brüchen: 

Vorüberlegungen 

Aufgabe: Addiere zwei Brüche 

• b1= z1/n1, 

• b2 = z2/n2 

Vorgehen: 

• Suche den Hauptnenner: HN = kgV(n1,n2) 

• Erweitere b1 mit HN/n1, b2 mit HN/n2 (Erw.Faktor1, 2) 

• Addiere die neuen, erweiterten Zähler zum neuen Zähler z3 

• Ergebnis: z3/HN 

Beispiel: 

+ 

2 

3 

= 

5 

21 

⋅ 

7 

21 

+ 

2 

21 

⋅ 

3 

21 

= 

5 ⋅ 3 

21 

2 ⋅ 7 

21 

+ 14 

21 


+ 

= 

15 

= 

29 

21

Verteiler 

Addieren von Brüchen: Informelles 


Zähler 1 Nenner 1 Nenner 2 Zähler 2 

Hauptnenner 

Erweiterungsfaktor 

Erweiterungsfaktor 

Erweitern Erweitern 

Addieren 


Addieren von Brüchen: Formales 


Zähler 1 Nenner 1 Nenner 2 Zähler 2 

div 

kgV 

mult mult 


add 

div

Addieren von Brüchen: 

Termdarstellung 

Strategie: „Bottom –Up“ 

Unterste Zeile: add( ?, ?) 

Einsetzen der Argumente (d.h. der zweitletzten Zeile): 

add( mult(?,?), mult(?,?)) 

Einsetzen der drittletzten Zeile: 

add( mult(zaehler1,div(?,?)), 

mult(div(?,?),zaehler2)). 

Schließlich: 

add( mult(zaehler1, 

div(kgV(nenner1,nenner2), 

nenner1)), 

mult(div(kgV(nenner1,nenner2), 

nenner2)), 

zaehler2)). 


Addieren von Brüchen: Von der 

Termdarstellung zur 

Implementierung 

Tabellenkalulationsprogramme enthalten im Allgemeinen die 

arithmetischen Standardoperationen in der üblichen Form 

(sogenannte Infix – Schreibweise) 

Ersetzen der Funktionen div, add und mult durch die 

Operatoren „/“, „+“ und „*“ 

Ersetzen von div: 

add( mult(zaehler1, 

(kgV(nenner1,nenner2)/nenner1)), 

mult((kgV(nenner1,nenner2)/nenner2)), 

zaehler2)). 


Ersetzen von mult: 

Addieren von Brüchen: Von der 

Termdarstellung zur 

Implementierung 

add((zaehler1*(kgV(nenner1,nenner2)/nenner1)), 

((kgV(nenner1,nenner2)/nenner2))*zaehler2)) 

Ersetzen von add: 

(zaehler1*(kgV(nenner1,nenner2)/nenner1)) + 

((kgV(nenner1,nenner2)/nenner2)*zaehler2) 

Implementierung: 


Übung: Arbeiten mit Verteilern 

Für die interne Darstellung von Zeitangaben verwenden Rechenblätter Zahlen in 

Dezimaldarstellung. Der ganzzahlige Anteil repräsentiert das Datum, der 

Dezimalanteil die Zeit. Rechenblätter stellen die Funktion „Jetzt()“ zur 

Verfügung, die die momentane Zeit als Dezimalzahl zurückgibt; 

a) Durch Änderung der Formatierung kann die Zeit in gewohnter Form 

„Stunde:Minute:Sekunde“ dargestellt werden. Geben Sie das 

Datenflussdiagramm an, das diese Formatierungsfunktion beschreibt. 

Beachten Sie dabei, dass 1 Stunde durch 1/24, 1 Minute durch 1/ (24·60) 

und 1 Sekunde durch 1/(24·60·60) repräsentiert wird. 

b) Übertragen Sie das Datenflussdiagramm auf ein Rechenblatt und testen 

Sie Ihr „Formatierungsverfahren“. 


: 

Verbinde 


Sub 

Sub 

Sub 

Mult 

Mult 

Jetzt 

Ganzzahl 

24 

Ganzzahl 

60 

Ganzzahl

Wahrheitswerte und Funktionen über 

Wahrheitswerten 

Wahrheitswerte werden auch als Boolesche Werte bezeichnet (Boolesche 

Funktionen) 

Wahrheitswerte sind „Resultate“ von Aussagen: 

„Heute ist Dienstag“ → Aussage entweder wahr oder falsch 

„17 ist der ggT von 34 und 49“ (wahr oder falsch ?) 

Aussagen sind somit Funktionen mit einer beliebigen Anzahl von Argumenten; 

das „Resultat“ einer Aussage ist ein Wahrheitswert (wahr oder falsch, 

true oder false, 0 oder 1, ...) 

date 1 

date n 

typ1 

typn 

Aussage 

Wahrheitswert 

Anwendungsfeld: An den Kontrollfluss eines Programms werden Bedingungen 

gestellt; Operatoren wie „“ „=„ usw 


Funktionen über Wahrheitswerten 

(Einfache Beispiele) 

Lexikographische Ordnung („Telefonbuchordnung“): 

In einem Telefonbuch steht der Name „Radlbacher“ vor dem Namen „Wastlhofer“ 

Sind zwei Namen identisch ? 

Datenflussdiagramme: 

Radlbacher Wastlhofer 

Text Text 

steht vor 

boolean 

„Häberle“ 


Text 

ist identisch 

Text 

boolean 

„Häfele“

Termdarstellung: 

stehtVor(„Radlbacher“, „Wastlhofer“) 

istIdentisch(„Häberle“, „Häfele“) 

Implementierung (Excel): 

Funktionen über Wahrheitswerten 

(Einfache Beispiele) 

Bemerkung: Auch die Vergleichsoperatoren ; = sind polymorph, sie lassen sich auf 

Texte anwenden 

Wahrheitswerte sind in Tabellenkalkulationen Datentypen, wie Zahlen; 


Gesucht: 

Funktionen über Wahrheitswerten: 

Verknüpfungen boolescher 

Funktionen 

Datenflussdiagramm einer Funktion, die ermittelt, ob zwei Namen unterschiedlich sind 

Datenflussdiagramm einer Funktion, die ermittelt, ob im Telefonbuch ein Name „zwischen“ 

zwei weiteren Namen steht 

Datenflussdiagramme 

name 1 name 2 

string 

is equal 

not 

boolean 

boolean 

string 

„Dimpflmoser“ name „Schlotterbeck“ 

string string string 

boolean 

less greater 


and 

boolean 

boolean

Funktionen über Wahrheitswerten: 

Verknüpfungen boolescher 

Funktionen 


not(isEqual(name1, name2)) 

and(isLess(„Dimpflmoser“, name), 

isGreater(„Schlotterbeck“, name)) 



a 

True 

True 

False 

False 

And 

Boolesche Ausdrücke: 

Wahrheitstabellen zentraler 

boolescher Funktionen 

Or Not 

And Or 

Not 

b 

True 

False 

True 

False 

And(a, b) 

True 

False 

False 

False 

a 

True 

True 

False 

False 

False 

False 

False 


b 

True 

True 

Or(a, b) 

True 

True 

True 

a 

True 

False 

Not(a) 

False 

True

Übung: Boolesche Ausdrücke in 

Beispielen (Wirtschaftsverbände) 

Bei der Bildung einer Wirtschaftsgemeinschaft zwischen den 

Softwareherstellern A, B und C müssen folgende Bedingungen beachtet 

werden: 

1. Es ist nicht möglich, Firma A, nicht jedoch B zu beteiligen 

2. A kann beteiligt werden, aber nicht C, oder C kann beteiligt werden, aber nicht A (d.h. 

entweder A, oder C) 

3. C kann beteiligt werden, aber nicht B, oder B kann beteiligt werden, aber nicht C (d.h. 

entweder C, oder B) 

Gibt es unter diesen Bedingungen eine Möglichkeit zur Bildung der 

Wirtschaftsgemeinschaft ? 


A B 

And 

Not 

Not 

Boolesche Ausdrücke in Beispielen: 

Wirtschaftsverbände (1. Bedingung) 

1. Bedingung: 

Termstruktur: 

Not(And(A, Not(B))) 


Nicht(Und(A; Nicht(B))) 


A 


Termstruktur: 



Or(And(A, Not(C)),And(C, Not(A))) 


Oder(Und(A; Nicht(C) ); Und(C, Nicht(A))) 


And 

C 

Not 

Or 

And 

Not


Termstruktur: 

Or(And(C, Not(B)),And(B, Not(C))) 




Oder(Und(C; Nicht(B)); Und(B, Nicht(C))) 


And 

B 

Not 

Or 

And 

Not 

C

Gesamte Bedingung: 

Termstruktur: 

And(Not(And(A, Not(B))), Or(And(A, Not(C)),And(C, Not(A))), 

Or(And(C, Not(B)),And(B, Not(C))))) 



Wirtschaftsverbände 

A B 

1. Bedingung 2. Bedingung 3. Bedingung 

Und(Nicht(Und(A; Nicht(B))); Oder(Und(A; Nicht(C));Und(C; Nicht(A))); 

Oder(Und(C; Nicht(B));Und(B; Nicht(C)))) 


And 

C

Ergebnis: 


Wirtschaftsverbände 


Bedingter Ausdruck 

Die Semantik bedingter Ausdrücke ist von Konditionalsätzen vertraut: 

„Wenn es schneit, fahre ich mit dem Bus sonst ich bleibe zu Hause“ 

Struktur: 

Bedingung: diese Bedingung ist entweder wahr oder falsch (hier: es schneit) 

Zwei Alternativen (Funktionen desselben Typs) 

Datenflussdiagramm: 

Bedingter Ausdruck 

Typ 

Funktion mit drei Argumenten 

Wahrheitswert 

Typ 

Wenn 


Typ

Bedingter Ausdrücke in Beispielen 

Julianischer Kalender: Wenn die Jahreszahl durch vier teilbar ist, ist das Jahr 

ein Schaltjahr: 

Jahreszahl 

Durch 4 teilbar 

Wenn 

„Schaltjahr“ „Kein Schaltjahr“ 


Bedingte Ausdrücke in Beispielen 

Julianischer Kalender: Wenn die Jahreszahl durch vier teilbar ist, ist das Jahr 

ein Schaltjahr: 

Jahreszahl „Schaltjahr“ „Kein Schaltjahr“ 

istTeilbar 

4 

Wenn 

istTeilbar 

Rest 

equal 


0

Bedingte Ausdrücke in Beispielen 

Termstruktur der Funktion „durch 4 teilbar“: 

• Equal(Rest(Jahreszahl, 4), 0) 

Termstruktur des bedingten Ausdrucks: 

• Wenn(durch4teilbar(Jahreszahl), „Schaltjahr“, „kein Schaltjahr“) 

• Wenn(Equal(Rest(Jahreszahl, 4), 0)), „Schaltjahr“, „kein Schaltjahr“) 


Wenn((Rest(Jahreszahl; 4)= 0); “Schaltjahr“; “kein Schaltjahr“) 

Bemerkung: In Excel können über “Einfügen -> Name -> Definieren ...“ einzelne 

Zellbereiche mit Namen versehen werden! 


Gregorianischer 

Kalender: 

• Ein Jahr ist ein 

Schaltjahr, wenn die 

Jahreszahl durch 4 

teilbar ist. Von 

dieser Regel sind 

alle Jahreszahlen 

ausgenommen, die 

durch 100 teilbar 

sind; diese sind nur 

Schaltjahre, wenn 

sie auch durch 400 

teilbar sind. 

Schachtelung bedingter Ausdrücke 

Jahreszahl 

Jahreszahl 

4 

Ist Teilbar 

Wenn 

Ist Teilbar 


100 

Wenn 

Ist Teilbar 

Wenn 

400 

Schaltjahr 

Schaltjahr 

Kein 

Kein 

Schaltjahr Schaltjahr



äußerste Bedingung: 

Wenn(Equal(Rest(Jahr, 4), 0), ?,“kein Schaltjahr“) 

zweite Bedingung: 

Wenn(Equal(Rest(Jahr, 4), 0), 

Wenn(Equal(Rest(Jahr, 100), 0), ?,“Schaltjahr“), 

“kein Schaltjahr“) 

dritte Bedingung: 



Wenn(Equal(Rest(Jahr, 400), 0), “Schaltjahr“, “kein Schaltjahr“, ), 

“Schaltjahr“), 





Wenn((Rest(Jahreszahl; 4)= 0); 

Wenn((Rest(Jahreszahl; 100)= 0); 

Wenn((Rest(Jahreszahl; 400)= 0);“Schaltjahr“;“kein Schaltjahr“); 

“Schaltjahr“); 



Gegeben seien drei Worte; 

welches dieser Worte ist 

gemäß der lexikographischen 

Ordnung das Größte? 

Übung: Bedingter Ausdruck: 

„Maximum“ dreier Worte 

größer 

Wahrheitswert 


Text 

Text 1 

Text 

Wenn 

Text 2 

Text 

größer 

Wenn 

Text 3 

Text 

Text

Bedingter Ausdruck: „Maximum“ 

dreier Worte 

Termdarstellung (schrittweise „Bottom Up“) 

Wenn(größer(?,text3),?, text3). 

Wenn(größer(Wenn(greater(text1,text2),text1,text2), 

text3), 

Wenn(größer(text1,text2),text1,text2), 

text3). 


Wenn((Wenn(text1>text2); text1; text2)>text3; 

(Wenn(text1>text2); text1; text2); 

text3) 


Iteration in Rechenblättern 

Iterationen sind Berechnungsvorgänge, die sich in gleichartige 

Teilberechnungen aufspalten lassen, die sukzessive durchgeführt werden 

Beispiele: 

• Zinseszinsen über mehrere Jahre 

• Verschlüsselung oder Entschlüsselung von Daten 

• Umwandlung von Dualzahlen in Dezimalzahlen 

Die einzelnen Teilberechnungen unterscheiden sich nur in den 

Eingangsparametern 

Iterationen werden 

• durch sukzessive Anwendung einer Formel in verschiedenen Zellen 

(Wiederholungszahl wird durch den Benutzer festgelegt) oder 

• durch Makroprogrammierung (und damit Verwendung von Schleifen) 

realisiert. 


Kapital Zinssatz 

Gewinn in 2000 

add 

div 

mult 

100 

Iterationen: Zinseszinsen 

u Beginn des Jahres 2000 werde ein Kapital von 10000 DM zu einem Zinssatz 

von 3,75 % angelegt. Wie groß ist das Kapital am Ende des Jahres 2005 ? 

Kapital Zinssatz 





Iterationen: Strategie der 

Datenflussmodellierung 

Identifizieren des iterativen (strukturell stets wiederkehrenden) Teils der 

Berechnung 

Grobmodell: Erstellung eines Datenflussdiagramms zur Modellierung der 

iterativen Struktur (rechtes Diagramm der vorhergehenden Folie) 

Detailmodell: Verfeinerung des Modells durch Modellierung eines iterativen 

Schrittes (linkes Diagramm der vorhergehenden Folie) 

Zusammenfassen des Detailmodells zu einem einzigen Term. 

• Obiges Beispiel: add(Kapital, mult(div(Zinssatz,100), Kapital)) 

= Kapital + Kapital * Zinssatz/100 

= Kapital*(1+ Zinssatz/100) 

Projektion des Grobmodells auf eine Rechenblatt 


Beispiel 1: Zins und Zinseszins 

Trick beim Kopieren von Formeln: Automatische Anpassung 

der Zellbezüge kann durch Voranstellung eines $-Zeichens 

unterdrückt werden 


Der zeitliche Verlauf des Volkseinkommen ist 

nach Samuelson durch die Gleichung 

Yi = a ⋅Yi 

−1 

− b⋅Y 

i−2 

Übung: Volkswirtschaftliches 

Wachstum (nach Samuelson) 

+ c, 

wobei a, b, c reelle Zahlen sind, 

beschrieben. 

Die Berechnung eines Wertes Y(ti ) erfordert 

also die Kenntnis der vorhergehenden 

Werte Y(ti-1) und Y(ti-2) a b c 


Y 0 

Y 1 

Y 2 

Y 3 

Y 4

Literatur 

Ab Mai 2007: Informatik II: Tabellenkalkulation und Datenbanken; 

Hubwieser, Spohrer, Steinert, Voss, Klett Verlag 



Beispiel 2: Volkswirtschaftliches 

Wachstum (Samuelson)

Funktionale Modellierung - Schulen in Regensburg

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