Text & Bilder - Physik - Universität Regensburg

Übergang zu turbulenter Strömung
um eine oszillierende Mikrokugel
in suprafluidem Helium-4
und
Viskosität von dünnen 3 He- 4 He-Mischungen
bei sehr tiefen Temperaturen
DISSERTATION
zur Erlangung des Doktorgrades
der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)
der
Naturwissenschaftlichen Fakultät II - Physik
der Universität Regensburg
vorgelegt von
Michael Niemetz
aus Waldmünchen
Dezember 2000

Diese Arbeit wurde angeleitet von Prof. Dr. W. Schoepe
Promotionsgesuch eingereicht am 13. Dezember 2000.
Promotionskolloquium fand am 31. Januar 2001 statt.
Prüfungsausschuß: Prof. Dr. J. Keller (Vorsitzender)
Prof. Dr. W. Schoepe (Erstgutachter)
Prof. Dr. J. Zweck (Zweitgutachter)
Prof. Dr. M. Maier (Prüfer)

Überblick
In dieser Arbeit wird der Übergang von laminarer zu
turbulenter Strömung in suprafluidem Helium ( 4 He) bei
Temperaturen unter 500 mK experimentell untersucht.
Hierfür wird eine magnetische Mikrokugel, die zwischen
zwei in der Supraflüssigkeit horizontal angeordneten supraleitenden
Elektroden in einer Gleichgewichtslage levitiert,
berührungslos zu vertikalen Oszillationen angeregt.
Die Bedämpfung dieser Oszillationen durch die
Supraflüssigkeit wird gemessen und ermöglicht Rückschlüsse
auf die Strömungsform.
Es ergibt sich zwischen den Bereichen stabiler laminarer
bzw. turbulenter Strömung ein Übergangsbereich, in dem
das System intermittentes Schalten zwischen beiden Strömungsformen
zeigt. Dieser Bereich wird mit Methoden
der Zuverlässigkeitstheorie statistisch untersucht.
Im Regime laminarer Strömung eignet sich der experimentelle
Aufbau als empfindliches Viskosimeter. Der
zweite Teil der Arbeit beschreibt die Ergebnisse von Viskositätsmessungen
an dünnen 3 He- 4 He-Mischungen (bis
zu 2 % 3 He-Anteil).

Inhaltsverzeichnis
Einleitung 13
1 Grundlagen 19
1.1 Klassische Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.1 Laminare Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.2 Turbulente Strömung . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.3 Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2 Suprafluides 4 He . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.1 4 He im Millikelvin-Bereich . . . . . . . . . . . . 27
1.2.2 Flußwirbel und Turbulenz . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.3 Übergang zwischen laminarer und turbulenter
Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3 Die gedämpft oszillierende Mikrokugel . . . . . . . . . 33
1.3.1 Nichtlineare Oszillationen . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.2 Energiebilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.3 Laminare Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3.4 Turbulente Strömung . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4 3 He- 4 He-Mischungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4.1 Ballistisches Regime . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.4.2 Hydrodynamisches Regime . . . . . . . . . . . . 38
1.4.3 Viskosität und freie Weglänge . . . . . . . . . . . 38
1.5 Begriffe aus der Zuverlässigkeitstheorie . . . . . . . . . 39
1.5.1 Zuverlässigkeitsfunktion . . . . . . . . . . . . . 39

10 Inhaltsverzeichnis
1.5.2 Ausfallrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.5.3 Verteilungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.5.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 Experimenteller Aufbau 47
2.1 Meßmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.1 Präparation des Experiments . . . . . . . . . . . 49
2.1.2 Meßvorgang, Meßgrößen und Parameter . . . . 53
2.1.3 Ladungsbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.1.4 Herstellung von 3 He- 4 He-Mischungen . . . . . 57
2.2 Aufbau der Meßzelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.2.1 Die Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2.2 Meßzelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.2.3 Einbau der Meßzelle . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.2.4 Die radioaktive Quelle . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3 Elektrische Beschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.3.1 Spannungsquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.3.2 Elektrometerverstärker . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3.3 Kompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.3.4 Phasenregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.3.5 Meßdatenerfassung . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.3.6 Thermometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3 Meßergebnisse und Interpretation 79
3.1 Laminarer Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2 Turbulenter Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3 Bereich des intermittenten Schaltens . . . . . . . . . . . 87
3.3.1 Analyse der Phasen turbulenter Strömung . . . 92
3.3.2 Analyse der Phasen laminarer Strömung . . . . 96
3.3.3 Einfluß radioaktiver Strahlung . . . . . . . . . . 105
3.3.4 Übergang zur Hysterese . . . . . . . . . . . . . . 109
3.4 3 He- 4 He-Mischungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.4.1 Einfluß der 3 He- 4 He-Konzentration auf den
Übergang zur Turbulenz . . . . . . . . . . . . . . 113
3.4.2 Viskositätsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Inhaltsverzeichnis 11
Zusammenfassung und Ausblick 127
Anhang 133
A Konstanten und Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . 133
A.1 Verschiedene Bezeichnungen . . . . . . . . . . . 133
A.2 Helium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Literaturverzeichnis 135
Abbildungsverzeichnis 141

12 Inhaltsverzeichnis

Einleitung
Die turbulente Strömung von Gasen und
Flüssigkeiten ist für das alltägliche Leben
von großer Bedeutung. Besonders bekannt
sind die atmosphärischen Turbulenzen, welche
den Luftverkehr beeinträchtigen oder sogar
gefährden und als eindrucksvolle Wolkenwirbel
in Tiefdruckgebieten oder verhee- Abbildung 1:
renden Wirbelstürmen auftreten. Da die Wol- kleiner Wirbelsturm
ken gewissermaßen als natürlicher ‚Markierstoff‘ dienen, bieten die
Vorgänge in der Atmosphäre günstige Gelegenheiten zur Beobachtung
der komplexen und vielfältigen Strömungsverhältnisse, die bei
turbulenten Strömungen auftreten können (s. auch Abbildungen in
diesem Abschnitt).
Auch in kleineren Dimensionen zieht das
Auftreten von Turbulenz Konsequenzen nach
sich. So ist sie beispielsweise von zentraler Bedeutung
für den Reibungswiderstand von bewegten
Land- und Seefahrzeugen. Ein genaues
Verständnis der Bedingungen, unter denen
Abb. 2: Sturmtief Turbulenz entsteht, bildet daher eine Grundlage
für die Reduzierung des Energiebedarfs
von Transportmitteln aller Art. Auch in der Verfahrenstechnik, Medizin,
Biologie und der Meteorologie spielt die Turbulenz eine wichtige
Rolle.

14 Einleitung
Ungeachtet dieser großen Bedeutung
— und der entsprechend intensiven
Forschungsbemühungen — hat sich
das Phänomen der Turbulenz einem
vollständigen Verständnis bisher entzogen,
auch wenn für spezielle Systeme
in bestimmten Parameterbereichen
umfassende empirische Erfahrungen
vorliegen. Einige wenige dieser
Erkenntnisse werden kurz in Kapitel
1 erwähnt. Dabei wird auch der
Übergang von laminarer zu turbulenter
Strömung in klassischen viskosen
Flüssigkeiten beschrieben, bei dem
sich einzelne Wirbel von der Oberfläche
eines umströmten Objekts ablösen.
Dies ist auch in nebenstehender Satellitenaufnahme
der Kapverdischen Inseln
zu beobachten: auf der windabgewandten
Seite der Inseln (untere Bildhälfte)
sind sehr schön die Verwirbelungen
in der Wolkendecke zu erkennen.
Abbildung 3: Wirbelstraße
im Lee der Kapverdischen
Inseln
Alle zur Verfügung stehenden klassischen
Medien weisen eine endliche
Viskosität auf, so daß sich der überwiegende
Teil der bisherigen Experimente
und theoretischen Erkenntnisse auf
viskose Strömungen beschränkt. Aller-
Abb. 4: Hufeisenwirbel dings können diese Untersuchungen
nicht ohne weiteres auf Flüssigkeiten mit verschwindender Viskosität
angewendet werden: Numerische Simulationen zeigen in diesem
Fall divergierende Strömungsgeschwindigkeiten, und die üblicherweise
zur Charakterisierung der Strömung verwendete Reynoldszahl
verliert ihre Bedeutung, wodurch die existierenden Theorien
zur Turbulenzentstehung nicht mehr anwendbar sind. Zur Untersu-

Einleitung 15
chung dieser neuen Physik bietet es sich an, Experimente mit flüssigem
Helium ( 4 He) durchzuführen, das unter eine Temperatur von
2,18 K, den sogenannten Lambdapunkt, abgekühlt wird. In diesem
Temperaturbereich verschwindet die Zähigkeit der Flüssigkeit, man
spricht daher auch von einer Supraflüssigkeit. Zusätzlich zur verschwindenden
Viskosität ist Rotation in der Supraflüssigkeit nur dergestalt
möglich, daß sich Wirbelschläuche ausbilden, welche eine
quantisierte Zirkulation tragen. Diese Wirbelschläuche können nur
an freien Oberflächen (Gefäßwände oder Flüssigkeitsoberflächen)
enden oder in sich geschlossen (Wirbelringe) sein. Dieses interessante
System ist bereits seit Entdeckung der Suprafluidität Gegenstand
zahlreicher Untersuchungen. Neben den bereits aus den Experimenten
mit klassischen Flüssigkeiten bekannten experimentellen
Methoden existieren neue elegante Ansätze. Dabei erreichen diejenigen
Methoden, welche die Bedämpfung der Oszillationen eines
in Resonanz angetriebenen Probenkörpers untersuchen, eine überdurchschnittliche
Auflösung. Ein Vertreter dieser Gruppe von Experimenten
ist beispielsweise die ‚vibrating wire‘ Methode. Hier wird
eine supraleitende Drahtschlaufe in Schwingungen versetzt, wobei
aber die komplizierte Geometrie eine quantitative Auswertung der
Ergebnisse sehr erschwert.
Abb. 5: Hohlwirbel in Wasser
(Seitenansicht)
In dieser Arbeit wird daher ein anderer
Weg beschritten. Eine magnetische
Kugel (R = 124 µm) befindet sich
zwischen zwei horizontalen Elektroden
aus supraleitendem Niob (Durchmesser
2 mm, Abstand 1 mm). Durch
den Meißner-Ochsenfeld-Effekt wird
die Kugel von den Elektroden abgestoßen
und levitiert ohne mechanische
Aufhängung in einer Gleichgewichtslage
zwischen den beiden Elektroden.
Die erforderliche horizontale Stabilität ist dabei durch in den Elektroden
(Typ II Supraleiter) eingefrorene magnetische Flußlinien gegeben.
Auf die Kugel wird eine elektrostatische Ladung aufgebracht,

16 Einleitung
so daß sie über ein resonantes elektrisches Wechselfeld berührungslos
in vertikale Oszillationen versetzt werden kann. Dabei strömt die
umgebende Supraflüssigkeit um die Kugel und verursacht eine Bedämpfung
der Oszillationen, die ermittelt wird und Rückschlüsse
auf das Strömungsverhalten der Flüssigkeit zuläßt. Durch die mit der
berührungslosen Aufhängung des Probenkörpers verbundene geringe
Untergrunddämpfung und die resonante Anregung der Oszillationen
erreicht man eine sehr hohe Auflösung.
Abb. 6: Wasserwirbel, von
oben gesehen
In der Vergangenheit wurde mit diesem
Experiment die Hydrodynamik
in suprafluidem 4 He im Temperaturbereich
von 20 mK bis zum Lambdapunkt
(2,18 K) untersucht, wobei sowohl
laminare Strömungen als auch
stabile Turbulenz betrachtet wurden
[24]. Die vorliegende Arbeit dehnt
diese Untersuchungen auf den Übergangsbereich
zwischen laminarer und
turbulenter Strömung aus, der vorher
nur bei Temperaturen oberhalb von
700 mK untersucht werden konnte, wobei ein hysteretischer Übergang
festgestellt wurde. Bei den in dieser Arbeit verwendeten tieferen
Temperaturen < 500 mK ergibt sich dagegen ein deutlich komplexeres
Bild, wie im ersten Teil von Kapitel 3 dargelegt wird. Das
System zeigt intermittentes Schalten zwischen laminarer und turbulenter
Strömung, d.h. es liegt abwechselnd eine der beiden Strömungsformen
vor, wobei die Schaltabstände unregelmäßig sind und
keine Übergangsformen auftreten. Die Abhängigkeit der Schaltvorgänge
von Systemparametern wie Temperatur und Amplitude der
Antriebskraft wird durch eine statistische Analyse der Lebensdauern
von laminaren und turbulenten Phasen untersucht. Hierbei kommen
Methoden der Zuverlässigkeitstheorie zum Einsatz.
Im zweiten Teil von Kapitel 3 wird der Einfluß von 3 He-Verunreinigungen
auf die Hydrodynamik der Supraflüssigkeit untersucht.
Neben den Auswirkungen auf den Übergang zur Turbulenz steht

Einleitung 17
die Beschreibung der erhöhten laminaren Reibung durch Streuung
der oszillierenden Kugel an den 3 He-Atome im Vordergrund. Dabei
kommen 3 He- 4 He-Mischungen in einem Konzentrationsbereich von
< 1 ppb bis zu 2 % zum Einsatz. Eine Bestimmung der Viskosität dieser
dünnen 3 He- 4 He-Mischungen bildet den Abschluß von Kapitel 3.

18 Einleitung

Kapitel 1
Grundlagen
Turbulenz ist das wichtigste
ungelöste Problem der
klassischen Physik.
Richard Feynman
Dieses Kapitel soll vorwiegend zur Einführung und Erläuterung der
im späteren Verlauf der Arbeit verwendeten Begriffe und Zusammenhänge
dienen. Detaillierte Darstellungen der komplexen Materie
finden sich beispielsweise zur klassischen Turbulenz in [11], zur
allgemeinen Flüssigkeitsdynamik in [37] und zu supraflüssigem Helium
in [52, 56, 9].
1.1 Klassische Flüssigkeiten
Die Hydrodynamik einer inkompressiblen klassischen Flüssigkeit
(d.h. einer Flüssigkeit mit endlicher Zähigkeit) wird durch die sogenannte
Navier-Stokes-Gleichung
∂v
+ (v∇)v
∂t
hydrodynamische
Trägheit
Nichtlinearität
= − 1
ρ gradp
antreibender
Druckgradient
+ η
ρ v
Viskosität
(1.1)
beschrieben (v: Geschwindigkeit, p Druck, ρ Dichte, η Viskosität).
Die enthaltene hydrodynamische Nichtlinearität bedingt, daß diese
19

20 Kapitel 1. Grundlagen
Gleichung sehr schwierig zu lösen ist, was sich in den vielfältigen
und komplexen Strömungsformen widerspiegelt, die sich in einer
Flüssigkeit ausbilden können. Die übrigen Terme treten in ähnlicher
Form auch in anderen Bewegungsgleichungen auf, wobei der Viskositätsterm,
gekennzeichnet durch die Zähigkeit η, einem linearen
Dämpfungsterm entspricht.
1.1.1 Laminare Strömung
Bewegt sich ein Hindernis durch eine klassische inkompressible
Flüssigkeit, so bildet sich aufgrund der Zähigkeit (oder Viskosität) η
ein Geschwindigkeitsgradient aus. An der Oberfläche des Hindernisses
hat die Flüssigkeit die Geschwindigkeit des Hindernisses, in sehr
großer Entfernung ruht sie. Dazwischen befindet sich ein Übergangsbereich.
Das Hindernis zieht also eine Flüssigkeitshaut mit sich, deren
‚Dicke‘ umso größer ist, je größer die Viskosität der Flüssigkeit
ist. Im Falle einer oszillierenden Bewegung mit Frequenz ω läßt sich
die viskose Eindringtiefe
δ =
2η
ρω
(1.2)
angeben, die ein Maß dafür darstellt, auf welcher Längenskala die
Störung des Strömungsbildes durch die oberflächennahe Schicht abklingt.
Diese Größe geht auch in die bekannte Stokes’sche Formel zur
Berechnung der Reibungskraft Fd
Fd = −λhydv mit λhyd = 6πηR
1 + R
δ(η)
(1.3)
auf eine mit der Geschwindigkeitsamplitude v in der Flüssigkeit oszillierende
Kugel mit Radius R ein [37].
1.1.2 Turbulente Strömung
Bei ausreichend hoher Strömungsgeschwindigkeit um einen Probenkörper
tritt sogenannte voll entwickelte Turbulenz auf. Dieser Zu-

1.1 Klassische Flüssigkeiten 21
stand zeichnet sich durch eine stark erhöhte Dissipation aus, für die
in der Literatur (z.B. [37]) folgendes Szenario angegeben wird: bereits
bei kleineren Strömungsgeschwindigkeiten (bzw. Reynoldszahlen,
vgl. (1.6), Abschnitt 1.1.3) bilden sich räumliche Strukturen relativ
großer Abmessung (Wirbel) in der Flüssigkeit. Diese nehmen zunächst
die gesamte später dissipierte Energie auf. Mit zunehmender
Strömungsgeschwindigkeit (bzw. Reynoldszahl) treten immer kleinere
Wirbelstrukturen mit zunehmend höheren lokalen Geschwindigkeitsdifferenzen
auf, in welchen die Energie schließlich durch viskose
Reibung innerhalb der Flüssigkeit dissipiert wird. Somit wird
im Zustand der voll entwickelten Turbulenz stets kinetische Energie
aus der Strömung von den größten vorhandenen Strukturen aufgenommen,
weitgehend dissipationsfrei stufenweise an die kleineren
Strukturen weitergegeben und schließlich dort in Wärme umgewandelt.
Zwei empirisch gefundene Gesetze scheinen universell gültige
Kriterien für das Auftreten klassischer voll entwickelter Turbulenz
darzustellen [11]:
Das Zweidrittel-Gesetz
Betrachtet man zwei Punkte in der Flüssigkeit, die den Abstand
l von einander besitzen und bildet die zeitlich gemittelte Geschwindigkeitsdifferenz
zwischen diesen beiden Punkten, so ergibt
sich
( v(l)) 2 ∼ ∝ l 2/3 ,
also eine ungefähre Proportionalität.
Dieses Ergebnis wurde unter anderem in Windkanalexperimenten
gefunden und läßt sich auch über eine Dimensionsbetrachtung plausibel
machen. Nachdem die Energie zunächst von den großen Wirbeln
aufgenommen wird, kann die Energiedissipation pro Zeit- und
Masseneinheit ε nur von den Größen abhängen, die diese Strukturen
beschreiben, also offenbar von der Länge l, der Geschwindigkeitsdif-

22 Kapitel 1. Grundlagen
ferenz v(l) sowie der Dichte der Flüssigkeit. Es gibt nur eine Möglichkeit,
aus diesen Größen eine Größe mit der Einheit
[ε] = J
kg · s
zu bilden, und zwar
( v(l))3
ε ∝ .
l
Damit ergibt sich aber dann sofort der Zusammenhang
( v(l)) 2 ∝ (εl) 2/3
bzw. v(l) ∝ (εl) 1/3
der auch das Gesetz von Kolmogorov und Obuchow genannt wird.
Das Gesetz der endlichen Dissipation
Werden alle experimentellen Parameter konstant gehalten und
die Viskosität soweit möglich reduziert, so verhält sich die Energiedissipation
pro Zeit- und Masseneinheit ε dabei so, also ob
der Grenzwert für verschwindende Viskosität positiv und von
endlicher Größe wäre.
Dieses Gesetz bedeutet letztlich, daß auch bei verschwindender Viskosität
Turbulenz möglich ist und diese auch Dissipation verursacht.
Eine Aussage, die in Kapitel 3 durch Untersuchungen an der Supraflüssigkeit
ihre Bestätigung findet.
Für einen Körper, der bei seiner Bewegung durch die Flüssigkeit
Turbulenz erzeugt, ergibt sich eine Reibungskraft von (vgl. [11])
Fd = γv 2
mit γ = 1
2 cwρσ . (1.4)
Für eine Kugel lautet der Streuquerschnitt σ = R 2 π. Der sogenannte
cw-Wert hängt dabei von der Form des Körpers sowie der sogenannten
Reynoldszahl Re (∝ v vgl. (1.6)), und damit der Strömungsgeschwindigkeit
ab. Abbildung 1.1 zeigt cw-Werte für eine Kugel
bei unterschiedlichen Reynoldszahlen (aus [5]). Für kleine Strömungsgeschwindigkeiten
findet man eine Abnahme proportional zu
,

1.1 Klassische Flüssigkeiten 23
Abbildung 1.1: cw-Werte für eine Kugel bei unterschiedlichen
Reynoldszahlen. Für kleine Reynoldszahlen ergibt sich annähernd
eine Abhängigkeit ∝ 1/Re, im Bereich der voll entwickelten Turbulenz
ein ungefähr konstanter Wert. (aus [5])
1/Re. Dies liegt daran, daß Gleichung (1.4) für kleine Strömungsgeschwindigkeiten
nicht gilt — zumindest nicht in dem Sinn, daß
cw eine Konstante der Strömungsgeschwindigkeit ist. Vielmehr liegt
hier überwiegend laminare Strömung mit Fd ∝ v also Fd ∝ Re (vgl.
(1.3)) vor. Damit (1.4) ein solches Verhalten beschreibt, muß der cw-
Wert notwendigerweise umgekehrt proportional zu v und damit der
Reynoldszahl sein. Ab etwa Re 2000 ergibt sich ein annähernd konstanter
cw-Wert von etwa
cw ≈ 0,4 . (1.5)
In diesem Bereich findet man voll entwickelte Turbulenz. Die Aussage,
daß der cw-Wert hier nicht mehr von der Reynoldszahl abhängt,

24 Kapitel 1. Grundlagen
ist äquivalent dazu, daß er nicht von der Viskosität abhängt. Somit
stellt diese Tatsache eine andere Formulierung für das Gesetz der
endlichen Dissipation dar.

1.1 Klassische Flüssigkeiten 25
1.1.3 Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung
Abbildung 1.2:
Laminarer
Schlauch bei
Anströmen einer
Kugel mit Wasser.
(aus [41])
Wie in Abschnitt 1.1.1 beschrieben, bildet sich im
Bereich laminarer Strömung eine an der Oberfläche
eines durch die Flüssigkeit bewegten Hindernisses
haftende dünne Flüssigkeitshaut. Bei
kontinuierlicher Anströmung löst sich die in Abschnitt
1.1.1 beschriebene oberflächennahe Flüssigkeitshaut
leeseitig vom umströmten Körper
ab. Abbildung 1.2 zeigt diesen sogenannten laminaren
Schlauch im Experiment (aus [41]). Hier
wurde ein kugelförmiges Objekt in einem Wassertrog
befestigt und in diesem eine Strömung
erzeugt. Um den Strömungsverlauf um die Kugel
sichtbar zu machen, tritt aus der Kugel Farbstoff
aus. Dabei ist sehr schön zu erkennen, wie
sich die oberflächennahe Schicht hinter der Kugel
zu einem Strömungsfaden vereinigt und dabei
das Strömungsbild nahezu perfekt symmetrisch
bleibt. Wird nun die Anströmgeschwindigkeit erhöht,
so zeigen sich zunehmende Störungen der
Symmetrie bis es schließlich zur Wirbelbildung
hinter der Kugel kommt. Als Maß für die Ähnlichkeit
zweier Strömungen und damit insbesondere
für den Grad der Turbulenz dient dabei die
sogenannte Reynoldszahl
Re = ρvR
η
R : typische Längenskala . (1.6)
Abbildung 1.3 zeigt eine Aufnahme aus [39], in der eine Kette solcher
relativ regelmäßig abgelöster Wirbel zu sehen ist. Die Strömung
wurde in diesem Fall durch einen fluoreszierenden und mittels eines
Lasers beleuchteten Farbstoff sichtbar gemacht. Trotz der relativ
geringen Reynoldszahl (Re = 320), bei der diese Aufnahme gewonnen
wurde, ergibt sich bereits eine beträchtliche Komplexität

26 Kapitel 1. Grundlagen
Abbildung 1.3: Kette von Wirbeln, die sich von einer mit Wasser angeströmten
Kugel ablösen. Sehr gut zu erkennen ist die trotz kleiner
Reynoldszahl (Re = 320) bereits sehr komplexe Struktur der Verwirbelungen.
(entnommen aus [39])
im Strömungsmuster. In [47] findet sich eine nähere Untersuchung
dieser Wirbelablösung, wobei insbesondere die Ablösungsfrequenz
der Wirbel untersucht wird. Das Strömungsmuster gewinnt mit zunehmender
Anströmgeschwindigkeit bzw. Reynoldszahl weiter an
Komplexität, bis schließlich voll entwickelte Turbulenz vorliegt. Ein
theoretisches Modell, das die Entstehung von Turbulenz auf die Verstärkung
von Störungen durch die hydrodynamische Nichtlinearität
zurückführt, wird in [20] angegeben. In diesem Modell spielt die
Viskosität eine wichtige Rolle. Es ist daher nicht ohne weiteres auf
den Fall der Supraflüssigkeit anwendbar, da hier die Viskosität verschwindet.
1.2 Suprafluides 4 He
Wird flüssiges Helium ( 4 He) auf Temperaturen unterhalb des sogenannten
Lambdapunktes Tλ = 2,18 K gekühlt, so durchläuft es einen
Phasenübergang. Nach diesem Phasenübergang weist die Flüssigkeit
außerordentliche Eigenschaften auf und wird infolgedessen als suprafluides
Helium oder auch He-II bezeichnet. Zu den neuen Eigenschaften
von He-II gehört eine sehr hohe Wärmeleitfähigkeit oder
auch eine in Experimenten mit Strömungen durch Röhren festgestell-

1.2 Suprafluides 4 He 27
te verschwindende Viskosität. Dagegen ergeben Viskositätsbestimmungen
mit anderen experimentellen Methoden, wie z.B. Torsionsoszillatoren,
eine durchaus endliche Viskosität. Diese unterschiedlichen
experimentellen Ergebnisse führten schließlich zum sogenannten
Zwei-Flüssigkeits-Modell, das die Supraflüssigkeit als aus zwei
Phasen, der normalfluiden Komponente und der suprafluiden Komponente,
zusammengesetzt beschreibt. Die suprafluide Komponente
verhält sich wie eine ideale Flüssigkeit, besitzt also keine Viskosität
(η = 0), dringt damit durch kleinste Öffnungen (sogenannte Superlecks),
kann noch in dünnsten Filmen fließen und wechselwirkt auch
nicht mit der normalfluiden Komponente (vs = vn). Diese wiederum
fließt mit einer endlichen Viskosität, haftet an Oberflächen und verhält
sich wie eine klassische Flüssigkeit. Damit kann dieses Modell
die experimentellen Befunde sehr gut erklären. So ergeben sich die
unterschiedlichen Ergebnisse bei unterschiedlichen Methoden zur
Bestimmung der Viskosität daraus, daß die suprafluide Phase viskositätsfrei
durch Röhren fließen kann und damit die Strömungsgeschwindigkeit
der Flüssigkeit bestimmt. Bei Torsionsexperimenten
dagegen haftet die normalfluide Komponente sehr wohl an der
Oberfläche des Torsionspendels und liefert so eine Erhöhung der effektiven
Masse und damit eine endliche Viskosität. Bei allen Vorzügen
dieses Modells muß man sich aber der Tatsache bewußt sein, daß
die beiden unterschiedlichen Komponenten nicht wirklich existieren,
zumindest nicht in dem Sinn, daß man die Heliumatome nach ihrer
Zugehörigkeit zu den Komponenten sortieren könnte. Vielmehr führen
die endlichen Temperaturen im Experiment dazu, daß thermische
Anregungen in der Supraflüssigkeit auftreten. Diese Quasiteilchen
(Phononen und Rotonen) bilden die normalfluide Komponente.
1.2.1 4 He im Millikelvin-Bereich
Wird die Supraflüssigkeit weiter abgekühlt, so reduziert sich die
Dichte der normalfluiden Komponente immer weiter, während die
Dichte der suprafluiden Komponente im gleichen Maß zunimmt 1 ,
1 Natürlich muß dabei stets ρ = ρs + ρn gelten.

28 Kapitel 1. Grundlagen
bis schließlich nur noch ein verdünntes Gas von Quasiteilchen in der
Supraflüssigkeit vorhanden ist. Aufgrund der verschwindenden Viskosität
vereinfacht sich nun die Bewegungsgleichung der Flüssigkeit
zur sogenannten Euler-Gleichung
∂v
∂t
1
+ (v∇)v = − gradp , (1.7)
ρ
welche im übrigen der Navier-Stokes-Gleichung (1.1) entspricht.
Zusätzlich zur verschwindenden Viskosität besteht noch eine
weitere Bedingung an zulässige Strömungsformen in der Supraflüssigkeit,
denn diese läßt sich als Bose-Einstein-Kondensat durch eine
makroskopische Wellenfunktion
ψ(r) = ψ0 exp[iS(r)]
mit der Phase S beschreiben. Daraus ergibt sich der kanonische Impuls
p zu
ˆpψ = −i¯h∇ψ = pψ ⇒ p = ¯h∇S .
Mit der üblichen Interpretation
erhält man schließlich
p = m4vs
vs = ¯h
mit m4 = m( 4 He)
m4
∇S . (1.8)
Damit läßt sich aber sofort folgern, daß die Rotation von vs
rot vs = 0 (1.9)
in der Supraflüssigkeit verschwinden muß. Die Supraflüssigkeit bildet
also bei Umströmung eines Hindernisses eine sogenannte Potentialströmung
aus. Wie in [37] dargelegt, wirkt bei einer Potentialströmung
um ein Hindernis keinerlei Kraft auf dieses, d.h. es existiert
keine Reibungskraft. Allerdings gelten diese Betrachtungen nur für
die reine Supraflüssigkeit. Bei den im Experiment stets vorliegenden

1.2 Suprafluides 4 He 29
endlichen Temperaturen verbleibt ein verdünntes Gas von thermischen
Anregungen, in der Flüssigkeit. Diese Quasiteilchen (Phononen
und Rotonen) werden am Hindernis gestreut und führen so zu
einer meßbaren Reibungskraft. Bei den in dieser Arbeit verwendeten
Temperaturen ist die Dichte der Quasiteilchen niedrig genug, so
daß sich das System im ballistischen Grenzfall befindet, d.h. die Phonon-Phonon
Stöße haben für die Wechselwirkung mit dem Hindernis
keine Bedeutung. Dieser Fall ist dann gegeben, wenn die freie
Weglänge der gestreuten Teilchen größer wird als die Abmessungen
des Hindernisses. Der Hauptbeitrag zur Dämpfung wird dabei im
untersuchten Temperaturbereich von den Phononen verursacht, deren
Dichte sich zu
ρph = 2π 2 (kBT) 4
45¯h 3 c5 ergibt, während die Rotonen, deren Dichte
ρrot = ¯hk4 0
3π 2 u
∝ T4
e− /T
(1.10)
(1.11)
(vgl. Anhang A.2) beträgt, erst bei Temperaturen oberhalb von etwa
600 mK einen meßbaren Beitrag zur Dämpfungskraft leisten. Die entsprechenden
linearen Dämpfungskoeffizienten λph bzw. λrot hängen
neben der Dichte der Quasiteilchen noch von deren Geschwindigkeit
c bzw. u sowie dem Streuquerschnitt σ = π R 2 ab:
λph = ρph c σ =
= 2π 3 (kBT) 4 R 2
45¯h 3 c 4
∝ T 4
(1.12a)
λrot = ρrot u σ (1.12b)
Die Verwendung des geometrischen Streuquerschnitts der Kugel ist
gerechtfertigt, da die Wellenlänge der Quasiteilchen deutlich kleiner
ist als die Abmessungen des Hindernisses. Die dissipativen Kräfte
der Streuung von beiden Teilchensorten addieren sich, so daß sich
insgesamt ein linearer Reibungskoeffizient
λ = λph + λrot
(1.13)

30 Kapitel 1. Grundlagen
und damit die Reibungskraft
Fd = −(λph + λrot) · v (1.14)
auf eine durch die Flüssigkeit bewegte Kugel ergibt.
1.2.2 Flußwirbel und Turbulenz
Der Befund (1.9) läßt erwarten, daß supraflüssiges Helium in einem
rotierenden Gefäß in Ruhe bleibt, da die Berechnung der Zirkulation
längs eines Weges W durch ein Flächenintegral über die eingeschlossene
Fläche A ausgedrückt werden kann
=
W
vs dl =
A
rot v dA = 0 , (1.15)
und damit vs = 0 innerhalb der ganzen Flüssigkeit gelten muß. Entsprechende
Experimente in [48] zeigen jedoch eine parabolische Flüssigkeitsoberfläche,
wie sie für eine klassische rotierende Flüssigkeit
zu erwarten ist. Dieser Widerspruch zur Rotationsfreiheit der Supraflüssigkeit
wird durch Wirbelschläuche (Vortices) aufgelöst, in deren
Kern die suprafluide Komponente verschwindet. In diesem Fall
ist die Vorgehensweise in (1.15) nur dann zulässig, wenn keine dieser
Singularitäten innerhalb des Integrationsweges liegt, denn dort
gilt die Beziehung (1.9) nicht. Betrachtet man den Fall, daß Singularitäten
vom Integrationsweg eingeschlossen werden, so findet man
mit (1.8) für die Zirkulation
=
vs dl = ¯h
m4
∇S dl (1.16)
Wegen der Eindeutigkeit der Wellenfunktion kann das Integral dabei
lediglich ganzzahlige Vielfache von 2π als Wert annehmen, so daß
sich für die Zirkulation das Resultat
= n · κ , mit n ∈ IN0 (1.17)

1.2 Suprafluides 4 He 31
ergibt, wobei κ = h/m4 aus naheliegenden Gründen als das Zirkulationsquant
bezeichnet wird. Zur Erzeugung einer derartigen Wirbellinie
muß Energie aufgewendet werden, die im wesentlichen in kinetische
Energie der rotierenden Supraflüssigkeit umgewandelt wird.
Diese Energie (pro Länge des erzeugten Wirbels) ergibt sich damit
aus einer Integration der kinetischen Energie der um den Wirbelkern
rotierenden Supraflüssigkeit zu
2 ρsκ
ε =
4π ln
b
.
Dabei gibt a0 ∼ 1 Å den Radius des Wirbelkerns und b den mittleren
Abstand zwischen den Wirbeln an. Man erhält damit einen typischen
Wert
ε = 1,15 · 10 −13
b J J
ln ∼ 10−12 , (1.18)
1 Å m m
∼ 10
wobei die eingehenden geometrischen Größen einen nur geringen
(nämlich logarithmischen) Einfluß haben.
Zusammenfassend läßt sich festhalten, daß die Supraflüssigkeit
neben der Euler-Gleichung auch der Rotationsfreiheit rot vs = 0 gehorchen
muß. Allerdings können Wirbelschläuche in der Flüssigkeit
auftreten, welche eine quantisierte Zirkulation tragen. Bemerkenswerterweise
ahmt die Supraflüssigkeit im oben erwähnten Rotationsexperiment
das Verhalten einer klassischen Flüssigkeit gewissermaßen
nach, indem sich Wirbelschläuche so in der Supraflüssigkeit
anordnen, daß sich makroskopisch das selbe Verhalten ergibt wie es
eine klassische Flüssigkeit zeigt. Die in Kapitel 3 vorgestellte Untersuchung
der Reibungskraft, wie sie durch suprafluide Turbulenz hervorgerufen
wird, zeigt, daß sich diese Parallelen fortsetzen. So findet
man eine Reibungskraft
a0
|Fd| = γ (v 2 − v 2 0) = γv 2 − F0 , (1.19)
die bis auf eine Reduktion um einen konstanten Wert genau der
für eine klassische Flüssigkeit zu erwartenden Beziehung (1.4) entspricht.
Diese durch die Turbulenz verursachte dissipative Kraft

32 Kapitel 1. Grundlagen
wirkt zusätzlich zur Dissipation durch ballistische Streuung von
Quasiteilchen.
1.2.3 Übergang zwischen laminarer und turbulenter
Strömung
Weitgehend unerforscht ist bisher der Übergang von Potentialströmung
zu Turbulenz in suprafluidem 4 He. So existieren zwar Experimente,
die sich mit der Nukleation einzelner Wirbelschläuche in der
Supraflüssigkeit befassen [53, 54], aber diese Experimente können
damit noch keine Aussagen über den Übergang zu voll entwickelter
Turbulenz machen, welche ein komplexes Geflecht an interagierenden
Wirbelschläuchen darstellt. Ähnliches gilt für den umgekehrten
Weg, die sogenannte Relaminarisierung der Strömung. In [54]
sind einige Mechanismen für das Abklingen der Turbulenz diskutiert,
jedoch ist dabei selbst die Auflösung von einzelnen Flußwirbelschläuchen
noch umstritten. Als gängige Szenarien sind Rekombination
zu immer kleineren Wirbelringen und schließlicher Zerfall
in Rotonen beziehungsweise Rekombination unter Abstrahlung von
Phononen in der Diskussion. Ein Experiment, in dem das Abklingen
suprafluider Turbulenz beobachtet werden soll, ist in [7] beschrieben.
Allerdings existieren derzeit nur vorläufige Resultate. Zusätzlich zu
dieser Unkenntnis der mikroskopischen Vorgänge verliert auch die
Reynoldszahl, welche in der klassischen Hydrodynamik nützliche
Dienste zur Charakterisierung und makroskopischen Beschreibung
der Strömung leistet, aufgrund der verschwindenden Viskosität ihre
Bedeutung. In [46] wird versucht dieses Problem durch Definition
einer suprafluiden Reynoldszahl
Res = 2 vsR
cξ
(1.20)
(ξ ∼ 1Å: typische Abmessung des Wirbelkerns) zu lösen. Dadurch
wird zwar eine Klassifikation der turbulenten Strömung ähnlich wie
bei klassischen Flüssigkeiten ermöglicht, aber die Theorien zur Turbulenzentstehung,
welche sich auf die mit der klassischen Reynolds-

1.3 Die gedämpft oszillierende Mikrokugel 33
zahl verbundene Viskosität stützen, werden dadurch nicht auf die
Supraflüssigkeit übertragbar.
1.3 Die gedämpft oszillierende Mikrokugel
Der Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung wird in dieser
Arbeit anhand einer in der Flüssigkeit oszillierenden Kugel untersucht.
Dies führt, neben den diversen Vorteilen (vgl. Kapitel 2), auch
zu einigen Punkten, die der Beachtung bedürfen. Auf diese soll im
folgenden kurz eingegangen werden.
1.3.1 Nichtlineare Oszillationen
Aufgrund von schwachen Nichtlinearitäten in der Rückführkraft, die
durch die magnetische Lagerung der Kugel entstehen, ergibt sich eine
anharmonische Schwingung der Kugel um ihre Gleichgewichtslage.
Typische Eigenschaften anharmonischer Schwingungen sind eine
Abhängigkeit der Resonanzfrequenz von der Amplitude sowie
das Auftreten höherer Harmonischer der Grundfrequenz im Fourierspektrum
der Schwingung. Beide Merkmale sind bei dem hier vorgestellten
Experiment zu beobachten. Eingehende Untersuchungen dazu
finden sich in [16], numerische Simulationen in [23, 42]. In dieser
Arbeit spielen jedoch diese Aspekte der Nichtlinearität eine untergeordnete
Rolle, lediglich die Verschiebung der Resonanzfrequenz bei
Änderung der Schwingungsamplitude ist aufgrund der hohen Güte
der Oszillationen von Bedeutung (vgl. dazu Abschnitt 2.3.4).
1.3.2 Energiebilanz
Bei einem mit konstanter Geschwindigkeit durch die Flüssigkeit bewegten
Körper ist die Reibungskraft gleich der Kraft, mit welcher
der Körper durch die Flüssigkeit gezogen wird. Es herrscht also ein
Kräftegleichgewicht. Im Fall der oszillierenden und resonant angetriebenen
Kugel tritt an dessen Stelle ein Gleichgewicht von durch

34 Kapitel 1. Grundlagen
die Antriebskraft zugeführter und durch Reibung dissipierter Energie.
Man hat also mit T = 2π/ω eine Energiebilanz:
T/2
0
F sin(ωt) v sin(ωt) dt =
zugeführte Energie
T/2
0
Fd(v(t)) v sin(ωt) dt
dissipierte Energie
(1.21)
Dabei wird, wie auch im weiteren Verlauf dieser Arbeit, mit v(t) die
Momentangeschwindigkeit der Kugel, mit v hingegen die Amplitude
der Geschwindigkeit bezeichnet. Ähnliches gilt für andere oszillierende
Größen (z.B. Kräfte und Auslenkungen). Diese Energiebilanz
kann nun verwendet werden, um die im Experiment bestimmte
v(F)-Kurve mit der geschwindigkeitsabhängigen Reibung Fd(v) in
Beziehung zu setzen. Näheres dazu folgt in den nächsten beiden Abschnitten.
1.3.3 Laminare Strömung
Strömt die Flüssigkeit laminar um die Kugel, so unterliegt die Bewegung
der Kugel der in (1.14) angegebenen dissipativen Kraft. Setzt
man diese in die Energiebilanz (1.21) ein, so erhält man den sehr einfachen
Zusammenhang
F(v) = Fd(v).
Damit ergibt sich die Gleichgewichtsamplitude unter dem Einfluß
der linearen Reibungskraft zu
v = F
λ . (1.22)
Wird die das System antreibende Kraft abgeschaltet, so zerfällt die
Amplitude der Schwingung unter dem Einfluß der linearen Dämpfungskraft
exponentiell [12]:
v = v(t=0) e −(t/τ)
, mit τ = 2m
,
λ
(1.23)
wobei m die Masse der oszillierenden Kugel bezeichnet.

1.3 Die gedämpft oszillierende Mikrokugel 35
1.3.4 Turbulente Strömung
Bei einer nicht linear mit der Geschwindigkeit zunehmenden Reibungskraft,
wie etwa in (1.19) angegeben, ergibt sich ein komplexeres
Bild. Einsetzen der dissipativen Kraft in die Energiebilanz (1.21)
liefert nun die v(F)- bzw. F(v)-Beziehung
F(v) = 8γ
v
3π
2 − 3
2 v20 = 8γ
2 2
v − vc1 3π
= 8γ
3π v2 − 4
π F0
(1.24a)
(1.24b)
= γ ⋆ v 2 − F ⋆ 0 (1.24c)
zwischen Antriebskraft und Geschwindigkeitsamplitude, mit den
neu definierten Größen
3
vc1 =
2 v0
(1.25a)
F ⋆ 0 = 4
π F0 = 4
π γ v2 0 = γ ⋆ vc1
(1.25b)
γ ⋆ = 8
γ . (1.25c)
3π
Die grundsätzliche Form von (1.19) hat sich durch die Umrechnung
nicht verändert. Jedoch treten die neuen, gegenüber den ursprünglichen
Größen mit jeweils einer Konstanten multiplizierten, Größen
γ ⋆ und F ⋆ 0 bzw. vc1 auf.
Wie in Abschnitt 1.2.2 angegeben, wirken im Regime turbulenter
Strömung zwei dissipative Kräfte gleichzeitig auf die oszillierende
Kugel ein, wobei sich die dissipativen Kräfte addieren. Aufgrund der
Eigenschaften von (1.21) bleibt diese Additivität auch für die v(F)-
Kurve erhalten, so daß sich für den Bereich turbulenter Strömung
die Beziehung
F(v) = λv + γ⋆ v 2 − F ⋆ 0 bzw. F(v) = λv + 8γ
2
v − vc1
3π
(1.26)

36 Kapitel 1. Grundlagen
ergibt. Löst man diese Gleichung nach v auf, so erhält man die Geschwindigkeitsamplitude,
welche durch Anlegen einer gegebenen
Antriebskraft im Bereich turbulenter Strömung erreicht wird:
v(F) = 3π
⎡
⎢
⎣−λ +
16γ
λ2 + 32γ
8γ
3π 3π v2
c1 + F
⎤
⎥
⎦ (1.27)
Damit läßt sich nun auch die Antriebskraft Fc1 ermitteln, welche notwendig
ist, um das System an den linken Bereich des Intermittenzbereichs
(vgl. Kapitel 3) zu bringen. Sie ist gegeben durch die Bedingung
vlaminar(Fc1) = vturbulent(Fc1) ,
also durch den Schnittpunkt der beiden v(F) Kurven für laminare
und turbulente Strömung. Man erhält das Ergebnis
Fc1 =
√ 6
2 λvc1 , (1.28)
welches wegen seiner Proportionalität zu λ stark temperaturabhängig
ist (siehe Gleichung (1.13)).
1.4 3 He- 4 He-Mischungen
Nachdem 3 He-Verunreinigungen ähnlich wie Phononen und Rotonen
Störungen in der Supraflüssigkeit darstellen, ergibt sich die Frage,
ob bzw. wie stark der Übergang zwischen laminarer und turbulenter
Strömung durch die Anwesenheit von 3 He-Verunreinigungen
in der Supraflüssigkeit beeinflußt wird. Darüber hinaus ist auch die
Beeinflussung der Dämpfung im Bereich laminarer Strömung von Interesse.

1.4 3 He- 4 He-Mischungen 37
1.4.1 Ballistisches Regime
Für sehr geringe Konzentrationen
x3 =
n( 3 He)
n( 3 He) + n( 4 He)
(1.29)
der 3 He-Verunreinigungen ist zu erwarten, daß die Wechselwirkung
zwischen ihnen und der oszillierenden Kugel durch ein Modell beschrieben
werden kann, das auf ballistischer Streuung der Kugel an
den Verunreinigungen basiert. In diesem Fall ergibt sich der lineare
Reibungskoeffizient analog zum Fall der ballistischen Streuung an
Phononen zu
λHe3 = ρ3v3π R 2 ∝ √ T , (1.30a)
wobei sich die Temperaturabhängigkeit aus der thermischen Geschwindigkeit
v3 der 3 He-Atome
ergibt. Ihre Dichte ist dabei
v3 =
3kBT
m ∗ 3
m
ρ3 = ρ4
∗ 3
m4
x3
(1.31)
(1.32)
mit der effektiven Masse m ∗ 3 der 3 He-Atome im suprafluiden 4 Hevon
m ∗ 3 = 2,4 · m3 . (1.33)
Um zu entscheiden, ob es zulässig ist die Reibung durch ein ballistisches
Modell zu beschreiben, ist die freie Weglänge l der 3 He-Atome
zu betrachten. Ist l deutlich größer als die Abmessungen der Kugel,
so liegt der ballistische Fall vor. Ist hingegen l sehr viel kleiner als die
Kugel, so befindet sich das System im hydrodynamischen Bereich.

38 Kapitel 1. Grundlagen
1.4.2 Hydrodynamisches Regime
Ist die freie Weglänge der 3 He-Atome kleiner als die Kugelabmessung,
so verhält sich das 3 He-System wie eine viskose Flüssigkeit,
d.h. der lineare Dämpfungskoeffizient ergibt sich aus der in Abschnitt
1.1.1 angegebenen Stokes’schen Formel (1.3). Diese Gleichung
läßt sich nach der Viskosität η auflösen
η =
6π R
λ
1 + R
≈
δ(η)
λ
6π R
(1.34)
und so zur Bestimmung der Viskosität aus den experimentell bestimmbaren
Dämpfungswerten nutzen, sofern die Eindringtiefe δ(η)
deutlich größer ist als der Kugelradius. Andernfalls ist die Abhängigkeit
der Eindringtiefe von der Viskosität
zu berücksichtigen.
δ(η) =
2η
ρω
1.4.3 Viskosität und freie Weglänge
Bei bekannter Viskosität kann über die Beziehung
(1.35)
η = 1
5 ρ3v3l (1.36)
(vgl. [29]) die freie Weglänge l der 3 He-Atome berechnet werden:
l(η) = 5η
ρ3v3
(1.37)
Die freie Weglänge läßt sich auch über Teilchendichte und Streuquerschnitt
der 3 He-Atome ausdrücken [29]
l = (n3σ3) −1 ∝ (x3 σ3) −1 σ3 : Streuquerschnitt , (1.38)

1.5 Begriffe aus der Zuverlässigkeitstheorie 39
so daß man schließlich unter Verwendung der Teilchendichte
n3 = ρ3
m ∗ 3
und der 3 He-Dichte (1.32) den Streuquerschnitt der 3 He-Atome
erhält.
σ(l) = m∗ 3
ρ3l
(1.39)
1.5 Begriffe aus der Zuverlässigkeitstheorie
Im Abschnitt 3.3 werden Zeitreihen der Geschwindigkeitsamplitude
der Kugeloszillationen mit Methoden der Statistik, präziser der Zuverlässigkeitstheorie,
untersucht. Deshalb sollen in diesem Kapitel
die dort verwendeten Größen und Begriffe vorgestellt, ihre praktische
Bedeutung verdeutlicht, sowie die Beziehungen der verschiedenen
Größen untereinander aufgezeigt werden. Dabei ist stets vorausgesetzt,
daß die betrachteten Systeme voneinander stochastisch
unabhängig und identisch sind. Eine ausführlichere Darstellung dieser
Thematik findet sich unter anderem in [14, 38].
1.5.1 Zuverlässigkeitsfunktion
Zentrale Größe bei der Untersuchung der Zuverlässigkeit von Systemen
ist die sogenannte Zuverlässigkeitsfunktion P. Sie gibt an, wie
viele Systeme, ausgehend von einer zu Beginn verfügbaren Anzahl,
eine bestimmte Lebensdauer überstehen und enthält alle Informationen
zur Lebensdauerstatistik.
P(t) =
# {Systeme : System lebt länger als t}
# {Systeme}
Diese Größe läßt sich experimentell sehr gut bestimmen, da hierfür
lediglich die Lebensdauern von N Systemen zu messen sind. In die-

40 Kapitel 1. Grundlagen
ser Arbeit treten dabei die Phasen laminaren bzw. turbulenten Flusses
(Ereignisse) um die Kugel als ‚Systeme‘ auf. Die Zuverlässigkeitsfunktionen
P werden im weiteren Verlauf teilweise normiert (also
P(0) = 1), teilweise als Rohdaten (P(0) = N) angegeben. Im Bereich
sehr hoher Lebensdauern tragen nur noch wenige Ereignisse zur Statistik
bei, so daß sich hier, bedingt durch die statistische Streuung,
Abweichungen der experimentell ermittelten Daten von der tatsächlichen
Wahrscheinlichkeitsverteilung ergeben. Daher werden die Zuverlässigkeitsfunktionen
bevorzugt nicht normiert gezeigt, um eine
Bewertung der experimentellen Punkte anhand der Anzahl der jeweils
eingehenden Ereignisse zu ermöglichen. Lediglich in Abbildungen,
in denen ein Vergleich mehrerer Zuverlässigkeitsfunktionen
erfolgt, wird die normierte Darstellung verwendet.
1.5.2 Ausfallrate
Eine weitere wichtige Größe ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß
ein bestimmtes System, das bereits eine Lebensdauer t erreicht hat,
im nächsten Zeitintervall dt versagt. Diese Größe heißt Ausfallrate
und wird im folgenden mit (t) bezeichnet. Da die Zuverlässigkeitsfunktion
die gesamte Information der Statistik enthält, läßt sich die
Ausfallrate aus ihr ableiten (vgl. dazu [14, S. 82]). Es ergibt sich die
Beziehung:
beziehungsweise
d ln P(t)
(t) = −
dt
⎛
P(t) = exp ⎝−
t
0
⎞
(1.40)
(t) dt⎠
. (1.41)
Diese Größe liefert wertvolle Informationen über den Zustand des
Systems, ist aber nicht unmittelbar beobachtbar, nachdem es sich um
eine Ausfallwahrscheinlichkeit für ein einzelnes System handelt.

1.5 Begriffe aus der Zuverlässigkeitstheorie 41
1.5.3 Verteilungsdichte
Anders als die Ausfallrate, welche Aussagen über einzelne Systeme
macht, liefert die Verteilungsdichte die Verteilung der Lebensdauern
in einer anfänglich vorhandenen Menge von Systemen. Sie gibt die
Einhüllende eines Histogramms der Lebensdauern, d.h. die Anzahl
(bzw. im normierten Fall den Anteil) der Systeme an, welche im Zeitintervall
[t,t + dt] ausfallen. Folglich ist die Verteilungsdichte p(t)
gegeben durch
p(t) = − dP(t)
. (1.42)
dt
Die Verteilungsdichte ist insbesondere nützlich, um die mittlere Lebensdauer
µ der Systeme zu berechnen. Sie ergibt sich allgemein zu
µ =
∞
0
t · p(t) dt , (1.43)
wobei darauf zu achten ist, daß p(t) normiert vorliegt.
1.5.4 Beispiele
Zur Illustration der oben eingeführten Größen, sowie zur Vorbereitung
der Auswertung in Abschnitt 3.3, sollen im folgenden zwei Beispiele
für in der Praxis häufig auftretende Zuverlässigkeitsfunktionen
vorgestellt werden.
Exponentialverteilung
Die Exponentialverteilung ist die in der Zuverlässigkeitstheorie wohl
am häufigsten auftretende und in gewisser Hinsicht auch einfachste
Verteilung. Abbildung 1.4 zeigt die charakteristischen Größen dieser
Verteilung. Die ‚Einfachheit‘ der Exponentialverteilung spiegelt
sich dabei in der konstanten Ausfallrate wieder, d.h. die Wahrscheinlichkeit
dafür, daß ein System versagt, hängt nicht von seiner bereits
erreichten Lebensdauer ab. Exponentialverteilungen findet man zum
Beispiel bei der Untersuchung der Zuverlässigkeit von Glühlampen.

42 Kapitel 1. Grundlagen
Für diese einfache Verteilung läßt sich die mittlere Lebensdauer
der Systeme leicht berechnen. Es ergibt sich unter Verwendung von
(1.43) und der Verteilungsdichte p(t) aus Abbildung 1.4
p(t) = 1
−t
exp
eine mittlere Lebensdauer von:
µ =
∞
0
t1
t1
t1
t1
t · 1
−t
exp dt = t1 . (1.44)
Die mittlere Lebensdauer kann also sehr einfach als reziproke Steigung
der Zuverlässigkeitsfunktion P(t) in halblogarithmischer Darstellung
ermittelt werden (vgl. Abbildung 1.4).
Weibull-Verteilung
Eine weitere Klasse von Verteilungen, die in der Zuverlässigkeitstheorie
von großer Bedeutung sind, ist die der Weibull-Verteilungen.
Die entsprechende Zuverlässigkeitsfunktion lautet
P(t) = exp
− tn
t n w
, n = 1,2,3, . . . .
Somit stellt die Exponentialverteilung einen Sonderfall einer Weibull-Verteilung
für n = 1 dar. Hier soll als weiteres Beispiel die Weibull-Verteilung
mit n = 2 betrachtet werden. Abbildung 1.5 zeigt
die zugehörigen charakteristischen Größen und Skizzen ihrer Zeitabhängigkeit.
Die Zuverlässigkeitsfunktion besitzt in der halblogarithmischen
Darstellung die Form einer Parabel. Die Ausfallrate der
Systeme ist im Gegensatz zur Exponentialverteilung nicht mehr unabhängig
von deren Lebensdauer, sondern ist proportional zu ihr,
d.h. je älter ein System, umso größer die Wahrscheinlichkeit eines
Ausfalls. Die Verteilungsdichte der Lebensdauern zeigt ein im ersten
Moment unerwartetes Verhalten. Für kleine Lebensdauern steigt
die Kurve p(t) bei Null beginnend linear an, wie es der Zunahme

1.5 Begriffe aus der Zuverlässigkeitstheorie 43
der Ausfallrate entspricht, dann läuft sie jedoch über ein Maximum
und geht für sehr lange Lebensdauern wieder gegen Null. Dies erklärt
sich dadurch, daß stets eine Gesamtheit von Systemen betrachtet
wird und nur sehr wenige Systeme derartig hohe Lebensdauern
erreichen. Folglich können nicht mehr viele in diesem Bereich versagen.
Die mittlere Lebensdauer von Systemen mit Weibull-verteilter
Lebensdauer kann ebenfalls analytisch bestimmt werden. Es ergibt
sich (vgl. [14]):
µ = t 1/n
w
1 + 1
n=2 √
= tw
n
√ 2
2 .
Weibull-Verteilungen finden sich beispielsweise bei der Untersuchung
der Lebenserwartung von Kohleöfen oder Termiten, bei
der Analyse der Zuverlässigkeit elektronischer Geräte [14], des Auftretens
von Autoimmunerkrankungen beim Menschen [38] oder
bei Untersuchungen der Durchbruchspannungen von Ölisolationen
[21]. Außerhalb des Gebiets der Zuverlässigkeitstheorie findet man
Weibull-Verteilungen in den unterschiedlichsten Anwendungen, wie
der Belastbarkeit von Stahlbauteilen, Größe von Aschepartikeln, der
Körpergröße von Männern auf den britischen Inseln [55] oder der
Verteilung von Windgeschwindigkeiten.

44 Kapitel 1. Grundlagen
Größe grafische Darstellung
−t
P(t) = exp
p(t) = 1
(t) = 1
t1
t1
t1
−t
exp
t1
1
0
0
0
Abbildung 1.4: Zuverlässigkeitsfunktion, Ausfallrate und Verteilungsdichte
für exponentiell verteilte Lebensdauern. Beeindruckendstes
Merkmal der Exponentialverteilung ist die konstante, d.h. nicht
von der bereits erreichten Lebensdauer des Systems abhängige, Ausfallrate.
t
t
t

1.5 Begriffe aus der Zuverlässigkeitstheorie 45
Größe grafische Darstellung
2 −t
P(t) = exp
p(t) = 2
t 2 w
(t) = 2
t 2 w
t 2 w
t
2 −t
t exp
t2
w
1
0
0
0
Abbildung 1.5: Zuverlässigkeitsfunktion, Ausfallrate und Verteilungsdichte
für Weibull-verteilte Lebensdauern (n = 2).
t
t
t

46 Kapitel 1. Grundlagen

Kapitel 2
Eine Theorie — das ist eine
gute Sache, aber ein
ordentliches Experiment
bleibt einem für immer
Experimenteller Aufbau
P. L. Kapitza
Bei der Mehrzahl von Experimenten, in denen die Strömung von
Flüssigkeiten untersucht wird, stellt sich das Problem der Randbedingungen
(z.B. bei Rohrströmungsexperimenten) und der Aufhängung
des Probenkörpers. Dabei ist sicherzustellen, daß diese die
Strömungsverhältnisse in der Flüssigkeit nicht, oder zumindest nicht
wesentlich, beeinflußt. Die hier vorgestellte experimentelle Methode
zeichnet sich durch eine vollkommen berührungslose Aufhängung
des umströmten Körpers aus. Darüberhinaus erreicht sie als resonante
Methode eine sehr hohe Empfindlichkeit. Verschiedene alternative
Anwendungsmöglichkeiten werden unter anderem in [45] aufgeführt.
Bei der Realisierung dieses experimentellen Ansatzes sind allerdings
zahlreiche Aspekte zu beachten, welche im folgenden detailliert
beschrieben werden sollen.
2.1 Meßmethode
Als Probenkörper, der von der Supraflüssigkeit umströmt wird,
dient ein sphärischer Permanentmagnet (die ‚Kugel‘, vgl. auch Abschnitt
2.2.1). Dieser befindet sich zwischen zwei horizontal angeord-
47

48 Kapitel 2. Experimenteller Aufbau
neten Elektroden aus supraleitendem Niob. Aufgrund des Meißner-
Ochsenfeld-Effekts [6] wird das Magnetfeld der Kugel beim Abkühlen
der Elektroden unter die Sprungtemperatur der Niobelektroden
(Tc ≈ 9,2 K) aus dem Inneren der Elektroden verdrängt. Der Permanentmagnet
erfährt infolgedessen eine repulsive Kraft und levitiert
somit in einer Gleichgewichtslage zwischen den beiden Elektroden.
Hierbei bleibt jedoch eine geringe Menge magnetischen Flusses an
Haftzentren im Typ II Supraleiter [6] verankert und durchdringt ihn
in Form von Flußschläuchen. Diese ortsfesten Flußschläuche geben
der Kugel horizontale Stabilität und verhindern ein seitliches Abdriften
der Kugel (vgl. Abschnitt 2.1.1).
Vor dem Abkühlen der Zelle wird die Kugel mit einer elektrostatischen
Oberflächenladung von typisch q ≈ 1 pC versehen, so daß
sie im levitierenden Zustand durch das Anlegen eines elektrischen
Feldes E = U/d und damit einer Kraft F = qE aus ihrer Ruhelage
ausgelenkt und so zu Schwingungen um ihre Gleichgewichtslage angeregt
werden kann. Da die durch die magnetische Abstoßung verursachten
Rückführkräfte nichtlinear sind, ist die Schwingung der Kugel
nicht harmonisch. Insbesondere treten im Frequenzspektrum der
Schwingung höhere Harmonische der Grundfrequenz auf und die
Resonanzfrequenz weist im allgemeinen eine Amplitudenabhängigkeit
auf (vgl. [42, 23, 32]). Die Resonanzfrequenz f = ω/2π wird bei
der Präparation festgelegt und liegt typischerweise im Bereich von
100–300 Hz. Die Verschiebung infolge von Amplitudenänderungen
während der Durchführung des Experiments beträgt etwa 1–2 % ihres
Absolutwertes. Die nicht konstante Resonanzfrequenz erfordert
bei jeder Änderung der Schwingungsamplitude eine Nachregelung
der Frequenz der antreibenden Kraft mit Hilfe einer Phasenregelschleife
(vgl. Abschnitt 2.3.4).
Die auf diese Weise in Oszillationen versetzte geladene Kugel
stellt nunmehr eine bewegte Ladung im Plattenkondensator dar und
induziert als solche Verschiebungsströme I = vq/d in den Zuleitungen,
welche mit einem Elektrometerverstärker (s. Abschnitt 2.3.2) in
Spannungen umgewandelt und mit einem Wechselspannungsvoltmeter
gemessen werden. Ein nachgeschalteter PC dient zur Auf-

2.1 Meßmethode 49
v Kugel c Kugel (bel. Einh.)
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Zeit (ms)
Abbildung 2.1: Bewegung der Kugel während der Aufladung durch
eine Hochspannung am Kondensator. Aufgetragen ist die zeitliche
Entwicklung des Produkts aus elektrischer Ladung der Kugel und
Bewegungsgeschwindigkeit in beliebigen Einheiten. Die Flugphasen
der Kugel sind als relativ langgesteckte Geraden erkennbar. Die Nulldurchgänge
der Geschwindigkeit während der Flugphasen deuten
auf ein elastisches Stoßen der Kugel mit einer Elektrode ohne Umladen
hin.
zeichnung der zeitlichen Veränderung der Geschwindigkeitsamplitude
der Kugeloszillationen.
2.1.1 Präparation des Experiments
Zu Beginn des Experiments ist eine Präparation des Schwebezustandes
der Kugel (des sogenannten ‚Oszillators‘) erforderlich. Durch
diese Prozedur wird einerseits die Kugel mit der notwendigen Ladung
versehen, andererseits der im Supraleiter eingefrorene magnetische
Fluß, und somit die Untergrunddämpfung, festgelegt. Es hat
sich gezeigt, daß das Gelingen des Experiments ganz wesentlich von

50 Kapitel 2. Experimenteller Aufbau
der Qualität des erzeugten Levitationszustandes abhängt. Erst eine
große Oberflächenladung der Kugel ( 1 pC) ermöglicht eine bequeme
Messung, da das Verhältnis zwischen kapazitivem Übersprechen
und Meßsignal mit dem Quadrat der Ladung der Kugel wächst
(vgl. Gleichung 2.4). Noch wichtiger ist die Tatsache, daß eine Vielzahl
grundlegender Eigenschaften der Kugelschwingungen festgelegt
wird. Dazu gehört neben der der Resonanzfrequenz und ihrer
Abhängigkeit von der Schwingungsamplitude (die sogenannte ‚Skelettkurve‘),
welche durch Betrag und Nichtlinearität der Rückführkraft
gegeben sind, auch die Bedämpfung der Oszillationen durch
dissipative Effekte im Supraleiter und die maximal mögliche Amplitude
der Oszillationen. Diese Eigenschaften werden von der Anzahl
der im Supraleiter verankerten magnetischen Flußlinien, beziehungsweise
der Stärke ihrer Verankerung, bestimmt.
Während sich die Elektroden des Kondensators im normalleitenden
Zustand befinden, wird eine hohe Gleichspannung von ungefähr
±800 V an die untere Elektrode des Niobkondensators angelegt.
Dies führt dazu, daß die Kugel, welche auf der unteren Elektrode
liegt, sich elektrostatisch auflädt und dann aufgrund der dadurch
entstehenden Abstoßung in Richtung der oberen Elektrode beschleunigt
wird. Ist die am Kondensator anliegende Spannung ausreichend
groß, so erreicht die Kugel die obere Elektrode, kann dort ihre Ladung
abgeben und kehrt dann zur unteren Elektrode zurück, wobei
sie eine elektrische Ladung mit umgekehrtem Vorzeichen trägt.
Diese Bewegung der geladenen Kugel kann mit Hilfe des Elektrometerverstärkers
(vgl. 2.3.2) detektiert werden, entsprechende Beispiele
sind in den Abbildungen 2.1 und 2.2 zu sehen. Deutlich zu erkennen
sind die Flugphasen der Kugel als langgezogene Geraden (‚Fluggeraden‘)
sowie die Strompulse, welche beim Umladen der Kugel an
der Oberfläche der Kondensatorelektroden entstehen. Nachdem bei
jedem Umladevorgang sowohl das Vorzeichen der Ladung wie auch
das der Geschwindigkeit wechselt, hat die Steigung der Fluggeraden
stets das selbe Vorzeichen und es läßt sich das Vorzeichen der angelegten
Hochspannung daraus ermitteln (vgl. Abbildung 2.3).
Nach jedem Umladevorgang startet die Kugel zunächst mit kleiner
Geschwindigkeit (je nachdem, ob es an der Elektrode zu einem

2.1 Meßmethode 51
v Kugel c Kugel (bel. Einh.)
0
-5
-10
-15
0 5 10 15 20 25
Zeit (ms)
Abbildung 2.2: Bewegung der Kugel während der Aufladung durch
eine positive Hochspannung an der unteren Elektrode. Deutlich
sichtbar sind die starken Pulse zwischen den einzelnen Flugphasen,
welche durch den vollständigen Umladungsvorgang verursacht
werden. Die unterschiedlichen Absolutgeschwindigkeiten ergeben
sich durch teilelastische Stöße an den Elektroden.
teilelastischen Stoß kommt oder nicht), wird aber dann durch das
elektrische Feld im Kondensator beschleunigt, d.h. der Betrag der
Geschwindigkeit nimmt zu. Nimmt man an, daß die untere Elektrode
positiv geladen ist, so ergibt sich ein wegen der Beschleunigung
der Kugel zunehmender positiver Strom am Eingang des invertierenden
Elektrometerverstärkers, und somit ein zunehmend negatives
Meßsignal. Man erhält also fallende Fluggeraden wie den Abbildungen
2.1 und 2.2. Umgekehrt liegen die Verhältnisse bei Anlegen
einer negativen Spannung an die untere Elektrode. In diesem Fall
führt die selbe Überlegung zu ansteigenden Fluggeraden.
Nun werden die Elektroden des Supraleiters unterhalb Tc abgekühlt
und der einsetzende Meißner-Ochsenfeld-Effekt führt zu einer
Verdrängung des Magnetfeldes der Kugel aus den nun supraleiten-

52 Kapitel 2. Experimenteller Aufbau
Abbildung 2.3: Aus dem Vorzeichen des gemessenen Stromes bzw.
dem Vorzeichen der Steigungen der Fluggeraden in den Abbildungen
2.1 und 2.2 läßt sich das Vorzeichen der angelegten Hochspannung
ableiten. Dabei ist lediglich zu beachten, daß das Meßsignal
durch den Elektrometerverstärker nochmals invertiert wird. Ansteigende
Fluggeraden ergeben sich für negative Spannungen an der unteren
Elektrode, abfallende für positive Spannungen.
den Elektroden des Kondensators. Damit ergibt sich eine abstoßende
Kraft zwischen der Kugel und den Elektroden, und die Kugel levitiert
in einer Gleichgewichtslage zwischen den beiden Elektroden.
Die notwendige vertikale Stabilität ist durch Flußlinien gegeben, die
im Supraleiter an Haftzentren verankert sind. Durch die bei den Oszillationen
der Kugel modulierten Abschirmströme im Supraleiter
werden jedoch die Flußschläuche in den Haftzentren etwas bewegt,
wodurch Energie dissipiert wird. Untersuchungen zu diesem Effekt
unter Verwendung unterschiedlicher Elektrodenmaterialien sind in
[18, 17] und [19, 16, 40, 22] zu finden. Diese Untergrunddämpfung
durch dissipative Effekte im Supraleiter gilt es möglichst gering zu
halten, da sie die Auflösung des Experiments bei Messungen im
suprafluiden Helium bei sehr tiefen Temperaturen ( T 100 mK)
begrenzt. Es ist folglich nötig einen Kompromiß zwischen geringer
Dämpfung und ausreichender horizontaler Stabilität zu finden. Hierfür
hat es sich als günstig erwiesen die Abkühlung der Elektroden
langsam über mehrere Stunden hinweg durchzuführen. Ein rasches
Abkühlen führt tendenziell zu stärkerer Dämpfung bzw. zu nicht anregbaren
Oszillatoren, vermutlich infolge mangelnder Ladung oder

2.1 Meßmethode 53
ungenügender horizontaler Stabilität. Es ist nicht erforderlich, daß
die Kugel während des Abkühlvorgangs permanent die beschriebenen
periodischen Umladezyklen durchläuft. Sehr vorteilhaft für das
Gelingen der Präparation ist eine Reinigung der Niobelektroden im
Ultraschallbad, insbesondere wenn festzustellen ist, daß die Umladevorgänge
nur noch sehr schwer zustandekommen. Dies liegt vermutlich
an einer Oxidschicht, welche sich auf den Elektroden bildet.
2.1.2 Meßvorgang, Meßgrößen und Parameter
Das Experiment besitzt verschiedene beeinflußbare Parameter. Zunächst
ist hier die Temperatur zu nennen, welche im verwendeten
Helium-Mischungskryostaten von ca. 1 K bis auf ca. 24 mK variiert
werden kann. Dabei ist, wie sich herausgestellt hat, für die Untersuchung
des Bereiches des intermittenten Schaltens (s. Abschnitt 3.3)
überwiegend der Temperaturbereich unterhalb von 450 mK von Interesse,
da bei höheren Temperaturen ein Übergang zu einem hysteretischen
Verhalten zu beobachten ist, welches bereits in [25, 24,
26] gefunden wurde. Darüberhinaus verschwindet bei diesen tiefen
Temperaturen die normalfluide Komponente ρn, so daß sich hier der
Übergang zur Turbulenz in der reinen Supraflüssigkeit untersuchen
läßt.
Ein weiterer Parameter ist die verwendete Amplitude der antreibenden
Kraft. Diese bestimmt, in welchem Regime sich das System
befindet (vgl. Abschnitt 3), also welche Strömungsform sich um die
Kugel ausbildet. Dagegen ist die Frequenz der Oszillationen in der
Größenordnung durch Konstruktion und Materialien der Meßzelle
sowie zu einem kleineren Teil durch die Präparation des Levitationszustandes
gegeben und nicht wesentlich beeinflußbar. Allerdings
kann durch Anlegen einer Gleichspannung an die Meßzelle eine zusätzliche
Kraft auf die Kugel ausgeübt und so deren Gleichgewichtslage
verändert werden. Dies geht mit einer leichten Verschiebung der
Resonanzfrequenz in der Größenordnung von bis zu 10 Hz pro 100 V
einher.
Meßgröße ist in jedem Fall die Schwingungsamplitude bzw. die
Geschwindigkeitsamplitude der Kugelschwingung. Entsprechend

54 Kapitel 2. Experimenteller Aufbau
den sehr unterschiedlich starken Dämpfungsmechanismen bzw. den
unterschiedlichen Anforderungen bei der Untersuchung der einzelnen
Regimes kommen unterschiedliche Meßmethoden zum Einsatz.
Freie Zerfälle
Der Oszillator wird zu Schwingungen angeregt, wobei nicht notwendigerweise
die stabile Resonanzamplitude erreicht werden muß.
Beim Erreichen einer ausreichend großen Amplitude wird die antreibende
Kraft abgeschaltet und der nun folgende Zerfall der freien
Schwingung unter dem Einfluß der Dämpfung aufgezeichnet. Dieser
Meßmodus eignet sich für das Regime linearer Dämpfung (siehe
Abschnitt 3.1) und für hohe Oszillatorgüten, also lange Zerfallszeiten.
Bei zu kurzen Zerfallszeiten (τ 5 s) ergeben sich Probleme mit
der Integrationszeit des Wechselspannungsvoltmeters. Im Fall linearer
Dämpfung, also für hinreichend kleine Amplituden, erhält man
eine exponentiell zerfallende Schwingungsamplitude.
I(t) ∝ v(t) = v0 e −t/τ = v0 e −λt/2m . (2.1)
Aus einer zeitaufgelösten Messung läßt sich somit unmittelbar der
laminare Dämpfungskoeffizient λ ermitteln.
Getriebene Messung
Die antreibende Kraft wird stets in Resonanz mit den Kugeloszillationen
gehalten und jeweils der stationäre Gleichgewichtswert ermittelt,
der sich für eine gegebene antreibende Kraft bei der jeweiligen
Bedämpfung der Oszillationen einstellt. Im linearen Regime ergibt
sich einerseits gemäß Gleichung 1.22
v(F) = 1
F ,
λ

2.1 Meßmethode 55
und andererseits folgt aus dem später in Abschnitt 2.3.2 , Seite 70
begründeten Zusammenhang (2.17) zwischen Geschwindigkeit v der
Kugel und Meßsignal I:
v(F) = d
q
I(F) und F = q
d Uac . (2.2)
Damit läßt sich bei bekannter Ladung der Kugel der lineare Dämpfungskoeffizient
bestimmen zu:
λ =
q
2 Uac
d I
(2.3)
Dieser Modus ist besonders für höhere Dämpfungen (und damit
kürzere Zeitkonstanten) sinnvoll, da sich dann kurze Wartezeiten
für die Einstellung der Gleichgewichtsamplitude ergeben. Damit ergänzt
dieser Modus im laminaren Bereich in hervorragender Weise
die Messungen an freien Zerfällen. Im nichtlinearen Regime hingegen
stellt die getriebene Messung die einzige Möglichkeit dar, eine
v(F) Beziehung zu ermitteln, welche dann verwendet werden kann,
um Rückschlüsse auf die nichtlineare Dämpfung zu ziehen (vgl. Abschnitt
3.2).
Zeitreihen
Eine Variante der getriebenen Messung wird bei den Messungen im
Regime des intermittenten Schaltens angewendet. Allerdings wird
hier nicht der Gleichgewichtswert der Geschwindigkeitsamplitude
registriert, sondern vielmehr eine relativ hoch aufgelöste Zeitreihe
von typischerweise 10 Meßwerten pro Sekunde aufgezeichnet.
Die Aufzeichnungsdauer ist stark abhängig von der Schalthäufigkeit
zwischen laminarem und turbulentem Fluß und liegt zwischen
wenigen Stunden z.B. in der Mitte des Intermittenzbereichs und bis
zu 24 Stunden bei Messungen am Rande des Intermittenzbereichs,
wo die Schaltvorgänge seltener auftreten (vgl. Abschnitt 3.3). Bei diesen
Messungen ist die Nachregelung der Frequenz der antreibenden

56 Kapitel 2. Experimenteller Aufbau
Kraft (s. Abschnitt 2.3.4) von besonderer Bedeutung, da sich die Amplitude
der Kugelschwingung innerhalb von etwa 5 s um bis zu 50 %
ändern kann.
Die so aufgezeichneten Zeitreihen werden ausgewertet, indem
diejenigen Punkte bestimmt werden, an welchen die Flüssigkeit von
laminarer Strömung in turbulente Strömung umschaltet, bzw. umgekehrt.
Daraus werden sodann die Lebensdauern der laminaren
bzw. turbulenten Phasen ermittelt sowie die während der laminaren
Phasen erreichte maximale Geschwindigkeitsamplitude der Kugeloszillationen
ausgewertet. Um diese aufgrund der hohen Anzahl
von Schaltvorgängen äußerst aufwendige Analyse zu automatisieren,
wird die Ableitung der Zeitreihe betrachtet und anhand der Vorzeichenwechsel
die Extrema ermittelt. In der Praxis ist diese Aufgabe
mit diesem einfachen Ansatz aber nicht zuverlässig zu lösen,
da es aufgrund von Signalrauschen in Verbindung mit nahezu konstanter
Geschwindigkeitsamplitude zu Fehlinterpretationen kommt,
welche das Resultat der Analyse schwerwiegend verfälschen und somit
unbrauchbar machen. Daher wurde das oben erwähnte Verfahren
der Extremalwertsuche in [30] stark verfeinert und so modifiziert,
daß insbesondere die zwangsläufig auftretenden Phasen konstanter
Amplitude keine Fehlinterpretationen mehr verursachen. Dazu wird
die Eigenschaft der Zeitreihen ausgenutzt, daß sich die Steigung des
Graphen jeweils in den Schaltpunkten plötzlich sehr stark ändert.
Der Zeitreihe wird lokal eine ansteigende (bei der Maximumsuche)
bzw. abfallende (bei der Minimumsuche) Gerade überlagert und somit
die zu analysierende Kurve ‚gekippt‘. Damit wird die Gefahr von
Fehlinterpretationen nahezu eliminiert. In der Praxis hat sich der in
[30] beschriebene Algorithmus als sehr zuverlässig erwiesen.
2.1.3 Ladungsbestimmung
Wie im Abschnitt 2.1.1 gesehen, wird die Kugel bei der Präparation
des Levitationszustandes mit einer elektrischen Ladung versehen.
Die Größe der aufgebrachten Ladung entzieht sich dabei einer exakten
Kontrolle, da sie von nicht beeinflußbaren Parametern, wie oxidierter
Elektrodenoberfläche etc., abhängig ist. Ebenso besteht bei je-

2.1 Meßmethode 57
dem Einkondensieren des Heliums in die Meßzelle die Möglichkeit,
daß mit dem Helium geladene Fremdkörper in die Zelle gelangen
und dort von der Kugel elektrostatisch angezogen werden, wodurch
sich die Ladung der Kugel verringert. Bei der Auswertung der Meßdaten
spielt die Ladung der Kugel jedoch eine wichtige Rolle. Insbesondere
erhält man bei der getriebenen Messung (s. Abschnitt 2.1.2)
aus Gleichung (2.3)
I(Uac) = q2
d 2 λ Uac , (2.4)
eine quadratische Abhängigkeit des gemessenen Wertes von der Ladung
der Kugel. Daher ist es erforderlich, die Ladung möglichst exakt
zu bestimmen. Dies läßt sich durch einen Vergleich der Resultate
der getriebenen Messung im linearen Regime und einem freien Zerfall
bewerkstelligen. Dazu löst man Gleichung 2.4 nach der Kugelladung
q auf
q =
d 2 λ I
Uac
, (2.5)
setzt den linearen Reibungskoeffizienten, wie er aus dem freien Zerfall
gemäß Gleichung 2.1 bestimmt werden kann, ein und verwendet
das Verhältnis I/Uac, das sich aus einer Reihe getriebener Messungen
bei unterschiedlichen Werten für Uac im linearen Regime ergibt.
Voraussetzung ist dabei, daß in beiden Messungen die Temperatur
der Meßzelle konstant bleibt, da der lineare Dämpfungskoeffizient λ
stark temperaturabhängig ist (vgl. Abschnitt 1.2.1).
2.1.4 Herstellung von 3 He- 4 He-Mischungen
Im Abschnitt 3.4 wird die Viskosität von 3 He- 4 He-Mischungen sowie
der Einfluß von 3 He-Verunreinigungen auf den Übergang zwischen
laminarer und turbulenter Strömung untersucht. Hierfür ist es erforderlich,
definierte 3 He- 4 He-Mischungen herzustellen. Zu diesem
Zweck wird ein Mischbehälter mit einem Volumen von 5 ℓ verwendet,
an welchen zwei Absolutdruckmeßgeräte (Wallace & Tiernan)
mit einem Gesamttotvolumen von 3,85 ℓ angeschlossen sind. Damit
ist eine Ablesung im Bereich von 0 torr bis über Atmosphärendruck

58 Kapitel 2. Experimenteller Aufbau
tatsächliche Zielkonzentration
0,01
1E-4
1E-6
1E-8
c( 3 He) = 2e-7
c( 3 He) = 1e-9
völlig reines He-4
1E-13 1E-11 1E-9 1E-7 1E-5 1E-3
theoretische Zielkonzentration
Abweichung vom Zielwert in %
10
1
0,1
0,01
1 10 100 1000 10000
Zielkonzentration / Konzentration des Mischungsmediums
Abbildung 2.4: Verdünnung von 3 He/ 4 He-Mischungen. Im linken
Teilbild ist die durch sukzessives Verdünnen mit verschiedenen Medien
erreichte Konzentration über der Konzentration aufgetragen,
die sich für 100 % reines 4 He als Verdünnungsmedium ergeben würde.
Man erkennt, daß sich Abweichungen ergeben, wenn die gewünschte
Zielkonzentration vergleichbar mit der Konzentration des
Verdünnungsmediums wird. Im rechten Teilbild wird dies näher
quantifiziert, indem die Abweichung der Konzentration vom Sollwert
über dem Verhältnis von gewünschter Zielkonzentration und
Konzentration des Mischungsmediums aufgetragen wird.
(760 torr) mit einer Genauigkeit von 1 torr möglich. Zusätzlich stellt
das zweite Manometer einen Feinmeßbereich von 0 torr bis 20 torr
mit einer Zehntelteilung zur Verfügung, so daß kleine Drücke mit
sehr hoher Präzision gemessen werden können. Dem Behälter kann
über ein Ventilsystem wahlweise reines 3 He, reines 4 He (mit einer
garantierten Reinheit von 99,999 999 9 %) oder natürliches 4 He aus
einer handelsüblichen Druckflasche zugeführt werden. Zur Erzeugung
definierter Mischungen wird das Gefäß evakuiert, so daß der
Feinmeßbereich des zweiten Manometers verwendet werden kann,
und dann wenige Torr 3 He zugefügt. Anschließend wird mit natürlichem
Helium bis etwa auf Atmosphärendruck aufgefüllt. Daraufhin
wird der Behälter erneut teilweise evakuiert und erneut mit natürlichem
Helium gefüllt und so durch sukzessives Verdünnen die gewünschte
Konzentration eingestellt. Hierbei ergibt sich jeweils die

2.1 Meßmethode 59
neue 3 He-Konzentration cn nach dem Auffüllen aus der Ausgangskonzentration
ca beim Druck pa bis zum Enddruck pn nach folgender
Beziehung:
cn = paca + (pn − pa)cv
pn
, (2.6)
wobei cv die 3 He-Konzentration des Verdünnungsmediums angibt.
Im Falle des reinen 4 He beträgt diese cv = 1 · 10 −9 im Falle des natürlichen
Heliums cv ≈ 2 · 10 −7 . In Abbildung 2.4 (linkes Bild) ist
die durch sukzessives Verdünnen mit verschiedenen Medien erreichte
Konzentration aufgetragen. Die Rechtswertachse gibt dabei den
Wert an, der sich bei Verwendung von absolut reinem 4 He ergeben
würde. Man erkennt deutlich, daß es bei höheren Konzentrationen
völlig ausreichend ist, die Verdünnung mit natürlichem Helium vorzunehmen.
Sobald jedoch die Zielkonzentration cn in der Größenordnung
der 3 He-Konzentration des natürlichen Heliums liegt, entsteht
eine deutliche Abweichung. Quantitativer läßt sich dies im rechten
Teilbild von Abbildung 2.4 ablesen. Um einen Fehler in der Konzentration
der Zielmischung von unter ca. 5 % zu erreichen, muß das
Verdünnungsmedium um einen Faktor 20 sauberer sein als die gewünschte
Zielmischung. Im Prinzip wäre es dennoch möglich, die
Verdünnung in diesem Fall mit dem deutlich kostengünstigeren natürlichen
Helium vorzunehmen und diese Abweichung bei der Konzentrationsbestimmung
zu berücksichtigen. Allerdings ist dafür eine
exakte Kenntnis der Zusammensetzung des zur Verdünnung verwendeten
Heliums erforderlich, welche in der Regel jedoch nicht gegeben
ist. Daher ist es notwendig die letzten Verdünnungsschritte
mit reinem 4 He durchzuführen.
Wenn verschiedene Mischungen nacheinander in der Meßzelle
untersucht werden sollen, muß sichergestellt sein, daß diese hinreichend
sauber ist, also insbesondere nicht zu viele 3 He-Atome beim
Mischungswechsel in der Zelle verbleiben. Um dies zu gewährleisten,
wird mehrmals mit der neu zu untersuchenden Mischung gespült.
Die Evakuierung der Meßzelle läßt sich dabei sehr gut mit der

60 Kapitel 2. Experimenteller Aufbau
Abbildung 2.5: Mikroskopische Aufnahmen der Kugel. Die beiden
linken Bilder zeigen die Oberfläche der Kugel, während das dritte
Bild als Durchlichtaufnahme eine sehr gute Äquatorialansicht der
Kugel liefert. (Fotos von M. Zitzlsperger)
oszillierenden Kugel überwachen (vgl. [30]), da die Bedämpfung der
Oszillationen stark mit dem Restgasdruck in der Zelle variiert
p = (λ − 6πηr 2 )
kBT
36π 3 R 4 ηm4 f
2.2 Aufbau der Meßzelle
, η = 1,2 · 10 −6 Pa s . (2.7)
Die Meßzelle besteht aus mehreren Teilen. Das Kernstück besteht aus
einem kugelförmigen Permanentmagneten, der sich in dem aus Niob
und Glas gefertigten supraleitenden Kondensator befindet. Dieser
wiederum ist in einem mit Helium befüllbaren Behälter am Boden
der Mischkammer eines Verdünnungskryostaten befestigt. Um eine
bessere Wärmeankopplung zu erreichen, wird eine Kupferplatte
mit beidseitig eingelassenem Sintermaterial als Mischkammerboden
verwendet. Für die Experimente mit der radioaktiven Quelle (s. Abschnitt
3.3.3) ist darüber hinaus eine geeignete Aufhängung zur Aufnahme
der Quelle außerhalb des Kryostaten erforderlich.

2.2 Aufbau der Meßzelle 61
2.2.1 Die Kugel
Damit die Kugel später über dem Supraleiter levitieren kann, ist es
notwendig sie aus ferromagnetischem Material herzustellen. Wegen
seiner relativ hohen Magnetisierung wurde SmCo5 als Material ausgewählt,
wie es auch als Permanentmagnet in hochwertigen Lautsprechersystemen
zum Einsatz kommt. Die sphärische Form wurde
dadurch erhalten, daß ein kleines Stück des Materials in einer
mit Druckluft betriebenen Kugelmühle ausreichend lange bearbeitet
wurde. Abbildung 2.5 zeigt ein stark vergrößertes Bild der in
dieser Arbeit eingesetzten Kugel. Sie wurde von J. Jäger hergestellt
und auch bereits für einen Teil der Messungen in [24] verwendet. Als
Masse der Kugel wird dort m = (27 ± 0,5) µg angegeben. Der Kugelradius
wurde unter Annahme einer idealen sphärischen Form unter
Verwendung der vom Hersteller des Materials angegebenen Dichte
(ρ = 5,1 · 10 3 kg/m 3 ) zu 108 µm bestimmt. Im Verlauf der vorliegenden
Arbeit wurde der Kugelradius durch Anpassung der im laminaren
Regime gewonnenen temperaturabhängigen Dämpfungswerte
an die theoretischen Werte (s. Abschnitt 1.2.1) erneut bestimmt.
Hierbei ergab sich ein etwas höherer Wert von R = 124 µm. Eine
ebenfalls durchgeführte Messung der Kugelgröße mit Hilfe eines Mikroskops
lieferte einen Radius von R = (124 ± 4) µm, in perfekter
Übereinstimmung zum hydrodynamisch ermittelten Wert.
Die Aufnahmen in Abbildung 2.5 wurden mit Hilfe eines stereoskopischen
Auflichtmikroskops gewonnen. Leider ist jedoch nur eine
monookulare Aufzeichnung des Bildes möglich, so daß die Reproduktion
das wirkliche Bild nur äußerst unzureichend wiedergeben
kann. Bei direkter Betrachtung durch das Mikroskop erscheint
die Kugel sehr schön rund, besitzt allerdings eine relativ rauhe Oberfläche.
Der optische Eindruck entspricht etwa einem aus Alufolie gekneteten
Kügelchen von ca. 2 cm Durchmesser. Was sich bereits im
mittleren Bild in Abbildung 2.5 andeutet, bestätigt die Phasenkontrastaufnahme
im dritten Teilbild, welche ein sehr schönes Bild vom
Äquator der Kugel liefert. Offenbar ist die Kugel nicht perfekt sphärisch
und besitzt darüberhinaus eine etwas zerklüftete Stelle mit einer
außergewöhnlich tiefen ‚Schlucht‘ und mehreren kleinen ‚Gebir-

62 Kapitel 2. Experimenteller Aufbau
Abbildung 2.6: Bild der inneren Komponenten der Meßzelle. Die untere
Elektrode ist als 1 mm Erhöhung mit 2 mm Durchmesser über
der Niob-Basisplatte ausgeführt. Über diese Erhöhung ist das Glasröhrchen
geschoben, welches den Abstandshalter für die obere Elektrode
bildet. Die obere Elektrode ist als Deckel ausgeführt, um die
Kugel sicher im Inneren der Meßzelle zu halten und die spätere Montage
im äußeren Zellenhalter zu erleichtern. Im Kondensator ist die
ferromagnetische Kugel zu erkennen. Zum Größenvergleich ist links
ein handelsübliches Streichholz abgebildet.
gen‘ in der Nähe. Die Ursachen für diese Imperfektionen sind in der
Produktionsmethode der Kugel sowie möglicherweise auch in Inhomogenitäten
des Ausgangsmaterials zu suchen.
2.2.2 Meßzelle
Die Meßzelle wurde aus reinem Niob gefertigt, das lediglich ca. 0,2 %
metallische Verunreinigungen besitzt. Versuche mit noch reinerem
Elektrodenmaterial waren in der Vergangenheit nicht erfolgreich [24,
S. 3]. Eine maßstabsgetreue schematische Zeichnung der Meßzelle ist
in Abbildung 2.7 zu sehen. Als Abstandshalter zwischen oberer und
unterer Elektrode dient ein Quarzglasrohr, welches gleichzeitig verhindert,
daß die Kugel den Raum zwischen den beiden Kondensatorplatten
verlassen kann. Quarzglas wurde deswegen als Material

2.2 Aufbau der Meßzelle 63
für den Abstandshalter gewählt, weil es im Vergleich zu den meisten
Kunststoffen einen geringen Anteil von Kernen mit magnetischem
Moment besitzt. Diese Kernmomente könnten möglicherweise
durch die oszillierende ferromagnetische Kugel angeregt werden,
wodurch unerwünschte Energiedissipation verursacht würde. Außerhalb
des Glasrohres befindet sich eine ebenfalls aus Niob gefertigte
Abschirmung, welche einerseits störende magnetische Einflüsse
vom Inneren der Meßzelle abhalten und andererseits das im Kondensator
in vertikaler Richtung linear zunehmende elektrische Potential
auch im Außenbereich nachbilden, und damit Feldverzerrungen
am Rand des Kondensators reduzieren soll. Um dies zu erreichen,
besteht die Schirmung aus zwei voneinander isolierten und übereinander
angeordneten Niobringen, die sich jeweils auf dem selben
Potential wie die untere bzw. obere Kondensatorelektrode befinden.
Die Schirmung wurde ebenso wie die übrige Zelle daraufhin optimiert,
daß alle Kunststoffteile möglichst weit von der Kugel entfernt
sind. Das geringe Spaltmaß zwischen den beiden Teilen der Abschirmung
stellt sicher, daß Spannungsdurchbrüche, wie sie bei ungenügend
evakuierter Zelle bei der Präparation des Levitationszustandes
(s. Abschnitt 2.1.1) auftreten können zuerst hier geschehen, so daß
der dabei auftretende relativ hohe Ladungsfluß unmittelbar in den
geerdeten Schutzring abfließt und somit der empfindliche Elektrometerverstärker
(s. Abschnitt 2.3.2) weniger stark gefährdet ist.
Um die Zelle möglichst leicht montierbar zu machen, wurde sie
in Elementbauweise realisiert. Nachdem die Kugel im Kondensator
plaziert ist, können die verschiedenen Bauteile sukzessiv in die Nylonhalterung
eingesetzt werden. Zu diesem Zweck wird auch die
obere Elektrode wie die untere lediglich über ein Kontaktblech elektrisch
leitend mit der Zuleitung verbunden und nicht mit Leitsilber
befestigt. Um dennoch eine ausreichende Kontaktsicherheit einerseits
und Schutz des Glasrohres vor mechanischen Spannungen
während der Abkühlungsphase andererseits zu erreichen, werden
zusätzlich elastische Elemente aus dünnem Bronzeblech sowie dünner
Niobfolie eingesetzt.

64 Kapitel 2. Experimenteller Aufbau
Abbildung 2.7: Maßstabsgetreue Zeichnung der Meßzelle. 1: obere
Elektrode (Nb), 2: untere Elektrode (Nb), 3: sphärischer Permanentmagnet
(SmCo5), 4: Quarzglasrohr, 5: oberer und unterer Schirmring
(Nb), 6: Schutzring (Nb), 7: elektrische Isolation (PVC), 8: untere Halterung
(Nylon), 9: obere Halterung (Messing), 10: unteres Kontaktblech
und elastisches Element (Bronzeblech), 0: elastisches Element
(Nb-Folie), i: oberer Zuleitungsdraht mit angelötetem Kontaktblech
(Bronze). Der Innendurchmesser von 8 beträgt 12 mm.
2.2.3 Einbau der Meßzelle
Zur Kühlung der Meßzelle auf die für die Messung erforderlichen
tiefen Temperaturen von bis zu 24 mK wird diese in einen 3 He/ 4 He-
Mischungskryostaten eingebaut. Die Meßzelle wird dazu in einen
Behälter aus Kupfer eingesetzt, in den die in Abildung 2.7 gezeigte
Nylonaufnahme (8) sowie das untere Kontaktblech (10) bereits eingeklebt
sind. Darüberhinaus verfügt der Behälter über vakuumdichte
Durchführungen für den Anschluß der beiden Elektroden sowie des
Zellenthermometers und eine Füllkapillare, durch welche die Zelle
evakuiert und mit Helium gefüllt werden kann. Der Kupferbehälter
wird nach Montage der Meßzelle vakuumdicht unmittelbar am

2.2 Aufbau der Meßzelle 65
Abbildung 2.8: Fotografie des an der Mischkammer angeflanschten
Meßzellenhalters. Ganz unten ist der Meßzellenhalter aus Kupfer mit
den Durchführungen für die beiden Elektroden des Kondensators
und das Thermometer sowie der Füllkapillare zu erkennen. Darüber
befindet sich die Mischkammer, abgetrennt durch den mit Sintereinsätzen
(im Bild nicht sichtbar) versehenen Kupferboden.
Boden der Mischkammer des Kryostaten verschraubt. Um die Temperaturankopplung
zwischen Meßzelle und Mischkammer zu verbessern,
wird als Mischkammerboden eine Kupferplatte verwendet,
welche zur Vergrößerung der Oberfläche zusätzlich mit beidseitig
eingepreßtem Sintermaterial versehen ist.
2.2.4 Die radioaktive Quelle
Bei den Messungen mit radioaktiver Quelle (s. Abschnitt 3.3.3) wird
eine 60 Co-Quelle in Höhe der Meßzelle außerhalb des Heliumdewars
angebracht. Das stabförmige Gehäuse der Quelle wird hierfür in ein

66 Kapitel 2. Experimenteller Aufbau
Kunststoffrohr passenden Durchmessers eingeschoben, welches an
der entsprechenden Stelle befestigt wurde. Dadurch ist es möglich,
die Quelle problemlos zu entfernen und wieder zu befestigen, ohne
dabei den Montageort zu verändern. 60 Co ist ein Betastrahler, wobei
aber die Elektronen der Betastrahlung nur eine Maximalenergie von
0,3 MeV besitzen und somit lediglich die ebenfalls emittierte Gammastrahlung
den Mantel des Heliumdewars aus Edelstahl bzw. die
Zellenummantelung durchdringen kann. Die Gammaquanten besitzen
Energien von 1,17 MeV bzw. 1,33 MeV, so daß die Abschirmwirkung
des Heliumdewars aus dünnem Edelstahl bzw. Aluminium
sehr gering ist, wie auch Messungen mit einem Stahlungsmeßgerät
ergeben haben: etwa 80 % der Strahlung erreicht die Meßzelle.
Die Aktivität des noch sehr neuen Präparats ist vom Hersteller
mit 74 kBq angegeben. Nach den Ausführungen in [34, S. 224] berechnet
sich die Ortsdosisleistung (Kermaleistung) ˙K mit Hilfe der
Aktivität A und der Dosisleistungskonstante δ sowie dem Abstand
zur Strahlungsquelle R zu
˙Kδ(R) = δ
A
. (2.8)
R2 Die Dosisleistungskonstante wird in [34, S.227] für 60 Co bezogen auf
Luft hergeleitet und beträgt
δ = 0,306
mGy · m2
h · GBq
. (2.9)
Mit den Daten des Experiments (R = 15,4 cm, A = 74 kBq) ergibt
sich damit die Kermaleistung der radioaktiven Quelle am Ort der
Meßzelle zu
˙KCo = 954 nGy/h . (2.10)
Demgegenüber liegt die Kermaleistung durch natürliche Strahlungsquellen
in Bayern bei typischerweise 60,1 pGy/s [34, S. 277]. Berücksichtigt
man die Abschirmwirkung und zusätzlich abgegebene
Strahlung des Gebäudes, ergibt sich mit der Betonbauweise der Universität
Regensburg ein Faktor 1,3 in der Kermaleistung [34, S. 278].

2.2 Aufbau der Meßzelle 67
d Quelle ↔ Zähler durchstrahltes ˙K ˙K − ˙K0
(cm) Medium (nGy/h) (nGy/h)
15 Luft 600 ± 5 % 550
30 Luft 250 ± 5 % 200
30 Dewar 170 ± 5 % 120
Tabelle 2.1: Übersicht der Ergebnisse der Messung der Dosisleistung
der radioaktiven Quelle.
Durch kosmische Höhenstrahlung vergrößert sich die Dosisleistung
nochmals um 26 nGy/h [34, S. 278]. Damit kann von einer gesamten
natürlichen Kermaleistung von
˙Knat = 60,1 nGy/h · 1,3 + 26 nGy/h = 104 nGy/h (2.11)
ausgegangen werden. Um Unsicherheiten bezüglich der tatsächlichen
Aktivität der Quelle sowie mögliche lokale Abweichungen vom
typischen Wert der natürlichen Hintergrundstrahlung auszuschließen,
wurde durch Prof. Dr. H. von Philipsborn zusätzlich eine Messung
der Dosisleistungen mit einem Geiger-Müller-Zählrohr (Szintomat
6134) durchgeführt. Die Bestimmung der Dosisleistung der natürlichen
Hintergrundstrahlung lieferte dabei einen Wert von
˙Knat = 50 nGy/h (±10 %) , (2.12)
also etwa die Hälfte des aus der Tabelle ermittelten Wertes. Die Meßwerte
bei Verwendung der Quelle sind in Tabelle 2.1 zusammengestellt.
Aus diesen Messungen läßt sich unter Zuhilfenahme von Gleichung
(2.8) die Aktivität der Quelle bestimmen. Es ergibt sich ein
Wert von 40 kBq — deutlich geringer als die vom Hersteller des Präparats
angegebene Aktivität, die wohl als Obergrenze 1 zu verstehen
1 Die gesetzlichen Bestimmungen erfordern die Einhaltung einer bestimmten Maximalaktivität
für radioaktive Präparate zu Demonstrationszwecken im Schulunterricht.
Die verwendete radioaktive Quelle besitzt eine entsprechende Zulassung.

68 Kapitel 2. Experimenteller Aufbau
ist. Zunächst wird durch Vergleich der Messungen mit und ohne Dewar
die Abschirmwirkung des Kryostaten ermittelt:
200 nGy/h · e −30cm/L = 120 nGy/h
⇒ L = 59 cm
Damit erreichen 77 % der ursprünglichen Dosisleistung die Meßzelle
in der Mitte des Dewargefäßes, die zugehörige Dosisleistung am Ort
der Meßzelle beträgt also
˙KCo = 550 nGy/h · e −30/59 = 420 nGy/h . (2.13)
Das Verhältnis der Kermaleistungen mit am Kryostaten angebrachter
radioaktiver Probe und der natürlichen Hintergrundstrahlung ergibt
sich damit aus den gemessenen Werten zu:
σ = ˙KCo + ˙Knat
˙Knat
2.3 Elektrische Beschaltung
= 9,4 ± 15 % (2.14)
Zur Anregung und Detektion der Kugeloszillationen, zur Präparation
des Levitationszustandes sowie zur Realisierung der automatischen
Nachregelung der Frequenz der Antriebskraft ist eine Vielfalt
von Meßgeräten erforderlich, deren Zusammenwirken im folgenden
erläutert werden soll. Eine erste Übersicht bietet dabei das Blockschaltbild
in Abbildung 2.9.
2.3.1 Spannungsquellen
Die zur elektrostatischen Aufladung der Kugel während der Präparation
des Levitationszustandes erforderliche Hochspannung von
±(600–1000) V wird mit Hilfe eines Hochspannungsnetzteiles (Knott
Elektronik NHSV-3,5 BN649) erzeugt. Die Hochspannung wird der
unteren Elektrode des Experiments über einen hochohmigen Widerstand
(2,2 M ) zugeführt, um im Falle eines Kurzschlusses bzw.

2.3 Elektrische Beschaltung 69
Abbildung 2.9: Blockschaltbild des Experiments. Während die Hochspannung
gleichspannungsgekoppelt mit der unteren Elektrode verbunden
ist, wird die Wechselspannung zur Anregung der Oszillationen
über einen hochspannungsfesten Kondensator eingekoppelt.
Zur Kompensation des kapazitiven Übersprechens wird ein
durch einen Inverter um 180° phasenverschobenes Signal verwendet.
Die per Rechnersteuerung realisierte Nachführung der Frequenz der
Wechselspannung nutzt die vom LockIn-Verstärker zur Verfügung
gestellte Phaseninformation. Die Meßdaten werden rechnergestützt
mit einem maßgeschneiderten x-t-Schreiber-Programm aufgezeichnet.
Hochspannungsdurchbruchs den maximal fließenden Strom zu begrenzen.
In der Praxis hat sich gezeigt, daß der Widerstand nicht
ausreicht, um ein sicheres Löschen einer Glimmentladung bei dem
hier verwendeten Design der Meßzelle zu erreichen.
Die zur Erzeugung des elektrischen Wechselfeldes im Kondensator
— und damit der antreibenden Kraft — erforderliche sinusförmige
Wechselspannung wird mit einem HP-3325B Funktionsgenerator
erzeugt und über einen hochspannungsfesten Kondensator
(C=220 nF, 1250 V) an die untere Elektrode der Meßzelle angekoppelt.
Der Frequenzgenerator kann Wechselspannungen Uac mit einer
Amplitude von 1 mV bis zu 20 V mit einer Frequenzauflösung von

70 Kapitel 2. Experimenteller Aufbau
10 −5 Hz bei 300 Hz liefern. Damit können je nach Kugelladung typische
antreibende Kräfte
F = qE = q
d Uac
von 1 pN bis zu 20 nN ausgeübt werden.
2.3.2 Elektrometerverstärker
(2.15)
Die geladene Kugel im Kondensator induziert auf den Kondensatorplatten
Influenzladungen, welche dem Feld einer Spiegelladung jenseits
der Elektrode entsprechen. Hierbei ergibt sich eine unendliche
Kette von Spiegelladungen. In [10] wird gezeigt, daß bei Berücksichtigung
aller dieser Spiegelladungen sich die gesamte auf der Kondensatorplatte
influenzierte Ladung zu
qinfl = − x
q (2.16)
d
ergibt (x: Abstand der Kugel von der unteren Elektrode). Anschaulich
bedeutet dieses Ergebnis, daß die Ladung, wenn sie sich von
der unteren Platte ablöst, kontinuierlich auf die obere Platte transportiert
wird – es existiert keine Diskontinuität z.B. beim Auftreffen
der Ladung auf der oberen Elektrode. Voraussetzung für dieses einfache
Ergebnis ist ein weit ausgedehnter Plattenkondensator sowie
eine hinreichend punktförmige Ladung. Im Falle der oszillierenden
Kugel bedeutet dies, daß in der Zuleitung der oberen Elektrode ein
Strom von
I(t) =
d qinfl(t)
dt
= − q d x(t)
d dt
q
= − v(t) (2.17)
d
influenziert wird.
Nachdem sowohl die Ladung der Kugel als auch ihre Geschwindigkeit
relativ gering sind, ergibt sich ein entsprechend kleiner Influenzstrom
in der Größenordnung 10 −12 A. Es hat sich gezeigt, daß der

2.3 Elektrische Beschaltung 71
Abbildung 2.10: Schaltbild des Elektrometerverstärkers. Der Operationsverstärker
wird als invertierender Verstärker betrieben.
vorhandene Stromeingang der verwendeten Meßgeräte keine ausreichend
hohe Empfindlichkeit bzw. einen zu hohen Rauschpegel aufweist,
um das Signal mit ausreichender Qualität detektieren zu können.
Daher kommt ein separater Elektrometerverstärker zum Einsatz
(s. Abbildung 2.10), dessen Kernstück der Operationsverstärker
AD 549 von Analog Devices darstellt. Dieser Baustein zeichnet sich
durch einen sehr hohen Eingangswiderstand (Eingangsstrom typisch
40 fA), einen hohen Verstärkungsfaktor sowie eine hohe Grenzfrequenz
von 1 Mhz bei Kleinsignalverstärkung aus (vgl. [1]). Da der
Eingang des Bausteins empfindlich auf elektrostatische Aufladung
und Überspannungen reagiert, wird der Elektrometereingang während
der Präparation des Schwebezustandes (s. 2.1.1) durch ein antiparallel
geschaltetes Paar von Si-Standarddioden gegen Signalmasse
vor eventuellen Hochspannungsüberschlägen geschützt. Als Stromversorgung
für den Elektrometerverstärker dient ein längsgeregeltes
symmetrisches Netzteil, die Zuleitung zum Elektrometer ist als abgeschirmte
dreipolige Leitung ausgeführt. Die gewählte invertierende
Beschaltung des Operationsverstärkers mit einem Rückkoppelwiderstand
von Rv = 10 9 führt zu einer Verstärkung von
UAusgang = −Rv IZelle ,
d.h. ein Eingangsstrom von -1 pA am Eingang des Elektrometers
führt zu einer Ausgangsspannung von 1 mV. Um geringe systemati-

72 Kapitel 2. Experimenteller Aufbau
sche Meßfehler zu erreichen, muß sichergestellt werden, daß tatsächlich
der gesamte durch die oszillierende Kugel induzierte Verschiebungsstrom
vom Elektrometer registriert wird und nicht über andere
Wege abfließen kann. Hierfür ist ein möglichst kleiner Eingangswiderstand
des Elektrometers erforderlich. Wie in [27] dargestellt, erhält
man den Eingangswiderstand des Elektrometers aus dem Wert
des Rückkoppelwiderstandes und der Gleichstromverstärkung des
verwendeten Operationsverstärkers (in diesem Fall etwa 10 6 ) zu
Re = 109
= 1 k .
106 Damit ergibt sich nach der Diskussion in [24], daß die parasitären
Ströme unter 0,1% liegen und somit diese Fehlerquelle vernachlässigbar
ist. Darüberhinaus besitzt das Elektrometer eine frequenzabhängige
Verstärkung, die bei höheren Frequenzen eine Korrektur der
Meßwerte erforderlich macht (s. [40]). Wie aus Abbildung 1.5 in [24]
ersichtlich, werden diese Korrekturen für Frequenzen oberhalb von
ca. 300 Hz erforderlich, so daß aufgrund der in dieser Arbeit verwendeten
Frequenzen von bis zu 240 Hz keine Korrekturen vorzunehmen
sind.
2.3.3 Kompensation
An der unteren Elektrode der Meßzelle wird die zur Anregung der
Kugelschwingung erforderliche Wechselspannung angelegt, während
die obere Elektrode durch das Elektrometer auf virtueller Masse
gehalten wird. Als Kondensator stellt die Meßzelle für die Wechselspannung,
welche zur Anregung der Kugelschwingung verwendet
wird, einen Wechselstromwiderstand dar, so daß es zu kapazitivem
Übersprechen der Anregungsspannung kommt. Aus der Geometrie
der Meßzelle (vgl. Abbildung 2.7) berechnet sich deren Kapazität zu
2 ri CZ = εri +
di
r2 a − r2 i
da
εra
πε0 ≈ 102 fF (2.18)
mit ri=1 mm, di=1 mm, ra=1,5 mm, da=3 mm, sowie die relative Dielektrizitätskonstante
von Quarzglas εra = 2,13 [35]. Dabei ist mit

2.3 Elektrische Beschaltung 73
dem Index i das ‚Innere‘ des Kondensators bezeichnet, in dem sich
die Kugel befindet, während der Index a den ‚äußeren‘ Teil beschreibt,
welcher gegeben ist durch den 0,5 mm starken Kreisring an
der oberen Elektrode, der auf dem Quarzglasring aufliegt. Gemäß
dem sich daraus ergebenden Wechselstromwiderstand
RZ = 1
CZω
der Meßzelle von etwa 5,2 G bei 300 Hz ergibt sich ein Übersprechsignal
von ≈ 190 pA bei Uac = 1 V. Dazu kommen noch zusätzliche
Beiträge durch die Zuleitungen innerhalb des Kryostaten von etwa
60 pA. Da dieses Übersprechsignal damit deutlich größer ist als
das von der oszillierenden Kugel produzierte Signal, ist eine Kompensation
dieses störenden Anteils erforderlich. Dazu wird die Anregungsspannung
Uac durch einen invertieren Verstärker mit einstellbarer
Verstärkung geschickt und das entstehende gegenphasige
Signal zum Eingangssignal des Elektrometers addiert. Bei korrekter
Einstellung des Kompensators läßt sich eine Unterdrückung
des Übersprechsignals um über 99 % erreichen. Aufgrund der nicht
idealen Eigenschaften des Operationsverstärkers (insbesondere endliche
Geschwindigkeit) ergibt sich bei der Invertierung eine leichte
Abweichung in der Phase, so daß eine exaktere Kompensation einen
höheren Schaltungsaufwand erfordern würde. Da jedoch das verbleibende
Restsignal linear mit der Amplitude der Anregungsspannung
Uac wächst und exakt um 180° zur Kugelschwingung verschoben ist,
kann im Bedarfsfall eine nachträgliche Korrektur der Meßwerte problemlos
durchgeführt werden. Erforderlich ist dies jedoch nur bei
sehr starker Bedämpfung der schwingenden Kugel und sehr hohen
antreibenden Kräften, wie sie in dieser Arbeit nicht verwendet werden.
Da das Übersprechsignal frequenzabhängig ist, muß der Kompensator
bei Frequenzänderungen von mehr als etwa 5 Hz neu abgeglichen
werden. Dies ist ebenfalls nach dem Befüllen der Meßzelle
mit flüssigem Helium erforderlich, da sich hierbei die relative Dielektrizitätskonstante
der Meßzelle von εri = 1 auf εri = 1,054 ändert und
damit die Kapazität der Meßzelle und somit auch das Übersprechsignal
größer wird.

74 Kapitel 2. Experimenteller Aufbau
Abbildung 2.11: Blockschaltbild des Programms zur Phasenregelung.
Ausgehend von der Phaseninformation des LockIn-Verstärkers
werden drei Stellsignale berechnet: Der differentielle Teil stellt die
Frequenz des Generators exakt auf die Frequenz der Kugeloszillationen
ein. Der proportionale Anteil sorgt zusammen mit dem integralen
Anteil für eine leichte Verstimmung der Frequenz verbunden mit
einer Drehung der Phase um die gewünschte Resonanzbedingung zu
erhalten.
2.3.4 Phasenregelung
Wie bereits erwähnt, handelt es sich bei der oszillierenden Kugel
um einen nichtlinearen Schwinger. Insbesondere ist die Resonanzfrequenz
der Schwingung nicht konstant, sondern eine Funktion der
Schwingungsamplitude. Um nun auch bei Amplitudenänderungen,
wie sie typischerweise bei Einschwingvorgängen nach dem Ändern
der Anregungsspannung oder auch während des in Abschnitt 3.3 be-

2.3 Elektrische Beschaltung 75
schriebenen intermittenten Schaltens auftreten, die Anregung stets in
Resonanz zu den Oszillationen der Kugel zu halten, ist es erforderlich,
die Frequenz der Anregung nachzuregeln.
In früheren Arbeiten [24, 10] wurde versucht dieses Problem dadurch
zu lösen, daß eine variable Gleichspannung an die Meßzelle
angelegt wurde. Diese Gleichspannung führt zu einer zusätzlichen
Kraft auf die schwebende Kugel und verschiebt damit deren Gleichgewichtslage
im Kondensator. Damit verbunden ist aber auch eine
Änderung der Resonanzfrequenz, so daß es im Prinzip möglich ist,
die Eigenfrequenz auf die Frequenz der äußeren Anregung einzuregeln.
Diese Methode ist zwar schnell, hat aber den Nachteil, daß
möglicherweise auch andere Eigenschaften der oszillierenden Kugel
(z.B. die Bedämpfung) durch die Verschiebung der Gleichgewichtslage
beeinflußt werden. Darüberhinaus ist der Regelbereich sehr eingeschränkt.
Eine bessere Lösung wäre daher die Nachführung des Frequenzgenerators
über eine Steuerspannung. Da der zur Verfügung
stehende Frequenzgenerator jedoch nicht über eine Möglichkeit zur
Spannungssteuerung der Frequenz verfügt, kommt stattdessen eine
PC gestützte Lösung zum Einsatz.
Über einen digitalen LockIn-Verstärker (Stanford Research Systems
SR850 DSP) wurden kurze Zeitreihen der Phasenbeziehung
zwischen Kugelschwingung und Anregungsspannung aufgezeichnet
und daraus die zeitliche Änderung ˙ϕ abgeleitet. Daraus ergibt
sich unmittelbar die Frequenz der Schwebung zwischen anregender
Kraft und Kugeloszillation f zu 2
˙ϕ = f · 360°
und damit die Frequenzänderung, welche erforderlich ist, um eine
konstante Phasenbeziehung wiederherzustellen (differentieller Anteil).
Um nun die gewünschte Phasenbeziehung von 90° für die Resonanzbedingung
zu erhalten, wird noch ein proportional-integral-
Stellterm zu dieser Frequenzänderung hinzuaddiert. Die somit er-
2 LockIn-Verstärker liefern die Phaseninformation üblicherweise in Altgrad, daher
der ungewöhnliche Faktor von 360°.

76 Kapitel 2. Experimenteller Aufbau
haltene neue Frequenz wird nun am Frequenzgenerator eingestellt.
Alle diese Aktionen werden über den IEEE-Bus durchgeführt.
Mit dieser Methode lassen sich bis zu drei Stellvorgänge pro Sekunde
ausführen, was sich in der Praxis als im allgemeinen ausreichend
erwiesen hat, da die Amplitudenänderungen in der Regel
sehr langsam (über einige Sekunden bis zu mehreren zehn Minuten)
stattfinden. Allerdings kommt es bei den Messungen im Regime des
intermittenten Schaltens (s. Abschnitt 3.3) zu Problemen, wenn die
Frequenz der Kugeloszillationen eine zu starke Frequenzabhängigkeit
aufweist. Dann ist die Regelung nicht schnell genug und die
Resonanzbedingung kann für kurze Zeit verloren gehen, wodurch
die Messungen verfälscht werden. Dieses Problem läßt sich jedoch
durch sorgfältige ‚Qualitätskontrolle‘ bei der Präparation des Experiments
einerseits, sowie einer geeigneten Anpassung der Parameter
des Phasenregelprogramms andererseits, bewältigen.
2.3.5 Meßdatenerfassung
Für die Messung mit freien Zerfällen bzw. die Erfassung von Zeitreihen
(vgl. Abschnitt 2.1.2) ist eine Aufzeichnung der zeitlichen Veränderung
der Geschwindigkeitsamplitude der Kugeloszillationen erforderlich.
Hierfür wird ein Wechselspannungsvoltmeter (Princeton
Applied Physics, PAR Model 116) mit nachgeschaltetem PC verwendet
(vgl. Abbildung 2.9, S. 69). Der PC ist mit einer 12-Bit Analog-
Digital-Wandlerkarte [50] ausgestattet und liest damit den Ausgang
des Wechselspannungsvoltmeters aus. Das Voltmeter wird je nach
Situation mit Integrationszeiten von 0,03 s bis 0,3 s betrieben, wobei
zur Unterdrückung von Störungen das eingebaute Bandpaßfilter mit
einer Güte von Q = 2 verwendet wird. Durch die Verwendung des
PCs zur Meßdatenerfassung ist eine hohe zeitliche Auflösung (bei
der Aufnahme von relativ schnellen Zerfällen bis zur Grenze, welche
durch die Integrationszeit des Voltmeters gegeben ist) einerseits, aber
auch eine extrem hohe Speichertiefe bei reduzierter zeitlicher Auflösung
erreichbar. Bei den durchgeführten Langzeitmessungen von bis
zu 24 Stunden mit einer Meßrate von 10 Datenpunkten pro Sekunde

2.3 Elektrische Beschaltung 77
werden zum Beispiel 864 · 10 3 Meßwerte entsprechend ca. 1,6 MByte
an Meßdaten produziert.
2.3.6 Thermometrie
Zur Überwachung der verschiedenen Temperaturen im Kryostaten
kommt eine Widerstandsmeßbrücke (Picowatt AVS 46) zum Einsatz,
welche speziell für den Einsatz in Tieftemperaturanwendungen optimiert
ist und über einen eingebauten Multiplexer bis zu 7 unterschiedliche
Meßstellen bedienen kann. Neben der Bestimmung der
Betriebsparameter des Kryostaten wird damit auch die Temperatur
der Meßzelle ermittelt, wobei als Thermometer ein Dickschichtwiderstand
auf RuO2-Basis zum Einsatz kommt, der in [8, Probe
B] untersucht und kalibriert wurde. Zur Temperaturregelung dient
ein speziell auf die Widerstandsmeßbrücke abgestimmter Temperaturkontroller
(Picowatt TS-530). Mit dieser Gerätekonfiguration ist
es möglich, Temperaturen zwischen der Endtemperatur des Kryostaten
von 20 mK und 1 K auf ±0,01 mK genau zu stabilisieren (vgl.
[2, 51]). Die Widerstandsmeßbrücke verfügt darüberhinaus über eine
Schnittstelle zur Steuerung durch einen PC, welche es ermöglicht,
auch bei unbeaufsichtigten Langzeitmessungen die Stabilität
der Meßzellentemperatur permanent zu überwachen.

78 Kapitel 2. Experimenteller Aufbau

Kapitel 3
Meßergebnisse und
Interpretation
Denn was man messen kann,
das existiert auch.
Max Planck
Bei der Durchführung des Experiments wird die Bedämpfung der
Kugeloszillationen durch Wechselwirkung mit supraflüssigem 4 He
bzw. 3 He- 4 He-Mischungen ermittelt. Dabei ergeben sich je nach Geschwindigkeitsamplitude
der Kugeloszillation — und damit je nach
Amplitude der antreibenden Kraft — verschiedene Strömungsformen
um die Kugel, welche sich durch eine unterschiedliche Bedämpfung
der Oszillationen auszeichnen (vgl. Abbildung 3.1). Für kleine
Geschwindigkeitsamplituden (bzw. antreibende Kräfte) ergibt sich
lineare Dissipation entsprechend einer linearen Zunahme der Geschwindigkeitsamplitude
v der Oszillationen mit der antreibenden
Kraft F (vgl. Abschnitt 3.1). Bei stark erhöhten antreibenden Kräften
findet sich ein Bereich, in dem v nur mehr sublinear mit F anwächst
(vgl. Abschnitt 3.2). Diese beiden Bereiche entsprechen jeweils laminarer
bzw. turbulenter Strömung der Supraflüssigkeit um die Kugel,
wobei sich Parallelen zum Verhalten klassischer Flüssigkeiten
ergeben. Dazwischen befindet sich ein Übergangsbereich (in Abbildung
3.1 hervorgehoben), der sich jedoch vom üblichen Szenario des
Übergangs zur Turbulenz in klassischen Flüssigkeiten in wesentli-
79

80 Kapitel 3. Meßergebnisse und Interpretation
v (mm/s)
40
30
20
10
T = 300 mK
0
0 200 400 600 800
F (pN)
Abbildung 3.1: Für unterschiedliche antreibende Kräfte, die auf die
oszillierende Kugel einwirken, ergeben sich unterschiedliche Regimes
für den Fluß der Supraflüssigkeit um die Kugel.
chen Punkten unterscheidet (vgl. Abschnitt 3.3). Darüberhinaus wird
in Abschnitt 3.4 die Viskosität von 3 He- 4 He-Mischungen ermittelt,
sowie der Einfluß der 3 He-Konzentration auf den Übergang von laminarer
zu turbulenter Strömung untersucht.
3.1 Laminarer Bereich
Im Bereich kleiner antreibender Kräfte bildet sich eine Potentialströmung
um die oszillierende Kugel aus. Wie in Abschnitt 1.2.1 gezeigt,
fließt die Supraflüssigkeit in diesem Fall um die oszillierende Kugel
ohne eine dissipative Kraft auf diese auszuüben. Die zur Beschleunigung
der verdrängten Supraflüssigkeit erforderliche Kraft bewirkt

3.1 Laminarer Bereich 81
lediglich eine erhöhte effektive Masse der oszillierenden Kugel (vgl.
[37])
4
meff = m + mhyd = m +
3 R3
ρ
π
2 .
Wegen der geringen Dichte des flüssigen Heliums ergibt sich lediglich
eine Korrektur von 2,1%, die nur als leichte Verschiebung der
Resonanzfrequenz meßbar ist und die Ergebnisse nicht weiter beeinflußt.
Da die Temperatur des Systems endlich ist, verbleibt jedoch
ein stark verdünntes Gas aus Quasiteilchen, die an der Kugel ballistisch
gestreut werden und so eine lineare Dämpfungskraft verursachen.
Der entsprechende lineare Dämpfungskoeffizient wird mit
den in Abschnitt 2.1.2 beschriebenen Methoden experimentell bestimmt.
Abbildung 3.2 zeigt lineare Dämpfungskoeffizienten, wie sie
im Experiment ermittelt wurden, im Vergleich mit der theoretisch erwarteten
Dämpfung durch ballistische Streuung am Quasiteilchengas.
Man erkennt eine sehr gute Übereinstimmung über einen Temperaturbereich
von etwa 100 mK bis 600 mK. Oberhalb von 600 mK
wird die freie Weglänge der Phononen vergleichbar mit den Abmessungen
der Kugel und man erreicht den Bereich des Übergangs zu
hydrodynamischer Strömung (vgl. auch [24]). Für Temperaturen unterhalb
von 100 mK erreicht die durch das Phononengas verursachte
und mit T 4 abnehmende Bedämpfung der Kugeloszillationen die
Größenordnung der Bedämpfung, welche durch die Lagerung der
Kugel verursacht wird. Um die Auflösung des Experiments bei tiefen
Temperaturen möglichst hoch zu halten, wurde daher bei der Präparation
der Levitationszustände (vgl. Abschnitt 2.1.1) besonders auf
geringe Untergrunddämpfung geachtet.
Aufgrund des guten Verständnisses des laminaren Regimes eignet
sich die Messung des linearen Dämpfungskoeffizienten dazu,
den tatsächlichen Radius der Kugel exakter zu bestimmen, als dies
mittels Mikroskop oder der Dichte des Kugelmaterials möglich ist.
Man verwendet dabei die Gleichung
R =
45¯h 3 c4λ 2π 3 , (3.1)
(kBT) 4

82 Kapitel 3. Meßergebnisse und Interpretation
λ (kg/s)
1E-7
1E-8
1E-9
1E-10
isotopenreines 4 He
λ + λ ph rot
λ ph
evakuierte Meßzelle
1E-11
40 100 1000
T (mK)
Abbildung 3.2: Linearer Dämpfungskoeffizient, gemessen in der
evakuierten Zelle (Untergrunddämpfung) bzw. mit reinem 4 He. Die
durchgezogene Linie entspricht der laminaren Dämpfung, wie sie
durch ballistische Streuung von Phononen und Rotonen an der Kugel
entsteht (vgl. Gleichung (1.13)). Das Maximum der Meßwerte
zwischen 600 mK und 700 mK gibt den Übergang zu hydrodynamischem
Verhalten an. Die ballistische Beschreibung verliert hier ihre
Gültigkeit.
wobei das experimentell bei T = 300 mK bestimmte λ Verwendung
findet. Der in [24] angegebene Wert für den Kugelradius von 109 µm
ist so um 14 % auf 124 µm nach oben zu korrigieren. Die Ursache für
diese Abweichung ist unklar, vermutlich ist sie auf eine fehlerhafte
Kalibrierung des in [24] verwendeten Mikroskops zurückzuführen,
da eine erneute optische Messung im Rahmen der vorliegenden Arbeit
das hydrodynamisch gefundene Ergebnis voll bestätigt (vgl. Seite
61).

3.2 Turbulenter Bereich 83
v (mm/s)
100
80
60
40
20
0
T = 100 mK
0 2 4 6 8 10 12
F (nN)
Abbildung 3.3: Für sehr hohe antreibende Kräfte ergibt sich ein Zusammenhang
zwischen antreibender Kraft und erreichter Oszillationsamplitude,
wie er durch die im Text angegebene Reibungskraft
gegeben ist (Linie). Deutlich ist die Verschiebung der Kurve zu negativen
Kräften hin zu erkennen.
3.2 Turbulenter Bereich
Wird die Kugel mit höheren Kräften (z.B. F 150 pN bei T =
300 mK) angetrieben, so ergibt sich eine deutlich höhere Bedämpfung
der Oszillationen der Kugel. Betrachtet man die in diesem
Regime experimentell ermittelte Beziehung zwischen antreibender
Kraft und Gleichgewichtsamplitude der Oszillationen (s. Abbildung
3.3), so stellt man fest, daß es sich jetzt nicht mehr um eine lineare
Beziehung handelt, sondern die Amplitude langsamer als linear
mit der antreibenden Kraft ansteigt, was einer stärker als linear
mit der Geschwindigkeit anwachsenden Reibungskraft auf die Kugel
entspricht. Dies ist für das Auftreten von turbulenter Strömung
zu erwarten, welche zusätzlich zur Streuung von Quasiteilchen wie
im linearen Regime, Dissipation verursacht. Die v(F)-Beziehung, wie

84 Kapitel 3. Meßergebnisse und Interpretation
man sie aus der in klassischen Flüssigkeiten gültigen turbulenten
Reibungskraft (1.4) über die Energiebilanz (vgl. Gleichung (1.21), Abschnitt
1.1.2) erhält, beschreibt die Daten sehr gut, muß dafür aber
um einen konstanten Betrag nach links verschoben werden, entsprechend
einer Reduktion der nichtlinearen Dämpfungskraft um einen
konstanten Betrag. Man erhält somit eine dissipative Kraft
|Fd| = γ (v 2 − v 2 0) = γv 2 − F0 , (3.2)
wobei γ den für Turbulenz in klassischen Flüssigkeiten typischen
Wert (vgl. Gleichung (1.4)) besitzt. Die sich aus dieser Reibungskraft
über die Energiebilanz (vgl. Abschnitt 1.21, Seite 34) ergebende v(F)-
Kurve ist in Abbildung 3.3 als durchgezogene Linie eingezeichnet.
Man erkennt deutlich die Verschiebung des Scheitels der Parabel
nach links sowie die sehr gute Beschreibung der Meßdaten.
Selbstverständlich kann turbulente Strömung nur bei antreibenden
Kräften auftreten, bei denen die Gleichgewichtsamplitude bei laminarer
Strömung größer wäre als sie sich bei turbulenter Strömung
einstellt. Die Ursache dafür liegt letztlich darin, daß bei laminarer
Strömung die geringstmögliche Bedämpfung des Systems durch die
umgebende Flüssigkeit verursacht wird. Somit ergibt sich aus dem
Schnittpunkt (Fc1,vc1) (vgl. Abschnitt 1.3.4) der v(F)-Kurven für die
beiden Strömungsformen die kritische Geschwindigkeit vc1, unterhalb
der keine Turbulenz auftreten kann (vgl. Abbildung 3.1). In Abbildung
3.4 sind die für unterschiedliche jeweils neu präparierte Levitationszustände
ermittelten kritischen Geschwindigkeiten vc1 aufgetragen.
Der Mittelwert liegt bei 23 mm/s bei einer Streuung von
10 %, wobei stets die selbe Kugel verwendet wurde. Der gefundene
Wert für vc1 ist, wie bereits in [24] angegeben, nicht temperaturabhängig.
Die vorhandene geringe Änderung bei Präparation eines
neuen Levitationszustandes legt jedoch eine Abhängigkeit von Lage
und Position der Kugel in der Meßzelle und damit insbesondere von
Größe und Oberflächenbeschaffenheit der Kugel nahe.
Befindet sich das System in der Gleichgewichtslage, dann wird
durch den äußeren Antrieb gerade so viel Leistung zugeführt, wie
in der Flüssigkeit dissipiert wird. Da im Bereich stabiler Turbulenz

3.2 Turbulenter Bereich 85
v c1/2 (mm/s)
30
25
20
15
v c1
v c2
Osz7 Osz8 Osz9 OszA OszB OszC OszD
Experiment
Abbildung 3.4: Bei unterschiedlichen Oszillatoren erhaltene kritische
Geschwindigkeiten vc1 (Grenzgeschwindigkeit für das Auftreten
von Turbulenz) und vc2 (Grenzgeschwindigkeit für stabile Turbulenz,
s. Abschnitt 3.3.1). Die leichten Schwankungen zwischen jeweils
neu präparierten Levitationszuständen lassen eine Abhängigkeit von
Oberflächenbeschaffenheit, Größe und Lage der Kugel vermuten.
zwei dissipative Kräfte (turbulente Strömung und ballistische Streuung
von Quasiteilchen) auf die Kugel einwirken, verteilt sich diese
Leistung auf beide Dämpfungsmechanismen. In diesem Fall gilt (unter
Verwendung der Energiebilanz aus Abschnitt 1.21):
Pzu = 1
2
F · v = 1
2 Flam · v
Plam
+ 1
2 Fturb · v
,
woraus folgt, daß Fturb = F − Flam gilt. Wird die antreibende Kraft
immer weiter reduziert, so ergibt sich für Pturb der Grenzwert
Pturb
Pturb → 0 , für F > → Fc1 = Flam(vc1).
Dies bedeutet, die Leistung, welche zur Verfügung steht, um die tur-

86 Kapitel 3. Meßergebnisse und Interpretation
v (mm/s)
28
26
24
22
stabile
laminare
Strömung
intermittentes
Schalten
20
vc2 vc1 18
Fc stabile Turbulenz
0 50 100 150
T = 300 mK
35
30
25
20
15
10
5
F (pN)
0
0 200 400 600 800
Abbildung 3.5: Ausschnittsvergrößerung eines experimentell ermittelten
v(F)-Diagramms. Zwischen den Bereichen mit stabilem laminarem
bzw. turbulentem Fluß der Supraflüssigkeit um die Kugel befindet
sich ein Übergangsbereich in dem das System zwischen diesen
beiden Zuständen umschaltet. Zur Erläuterung sind hier die kritischen
Geschwindigkeiten vc1 (für das erste Auftreten von Turbulenz),
vc2 (für stabile Turbulenz) sowie die zugehörige kritische Kraft
Fc angegeben. Das kleine Fenster gibt die Position der Vergrößerung
in der Gesamtkurve an.
bulente Strömung aufrecht zu erhalten, wird bei Annäherung an die
kritische Geschwindigkeit vc1 beliebig klein. Da jedoch zur Aufrechterhaltung
turbulenter Strömung um die Kugel eine endliche Leistung
notwendig ist, steht zu erwarten, daß Turbulenz erst oberhalb
einer weiteren kritischen Geschwindigkeit (bzw. Antriebskraft) vc2
stabil existieren kann. Abbildung 3.5 zeigt den in diesem Zusammenhang
interessanten Bereich um vc1 in vergrößerter Darstellung. Nachdem
die Bereiche stabiler Strömung bereits in [24] ausführlich untersucht
wurden, gilt das Hauptaugenmerk im folgenden dem Übergangsbereich,
in welchem Turbulenz entsteht.

3.3 Bereich des intermittenten Schaltens 87
v (mm/s)
34
32
30
28
26
24
22
v t (F)
v L =F/λ ; λ=8,45*10 -9 kg/s
T = 450 mK
200 220 240 260 280 300 320
F (pN)
Abbildung 3.6: Hysteretischer Übergang zwischen laminarer und
turbulenter Strömung um die Kugel bei höheren Temperaturen. Die
Ausdehnung der Hystereseschleife variiert bei jedem Durchlauf.
3.3 Bereich des intermittenten Schaltens
Befindet sich die antreibende Kraft knapp oberhalb des Wertes, der
für das Erreichen der Geschwindigkeitsamplitude vc1 erforderlich
ist, so wurde bereits in früheren Messungen ([24, 25, 26]) festgestellt,
daß das System zwei mögliche Zustände annehmen kann. Dies zeigt
sich in diesen Arbeiten als hysteretisches Verhalten. Wird die antreibende
Kraft langsam erhöht, so bleibt das System bis weit über
die kritische Geschwindigkeit vc1 hinaus laminar, bis die Strömung
schließlich in Turbulenz umschlägt. Reduziert man nun bei turbulenter
Strömung die antreibende Kraft und damit die Geschwindigkeitsamplitude,
so bleibt die Strömung bis weit unter den Wert von
F, bei dem der Umschlag zur Turbulenz erfolgt ist, turbulent. Dies ist
in Abbildung 3.6 exemplarisch dargestellt. Bei früheren Messungen
mußte die Untersuchung dieses Übergangsbereichs auf höhere Temperaturen
(T 0,7 K) beschränkt werden, da sich bei tieferen Tem-

88 Kapitel 3. Meßergebnisse und Interpretation
v (mm/s)
26
24
22
20
T = 403 mK
F = 136 pN
18
2500 2600 2700 2800 2900 3000 3100
t (s)
Abbildung 3.7: Ausschnitt aus einer Zeitreihe der Geschwindigkeitsamplitude
im Bereich des intermittenten Schaltens. Temperatur und
antreibende Kraft werden während der Aufzeichnung der Zeitreihe
konstant gehalten. Die Zeitpunkte der Schaltvorgänge zwischen laminarer
und turbulenter Strömung um die Kugel sind durch Symbole
gekennzeichnet. Sehr gut ist die Unregelmäßigkeit der Schaltvorgänge
zu erkennen: Es handelt sich um intermittentes Schalten.
peraturen Instabilitäten ergaben, welche einen Verlust der Resonanzbedingung
zwischen Kugeloszillationen und Antrieb zur Folge hatten.
Aufgrund der automatischen Phasenregelung (siehe Abschnitt
2.3.4) ist es nun erstmals möglich, diesen Bereich auch bei tieferen
Temperaturen zu untersuchen und damit die Entstehung von Turbulenz
in der reinen Supraflüssigkeit zu beobachten. Wie in Abschnitt
3.9 beschrieben, verwendet man hierfür eine konstante, antreibende
Kraft knapp oberhalb von vc1, hält die Temperatur der Meßanordnung
ebenfalls konstant und zeichnet die zeitliche Veränderung der
Geschwindigkeitsamplitude auf. Typischerweise ergibt sich hierbei
ein Ergebnis, wie es ausschnittsweise Abbildung 3.7 zeigt. Wegen
der auftretenden linearen Dämpfungskraft Fd = λv nähert sich die

3.3 Bereich des intermittenten Schaltens 89
Geschwindigkeitsamplitude während der laminaren Phasen einem
Grenzwert vmax = vmax + vt. Dabei folgt sie einem exponentiellen
Sättigungsgesetz1 der Form
v( t) =
− t/τ
vmax 1 − e (3.3)
mit
vmax = 1
λ F − vt , (3.4)
wobei vt die Gleichgewichtsgeschwindigkeit bei turbulenter Strömung
bezeichnet, mit der das System zu Beginn einer laminaren Phase
startet. Die Größe t mißt die Zeit seit Beginn der aktuellen laminaren
Phase. Damit werden sowohl Zeiten wie auch Amplituden
relativ zum Beginn der laminaren Phase gemessen.
An den in Abbildung 3.7 eingezeichneten Schaltpunkten schlägt
dann die Strömung um. Die damit verbundene wesentlich höhere
Dissipation führt dazu, daß die Amplitude der Oszillationen zusammenbricht,
bis der Gleichgewichtswert vt erreicht ist. Am Ende der
turbulenten Phase, das ebenfalls durch einen Schaltpunkt in Abbildung
3.7 kenntlich gemacht ist, beginnt die nächste laminare Phase
und der Vorgang wiederholt sich. Allerdings ist diese Wiederholung
offensichtlich nicht identisch. Abbildung 3.8 zeigt nochmals den
selben Ausschnitt aus der selben Zeitreihe, wobei hier die laminaren
und turbulenten Phasen durch jeweils unterschiedliche Hintergrundfarbe
gekennzeichnet sind. Dadurch ist sehr gut zu erkennen,
daß die Schaltvorgänge äußerst unregelmäßig erfolgen. Da die Heftigkeit
der Ausbrüche dabei nicht variiert (das System wird stets voll
turbulent) spricht man auch von intermittentem Verhalten (vgl. [4]).
Bei der experimentellen Untersuchung intermittenter Vorgänge
stellt sich das Problem der Unregelmäßigkeit der Ereignisse. In [4]
sind drei grundlegende Kategorien von Intermittenz beim Übergang
zum Chaos beschrieben, jedoch blieben die angegebenen Methoden
(insbesondere die Wiederholungsabbildungen) beim hier vorliegenden
Problem sämtlich ohne greifbares Ergebnis, was die Vermutung
1 Für gewöhnlich steht in dieser Arbeit v(t) für Momentangeschwindigkeiten der
Kugel, während v(·) in allen übrigen Fällen Geschwindigkeitsamplituden bezeichnet.
Die Ausnahme von der Regel ist v( t), welches ebenfalls Amplituden bezeichnet.

90 Kapitel 3. Meßergebnisse und Interpretation
v (mm/s)
26
24
22
20
18
turbulent
laminar
2500 2600 2700 2800 2900 3000 3100
t (s)
Abbildung 3.8: Zeitreihe aus Bild 3.7. Die Hintergrundfarbe gibt jeweils
an, ob die Strömung der Supraflüssigkeit um die Kugel laminar
oder turbulent verläuft. Während der laminaren Phasen ist eine exponentielle
Sättigung der Geschwindigkeitsamplitude festzustellen,
wogegen der Beginn der turbulenten Phasen durch einen scharfen
Zusammenbruch der Amplitude gekennzeichnet ist.
nahelegt, daß der vorliegende intermittente Schaltprozeß von grundsätzlich
anderer Art ist als die in [4] vorgestellten Kategorien. Beispielsweise
wird in [15] ‚krisisinduzierte‘ Intermittenz beschrieben,
deren kennzeichnende Eigenschaften deutlich besser zu den hier beschriebenen
Befunden passen. Ein experimenteller Ansatz zu Untersuchung
intermittenter Vorgänge ist, das Verhalten des Systems —
im vorliegenden Fall die Lebensdauern der laminaren bzw. turbulenten
Phasen sowie die Amplituden, welche während der laminaren
Phasen erreicht werden — in Abhängigkeit verschiedener Systemparameter
zu untersuchen. Als Systemparameter kommen dabei
Temperatur und antreibende Kraft in Frage. Abbildung 3.9 zeigt
Ausschnitte von jeweils 800 Sekunden aus drei Zeitreihen (Gesamtdauer
vier Stunden) bei unterschiedlicher antreibender Kraft. Bei der
ersten Zeitreihe wurde die geringste Antriebskraft verwendet. Hier

3.3 Bereich des intermittenten Schaltens 91
30 a) 47 pN
28
26
24
22
20
30 b) 55 pN
28
26
24
22
20
18
v (mm/s) 18
30 c) 75 pN
28
26
24
22
20
18
Zeit (100 s / div)
Abbildung 3.9: Ausschnitte aus Zeitreihen der Geschwindigkeitsamplitude
bei konstanter Temperatur (300 mK) und antreibender
Kraft für drei unterschiedliche Kräfte. Der Vergleich der Zeitreihen
zeigt eine Abnahme der Lebensdauern der laminaren Phasen mit
zunehmender antreibender Kraft (von oben nach unten). Dies führt
dazu, daß der Sättigungswert während der laminaren Phasen nicht
mehr erreicht wird. Ebenso ist eine Zunahme der Lebensdauern der
turbulenten Phasen (bei Zeitreihe b) durch Markierungen gekennzeichnet)
zu beobachten.
ist erneut sehr schön die exponentielle Annäherung der Geschwindigkeitsamplitude
an den Gleichgewichtswert zu erkennen. Mit zunehmender
Kraft verkürzen sich die laminaren Phasen jedoch, so
daß die Gleichgewichtslage — bei unveränderter Zeitkonstante —
nicht mehr erreicht werden kann, wie bei der zweiten Zeitreihe deutlich
zu erkennen ist. An den gekennzeichneten Stellen ist hier auch
bereits eine Verlängerung der turbulenten Phasen zu erkennen. Die
dritte Zeitreihe demonstriert die Fortsetzung dieses Trends. Man erhält
sehr lange turbulente Phasen, welche durch nur kurze laminare
unterbrochen werden. In den folgenden Abschnitten wird nun eine

92 Kapitel 3. Meßergebnisse und Interpretation
statistische Analyse dieses Phänomens präsentiert, wobei die Untersuchung
für turbulente und laminare Phasen separat durchgeführt
wird.
3.3.1 Analyse der Phasen turbulenter Strömung
Zunächst sollen die Lebensdauern der turbulenten Phasen untersucht
werden. Hierfür wird der zeitliche Abstand zwischen dem Ende
einer laminaren Phase (Schaltpunkt, an dem die Amplitude einzubrechen
beginnt) und dem Beginn der nächsten laminaren Phase
(Schaltpunkt, bei dem die Amplitude wieder zu steigen beginnt) ermittelt.
Um diese Daten statistisch auszuwerten, wird zunächst die
kumulative Häufigkeitsverteilung, d.h. der Anteil P(t) der turbulenten
Phasen, deren Lebensdauer einen gewissen Wert t überschreitet,
bestimmt. Wie in Abschnitt 1.5 erläutert, entspricht dies der Zuverlässigkeitsfunktion
der turbulenten Phasen, solange die betrachtete
Anzahl von Phasen ausreichend groß ist, so daß Effekte durch die
endliche Anzahl ausgewerteter Ereignisse vernachlässigbar sind. Die
Zeitreihen werden daher in der Aufzeichnungsdauer so der Schalthäufigkeit
angepaßt, daß einige hundert Ereignisse registriert werden
können. Abbildung 3.10 zeigt ein typisches Ergebnis dieser Auswertung.
In halblogarithmischer Darstellung werden die experimentell
ermittelten Daten sehr gut durch eine Gerade beschrieben. Damit
hat die Zuverlässigkeitsfunktion die Form
P(t) = e −t/µ .
Nach Beispiel 1 in Abschnitt 1.5, Seite 41, bedeutet dies, daß die Lebensdauern
der turbulenten Phase einer Exponentialverteilung genügen.
Die Steigung der Anpaßgeraden in der halblogarithmischen
Darstellung gibt damit unmittelbar die mittlere Lebensdauer µ der
turbulenten Phasen an. Darüber hinaus bedeutet dieser Befund, daß
die Ausfallrate, d.h. die Wahrscheinlichkeit, daß eine turbulente Phase
zusammenbricht, einen konstanten Wert besitzt, also insbesondere
nicht von der Dauer der Phase abhängt. Die Ausfallrate ist dabei
durch 1/µ gegeben. Um den Einfluß der Systemparameter (F, T) auf

3.3 Bereich des intermittenten Schaltens 93
Anzahl turbulenter Phasen
100
10
T = 300mK
F = 59pN
1
0 10 20 30 40 50
∆t (s)
Abbildung 3.10: Beispiel einer experimentell ermittelten Zuverlässigkeitsfunktion
der turbulenten Phase. Die Daten werden sehr gut
durch eine Gerade in der halblogarithmischen Darstellung angenähert,
entsprechend einer Exponentialverteilung der Lebensdauern.
Die Steigung der Gerade gibt in diesem Fall die (konstante) Ausfallrate
bzw. die reziproke mittlere Lebensdauer der turbulenten Phasen
an.
das Ergebnis zu überprüfen, wurden zahlreiche Zeitreihen bei unterschiedlichen
Temperaturen sowie antreibenden Kräften ausgewertet.
Dabei ergibt sich stets eine Exponentialverteilung der Lebensdauern,
lediglich die mittlere Lebensdauer ändert sich mit der antreibenden
Kraft. Abbildung 3.11 zeigt mittlere Lebensdauern µ wie sie für verschiedene
antreibende Kräfte sowie unterschiedliche Temperaturen
erhalten werden. Um dabei die Ergebnisse für unterschiedliche Temperaturen
vergleichen zu können, ist auf der Rechtswertachse nicht
die Antriebskraft F aufgetragen, sondern die Antriebskraft reduziert
um die Kraft, die der linearen Dämpfung entspricht, also
Fa = F − λvt .

94 Kapitel 3. Meßergebnisse und Interpretation
µ (s)
1000
100
10
1
Osz 5
Osz 6
Osz 9
Osz A
30 100 200 300 400 mK
15 20 25 30 35 40 45 50 55
F a (pN)
Abbildung 3.11: Mittlere Lebensdauer der turbulenten Phasen bei
unterschiedlichen Temperaturen und reduzierten (s. Text) antreibenden
Kräften Fa. Es ist zu erkennen, daß keine Temperaturabhängigkeit
festzustellen ist, während eine starke Abhängigkeit von der antreibenden
Kraft existiert. Die durchgezogene Linie ist die Anpassung
einer Divergenz mit der vierten Potenz.
Dadurch entfernt man den Einfluß der stark temperaturabhängigen
linearen Dämpfung aus den Ergebnissen. Man erkennt, daß die mittlere
Lebensdauer der turbulenten Phasen durch die Temperatur nicht
meßbar beeinflußt wird, während eine starke Abhängigkeit von der
antreibenden Kraft besteht. Offenbar divergieren die Lebensdauern
bei Annäherung an einen kritischen Wert
Fc = 54 pN (3.5)
für Fa. Diese Divergenz läßt sich gut mit einem Exponentialgesetz der
Form
µT ∝ (Fa − Fc) −4
beschreiben. Dabei ergibt sich für verschiedene Levitationszustände
im Rahmen der Meßgenauigkeit der selbe Wert für die kritische

3.3 Bereich des intermittenten Schaltens 95
Kraft, lediglich ein Levitationszustand (Oszillator A) weist einen etwas
höheren Wert von Fc = 64 pN auf. Dies deutet auf eine Abhängigkeit
der kritischen Kraft von der Lage der Kugel in der Meßzelle
und damit insbesondere von Größe und Oberflächenbeschaffenheit
hin.
Aus der kritischen Kraft Fc und der zugehörigen Geschwindigkeitsamplitude
läßt sich, wie bereits auf Seite 85 erwähnt, die der
turbulenten Strömung zugeführte Leistung ermitteln. Damit erhält
man die kritische Leistung, welche für ein stabiles Aufrechterhalten
der Turbulenz erforderlich ist
Pc = 1
2 Fc · vc2 ≈ 0,6 pW . (3.6)
Dies entspricht nach dem in Gleichung (1.18) angegebenen Wert für
die Energie pro Länge eines Wirbels einer Produktion von 1 mm Wirbellänge
pro Halbperiode der Schwingung der Kugel. Das bedeutet,
die Kugel könnte beispielsweise pro Halbperiode einen großen Wirbelring
vom 1,4-fachen ihres eigenen Durchmessers abstoßen.
Fazit
• Die Lebensdauern der turbulenten Phasen gehorchen bei allen
Temperaturen sowie antreibenden Kräften einer Exponentialverteilung.
• Es ist im Rahmen der Meßgenauigkeit keine Abhängigkeit von
der Temperatur festzustellen.
• Bei Annäherung an einen kritischen Wert Fc der Antriebskraft divergiert
die Lebensdauer der turbulenten Phase — die Turbulenz
wird stabil. Diese Divergenz läßt sich gut mit einem Potenzgesetz
beschreiben.
• Es gibt Hinweise darauf, daß der Wert von Fc von Lage, Größe
und Oberflächenbeschaffenheit der Kugel abhängt.
• Die minimale Leistung, welche benötigt wird, um stabile Turbulenz
zu erzeugen, entspricht der Produktion eines Wirbelrings des
1,4-fachen Durchmessers der Kugel pro Halbperiode der Schwingung.

96 Kapitel 3. Meßergebnisse und Interpretation
P L (∆v)
1
0,1
0,01
T = 300 mK
F = 55 pN
0 2 4 6 8 10 12
∆v (mm/s)
Abbildung 3.12: Beispiel einer experimentell ermittelten kumulativen
Verteilung der maximalen Amplituden, welche jeweils während
einer laminaren Phase erreicht werden. Die durchgezogene Linie ist
eine Parabel in der vorliegenden halblogarithmischen Darstellung,
entsprechend einer Weibull-Verteilung der maximalen Geschwindigkeiten.
3.3.2 Analyse der Phasen laminarer Strömung
Dieser Abschnitt befaßt sich mit der statistischen Untersuchung der
Phasen laminaren Flusses um die oszillierende Kugel. Diese laminaren
Phasen zeichnen sich durch zwei auswertbare Größen aus. Einerseits
kann wie im vorangehenden Abschnitt die zeitliche Dauer
betrachtet werden, andererseits aber auch die jeweils erreichte maximale
Geschwindigkeitsamplitude. Es ist günstig zunächst den zweiten
Weg einzuschlagen. Abbildung 3.12 zeigt eine entsprechende experimentell
bestimmte kumulative Verteilung PL( v). Im Gegensatz
zu den Lebensdauern der turbulenten Phasen zeigt sich hier, daß die

3.3 Bereich des intermittenten Schaltens 97
v w (mm/s)
7
6
5
4
3
2
1
+10 %
4,79
-10 %
28mK
100mK 200mK
300mK 403mK
0
0 10 20 30 40 50 60 70
F-λv t (pN)
Abbildung 3.13: Weibull-Geschwindigkeiten für unterschiedliche
antreibende Kräfte bei unterschiedlichen Temperaturen (Oszillator
6).
Daten sehr gut durch eine Parabel in der halblogarithmischen Darstellung
beschrieben werden. Also durch den Ausdruck
2
v
PL( v) = exp − , (3.7)
wobei die sogenannte Weibull-Geschwindigkeit vw ein anpaßbarer
Parameter ist. Wie im Beispiel 2 im Abschnitt 1.5.4 angegeben, entspricht
dies einer Weibull-Verteilung der erreichten Amplituden.
Auch hier ergibt sich bei allen untersuchten Zeitreihen das selbe
Ergebnis. Stets findet man eine Weibull-Verteilung. Während man
wie im Fall der turbulenten Phasen keinerlei Abhängigkeit der Art
der Verteilung von der Temperatur feststellen kann, ergibt sich im
Unterschied zur mittleren Lebensdauer der turbulenten Phasen jedoch
eine Weibull-Geschwindigkeit vw, welche nicht von der antreibenden
Kraft abhängig ist. Dieser Sachverhalt ist in Abbildung
vw

98 Kapitel 3. Meßergebnisse und Interpretation
3.13 dargestellt, die Weibull-Geschwindigkeiten, wie sie für unterschiedliche
Temperaturen sowie antreibende Kräfte gefunden wurden,
zeigt. Als Rechtswertachse wird analog zum vorangehenden
Abschnitt F − λvT gewählt, um die Meßpunkte für unterschiedliche
Temperaturen zusammen in einer Abbildung darstellen zu können.
Es zeigt sich, daß keine systematische Abhängigkeit von den beiden
variierten Systemparametern zu beobachten ist. Vielmehr streuen
die Werte innerhalb einer 10 % Bandbreite um einen Mittelwert.
Dieser Mittelwert von vw variiert leicht zwischen unterschiedlichen
Levitationszuständen, wie die Übersicht in Abbildung 3.14 zeigt. Als
Fehlerbalken ist dabei die Standardabweichung innerhalb der jeweiligen
Meßreihe angegeben. Es zeigt sich, daß zwischen den Meßreihen
leichte Variationen auftreten, die darauf hindeuten, daß vw von
der Größe und Oberflächenbeschaffenheit der Kugel abhängt, da davon
auszugehen ist, daß die Kugel nach jeder neuen Präparation des
Levitationszustandes eine andere Lage einnimmt, und so andere Bereiche
der Oberfläche von der Flüssigkeit angeströmt werden.
Um eine Ausfallrate der laminaren Phasen angeben zu können,
ist es erforderlich zu einer lebensdauerbasierten Statistik überzugehen.
Hierfür verwendet man die in (3.3) angegebene zeitabhängige
Amplitude des linear gedämpften angetriebenen Oszillators
− t/τ
v( t) = vmax · 1 − e (3.8)
und setzt sie in die oben experimentell ermittelte amplitudenbasierte
Verteilung aus Gleichung (3.7) ein. Dies liefert die Zuverlässigkeitsfunktion
der laminaren Phasen
vmax ·
PL( t) = PL(v( t)) = exp −
2
1 − e− t/τ
. (3.9)
Dieses Ergebnis läßt sich nun mit den Werten vergleichen, die im
Experiment gefunden werden. Abbildung 3.15 zeigt die soeben aus
der Amplitudenverteilung abgeleitete Zuverlässigkeitsfunktion als
durchgezogene Linie im Vergleich zu Daten wie sie durch Auswertung
der Zeitdauern der laminaren Phasen gewonnen wurden. Man
v 2 w

3.3 Bereich des intermittenten Schaltens 99
v w (mm/s)
8
7
6
5
4
3
2
1
0
6 7 8 9 A C
Oszillator Nr.
Abbildung 3.14: Mittelwerte der für unterschiedliche Levitationszustände
ermittelte Weibull-Geschwindigkeiten. Als Fehlerbalken
ist die jeweilig Standardabweichung innerhalb der Meßreihe angegeben.
Man erkennt eine geringfügige Schwankung zwischen den
Meßreihen, welche auf eine Abhängigkeit von Größe und Oberflächenbeschaffenheit
der Kugel hindeutet.
erkennt, zumindest für kurze Lebensdauern, eine sehr gute Übereinstimmung.
Diese war auch zu erwarten, da bei der Berechnung
von Gleichung (3.9) lediglich die Zeitabhängigkeit der Geschwindigkeitsamplitude
v eingeht, welche aufgrund der laminaren Dämpfung
sehr gut bekannt ist. Dies bestätigt auch ein Vergleich der theoretischen
Erwartung (siehe Gleichung (3.8)) mit experimentellen Daten,
die aus Lebensdauer-Amplituden-Paaren bestehen [30].
Nach Abschnitt 1.5 kann nun die Ausfallrate der laminaren Phasen
aus Gleichung (3.9) durch Bildung der logarithmischen Ableitung
nach der Zeit ermittelt werden
d ln P( t)
( t) = −
d t
=
vmax
vw
2 d
t 2
−
1 − e τ
d t

100 Kapitel 3. Meßergebnisse und Interpretation
P L (∆t)
1
0,1
0,01
T = 300 mK
F = 55 pN
0 10 20 30
∆t (s)
Abbildung 3.15: Beispiel einer experimentell ermittelten Zuverlässigkeitsfunktion
der Phasen laminaren Flusses um die Kugel. Die
durchgezogene Linie entspricht der in Gleichung (3.9) aus der Analyse
der maximal erreichten Geschwindigkeiten abgeleiteten Zuverlässigkeitsfunktion.
Für die hier dargestellten kurzen Lebenszeiten
ergibt sich eine sehr gute Übereinstimmung.
=
vmax
vw
2 2 t
e− τ
τ
t −
1 − e τ
. (3.10)
In Abbildung 3.16 sind eine Zuverlässigkeitsfunktion (linke Achse)
sowie die zugehörige Ausfallrate (rechte Achse) angegeben. Als
Zeitkonstante wurde τ = 36 s gewählt, wie sie für die Temperatur
T = 300 mK bei der vorliegenden Kugel typisch ist. Für kleine
Amplituden läßt sich das exponentielle Sättigungsgesetz von v( t)
näherungsweise durch eine lineare Beziehung beschreiben. Dementsprechend
ist für kleine Amplituden und Lebensdauern auch ein
identischer Verlauf der beiden Zuverlässigkeitsfunktionen zu erwarten.
Tatsächlich weist ( t) für kleine Lebensdauern t ein lineares
Anwachsen mit der Lebensdauer der laminaren Phase auf, wie es

3.3 Bereich des intermittenten Schaltens 101
für eine Weibull-Verteilung der Lebensdauer zu erwarten ist. Sehr
schnell flacht die Zunahme jedoch ab und die Ausfallrate besitzt ein
Maximum bei
tp = −τ ln 1
≈ 0,7τ .
2
Dies entspricht im vorliegenden Fall 25 s. Somit ergibt sich die höchste
Ausfallrate lange bevor die Schwingung ihre Maximalamplitude
erreicht hat. Das bedeutet, daß die Ausfallrate sinkt, obwohl die
Geschwindigkeitsamplitude der Kugeloszillationen weiter zunimmt.
Die Situation wird aber noch ungewöhnlicher, wenn man zu noch
höheren Lebensdauern geht. Für t → ∞ wird nämlich die Ausfallrate
sehr schnell (exponentiell) beliebig klein. Dies bedeutet, daß
laminare Phasen, die eine Lebensdauer erreichen, die deutlich größer
ist als die Zeitkonstante τ, eine verschwindend kleine Ausfallrate
besitzen und damit praktisch ‚unsterblich“ werden. Dies spiegelt
sich in den Eigenschaften der Zuverlässigkeitsfunktion wider, welche
für große Zeiten gegen einen endlichen Wert konvergiert, anstatt
beliebig klein zu werden (vgl. Abbildung 3.16). Diese Aussage steht
nicht im Widerspruch zur Weibull-Verteilung der erreichten Amplituden
(sie wurde ja daraus abgeleitet), da deren Auswertung im Bereich
sehr langer Lebensdauern keine Aussagen liefern kann, nachdem
sich die Amplitude hier bereits ihrem Sättigungswert genähert
hat und das Signalrauschen bzw. Abweichungen bei der Auswertung
der erreichten Amplitude größer sind, als die dem exponentiellen
Sättigungsgesetz entsprechende zeitliche Änderung. Die oben
abgeleitete Aussage läßt sich durch eine andere Schreibweise direkter
mit der Weibull-Verteilung der erreichten Geschwindigkeitsamplituden
in Verbindung bringen. Man bildet hierfür, ausgehend von
der in Gleichung (3.7) angegebenen Verteilung, durch Differenzieren
nach t die Ausfallrate
( v( t)) = − d
d t ln PL( v) = 2
v 2 w
v
d v
d t
. (3.11)
An dieser Form ist sehr schön die lineare Zunahme der Ausfallrate
mit der Geschwindigkeitsamplitude zu erkennen, wie sie typisch

102 Kapitel 3. Meßergebnisse und Interpretation
P(∆t)
1
0,1
P(∆t)
Λ(∆t)
0 50 100 150 200
∆t (s)
Abbildung 3.16: Aus der Analyse der während der laminaren Phasen
erreichten Maximalamplituden abgeleitete Zuverlässigkeitsfunktion
P( t) (linke Achse) sowie die dazugehörige Ausfallrate (t) (rechte
Achse) der laminaren Phasen. Offenbar nähert sich die Ausfallrate
für hohe Zeiten asymptotisch der Nullinie , d.h. langlebige laminare
Phasen werden sehr stabil, also ‚unsterblich‘.
ist für Weibull-verteilte Lebensdauern. Durch das zusätzliche Auftreten
der zeitlichen Ableitung der Geschwindigkeitsamplitude, welche
ja bei Annäherung an den Sättigungswert abnimmt und schließlich
gegen Null geht, wird dieses Verhalten jedoch modifiziert und entspricht
damit der oben beschriebenen Beziehung. Somit ergibt sich
die Möglichkeit einer alternativen Deutung des Verhaltens der Ausfallrate.
Sie ist sowohl proportional zur erreichten Geschwindigkeitsamplitude
über dem turbulenten Niveau als auch zur zeitlichen Änderung
˙v der Geschwindigkeitsamplitude v der Oszillationen.
Diese Vorhersagen für lange Lebensdauern lassen sich nun experimentell
überprüfen, indem eine antreibende Kraft nahe der linken
Grenze des Intermittenzbereichs gewählt wird. Dort wird vmax
klein und damit das Maximum der Ausfallrate weniger hoch, so daß
5%
4%
3%
2%
1%
0%
Λ (1/s)

3.3 Bereich des intermittenten Schaltens 103
P(∆t)
1
0,1
0,01
T = 300mK
51,2 pN
47,1 pN
45,0 pN
49,1 pN
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
∆t (s)
Abbildung 3.17: Experimentell ermittelte Zuverlässigkeitsfunktionen
für laminare Phasen für unterschiedliche antreibende Kräfte und
sehr hohe Lebensdauern. Die gestrichelten Linien entsprechen der in
Gleichung (3.9) hergeleiteten Zuverlässigkeitsfunktion. Die durchgezogenen
Linien resultieren aus den in Abschnitt 3.3.3 erläuterten Untersuchungen.
die Wahrscheinlichkeit für ein System, den Bereich verschwindender
Ausfallrate zu erreichen, größer wird. Zieht man die Zuverlässigkeitsfunktion
als Kriterium heran, so bedeutet dies, daß der Grenzwert,
den die Zuverlässigkeitsfunktion für große Zeiten annimmt,
höher liegt
lim P( t) = exp
t→∞
− v2 max
v 2 w
— entsprechend einem größeren Anteil laminarer Phasen mit sehr
langer Lebensdauer. Bei diesen Untersuchungen nahe der linken
Grenze des Intermittenzbereichs erweist es sich als vorteilhaft, eine
Temperatur zu wählen, bei der die lineare Dämpfung λ nicht
zu klein ist, da in diesem Fall der Schnittwinkel zwischen den la-
,

104 Kapitel 3. Meßergebnisse und Interpretation
minaren und turbulenten v(F)-Beziehungen kleiner und damit die
Kraft leichter einzustellen ist. Abbildung 3.17 zeigt Zuverlässigkeitsfunktionen,
die aus Zeitreihen für verschiedene antreibende Kräfte
in diesem Bereich gewonnen wurden. Zunächst soll ausschließlich
die Kurve für die größte Antriebskraft (51,2 pN) betrachtet werden.
Der entsprechend Gleichung (3.9) erwartete Verlauf ist als gestrichelte
Kurve eingezeichnet. Während diese gestrichelte Kurve die oben
diskutierten Eigenschaften aufweist, weichen die Meßwerte für hohe
Lebensdauern deutlich davon ab: Auch für sehr lange Lebensdauern
t ≫ τ = 36 s ergibt sich eine endliche Steigung in der halblogarithmischen
Darstellung, entsprechend einer endlichen Ausfallrate.
Dieses Ergebnis ist kein Einzelfall, wie die Meßkurven für geringere
antreibende Kräfte bestätigen: Es zeigt sich stets eine Abflachung,
welche jedoch in eine endliche Steigung übergeht.
Dieser Befund führt zur Suche nach weiteren Mechanismen, welche
die Lebensdauer dieser langlebigen laminaren Phasen begrenzen.
Erschütterungen sowie akustische Störungen können weitestgehend
ausgeschlossen werden, da der verwendete Kryostat sehr gut
gegen Gebäudevibrationen geschützt ist und sich experimentell bestätigt
hat, daß die langlebigen laminaren Phasen ausgesprochen stabil
sind. So hatte beispielsweise heftiges Türenschlagen, Entmagnetisieren
der Computermonitore wie auch die Erzeugung starker Gebäudevibrationen
keinen Einfluß auf die langlebigen laminaren Phasen.
Selbst das Befüllen des Dewars mit Helium und das (nicht zu
ruckartige) Einführen des Heliumhebers konnten ihnen nichts anhaben.
Fazit
• Die während der laminaren Phasen erreichten Geschwindigkeitsamplituden
genügen einer Weibull-Verteilung.
• Die Ausfallrate der laminaren Phasen wird für lange Lebensdauern
beliebig klein. Dies deutet auf metastabile laminare Zustände
hin.
• Im Experiment ergibt sich selbst für sehr langlebige laminare Phasen
eine zwar stark reduzierte, aber doch endliche, Ausfallrate.

3.3 Bereich des intermittenten Schaltens 105
U[V]
35
30
25
60 Co
68 70 72 74 76 78 80 82 84 86
t (1000 s)
Abbildung 3.18: Zeitreihe der Geschwindigkeitsamplitude der Kugeloszillation,
wobei die radioaktive Quelle während der Aufzeichnung
hinzugefügt wurde. Man erkennt deutlich die unterschiedliche
Schaltfrequenz, welche sich infolge der Verkürzung der laminaren
Phasen ergibt.
3.3.3 Einfluß radioaktiver Strahlung
Nachdem alle Versuche, die langlebigen laminaren Phasen durch mechanische
Störungen zu verkürzen, erfolglos blieben, wurde eine radioaktive
Quelle (vgl. Abschnitt 2.2.4) außerhalb des Heliumdewars
des Kryostaten in Höhe der Meßzelle angebracht. Abbildung 3.18
zeigt das Ergebnis dieser Messungen. Dargestellt ist ein Ausschnitt
aus einer Zeitreihe bei der während der Aufzeichnung mehrmals die
Quelle hinzugefügt und wieder entfernt wurde. Deutlich ist das Fehlen
langer laminarer Phasen während der Einwirkung der radioaktiven
Quelle zu erkennen, während ohne die Quelle signifikant längere
Phasen auftreten. Um diese Untersuchung quantitativ durchzuführen,
werden erneut die Zuverlässigkeitsfunktionen der laminaren
Phasen jeweils einer Zeitreihe mit und ohne radioaktive Quelle

106 Kapitel 3. Meßergebnisse und Interpretation
P(∆t)
1
0,1
F = 47 pN
T = 300 mK
natürliche Hintergrundstrahlung
zusätzliche 60 Co Quelle
0 200 400 600 800 1000 1200
∆t (s)
Abbildung 3.19: Experimentell ermittelte Zuverlässigkeitsfunktionen
bei konstanter Temperatur und antreibender Kraft. Bei der flacheren
Kurve wirkte nur die natürliche Hintergrundstrahlung im Labor
auf die Meßzelle ein, während bei der Messung der steiler abfallenden
Kurve ein radioaktives Präparat an der Außenseite des Kryostaten
angebracht wurde.
betrachtet. Das Ergebnis zeigt Abbildung 3.19. Die Zuverlässigkeitsfunktion
mit radioaktiver Quelle weist ähnliche Eigenschaften auf
wie die bisher beschriebenen Ergebnisse ohne Quelle: Zunächst ergibt
sich ein ein steiler Abfall, der dann in eine kleinere aber endliche
Steigung übergeht. Der unmittelbare Vergleich mit der Zuverlässigkeitsfunktion,
die bei gleicher antreibender Kraft ohne Quelle
gewonnen wurde, zeigt aber einen deutlichen Unterschied. Die Steigung
der Kurve für hohe Lebensdauern wird durch das Hinzufügen
der Quelle stark erhöht, entsprechend einer Vergrößerung der Ausfallrate,
die eine Verkürzung der mittleren Lebensdauer zur Folge
hat.
Da die Kurven im Bereich hoher Lebensdauern gut durch eine
Gerade im halblogarithmischen Diagramm zu beschreiben sind, ge-

3.3 Bereich des intermittenten Schaltens 107
horchen die Lebensdauern in diesem Bereich einer Exponentialverteilung.
Somit kann aus der Steigung dieser Geraden jeweils die mittlere
Lebensdauer µl bzw. µl,Co der langlebigen laminaren Phasen ermittelt
werden
µl = 1497,6 s ≈ 25,0 min (3.12)
µl,Co = 180,96 s ≈ 3,02 min . (3.13)
Das bedeutet, die mittlere Lebensdauer wird durch die Einwirkung
der Strahlung der radioaktiven Quelle um einen Faktor
µL
µL,Co
= 8,3 (3.14)
reduziert. Vergleicht man nun die Dosisleistung der natürlichen Hintergrundstrahlung
im Labor mit der Dosisleistung bei hinzugefügter
radioaktiver Quelle am Ort der Meßzelle, so ergibt sich ein Faktor
9,4 ± 15 % (vgl. Abschnitt 2.2.4) in sehr guter Übereinstimmung innerhalb
der Fehlergrenzen. Dieses Resultat läßt den Schluß zu, daß
die Lebensdauer der langlebigen laminaren Phasen lediglich durch
die Einwirkung der natürlichen Hintergrundstrahlung begrenzt ist.
Das bedeutet, laminare Phasen, welche eine Lebensdauer von einigen
Zeitkonstanten τ erreicht haben, werden metastabil. Die Strömung
wird also ohne äußeren Einfluß (wie beispielsweise durch natürliche
Radioaktivität) nicht turbulent, obwohl die Geschwindigkeitsamplitude
deutlich über dem turbulenten Niveau liegt.
Aus diesen Beobachtungen kann man den Schluß ziehen, daß
zwei Mechanismen zur Ausfallrate der laminaren Phasen beitragen:
der im vorangehenden Abschnitt beschriebene Effekt der metastabile
laminare Phasen zuläßt, sowie der Einfluß der radioaktiven Strahlung.
Im einfachsten Fall sind beide Mechanismen voneinander stochastisch
unabhängig, so daß sich die Ausfallraten einfach addieren,
wie dies bei einem zweikomponentigen Gerät der Fall ist, bei
dem das Versagen nur einer Komponente zum Totalausfall führt (vgl.
[14]). Es läßt sich so eine neue Ausfallrate
L,Co( t) = L( t) + 1
τ2
, mit τ2 = 1,5 · 10 3 s (3.15)

108 Kapitel 3. Meßergebnisse und Interpretation
P(∆t)
1
0,1
0,01
T = 300mK
45,0 pN
47,1 pN
49,1 pN
51,2 pN
10 100 1000
∆t (s)
Abbildung 3.20: Diagramm aus Abbildung 3.17, diesmal mit logarithmierter
Zeitachse um den großen Bereich an Lebensdauern darstellen
zu können. Die durchgezogenen Linien entsprechen der in
Gleichung (3.15) angegebenen Ausfallrate.
angeben. Diese Ausfallrate beschreibt die Meßergebnisse sehr gut,
wie in Abbildung 3.17 und 3.20 (jeweils durchgezogene Linien) zu
sehen ist. Besonders Abbildung 3.20 demonstriert die gute Beschreibung
der Meßdaten über einen sehr großen Bereich von Lebensdauern.
Fazit
• Durch Hinzufügen einer radioaktiven Quelle gelingt es, die langlebigen
laminaren Phasen zu verkürzen.
• Die im vorangehenden Abschnitt beschriebene endliche Ausfallrate
langlebiger laminarer Phasen wird durch natürliche Hintergrundstrahlung
verursacht.
• Damit sind die langlebigen laminaren Phasen metastabil. Die Strömung
wird nicht turbulent, obwohl v deutlich größer als vc1 ist.

3.3 Bereich des intermittenten Schaltens 109
3.3.4 Übergang zur Hysterese
Die in den vorangehenden Abschnitten gewonnenen Erkenntnisse
lassen nun auch eine Interpretation des bereits zu Beginn von Abschnitt
3.3 angesprochenen und in früheren Messungen gefundenen
hysteretischen Übergangs zwischen laminarer Strömung und Turbulenz
bei höheren Temperaturen zu. Wie gesehen, ergibt sich für größere
Temperaturen eine höhere laminare Dämpfung und damit ein
flacherer Anstieg der v(F)-Kurve in diesem Regime. Dies führt zu
einer Erhöhung der für das Einsetzen des intermittenten Schaltens
nötigen antreibenden Kraft, in Folge des nach rechts wandernden
Schnittpunktes zwischen der v(F)-Kurve im laminaren bzw. turbulenten
Regime. Darüberhinaus aber erfolgt das Durchschneiden der
laminaren vL(F)-Kurve durch die turbulente vT(F)-Kurve bei höheren
Temperaturen auch flacher. Damit ist aber die maximale Überhöhung
vmax relativ klein, da die Breite des Intermittenzbereichs
durch Fc festgelegt ist (vgl. Abschnitt 3.3.1 bzw. Abbildung 3.5) und
mit der Temperatur nicht variiert. Dieser Sachverhalt ist in Abbildung
3.21 dargestellt. Aufgetragen ist vmax in Abhängigkeit von der
Temperatur. Für niedrige Temperaturen ergeben sich sehr hohe Werte
(welche im Diagramm nicht mehr dargestellt sind). Zu höheren
Temperaturen hin erfolgt ein scharfer Zusammenbruch. Für eine erste
Beurteilung der Situation bietet sich der Vergleich von vmax mit
der Weibull-Geschwindigkeit an, da der Quotient aus diesen beiden
Größen quadratisch in die Ausfallrate der laminaren Phasen eingeht
(Gleichung (3.10)). Wie in Abbildung 3.21 zu erkennen, fällt ab etwa
440 mK vmax unter den Wert von vw, verbunden mit einem Rückgang
der Ausfallrate der laminaren Phasen.
Noch besser läßt sich die Auswirkung der erhöhten Temperatur
verdeutlichen, indem die mittlere Lebensdauer der laminaren Phase
berechnet wird. Für die vorliegende Situation ist es dabei sinnvoll,
eine antreibende Kraft zu wählen, bei der die laminaren Phasen möglichst
kurz leben, d.h. man betrachtet den rechten Rand des Intermittenzbereiches.
An dieser Stelle ist zu betonen, daß das Auftreten stabiler
Turbulenz keinesfalls das Vorliegen turbulenter Strömung bedingt.
Vielmehr besagt dies lediglich, daß die Strömung turbulent

110 Kapitel 3. Meßergebnisse und Interpretation
∆v max (mm/s)
50
40
30
20
10
0
v w
100 200 300 400440 500 600 700
T (mK)
Abbildung 3.21: Maximale Amplitude vmax der laminaren Phase
über der turbulenten Phase, berechnet für diejenige antreibende
Kraft, bei der die Turbulenz stabil wird. Etwa bei 440 mK wird vmax
vergleichbar mit vw, verbunden mit einer Abnahme der Ausfallwahrscheinlichkeit
(vgl. Gleichung (3.10)).
bleibt, wenn die laminare Phase einmal zusammengebrochen ist. Für
die Lebensdauer der laminaren Phase ist die obere Grenze des Intermittenzbereichs
jedoch ohne Bedeutung. Unter diesen Umständen
sind Meßdaten nur äußerst schwierig zu gewinnen. Daher zeigt Abbildung
3.22 eine numerische Berechnung der mittleren Lebensdauer
mit Hilfe der experimentell ermittelten Verteilung. Hierfür geht
man von der Definition der mittleren Lebensdauer (1.43) und der experimentell
gefundenen Zuverlässigkeitsfunktion für laminare Phasen
aus und verwendet zur Ermittlung von vmax die v(F)-Kurve
(1.27), welche am rechten Rand des Intermittenzbereichs, also bei
F = Fc1 + Fc, ausgewertet wird (vgl. Gleichungen (1.28), (3.5)). Die

3.3 Bereich des intermittenten Schaltens 111
µ L (s)
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
100 200 300 400 500 600 700
T (mK)
µ L (s)
1000
100
10
0 100 200 300 400 500 600 700
T (mK)
Abbildung 3.22: Mittlere Lebensdauer der laminaren Phasen, berechnet
an der rechten Grenze des Intermittenzbereichs. Für niedrige
Temperaturen (T ≤ 300 mK) ergeben sich sehr geringe, weitgehend
temperaturunabhängige Werte, während sich für hohe Temperaturen
(T ≥ 500 mK) sehr hohe, ebenfalls weitgehend temperaturunabhängige
Lebensdauern ergeben.
Berechnung ist wegen der erforderlichen numerischen Integration
vergleichsweise aufwendig und wurde mit Maple durchgeführt.
Abbildung 3.22 zeigt das Resultat, dessen wesentliche Eigenschaften
die bisher gewonnenen Ergebnisse bereits vermuten lassen.
Für geringe Temperaturen ergibt sich eine geringe Lebensdauer von
wenigen Sekunden mit nur geringer Temperaturabhängigkeit. Die
Ursache dafür ist die sehr geringe Dämpfung, die einen sehr großen
Wert für vmax und eine fast freie Beschleunigung der Kugel durch
die antreibende Kraft zur Folge hat. Damit spielt auch die Variation
der vernachlässigbaren Dämpfung kaum eine Rolle für die Lebensdauer
der laminaren Phasen.
Für Temperaturen oberhalb von 500 mK ergibt sich hingegen eine
sehr hohe Lebensdauer, welche aus der oben beschriebenen starken
Abnahme von vmax resultiert. Auch hier zeigt sich zu höheren
Temperaturen hin eine nur schwache Temperaturabhängigkeit. Diese
ist das Ergebnis der Tatsache, daß die mittlere Lebensdauer der
laminaren Phasen durch die natürliche Hintergrundstrahlung auf 25
Minuten begrenzt wird.

112 Kapitel 3. Meßergebnisse und Interpretation
Zwischen diesen beiden Bereichen befindet sich ein scharfer
Übergang, der sich durch eine Änderung der mittleren Lebensdauer
der laminaren Phase um einen Faktor 150 auszeichnet, während
die Temperatur nur um einen Faktor 1,7 ansteigt.
Die hohen Lebensdauern der laminaren Phase führen in diesem
Bereich zu dem in früheren Arbeiten beobachteten Hystereseeffekt,
da es durch sie möglich ist, die antreibende Kraft bis weit in den Bereich
der stabilen Turbulenz hinein zu erhöhen, bevor der Umschlag
in die Turbulenz erfolgt. Ein Rückschalten auf laminare Strömung ist
nicht mehr möglich — die antreibende Kraft muß dazu erst wieder
unter den kritischen Wert gebracht werden. Die bei jedem Durchlauf
variierende Größe der Hystereseschleife ergibt sich aus der Statistik
der Lebensdauern.
Die in dieser Arbeit gezeigten Meßdaten stammen größtenteils
aus Messungen bei 300 mK, da diese Temperatur einerseits niedrig
genug ist um experimentell bestimmbare Lebensdauern zu erhalten,
andererseits aber auch hoch genug, um die metastabilen laminaren
Phasen studieren zu können, welche sich ergeben, wenn die Amplitude
der Kugeloszillationen ihren Sättigungswert erreicht.
Fazit
• In früheren Messungen bei Temperaturen oberhalb von 500 mK
wurde ein hysteretischer Übergang von laminarer zu turbulenter
Strömung bei Erhöhung der antreibenden Kraft beobachtet.
• Ursache dafür ist eine sehr starke Erhöhung der mittleren Lebensdauer
der laminaren Phase am rechten Rand des Intermittenzbereichs
bei diesen Temperaturen.
• Hervorgerufen wird dies durch die temperaturbedingt erhöhte lineare
Dämpfungskraft und den damit verbundenen geringeren
Unterschied der Gleichgewichtsamplitude für laminare und turbulente
Strömung.

3.4 3 He- 4 He-Mischungen 113
3.4 3 He- 4 He-Mischungen
In den vorangehenden Abschnitten wurden ausschließlich Messungen
mit isotopenreinem 4 He vorgestellt. Im folgenden soll nun auf
Messungen eingegangen werden, die mit definierten 3 He- 4 He-Mischungen
sowie natürlichem Helium durchgeführt wurden. Neben
der Untersuchung des Einflusses der 3 He-Verunreinigungen auf den
Übergang zur Turbulenz stellt die Bestimmung der Viskosität der Mischungen
den Schwerpunkt dieses Abschnitts dar.
3.4.1 Einfluß der 3 He- 4 He-Konzentration auf den
Übergang zur Turbulenz
Nachdem die bisherigen Untersuchungen zum Übergang zu turbulenter
Strömung ausschließlich mit isotopenreinem 4 He durchgeführt
wurden, stellt sich die Frage, ob die Charakteristika dieses
Übergangs — also insbesondere die experimentell ermittelten Verteilungen
der Lebensdauern, aber auch die charakteristischen Größen
wie die Weibull-Geschwindigkeit vw, die Breite des Intermittenzbereichs
etc. — durch 3 He-Verunreinigungen beeinflußt werden. Zu erwarten
ist, daß die Dämpfung im laminaren Regime erhöht ist, da zu
der Dissipation, wie sie durch ballistische Streuung von Phononen
verursacht wird, noch weitere Dissipation durch Streuung an den
3 He-Verunreinigungen hinzukommt. Dieser Effekt (insbesondere seine
Temperatur und Konzentrationsabhängigkeit) wird im nächsten
Abschnitt ausführlich behandelt, bezüglich des Übergangs zur Turbulenz
ist er jedoch zu dem durch höhere Temperatur verursachten
Anstieg der Dämpfung im isotopenreinen 4 He analog. Dies hat zur
Folge, daß bei höheren 3 He-Konzentrationen die Messungen innerhalb
des Intermittenzbereiches langwieriger werden, da die Lebensdauern,
wie in Abschnitt 3.3.4 beschrieben, stark zunehmen. Aufgrund
dieser Schwierigkeit konnten jeweils nur relativ wenige Meßreihen
aufgenommen werden.
Die Auswertung von Zeitreihen für unterschiedliche 3 He-Konzentrationen
ergab, daß die kritische antreibende Kraft Fc, welche

114 Kapitel 3. Meßergebnisse und Interpretation
v w (mm/s)
8
6
4
2
0
1E-8 1E-6 1E-4 1E-2
3 He-Konzentration x3
Abbildung 3.23: Weibull-Geschwindigkeiten für unterschiedliche
3 He-Konzentrationen x3. Im Rahmen der Meßgenauigkeit ist keine
Abhängigkeit der Weibull-Geschwindigkeit von der Konzentration
der Verunreinigungen festzustellen. Lediglich bei der höchsten Konzentration
ergibt sich ein signifikant kleinerer Wert.
für stabile Turbulenz erforderlich ist, nicht von der Konzentration
der 3 He-Verunreinigung abhängt. Ein ähnliches Resultat liefert die
Auswertung der laminaren Phasen. Abbildung 3.23 zeigt Weibull-
Geschwindigkeiten, die bei unterschiedlichen 3 He-Konzentrationen
x3 ermittelt wurden. Im Rahmen der Meßgenauigkeit ist keinerlei
Abhängigkeit von x3 festzustellen. Lediglich bei der höchsten Konzentration
tritt ein signifikant kleinerer Wert auf. Sofern eine Abhängigkeit
vorliegt, müßte diese innerhalb eines relativ schmalen Konzentrationsbereichs
einsetzen. Denkbar wäre auch, daß es sich bei
diesem Punkt um einen Meßfehler handelt, zumal die Messung bei
hohen Konzentrationen durch die oben beschriebene Erhöhung der
laminaren Lebensdauern stark erschwert wird.

3.4 3 He- 4 He-Mischungen 115
λ (kg/s)
5E-8
4E-8
3E-8
2E-8
2% 3 He
0,5% 3 He
0,05% 3 He
0,005% 3 He
0,0005% 3 He
λ +λ ph rot
1E-8
300 400 500 600 700 800 900 1000
T (mK)
Abbildung 3.24: Temperaturabhängiger linearer Dämpfungskoeffizient
λ (Vergrößerung des in Abbildung 3.25 hervorgehobenen Bereiches).
Sehr deutlich ist die Abnahme der Dämpfung mit zunehmender
3 He-Konzentration in diesem Temperaturbereich zu erkennen.
Zusammenfassend läßt sich festhalten, daß der Übergang zur
Turbulenz durch die hier untersuchten geringen 3 He-Konzentrationen
nicht meßbar beeinflußt wird, sofern man von der erhöhten
Dämpfung im laminaren Regime absieht.
3.4.2 Viskositätsmessung
Wie bereits angedeutet, erwartet man nach dem Einbringen von 3 He-
Verunreinigungen in das suprafluide 4 He eine erhöhte Bedämpfung
der Kugeloszillationen im Falle laminarer Strömung. Abbildung 3.25
zeigt lineare Dämpfungskoeffizienten λ, wie sie für unterschiedliche
3 He-Konzentrationen x3 bei Temperaturen oberhalb von 300 mK ermittelt
wurden. Messungen in diesem Temperaturbereich mit natürlichem
Helium werden in [24] ausführlich diskutiert. Unterhalb von

116 Kapitel 3. Meßergebnisse und Interpretation
1 K erhöht sich mit fallender Temperatur die Zähigkeit (vgl. auch
(1.36))
η = 1 1
ρcl =
5 5 ρc2τP infolge des starken Anstiegs der Phonon-Phonon Stoßzeit τP, die
gemäß [31] in diesem Temperaturbereich mit T −9 divergiert. Dies
setzt sich fort, bis die hydrodynamische Beschreibung der Strömung
schließlich ihre Gültigkeit verliert, sobald die freie Weglänge
l = τP · c
bei etwa 700 mK die Größenordnung der Kugelabmessungen erreicht.
Unterhalb dieser Temperatur ist dann eine ballistische Beschreibung
der Strömung erforderlich [24]. Die in Abbildung 3.24
gezeigten Ergebnisse widersprechen der naheliegenden Erwartung,
daß mehr Verunreinigungen höhere Dämpfung verursachen. Vielmehr
verkürzen die Verunreinigungen die freie Weglänge und damit
die Stoßzeit der Phononen, wodurch der Anstieg der Viskosität verringert
wird und sich eine geringere Bedämpfung der Oszillationen
ergibt. Damit erklärt sich die allmähliche Abflachung des Maximums
der Dämpfung bei 700 mK mit zunehmender 3 He-Konzentration x3.
Betrachtet man hingegen die Ergebnisse für Temperaturen unterhalb
von etwa 300 mK in Abbildung 3.25, so erkennt man den erwarteten
Anstieg der Dämpfung bei Erhöhung der Konzentration
der 3 He-Verunreinigungen x3. Für die geringsten Konzentrationen
ergibt sich annähernd eine Proportionalität zwischen x3 und λ, wie
dies nach Gleichung (1.30a) für ballistische Streuung an den 3 He-Verunreinigungen
zu erwarten ist. Für höhere Konzentrationen jedoch
wird die Abhängigkeit schwächer, was auf einen Übergang von Ballistik
zu hydrodynamischem Verhalten zurückzuführen ist (vgl. Abschnitt
1.4). Betrachtet man die Temperaturabhängigkeit des linearen
Dämpfungskoeffizienten in diesem Temperaturbereich, so erkennt
man bei der höchsten Konzentration x3 = 2 % und den niedrigsten
erreichten Temperaturen ein deutliches Anwachsen der Viskosität,
das durch die Entartung des 3 He-Systems verursacht wird. Nach [33]
ergibt sich hier ein Anstieg λ ∝ T −2 . Ansonsten ist λ weitgehend

3.4 3 He- 4 He-Mischungen 117
λ (kg/s)
1E-8
1E-9
1E-10
2% 3 He
0,5% 3 He
0,05% 3 He
0,005% 3 He
0,0005% 3 He
0,00005% 3 He
natürliches He
< 10 -7 % 3 He
λ ph +λ rot
1E-11
25 100 1000
T (mK)
Abbildung 3.25: Temperaturabhängiger linearer Dämpfungskoeffizient
λ für unterschiedliche 3 He-Konzentrationen. Für kleine Konzentrationen
ergibt sich offenbar eine Proportionalität der Dämpfung
zur Konzentration sowie eine Proportionalität zur Temperatur.

118 Kapitel 3. Meßergebnisse und Interpretation
Steigung
4
3
2
1
0
1E-10 1E-8 1E-6 1E-4 1E-2
3 He-Konzentration x3
Abbildung 3.26: Steigung der λ(T)-Kurven in der logarithmischen
Auftragung (vgl. Abbildung 3.25) für tiefe Temperaturen. Die 3 He-
Konzentration des verwendeten natürlichen Heliums ist nur in der
Größenordnung bekannt und daher mit einem entsprechenden Fehlerbalken
versehen.
temperaturunabhängig. Mit fallender Konzentration wird die Temperaturabhängigkeit
jedoch zunehmend stärker, bis hin zu einer annähernden
Proportionalität
λ ∝ T (3.16)
bei den geringsten Konzentrationen und tiefen Temperaturen. Eine
Gerade mit der entsprechenden Steigung ist in Abbildung 3.25 für
die Meßdaten für x3 = 5 · 10 −5 eingezeichnet. Dies steht im Widerspruch
zu der durch Gleichung (1.30a) vorhergesagten Proportionalität
zu √ T für den ballistischen Grenzfall. Eine detaillierte Darstellung
der Steigungen der λ(T) Beziehungen in der doppeltlogarithmischen
Darstellung bietet Abbildung 3.26. Das isotopenreine 4 He zeigt
eine Proportionalität des Dämpfungskoeffizienten λ zu T 4 , wie es für
ballistische Streuung der Kugel an Phononen zu erwarten ist (vgl.

3.4 3 He- 4 He-Mischungen 119
(1.12a)), während sich für die 3 He- 4 He-Mischungen annähernd der
Zusammenhang (3.16) ergibt. Das ebenfalls untersuchte natürliche
He mit unbekanntem 3 He-Anteil liefert einen Zwischenwert, der die
Vermutung nahelegt, daß es weniger Verunreinigungen enthält als
es für das natürliche Isotopengemisch mit typisch x3 ∼ 10 −7 [28, 49]
eigentlich zu erwarten wäre. Nachdem sich für die Mischungen eine
andere Temperaturabhängigkeit der Dissipation ergibt, als sie für
ballistische Streuung zu erwarten ist, stellt sich die Frage, ob der Bereich
in dem sich die Dissipation durch ballistische Streuung der Kugel
an den 3 He-Verunreinigungen beschreiben läßt, möglicherweise
noch nicht erreicht ist, sich das System also noch in einem Übergangsbereich
befindet. Um dies zu entscheiden, soll im folgenden die
mittlere freie Weglänge für 3 He- 3 He-Stöße betrachtet werden. Hierfür
wird, wie in Abschnitt 1.4 beschrieben, zunächst die Viskosität
(vgl. (1.34)) und daraus mit Hilfe von (1.37) die freie Weglänge l3
berechnet. Das Resultat ist in Abbildung 3.27 dargestellt. Es ergibt
sich eine erwartungsgemäß nur schwache Temperaturabhängigkeit,
infolge der weitgehenden Unabhängigkeit von Streuquerschnitt und
3 He-Konzentration von der Temperatur. Man erkennt sehr schön,
daß erst bei den beiden dünnsten untersuchten Mischungen die freie
Weglänge der 3 He-Atome die Größenordnung der Kugelabmessungen
R erreicht, d.h. hier ist mit dem beginnenden Übergang zu ballistischem
Verhalten zu rechnen, während die übrigen Mischungen
hydrodynamisch zu beschreiben sind. In diesem Fall ergibt sich ein
Zusammenhang
l3 ∝ x −1
3 ,
wie die in Abbildung 3.27 eingetragene durchgezogene Gerade mit
der Steigung (-1) andeutet (vgl. Gleichung (1.38)). Die Abbildung
zeigt darüberhinaus die freien Weglängen, wie sie in anderen Arbeiten
für 3 He-Phonon Stöße gefunden [36] bzw. berechnet [3] wurden.
Diese liegen mindestens um eine Größenordnung höher als die
hier gefundenen freien Weglängen für 3 He- 3 He Stöße, so daß ihr Einfluß
bei den untersuchten Temperaturen vernachlässigbar ist. Entsprechend
Gleichung (1.39) ist es möglich, aus den gewonnenen Er-

120 Kapitel 3. Meßergebnisse und Interpretation
Freie Weglänge (m)
1E-1
1E-2
1E-3
1E-4
1E-5
1E-6
1E-7
1E-8
R
50 mK
100 mK
200 mK
500 mK
100 mK
200 mK
500 mK (nach Baym)
50 mK
1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 1E-2
3 He-Konzentration x3
Abbildung 3.27: Freie Weglänge für unterschiedliche Temperaturen
in Abhängigkeit von der 3 He-Konzentration. Es ergibt sich insgesamt
eine nur schwache Temperaturabhängigkeit. Lediglich wenn mit abnehmender
3 He-Konzentration die freie Weglänge die Kugelabmessungen
erreicht (und dann nicht mehr weiter ansteigt), ist eine etwas
größere Abhängigkeit zu beobachten.
gebnissen für die freie Weglänge den Streuquerschnitt für die 3 He-
3 He Stöße zu berechnen. Mit
findet man schließlich
l · x3 = 1,12 · 10 −9 m
σ3 = 4,08 · 10 −20 m 2 . (3.17)
Daraus kann mit σ3 = r 2 3 π der effektive Radius der 3 He-Atome berechnet
werden, der sich zu
r3 = 1,1 Å (3.18)

3.4 3 He- 4 He-Mischungen 121
η (Pa s)
1E-5
1E-6
1E-7
1E-8
5•10 -4
5•10 -3
5•10 -7
5•10 -5
5•10 -6
2•10 -2
100 1000
T (mK)
Abbildung 3.28: Temperaturabhängige effektive Viskosität von 3 He-
4 He-Mischungen für unterschiedliche 3 He-Konzentrationen. Um die
Übersichtlichkeit zu erhöhen wurden lediglich die Verbindungslinien
zwischen den Meßpunkten gezeichnet, die Punkte selbst weggelassen.
Offenbar variiert die Viskosität nicht monoton mit der 3 He-
Konzentration.
ergibt. Dieses Resultat stimmt gut mit dem Wert von 1,3 Å überein,
wie er als sogenannter ‚hard core‘ Radius z.B. in [13, 28] angegeben
wird.
Bei der Berechnung der effektiven Viskosität nach (1.34) wird die
viskose Eindringtiefe δ benötigt. Diese gibt an, wie dick die Flüssigkeitshaut
ist, welche die Kugel bei Ihrer Bewegung durch die Flüssigkeit
mitbewegt (vgl. Abschnitt 1.1.1). In Abbildung 3.29 sind die viskosen
Eindringtiefen δ für unterschiedliche 3 He-Konzentrationen bei
unterschiedlichen Temperaturen aufgetragen. Offenbar variiert δ lediglich
um jeweils eine Größenordnung um die Abmessung der Kugel.
Somit ist offensichtlich, daß bei der Berechnung der Viskosität η
aus den experimentell ermittelten linearen Dämpfungskoeffizienten
keine Näherung für δ ≫ R oder δ ≪ R in der Stokes’schen Formel

122 Kapitel 3. Meßergebnisse und Interpretation
δ (µm)
1000
100 R
10
5•10 -7
5•10 -5
5•10 -4
5•10 -6
5•10 -3
2•10 -2
100 1000
T (mK)
Abbildung 3.29: Viskose Eindringtiefe für unterschiedliche 3 He-Konzentrationen
in Abhängigkeit von der Temperatur. Die Eindringtiefen
weichen weniger als eine Größenordnung von den Kugelabmessungen
ab. Lediglich bei den geringsten Konzentrationen ist die Eindringtiefe
etwas mehr als zehn Mal größer als der Kugelradius. Somit
liegt weder der Grenzfall R ≫ δ noch R ≪ δ vor.
zulässig ist. Dies macht die Berechnung numerisch etwas aufwendiger.
Abbildung 3.28 zeigt die mit Hilfe der vollständigen Stokes’schen
Formel (1.3) ermittelten Resultate für die Viskosität der 3 He- 4 He-Mischungen.
Generell ist unterhalb von 700 mK eine Abnahme der Viskosität
festzustellen, lediglich die 2 %ige Mischung zeigt bei den tiefsten
Temperaturen einen Anstieg, der auf die beginnende Entartung
des 3 He-Systems zurückzuführen ist. Im wesentlichen zeigt die Viskosität
einen Temperaturverlauf ähnlich dem gemessenen linearen
Dämpfungskoeffizienten λ. Auch das Maximum bei 700 mK ist vorhanden.
Für Temperaturen oberhalb dieses Maximums findet man
eine monotone Variation der Viskosität η mit der Konzentration. Je
größer x3 ist, desto geringer ist die Viskosität der Mischung, da die

3.4 3 He- 4 He-Mischungen 123
Abbildung 3.30: Temperaturabhängige effektive Viskosität von 3 He-
4 He-Mischungen für unterschiedliche 3 He-Konzentrationen in ste-
reoskopischer Darstellung.
freie Weglänge der Phononen auf einen kleineren Wert begrenzt wird
und damit weniger stark anwachsen kann (vgl. oben). Bei tieferen
Temperaturen hingegen variiert die Viskosität nicht monoton mit der
Konzentration der 3 He-Verunreinigungen. Für x3 = 5 · 10 −5 ergibt
sich die höchste Viskosität, für dichtere und dünnere Mischungen
niedrigere Werte. Dies ist sehr schön in den dreidimensionalen Abbildungen
3.30 und 3.31 zu erkennen, die einen besseren Überblick
über die Abhängigkeit der Viskosität von Temperatur und 3 He-Konzentration
bieten.
Zusammenfassend läßt sich festhalten, daß sich die untersuchten
dünnen 3 He- 4 He-Mischungen im erreichten Temperaturbereich
in einem Übergangsbereich zwischen ballistischer und hydrodynamischer
Beschreibung befinden. Eine Untersuchung weiter verdünnter
Mischungen bzw. eine Bestimmung der 3 He-Konzentration des
verwendeten natürlichen Isotopengemisches war leider nicht möglich,
da es nicht gelungen ist einen Levitationszustand zu präparieren,
der eine ausreichend geringe Untergrunddämpfung aufweist.
Hierfür wäre eine Verbesserung um mindestens eine, besser zwei
Größenordnungen in der Dämpfung — und damit in der Zeitkonstante
des linearen Zerfalls — notwendig. Derartig hohe Güten schei-

124 Kapitel 3. Meßergebnisse und Interpretation
nen derzeit jenseits des mit der in dieser Arbeit vorgestellten Meßzelle
Machbaren zu liegen. Darüberhinaus werden Oszillatoren mit
derartig hohen Zeitkonstanten (10 h bzw. 100 h) sehr unhandlich und
neigen nach den bisherigen Erfahrungen zu beträchtlichen Instabilitäten.
Fazit
• Die 3 He-Konzentration scheint im Rahmen der Meßgenauigkeit
keinen Einfluß auf den Übergang von laminarer zu turbulenter
Strömung zu haben.
• Oberhalb von 700 mK führen 3 He-Verunreinigungen zu einer Reduzierung
der Viskosität durch Verkürzung der freien Weglängen
der Phononen.
• Unterhalb von 700 mK ergibt sich eine nichtmonotone Abhängigkeit
der Viskosität von der 3 He-Konzentration.
• Auch mit den dünnsten untersuchten Mischungen konnte das ballistische
Regime nicht völlig erreicht werden. Das System befindet
sich in einem Übergangsbereich zwischen Ballistik und Hydrodynamik.

3.4 3 He- 4 He-Mischungen 125
η (Pa s)
1E-5
1E-6
1E-7
1E-9 5E-7 5E-6 5E-5 5E-4 0,005 0,02
3 He Konzentration
75
50
100
250
500
750
T (mK)
Abbildung 3.31: Temperaturabhängige effektive Viskosität von 3 He-
4 He-Mischungen für unterschiedliche 3 He-Konzentrationen in dreidimensionaler
Darstellung. Die Konzentrationsachse ist eine Kategorienachse
und trägt daher keine Skalierung.

126 Kapitel 3. Meßergebnisse und Interpretation

Die Naturwissenschaft gleicht
einem gewaltigen
Kreuzworträtsel, dessen
Reihen und Spalten schneller
wachsen, als sie gelöst
werden können.
Zusammenfassung und
Ausblick
Heinz Haber
Die in dieser Arbeit vorgestellte experimentelle Methode zur Untersuchung
der Hydrodynamik von suprafluidem Helium ( 4 He) zeichnet
sich durch berührungsfreie Aufhängung des Probenkörpers und
damit verbunden durch sehr hohe Energieauflösung aus. Dadurch
ist es, im Gegensatz zu zahlreichen anderen experimentellen Ansätzen,
möglich, den Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung
in der Supraflüssigkeit eingehend zu studieren. Erstmals konnte dieser
Übergang bei Temperaturen unterhalb von 500 mK systematisch
untersucht werden. Hier zeigt das System Intermittenz, d.h. die Strömung
wechselt in unregelmäßigen Abständen zwischen laminarer
und turbulenter Strömung.
Die statistische Auswertung des intermittenten Schaltens mit Methoden
der Zuverlässigkeitstheorie liefert klare und sehr gut reproduzierbare
Aussagen über das Verhalten der Supraflüssigkeit. Die
Analyse der Lebensdauern der Phasen turbulenter Strömung zeigt,
daß die Wahrscheinlichkeit einer Relaminarisierung zeitlich konstant
ist, also insbesondere nicht mit der Zeit zunimmt, was einen Abklingprozeß
als Ursache für das Zusammenbrechen der Turbulenz weitgehend
ausschließt. Weiterhin ergibt sich keine Temperaturabhängigkeit
der Lebensdauer der turbulenten Phasen, wogegen eine starke
Abhängigkeit von der antreibenden Kraft — und damit der Leistung,
welche der Turbulenz zugeführt wird — festzustellen ist. Die Lebens-
127

128 Zusammenfassung und Ausblick
dauer divergiert bei Annäherung der zugeführten Leistung an einen
kritischen Wert annähernd nach einem Potenzgesetz. Bei diesem kritischen
Wert wird die Turbulenz stabil, eine Relaminarisierung findet
nicht mehr statt.
Bei der Analyse der Lebensdauern der laminaren Phasen bzw. der
jeweils erreichten Maximalamplitude der Oszillation ergibt sich ein
etwas komplexeres Bild. Für die erreichten Amplituden findet man
eine Weibull-Verteilung, welche wie die Verteilung der turbulenten
Lebensdauern nicht von der Temperatur, aber auch nicht von der
verwendeten antreibenden Kraft abhängt. Dies gilt sowohl für den
Typ der Verteilung, als auch die Weibull-Geschwindigkeit, den einzigen
vorhandenen Anpaßparameter. Die Weibull-Geschwindigkeit
ist für jede Durchführung des Experiments konstant, lediglich nach
einer Neupräparation des Levitationszustandes ändert sich der Wert
geringfügig. Dies kann auf eine unterschiedliche Lage der Kugel in
der Meßzelle zurückgeführt werden, welche dazu führt, daß andere
Bereiche der keineswegs homogenen Oberfläche der Kugel das Strömungsverhalten
beeinflussen.
Betrachtet man die Statistik der Lebensdauern der laminaren Phasen,
die aus der Amplitudenstatistik abgeleitet werden kann, so findet
man ein überraschendes Ergebnis. Sobald die Geschwindigkeitsamplitude
den Gleichgewichtswert erreicht hat, der durch die antreibende
Kraft und die lineare Dämpfung gegeben ist, sagt diese Statistik
divergierende Lebensdauern der laminaren Phasen voraus, obwohl
die kritische Geschwindigkeit überschritten ist, die für einen
Umschlag in die Turbulenz erforderlich ist. Das Experiment bestätigt
diese Erwartung zunächst nicht. Vielmehr ergibt sich hier für laminare
Phasen mit sehr langer Lebensdauer eine annähernd exponentiell
verteilte Lebensdauer mit einer mittleren Lebensdauer von 25 Minuten.
Eine Messung mit einer in der Nähe der Meßzelle angebrachten
radioaktiven Quelle und ein Vergleich der Dosisleistungen, die von
der Quelle bzw. der natürlichen Hintergrundstrahlung am Ort der
Meßzelle hervorgerufen werden, zeigt, daß die Verkürzung der mittleren
Lebensdauer der langlebigen laminaren Phasen auf 25 Minuten
auf die Wirkung der natürlichen Radioaktivität zurückzuführen
ist. Über die Art und Weise der Wechselwirkung der Gammastrah-

Zusammenfassung und Ausblick 129
lung mit der Supraflüssigkeit kann an dieser Stelle nur spekuliert
werden, da die Zahl der denkbaren Mechanismen sehr groß ist. So
könnten aus den Wänden der Meßzelle bzw. der Kugel relativ energiereiche
Elektronen austreten, die auf ihrem Weg durch die Meßzelle
Wirbelschläuche produzieren. Ebenso wäre es möglich, daß Heliumatome
in der Nähe der Kugel ionisiert werden und durch die bei
der Rekombination freiwerdende Energie Wirbel enstehen. Eine Aufklärung
der Mechanismen, mittels derer Gammastrahlung den Übergang
zur Turbulenz beeinflußt, wäre eventuell durch systematische
Variation von Energie, Intensität und Art der verwendeten Strahlung
möglich.
Laminare Phasen oberhalb der kritischen Geschwindigkeit sind
folglich ohne äußere Störung stabil, sofern sich die Amplitude der
Oszillationen nicht mehr ändert. Die Metastabilität der laminaren
Phasen drückt sich auch in der Proportionalität der Ausfallrate
zur Änderung der Geschwindigkeitsamplitude aus. Dieses Ergebnis
wird noch bemerkenswerter durch die Tatsache, daß es sich bei der
Bewegung der Kugel um eine oszillatorische Bewegung handelt, d.h.
die Momentangeschwindigkeit der Kugel ändert sich ständig und
sehr schnell. Dennoch bleibt die Strömung laminar mit verschwindender
Ausfallrate, während das System auf eine vergleichsweise geringe
Änderung der Amplitude der Oszillation mit einer signifikant
erhöhten Ausfallrate reagiert.
Für das beobachtete Szenario für den Übergang von laminarer zu
turbulenter Strömung existiert bisher noch keine fundierte mikroskopische
Begründung. Eine derartige Theorie muß sich daran messen
lassen, ob sich die gefundenen Umschaltwahrscheinlichkeiten daraus
ergeben. Besonders wichtig ist in diesem Zusammenhang auch
die sehr gute Reproduzierbarkeit der Messungen, welche Modelle,
die sich auf remanente Wirbel aus dem Abkühlvorgang stützen, eher
unwahrscheinlich erscheinen läßt.
Die Konzentration von 3 He-Verunreinigungen in der Supraflüssigkeit
hat im Rahmen der Meßgenauigkeit keinen Einfluß auf den
Übergang zur Turbulenz, sofern man von der Erhöhung der linearen
Dämpfung einmal absieht. Die Untersuchung dieser Erhöhung der
Viskosität bei dünnen 3 He- 4 He-Mischungen, die im Rahmen dieser

130 Zusammenfassung und Ausblick
Arbeit erstmals über einen weiten Konzentrationsbereich durchgeführt
wurde, liefert überraschende Ergebnisse. So befindet sich das
System selbst bei den dünnsten untersuchten Mischungen entgegen
der ursprünglichen Erwartung noch nicht im Grenzfall ballistischer
Streuung, sondern vielmehr in einem Übergangsbereich. Dies äußert
sich in einer annähernden Proportionalität zwischen η und T bei
kleinen Temperaturen und in einer temperaturunabhängigen freien
Weglänge der 3 He-Atome. Demgegenüber zeigen die dünnsten untersuchten
Mischungen aber bereits ein η ∝ x3 Verhalten, wie es für
das ballistische Regime zu erwarten ist. Leider ist die Auflösung des
Experiments durch die vorhandene Untergrunddämpfung begrenzt,
so daß keine Untersuchungen mit noch geringeren x3 Konzentrationen
oder eine exakte Konzentrationsbestimmung des natürlich vorkommenden
He-Isotopengemisches möglich ist. Hierfür wäre eine
weitere Reduktion der Untergrunddämpfung notwendig, die eventuell
durch zusätzliche Optimierungen an der Meßzelle zu erreichen
ist. Dabei besteht jedoch die Gefahr, daß die Oszillationen instabil
bzw. aufgrund der dann sehr hohen Güte schwer anregbar werden.
Für zukünftige Untersuchungen bietet es sich einerseits an, Veränderungen
an der Geometrie des Experiments vorzunehmen. So
wäre es unter Umständen lohnend, Kugeln mit glatterer Oberfläche
einzusetzen, um so Einflüsse der Oberflächenrauhigkeit zu studieren.
Die Verwendung unterschiedlich großer Kugeln mit vergleichbarer
Oberflächenbeschaffenheit könnte mögliche Abhängigkeiten
des Übergangs zur Turbulenz von den Abmessungen des umströmten
Körpers aufklären helfen. Dies könnte möglicherweise eine Extrapolation
zu noch kleineren Abmessungen und damit einen Vergleich
mit den Ergebnissen numerischer Berechnungen zur Turbulenzentstehung,
die sich aus Kapazitätsgründen auf sehr kleine Längenskalen
(einige 1000 Å) beschränken müssen, ermöglichen. Neben
diesen Änderungen an der Geometrie wäre es andererseits sehr interessant,
4 He durch flüssiges 3 He zu ersetzen, welches ebenfalls
(wenn auch bei deutlich tieferen Temperaturen) suprafluid wird. Experimente
mit vibrierenden Drahtschlaufen, welche bereits in 3 He
durchgeführt worden sind, lassen ein möglicherweise ähnliches Szenario
für den Übergang zur Turbulenz vermuten, wie es in dieser

Zusammenfassung und Ausblick 131
Arbeit für 4 He beschrieben wird. Allerdings können diese Experimente
aufgrund mangelnder Auflösung und ungünstiger Geometrie
keine quantitativen Aussagen liefern, so daß eine Ausdehnung der
Experimente mit der oszillierenden Kugel auf 3 He neue spannende
Resultate erwarten läßt.

132 Zusammenfassung und Ausblick

Anhang
A Konstanten und Bezeichnungen
A.1 Verschiedene Bezeichnungen
Größe Wert Beschreibung
vw
Weibull-Geschwindigkeit
µ mittlere
Phasen
Lebensdauer der turbulenten
vmax vmax − vt maximale Differenz der Geschwindigkeitsamplitude
zwischen laminarer und
turbulenter Phase
vt(F) Geschwindigkeitsamplitude während
turbulenter Phasen
vmax(F) F/λ Gleichgewichtsamplitude während turbulenter
Phasen
λ linearer Dämpfungskoeffizient
τ 2m/λ Zeitkonstante im linearen Regime
τ2
Zeitkonstante verursacht durch Radioak-
δ
2η/ρω
tivität
viskose Eindringtiefe
l mittlere freie Weglänge
Konzentration der 3He-Verunreinigungen x3
P Zuverlässigkeitsfunktion
p −dP/dt Verteilungsdichte
−d ln P/dt Ausfallrate

134 Anhang
A.2 Helium
Größe Wert Beschreibung
c 238 m/s Schallgeschwindigkeit in 4 He
8,65 K Rotonengap
k0 1,9 Å Rotonenwellenzahl
Tλ 2,18 K Lambdapunkt
cw 0,4 cw-Wert einer Kugel
Tc 9,24 K supraleitende Sprungtemperatur von
Niob
ρ 145 kg/m 3 Dichte von flüssigem 4 He
x3,nat ∼ 10 −7 3 He-Konzentration von natürlichem
Helium
κ 9,98·10 −8 m 2 /s Zirkulationsquant
m ∗ 3 2,4 · m3 effektive 3 He-Masse in 4 He
m3 5,01 · 10 −27 kg 3 He-Masse
ε 10 −12 J/m Energie pro Länge eines Wirbels
Größen im Experiment
Größe Wert Beschreibung
R 124 µm Kugelradius
m 27 µg Kugelmasse
d 1 mm Abstand der Elektroden
2 mm Durchmesser der Elektroden

Literaturverzeichnis
[1] Analog Devices, Ultralow Input Bias Current Operational Amplifier
AD549.
[2] H. Barowski, K. M. Sattler & W. Schoepe, Static and dynamic
forces on a permanent magnet levitating between superconducting
surfaces, Journal of Low Temperature Physics, 93(1/2) (1993)
85–100.
[3] Gordon Baym & W. F. Saam, Phonon-Quasiparticle Interactions
in Dilute Solutions of He 3 in Superfluid He 4 . II. Phonon Boltzmann
Equation and First Viscosity, Physical Review, 171(1) (1968)
172–178.
[4] Pierre Bergé, Yves Pomeau & Christian Vidal, Order within
Chaos: Towards a deterministic approach to turbulence, John
Wiley & Sons, New York, 1984, erste Auflage.
[5] L. Bergmann & C. Schäfer, Lehrbuch der Experimentalphysik,
Band 5, Walter de Gruyter, Berlin, 1992.
[6] Werner Buckel, Supraleitung, VCH, Weinheim, 1993, fünfte
Auflage.
[7] S.I. Davis, P.C. Hendry & P.V.E. McClintock, Decay of quantized
vorticity in superfluid 4 He at mK temperatures, Physica B,
280(1–4) (2000) 43–44.

136 Literaturverzeichnis
[8] Hermann Dirrigl, Elektrische Leitfähigkeit und Magnetowiderstand
von granularen Dickschicht-Widerständen auf RuO2-
Basis bei sehr tiefen Temperaturen, Diplomarbeit, Universität
Regensburg, Oktober 1991.
[9] Russel J. Donnelly, Quantized vortices in helium II, Nummer 3
in Cambridge studies in low temperture physics, Cambridge
University Press, Cambridge, 1991, erste Auflage.
[10] P. Eizinger, Oszillationen eines über supraleitendem Niob
schwebenden Magneten: Quantitative Untersuchungen zur magnetischen
Levitation, Zulassungsarbeit, Universität Regensburg,
1991.
[11] Uriel Frisch, Turbulence, Cambridge University Press, Cambridge,
1995.
[12] Christian Gerthsen, Hans O. Kneser & Helmut Vogel, Physik,
Springer Verlag, Heidelberg, 1989, 16. Auflage.
[13] H. R. Glyde, Excitations in Liquid and Solid Helium, Clarendon
Press, Oxford, 1994.
[14] B. V. Gnedenko, Yu. K. Belayev & A. D. Soloyev, Mathematical
methods of reliability theory, Band 6 von Probability and Mathematical
Statistics, Academic Press, London, 1969.
[15] Celso Grebogi, Edward Ott, Filipe Romeiras & James A. Yorke,
Critical exponents for crisis-induced intermittency, Physical
Review A, 36(11) (1987) 5365–5380.
[16] Reiner Großer, Elastische und dissipative Kräfte in der supraleitenden
Levitation, Doktorarbeit, Universität Regensburg, Regensburg,
1998.
[17] Reiner Grosser, Peter Höcherl, Alfred Martin, Michael Niemetz
& Wilfried Schoepe, Damping of a levitating magnetic
microsphere by vortex motion in YBCO, Physica B, 284–288
(2000) 829–830, proceedings of LT22.

Literaturverzeichnis 137
[18] Reiner Grosser, Peter Höcherl, Alfred Martin, Michael Niemetz
& Wilfried Schoepe, Vortex Motion in Superconducting
YBa2Cu3O7−δ Inferred from the Damping of the Oscillations of
a Levitating Magnetic Microsphere, Journal of Low Temperature
Physics, 119(5/6) (2000) 723–742.
[19] Reiner Großer, Jan Jäger & Wilfried Schoepe, Damping of the
oscillations of a permanent magnet levitating between high-
Tc superconductors, Applied Physics Letters, 67(16) (1995) 2400–
2402.
[20] S. Großmann, Wie entsteht eigentlich Turbulenz, Physikalische
Blätter, 51(7/8) (1995) 641–646.
[21] Hideo Hirose & Tze Leung Lai, Inference from grouped
data in three-parameter weibull models with applications
to breakdown-voltage experiments, Technometrics, 39(2) (1997)
199–210.
[22] Peter Höcherl, Magnetische Levitation über schmelztexturiertem
YBa2Cu3O7−x, Diplomarbeit, Universität Regensburg, April
1996.
[23] Nikolaus Huber, Numerische Berechnung der periodischen
und chaotischen Dynamik eines getriebenen nichtlinearen Oszillators,
Diplomarbeit, Universität Regensburg, Juni 1995.
[24] Jan Jäger, Laminare und turbulente Strömung von Helium II
um eine oszillierende Kugel, Doktorarbeit, Universität Regensburg,
Berlin, Oktober 1996.
[25] Jan Jäger, Berthold Schuderer & Wilfried Schoepe, Translational
oscillations of a microsphere in superfluid helium, Physica
B, 210 (1995) 201–208.
[26] Jan Jäger, Berthold Schuderer & Wilfried Schoepe, Turbulent
and laminar drag of superfluid helium on an oscillating microsphere,
Physical Review Letters, 74(4) (1995) 566–569.

138 Literaturverzeichnis
[27] J. F. Keithly, J. R. Yeager & R. J. Erdman, Low Level Measurements,
Keithly Instruments, Cleveland, 1984.
[28] W.E. Keller, Helium-3 and Helium-4, Plenum Press, New York,
1971.
[29] Earle H. Kennard, Kinetic Theory of Gases, McGraw-Hill, London,
1938.
[30] Hubert Kerscher, Intermittentes Schalten zwischen laminarer
und turbulenter Strömung von superfluidem 4 He um eine
oszillierende Kugel sowie Viskosität von dünnen 3 He- 4 He-
Mischungen bei mK-Temperaturen, Diplomarbeit, Universität
Regensburg, Oktober 2000.
[31] I.M. Khalatnikov, An Introduction to the Theory of Superfluidity,
W.A. Benjamin Inc., New York, 1965.
[32] Fritz Kurt Kneubühl, Lineare und nichtlineare Schwingungen
und Wellen, Teubner, Stuttgart, 1995.
[33] Reinhard König, Transporteigenschaften von flüssigen 3 He-
4 He Mischungen und akustische Eigenschaften von polykristallinem
Tantal und NbTi bei sehr tiefen Temperaturen, Dissertation,
Universität Bayreuth, November 1992.
[34] Hanno Krieger & Wolfgang Petzold, Strahlenphysik, Dosimetrie
und Strahlenschutz, Band 1, B. G. Teubner, Stuttgart, 1992,
dritte Auflage.
[35] Horst Kuchling, Taschenbuch der Physik, Verlag Harry
Deutsch, 1988.
[36] R. B. Kummer, V. Narayanamurti & R.C Dynes, Phonon-
Quasiparticle Scattering in Dilute 3He/4He Mixtures, in: S.B.
Trickey, E.D. Adams & J.W. Dufty, Hg., Quantum Fluids and
Solids, Plenum Press, New York, 1977.

Literaturverzeichnis 139
[37] L.D. Landau & E.M. Lifschitz, Hydrodynamik, Band 6 von
Lehrbuch der Theoretischen Physik, Akademie Verlag, Leipzig,
1991, fünfte Auflage.
[38] Arnold Levine, Theory of Probability, Behavioral Science:
Quantitative Methods, Addison-Wesley Publishing Company,
London, 1971.
[39] T. Leweke, M. Provansal, D. Ormières & R. Lebescond, Vortex
dynamics in the wake of a sphere, Physics of Fluids, 11(9) (99)
S12.
[40] Alfred Martin, Supraleitende Levitation eines Permanentmagneten
zwischen dünnen epitaktischen YBa2Cu3O7−δ-
Schichten, Diplomarbeit, Universität Regensburg, Juli 1997.
[41] Wilhelm Möller, Experimentelle Untersuchungen zur Hydrodynamik
der Kugel, Physikalische Zeitschrift, 39(2) (1938) 57–80.
[42] Michael Niemetz, Numerische Untersuchung der periodischen
Lösungen nichtlinearer Schwingungsgleichungen und Behandlung
des Umkehrproblems, Zulassungsarbeit, Universität Regensburg,
1996.
[43] Michael Niemetz, Hubert Kerscher & Wilfried Schoepe,
Intermittent Switching between Potential Flow and Turbulence
in Superfluid Helium at mK Temperatures, arXiv:condmat/0009299,
20 September 2000, submitted to Physical Review
Letters.
[44] Michael Niemetz, Hubert Kerscher & Wilfried Schoepe, Intermittent
switching between turbulent and potential flow around
a sphere in HeII at mK temperatures, in: Quantized Vortex
Dynamics & Superfluid Turbulence, Lecture Notes in Physics,
Springer, 2001, to be published.
[45] Michael Niemetz, Wilfried Schoepe, J.T. Simola & J.T. Tuoriniemi,
The oscillating magnetic microsphere: a tool for investigating
vorticity in superconductors and superfluids, Physica B,
280 (2000) 559–560, proceedings of LT22.

140 Literaturverzeichnis
[46] C. Nore, C. Huepe & M.E. Brachet, Subcritical Dissipation in
Three-Dimensional Superflows, Physical Review Letters, 84(10)
(2000) 2191–2194.
[47] Delphine Ormiéres & Michael Provansal, Transition to turbulence
in the wake of a sphere, Physical Review Letters, 83(1) (1999)
80–83.
[48] D. V. Osborne, The rotation of liquid helium, Proc Phys Soc, A
63 (1950) 909–912.
[49] Frank Pobell, Matter and Methods at Low Temperatures, Springer,
Berlin, 1996.
[50] Rechenzentrum der Universität Regensburg, Manual zur ANAund
PITI-Karte.
[51] Berthold Schuderer, Laminare und turbulente Strömungen um
eine oszillierende Kugel in Helium II, Diplomarbeit, Universität
Regensburg, 1994.
[52] David R. Tilley & John Tilley, Superfluidity and Superconductivity,
Graduate Student Series in Physics, IOP Publishing Ltd,
New York, 1990, dritte Auflage.
[53] E. Varoquaux, O. Avenel, P. Hakonen & Y. Mukharsky, Pinning
of a nanometric size vortex in superfluid 4 He, Physica B, 284–288
(2000) 87–88.
[54] Joe Vinen, Roussel Donnelly & Carlo Barenghi, Hg., Quantized
Vortex Dynamics & Superfluid Turbulence, Lecture Notes
in Physics, Springer Verlag, Berlin, 2001, to be published.
[55] Waloddi Weibull, A Statistical Distribution of Wide Applicability,
Journal of Applied Mechanics, 18 (1951) 293.
[56] J. Wilks & D.S. Betts, An Introduction to Liquid Helium, Clarendon
Press, Oxford, 1987, zweite Auflage.

Abbildungsverzeichnis
1 Fotografie eines kleineren Wirbelsturms . . . . . . . . . 13
2 Satellitenaufnahme eines Sturmtiefs . . . . . . . . . . . 13
3 Satellitenaufnahme einer Wirbelstraße im Lee der
Kapverdischen Inseln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Aufnahme eines Hufeisenwirbels an einer Quellwolke 14
5 Aufnahme eines Hohlwirbels in Wasser. . . . . . . . . . 15
6 Hohlwirbel in Wasser, von oben gesehen. . . . . . . . . 16
1.1 cw-Werte für eine Kugel bei unterschiedlichen
Reynoldszahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2 Laminarer Schlauch bei Anströmen einer Kugel mit
Wasser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3 Kette von Wirbeln, die sich von einer mit Wasser angeströmten
Kugel ablösen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4 Zuverlässigkeitsfunktion, Ausfallrate und Verteilungsdichte
für exponentiell verteilte Lebensdauern. . . 44
1.5 Zuverlässigkeitsfunktion, Ausfallrate und Verteilungsdichte
für Weibull-verteilte Lebensdauern
(n = 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1 Bewegung der Kugel während der Aufladung durch
eine Hochspannung am Kondensator. . . . . . . . . . . 49
2.2 Bewegung der Kugel während der Aufladung durch
eine positive Hochspannung an der unteren Elektrode. 51

142 Abbildungsverzeichnis
2.3 Ableitung des Vorzeichens der Kugelladung aus den
Fluggeraden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4 Verdünnung von 3 He- 4 He-Mischungen. . . . . . . . . . 58
2.5 Mikroskopische Aufnahmen der Kugel. . . . . . . . . . 60
2.6 Bild der inneren Komponenten der Meßzelle. . . . . . . 62
2.7 Maßstabsgetreue Zeichnung der Meßzelle. . . . . . . . 64
2.8 Fotografie des an der Mischkammer angeflanschten
Meßzellenhalters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.9 Blockschaltbild des Experiments. . . . . . . . . . . . . . 69
2.10 Schaltbild des Elektrometerverstärkers. . . . . . . . . . 71
2.11 Blockschaltbild des Programms zur Phasenregelung. . 74
3.1 Für unterschiedliche antreibende Kräfte ergeben sich
unterschiedliche Regimes für den Fluß der Supraflüssigkeit
um die Kugel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2 Linearer Dämpfungskoeffizient für verschiedene Temperaturen
( 4 He bzw. Vakuum). . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3 v(F)-Diagramm für sehr hohe Antriebskräfte. . . . . . . 83
3.4 Kritische Geschwindigkeiten bei verschiedenen Oszillatoren.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.5 Ausschnittsvergrößerung eines v(F)-Diagramms. . . . 86
3.6 Hysteretischer Übergang zwischen laminarer und turbulenter
Strömung um die Kugel. . . . . . . . . . . . . . 87
3.7 Ausschnitt aus einer Zeitreihe der Geschwindigkeitsamplitude
(Schaltpunkte) . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.8 Ausschnitt aus einer Zeitreihe der Geschwindigkeitsamplitude
(laminare bzw. turbulente Phasen markiert) 90
3.9 Zeitreihen bei unterschiedlicher Antriebskraft . . . . . 91
3.10 Beispiel einer experimentell ermittelten Zuverlässigkeitsfunktion
der turbulenten Phase. . . . . . . . . . . . 93
3.11 Mittlere Lebensdauer der turbulenten Phasen bei unterschiedlichen
Temperaturen und antreibenden Kräften.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.12 Beispiel einer experimentell ermittelten Verteilung der
maximalen laminaren Amplituden. . . . . . . . . . . . . 96

Abbildungsverzeichnis 143
3.13 Weibull-Geschwindigkeiten für unterschiedliche antreibende
Kräfte bei unterschiedlichen Temperaturen . 97
3.14 Mittelwerte der für unterschiedliche Levitationszustände
ermittelten Weibull-Geschwindigkeiten. . . . . . 99
3.15 Beispiel einer experimentell ermittelten Zuverlässigkeitsfunktion
der Phasen laminaren Flusses um die
Kugel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.16 Aus der laminaren Amplitudenverteilung abgeleitete
Zuverlässigkeitsfunktion und zugehörige Ausfallrate. . 102
3.17 Experimentell ermittelte Zuverlässigkeitsfunktionen
für laminare Phasen für sehr hohe Lebensdauern (linear).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.18 Zeitreihe der Geschwindigkeitsamplitude der Kugeloszillation
mit und ohne radioaktive Quelle. . . . . . . 105
3.19 Experimentell ermittelte Zuverlässigkeitsfunktionen
mit und ohne radioaktive Quelle. . . . . . . . . . . . . . 106
3.20 Experimentell ermittelte Zuverlässigkeitsfunktionen
für laminare Phasen für sehr hohe Lebensdauern (logarithmisch).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.21 Maximale Amplitude vmax der laminaren Phase über
der turbulenten Phase in Abhängigkeit von T . . . . . . 110
3.22 Mittlere Lebensdauer der laminaren Phasen an der
rechten Grenze des Intermittenzbereichs . . . . . . . . . 111
3.23 Weibull-Geschwindigkeiten für unterschiedliche 3 He-
Konzentrationen x3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.24 Temperaturabhängiger linearer Dämpfungskoeffizient
λ für unterschiedliche 3 He-Konzentrationen (Ausschnitt).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.25 Temperaturabhängiger linearer Dämpfungskoeffizient
λ für unterschiedliche 3 He-Konzentrationen. . . . . 117
3.26 Steigung der λ(T)-Kurven in der logarithmischen
Auftragung für tiefe Temperaturen. . . . . . . . . . . . . 118
3.27 Freie Weglänge für unterschiedliche Temperaturen in
Abhängigkeit von der 3 He-Konzentration. . . . . . . . . 120

144 Abbildungsverzeichnis
3.28 Temperaturabhängige effektive Viskosität von 3 He-
4 He-Mischungen für unterschiedliche 3 He-Konzentrationen.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.29 Viskose Eindringtiefe für unterschiedliche 3 He-Konzentrationen
in Abhängigkeit von der Temperatur. . . . 122
3.30 Abbildung 3.31 in stereoskopischer Darstellung . . . . 123
3.31 Temperaturabhängige effektive Viskosität von 3 He-
4 He-Mischungen für unterschiedliche 3 He-Konzentrationen
in dreidimensionaler Darstellung. . . . . . . . . 125

Nachwort
Viele Menschen haben direkt oder indirekt zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen,
ja sie erst möglich gemacht:
• Prof. Dr. Wilfried Schoepe danke ich für die Einführung in das interessante
Forschungsgebiet, die hervorragende Betreuung und die gute Zusammenarbeit.
• Meinen Laborkollegen Herrn Hubert Kerscher und Herrn Dipl. Phys.
Dieter Schowalter danke ich für ihre Hilfsbereitschaft, ihren unverwüstlichen
Humor, die freundschaftliche Arbeitsatmosphäre und die Aufmunterung
in allen Notlagen.
• Herr Klaus Lachner stand uns tets mit Rat und Tat zur Seite, sei es bei der
Wartung der Pumpen, bei Reparaturen am Kryostaten, bei der Konstruktion
und dem Einbau von diversen Zubehörteilen oder der Beschaffung
von Ersatzteilen.
• Ohne die schnelle und kompetente Arbeit der mechanischen Werkstatt
der physikalischen Fakultät wäre es nicht möglich gewesen, die Experimente
wie vorgesehen durchzuführen. Stellvertretend möchte ich dem
Leiter, Herrn Norbert Sommer, der stets das Unmögliche möglich machte
und schnell noch einen Eilauftrag einschob, sowie Herrn Friedrich Dietl,
der in mühevoller Präzisionsarbeit die Niobzelle herstellte, danken.
• Herr Rudolf Reisser erstellte mit Autocad die Konstruktionszeichnung
der neuen Meßzelle, während Herr Horst Lindner den Abstandshalter
aus Glas anfertigte.
• Dank gebührt Herrn Joseph Reisinger, der eine radioaktive Quelle aus
seiner Sammlung für unsere Experimente zur Verfügung stellte, sowie
Herrn Prof. Henning von Philipsborn, für die Messung der in dieser Arbeit
angegebenen Dosisleistungen.
• Herr Karl Heinz Weigert und Herr Bernhard Rother in der Heliumverflüssigung
hielten unsere Oszillatoren auch in schwierigen Zeiten am Leben,
indem sie — ganz unbürokartisch — stets bereit waren, auch kurzfristig
ihren ‚letzten Tropfen‘ flüssiges Helium für unser Experiment zur
Verfügung zu stellen.
• Dank gebührt allen die mit der Betreuung der im Laufe der Arbeit genutzten
EDV Anlagen betraut sind. Stellvertretend seien an dieser Stelle
Herr Jürgen Hirschinger, Herr Alexander Kalbeck, Herr Dr. Fritz Wünsch
sowie das Linux-Team genannt.
145

146
• Herr Michael Zitzlsperger erstellte im Reinraum der Arbeitsgruppe von
Prof. Dr. Dieter Weiss die Fotografien von der Oberfläche der Kugel, während
Herr Dipl. Chem. Wolfgang Seidl seine Ausrüstung und sein fotografisches
Können zur Fotografie der Meßzelle zur Verfügung stellte. Die
optische Bestimmung der Kugelgröße konnte mit Hilfe des Mikroskops
der Arbeitsgruppe von Prof. Dr. Karl Renk durchgeführt werden.
• Allen Mitarbeitern am Lehrstuhl Renk danke ich für das Klima der Hilfsbereitschaft,
sowie den Teilnehmern an der täglichen Kaffeerunde für
zahlreiche interessante Diskussionen.
• Meinen Korrekturlesern, Frau Jana Bauer, Herrn Hubert Kerscher, Herrn
Markus Niemetz und Herrn Dieter Schowalter schulde ich besonderen
Dank für das aufmerksame Studium meines Manuskriptes und die daraus
resultierenden zahlreichen Anmerkungen und Hinweise, die sehr zur
Qualität und Verständlichkeit des Textes beigetragen haben.
• Schließlich gebührt meinen Eltern Dank für Ihre Unterstützung und Bestätigung.