Statistische Eigenschaften von klassischem Licht - Physik
Statistische Eigenschaften von klassischem Licht - Physik
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Fluktuationseigenschaften <strong>von</strong> chaotischem<br />
<strong>Licht</strong><br />
–eine klassische Betrachtung–<br />
<strong>von</strong><br />
Matthias Kronseder<br />
Ein Vortrag im Rahmen des Seminars<br />
”Quantenoptik”<br />
Regensburg, den 24.05.2006
Inhaltsverzeichnis<br />
1 Einleitung 2<br />
1.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
1.2 Einführendes Beispiel: Youngs Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
2 Grundlagen zur Verbreiterung <strong>von</strong> Emissionslinien 3<br />
2.1 Arten <strong>von</strong> Verbreiterungsmechanismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
2.2 Modell zur Stoßverbreiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
3 Spektrum <strong>von</strong> fluktuierendem <strong>Licht</strong> 8<br />
3.1 Frequenzspektrum und Korrelationsfunktion erster Ordnung . . . . . . . . . . . . 8<br />
3.2 <strong>Eigenschaften</strong> der Korrelationsfunktion erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
3.3 Dopplerverbreiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
3.4 Einführung räumlicher Kohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
4 Korrelationsfunktion zweiter Ordnung 15<br />
4.1 Korrelationsfunktion zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
4.2 <strong>Eigenschaften</strong> dieser Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
4.3 Beispiel des Rechtecksignals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br />
4.4 g (2) (τ) für statistisches <strong>Licht</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
5 Das Hanbury Brown and Twiss Experiment 19<br />
5.1 Aufbau und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
5.2 Bestimmung der Winkeldurchmesser <strong>von</strong> Sternen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
6 Anhang 24<br />
Quellenverzeichnis 25
1 Einleitung<br />
1.1 Allgemeines<br />
1. Einleitung<br />
Den Rahmen dieses Vortrags gibt die klassische Betrachtung <strong>von</strong> <strong>Licht</strong>, d.h. es werden keine<br />
quantenmechanischen Phänomene und Ansätze mit einfließen. Die Kohärenz des <strong>Licht</strong>s wird<br />
unter zeitlichen und räumlichen Gesichtspunkten betrachtet und es wird sich herausstellen, dass<br />
die Kohärenzfähigkeit <strong>von</strong> <strong>Licht</strong> verschiedenster Herkunft berechnet und interpretiert werden<br />
kann. Nur zur Vollständigkeit: unter Kohärenz versteht man die Zeitabhängigkeit der Phasendifferenz<br />
zwischen zwei oder mehreren Wellen, welche betrachtet oder gar überlagert werden.<br />
Dabei spricht man <strong>von</strong> kohärenten Wellen wenn die Phasendifferenz δ2 − δ1 zeitlich konstant ist<br />
und <strong>von</strong> inkohärenten wenn diese Differenz <strong>von</strong> der Zeit abhängt.<br />
Das Hanbury Brown und Twiss Experiment stellt den Abschluss dieser Arbeit dar.<br />
Um im Nachfolgenden Missverständnissen vorzubeugen, sollte die Unterscheidung <strong>von</strong> <strong>Licht</strong>quellen<br />
hier kurz vermerkt sein. Es gibt mindestens zwei große Gruppen <strong>von</strong> <strong>Licht</strong>quellen, welche<br />
sich durch ihre Emissionsspektren unterscheiden lassen. Zur einen zählt z.B die herkömmliche<br />
Gasentladungslampe, welche die Energie aus dem Stromfluss entnimmt und als Strahlung wieder<br />
abgibt. Die einzelnen Atome sind dabei als völlig unabhängig anzusehen und die Strahlung,<br />
welche statistisch verteilt ist, zeigt keine Regelmäßigkeiten oder besondere einheitliche <strong>Eigenschaften</strong>.<br />
Somit stellt diese <strong>Licht</strong>quelle die ”chaotische” der Beiden dar. Die Kohärenzzeiten <strong>von</strong><br />
solchen <strong>Licht</strong>quellen liegen meist im Bereich <strong>von</strong> 10 -7 − 10 -15 s, sind also sehr gering. Zu dieser<br />
Sorte zählt auch die Glühbirne oder der thermische Hohlraum. Zum Anderen gibt es den Laser,<br />
welcher ganz andere statistische <strong>Eigenschaften</strong> besitzt. Dieser arbeitet nach dem Prinzip der<br />
stimulierten Emission, d.h. die willkürliche Abstrahlung ist zwar vorhanden und auch notwendig,<br />
sie stellt aber nur einen geringen Anteil dar. Dies kommt daher, dass eine durch spontane<br />
Emission abgestrahlte Welle mehrmals den Laser durchläuft und so durch stimulierte Emission,<br />
hervorgerufen durch diese Welle, fortwährend verstärkt wird. Ein gewünschtes Ziel wäre<br />
die Kohärenzzeit ins Unendliche auszuweiten, was dazu führen würde das Emissionsspektrum<br />
auf einen sehr schmalen Peak einzugrenzen; gängige Werte für die Kohärenzzeiten sind jedoch<br />
10 -3 − 10 -8 s.<br />
Das Augenmerk dieser Arbeit liegt nun auf den Verbreiterungsmechanismen, welche den gewünschten<br />
scharfen Peak (Emissionslinie) zu einer ausgedehnten Verteilung (Emissionsspektrum)<br />
überführen. Wir werden versuchen über die <strong>von</strong> einer <strong>Licht</strong>quelle, in der Verbreiterungsmechanismen<br />
den Peak haben unscharf werden lassen, ausgehenden Wellen Kohärenzaussagen zu<br />
treffen. Dabei kann z.B. ein bestimmter Verbreiterungsmechanismus nicht fortwährend sondern<br />
nur diskret und temporär auftreten. Was würde daraus für die Kohärenz folgen? Wir werden<br />
sehen.<br />
2
1.2 Einführendes Beispiel: Youngs Doppelspalt<br />
Betrachten wir den Youngschen Doppelspalt:<br />
<strong>Licht</strong>quelle<br />
Linse<br />
r 1<br />
r 2<br />
1.2 Einführendes Beispiel: Youngs Doppelspalt<br />
Ebene mit Schlitzen Schirm<br />
s 1<br />
s 2<br />
r<br />
Intensitätsverlauf<br />
Abbildung 1: Schematische Darstellung des Doppelspalt-Versuchs. Rechts ist die zu erwartende<br />
Intensitätsverteilung aufgetragen, wobei die gestrichelte Linie den Verlauf der Intensität<br />
zeigt, wenn jeweils nur ein Spalt geöffnet ist und <strong>Licht</strong> durch diesen hindurch geht.<br />
Hierbei sollte jedoch beachtet werden, dass der Intensitätsverlauf für jeweils einen Spalt bei<br />
nah beieinander liegenden Spalte näherungsweise denselben Verlauf liefern, nicht wie in der<br />
Abbildung skizziert mit großem Abstand zwischen den Spalten und nahe liegenden Schirm.<br />
Abgewandelt entnommen aus [1].<br />
In der Abbildung 1 können wir, bei Annahmen <strong>von</strong> sehr schmalen Spalten, <strong>von</strong> zwei Punktlichtquellen<br />
ausgehen, welche nach den Spalten jeweils Kugelwellen aussenden, mit einem Gesamt-<br />
E-Feld <strong>von</strong> E(rt) = u1E(r1t1) + u2E(r2t2), abhängig vom Ort und der Zeit.(u1 und u2 sind<br />
dabei nur Koeffizienten, die aus geometrischen Gründen eingeführt wurden, d.h. um den fallenden<br />
Amplitudenwert mit steigendem Ausbreitungsradius hinein zu bekommen; sie spielen aber<br />
im weiteren Verlauf keine Rolle mehr). Der Intensitätsverlauf am Schirm, bzw. am Ort r, ist<br />
gegeben durch:<br />
Ī(rt) =<br />
1<br />
2ɛ0c|E(rt)| 2 (1.1)<br />
= 1<br />
2ɛ0c{|u1| 2 |E(r1t1)| 2 + |u2| 2 |E(r2t2)| 2 + 2u∗ 1u2Re(E ∗ (r1t1)E(r2t2))} (1.2)<br />
Die ersten beiden Summanden in Gleichung (1.2) stellen den Intensitätsverlauf am Schirm dar,<br />
der aus Überlagerung zweier Einzelspalte entsteht (gestrichelte Linie in Abbildung 1). Die beobachtbare<br />
Interferenz, d.h. die aus einer einhüllenden (mit niedrigerer Frequenz) und einer untergeordneten<br />
Schwingung (mit höherer Frequenz) besteht, muss aus dem letzten Summanden der<br />
obigen Gleichung folgen. Dieser Summand stellt schon einen Spezialfall der Korrelationsfunktion<br />
erster Ordnung dar, welche wir im Laufe dieser Arbeit definieren und näher betrachten werden.<br />
Dieses einführende Beispiel sollte einen ersten Eindruck geben, inwieweit Korrelationsfunktionen,<br />
die Quintessenz dieser Arbeit, in klassischen Versuchen versteckt sind. Widmen wir uns nun<br />
unserem ersten Anliegen, d.h. den Verbreiterungsmechanismen der Emissionslinien eines Atoms.<br />
2 Grundlagen zur Verbreiterung <strong>von</strong> Emissionslinien<br />
2.1 Arten <strong>von</strong> Verbreiterungsmechanismen<br />
Es gibt viele Arten <strong>von</strong> Effekten, die dazu führen können die Strahlungscharakteristika <strong>von</strong><br />
Atomen dahingehend zu verändern, dass diese nicht mehr diskrete Werte im Frequenzenraum<br />
aufweisen sondern kontinuierliche, also wie schon erwähnt, dass Linien in eine Verteilung mit<br />
vielen Werten übergehen.<br />
3
Einige Arten <strong>von</strong> Verbreiterungseffekten:<br />
2.1 Arten <strong>von</strong> Verbreiterungsmechanismen<br />
• Dopplereffekt:<br />
durch thermische Bewegungen der Atome —nur bei höheren Temperaturen relevant—<br />
kommt es zu Frequenzverschiebungen der Emissions- als auch der Absorbtionsstrahlung,<br />
gegeben durch<br />
ω ≈ ω0(1 + v<br />
c )<br />
wobei ω0 die Grundfrequenz, v die Geschwindigkeit des Atoms und c die <strong>Licht</strong>geschwindigkeit<br />
darstellt. Im Mittel, d.h. bei Betrachtung vieler Atome kommt es zur Verschmierung<br />
der Peaks, also zu einer spektralen Verteilung. Im Falle der Dopplerverbreiterung zu einer<br />
Gaußverteilung<br />
kBT<br />
FG(ω) = √ 2πδ e −(ω−ω 0 )2<br />
2δ 2 (normiert) (2.3)<br />
mit δ = ω0 Mc2 . M ist die Atommasse. Siehe auch Abbildung 2. Der Index G an der<br />
spektralen Verteilungsfunktion soll die Gaußsche Form symbolisieren.<br />
• Kollisionen zwischen den Atomen:<br />
dieser Mechanismus wird unser Hauptaugenmerk für diesen Abschnitt werden. Man stelle<br />
sich ein angeregtes Atom vor, welches während der Abstrahlung einer elektromagnetischen<br />
Welle mit einem anderen Atom kollidiert; dabei wird, wenn Energie übertragen wird (bei<br />
inelastischem Stoß), die abgestrahlte Welle eine andere Frequenz aufweisen. Findet kein<br />
Energieübertrag (d.h. bei elastischem Stoß) statt ist ein zufälliger Phasensprung im Wellenzug<br />
nachzuweisen. Dies führt, wie später noch deutlicher zu sehen sein wird, zu einer<br />
verbreiterten Emissionslinie, welche eine Lorentzverteilung darstellt:<br />
FL(ω) =<br />
γ<br />
π<br />
(ω0 − ω) 2 + γ 2 (normiert), (2.4)<br />
mit γ = 1<br />
τ0 und τ0 der mittlere Stoßzeit. Da τ0 hauptsächlich <strong>von</strong> Druck und Temperatur<br />
abhängt, ist die Verbreiterung der Linie auch <strong>von</strong> diesen Größen bestimmt. In Abbildung<br />
2 kann man sich noch einmal die unterschiedlichen Verteilungsarten veranschaulichen. Im<br />
Nachfolgenden gehen wir darauf noch näher ein.<br />
• endliche Emissionszeit und Strahlungsverbreiterung sind noch erwähnenswert, werden<br />
jedoch hier nicht näher betrachtet.<br />
1,0<br />
0,5<br />
2gF L( w) oder 2DF G(<br />
w)<br />
Gaußverteilung<br />
( w- w )/2g oder ( w- w )/2D<br />
0 0<br />
Lorentzverteilung<br />
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4<br />
Abbildung 2:<br />
Abgebildet sind hier eine Gauß- und Lorentzverbreiterte<br />
spektrale Linie im Vergleich.<br />
ω0 ist die Grundfrequenz der Linie,<br />
2γ bzw. 2∆ ist die Halbwertsbreite der<br />
Gauß- bzw. Lorentzkurve. Entnommen aus<br />
[1].<br />
4
2.2 Modell zur Stoßverbreiterung<br />
2.2 Modell zur Stoßverbreiterung<br />
Wir wollen nun ein Modell erstellen mit dem es uns möglich ist, durch eine einfache Rechnung<br />
Beziehungen abzuleiten, die Auskunft darüber geben wie ”chaotisch” das abgestrahlte <strong>Licht</strong><br />
ist. Im Klartext heißt dies, wie stark der Verbreiterungseffekt auf das Atom und somit auf die<br />
Strahlung des Atoms einwirkt.<br />
Nun zu den Voraussetzungen, unser Modell betreffend:<br />
• Betrachtung eines angeregten Atoms, welches fortwährend Strahlung der Frequenz ω0<br />
aussendet<br />
• Wellenzug des Atoms wird an einem festen Beobachtungspunkt betrachtet<br />
• Doppler- und Strahlungseffekte werden außer acht gelassen<br />
• Frequenzänderung während der Stoßdauer wird ignoriert<br />
• Phasenkopplung zwischen abstrahlenden Atomen besteht nicht<br />
Nun soll während der Strahlungsdauer eine feste, konstante Phasenbeziehung des Wellenzuges<br />
bestehen. Während einer Kollision mit einem anderen Atom kann es aufgrund <strong>von</strong> Energieübertragung<br />
jedoch dazu kommen, dass das Atom in einen energetisch höheren Zustand gelangt und<br />
so Strahlung <strong>von</strong> höherer Energie wieder abgibt. Dies wird hier allerdings nicht betrachtet, da<br />
es nur die Sache verkompliziert, jedoch für das Ergebnis keine gravierenden Auswirkungen mit<br />
sich bringt. Deshalb betrachten wir die Stöße als kurzzeitige Unterbrechung des <strong>von</strong> dem Atom<br />
abgestrahlten Wellenzuges mit Frequenz ω0. Dies ist auch sinnvoll, da die Anteile an Strahlungen<br />
anderer Frequenzen als ω0 aufgrund der sehr geringen Kollisionsdauer nur sehr klein im Vergleich<br />
zur Dauer eines Wellenzuges sind. Ein Zahlenbeispiel ist etwas weiter unten angeführt. Nach<br />
dem Stoß setzt also das Atom die Aussendung der Strahlung mit der ursprünglichen Frequenz<br />
ω0 weiter fort, jedoch mit dem Unterschied, dass die Phasen des vorangegangenen Wellenzuges<br />
mit diesem neuen in keiner vorhersehbaren Beziehung zueinander stehen. Dies kann nun in ein<br />
Modell umgewandelt werden, welches nur ein angeregtes Atom benötigt, ohne Kollisionen zwischen<br />
anderen Atomen zu betrachten.<br />
Dieses Atom soll fortwährend Strahlung der Frequenz ω0 aussenden, jedoch mit Sprüngen der<br />
Phase auf zufällige Werte und zwar immer dann wenn eine Kollision stattgefunden hätte, siehe<br />
Abbildung 3.<br />
Abbildung 3: Im oberen Diagramm wird ein Wellenzug mit konstanter Amplitude und Frequenz<br />
ω0 gezeigt, der jedoch willkürliche Phasensprünge aufweist. Unten sollen die zufälligen<br />
Phasenwinkel illustriert sein. τ0 ist dabei die mittlere kollisionsfreie Flugdauer. Abgewandelt<br />
entnommen aus [1].<br />
5
2.2 Modell zur Stoßverbreiterung<br />
Die willkürlichen Phasensprünge führen zu einer Streuung der Frequenzen, was auf die Zerstückelung<br />
der Welle in kleine Sektionen zurückzuführen ist. Man kann sich dies durch Fouriertransformation<br />
verdeutlichen.<br />
Einschub:<br />
Wenn eine Sinusfunktion mit Frequenz ω0, definiert auf ganz R, fouriertransformiert<br />
wird, so weist der Graph im Frequenzenraum nur einen Peak bei ω0 mit Wert<br />
eins auf. Beschränkt man jedoch die Sinusfunktion auf ein Intervall, z.B. auf [−a, b]<br />
mit a < b, so benötigt man unendlich viele Fourierkoeffizienten, was sich im Graphen<br />
als unendlich viele Werte bei verschiedenen Frequenzen der Fouriertransformierten<br />
bemerkbar macht. Wenn man nun weiter geht und die obige Sinusfunktion auf ein<br />
endliches Intervall beschränkt und in Sektionen mit willkürlichen Phasensprüngen<br />
zueinander zerlegt, so dürfte klar sein, dass die Fouriertransformierte dieser Funktion<br />
nicht nur einen Peak bei ω0 hat sondern schier unendliche viele Werte aufweisen<br />
muss, was wiederum bedeutet ein ganzes Frequenzspektrum feststellen zu können.<br />
Die folgende Abbildung 4 soll dies veranschaulichen.<br />
a) b)<br />
Frequenzenraum Phasenraum<br />
1,0<br />
0,5<br />
0,0<br />
-0,5<br />
-1,0<br />
0,5<br />
0,4<br />
0,3<br />
0,2<br />
0,1<br />
0 50 100 150 200<br />
Time<br />
c) d)<br />
0,0<br />
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20<br />
Frequency (Hz)<br />
1,0<br />
0,5<br />
0,0<br />
-0,5<br />
-1,0<br />
0,40<br />
0,35<br />
0,30<br />
0,25<br />
0,20<br />
0,15<br />
0,10<br />
0,05<br />
0,00<br />
0 50 100 150 200<br />
Time<br />
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20<br />
Frequency (Hz)<br />
Abbildung 4: Oben ist der Phasenraum zu sehen, wobei in a) die reguläre Sinusfunktion, in<br />
b) die zerstückelte Sinusfunktion abgebildet ist. Beim Sinus sollte die Fouriertransformierte<br />
Bild c) im Frequenzenraum nur einen schmalen Peak aufweisen (hier nicht zu sehen, da nur<br />
endlich viele Werte zur Berechnung verwendet wurden). d) zeigt die Fouriertransformierte<br />
der abgewandelten Sinusfunktion mit wesentlich mehr Frequenzwerten als der reine Sinus.<br />
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Atom eine Zeitspanne τ ohne Kollision verbringt ist<br />
gegeben durch<br />
p(τ)dτ = 1 τ<br />
−<br />
e τ0 dτ. (2.5)<br />
τ0<br />
( πkBT<br />
M )1/2 , d stellt den mittleren Abstand zwischen zwei Atommittelpunkten, ν<br />
mit 1<br />
τ0 = 4d2ν V<br />
die Anzahl der Atome und M die Masse eines Atoms dar. τ0 ist dabei, wie in der Abbildung 3<br />
6
schon angedeutet, die mittlere freie Flugdauer ohne Kollision.<br />
2.2 Modell zur Stoßverbreiterung<br />
Zur Zeichnungserklärung des obigen schematischen Wellenzuges, in Abbildung 3:<br />
Es wurden lediglich ≈ 120 Sinuswellen eingezeichnet in denen schon 12 Stöße zwischen Atomen<br />
stattgefunden haben. In Wirklichkeit kann jedoch ein Atom 15000 Perioden durchlaufen ohne<br />
mit einem anderen Atom zu kollidieren. Was wiederum für den Wellenzug bedeutet, dass dieser<br />
genauso viele Sinuswellen ohne Unterbrechung beinhaltet.<br />
Das elektrische Feld eines Wellenzuges ist gegeben durch<br />
E(t) = E0 e −iω0t+iφ(t)<br />
wohingegen φ(t) die Phase in Abhängigkeit der Zeit darstellt und in kollisionsfreien Zeiten einen<br />
konstanten zufälligen Wert annimmt, jedoch Unstetigkeitsstellen, d.h. Sprünge, aufweist. E0 und<br />
ω0 seien fest, wie in den Voraussetzungen angenommen.<br />
Wenn nun nicht nur ein Atom sondern ν viele Atome betrachtet werden, kann man diesen Gedankengang<br />
weiter führen. Die gesamte Welle entsteht aus Überlagerung, d.h. aus der Summe aller<br />
Einzelwellen der einzelnen abstrahlenden Atomen, welche dieselbe Form wie (2.6) aufweisen. Die<br />
verschiedenen Phasenlagen zueinander müssen durch verschiedene komplexe Phasenfunktionen<br />
e iφn(t) unterschieden werden. Es folgt für die Gesamtwelle<br />
E(t) =<br />
ν<br />
En(t) = E0 e −iω0t<br />
n=1<br />
(2.6)<br />
ν<br />
e iφn(t)<br />
. (2.7)<br />
Es wurde, wie oben erwähnt, angenommen, dass jede Einzelwelle dieselbe Amplitude E0 und<br />
Frequenz ω0 besitzt. Deshalb müssen nur die Phasen addiert werden. Weiterhin wurde angenommen,<br />
was jedoch den Wert der Aussage nicht schmälert, dass sämtliche Wellen die gleiche<br />
Polarisation besitzen. Die Phasenfunktionen e iφn(t) kann man im komplexen Raum addieren und<br />
erhält eine Vektorsumme, die die Phasenlage φ(t) und die Länge a(t) hat.<br />
a(t)<br />
n=1<br />
E(t) = E0 e −iω0t a(t) e iφ(t) .<br />
j (t)<br />
Abbildung 5:<br />
Die Phasenlagen der einzelnen Atome addieren<br />
sich zu einem resultierenden Feld<br />
mit der Amplitude a(t) und der Phase φ(t).<br />
Abgewandelt entnommen aus [1].<br />
7
3. Spektrum <strong>von</strong> fluktuierendem <strong>Licht</strong><br />
In der Praxis:<br />
Es ist bislang nicht realisierbar die Oszillationen des E-Feldes im optischen Bereich wirklich<br />
nachzuverfolgen, da eine gute Beobachtungseinheit bislang nur in der Lage ist 10 −9 s schnelle<br />
Bewegungen auszumachen, leider um 5 Zehnerpotenzen zu groß, um mit dem schnellen Wechsel<br />
des E-Feldes stand zu halten.<br />
Deshalb benutzt man, in Anlehnung an die experimentellen Voraussetzungen, eine zeitlich gemittelte<br />
Variante der Beobachtung, die gemittelte Intensität. Analog zu (1.1) erhalten wir die<br />
Intensität durch<br />
Ī(t) = 1<br />
2 ɛ0c|E(t)| 2 = 1<br />
2 ɛ0cE 2 0a(t) 2 .<br />
Man kann zeigen, dass die wesentlichen Sprünge der Intensität und der Phase über eine Zeitspanne<br />
τ0, analog zu Gleichung (2.5), auftreten, jedoch unterhalb dieser Spanne die Werte einigermaßen<br />
konstant bleiben. In Abbildung 6 kann man sich einen möglichen Intensitätsverlauf<br />
veranschaulichen, wobei τ0 in der Abbildung angedeutet wurde. Wenn noch andere verbreiternde<br />
Mechanismen mit in Betracht gezogen werden würden, wie z.B. Doppler- oder Strahlungsverbreiterung,<br />
wären zwar Veränderungen zu verzeichnen, die Fluktuationen blieben aber ähnlich,<br />
d.h. die willkürlichen Sprünge. Außerdem würde sich bei allen Kombinationen der Mechanismen<br />
eine ausgezeichnete Zeitspanne herauskristallisieren, analog zu τ0, welche durch die Fluktuationsraten<br />
bestimmt ist. Diese ausgezeichnete Zeit wird die Kohärenzzeit τc genannt.<br />
Vom Betrag her ist sie <strong>von</strong> der gleichen Ordnung wie das Inverse der Frequenzverteilung. In<br />
Analogie dazu ist die Kohärenzlänge λc wie folgt definiert:<br />
λc = cτc<br />
Abbildung 6: Links ist der Intensitätsverlauf zu sehen, wobei die gestrichelte gerade Linie<br />
den gemittelten Wert anzeigt. Rechts ist der Phasenverlauf zu sehen. Entnommen aus [1].<br />
3 Spektrum <strong>von</strong> fluktuierendem <strong>Licht</strong><br />
3.1 Frequenzspektrum und Korrelationsfunktion erster Ordnung<br />
Damit wir nun Kohärenzaussagen, auf der Grundlage <strong>von</strong> Fluktuationen, treffen können d.h. auf<br />
Grundlage der Stöße untereinander, müssen wir einen mathematischeren Weg beschreiten. Wenn<br />
wir wüssten wie die einzelnen Frequenzen im Frequenzenraum des ausgestrahlten <strong>Licht</strong>s gewichtet<br />
wären, könnten wir ohne weiteres durch die einfache Beziehung τc∆ν ≈ 1 die Kohärenzzeit<br />
8
3.1 Frequenzspektrum und Korrelationsfunktion erster Ordnung<br />
berechnen, mit ∆ν der Halbwertsbreite im Frequenzenraum. Diese einfache Beziehung ist wiederum<br />
ein Ergebnis unserer nachfolgenden Berechnungen. Wir müssen nun die spektrale Verteilungsfunktion<br />
F (ω) der betrachteten <strong>Licht</strong>quelle bestimmen um so ∆ν zu bekommen und<br />
darüber hinaus die angegebene Beziehung zwischen ∆ν und τc verifizieren. Die spektrale Verteilungsfunktion<br />
ist wie folgt definiert<br />
F (ω) = I(ω)<br />
, (3.8)<br />
Ĩ<br />
wobei Ĩ das Integral über sämtliche I(ω) ist, d.h. einfach nur alle möglichen Intensitäten zu den<br />
einzelnen ω aufsummiert, was jedoch hier in ein Integral übergegangen ist. Wir müssen nun den<br />
Zähler und Nenner dieser Funktion bestimmen.<br />
Wie schon angegeben verwenden wir unser in Abschnitt 2 definiertes Modell und betrachten<br />
ein einzelnes angeregtes Atom und dessen <strong>Licht</strong>strahlen <strong>von</strong> einem Beobachtungspunkt aus.<br />
Nehmen wir einmal einen fiktiven Beobachtungsapparat an, der das E-Feld und seine Oszillationen<br />
zeitgetreu aufzeichnen kann. Die Zeitabhängigkeit des E-Feldes wird nun gemessen. Das<br />
Frequenzspektrum des <strong>Licht</strong>s an einem Beobachtungspunkt wird bestimmt durch die Fourierkomponenten<br />
des E-Feldes, definiert durch<br />
Die Intensität I(ω) ist gegeben durch<br />
E(ω) = 1<br />
2π<br />
I(ω) = |E(ω)| 2<br />
=<br />
=<br />
1<br />
4π2 ∞<br />
−∞<br />
∞<br />
1<br />
4π2 <br />
−∞<br />
dt ′<br />
∞<br />
−∞<br />
∞<br />
−∞<br />
∞<br />
<br />
dτ<br />
−∞<br />
E(t) e iωt dt.<br />
dt E ∗ (t)E(t ′ ) e iω(t′ −t)<br />
dt E ∗ (t)E(t + τ) e iωτ , (3.9)<br />
<br />
(∗)<br />
wobei τ = t ′ −t ist und die angegebene Intensität durch das Betragsquadrat des E-Feldes gegeben<br />
ist, d.h. das komplex konjugierte E ∗ (t) mit Integrationsvariablen t multipliziert mit E(t ′ ) mit<br />
Integrationsvariablen t ′ .<br />
Um dennoch einen physikalischen Bezug zu erhalten nehmen wir als Integrationsgrenzen im<br />
Integral (*) über t nicht ganz R, sondern nur eine endliche Zeitspanne T , welche jedoch groß im<br />
Vergleich zu τ sein sollte. So erhalten wir, bei Betrachtung des Integrals (*), das nun als eine<br />
zeitliche Mittelung (siehe Anhang Punkt 2) des Integranden wirkt,<br />
1<br />
T<br />
<br />
T<br />
dtE ∗ (t)E(t + τ) =:< E ∗ (t)E(t + τ) >= g (1)<br />
nn (τ) (3.10)<br />
was als die nicht normierte Korrelationsfunktion erster Ordnung definiert ist, deshalb auch<br />
der Index nn für nicht normiert.<br />
Die Korrelationsfunktion gibt, wie der Name schon verrät (Korrelation ist gleichbedeutend mit<br />
Wechselwirkung), an wie stark Wellen oder E-Felder gegenseitig gekoppelt sind. Sie beschreibt<br />
inwieweit der Wert des E-Feldes zum Zeitpunkt t mit dem sich wahrscheinlich ändernden Wertes<br />
zum Zeitpunkt t + τ in Verbindung steht, gekoppelt ist. Eine Intuition für diese Funktion wird<br />
noch durch Beispiele und Zahlen geschaffen.<br />
9
3.1 Frequenzspektrum und Korrelationsfunktion erster Ordnung<br />
Vorerst sei der Leser darauf hingewiesen, dass diese Funktion schon einmal, bei der Behandlung<br />
des Youngschen Doppelspalts, vorkam, als Spezialfall mit τ als Raum-Zeit-Punkte dargestellt.<br />
Für τ in Raum-Zeit-Punkte umgerechnet stellt dies den letzten Term in (1.2), jedoch ohne<br />
Mittelung, dar, der für die Interferenzerscheinung verantwortlich war. Somit ist die Korrelationsfunktion<br />
wirklich eine Funktion, welche angibt wie sich E-Felder beeinflussen können.<br />
Betrachten wir nun noch das Integral <strong>von</strong> I(ω) über sämtliche Frequenzen, also wie oben in<br />
Gleichung (3.12) als Ĩ definiert, so erhalten wir den Nenner der spektralen Verteilungsfunktion:<br />
Ĩ =<br />
=<br />
=<br />
∞<br />
−∞<br />
1<br />
4π2 |E(ω)| 2 dω<br />
∞<br />
−∞<br />
∞<br />
1<br />
4π2 <br />
−∞<br />
<br />
dω<br />
∞<br />
−∞<br />
∞<br />
<br />
dω<br />
−∞<br />
<br />
dτ<br />
T<br />
dtE ∗ (t)E(t + τ) e iωτ<br />
dτT < E ∗ (t)E(t + τ) > e iωτ<br />
= T<br />
2π < E∗ (t)E(t) > (3.11)<br />
Wobei benutzt wurde, dass das Integral über ω, da nur die e-Funktion da<strong>von</strong> abhängig war, die<br />
Deltafunktion darstellte.<br />
Die normierte spektrale Verteilungsfunktion setzt sich nun wie folgt, aus Gleichungen (3.9),<br />
(3.10), (3.11) in Gleichung (3.8) eingesetzt, zusammen:<br />
F (ω) = 1<br />
2π<br />
= 1<br />
2π<br />
∞<br />
< E<br />
−∞<br />
∗ (t)E(t + τ) > eiωτ dτ<br />
∞<br />
−∞<br />
∞<br />
−∞<br />
|E(ω)| 2 dω<br />
< E ∗ (t)E(t + τ) ><br />
< E ∗ (t)E(t) ><br />
<br />
(∗∗)<br />
e iωτ dτ. (3.12)<br />
In dieser normierten Verteilungsfunktion tritt wieder die oben definierte Korrelationsfunktion<br />
auf, jedoch kommt hier noch ein Term hinzu, der bei einer späteren Betrachtung diese Funktion<br />
normiert. Der gesamte Ausdruck (**) stellt deshalb die normierte Korrelationsfunktion<br />
erster Ordnung dar:<br />
g (1) (τ) = < E∗ (t)E(t + τ) ><br />
< E∗ . (3.13)<br />
(t)E(t) ><br />
Der Nenner kann durch die gemittelte Intensität Ī ersetzt werden.<br />
Nur zur Vollständigkeit und bei weiteren Recherchen notwendig:<br />
Die Verbindung (3.12) zwischen F (ω), dem Spektrum des <strong>Licht</strong>s, und seiner Korrelationsfunktion<br />
erster Ordnung ist eine Form des Wiener-Khintchine Theorems, siehe Seite 84 in [1].<br />
Es folgt<br />
F (ω) = 1<br />
2π<br />
∞<br />
−∞<br />
g (1) (τ) e iωτ dτ<br />
10
3.2 <strong>Eigenschaften</strong> der Korrelationsfunktion erster Ordnung<br />
und somit stellt F (ω) die Fouriertransformierte der Korrelationsfunktion dar.<br />
Aus der Defintion (3.10) folgt nun leicht, dass g (1) (−τ) = g (1) (τ) ∗ gelten muss. Daraus wiederum<br />
kann man nun das Integral über ganz R einschränken, auf nur positive Werte, muss so jedoch<br />
dieses Integral dann zweimal nehmen und beachten, dass nur der Realteil des Erhaltenen für<br />
das Ergebnis relevant ist. Damit folgt<br />
F (ω) = 1<br />
π Re<br />
∞<br />
0<br />
g (1) (τ) e iωτ dτ . (3.14)<br />
Aus diesem Grund sind nur noch positive τ zu betrachten.<br />
Man sieht also, dass g (1) (τ) die Berechnung des Frequenzspektrums erlaubt. Um nun dieser<br />
noch sehr unbekannten Funktion einen festeren Boden zu verschaffen wollen wir nun einige<br />
<strong>Eigenschaften</strong> <strong>von</strong> g (1) (τ) betrachten.<br />
3.2 <strong>Eigenschaften</strong> der Korrelationsfunktion erster Ordnung<br />
Die Haupteigenschaft dieser Funktion ist wohl die Möglichkeit der Berechnung des Frequenzspektrums.<br />
Doch wie berechnet man nun diese Funktion selbst?<br />
Betrachten wir wieder unser zuvor aufgestelltes Modell. Es wurde besprochen, dass das E-Feld<br />
sich nur sehr geringfügig innerhalb <strong>von</strong> kleinen Zeitspannen ändert, d.h. kleineren als τc, was die<br />
ausgezeichnete Kohärenzzeit war. Jedoch bei Vergleichen des E-Feldes nach größeren Zeitspannen,<br />
erweist sich das Feld als unkorreliert, d.h. in keinem Bezug zueinander stehend. Weiterhin<br />
ist die Definition (3.10) nur <strong>von</strong> den <strong>Eigenschaften</strong> des <strong>Licht</strong>s und nicht <strong>von</strong> der Beobachtungszeit<br />
T abhängig. Hinzu kommt, wie vorher schon verlautet wurde, dass wir einen Beobachtungsapparat<br />
besitzen der die Oszillationen zeitgetreu verfolgen kann. Dies alles sind Voraussetzungen<br />
um das Theorem der Ergodizität, siehe Anhang Punkt 1, benutzen zu können. Dies erlaubt<br />
die Zeitmittelung eines Systems gegen viele Messungen eines exakt gleichen Systems einzutauschen,<br />
welches jedoch auf einem konstanten Zustand gehalten wird (Grundprinzip: Eine Welle<br />
unterscheidet sich um nichts <strong>von</strong> einer anderen). Nun folgt mit (2.6) und (2.7)<br />
< E ∗ (t)E(t + τ) > = <<br />
ν<br />
n=1<br />
= E 2 0 e −iω0τ <<br />
E0 e iω0t e −iφn(t) ·<br />
ν<br />
n=1<br />
ν<br />
e −iφn(t)<br />
·<br />
n=1<br />
E0 e −iω0(t+τ) e iφn(t+τ) ><br />
ν<br />
e iφn(t+τ)<br />
><br />
n=1<br />
= E 2 0 e −iω0τ ν<br />
< e iφn(t+τ)−iφn(t)<br />
> +<br />
n=1<br />
ν<br />
n=m<br />
< e iφn(t+τ)−iφm(t)<br />
<br />
><br />
<br />
(∗∗∗)<br />
Nun gilt aber, wie schon angedeutet wurde, dass sich die Terme (***) im Mittel wegheben,<br />
da hier über Wellenzüge integriert wird, welche <strong>von</strong> verschiedenen, und daher unkorrelierten,<br />
Atomen stammen. Diese Summanden tragen zwar unterschiedliche Werte bei, aber aufgrund der<br />
statistischen Mittelung über sehr viele Werte löschen sich diese gerade wieder gegenseitig aus.<br />
Somit gilt also:<br />
< E ∗ (t)E(t + τ) >= E 2 0 e iω0τ<br />
ν<br />
< e iφn(t+τ)−iφn(t) >= ν < E ∗ n(t)En(t + τ) > (3.15)<br />
n=1<br />
Daraus folgt, dass die Korrelationsfunktion <strong>von</strong> mehreren emittierenden Atomen das Vielfache<br />
<strong>von</strong> nur einem Atom ist. Dies kommt auch übereins mit unserem Grundprinzip, wie oben<br />
11
3.2 <strong>Eigenschaften</strong> der Korrelationsfunktion erster Ordnung<br />
angegeben. Bei Ausschreiben der spitzen Klammern folgt für ein Atom<br />
< E ∗ n(t)En(t + τ) > = E 2 0 e −iω0τ iφn(t+τ)−iφn(t)<br />
< e ><br />
<br />
e iφn(t+τ)−iφn(t) dt<br />
.<br />
= E 2 −iω0τ 1<br />
0 e<br />
T<br />
In Worten bedeutet diese Gleichung, dass hier die Korrelation eines einzelnen Wellenzuges zur<br />
Zeit t mit sich selber aber zu einer späteren Zeit t + τ berechnet wird. Betrachten wir dazu das<br />
Bild eines einzelnen Wellenzuges, Abbildung 3.<br />
Führt man die Integration durch, so muss man immer die Phase für t + τ mit dem komplex<br />
Konjugierten der Phase zur Zeit t multiplizieren. Das Produkt liefert den Wert e 0 = 1, wenn<br />
die Phasen gleich sind, also wenn die beiden Zeiten t und t + τ innerhalb eines Gebietes ohne<br />
Phasensprung liegen, und es liefert einen zufälligen Wert, wenn ein oder mehrere Phasensprünge<br />
zwischen den beiden Zeiten liegen. Wie schon gesagt, heben sich alle zufälligen Werte im Mittel<br />
weg. Einen Beitrag zum Wert des Integrals liefern also nur die Zeitbereiche, in denen kein<br />
Phasensprung innerhalb der Zeitspanne τ liegt. Der Beitrag ist jeweils [e 0 · ’Länge des Zeitbereichs’].<br />
Könnte man also die Summe der Längen im Zeitraum T bestimmen, so hätte man auch<br />
gleichzeitig den Wert des Integrals.<br />
Dies können wir jedoch, da wir aus Gleichung (2.5) genau die Wahrscheinlichkeit dafür erhalten<br />
p(τ)dτ = 1<br />
τ0<br />
T<br />
τ<br />
−<br />
e τ0 dτ.<br />
Integriert man diese Wahrscheinlichkeit <strong>von</strong> τ bis Unendlich auf, so erhält man eine Wahrscheinlichkeit<br />
dafür, dass Zeitintervalle zwischen Stößen größer als τ sind. Multipliziert man diesen<br />
Wert noch mit T , so erhält man genau den Wert des Integrals, das wir berechnen wollen:<br />
< E ∗ n(t)En(t + τ) > = E 2 −iω0τ 1<br />
0 e<br />
T<br />
Der Zähler <strong>von</strong> g (1) (τ) ergibt sich also zu<br />
Den Nenner kann man leicht zu νE 2 0<br />
· T<br />
= E 2 τ<br />
−iω0τ−<br />
0 e τ0 .<br />
∞<br />
< E ∗ (t)E(t + τ) >= νE 2 τ<br />
−iω0τ−<br />
0 e τ0 .<br />
berechnen, und so erhält man<br />
τ<br />
p(τ)dτ<br />
g (1) τ<br />
−iω0τ−<br />
(τ) = e τ0 . (3.16)<br />
Typische <strong>Eigenschaften</strong> <strong>von</strong> Korrelationsfunktionen erster Ordnung kann man nun leicht ableiten:<br />
Für jegliche Art <strong>von</strong> chaotischem <strong>Licht</strong> muss die zeitlich gemittelte Funktion des E-Feldes für<br />
τ → ∞ gegen Null gehen, d.h. für den Betrag der Korrelationsfunktion erster Ordnung gibt es<br />
eine untere Schranke, nämlich 0. Für einen optimalen hypothetischen Wellenzug der unendlich<br />
lange ist und nur eine Frequenz besitzt, ergibt sich ja dass<br />
τ0 → ∞.<br />
Dies bedeutet aber, dass mit (3.16) für den Betrag gilt<br />
|g (1) τ<br />
−iω0τ−<br />
(τ)| = | e τ0 |<br />
= | e −iω0τ −<br />
| | e τ<br />
τ0 |<br />
<br />
→0<br />
= 1<br />
(3.17)<br />
12
3.3 Dopplerverbreiterung<br />
Somit haben wir eine weitere Grenze gefunden. Es wurde auch deutlich, dass nur der Betrag der<br />
Korrelationsfunktion <strong>von</strong> Bedeutung ist, da dadurch der komplexe Anteil wegfällt. Da die letzten<br />
beiden Betrachtungen unabhängig <strong>von</strong> der Zeitspanne τ eintreten, können wir nun folgendes<br />
Resümee aus den letzten beiden Betrachtungen ziehen:<br />
|g (1) ⎧<br />
⎨ 1 für kohärente Zustände<br />
(τ)| = 0 für nicht kohärente Zustände . (3.18)<br />
⎩<br />
∈ (0, 1] für teilweise kohärente Zustände<br />
Die Definition lautet: <strong>Licht</strong> ist kohärent erster Ordnung wenn gilt<br />
|g (1) (τ)| = 1 (3.19)<br />
Die Gleichung (3.18) besagt, dass <strong>Licht</strong> welches <strong>von</strong> Atomen stammt, die Kollisionen erleiden,<br />
niemals kohärent erster Ordnung sein kann, da für τ = 0 die Korrelationsfunktion = 1 ist. Somit<br />
hat man nun eine Möglichkeit gefunden die Interferenzfähigkeit in Zahlen anzugeben.<br />
Aus Gleichung (3.16) gilt aber auch, dass für τ0 < ∞ die Korrelationsfunktion für τ > 0<br />
exponentiell abfallen muss. Der interessierende Wert ist natürlich der Betrag <strong>von</strong> g (1) (τ) was in<br />
Abbildung 7, in Anlehnung an die obige Gleichung (3.18), illustriert ist.<br />
(1)<br />
|g ( )|<br />
1,0<br />
0,5<br />
Wert für einen glatten Wellenzug<br />
-4 -2 0<br />
<br />
2 4<br />
Abbildung 7: Wie stark die Funktion abfällt hängt alleine <strong>von</strong> τ0 ab, d.h. <strong>von</strong> den <strong>Eigenschaften</strong><br />
der <strong>Licht</strong>quelle. Abgewandelt entnommen aus [1].<br />
Integriert man (3.16) auf, so erhält man die in (2.4) angegebene Frequenzverteilung:<br />
F (ω) =<br />
γ<br />
π<br />
(ω0 − ω) 2 + γ 2<br />
mit γ = 1 , also eine Lorentzverteilung (vgl. Abbildung 2). Was vielleicht nicht so deutlich<br />
τ0<br />
erkennbar ist, ist die Tatsache, dass wir nun auch die anfangs angegebene Beziehung τc∆ν ≈ 1<br />
verifiziert haben. Denn wie man sich leicht überlegen kann, ist γ proportional zur Halbwertsbreite<br />
∆ν und mit der Beziehung γ = 1 folgt das Gesagte, wenn man als Kohärenzzeit die Zeitspanne<br />
τ0<br />
ohne Kollision τ0 verwendet.<br />
3.3 Dopplerverbreiterung<br />
Da wir schon die spektrale Verteilungsfunktion auf Doppler-Basis, Gleichung (2.3), d.h. die verbreiterten<br />
Emissionslinien auf der Grundlage der thermischen Bewegung <strong>von</strong> Atomen, kennen,<br />
13
3.4 Einführung räumlicher Kohärenz<br />
wollen wir nun den umgekehrten Weg gehen und <strong>von</strong> dieser Gleichung aus unser g (1) (τ) berechnen.<br />
D.h. die inverse Fouriertransformation durchführen. Wir müssen jedoch diesmal beachten,<br />
dass jedes Atom, aufgrund der angenommenen Dopplerverschiebung, auch unterschiedliche Frequenzen<br />
abstrahlt. Wir beginnen also mit<br />
E(t) = E0<br />
ν<br />
e −iωnt+iφn<br />
n=1<br />
Nun besitzt auch die Frequenz ωn einen Index, weiterhin gilt, dass die Phasen der einzelnen<br />
Atome unterschiedlich (deshalb der Index) jedoch zeitunabhängig sind. Man erhält also<br />
ν<br />
< E ∗ (t)E(t + τ) > = E 2 0<br />
n,m=1<br />
= E 2 0<br />
n=1<br />
ν<br />
e −iωnτ ,<br />
< e iωnt+iφn−iωm(t+τ)−iφm ><br />
da sich nun wieder alle Terme mit unterschiedlichen Indizes im Mittel wegheben. Ersetzt man nun<br />
die endliche Summe der verschiedenen Frequenzen gegen ein Integral über ein kontinuierliches<br />
Spektrum mit der Verteilung auf Doppler-Basis, Gleichung (2.3), so gelangt man zu<br />
< E ∗ (t)E(t + τ) > = νE 2 0(2πδ 2 ) 1/2<br />
<br />
∞<br />
0<br />
= νE 2 1<br />
−iω0τ−<br />
0 e 2 δ2τ 2<br />
e −iωnτ− (ωn−ω 0 )2<br />
2δ 2 dωn<br />
<br />
kBT<br />
Das δ ist hierbei wieder gegeben durch δ = ω0 Mc2 . Mit der Definition <strong>von</strong> g (1) (τ), (3.13), wird<br />
dies zu<br />
g (1) 1<br />
−iω0τ−<br />
(τ) = e 2 δ2τ 2<br />
.<br />
Wenn nun beide Effekte, Doppler- und Stoßverbreiterung, gemeinsam betrachtet werden wollen,<br />
ist die Kombination im mathematischen Sinne auch einfach möglich, durch<br />
g (1) 1<br />
−iω0τ−γ|τ|−<br />
(τ) = e 2 δ2τ 2<br />
.<br />
Die Betragsbildung bei τ ermöglicht die formale Hinzunahme <strong>von</strong> negativen τ ist aber physikalisch<br />
identisch mit τ ohne Betrag in (3.16).<br />
3.4 Einführung räumlicher Kohärenz<br />
Wir sind bisher immer da<strong>von</strong> ausgegangen, dass wir uns an einem festen Ort befinden und dort<br />
die Welle betrachten. Nun sollte aber auch dem allgemeinen Fall Rechnung getragen werden,<br />
der bei Youngs Doppelspalt auftrat.<br />
Betrachtet wird nun die vom Ort r und der Zeit t abhängigen Funktion des E-Feldes, in Analogie<br />
zu Gleichung (2.6),<br />
E(t) = E0 e ik·r−iω0t+iφ(t) (3.20)<br />
Wenn man sich die Gleichung λc = cτc vor Augen hält, dürfte klar sein, dass man jede zeitliche<br />
Kohärenz in eine räumliche umrechnen kann. Wenn man nun zwei Raumpunkte zu zwei<br />
Zeitpunkten auswählt und diese als Beobachtungspunkte benutzt, kann man über die <strong>Licht</strong>geschwindigkeit<br />
eine alleinige Zeitdifferenz berechnen, nämlich<br />
τ ′ = t2 − t1 − r2 − r1<br />
c<br />
.<br />
= ∆t − ∆t ′<br />
14
4. Korrelationsfunktion zweiter Ordnung<br />
mit ∆t ′ der umgerechneten Ortsdifferenz (hier in drei Dimensionen), diese wieder in die allgemeine<br />
E-Feldgleichung (2.6) einsetzen und dann g (1) (τ ′ ) berechnen, was wie folgt definiert<br />
ist<br />
g (1) (τ ′ ) = g (1) (r1, t1, r2, t2) =<br />
< E ∗ (r1, t1)E(r2, t2) ><br />
< |E(r1, t1)| 2 >< |E(r2, t2)| 2 > .<br />
Für Berechnungen ist es jedoch sinnvoller die Orte und Zeiten einzusetzen, die Integrale zu lösen<br />
und im Nachhinein die Ersetzung, hier in einer Dimension angegeben, durchzuführen:<br />
k · x = ω0<br />
c · ct′ = ω0t ′<br />
4 Korrelationsfunktion zweiter Ordnung<br />
4.1 Korrelationsfunktion zweiter Ordnung<br />
Bislang betrachteten wir nur E-Felder im Bezug auf Korrelationen, d.h. inwieweit diese miteinander<br />
interferieren können. In diesem Abschnitt wollen wir uns mit der direkten Messung<br />
der Intensitätsfluktuationen, welche man sich aus Abbildung 6 ins Gedächtnis rufen kann, befassen.<br />
Wir werden die Messung <strong>von</strong> Interferenzerscheinungen höherer Ordnung beschreiben,<br />
welche eher auf der Korrelation zweier Intensitäten zu verschiedenen Zeiten beruht, als auf der<br />
Korrelation zwischen zwei E-Feldern.<br />
Betrachten wir zwei Messungen der Intensität zu zwei verschiedenen, aber festen Zeiten mit der<br />
Zeitverschiebung τ. Die Korrelationsfunktion zweiter Ordnung ist nun, analog zur ersten<br />
Ordnung, als die zeitliche Mittelung (Anhang Punkt 2) dieser beiden Messungen definiert, jedoch<br />
mit Intensitäten anstatt E-Feldern. Es ist angebracht die normierte Form der Korrelationsfunktion<br />
zweiter Ordnung zu verwenden, genauso wie im vorigen Fall, welche dann ist<br />
g (2) (τ) =<br />
< Ī(t)Ī(t + τ) ><br />
< Ī(t) >2<br />
=<br />
< E∗ (t)E ∗ (t + τ)E(t + τ)E(t) ><br />
< E ∗ (t)E(t) > 2 . (4.21)<br />
(mit Ī jeweils gleich der gemittelten Intensität)<br />
Auch hier ist wieder eine Verallgemeinerung auf Raum-Zeit-Punkte möglich:<br />
g (2) (τ ′ ) = g (2) (r1, t1, r2, t2) = < E∗ (r1, t1)E∗ (r2, t2)E(r2, t2)E(r1, t1) ><br />
< |E(r1, t1)| 2 >< |E(r2, t2)| 2 . (4.22)<br />
><br />
Wie wir wissen, lässt sich (4.22) mittels verallgemeinertem τ umwandeln in das äquivalente<br />
(4.21), wir werden also vorerst nur die einfachere Definition verwenden.<br />
4.2 <strong>Eigenschaften</strong> dieser Funktion<br />
Aus Symmetriegründen oder aus dem Vergleich der Definitionen (4.21) und (3.13) folgt nun<br />
leicht, dass<br />
g (2) (τ) = g (2) (τ) ∗<br />
und somit auch g (2) (τ) = g (2) (−τ) gilt.<br />
Für g (1) gilt ja g (1) (τ) ∈ (0, 1], dies gilt nun für g (2) nicht mehr, wie wir gleich sehen werden.<br />
Aus Cauchys Ungleichung folgt nun, für unseren Fall:<br />
< Ī(t) >2 ≤ < Ī(t)2 > und<br />
< Ī(t)Ī(t + τ) > ≤ < Ī(t)2 > .<br />
15
4.3 Beispiel des Rechtecksignals<br />
Dies kann man nun in die Definition <strong>von</strong> g (2) , Gleichung (4.21), einsetzen und bekommt für<br />
τ = 0 eine untere Schranke<br />
g (2) (0) ≥ 1,<br />
und die zweite Gleichung führt uns auf<br />
g (2) (τ) ≤ g (2) (0) .<br />
Diese beiden Ergebnisse sind nun nicht so einfach, wie im Fall der ersten Ordnung, da zwischen<br />
τ = 0 und τ = 0 unterschieden werden muss. Eine obere Grenze für g (2) existiert nicht. Somit<br />
können wir wieder ein Resümee ziehen:<br />
∞ ≥ g (2) <br />
≥ 1 für τ = 0<br />
(τ)<br />
≥ 0 für τ = 0<br />
4.3 Beispiel des Rechtecksignals<br />
Wir wollen nun, am Beispiel eines Rechtecksignals, die Korrelationsfunktion g (2) für τ = 0<br />
berechnen. Zur Erläuterung der Abbildung 8:<br />
Die Höhe eines Pulses ist jeweils konstant und hat den Betrag I0, die Impulsdauer sei τ0 und<br />
die gemittelte Intensität kann geschrieben werden als<br />
Ī = fI0 für 0 < f ≤ 1.<br />
Wohingegen f das Tast-Pause-Verhältnis f = ντ0 angibt, mit ν = 1<br />
T die Frequenz des Signal.<br />
Falls gilt ν = 1 so ist das Signal während einer Periode unsymmetrisch, wie in der Abbildung<br />
τ0<br />
8 dargestellt.<br />
I 0<br />
I( t)<br />
2,5<br />
g (2 ) ( )<br />
0<br />
0 2 4 6 8<br />
0<br />
Für τ = 0, in der Definition <strong>von</strong> g (2) (τ), folgt nun im Zähler:<br />
< Ī(t)2 >= 1<br />
<br />
I(t)<br />
T<br />
2 dt = 1<br />
T I2 0τ0 = fI 2 0.<br />
Im Nenner ergibt sich<br />
< I(t) > 2 =<br />
⎛<br />
⎝ 1<br />
T<br />
<br />
T<br />
T<br />
⎞<br />
I(t)dt⎠<br />
2<br />
=<br />
Abbildung 8:<br />
Oben ist die Intensität eines Rechtecksignals<br />
aufgetragen. Unten sieht<br />
man die zugehörige g (2) (τ). Abgewandelt<br />
entnommen aus [1].<br />
<br />
1<br />
T τ0I0<br />
2 = f 2 I 2 0.<br />
16
Somit folgt<br />
g (2) (0) = 1<br />
f .<br />
4.4 g (2) (τ) für statistisches <strong>Licht</strong><br />
Mit f = 1, was soviel wie ein klassisch, symmetrisches Rechtecksignal bedeutet, erhalten wir<br />
g (2) (0) = 1. Somit stimmen unsere Vorhersagen über die Grenzen <strong>von</strong> g (2) (τ) mit diesem Beispiel<br />
überein. Für τ = 0 ergibt sich die Funktion im unteren Graphen, was jedoch auch leicht<br />
zu berechnen ist. Anzumerken ist, dass in Fällen <strong>von</strong> unendlicher Kohärenzzeit, welche unser<br />
betrachtetes Rechtecksignal aufweist, sich das Integral auf eine Periode reduzieren lässt.<br />
4.4 g (2) (τ) für statistisches <strong>Licht</strong><br />
Da die statistischen <strong>Eigenschaften</strong> einer chaotischen <strong>Licht</strong>quelle dafür sorgen, dass nach einer<br />
gewissen Zeitspanne, der Kohärenzzeit τc, das ausgehende <strong>Licht</strong> als völlig unkorreliert anzusehen<br />
ist, ergibt sich, wie wir gleich sehen werden, für die Korrelationsfunktion<br />
g (2) → 1 für τ ≫ τ0.<br />
Wir wollen nun g (2) (τ) für chaotisches, d.h. statistisches, <strong>Licht</strong> berechnen und nehmen an, dass<br />
das Gesamt-E-Feld wieder aus unabhängigen Einzelfeldern besteht. Dabei ist (vorerst) die Unterscheidung<br />
zwischen Stoß- und Dopplerverbreiterung nicht <strong>von</strong> Nöten. Beschränken wir uns,<br />
der Einfachheit halber, noch auf eine Dimension:<br />
E(t) = <br />
En(t) mit En(t) = E0 e −iωn(t)t+ikn(t)x−iΦn(t)<br />
. (4.23)<br />
n<br />
Nun betrachten wir wieder den Zähler der Defintion <strong>von</strong> g (2) (τ), Gleichung (4.21), der sich hier<br />
ergibt zu<br />
< E ∗ (t)E ∗ (t + τ)E(t + τ)E(t) > = <br />
< E ∗ k (t)E∗ l (t + τ)Em(t + τ)En(t) ><br />
klmn<br />
= <br />
< E ∗ n(t)E ∗ n(t + τ)En(t + τ)En(t) ><br />
n<br />
+ <br />
< E ∗ n(t)E ∗ m(t + τ)Em(t + τ)En(t) ><br />
n=m<br />
+ < E ∗ n(t)E ∗ m(t + τ)En(t + τ)Em(t) ><br />
Beim Übergang der Summe über klmn auf die Summen über n und n = m wurde wieder<br />
ausgenutzt, dass sich Terme im Mittel weg heben, bei denen die unterschiedlichen E-Felder<br />
zu unterschiedlichen Zeiten miteinander komplex konjugiert multipliziert werden und so einen<br />
zufälligen Wert ergeben. Zu beachten ist aber, dass bei diesem Übergang wieder alle Terme,<br />
in denen das E-Feld eines Atoms zur Zeit t mit seinem komplex konjugierten zur Zeit t + τ<br />
multipliziert werden, stehen bleiben! Und natürlich bleiben auch solche Terme übrig, in denen<br />
die E-Felder zu gleichen Zeiten miteinander komplex konjugiert multipliziert werden. Die Ergodizität,<br />
siehe Anhang Punkt 1, dieses Systems wird nun wieder ausgenutzt. Außerdem kann<br />
man die Mittelwerte zusammenfassen, nachdem gilt < f(t) >=< f(t + τ) >, für ein geeignetes<br />
f. Somit folgt<br />
< E ∗ (t)E ∗ (t + τ)E(t + τ)E(t) > = ν < E ∗ n(t)E ∗ n(t + τ)En(t + τ)En(t) ><br />
<br />
+ν(ν − 1) < E ∗ n(t)En(t) > 2 +| < E ∗ n(t)En(t + τ) > | 2<br />
.<br />
<br />
.<br />
17
4.4 g (2) (τ) für statistisches <strong>Licht</strong><br />
Falls nun ν sehr groß ist, <strong>von</strong> dem wir immer ausgegangen sind, kann man den Term, der nur<br />
linear in ν ist, im Gegensatz zu den Termen die quadratisch in ν sind, vernachlässigen und so<br />
eine gute Abschätzung erhalten<br />
< E ∗ (t)E ∗ (t + τ)E(t + τ)E(t) > ∼ = ν 2<br />
< E ∗ n(t)En(t) > 2 +| < E ∗ n(t)En(t + τ) > | 2<br />
.<br />
Zum Vergleich sei auf die Gleichung (3.15) verwiesen, in der dasselbe für die Korrelationsfunktion<br />
erster Ordnung berechnet wurde. Den Nenner kann man wieder leicht zu ν2I 2 0 bestimmen. Somit<br />
ergibt sich für die angenommene ebene Welle<br />
g (2) (τ) = ν2 < E ∗ n(t)En(t) > 2<br />
ν 2 I 2 0<br />
+ ν2 | < E ∗ n(t)En(t + τ) > | 2<br />
ν 2 I 2 0<br />
= ν2 I 2 0<br />
ν 2 I 2 0<br />
+ | < E∗ n(t)En(t + τ) > | 2<br />
|I0| 2 .<br />
Nun betrachten wir doch mal den zweiten Summanden etwas genauer. Dieser ist das Betragsquadrat<br />
<strong>von</strong> g (1) (τ). Somit kommen wir zu dem Schluß<br />
Ab jetzt soll immer vorausgesetzt sein ν ≫ 1.<br />
g (2) (τ) = 1 + |g (1) (τ)| 2 für ν ≫ 1. (4.24)<br />
Nun kann man unsere zuvor gefundenen Formeln für g (1) einsetzen und erhält z.B. für die<br />
Stoßverbreiterung (Lorentzverteilung)<br />
mit γ = 1<br />
τ<br />
g (2) (τ) = 1 + e −2γ|τ| , (4.25)<br />
und im Falle <strong>von</strong> Dopplerverbreiterung (Gaußverteilung):<br />
Stabiler Wellenzug<br />
g (2) (τ) = 1 + e −δ2 τ 2<br />
.<br />
(2 )<br />
g ( )<br />
-2 -1 0 1<br />
2<br />
1<br />
und t<br />
Lorentzian<br />
Gaussian<br />
Abbildung 9: g (2) (τ) für Lorentz- und Gaußverbreiterung, dabei zeigt wieder die gestrichelte<br />
Linie einen hypothetischen, stabilen Wellenzug. Abgewandelt entnommen aus [1].<br />
Da für jegliche Art <strong>von</strong> chaotischem <strong>Licht</strong> gilt g (1) (0) = 1 oder anders, g (1) (τ) → 1 für sehr kleine<br />
Zeitverschiebungen τ, siehe Gleichung (3.17), muss aus (4.24) für jegliche Art <strong>von</strong> chaotischem<br />
<strong>Licht</strong> folgen<br />
g (2) (0) = 2.<br />
2<br />
18
5. Das Hanbury Brown and Twiss Experiment<br />
Dies ist nun die erste wirklich handfeste Unterscheidung zwischen den verschiedenen <strong>Licht</strong>arten.<br />
Die Kohärenz zweiter Ordnung ist nun wie folgt definiert<br />
g (1) (r1, t1, r2, t2) = 1 und zugleich<br />
g (2) (r1, t1, r2, t2) = 1.<br />
Die Einführung der räumlichen Abhängigkeit ist dabei auf linear-polarisiertes, paralleles <strong>Licht</strong><br />
beschränkt.<br />
Es gilt nun, dass <strong>Licht</strong>, ausgehend <strong>von</strong> einer chaotischen <strong>Licht</strong>quelle, unter keinen Umständen<br />
kohärent in zweiter Ordnung sein kann. Und wie wir bei der Berechnung <strong>von</strong> g (2) (0) des unendlich<br />
langen Rechtecksignals, was eine unendlich lange Kohärenzzeit hatte, gesehen haben (zwar nur<br />
als Beispielrechnung durchgeführt, was aber viel allgemein gültiger ist) kommt den stabilen<br />
Wellenzügen der Wert g (2) (0) = 1 zu.<br />
5 Das Hanbury Brown and Twiss Experiment<br />
5.1 Aufbau und Auswertung<br />
Um 1956 haben R. Hanbury Brown und R. Q. Twiss ein mögliches Experiment angegeben,<br />
mit dem man die Durchmesser <strong>von</strong> hell-leuchtenden Sternen ausmessen kann, ohne dabei eine<br />
aufwendige und sehr kostspielige Optik verwenden zu müssen.<br />
Das Grundprinzip dieses Experiments ist die Interferometrie, wie in der Optik, jedoch wird<br />
hier nicht die Interferenz der E-Felder betrachtet sondern die Intensitätsinterferenz. Das erste<br />
Experiment <strong>von</strong> Brown und Twiss zur Interferenz ist in Abbildung 10 zu sehen.<br />
Quecksilberlichtbogenlampe<br />
Wasser-<br />
Filter<br />
Pinhole<br />
Halbdurchlässiger<br />
Spiegel<br />
Quadratische<br />
Blende<br />
Photomultiplier<br />
Photomultiplier Verstellbarer Schlitten<br />
Ausgänge<br />
zum<br />
Korrelator<br />
Abbildung 10: Grobe Versuchanordnung zu Intensitätskorrelationen. Das <strong>Licht</strong> der Quecksilberdampflampe<br />
wird auf eine Lochblende fokussiert. Danach trifft es auf einen Strahlteiler,<br />
der jeweils die halbe Intensität auf jeweils einen Photomultiplier richtet. Einer da<strong>von</strong> ist in<br />
Strahlrichtung verschiebbar. Entnommen aus [1].<br />
Dabei wird das <strong>Licht</strong> einer Quecksilberdampflampe durch eine Optik auf eine Lochblende mit<br />
sehr geringem Durchmesser fokussiert, so dass eine ”sekundäre Punktlichtquelle” entsteht. Das<br />
<strong>Licht</strong> trifft nun auf einen halbdurchlässigen Spiegel der geneigt ist und somit den Strahl in zwei<br />
verschiedene Richtungen aufteilt mit<br />
Ī1(z, t) = Ī2(z, t) = 1<br />
Ī(z, t),<br />
2<br />
19
5.1 Aufbau und Auswertung<br />
wobei Īn(z, t) die jeweils, über viele Werte, gemittelte Intensität in einer Richtung nach dem<br />
Strahlteiler angibt. Für die gemittelte Intensität, über lange Zeit, wobei diese viel länger als die<br />
Kohärenzzeit sein sollte, führen wir folgende Notation ein:<br />
Î1 = Î2 = 1<br />
2 Î,<br />
Nun werden zwei Photomultiplier so angeordnet, dass sie die <strong>Licht</strong>strahlen aufnehmen, dabei<br />
sei einer beweglich, in Richtung des ankommenden <strong>Licht</strong>strahls, montiert, jedoch beide anfangs<br />
gleichweit vom Strahlteiler entfernt. Das Prinzip eines Multipliers ist zwar quantenmechanischer<br />
Natur, was wir hier eigentlich nicht betrachten wollen, aber aus Gründen des leichteren Verständnisses<br />
sei folgendes gesagt: Da während der Kohärenzzeit, in der die Phasen korreliert sind, auch<br />
die Intensitäten korreliert sind, kann statt einer E-Feld-Interferenzmessung einfach nur ”Photonenzählen”,<br />
also Intensitäten messen, verwendet werden um die Korrelation <strong>von</strong> <strong>Licht</strong>strahlen<br />
zu bekommen. Genau dieser Effekt wird hier ausgenutzt.<br />
Die Ausgangssignale der Photomultiplier werden nun in einen Korrelator gespeist, der folgende<br />
Operation mit den Werten durchführt:<br />
< ( Ī1(z, t1) − Î1)( Ī2(z, t2) − Î2) > was zu < Ī1(z, t1) Ī2(z, t2) > − Î1 Î2 führt.<br />
Normiert man den Ausgangswert des Korrelators, so führt dies auf<br />
< Ī1(z, t1) Ī2(z, t2) > −Î1Î2 Î1 Î2<br />
= < Ī1(z, t1) Ī2(z, t2) ><br />
− 1 = g (2) (τ) − 1. (5.26)<br />
wobei hier τ = t2 − t1 gilt. Der Verlauf dieser Funktion ist in Abbildung 9 für die bestimmten<br />
Verteilungsfunktionen zu sehen, wobei nur der Wert 1 abgezogen werden muss. D.h. man<br />
müsste den Wert 1 für chaotisches <strong>Licht</strong> (was zu Brown und Twiss Zeiten die einzig verfügbare<br />
<strong>Licht</strong>quelle war) mit τ ≪ τc erhalten und ein gegen Null gehendes Ergebnis für τ ≫ τc. Heutige<br />
Messungen haben die Ergebnisse durch an nahezu unendlich langen korrelierten Wellenzüge<br />
bestätigt, welche ein Nullergebnis für alle τ zur Folge hatten. Aus Gleichung (4.25) folgt nun für<br />
eine Korrelationsfunktion basierend auf Lorentzverteilung, eingesetzt in (5.26),<br />
Î1 Î2<br />
g (2) (τ) − 1 = e −2γ|t2−t1| .<br />
Nun kommt aber eine Schwierigkeit hinzu. Diese Vorhersage über den Verlauf des Experiments<br />
ist keine gute. Denn, was wir bisher immer angenommen haben, sollte unsere Messeinheit mit<br />
uneingeschränkter Schnelligkeit die Eingangssignale verarbeiten können. Dies müssen wir jetzt<br />
berichtigen. Die Detektoren benötigen, so gut sie auch sind, immer eine Mindestansprechzeit,<br />
nennen wir sie τr die mittlere Ansprechzeit, bis ein Signal wirklich bemerkt wurde. Man misst<br />
also nicht g (2) (τ), sondern < g (2) (τ) >r, wobei die Klammern mit dem Index die zeitliche<br />
Mittelung über τr bedeuten sollen. Die Funktion des Ausgangsignals der beiden Detektoren des<br />
HBT (Hanbury Brown und Twiss) Experiments sieht also wie folgt aus:<br />
< g (2) (τ) >r −1 = 1<br />
τ 2 r<br />
=<br />
τr<br />
1<br />
0<br />
2γ 2 τ 2 r<br />
dt1<br />
τr<br />
0<br />
dt2 e −2γ|t2−t1|<br />
−2γτr e − 1 + 2γτr .<br />
Diesen Wert kann man tatsächlich am Detektor ablesen. Wenn man annimmt, man könnte τr<br />
des Detektors durchstimmen, so wird man entsprechend obiger Formel als Output für sehr kurze<br />
für sehr lange. Dazwischen liegt ein exponentieller Abfall.<br />
Ansprechzeiten 1 erhalten und τc<br />
τr<br />
Im Originalexperiment waren die Messzeiten sehr lange und τc<br />
τr ≈ 105 ! Um überhaupt etwas<br />
<strong>von</strong> Null verschiedenes zu messen, musste die Korrelierte Intensität ausgesprochen gut gemessen<br />
werden. Diese Ergebnisse wurden nun in astronomischen Problemen verwendet.<br />
20
5.2 Bestimmung der Winkeldurchmesser <strong>von</strong> Sternen<br />
5.2 Bestimmung der Winkeldurchmesser <strong>von</strong> Sternen<br />
Nun kommen wir zur wirklich praktischen Anwendung der vorangegangenen Arbeit. Die Sterndurchmesserbestimmung,<br />
oder besser gesagt die Bestimmung des Winkeldurchmessers, war schon<br />
immer ein großes Anliegen, da damit Referenzpunkte in astronomischen Karten gesetzt werden<br />
konnten, um da<strong>von</strong> weitere Sterne und Planeten ausfindig machen zu können.<br />
Als erstes wollen wir den normalen Weg erkunden, der zur Bestimmung dieser Werte führte,<br />
nämlich vermittels des Sterninterferometers, oder oft genannt des Stellarinterferometers, nach<br />
Michelson. Der Aufbau ist in Abbildung 11 und Abbildung 12 dargestellt. Beim Michelson-<br />
Stern<br />
Winkeldifferenzen<br />
<br />
<br />
Abstand zum Stern<br />
4 Spiegel<br />
Doppelspalt<br />
Abbildung 11: Winkeldifferenzbestimmung mit dem Stellarinterferometer nach Michelson.<br />
Stellarinterferometer werden zwei Spiegel benutzt, die das <strong>Licht</strong> eines Sternes einfangen. Das<br />
<strong>Licht</strong> wird auf einen kleinen Bereich des Spektrums gefiltert. Der Stern ist keine ideale punktförmige<br />
<strong>Licht</strong>quelle, weshalb nur Strahlen, die nahe beieinander entstanden (z.B. am rechten Rand des<br />
Sterns) interferieren, nicht aber weiter weg liegende (z.B. linker und rechter Rand des Sterns).<br />
Aus diesem Grund ist es möglich zwischen den beiden Rändern zu unterscheiden. Da jeder Bereich<br />
auf dem Stern nur mit sich selber interferiert, addieren sich die Interferenzmuster jedes<br />
einzelnen Bereichs und als Summe kann man ein Interferenzmuster nur beobachten, solange das<br />
Maximum des rechten Sternenrandes nicht mit dem Minimum des linken Sternenrandes zusammenfällt,<br />
was bei etwa hθ = λ passiert. Dies kommt <strong>von</strong> geometrischen Überlegungen her, da<br />
man am Schirm eine π-Phasenverschiebung, also destruktive Interferenz erhält, falls gilt<br />
φd = 1<br />
2 λ<br />
wobei d der Sterndurchmesser sein soll. Hinzu kommt, dass gilt<br />
h = 2φ d<br />
θ<br />
Für eine ausführlichere Herleitung sei der Leser auf Seite 309 und darauffolgende in [2] verwiesen.<br />
Den Sachverhalt kann man sich in Abbildung 12 verdeutlichen. Wenn nun dieses h <strong>von</strong> Null<br />
aufwärts gesteigert wird, kommt es immer abwechselnd zu positiver und negativer Interferenz,<br />
also zu Hell und Dunkel. Wenn jedoch das h so groß ist, dass die Wegdifferenz zwischen den<br />
beiden Strahlen des entweder unteren Randes oder oberen Randes größer als die Kohärenzlänge<br />
Lc wird so sind keine Interferenzerscheinungen mehr möglich. Dies ist dann die gesuchte Höhe<br />
h. Und daraus folgen dann alle anderen Werte.<br />
Das Problem ist dabei nur, dass aufgrund der geringen Wellenlänge kleinste Veränderungen der<br />
Wege die Interferenz ohnehin zunichte machen. Dies gilt auch für den Weg nach den Spiegeln.<br />
Denn verschiedene Luftdrücke haben bekanntlich unterschiedliche Brechungszahlen, was sich<br />
wiederum auf die Ausbreitungsgeschwindigkeiten auswirkt. Dies gilt auch für die Atmosphäre<br />
in der die <strong>Licht</strong>strahlen verschiedenste Luftdichten durchlaufen müssen, die nicht nur horizontal<br />
sondern auch vertikal stark ortsabhängig sind. Dies war ein großes Problem. Viel gravierender<br />
waren jedoch die immensen Kosten um genügend große Spiegel zu bauen, die genügend <strong>Licht</strong><br />
= λ<br />
θ<br />
Linse<br />
Schirm<br />
Abstand der<br />
Spiegel<br />
21
5.2 Bestimmung der Winkeldurchmesser <strong>von</strong> Sternen<br />
Abbildung 12: Dies stellt den rechten, hinteren Teil der Abbildung 11 dar. Nach den vier<br />
Spiegeln Mi trifft das <strong>Licht</strong> auf einen Doppelspalt, der als zweifache Punktlichtquelle in<br />
den dahinterliegenden Raum strahlt. Die angedeutete Linse fokussiert die Strahlen auf den<br />
Schirm. Entnommen aus Optik-Klausur.<br />
einfingen, um noch einigermaßen zwischen hell und dunkel bei den Interferenzen unterscheiden<br />
zu können und um den Abstand zwischen den Spiegeln so gut wie möglich konstant zu halten.<br />
Diese beiden Punkte waren mitunter ausschlaggebend für die Experimente <strong>von</strong> Hanbury Brown<br />
und Twiss. Das Stellarinterferometer wurde dahingehend verändert, dass die Photomultiplier,<br />
aus ihrem ersten Experiment, in den Brennpunkt zweier Hohlspiegel gesetzt wurden, siehe Abbildung<br />
14. In Abbildung 15 ist die Signalweiterführung illustriert.<br />
Stern<br />
Winkeldifferenzen<br />
<br />
<br />
Abstand zum Stern<br />
Intensitätsdetektoren<br />
Elektrischer<br />
Korrelator<br />
Abbildung 13: Wie man mit der Abbildung 11 vergleichen kann, wurden hier nur die<br />
Spiegel gegen Hohlspiegel und Photomultiplier ausgetauscht. Der Doppelspalt wurde gegen<br />
einen Rechner eingetauscht. Entnommen aus [3].<br />
So wie oben schon einmal erwähnt, werden hier sozusagen Photonen gezählt, oder klassisch<br />
ausgedrückt, die Intensität gemessen. Dabei verwendet man die Korrelation der Intensitäten.<br />
Die Geometrie des Problems ist dieselbe wie im optischen Analogon. Deshalb ist hier auch die<br />
Suche nach dem h das Hauptproblem. Jedoch hat man hier drei Vorteile.<br />
Erstens ist die Messung unabhängig <strong>von</strong> einem Beobachter, da die gemessenen Informationen<br />
zwar im Computer umgewandelt aber dann nur noch als Graphen oder Zahlen interpretiert<br />
werden müssen. Zum Anderen gibt es so gut wie keine Störstellen nach den Spiegeln, da zwar<br />
Laufzeitunterschiede der Signale entstehen können, diese aber sehr leicht durch schlichtes darauf<br />
achten, dass die Leitungen zu den Photomultipliern gleich lang sind, ausgemerzt werden können.<br />
Und Drittens sind für ausreichend gute Werte weniger große und somit günstigere Spiegel notwendig.<br />
Abstand der<br />
Intensitätsdetektoren<br />
22
5.2 Bestimmung der Winkeldurchmesser <strong>von</strong> Sternen<br />
Abbildung 14: Hier wird schematisch gezeigt wie die Photomultiplier im Brennpunkt der<br />
Hohlspiegel platziert sind und wie die weitere Signalverarbeitung war. Entnommen aus [3].<br />
Mit einer Auswertung am Computer ist es ein Leichtes die Höhe zu bestimmen, in der die Interferenzerscheinungen<br />
verschwinden. Zumal man aufgrund der Theorie der Korrelationsfunktionen<br />
ein Mittel hat, um die Wechselwirkungen zweier Intensitäten in Zahlen anzugeben. Die Auswertung<br />
ergab bei Hanbury Brown und Twiss, wie schon vorher gezeigt, einen exponentiellen<br />
Abfall der Korrelationsfunktion und somit dem Abfall der möglichen Interferenz mit steigendem<br />
Abstand der Spiegel, wie man aus Abbildung 15 entnehmen kann.<br />
Nur um einen Eindruck zu bekommen wie genau diese Messungen waren. Das HBT-Experiment<br />
verwendete <strong>Licht</strong> der Wellenlänge λ = 4·10 −7 m und ihre <strong>Licht</strong>quelle, also der betrachtete Stern,<br />
hatte einen Winkeldurchmesser <strong>von</strong> 8·10 −5 rad. Die Abbildung 16 zeigt den damaligen Aufbau der<br />
Anlage zur Winkelbestimmung des Sterns Sirius mit dem abgewandelten Stellarinterferometer.<br />
Abbildung 15: Mit Originaltext <strong>von</strong> Hanbury Brown and Twiss. Die durchgezogenen Linie<br />
zeigt den theoretischen Verlauf, die vertikalen Linien zeigen die experimentellen Werte mit<br />
Toleranzen. Entnommen aus [4]<br />
23
Abbildung 16: Am Narraby Observatorium in Australien wurde <strong>von</strong> R. Hanbury Brown in<br />
den 1960-er Jahren ein stellares Interferometer errichtet. Die Anordnung besteht aus zwei<br />
fahrbaren Spiegeln mit je 6m Durchmesser, die auf einem ca. 100m großen Kreis aus Eisenbahnschienen<br />
verschoben werden können. Die elektrischen Signale der Photomultiplier<br />
werden über Kabel zu einer Station im Zentrum übertragen und dort korreliert. Bild entnommen<br />
aus [5].<br />
6 Anhang<br />
6. Anhang<br />
• Theorem der Ergodizität:<br />
Die Ergodizität bedeutet, dass die Mittelung einer Systemgröße über eine bestimmte Zeit<br />
oder bestimmte Anzahl <strong>von</strong> Werten dieses Systems denselben Wert ergibt als würde man<br />
viele, exakt gleiche Systeme verwenden und deren Systemgrößen über die Anzahl der Systeme<br />
mitteln. Ein einfaches Beispiel ist der Würfel. Werfen wir einen Würfel n-mal hintereinander<br />
und tragen die Häufigkeiten jeder Augenzahl auf, dann erhalten wir die gleichen<br />
Ergebnisse, wie durch ein gleichzeitiges Werfen <strong>von</strong> n Würfeln.<br />
• Zeitliche Mittelung:<br />
Wie das angegebene Integral schon vermuten lässt handelt es sich hier um eine Mittelung<br />
in der Zeit, über eine Zeitspanne die jedoch groß im Gegensatz zu sämtlich vorkommenden<br />
Zeiten sein sollte. D.h. dass die Zeit T viel größer sein sollte als z.B die mittleren Stoßzeiten,<br />
Abklingzeiten oder sonstigen vorkommenden. Die Abkürzung dafür ist so definiert<br />
< f(t) >= 1<br />
T<br />
T<br />
0<br />
f(t)dt = 1<br />
T<br />
<br />
T<br />
f(t)dt<br />
24
Quellenverzeichnis 25<br />
Literatur<br />
[1] R. Loudon The Quantum Theory of Light UH5600 L886<br />
[2] Bergmann Schäfer: Lehrbuch der <strong>Physik</strong>, Optik, Band 3, 9.Auflage<br />
[3] Hanbury Brown, R. and Twiss, R.Q. (1958) Proceedings of the Royal Society of London,<br />
Series A, Mathematical and Physical Science, Vol. 243, No.1234<br />
[4] Hanbury Brown, R. (1956) Nature 178..1046H, A test of a new type of stellar interferometer<br />
on Sirius<br />
[5] Hanbury Brown, R. (1964) Sky and Telescope 1964, 63-69 The stellar Interferometer at<br />
Narrabi Observatory