Statistische Eigenschaften von klassischem Licht - Physik

Fluktuationseigenschaften von chaotischem
Licht
–eine klassische Betrachtung–
von
Matthias Kronseder
Ein Vortrag im Rahmen des Seminars
”Quantenoptik”
Regensburg, den 24.05.2006

Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 2
1.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Einführendes Beispiel: Youngs Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Grundlagen zur Verbreiterung von Emissionslinien 3
2.1 Arten von Verbreiterungsmechanismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Modell zur Stoßverbreiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Spektrum von fluktuierendem Licht 8
3.1 Frequenzspektrum und Korrelationsfunktion erster Ordnung . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Eigenschaften der Korrelationsfunktion erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 Dopplerverbreiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4 Einführung räumlicher Kohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Korrelationsfunktion zweiter Ordnung 15
4.1 Korrelationsfunktion zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2 Eigenschaften dieser Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.3 Beispiel des Rechtecksignals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.4 g (2) (τ) für statistisches Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5 Das Hanbury Brown and Twiss Experiment 19
5.1 Aufbau und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.2 Bestimmung der Winkeldurchmesser von Sternen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6 Anhang 24
Quellenverzeichnis 25

1 Einleitung
1.1 Allgemeines
1. Einleitung
Den Rahmen dieses Vortrags gibt die klassische Betrachtung von Licht, d.h. es werden keine
quantenmechanischen Phänomene und Ansätze mit einfließen. Die Kohärenz des Lichts wird
unter zeitlichen und räumlichen Gesichtspunkten betrachtet und es wird sich herausstellen, dass
die Kohärenzfähigkeit von Licht verschiedenster Herkunft berechnet und interpretiert werden
kann. Nur zur Vollständigkeit: unter Kohärenz versteht man die Zeitabhängigkeit der Phasendifferenz
zwischen zwei oder mehreren Wellen, welche betrachtet oder gar überlagert werden.
Dabei spricht man von kohärenten Wellen wenn die Phasendifferenz δ2 − δ1 zeitlich konstant ist
und von inkohärenten wenn diese Differenz von der Zeit abhängt.
Das Hanbury Brown und Twiss Experiment stellt den Abschluss dieser Arbeit dar.
Um im Nachfolgenden Missverständnissen vorzubeugen, sollte die Unterscheidung von Lichtquellen
hier kurz vermerkt sein. Es gibt mindestens zwei große Gruppen von Lichtquellen, welche
sich durch ihre Emissionsspektren unterscheiden lassen. Zur einen zählt z.B die herkömmliche
Gasentladungslampe, welche die Energie aus dem Stromfluss entnimmt und als Strahlung wieder
abgibt. Die einzelnen Atome sind dabei als völlig unabhängig anzusehen und die Strahlung,
welche statistisch verteilt ist, zeigt keine Regelmäßigkeiten oder besondere einheitliche Eigenschaften.
Somit stellt diese Lichtquelle die ”chaotische” der Beiden dar. Die Kohärenzzeiten von
solchen Lichtquellen liegen meist im Bereich von 10 -7 − 10 -15 s, sind also sehr gering. Zu dieser
Sorte zählt auch die Glühbirne oder der thermische Hohlraum. Zum Anderen gibt es den Laser,
welcher ganz andere statistische Eigenschaften besitzt. Dieser arbeitet nach dem Prinzip der
stimulierten Emission, d.h. die willkürliche Abstrahlung ist zwar vorhanden und auch notwendig,
sie stellt aber nur einen geringen Anteil dar. Dies kommt daher, dass eine durch spontane
Emission abgestrahlte Welle mehrmals den Laser durchläuft und so durch stimulierte Emission,
hervorgerufen durch diese Welle, fortwährend verstärkt wird. Ein gewünschtes Ziel wäre
die Kohärenzzeit ins Unendliche auszuweiten, was dazu führen würde das Emissionsspektrum
auf einen sehr schmalen Peak einzugrenzen; gängige Werte für die Kohärenzzeiten sind jedoch
10 -3 − 10 -8 s.
Das Augenmerk dieser Arbeit liegt nun auf den Verbreiterungsmechanismen, welche den gewünschten
scharfen Peak (Emissionslinie) zu einer ausgedehnten Verteilung (Emissionsspektrum)
überführen. Wir werden versuchen über die von einer Lichtquelle, in der Verbreiterungsmechanismen
den Peak haben unscharf werden lassen, ausgehenden Wellen Kohärenzaussagen zu
treffen. Dabei kann z.B. ein bestimmter Verbreiterungsmechanismus nicht fortwährend sondern
nur diskret und temporär auftreten. Was würde daraus für die Kohärenz folgen? Wir werden
sehen.
2

1.2 Einführendes Beispiel: Youngs Doppelspalt
Betrachten wir den Youngschen Doppelspalt:
Lichtquelle
Linse
r 1
r 2
1.2 Einführendes Beispiel: Youngs Doppelspalt
Ebene mit Schlitzen Schirm
s 1
s 2
r
Intensitätsverlauf
Abbildung 1: Schematische Darstellung des Doppelspalt-Versuchs. Rechts ist die zu erwartende
Intensitätsverteilung aufgetragen, wobei die gestrichelte Linie den Verlauf der Intensität
zeigt, wenn jeweils nur ein Spalt geöffnet ist und Licht durch diesen hindurch geht.
Hierbei sollte jedoch beachtet werden, dass der Intensitätsverlauf für jeweils einen Spalt bei
nah beieinander liegenden Spalte näherungsweise denselben Verlauf liefern, nicht wie in der
Abbildung skizziert mit großem Abstand zwischen den Spalten und nahe liegenden Schirm.
Abgewandelt entnommen aus [1].
In der Abbildung 1 können wir, bei Annahmen von sehr schmalen Spalten, von zwei Punktlichtquellen
ausgehen, welche nach den Spalten jeweils Kugelwellen aussenden, mit einem Gesamt-
E-Feld von E(rt) = u1E(r1t1) + u2E(r2t2), abhängig vom Ort und der Zeit.(u1 und u2 sind
dabei nur Koeffizienten, die aus geometrischen Gründen eingeführt wurden, d.h. um den fallenden
Amplitudenwert mit steigendem Ausbreitungsradius hinein zu bekommen; sie spielen aber
im weiteren Verlauf keine Rolle mehr). Der Intensitätsverlauf am Schirm, bzw. am Ort r, ist
gegeben durch:
Ī(rt) =
1
2ɛ0c|E(rt)| 2 (1.1)
= 1
2ɛ0c{|u1| 2 |E(r1t1)| 2 + |u2| 2 |E(r2t2)| 2 + 2u∗ 1u2Re(E ∗ (r1t1)E(r2t2))} (1.2)
Die ersten beiden Summanden in Gleichung (1.2) stellen den Intensitätsverlauf am Schirm dar,
der aus Überlagerung zweier Einzelspalte entsteht (gestrichelte Linie in Abbildung 1). Die beobachtbare
Interferenz, d.h. die aus einer einhüllenden (mit niedrigerer Frequenz) und einer untergeordneten
Schwingung (mit höherer Frequenz) besteht, muss aus dem letzten Summanden der
obigen Gleichung folgen. Dieser Summand stellt schon einen Spezialfall der Korrelationsfunktion
erster Ordnung dar, welche wir im Laufe dieser Arbeit definieren und näher betrachten werden.
Dieses einführende Beispiel sollte einen ersten Eindruck geben, inwieweit Korrelationsfunktionen,
die Quintessenz dieser Arbeit, in klassischen Versuchen versteckt sind. Widmen wir uns nun
unserem ersten Anliegen, d.h. den Verbreiterungsmechanismen der Emissionslinien eines Atoms.
2 Grundlagen zur Verbreiterung von Emissionslinien
2.1 Arten von Verbreiterungsmechanismen
Es gibt viele Arten von Effekten, die dazu führen können die Strahlungscharakteristika von
Atomen dahingehend zu verändern, dass diese nicht mehr diskrete Werte im Frequenzenraum
aufweisen sondern kontinuierliche, also wie schon erwähnt, dass Linien in eine Verteilung mit
vielen Werten übergehen.
3

Einige Arten von Verbreiterungseffekten:
2.1 Arten von Verbreiterungsmechanismen
• Dopplereffekt:
durch thermische Bewegungen der Atome —nur bei höheren Temperaturen relevant—
kommt es zu Frequenzverschiebungen der Emissions- als auch der Absorbtionsstrahlung,
gegeben durch
ω ≈ ω0(1 + v
c )
wobei ω0 die Grundfrequenz, v die Geschwindigkeit des Atoms und c die Lichtgeschwindigkeit
darstellt. Im Mittel, d.h. bei Betrachtung vieler Atome kommt es zur Verschmierung
der Peaks, also zu einer spektralen Verteilung. Im Falle der Dopplerverbreiterung zu einer
Gaußverteilung
kBT
FG(ω) = √ 2πδ e −(ω−ω 0 )2
2δ 2 (normiert) (2.3)
mit δ = ω0 Mc2 . M ist die Atommasse. Siehe auch Abbildung 2. Der Index G an der
spektralen Verteilungsfunktion soll die Gaußsche Form symbolisieren.
• Kollisionen zwischen den Atomen:
dieser Mechanismus wird unser Hauptaugenmerk für diesen Abschnitt werden. Man stelle
sich ein angeregtes Atom vor, welches während der Abstrahlung einer elektromagnetischen
Welle mit einem anderen Atom kollidiert; dabei wird, wenn Energie übertragen wird (bei
inelastischem Stoß), die abgestrahlte Welle eine andere Frequenz aufweisen. Findet kein
Energieübertrag (d.h. bei elastischem Stoß) statt ist ein zufälliger Phasensprung im Wellenzug
nachzuweisen. Dies führt, wie später noch deutlicher zu sehen sein wird, zu einer
verbreiterten Emissionslinie, welche eine Lorentzverteilung darstellt:
FL(ω) =
γ
π
(ω0 − ω) 2 + γ 2 (normiert), (2.4)
mit γ = 1
τ0 und τ0 der mittlere Stoßzeit. Da τ0 hauptsächlich von Druck und Temperatur
abhängt, ist die Verbreiterung der Linie auch von diesen Größen bestimmt. In Abbildung
2 kann man sich noch einmal die unterschiedlichen Verteilungsarten veranschaulichen. Im
Nachfolgenden gehen wir darauf noch näher ein.
• endliche Emissionszeit und Strahlungsverbreiterung sind noch erwähnenswert, werden
jedoch hier nicht näher betrachtet.
1,0
0,5
2gF L( w) oder 2DF G(
w)
Gaußverteilung
( w- w )/2g oder ( w- w )/2D
0 0
Lorentzverteilung
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Abbildung 2:
Abgebildet sind hier eine Gauß- und Lorentzverbreiterte
spektrale Linie im Vergleich.
ω0 ist die Grundfrequenz der Linie,
2γ bzw. 2∆ ist die Halbwertsbreite der
Gauß- bzw. Lorentzkurve. Entnommen aus
[1].
4

2.2 Modell zur Stoßverbreiterung
2.2 Modell zur Stoßverbreiterung
Wir wollen nun ein Modell erstellen mit dem es uns möglich ist, durch eine einfache Rechnung
Beziehungen abzuleiten, die Auskunft darüber geben wie ”chaotisch” das abgestrahlte Licht
ist. Im Klartext heißt dies, wie stark der Verbreiterungseffekt auf das Atom und somit auf die
Strahlung des Atoms einwirkt.
Nun zu den Voraussetzungen, unser Modell betreffend:
• Betrachtung eines angeregten Atoms, welches fortwährend Strahlung der Frequenz ω0
aussendet
• Wellenzug des Atoms wird an einem festen Beobachtungspunkt betrachtet
• Doppler- und Strahlungseffekte werden außer acht gelassen
• Frequenzänderung während der Stoßdauer wird ignoriert
• Phasenkopplung zwischen abstrahlenden Atomen besteht nicht
Nun soll während der Strahlungsdauer eine feste, konstante Phasenbeziehung des Wellenzuges
bestehen. Während einer Kollision mit einem anderen Atom kann es aufgrund von Energieübertragung
jedoch dazu kommen, dass das Atom in einen energetisch höheren Zustand gelangt und
so Strahlung von höherer Energie wieder abgibt. Dies wird hier allerdings nicht betrachtet, da
es nur die Sache verkompliziert, jedoch für das Ergebnis keine gravierenden Auswirkungen mit
sich bringt. Deshalb betrachten wir die Stöße als kurzzeitige Unterbrechung des von dem Atom
abgestrahlten Wellenzuges mit Frequenz ω0. Dies ist auch sinnvoll, da die Anteile an Strahlungen
anderer Frequenzen als ω0 aufgrund der sehr geringen Kollisionsdauer nur sehr klein im Vergleich
zur Dauer eines Wellenzuges sind. Ein Zahlenbeispiel ist etwas weiter unten angeführt. Nach
dem Stoß setzt also das Atom die Aussendung der Strahlung mit der ursprünglichen Frequenz
ω0 weiter fort, jedoch mit dem Unterschied, dass die Phasen des vorangegangenen Wellenzuges
mit diesem neuen in keiner vorhersehbaren Beziehung zueinander stehen. Dies kann nun in ein
Modell umgewandelt werden, welches nur ein angeregtes Atom benötigt, ohne Kollisionen zwischen
anderen Atomen zu betrachten.
Dieses Atom soll fortwährend Strahlung der Frequenz ω0 aussenden, jedoch mit Sprüngen der
Phase auf zufällige Werte und zwar immer dann wenn eine Kollision stattgefunden hätte, siehe
Abbildung 3.
Abbildung 3: Im oberen Diagramm wird ein Wellenzug mit konstanter Amplitude und Frequenz
ω0 gezeigt, der jedoch willkürliche Phasensprünge aufweist. Unten sollen die zufälligen
Phasenwinkel illustriert sein. τ0 ist dabei die mittlere kollisionsfreie Flugdauer. Abgewandelt
entnommen aus [1].
5

2.2 Modell zur Stoßverbreiterung
Die willkürlichen Phasensprünge führen zu einer Streuung der Frequenzen, was auf die Zerstückelung
der Welle in kleine Sektionen zurückzuführen ist. Man kann sich dies durch Fouriertransformation
verdeutlichen.
Einschub:
Wenn eine Sinusfunktion mit Frequenz ω0, definiert auf ganz R, fouriertransformiert
wird, so weist der Graph im Frequenzenraum nur einen Peak bei ω0 mit Wert
eins auf. Beschränkt man jedoch die Sinusfunktion auf ein Intervall, z.B. auf [−a, b]
mit a < b, so benötigt man unendlich viele Fourierkoeffizienten, was sich im Graphen
als unendlich viele Werte bei verschiedenen Frequenzen der Fouriertransformierten
bemerkbar macht. Wenn man nun weiter geht und die obige Sinusfunktion auf ein
endliches Intervall beschränkt und in Sektionen mit willkürlichen Phasensprüngen
zueinander zerlegt, so dürfte klar sein, dass die Fouriertransformierte dieser Funktion
nicht nur einen Peak bei ω0 hat sondern schier unendliche viele Werte aufweisen
muss, was wiederum bedeutet ein ganzes Frequenzspektrum feststellen zu können.
Die folgende Abbildung 4 soll dies veranschaulichen.
a) b)
Frequenzenraum Phasenraum
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0 50 100 150 200
Time
c) d)
0,0
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20
Frequency (Hz)
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
0,40
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
0 50 100 150 200
Time
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20
Frequency (Hz)
Abbildung 4: Oben ist der Phasenraum zu sehen, wobei in a) die reguläre Sinusfunktion, in
b) die zerstückelte Sinusfunktion abgebildet ist. Beim Sinus sollte die Fouriertransformierte
Bild c) im Frequenzenraum nur einen schmalen Peak aufweisen (hier nicht zu sehen, da nur
endlich viele Werte zur Berechnung verwendet wurden). d) zeigt die Fouriertransformierte
der abgewandelten Sinusfunktion mit wesentlich mehr Frequenzwerten als der reine Sinus.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Atom eine Zeitspanne τ ohne Kollision verbringt ist
gegeben durch
p(τ)dτ = 1 τ
−
e τ0 dτ. (2.5)
τ0
( πkBT
M )1/2 , d stellt den mittleren Abstand zwischen zwei Atommittelpunkten, ν
mit 1
τ0 = 4d2ν V
die Anzahl der Atome und M die Masse eines Atoms dar. τ0 ist dabei, wie in der Abbildung 3
6

schon angedeutet, die mittlere freie Flugdauer ohne Kollision.
2.2 Modell zur Stoßverbreiterung
Zur Zeichnungserklärung des obigen schematischen Wellenzuges, in Abbildung 3:
Es wurden lediglich ≈ 120 Sinuswellen eingezeichnet in denen schon 12 Stöße zwischen Atomen
stattgefunden haben. In Wirklichkeit kann jedoch ein Atom 15000 Perioden durchlaufen ohne
mit einem anderen Atom zu kollidieren. Was wiederum für den Wellenzug bedeutet, dass dieser
genauso viele Sinuswellen ohne Unterbrechung beinhaltet.
Das elektrische Feld eines Wellenzuges ist gegeben durch
E(t) = E0 e −iω0t+iφ(t)
wohingegen φ(t) die Phase in Abhängigkeit der Zeit darstellt und in kollisionsfreien Zeiten einen
konstanten zufälligen Wert annimmt, jedoch Unstetigkeitsstellen, d.h. Sprünge, aufweist. E0 und
ω0 seien fest, wie in den Voraussetzungen angenommen.
Wenn nun nicht nur ein Atom sondern ν viele Atome betrachtet werden, kann man diesen Gedankengang
weiter führen. Die gesamte Welle entsteht aus Überlagerung, d.h. aus der Summe aller
Einzelwellen der einzelnen abstrahlenden Atomen, welche dieselbe Form wie (2.6) aufweisen. Die
verschiedenen Phasenlagen zueinander müssen durch verschiedene komplexe Phasenfunktionen
e iφn(t) unterschieden werden. Es folgt für die Gesamtwelle
E(t) =
ν
En(t) = E0 e −iω0t
n=1
(2.6)
ν
e iφn(t)
. (2.7)
Es wurde, wie oben erwähnt, angenommen, dass jede Einzelwelle dieselbe Amplitude E0 und
Frequenz ω0 besitzt. Deshalb müssen nur die Phasen addiert werden. Weiterhin wurde angenommen,
was jedoch den Wert der Aussage nicht schmälert, dass sämtliche Wellen die gleiche
Polarisation besitzen. Die Phasenfunktionen e iφn(t) kann man im komplexen Raum addieren und
erhält eine Vektorsumme, die die Phasenlage φ(t) und die Länge a(t) hat.
a(t)
n=1
E(t) = E0 e −iω0t a(t) e iφ(t) .
j (t)
Abbildung 5:
Die Phasenlagen der einzelnen Atome addieren
sich zu einem resultierenden Feld
mit der Amplitude a(t) und der Phase φ(t).
Abgewandelt entnommen aus [1].
7

3. Spektrum von fluktuierendem Licht
In der Praxis:
Es ist bislang nicht realisierbar die Oszillationen des E-Feldes im optischen Bereich wirklich
nachzuverfolgen, da eine gute Beobachtungseinheit bislang nur in der Lage ist 10 −9 s schnelle
Bewegungen auszumachen, leider um 5 Zehnerpotenzen zu groß, um mit dem schnellen Wechsel
des E-Feldes stand zu halten.
Deshalb benutzt man, in Anlehnung an die experimentellen Voraussetzungen, eine zeitlich gemittelte
Variante der Beobachtung, die gemittelte Intensität. Analog zu (1.1) erhalten wir die
Intensität durch
Ī(t) = 1
2 ɛ0c|E(t)| 2 = 1
2 ɛ0cE 2 0a(t) 2 .
Man kann zeigen, dass die wesentlichen Sprünge der Intensität und der Phase über eine Zeitspanne
τ0, analog zu Gleichung (2.5), auftreten, jedoch unterhalb dieser Spanne die Werte einigermaßen
konstant bleiben. In Abbildung 6 kann man sich einen möglichen Intensitätsverlauf
veranschaulichen, wobei τ0 in der Abbildung angedeutet wurde. Wenn noch andere verbreiternde
Mechanismen mit in Betracht gezogen werden würden, wie z.B. Doppler- oder Strahlungsverbreiterung,
wären zwar Veränderungen zu verzeichnen, die Fluktuationen blieben aber ähnlich,
d.h. die willkürlichen Sprünge. Außerdem würde sich bei allen Kombinationen der Mechanismen
eine ausgezeichnete Zeitspanne herauskristallisieren, analog zu τ0, welche durch die Fluktuationsraten
bestimmt ist. Diese ausgezeichnete Zeit wird die Kohärenzzeit τc genannt.
Vom Betrag her ist sie von der gleichen Ordnung wie das Inverse der Frequenzverteilung. In
Analogie dazu ist die Kohärenzlänge λc wie folgt definiert:
λc = cτc
Abbildung 6: Links ist der Intensitätsverlauf zu sehen, wobei die gestrichelte gerade Linie
den gemittelten Wert anzeigt. Rechts ist der Phasenverlauf zu sehen. Entnommen aus [1].
3 Spektrum von fluktuierendem Licht
3.1 Frequenzspektrum und Korrelationsfunktion erster Ordnung
Damit wir nun Kohärenzaussagen, auf der Grundlage von Fluktuationen, treffen können d.h. auf
Grundlage der Stöße untereinander, müssen wir einen mathematischeren Weg beschreiten. Wenn
wir wüssten wie die einzelnen Frequenzen im Frequenzenraum des ausgestrahlten Lichts gewichtet
wären, könnten wir ohne weiteres durch die einfache Beziehung τc∆ν ≈ 1 die Kohärenzzeit
8

3.1 Frequenzspektrum und Korrelationsfunktion erster Ordnung
berechnen, mit ∆ν der Halbwertsbreite im Frequenzenraum. Diese einfache Beziehung ist wiederum
ein Ergebnis unserer nachfolgenden Berechnungen. Wir müssen nun die spektrale Verteilungsfunktion
F (ω) der betrachteten Lichtquelle bestimmen um so ∆ν zu bekommen und
darüber hinaus die angegebene Beziehung zwischen ∆ν und τc verifizieren. Die spektrale Verteilungsfunktion
ist wie folgt definiert
F (ω) = I(ω)
, (3.8)
Ĩ
wobei Ĩ das Integral über sämtliche I(ω) ist, d.h. einfach nur alle möglichen Intensitäten zu den
einzelnen ω aufsummiert, was jedoch hier in ein Integral übergegangen ist. Wir müssen nun den
Zähler und Nenner dieser Funktion bestimmen.
Wie schon angegeben verwenden wir unser in Abschnitt 2 definiertes Modell und betrachten
ein einzelnes angeregtes Atom und dessen Lichtstrahlen von einem Beobachtungspunkt aus.
Nehmen wir einmal einen fiktiven Beobachtungsapparat an, der das E-Feld und seine Oszillationen
zeitgetreu aufzeichnen kann. Die Zeitabhängigkeit des E-Feldes wird nun gemessen. Das
Frequenzspektrum des Lichts an einem Beobachtungspunkt wird bestimmt durch die Fourierkomponenten
des E-Feldes, definiert durch
Die Intensität I(ω) ist gegeben durch
E(ω) = 1
2π
I(ω) = |E(ω)| 2
=
=
1
4π2 ∞
−∞
∞
1
4π2
−∞
dt ′
∞
−∞
∞
−∞
∞
dτ
−∞
E(t) e iωt dt.
dt E ∗ (t)E(t ′ ) e iω(t′ −t)
dt E ∗ (t)E(t + τ) e iωτ , (3.9)
(∗)
wobei τ = t ′ −t ist und die angegebene Intensität durch das Betragsquadrat des E-Feldes gegeben
ist, d.h. das komplex konjugierte E ∗ (t) mit Integrationsvariablen t multipliziert mit E(t ′ ) mit
Integrationsvariablen t ′ .
Um dennoch einen physikalischen Bezug zu erhalten nehmen wir als Integrationsgrenzen im
Integral (*) über t nicht ganz R, sondern nur eine endliche Zeitspanne T , welche jedoch groß im
Vergleich zu τ sein sollte. So erhalten wir, bei Betrachtung des Integrals (*), das nun als eine
zeitliche Mittelung (siehe Anhang Punkt 2) des Integranden wirkt,
1
T
T
dtE ∗ (t)E(t + τ) =:< E ∗ (t)E(t + τ) >= g (1)
nn (τ) (3.10)
was als die nicht normierte Korrelationsfunktion erster Ordnung definiert ist, deshalb auch
der Index nn für nicht normiert.
Die Korrelationsfunktion gibt, wie der Name schon verrät (Korrelation ist gleichbedeutend mit
Wechselwirkung), an wie stark Wellen oder E-Felder gegenseitig gekoppelt sind. Sie beschreibt
inwieweit der Wert des E-Feldes zum Zeitpunkt t mit dem sich wahrscheinlich ändernden Wertes
zum Zeitpunkt t + τ in Verbindung steht, gekoppelt ist. Eine Intuition für diese Funktion wird
noch durch Beispiele und Zahlen geschaffen.
9

3.1 Frequenzspektrum und Korrelationsfunktion erster Ordnung
Vorerst sei der Leser darauf hingewiesen, dass diese Funktion schon einmal, bei der Behandlung
des Youngschen Doppelspalts, vorkam, als Spezialfall mit τ als Raum-Zeit-Punkte dargestellt.
Für τ in Raum-Zeit-Punkte umgerechnet stellt dies den letzten Term in (1.2), jedoch ohne
Mittelung, dar, der für die Interferenzerscheinung verantwortlich war. Somit ist die Korrelationsfunktion
wirklich eine Funktion, welche angibt wie sich E-Felder beeinflussen können.
Betrachten wir nun noch das Integral von I(ω) über sämtliche Frequenzen, also wie oben in
Gleichung (3.12) als Ĩ definiert, so erhalten wir den Nenner der spektralen Verteilungsfunktion:
Ĩ =
=
=
∞
−∞
1
4π2 |E(ω)| 2 dω
∞
−∞
∞
1
4π2
−∞
dω
∞
−∞
∞
dω
−∞
dτ
T
dtE ∗ (t)E(t + τ) e iωτ
dτT < E ∗ (t)E(t + τ) > e iωτ
= T
2π < E∗ (t)E(t) > (3.11)
Wobei benutzt wurde, dass das Integral über ω, da nur die e-Funktion davon abhängig war, die
Deltafunktion darstellte.
Die normierte spektrale Verteilungsfunktion setzt sich nun wie folgt, aus Gleichungen (3.9),
(3.10), (3.11) in Gleichung (3.8) eingesetzt, zusammen:
F (ω) = 1
2π
= 1
2π
∞
< E
−∞
∗ (t)E(t + τ) > eiωτ dτ
∞
−∞
∞
−∞
|E(ω)| 2 dω
< E ∗ (t)E(t + τ) >
< E ∗ (t)E(t) >
(∗∗)
e iωτ dτ. (3.12)
In dieser normierten Verteilungsfunktion tritt wieder die oben definierte Korrelationsfunktion
auf, jedoch kommt hier noch ein Term hinzu, der bei einer späteren Betrachtung diese Funktion
normiert. Der gesamte Ausdruck (**) stellt deshalb die normierte Korrelationsfunktion
erster Ordnung dar:
g (1) (τ) = < E∗ (t)E(t + τ) >
< E∗ . (3.13)
(t)E(t) >
Der Nenner kann durch die gemittelte Intensität Ī ersetzt werden.
Nur zur Vollständigkeit und bei weiteren Recherchen notwendig:
Die Verbindung (3.12) zwischen F (ω), dem Spektrum des Lichts, und seiner Korrelationsfunktion
erster Ordnung ist eine Form des Wiener-Khintchine Theorems, siehe Seite 84 in [1].
Es folgt
F (ω) = 1
2π
∞
−∞
g (1) (τ) e iωτ dτ
10

3.2 Eigenschaften der Korrelationsfunktion erster Ordnung
und somit stellt F (ω) die Fouriertransformierte der Korrelationsfunktion dar.
Aus der Defintion (3.10) folgt nun leicht, dass g (1) (−τ) = g (1) (τ) ∗ gelten muss. Daraus wiederum
kann man nun das Integral über ganz R einschränken, auf nur positive Werte, muss so jedoch
dieses Integral dann zweimal nehmen und beachten, dass nur der Realteil des Erhaltenen für
das Ergebnis relevant ist. Damit folgt
F (ω) = 1
π Re
∞
0
g (1) (τ) e iωτ dτ . (3.14)
Aus diesem Grund sind nur noch positive τ zu betrachten.
Man sieht also, dass g (1) (τ) die Berechnung des Frequenzspektrums erlaubt. Um nun dieser
noch sehr unbekannten Funktion einen festeren Boden zu verschaffen wollen wir nun einige
Eigenschaften von g (1) (τ) betrachten.
3.2 Eigenschaften der Korrelationsfunktion erster Ordnung
Die Haupteigenschaft dieser Funktion ist wohl die Möglichkeit der Berechnung des Frequenzspektrums.
Doch wie berechnet man nun diese Funktion selbst?
Betrachten wir wieder unser zuvor aufgestelltes Modell. Es wurde besprochen, dass das E-Feld
sich nur sehr geringfügig innerhalb von kleinen Zeitspannen ändert, d.h. kleineren als τc, was die
ausgezeichnete Kohärenzzeit war. Jedoch bei Vergleichen des E-Feldes nach größeren Zeitspannen,
erweist sich das Feld als unkorreliert, d.h. in keinem Bezug zueinander stehend. Weiterhin
ist die Definition (3.10) nur von den Eigenschaften des Lichts und nicht von der Beobachtungszeit
T abhängig. Hinzu kommt, wie vorher schon verlautet wurde, dass wir einen Beobachtungsapparat
besitzen der die Oszillationen zeitgetreu verfolgen kann. Dies alles sind Voraussetzungen
um das Theorem der Ergodizität, siehe Anhang Punkt 1, benutzen zu können. Dies erlaubt
die Zeitmittelung eines Systems gegen viele Messungen eines exakt gleichen Systems einzutauschen,
welches jedoch auf einem konstanten Zustand gehalten wird (Grundprinzip: Eine Welle
unterscheidet sich um nichts von einer anderen). Nun folgt mit (2.6) und (2.7)
< E ∗ (t)E(t + τ) > = <
ν
n=1
= E 2 0 e −iω0τ <
E0 e iω0t e −iφn(t) ·
ν
n=1
ν
e −iφn(t)
·
n=1
E0 e −iω0(t+τ) e iφn(t+τ) >
ν
e iφn(t+τ)
>
n=1
= E 2 0 e −iω0τ ν
< e iφn(t+τ)−iφn(t)
> +
n=1
ν
n=m
< e iφn(t+τ)−iφm(t)
>
(∗∗∗)
Nun gilt aber, wie schon angedeutet wurde, dass sich die Terme (***) im Mittel wegheben,
da hier über Wellenzüge integriert wird, welche von verschiedenen, und daher unkorrelierten,
Atomen stammen. Diese Summanden tragen zwar unterschiedliche Werte bei, aber aufgrund der
statistischen Mittelung über sehr viele Werte löschen sich diese gerade wieder gegenseitig aus.
Somit gilt also:
< E ∗ (t)E(t + τ) >= E 2 0 e iω0τ
ν
< e iφn(t+τ)−iφn(t) >= ν < E ∗ n(t)En(t + τ) > (3.15)
n=1
Daraus folgt, dass die Korrelationsfunktion von mehreren emittierenden Atomen das Vielfache
von nur einem Atom ist. Dies kommt auch übereins mit unserem Grundprinzip, wie oben
11

3.2 Eigenschaften der Korrelationsfunktion erster Ordnung
angegeben. Bei Ausschreiben der spitzen Klammern folgt für ein Atom
< E ∗ n(t)En(t + τ) > = E 2 0 e −iω0τ iφn(t+τ)−iφn(t)
< e >
e iφn(t+τ)−iφn(t) dt
.
= E 2 −iω0τ 1
0 e
T
In Worten bedeutet diese Gleichung, dass hier die Korrelation eines einzelnen Wellenzuges zur
Zeit t mit sich selber aber zu einer späteren Zeit t + τ berechnet wird. Betrachten wir dazu das
Bild eines einzelnen Wellenzuges, Abbildung 3.
Führt man die Integration durch, so muss man immer die Phase für t + τ mit dem komplex
Konjugierten der Phase zur Zeit t multiplizieren. Das Produkt liefert den Wert e 0 = 1, wenn
die Phasen gleich sind, also wenn die beiden Zeiten t und t + τ innerhalb eines Gebietes ohne
Phasensprung liegen, und es liefert einen zufälligen Wert, wenn ein oder mehrere Phasensprünge
zwischen den beiden Zeiten liegen. Wie schon gesagt, heben sich alle zufälligen Werte im Mittel
weg. Einen Beitrag zum Wert des Integrals liefern also nur die Zeitbereiche, in denen kein
Phasensprung innerhalb der Zeitspanne τ liegt. Der Beitrag ist jeweils [e 0 · ’Länge des Zeitbereichs’].
Könnte man also die Summe der Längen im Zeitraum T bestimmen, so hätte man auch
gleichzeitig den Wert des Integrals.
Dies können wir jedoch, da wir aus Gleichung (2.5) genau die Wahrscheinlichkeit dafür erhalten
p(τ)dτ = 1
τ0
T
τ
−
e τ0 dτ.
Integriert man diese Wahrscheinlichkeit von τ bis Unendlich auf, so erhält man eine Wahrscheinlichkeit
dafür, dass Zeitintervalle zwischen Stößen größer als τ sind. Multipliziert man diesen
Wert noch mit T , so erhält man genau den Wert des Integrals, das wir berechnen wollen:
< E ∗ n(t)En(t + τ) > = E 2 −iω0τ 1
0 e
T
Der Zähler von g (1) (τ) ergibt sich also zu
Den Nenner kann man leicht zu νE 2 0
· T
= E 2 τ
−iω0τ−
0 e τ0 .
∞
< E ∗ (t)E(t + τ) >= νE 2 τ
−iω0τ−
0 e τ0 .
berechnen, und so erhält man
τ
p(τ)dτ
g (1) τ
−iω0τ−
(τ) = e τ0 . (3.16)
Typische Eigenschaften von Korrelationsfunktionen erster Ordnung kann man nun leicht ableiten:
Für jegliche Art von chaotischem Licht muss die zeitlich gemittelte Funktion des E-Feldes für
τ → ∞ gegen Null gehen, d.h. für den Betrag der Korrelationsfunktion erster Ordnung gibt es
eine untere Schranke, nämlich 0. Für einen optimalen hypothetischen Wellenzug der unendlich
lange ist und nur eine Frequenz besitzt, ergibt sich ja dass
τ0 → ∞.
Dies bedeutet aber, dass mit (3.16) für den Betrag gilt
|g (1) τ
−iω0τ−
(τ)| = | e τ0 |
= | e −iω0τ −
| | e τ
τ0 |
→0
= 1
(3.17)
12

3.3 Dopplerverbreiterung
Somit haben wir eine weitere Grenze gefunden. Es wurde auch deutlich, dass nur der Betrag der
Korrelationsfunktion von Bedeutung ist, da dadurch der komplexe Anteil wegfällt. Da die letzten
beiden Betrachtungen unabhängig von der Zeitspanne τ eintreten, können wir nun folgendes
Resümee aus den letzten beiden Betrachtungen ziehen:
|g (1) ⎧
⎨ 1 für kohärente Zustände
(τ)| = 0 für nicht kohärente Zustände . (3.18)
⎩
∈ (0, 1] für teilweise kohärente Zustände
Die Definition lautet: Licht ist kohärent erster Ordnung wenn gilt
|g (1) (τ)| = 1 (3.19)
Die Gleichung (3.18) besagt, dass Licht welches von Atomen stammt, die Kollisionen erleiden,
niemals kohärent erster Ordnung sein kann, da für τ = 0 die Korrelationsfunktion = 1 ist. Somit
hat man nun eine Möglichkeit gefunden die Interferenzfähigkeit in Zahlen anzugeben.
Aus Gleichung (3.16) gilt aber auch, dass für τ0 < ∞ die Korrelationsfunktion für τ > 0
exponentiell abfallen muss. Der interessierende Wert ist natürlich der Betrag von g (1) (τ) was in
Abbildung 7, in Anlehnung an die obige Gleichung (3.18), illustriert ist.
(1)
|g ( )|
1,0
0,5
Wert für einen glatten Wellenzug
-4 -2 0
2 4
Abbildung 7: Wie stark die Funktion abfällt hängt alleine von τ0 ab, d.h. von den Eigenschaften
der Lichtquelle. Abgewandelt entnommen aus [1].
Integriert man (3.16) auf, so erhält man die in (2.4) angegebene Frequenzverteilung:
F (ω) =
γ
π
(ω0 − ω) 2 + γ 2
mit γ = 1 , also eine Lorentzverteilung (vgl. Abbildung 2). Was vielleicht nicht so deutlich
τ0
erkennbar ist, ist die Tatsache, dass wir nun auch die anfangs angegebene Beziehung τc∆ν ≈ 1
verifiziert haben. Denn wie man sich leicht überlegen kann, ist γ proportional zur Halbwertsbreite
∆ν und mit der Beziehung γ = 1 folgt das Gesagte, wenn man als Kohärenzzeit die Zeitspanne
τ0
ohne Kollision τ0 verwendet.
3.3 Dopplerverbreiterung
Da wir schon die spektrale Verteilungsfunktion auf Doppler-Basis, Gleichung (2.3), d.h. die verbreiterten
Emissionslinien auf der Grundlage der thermischen Bewegung von Atomen, kennen,
13

3.4 Einführung räumlicher Kohärenz
wollen wir nun den umgekehrten Weg gehen und von dieser Gleichung aus unser g (1) (τ) berechnen.
D.h. die inverse Fouriertransformation durchführen. Wir müssen jedoch diesmal beachten,
dass jedes Atom, aufgrund der angenommenen Dopplerverschiebung, auch unterschiedliche Frequenzen
abstrahlt. Wir beginnen also mit
E(t) = E0
ν
e −iωnt+iφn
n=1
Nun besitzt auch die Frequenz ωn einen Index, weiterhin gilt, dass die Phasen der einzelnen
Atome unterschiedlich (deshalb der Index) jedoch zeitunabhängig sind. Man erhält also
ν
< E ∗ (t)E(t + τ) > = E 2 0
n,m=1
= E 2 0
n=1
ν
e −iωnτ ,
< e iωnt+iφn−iωm(t+τ)−iφm >
da sich nun wieder alle Terme mit unterschiedlichen Indizes im Mittel wegheben. Ersetzt man nun
die endliche Summe der verschiedenen Frequenzen gegen ein Integral über ein kontinuierliches
Spektrum mit der Verteilung auf Doppler-Basis, Gleichung (2.3), so gelangt man zu
< E ∗ (t)E(t + τ) > = νE 2 0(2πδ 2 ) 1/2
∞
0
= νE 2 1
−iω0τ−
0 e 2 δ2τ 2
e −iωnτ− (ωn−ω 0 )2
2δ 2 dωn
kBT
Das δ ist hierbei wieder gegeben durch δ = ω0 Mc2 . Mit der Definition von g (1) (τ), (3.13), wird
dies zu
g (1) 1
−iω0τ−
(τ) = e 2 δ2τ 2
.
Wenn nun beide Effekte, Doppler- und Stoßverbreiterung, gemeinsam betrachtet werden wollen,
ist die Kombination im mathematischen Sinne auch einfach möglich, durch
g (1) 1
−iω0τ−γ|τ|−
(τ) = e 2 δ2τ 2
.
Die Betragsbildung bei τ ermöglicht die formale Hinzunahme von negativen τ ist aber physikalisch
identisch mit τ ohne Betrag in (3.16).
3.4 Einführung räumlicher Kohärenz
Wir sind bisher immer davon ausgegangen, dass wir uns an einem festen Ort befinden und dort
die Welle betrachten. Nun sollte aber auch dem allgemeinen Fall Rechnung getragen werden,
der bei Youngs Doppelspalt auftrat.
Betrachtet wird nun die vom Ort r und der Zeit t abhängigen Funktion des E-Feldes, in Analogie
zu Gleichung (2.6),
E(t) = E0 e ik·r−iω0t+iφ(t) (3.20)
Wenn man sich die Gleichung λc = cτc vor Augen hält, dürfte klar sein, dass man jede zeitliche
Kohärenz in eine räumliche umrechnen kann. Wenn man nun zwei Raumpunkte zu zwei
Zeitpunkten auswählt und diese als Beobachtungspunkte benutzt, kann man über die Lichtgeschwindigkeit
eine alleinige Zeitdifferenz berechnen, nämlich
τ ′ = t2 − t1 − r2 − r1
c
.
= ∆t − ∆t ′
14

4. Korrelationsfunktion zweiter Ordnung
mit ∆t ′ der umgerechneten Ortsdifferenz (hier in drei Dimensionen), diese wieder in die allgemeine
E-Feldgleichung (2.6) einsetzen und dann g (1) (τ ′ ) berechnen, was wie folgt definiert
ist
g (1) (τ ′ ) = g (1) (r1, t1, r2, t2) =
< E ∗ (r1, t1)E(r2, t2) >
< |E(r1, t1)| 2 >< |E(r2, t2)| 2 > .
Für Berechnungen ist es jedoch sinnvoller die Orte und Zeiten einzusetzen, die Integrale zu lösen
und im Nachhinein die Ersetzung, hier in einer Dimension angegeben, durchzuführen:
k · x = ω0
c · ct′ = ω0t ′
4 Korrelationsfunktion zweiter Ordnung
4.1 Korrelationsfunktion zweiter Ordnung
Bislang betrachteten wir nur E-Felder im Bezug auf Korrelationen, d.h. inwieweit diese miteinander
interferieren können. In diesem Abschnitt wollen wir uns mit der direkten Messung
der Intensitätsfluktuationen, welche man sich aus Abbildung 6 ins Gedächtnis rufen kann, befassen.
Wir werden die Messung von Interferenzerscheinungen höherer Ordnung beschreiben,
welche eher auf der Korrelation zweier Intensitäten zu verschiedenen Zeiten beruht, als auf der
Korrelation zwischen zwei E-Feldern.
Betrachten wir zwei Messungen der Intensität zu zwei verschiedenen, aber festen Zeiten mit der
Zeitverschiebung τ. Die Korrelationsfunktion zweiter Ordnung ist nun, analog zur ersten
Ordnung, als die zeitliche Mittelung (Anhang Punkt 2) dieser beiden Messungen definiert, jedoch
mit Intensitäten anstatt E-Feldern. Es ist angebracht die normierte Form der Korrelationsfunktion
zweiter Ordnung zu verwenden, genauso wie im vorigen Fall, welche dann ist
g (2) (τ) =
< Ī(t)Ī(t + τ) >
< Ī(t) >2
=
< E∗ (t)E ∗ (t + τ)E(t + τ)E(t) >
< E ∗ (t)E(t) > 2 . (4.21)
(mit Ī jeweils gleich der gemittelten Intensität)
Auch hier ist wieder eine Verallgemeinerung auf Raum-Zeit-Punkte möglich:
g (2) (τ ′ ) = g (2) (r1, t1, r2, t2) = < E∗ (r1, t1)E∗ (r2, t2)E(r2, t2)E(r1, t1) >
< |E(r1, t1)| 2 >< |E(r2, t2)| 2 . (4.22)
>
Wie wir wissen, lässt sich (4.22) mittels verallgemeinertem τ umwandeln in das äquivalente
(4.21), wir werden also vorerst nur die einfachere Definition verwenden.
4.2 Eigenschaften dieser Funktion
Aus Symmetriegründen oder aus dem Vergleich der Definitionen (4.21) und (3.13) folgt nun
leicht, dass
g (2) (τ) = g (2) (τ) ∗
und somit auch g (2) (τ) = g (2) (−τ) gilt.
Für g (1) gilt ja g (1) (τ) ∈ (0, 1], dies gilt nun für g (2) nicht mehr, wie wir gleich sehen werden.
Aus Cauchys Ungleichung folgt nun, für unseren Fall:
< Ī(t) >2 ≤ < Ī(t)2 > und
< Ī(t)Ī(t + τ) > ≤ < Ī(t)2 > .
15

4.3 Beispiel des Rechtecksignals
Dies kann man nun in die Definition von g (2) , Gleichung (4.21), einsetzen und bekommt für
τ = 0 eine untere Schranke
g (2) (0) ≥ 1,
und die zweite Gleichung führt uns auf
g (2) (τ) ≤ g (2) (0) .
Diese beiden Ergebnisse sind nun nicht so einfach, wie im Fall der ersten Ordnung, da zwischen
τ = 0 und τ = 0 unterschieden werden muss. Eine obere Grenze für g (2) existiert nicht. Somit
können wir wieder ein Resümee ziehen:
∞ ≥ g (2)
≥ 1 für τ = 0
(τ)
≥ 0 für τ = 0
4.3 Beispiel des Rechtecksignals
Wir wollen nun, am Beispiel eines Rechtecksignals, die Korrelationsfunktion g (2) für τ = 0
berechnen. Zur Erläuterung der Abbildung 8:
Die Höhe eines Pulses ist jeweils konstant und hat den Betrag I0, die Impulsdauer sei τ0 und
die gemittelte Intensität kann geschrieben werden als
Ī = fI0 für 0 < f ≤ 1.
Wohingegen f das Tast-Pause-Verhältnis f = ντ0 angibt, mit ν = 1
T die Frequenz des Signal.
Falls gilt ν = 1 so ist das Signal während einer Periode unsymmetrisch, wie in der Abbildung
τ0
8 dargestellt.
I 0
I( t)
2,5
g (2 ) ( )
0
0 2 4 6 8
0
Für τ = 0, in der Definition von g (2) (τ), folgt nun im Zähler:
< Ī(t)2 >= 1
I(t)
T
2 dt = 1
T I2 0τ0 = fI 2 0.
Im Nenner ergibt sich
< I(t) > 2 =
⎛
⎝ 1
T
T
T
⎞
I(t)dt⎠
2
=
Abbildung 8:
Oben ist die Intensität eines Rechtecksignals
aufgetragen. Unten sieht
man die zugehörige g (2) (τ). Abgewandelt
entnommen aus [1].
1
T τ0I0
2 = f 2 I 2 0.
16

Somit folgt
g (2) (0) = 1
f .
4.4 g (2) (τ) für statistisches Licht
Mit f = 1, was soviel wie ein klassisch, symmetrisches Rechtecksignal bedeutet, erhalten wir
g (2) (0) = 1. Somit stimmen unsere Vorhersagen über die Grenzen von g (2) (τ) mit diesem Beispiel
überein. Für τ = 0 ergibt sich die Funktion im unteren Graphen, was jedoch auch leicht
zu berechnen ist. Anzumerken ist, dass in Fällen von unendlicher Kohärenzzeit, welche unser
betrachtetes Rechtecksignal aufweist, sich das Integral auf eine Periode reduzieren lässt.
4.4 g (2) (τ) für statistisches Licht
Da die statistischen Eigenschaften einer chaotischen Lichtquelle dafür sorgen, dass nach einer
gewissen Zeitspanne, der Kohärenzzeit τc, das ausgehende Licht als völlig unkorreliert anzusehen
ist, ergibt sich, wie wir gleich sehen werden, für die Korrelationsfunktion
g (2) → 1 für τ ≫ τ0.
Wir wollen nun g (2) (τ) für chaotisches, d.h. statistisches, Licht berechnen und nehmen an, dass
das Gesamt-E-Feld wieder aus unabhängigen Einzelfeldern besteht. Dabei ist (vorerst) die Unterscheidung
zwischen Stoß- und Dopplerverbreiterung nicht von Nöten. Beschränken wir uns,
der Einfachheit halber, noch auf eine Dimension:
E(t) =
En(t) mit En(t) = E0 e −iωn(t)t+ikn(t)x−iΦn(t)
. (4.23)
n
Nun betrachten wir wieder den Zähler der Defintion von g (2) (τ), Gleichung (4.21), der sich hier
ergibt zu
< E ∗ (t)E ∗ (t + τ)E(t + τ)E(t) > =
< E ∗ k (t)E∗ l (t + τ)Em(t + τ)En(t) >
klmn
=
< E ∗ n(t)E ∗ n(t + τ)En(t + τ)En(t) >
n
+
< E ∗ n(t)E ∗ m(t + τ)Em(t + τ)En(t) >
n=m
+ < E ∗ n(t)E ∗ m(t + τ)En(t + τ)Em(t) >
Beim Übergang der Summe über klmn auf die Summen über n und n = m wurde wieder
ausgenutzt, dass sich Terme im Mittel weg heben, bei denen die unterschiedlichen E-Felder
zu unterschiedlichen Zeiten miteinander komplex konjugiert multipliziert werden und so einen
zufälligen Wert ergeben. Zu beachten ist aber, dass bei diesem Übergang wieder alle Terme,
in denen das E-Feld eines Atoms zur Zeit t mit seinem komplex konjugierten zur Zeit t + τ
multipliziert werden, stehen bleiben! Und natürlich bleiben auch solche Terme übrig, in denen
die E-Felder zu gleichen Zeiten miteinander komplex konjugiert multipliziert werden. Die Ergodizität,
siehe Anhang Punkt 1, dieses Systems wird nun wieder ausgenutzt. Außerdem kann
man die Mittelwerte zusammenfassen, nachdem gilt < f(t) >=< f(t + τ) >, für ein geeignetes
f. Somit folgt
< E ∗ (t)E ∗ (t + τ)E(t + τ)E(t) > = ν < E ∗ n(t)E ∗ n(t + τ)En(t + τ)En(t) >
+ν(ν − 1) < E ∗ n(t)En(t) > 2 +| < E ∗ n(t)En(t + τ) > | 2
.
.
17

4.4 g (2) (τ) für statistisches Licht
Falls nun ν sehr groß ist, von dem wir immer ausgegangen sind, kann man den Term, der nur
linear in ν ist, im Gegensatz zu den Termen die quadratisch in ν sind, vernachlässigen und so
eine gute Abschätzung erhalten
< E ∗ (t)E ∗ (t + τ)E(t + τ)E(t) > ∼ = ν 2
< E ∗ n(t)En(t) > 2 +| < E ∗ n(t)En(t + τ) > | 2
.
Zum Vergleich sei auf die Gleichung (3.15) verwiesen, in der dasselbe für die Korrelationsfunktion
erster Ordnung berechnet wurde. Den Nenner kann man wieder leicht zu ν2I 2 0 bestimmen. Somit
ergibt sich für die angenommene ebene Welle
g (2) (τ) = ν2 < E ∗ n(t)En(t) > 2
ν 2 I 2 0
+ ν2 | < E ∗ n(t)En(t + τ) > | 2
ν 2 I 2 0
= ν2 I 2 0
ν 2 I 2 0
+ | < E∗ n(t)En(t + τ) > | 2
|I0| 2 .
Nun betrachten wir doch mal den zweiten Summanden etwas genauer. Dieser ist das Betragsquadrat
von g (1) (τ). Somit kommen wir zu dem Schluß
Ab jetzt soll immer vorausgesetzt sein ν ≫ 1.
g (2) (τ) = 1 + |g (1) (τ)| 2 für ν ≫ 1. (4.24)
Nun kann man unsere zuvor gefundenen Formeln für g (1) einsetzen und erhält z.B. für die
Stoßverbreiterung (Lorentzverteilung)
mit γ = 1
τ
g (2) (τ) = 1 + e −2γ|τ| , (4.25)
und im Falle von Dopplerverbreiterung (Gaußverteilung):
Stabiler Wellenzug
g (2) (τ) = 1 + e −δ2 τ 2
.
(2 )
g ( )
-2 -1 0 1
2
1
und t
Lorentzian
Gaussian
Abbildung 9: g (2) (τ) für Lorentz- und Gaußverbreiterung, dabei zeigt wieder die gestrichelte
Linie einen hypothetischen, stabilen Wellenzug. Abgewandelt entnommen aus [1].
Da für jegliche Art von chaotischem Licht gilt g (1) (0) = 1 oder anders, g (1) (τ) → 1 für sehr kleine
Zeitverschiebungen τ, siehe Gleichung (3.17), muss aus (4.24) für jegliche Art von chaotischem
Licht folgen
g (2) (0) = 2.
2
18

5. Das Hanbury Brown and Twiss Experiment
Dies ist nun die erste wirklich handfeste Unterscheidung zwischen den verschiedenen Lichtarten.
Die Kohärenz zweiter Ordnung ist nun wie folgt definiert
g (1) (r1, t1, r2, t2) = 1 und zugleich
g (2) (r1, t1, r2, t2) = 1.
Die Einführung der räumlichen Abhängigkeit ist dabei auf linear-polarisiertes, paralleles Licht
beschränkt.
Es gilt nun, dass Licht, ausgehend von einer chaotischen Lichtquelle, unter keinen Umständen
kohärent in zweiter Ordnung sein kann. Und wie wir bei der Berechnung von g (2) (0) des unendlich
langen Rechtecksignals, was eine unendlich lange Kohärenzzeit hatte, gesehen haben (zwar nur
als Beispielrechnung durchgeführt, was aber viel allgemein gültiger ist) kommt den stabilen
Wellenzügen der Wert g (2) (0) = 1 zu.
5 Das Hanbury Brown and Twiss Experiment
5.1 Aufbau und Auswertung
Um 1956 haben R. Hanbury Brown und R. Q. Twiss ein mögliches Experiment angegeben,
mit dem man die Durchmesser von hell-leuchtenden Sternen ausmessen kann, ohne dabei eine
aufwendige und sehr kostspielige Optik verwenden zu müssen.
Das Grundprinzip dieses Experiments ist die Interferometrie, wie in der Optik, jedoch wird
hier nicht die Interferenz der E-Felder betrachtet sondern die Intensitätsinterferenz. Das erste
Experiment von Brown und Twiss zur Interferenz ist in Abbildung 10 zu sehen.
Quecksilberlichtbogenlampe
Wasser-
Filter
Pinhole
Halbdurchlässiger
Spiegel
Quadratische
Blende
Photomultiplier
Photomultiplier Verstellbarer Schlitten
Ausgänge
zum
Korrelator
Abbildung 10: Grobe Versuchanordnung zu Intensitätskorrelationen. Das Licht der Quecksilberdampflampe
wird auf eine Lochblende fokussiert. Danach trifft es auf einen Strahlteiler,
der jeweils die halbe Intensität auf jeweils einen Photomultiplier richtet. Einer davon ist in
Strahlrichtung verschiebbar. Entnommen aus [1].
Dabei wird das Licht einer Quecksilberdampflampe durch eine Optik auf eine Lochblende mit
sehr geringem Durchmesser fokussiert, so dass eine ”sekundäre Punktlichtquelle” entsteht. Das
Licht trifft nun auf einen halbdurchlässigen Spiegel der geneigt ist und somit den Strahl in zwei
verschiedene Richtungen aufteilt mit
Ī1(z, t) = Ī2(z, t) = 1
Ī(z, t),
2
19

5.1 Aufbau und Auswertung
wobei Īn(z, t) die jeweils, über viele Werte, gemittelte Intensität in einer Richtung nach dem
Strahlteiler angibt. Für die gemittelte Intensität, über lange Zeit, wobei diese viel länger als die
Kohärenzzeit sein sollte, führen wir folgende Notation ein:
Î1 = Î2 = 1
2 Î,
Nun werden zwei Photomultiplier so angeordnet, dass sie die Lichtstrahlen aufnehmen, dabei
sei einer beweglich, in Richtung des ankommenden Lichtstrahls, montiert, jedoch beide anfangs
gleichweit vom Strahlteiler entfernt. Das Prinzip eines Multipliers ist zwar quantenmechanischer
Natur, was wir hier eigentlich nicht betrachten wollen, aber aus Gründen des leichteren Verständnisses
sei folgendes gesagt: Da während der Kohärenzzeit, in der die Phasen korreliert sind, auch
die Intensitäten korreliert sind, kann statt einer E-Feld-Interferenzmessung einfach nur ”Photonenzählen”,
also Intensitäten messen, verwendet werden um die Korrelation von Lichtstrahlen
zu bekommen. Genau dieser Effekt wird hier ausgenutzt.
Die Ausgangssignale der Photomultiplier werden nun in einen Korrelator gespeist, der folgende
Operation mit den Werten durchführt:
< ( Ī1(z, t1) − Î1)( Ī2(z, t2) − Î2) > was zu < Ī1(z, t1) Ī2(z, t2) > − Î1 Î2 führt.
Normiert man den Ausgangswert des Korrelators, so führt dies auf
< Ī1(z, t1) Ī2(z, t2) > −Î1Î2 Î1 Î2
= < Ī1(z, t1) Ī2(z, t2) >
− 1 = g (2) (τ) − 1. (5.26)
wobei hier τ = t2 − t1 gilt. Der Verlauf dieser Funktion ist in Abbildung 9 für die bestimmten
Verteilungsfunktionen zu sehen, wobei nur der Wert 1 abgezogen werden muss. D.h. man
müsste den Wert 1 für chaotisches Licht (was zu Brown und Twiss Zeiten die einzig verfügbare
Lichtquelle war) mit τ ≪ τc erhalten und ein gegen Null gehendes Ergebnis für τ ≫ τc. Heutige
Messungen haben die Ergebnisse durch an nahezu unendlich langen korrelierten Wellenzüge
bestätigt, welche ein Nullergebnis für alle τ zur Folge hatten. Aus Gleichung (4.25) folgt nun für
eine Korrelationsfunktion basierend auf Lorentzverteilung, eingesetzt in (5.26),
Î1 Î2
g (2) (τ) − 1 = e −2γ|t2−t1| .
Nun kommt aber eine Schwierigkeit hinzu. Diese Vorhersage über den Verlauf des Experiments
ist keine gute. Denn, was wir bisher immer angenommen haben, sollte unsere Messeinheit mit
uneingeschränkter Schnelligkeit die Eingangssignale verarbeiten können. Dies müssen wir jetzt
berichtigen. Die Detektoren benötigen, so gut sie auch sind, immer eine Mindestansprechzeit,
nennen wir sie τr die mittlere Ansprechzeit, bis ein Signal wirklich bemerkt wurde. Man misst
also nicht g (2) (τ), sondern < g (2) (τ) >r, wobei die Klammern mit dem Index die zeitliche
Mittelung über τr bedeuten sollen. Die Funktion des Ausgangsignals der beiden Detektoren des
HBT (Hanbury Brown und Twiss) Experiments sieht also wie folgt aus:
< g (2) (τ) >r −1 = 1
τ 2 r
=
τr
1
0
2γ 2 τ 2 r
dt1
τr
0
dt2 e −2γ|t2−t1|
−2γτr e − 1 + 2γτr .
Diesen Wert kann man tatsächlich am Detektor ablesen. Wenn man annimmt, man könnte τr
des Detektors durchstimmen, so wird man entsprechend obiger Formel als Output für sehr kurze
für sehr lange. Dazwischen liegt ein exponentieller Abfall.
Ansprechzeiten 1 erhalten und τc
τr
Im Originalexperiment waren die Messzeiten sehr lange und τc
τr ≈ 105 ! Um überhaupt etwas
von Null verschiedenes zu messen, musste die Korrelierte Intensität ausgesprochen gut gemessen
werden. Diese Ergebnisse wurden nun in astronomischen Problemen verwendet.
20

5.2 Bestimmung der Winkeldurchmesser von Sternen
5.2 Bestimmung der Winkeldurchmesser von Sternen
Nun kommen wir zur wirklich praktischen Anwendung der vorangegangenen Arbeit. Die Sterndurchmesserbestimmung,
oder besser gesagt die Bestimmung des Winkeldurchmessers, war schon
immer ein großes Anliegen, da damit Referenzpunkte in astronomischen Karten gesetzt werden
konnten, um davon weitere Sterne und Planeten ausfindig machen zu können.
Als erstes wollen wir den normalen Weg erkunden, der zur Bestimmung dieser Werte führte,
nämlich vermittels des Sterninterferometers, oder oft genannt des Stellarinterferometers, nach
Michelson. Der Aufbau ist in Abbildung 11 und Abbildung 12 dargestellt. Beim Michelson-
Stern
Winkeldifferenzen
Abstand zum Stern
4 Spiegel
Doppelspalt
Abbildung 11: Winkeldifferenzbestimmung mit dem Stellarinterferometer nach Michelson.
Stellarinterferometer werden zwei Spiegel benutzt, die das Licht eines Sternes einfangen. Das
Licht wird auf einen kleinen Bereich des Spektrums gefiltert. Der Stern ist keine ideale punktförmige
Lichtquelle, weshalb nur Strahlen, die nahe beieinander entstanden (z.B. am rechten Rand des
Sterns) interferieren, nicht aber weiter weg liegende (z.B. linker und rechter Rand des Sterns).
Aus diesem Grund ist es möglich zwischen den beiden Rändern zu unterscheiden. Da jeder Bereich
auf dem Stern nur mit sich selber interferiert, addieren sich die Interferenzmuster jedes
einzelnen Bereichs und als Summe kann man ein Interferenzmuster nur beobachten, solange das
Maximum des rechten Sternenrandes nicht mit dem Minimum des linken Sternenrandes zusammenfällt,
was bei etwa hθ = λ passiert. Dies kommt von geometrischen Überlegungen her, da
man am Schirm eine π-Phasenverschiebung, also destruktive Interferenz erhält, falls gilt
φd = 1
2 λ
wobei d der Sterndurchmesser sein soll. Hinzu kommt, dass gilt
h = 2φ d
θ
Für eine ausführlichere Herleitung sei der Leser auf Seite 309 und darauffolgende in [2] verwiesen.
Den Sachverhalt kann man sich in Abbildung 12 verdeutlichen. Wenn nun dieses h von Null
aufwärts gesteigert wird, kommt es immer abwechselnd zu positiver und negativer Interferenz,
also zu Hell und Dunkel. Wenn jedoch das h so groß ist, dass die Wegdifferenz zwischen den
beiden Strahlen des entweder unteren Randes oder oberen Randes größer als die Kohärenzlänge
Lc wird so sind keine Interferenzerscheinungen mehr möglich. Dies ist dann die gesuchte Höhe
h. Und daraus folgen dann alle anderen Werte.
Das Problem ist dabei nur, dass aufgrund der geringen Wellenlänge kleinste Veränderungen der
Wege die Interferenz ohnehin zunichte machen. Dies gilt auch für den Weg nach den Spiegeln.
Denn verschiedene Luftdrücke haben bekanntlich unterschiedliche Brechungszahlen, was sich
wiederum auf die Ausbreitungsgeschwindigkeiten auswirkt. Dies gilt auch für die Atmosphäre
in der die Lichtstrahlen verschiedenste Luftdichten durchlaufen müssen, die nicht nur horizontal
sondern auch vertikal stark ortsabhängig sind. Dies war ein großes Problem. Viel gravierender
waren jedoch die immensen Kosten um genügend große Spiegel zu bauen, die genügend Licht
= λ
θ
Linse
Schirm
Abstand der
Spiegel
21

5.2 Bestimmung der Winkeldurchmesser von Sternen
Abbildung 12: Dies stellt den rechten, hinteren Teil der Abbildung 11 dar. Nach den vier
Spiegeln Mi trifft das Licht auf einen Doppelspalt, der als zweifache Punktlichtquelle in
den dahinterliegenden Raum strahlt. Die angedeutete Linse fokussiert die Strahlen auf den
Schirm. Entnommen aus Optik-Klausur.
einfingen, um noch einigermaßen zwischen hell und dunkel bei den Interferenzen unterscheiden
zu können und um den Abstand zwischen den Spiegeln so gut wie möglich konstant zu halten.
Diese beiden Punkte waren mitunter ausschlaggebend für die Experimente von Hanbury Brown
und Twiss. Das Stellarinterferometer wurde dahingehend verändert, dass die Photomultiplier,
aus ihrem ersten Experiment, in den Brennpunkt zweier Hohlspiegel gesetzt wurden, siehe Abbildung
14. In Abbildung 15 ist die Signalweiterführung illustriert.
Stern
Winkeldifferenzen
Abstand zum Stern
Intensitätsdetektoren
Elektrischer
Korrelator
Abbildung 13: Wie man mit der Abbildung 11 vergleichen kann, wurden hier nur die
Spiegel gegen Hohlspiegel und Photomultiplier ausgetauscht. Der Doppelspalt wurde gegen
einen Rechner eingetauscht. Entnommen aus [3].
So wie oben schon einmal erwähnt, werden hier sozusagen Photonen gezählt, oder klassisch
ausgedrückt, die Intensität gemessen. Dabei verwendet man die Korrelation der Intensitäten.
Die Geometrie des Problems ist dieselbe wie im optischen Analogon. Deshalb ist hier auch die
Suche nach dem h das Hauptproblem. Jedoch hat man hier drei Vorteile.
Erstens ist die Messung unabhängig von einem Beobachter, da die gemessenen Informationen
zwar im Computer umgewandelt aber dann nur noch als Graphen oder Zahlen interpretiert
werden müssen. Zum Anderen gibt es so gut wie keine Störstellen nach den Spiegeln, da zwar
Laufzeitunterschiede der Signale entstehen können, diese aber sehr leicht durch schlichtes darauf
achten, dass die Leitungen zu den Photomultipliern gleich lang sind, ausgemerzt werden können.
Und Drittens sind für ausreichend gute Werte weniger große und somit günstigere Spiegel notwendig.
Abstand der
Intensitätsdetektoren
22

5.2 Bestimmung der Winkeldurchmesser von Sternen
Abbildung 14: Hier wird schematisch gezeigt wie die Photomultiplier im Brennpunkt der
Hohlspiegel platziert sind und wie die weitere Signalverarbeitung war. Entnommen aus [3].
Mit einer Auswertung am Computer ist es ein Leichtes die Höhe zu bestimmen, in der die Interferenzerscheinungen
verschwinden. Zumal man aufgrund der Theorie der Korrelationsfunktionen
ein Mittel hat, um die Wechselwirkungen zweier Intensitäten in Zahlen anzugeben. Die Auswertung
ergab bei Hanbury Brown und Twiss, wie schon vorher gezeigt, einen exponentiellen
Abfall der Korrelationsfunktion und somit dem Abfall der möglichen Interferenz mit steigendem
Abstand der Spiegel, wie man aus Abbildung 15 entnehmen kann.
Nur um einen Eindruck zu bekommen wie genau diese Messungen waren. Das HBT-Experiment
verwendete Licht der Wellenlänge λ = 4·10 −7 m und ihre Lichtquelle, also der betrachtete Stern,
hatte einen Winkeldurchmesser von 8·10 −5 rad. Die Abbildung 16 zeigt den damaligen Aufbau der
Anlage zur Winkelbestimmung des Sterns Sirius mit dem abgewandelten Stellarinterferometer.
Abbildung 15: Mit Originaltext von Hanbury Brown and Twiss. Die durchgezogenen Linie
zeigt den theoretischen Verlauf, die vertikalen Linien zeigen die experimentellen Werte mit
Toleranzen. Entnommen aus [4]
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Abbildung 16: Am Narraby Observatorium in Australien wurde von R. Hanbury Brown in
den 1960-er Jahren ein stellares Interferometer errichtet. Die Anordnung besteht aus zwei
fahrbaren Spiegeln mit je 6m Durchmesser, die auf einem ca. 100m großen Kreis aus Eisenbahnschienen
verschoben werden können. Die elektrischen Signale der Photomultiplier
werden über Kabel zu einer Station im Zentrum übertragen und dort korreliert. Bild entnommen
aus [5].
6 Anhang
6. Anhang
• Theorem der Ergodizität:
Die Ergodizität bedeutet, dass die Mittelung einer Systemgröße über eine bestimmte Zeit
oder bestimmte Anzahl von Werten dieses Systems denselben Wert ergibt als würde man
viele, exakt gleiche Systeme verwenden und deren Systemgrößen über die Anzahl der Systeme
mitteln. Ein einfaches Beispiel ist der Würfel. Werfen wir einen Würfel n-mal hintereinander
und tragen die Häufigkeiten jeder Augenzahl auf, dann erhalten wir die gleichen
Ergebnisse, wie durch ein gleichzeitiges Werfen von n Würfeln.
• Zeitliche Mittelung:
Wie das angegebene Integral schon vermuten lässt handelt es sich hier um eine Mittelung
in der Zeit, über eine Zeitspanne die jedoch groß im Gegensatz zu sämtlich vorkommenden
Zeiten sein sollte. D.h. dass die Zeit T viel größer sein sollte als z.B die mittleren Stoßzeiten,
Abklingzeiten oder sonstigen vorkommenden. Die Abkürzung dafür ist so definiert
< f(t) >= 1
T
T
0
f(t)dt = 1
T
T
f(t)dt
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Quellenverzeichnis 25
Literatur
[1] R. Loudon The Quantum Theory of Light UH5600 L886
[2] Bergmann Schäfer: Lehrbuch der Physik, Optik, Band 3, 9.Auflage
[3] Hanbury Brown, R. and Twiss, R.Q. (1958) Proceedings of the Royal Society of London,
Series A, Mathematical and Physical Science, Vol. 243, No.1234
[4] Hanbury Brown, R. (1956) Nature 178..1046H, A test of a new type of stellar interferometer
on Sirius
[5] Hanbury Brown, R. (1964) Sky and Telescope 1964, 63-69 The stellar Interferometer at
Narrabi Observatory