Physikalische Optimierung - Physik - Universität Regensburg

KAPITEL 3. PHYSIKALISCHE OPTIMIERUNGSALGORITHMEN 29
Wie beim Threshold Accepting besteht somit die Gefahr, dass sich das System in
einem lokalen Minimum festsetzt; die Bedingung der Ergodizität ist verletzt, da nicht
mehr alle Punkte des Phasenraums erreicht werden können. Somit kann sich kein thermodynamisches
Gleichgewicht einstellen (Abbildung 3.4); das Sintflut-Verfahren ist ein
Nichtgleichgewichts-Algorithmus. Detailed Balance wird allerdings erfüllt, denn zu einem
gegebenen T sind alle Konfigurationen unter dem Niveau TS gleich wahrscheinlich.
Der Algorithmus ist benannt nach der Sintflut im Alten Testament. Dreht man
nämlich die Problemstellung um und sucht das Maximum des Phasenraums, dann läßt
sich TS als Wasserstand interpretieren, der wie bei einer Sintflut ständig steigt. Problematisch
dabei ist die Inselbildung in der Energielandschaft bei zunehmendem Wasserstand;
möglicherweise befindet man sich nicht auf dem höchsten Berg, sondern auf
einem wesentlich kleineren. Bei hochdimensionalen Problemen gibt es aber zu einem
Zustand σi sehr viele Nachbarn, und man kann in viele Richtungen vor dem Wasser
zurückweichen. Dies erklärt, warum das Sintflut-Verfahren bei vielen komplexen Optimierungsverfahren
nahezu optimale Ergebnisse liefert.
3.4 Sonstiges
Abkühlverfahren
Für Simulated Annealing wurden Abkühlschemata entwickelt, die bei unendlich langer
Rechenzeit ein globales Optimum garantieren, wenn man die Temperatur folgenderma-
ßen berechnet:
Tk =
a
b + log(k)
(3.20)
Dabei sind a und b positive, systemabhängige Konstanten und k ist die Anzahl der bereits
durchgeführten Iterationen (Temperaturschritte). Der Nachteil dieses Verfahrens
ist, dass die Rechenzeit größer ist als die vollständige Aufzählung sämtlicher Konfigurationen.
Ein anderes Problem ist, dass nicht sicher ist, ob man wirklich ein globales
Optimum gefunden hat. Diese Abkühlstrategie ist also in der Praxis nicht verwendbar;
stattdessen bedient man sich empirischer Abkühlkurven, die deutlich schneller gegen
T=0 konvergieren.
An erster Stelle der empirischen Verfahren ist die Lineare Abkühlung zu nennen.
Dabei wird die Temperatur bei jedem Schritt um einen konstanten Betrag ∆T
verringert:
Tk = Tstart − k∆T mit 0.01 ≤ ∆T ≤ 0.5 (3.21)
Tstart ist die Anfangstemperatur, die bei jedem Optimierungslauf speziell bestimmt
werden muß. Es ist zu beachten, dass Tk niemals kleiner als Null werden darf; der Lauf
ist also ggf. vorher abzubrechen.
Bei der logarithmischen oder exponentiellen Abkühlung wird die Anfangstemperatur
durch wiederholte Multiplikation mit einem Faktor α gesenkt:
Tk = α k Tstart mit 0.8 ≤ α ≤ 0.999 (3.22)