Physikalische Optimierung - Physik - Universität Regensburg

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Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen der Spinglasphysik 2 1.1 Magnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Theoretische/Experimentelle Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 RKKY-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Frustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Phasenübergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.4 Suszeptibilität, Wärmekapaziät, Magnetisierung . . . . . . . . . 7 1.3 Mathematische Spinglasmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Ising Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Heisenberg Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3 XY-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.4 Edward-Anderson Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.5 ±J-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Monte-Carlo-Methoden 14 2.1 Statistische Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Simple Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Importance Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 Physikalische Optimierungsalgorithmen 20 3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.1.1 Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.2 Konfigurations- und Lösungsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.1.3 Move und Nachbarschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 Energielandschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3 Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3.1 Random Walk und Greedy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3.2 Simulated Annealing - SA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3.3 Threshold Accepting - TA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3.4 Great Deluge Algorithm - GDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4 Sonstiges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Literatur 32 1
Kapitel 1 Grundlagen der Spinglasphysik Die Geschichte der Physik war bis Anfang der 70er dadurch gekennzeichnet, dass man sich auf geordnete Systeme konzentrierte. Ungeordnete Systeme wurden fast vollständig vernachlässigt. Man untersuchte ideale Strukturen (z.B. perfekte Kristalle), weil man dazu leichter Theorien zur Beschreibung der physikalischen Eigenschaften entwickeln konnte. Da solch ideale Strukturen in der Realität kaum vorkommen und im Labor nur bedingt herstellbar sind, hat man begonnen, auch ungeordnete Systeme zu erforschen. So untersuchte man etwa die Auswirkungen von Verunreinigungen auf die physikalischen Eigenschaften von Kristallen. Dazu wurden in geringer Konzentration magnetische Atome in ein nicht-magnetisches Wirtsmaterial eingebracht, um die magnetische Wechselwirkung (WW) zu untersuchen. Beispielsweise kann man Eisenatome in einem Goldkristall betrachten (Au1−xFex, x: Konzentration). Bei einer Eisenkonzentration im Goldkristall zwischen 1% und 12% wurde das in diesem Kapitel erklärte, charakteristische Verhalten von Spingläsern beobachtet. Die abstrakten Ursachen für dieses Verhalten sind auch in ökonomischen Systemen zu finden; daher haben Spingläser eine große Bedeutung bei der Optimierung diverser ökonomischer Problemstellungen. Das Wort Spinglas hängt einerseits zusammen mit dem sog. Spin aus der Quantenmechanik, der für magnetische Effekte verantwortlich ist. Zum anderen weist der Begriff Glas auf ein ungeordnetes System hin: Gewöhnliches Fensterglas etwa zeigt keine geordnete Kristallstruktur wie z.B. Diamant; die Atome sind unregelmäßig angeordnet. Die Eigenschaften von Spingläsern beruhen auf Konkurrenz und Zufälligkeit der magnetischen Wechselwirkungen. Um das Phänomen der Spinglasphase besser zu verstehen, werden zunächst einige Grundlagen zu den Systembestandteilen erläutert. Anschließend werden experimentelle Ergebnisse von Untersuchungen an Spingläsern und die grundlegenden Effekte der Systemdynamik beschrieben. Den Abschluß dieses Kapitels bilden mehrere Modellierungsvarianten für Spingläser, die für Computer- Simulationen entwickelt wurden; die Simulationen bilden dann den Ausgangspunkt für die physikalischen Optimierungsverfahren. 2
Seite 1: Einführung in die Physikalische Op
Seite 5 und 6: KAPITEL 1. GRUNDLAGEN DER SPINGLASP
Seite 15 und 16: Kapitel 2 Monte-Carlo-Methoden 2.1
Seite 17 und 18: KAPITEL 2. MONTE-CARLO-METHODEN 16
Seite 19 und 20: KAPITEL 2. MONTE-CARLO-METHODEN 18
Seite 21 und 22: Kapitel 3 Physikalische Optimierung
Seite 23 und 24: KAPITEL 3. PHYSIKALISCHE OPTIMIERUN
Seite 33 und 34: Literaturverzeichnis [BH02] K. Bind

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