Physikalische Optimierung - Physik - Universität Regensburg

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KAPITEL 3. PHYSIKALISCHE OPTIMIERUNGSALGORITHMEN 25 Θ(x) ist die Heaviside Stufenfunktion und ∆H = H(σi ′) − H(σi). Der Greedy bewegt sich zielstrebig auf das nächstgelegene lokale Minimum zu. Darin liegt aber auch das Problem: es kommt häufig dazu, dass der Greedy in einem lokalen Minimum gefangen bleibt, ohne von dem weiter entfernten globalen Minimum zu wissen. Der Greedy Algorithmus wird daher hauptsächlich für Systeme mit Energielandschaften benutzt, die entweder sehr wenige lokale Minima aufweisen, oder die Energiedifferenzen zwischen den lokalen Minima und dem globalen Minimum sehr gering sind. Die Energielandschaften sind jedoch in der Regel nicht bekannt und liegen meist zwischen den Extremen. Man versucht daher die Vorteile der beiden Algorithmen zu kombinieren: die Energielandschaft wird einerseits möglichst sorgfältig durchwandert, indem man die Energien der aktuellen und der neuen Konfigurationen vergleicht, andererseits nimmt man zeitweise Verschlechterungen der aktuellen Konfiguration in Kauf, weil man nur so das globale Minimum finden kann. 3.3.2 Simulated Annealing - SA Beim Verfahren SA [KGV83] wird ein zu optimierendes System mit einer intrinsischen Systemtemperatur betrachtet. Diese Temperatur wird von anfänglich hohen Werten, bei denen das Systen eine große innere Freiheit besitzt, nach einem vorgegebenen Abkühlplan auf einen sehr niedrigen Wert abgesenkt. Die Freiheiten des Systems bei der Bewegung durch den Phasenraum werden also im zeitlichen Verlauf sukzessive eingeschränkt. Man wählt dabei als Übergangswahrscheinlichkeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zuständen σ und σ ′ die Metropolis Funktion W(σi → σi ′) = exp − ∆H kBT 1 : sonst : für ∆H > 0 (3.17) Dieser Optimierungs-Algorithmus wird als Simulated Annealing bezeichnet. ∆H ist dabei die Energieänderung, die sich aus einem Übergang von Zustand σ nach σ ′ ergibt. Üblicherweise wird kB in der Simulation gleich Eins gesetzt. T hat dann die Bedeutung eines Kontrollparameters in den Einheiten von H. SA ist der klassische Optimierungs- Algorithmus in der Physik, um Zustände niedriger Energie bei komplexen Systemen zu finden, für die es keine analytischen Lösungswege gibt. Der Name des Verfahrens stammt aus der Metallurgie: beim Ausglühen wird ein Metall lange erhitzt und dann langsam abgekühlt. Mit zunehmender Abkühlung sinkt die Bewegungsfreiheit der Atome im Kristallgitter. Kühlt man sehr langsam ab, so bleibt das System im thermischen Gleichgewicht und die Atome können sich bei tiefen Temperaturen noch im Grundzustand anordnen. Kühlt man jedoch zu schnell ab, so bilden sich polykristalline oder amorphe Strukturen mit höherer Energie. SA erfüllt die Bedingung der Ergodizität: Nach P. und T. Ehrenfest (1911)[No02] ist ein System dann ergodisch, wenn die an die Hyperfläche H = const. gebundene Phasenraumtrajektorie im Lauf der Zeit jedem Punkt beliebig nahe kommt. Für den Fall eines diskreten Phasenraums muß die Trajektorie jeden Punkt erreichen können. Anschaulich ist die Phasenraumtrajektorie sozusagen der “Weg“ des Systems durch den Phasenraum. Wichtig wird die Ergodizität für die Berechnung der Erwartungswerte
KAPITEL 3. PHYSIKALISCHE OPTIMIERUNGSALGORITHMEN 26 von Observablen. Bei ergodischen Systemen gilt die Gleichheit von Schar- und Zeitmittel. Allerdings ist die Ergodizität bei glasartigen Systemen nicht erfüllt: es kommt hier auf die Meßzeit τ an; das System muß in der Zeit τ ins Gleichgewicht kommen. SA ist ein sehr leistungsfähiges Verfahren, um kombinatorische Optimierungsprobleme zu behandeln. Dieser Algorithmus kann auch für viele N P -vollständige Probleme angewandt werden. N P-vollständig sind Probleme, für die kein deterministischer Algorithmus existiert, der das Problem in einer Zeit t< N x optimal löst. Dabei ist N die Systemgröße und der Exponent x eine obere Abschätzung für den Rechenzeitbedarf. Vollständig heißt dabei, dass alle Probleme dieser Klasse durch eine polynomiale Abbildung ineinander überführt werden können. 3.3.3 Threshold Accepting - TA Das Toleranzschwellenverfahren Threshold Accepting (TA) [DS90] ist ein Optimierungsalgorithmus, mit formaler Ähnlichkeit zu Simulated Annealing. Die Übergangswahrscheinlichkeit einer Konfiguration σi zu einer anderen σi ′ wird jedoch nicht durch die Metropolisfunktion bestimmt. Vielmehr soll gelten: 1 : für ∆H ≤ Th W(σi → σi ′) = Θ(Th − ∆H) = (3.18) 0 : sonst Dabei ist Θ die Stufenfunktion und Th wird als Threshold oder Toleranzschwelle bezeichnet. Th ist eine Art Kontrollparameter oder Pseudotemperatur. Während des Optimierungsprozesses wird dieser Schwellenwert von einem hohen Anfangswert schrittweise auf Null abgesenkt. Dieses Verfahren garantiert, dass eine neue Konfiguration σi ′ niemals angenommen wird, falls sich die vorhergehende Lösung σi stark verschlechtern würde. Demgegenüber können bei SA mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit auch diese Lösungen akzeptiert werden. Dadurch ist beim TA-Verfahren die Bedingung der Ergodizität verletzt, da nicht jeder Punkt im Phasenraum erreicht werden kann; ein thermisches Gleichgewicht wird sich dann nicht mehr einstellen. Threshold Accepting ist deshalb ein Nichtgleichgewichts-Algorithmus und stellt somit kein physikalisches Verfahren dar. Auch das Prinzip von Detailed Balance wird nicht erfüllt. In Abbildung 3.3 links sind a und c zwei benachbarte Konfigurationen; a kann von der energetisch höher liegenden Konfiguration c aus problemlos erreicht werden. Sobald sich das System jedoch im Zustand a befindet, kann c ohne Zwischenstufen nicht mehr erreicht werden, wenn der Threshold zu klein ist. Die Ergodizität ist verletzt. In Abbildung 3.3 rechts sind a, b, c paarweise benachbarte Konfigurationen. Während es nun ohne weiteres möglich ist, von Zustand c den energetisch tieferliegenden Zustand a zu erreichen, ist die Umkehrung wegen des zu kleinen Thresholds nicht möglich; c kann nur über die Konfiguration b erreicht werden. Ein spezielles Problem von Threshold Accepting sind die sog. Golfholes: ist eine Konfiguration σ∗ ausschließlich von Nachbarn σi umgeben, für welche gilt: H(σi) − H(σ∗) > Th,
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