Physikalische Optimierung - Physik - Universität Regensburg

KAPITEL 2. MONTE-CARLO-METHODEN 18
Durch diese Gleichung ist die Übergangswahrscheinlichkeit W(σi → σi ′) jedoch noch
nicht vollständig bestimmt. Meist wählt man:
1 ∆H
W(σi → σi ′) = 1 − tanh
2 2kBT
exp −
=
∆H
kBT
1 + exp − ∆H
(2.12)
kBT
Oder alternativ:
W(σi → σi ′) =
exp − ∆H
kBT : für ∆H > 0
1 : sonst
(2.13)
Gleichung 2.12 zeigt die Glauber-Funktion, Gl. 2.13 die Metropolis-Funktion. Es
wird also eine Folge von Zuständen σi → σi ′ → σi ′′ mit diesen Übergangswahrscheinlichkeiten
erzeugt. Es bleibt zu zeigen, dass die daraus resultierende Wahrscheinlichkeitsverteilung
P(σi) gegen Pequ(σi) konvergiert. Dies kann mit Hilfe des Zentralen
Grenzwertsatzes der Wahrscheinlichkeitstheorie gezeigt werden; für den vollständigen
Beweis wird auf die einschlägige Literatur verwiesen.
Simulation des ±J-Modells
Im Folgenden wird erläutert, wie sich das ±J-Modell mit Hilfe des Single-Spin-Flip
Algorithmus simulieren läßt. Dazu sei ein Gitter der Größe L×L×L mit periodischen
Randbedingungen gegeben. Jeder Gitterplatz i ist durch einen Spin si besetzt; die
Anfangskonfiguration ist beliebig. Die WW Jij zwischen zwei benachbarten Spins wird
zufällig mit +J oder -J vorbesetzt und bleibt in der Simulation konstant. Man geht nun
folgendermaßen vor:
1. Auswahl eines Gitterpunktes i mit Spin si.
2. Berechnung der Energieänderung, wenn sich der Spin von si nach -si dreht.
3. Berechnung der Übergangswahrscheinlichkeit W für diesen Spinflip.
4. Auswahl einer Zufallszahl Z zwischen Null und Eins mit dem Zufallszahlengenerator.
5. Drehung des Spins für Z