Physikalische Optimierung - Physik - Universität Regensburg
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KAPITEL 2. MONTE-CARLO-METHODEN 17<br />
Abbildung 2.1: Wahrscheinlichkeitsverteilung der Energie E<br />
2.3 Importance Sampling<br />
Wie beim Simple Sampling wird auch hier eine Auswahl σ1,... ,σM aller möglichen<br />
Zustände σ1,... ,σG betrachtet. Die Punkte σ1,...,σM werden aber nicht gleichmäßig,<br />
sondern mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit P(σi) ausgewählt. Für die Observablen<br />
folgt dann:<br />
Ā =<br />
M i=1 A(σi)Pequ(σi)/P(σi)<br />
M i=1 Pequ(σi)/P(σi)<br />
= 1<br />
M<br />
M<br />
A(σi) (2.9)<br />
D.h. der Mittelwert der Observablen A(σ) soll dem arithmetischen Mittel entsprechen.<br />
Diese Methode heißt Importance Sampling.<br />
Metropolis et al. forderten, aufeinanderfolgende Zustände σi nicht unabhängig voneinander<br />
zu generieren; vielmehr soll ein Zustand σi+1 aus einem vorhergehenden Zustand<br />
σi mittels einer geeigneten Übergangswahrscheinlichkeit W(σi → σi+1) erzeugt<br />
werden. Man spricht von einem sog. Markov-Prozess. Die Übergangswahrscheinlichkeit<br />
soll dabei so gewählt werden, dass für lim(M → G) die Verteilungsfunktion der<br />
Zustände P(σi) der Gleichgewichtsverteilung Pequ(σ) entspricht. Eine wichtige, aber<br />
i.Allg. nicht notwendige Bedingung hierfür ist das Prinzip von Detailed Balance:<br />
Pequ(σi)W(σi → σi ′) = Pequ(σi ′)W(σi ′ → σi) (2.10)<br />
Wenn man Gl. 2.1 in Gl. 2.10 einsetzt und umstellt, sieht man, dass die Rate der Übergangswahrscheinlichkeit<br />
nur von der Energieänderung ∆H = H(σi ′) − H(σi) abhängt:<br />
W(σi → σi ′)<br />
<br />
= exp −<br />
W(σi ′ → σi) ∆H<br />
<br />
(2.11)<br />
kBT<br />
i=1