Physikalische Optimierung - Physik - Universität Regensburg

KAPITEL 2. MONTE-CARLO-METHODEN 17
Abbildung 2.1: Wahrscheinlichkeitsverteilung der Energie E
2.3 Importance Sampling
Wie beim Simple Sampling wird auch hier eine Auswahl σ1,... ,σM aller möglichen
Zustände σ1,... ,σG betrachtet. Die Punkte σ1,...,σM werden aber nicht gleichmäßig,
sondern mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit P(σi) ausgewählt. Für die Observablen
folgt dann:
Ā =
M i=1 A(σi)Pequ(σi)/P(σi)
M i=1 Pequ(σi)/P(σi)
= 1
M
M
A(σi) (2.9)
D.h. der Mittelwert der Observablen A(σ) soll dem arithmetischen Mittel entsprechen.
Diese Methode heißt Importance Sampling.
Metropolis et al. forderten, aufeinanderfolgende Zustände σi nicht unabhängig voneinander
zu generieren; vielmehr soll ein Zustand σi+1 aus einem vorhergehenden Zustand
σi mittels einer geeigneten Übergangswahrscheinlichkeit W(σi → σi+1) erzeugt
werden. Man spricht von einem sog. Markov-Prozess. Die Übergangswahrscheinlichkeit
soll dabei so gewählt werden, dass für lim(M → G) die Verteilungsfunktion der
Zustände P(σi) der Gleichgewichtsverteilung Pequ(σ) entspricht. Eine wichtige, aber
i.Allg. nicht notwendige Bedingung hierfür ist das Prinzip von Detailed Balance:
Pequ(σi)W(σi → σi ′) = Pequ(σi ′)W(σi ′ → σi) (2.10)
Wenn man Gl. 2.1 in Gl. 2.10 einsetzt und umstellt, sieht man, dass die Rate der Übergangswahrscheinlichkeit
nur von der Energieänderung ∆H = H(σi ′) − H(σi) abhängt:
W(σi → σi ′)
= exp −
W(σi ′ → σi) ∆H
(2.11)
kBT
i=1