Physikalische Optimierung - Physik - Universität Regensburg

KAPITEL 2. MONTE-CARLO-METHODEN 16
2.2 Simple Sampling
Die grundlegende Idee des Simple Samplings [BH02] ist es, die exakten Gleichungen für
thermodynamische Erwartungswerte durch eine Summe zu ersetzen, in der nicht über
alle möglichen Zustände σ1,... ,σG summiert wird. Stattdessen summiert man über
eine statistische Auswahl charakteristischer Punkte σ1,...,σM, M ≤ G, des Phasenraums.
Als Erwartungswert erhält man also für eine Observable:
Ā =
M
i=1 A(σi)Pequ(σi)
M
i=1 Pequ(σi)
(2.6)
Die Punkte σi werden dabei zufällig aus dem gesamten Phasenraum ausgewählt. Im
Grenzfall gilt:
lim Ā(σ) = 〈A(σ)〉 (2.7)
M→G
Da die einzelnen Konfigurationen mittels gleichverteilter Zufallszahlen bestimmt werden,
wird dieses Verfahren Simple Sampling genannt. In der Praxis liefert diese Methode
nur für sehr kleine Systeme oder bei sehr hohen Temperaturen gute Ergebnisse, da die
Punkte des Phasenraums gleichmäßig ausgewählt werden.
Die Verteilungsfunktion einer makroskopischen Variablen ist jedoch stark um ihren
Mittelwert zentriert. Deshalb trägt bei jeder Temperatur nur ein sehr kleines Gebiet des
Phasenraums signifikant zum thermischen Mittelwert einer Observablen bei. Betrachtet
man die Verteilungsfunktion PT(E) der Variablen E so sieht man, dass diese bei der
Temperatur T einen Peak bei ET mit einer Halbwertsbreite proportional zu 1
√ N hat.
N ist dabei die Zahl der Freiheitsgrade. Außerhalb von kritischen Temperaturbereichen
verhält sich die Verteilung dann nach [BH02]:
PT(E) ∝ exp −N (E − 〈E〉T ) 2
2CT 2
(2.8)
Mit sinkender Temperatur nimmt ET ab und damit ändert sich auch die Verteilung.
Das zufällige Herausgreifen von Lösungen aus dem Phasenraum beim Simple
Sampling richtet sich jedoch nicht nach der Verteilung bei niedrigen Temperaturen,
sondern entspricht der Wahrscheinlichkeitsverteilung P∞(E), also derjenigen, die für
unendlich hohe Temperaturen gilt.
Die linke Kurve von Abb. 2.1 beschreibt die Verteilung der Energie im kanonischen
Ensemble bei tiefen Temperaturen. Die rechte Kurve zeigt die durch Simple Sampling
erzeugte Verteilung entsprechend einer unendlich hohen Temperatur mit 〈H〉 = 0.
Die Verteilung PT(E) ist bei den Energien, die im physikalischen Modell bei tiefen
Temperaturen mit hoher Wahrscheinlichkeit auftreten und für das Systemverhalten in
diesem Bereich wichtig sind, wegen des exponentiellen Abfalls nur sehr schmal. Beim
Simple Sampling werden daher bei tiefen Temperaturen fast ausschließlich physikalisch
unwichtige Konfigurationen erzeugt. Daraus ergibt sich eine stark fehlerhafte Berechnung
der physikalischen Größen. Diese Nachteile können jedoch mit dem Importance-
Sampling von Metropolis vermieden werden.