Physikalische Optimierung - Physik - Universität Regensburg

KAPITEL 2. MONTE-CARLO-METHODEN 15
folgendermaßen:
〈A〉 =
σ∈Γ
A(σ)Pequ(σ) =
σ∈Γ
A(σ)exp
− H(σ)
kBT
σ∈Γ exp
(2.3)
− H(σ)
kBT
Für A = H erhält man den Erwartungswert des Hamiltonians. Dieser läßt sich auch
über die logarithmische Ableitung der Zustandssumme ausdrücken:
− ∂ 1 ∂
lnZ = −
∂β Z ∂β exp(−βH(σ))
=
1
Z
σ∈Γ
H(σ)exp(−βH(σ))
σ∈Γ
Daraus läßt sich die Wärmekapazität ableiten:
C = d〈H〉
dT
=
=
=
1
kBT 2
⎡
⎣ 1
Z
σ∈Γ
= 〈H〉 (2.4)
H 2
⎤
2
1
(σ)exp(−βH(σ)) − H(σ)exp(−βH(σ)) ⎦
Z
1
kBT 2
2 2
〈H 〉 − 〈H〉
1
kBT 2V ar(H) (2.5)
Aus dem Zusammenhang der Wärmekapazität mit der Varianz V ar(H) ergibt sich auch
die Bedeutung dieser Größe für die Simulation: betrachtet man C(T), so sieht man, in
welchem Temperaturbereich sich die größten Umordnungen ergeben. Dabei muß sich
das System bei jeder Temperatur im thermischen Gleichgewicht befinden, sonst wäre
die Boltzmann-Verteilung nicht verwendbar. Das Gleichgewicht stellt sich allerdings
erst nach Einschwingvorgängen ein, was auch bei der Simulation berücksichtigt werden
muß.
Systeme im thermischen Gleichgewicht werden in der Statistischen Physik numerisch
mit Hilfe von Monte-Carlo-Methoden untersucht. Damit bezeichnet man allgemein
Algorithmen, die Zufallszahlen verwenden, um Mittelwerte in statistischen Systemen
zu berechnen. Wie lassen sich aber nun die theoretisch hergeleiteten Observablen
konkret berechnen? Bei einer exakten Berechnung müßte man über sämtliche Zustände
summieren, die das System annehmen kann. In der Praxis ist es jedoch schwierig, alle
möglichen Konfigurationen zu berücksichtigen.
Daher macht man folgendes: die thermischen Erwartungswerte werden unter Verwendung
einer nur begrenzten Anzahl von Konfigurationen bestimmt, und zwar so,
dass sie den tatsächlichen Werten möglichst nahe kommen. Zwei Verfahren wurden in
diesem Zusammenhang entwickelt, das Simple Sampling und das Importance Sampling.
σ∈Γ