Physikalische Optimierung - Physik - Universität Regensburg

Kapitel 2
Monte-Carlo-Methoden
2.1 Statistische Physik
In der klassischen Physik können mit Hilfe der Newtonschen Bewegungsgleichungen
Probleme mit begrenzter Teilchenzahl exakt beschrieben werden. Kennt man zu einem
bestimmten Zeitpunkt t0 alle physikalischen Größen, die den Zustand des Systems
bestimmen, so läßt sich der Systemzustand zu allen späteren Zeitpunkten t eindeutig
vorhersagen.
Bei komplizierten Vielteilchensystemen ist das jedoch nicht mehr möglich; man
geht dann dazu über, mit statistischen Größen zu rechnen. Die Auswertung der statistischen
Mittelwerte ermöglicht dann Aussagen über das makroskopische Verhalten
des Systems. Aufgrund der großen Anzahl von Konfigurationen kommen auch bei der
physikalischen Optimierung die Methoden der statistischen Physik zum Einsatz.
Die in diesem Zusammenhang betrachteten Systeme können im Allgemeinen als kanonische
Ensembles aufgefasst werden. Das sind abgeschlossene Systeme, die sich in
thermischem Kontakt mit einem umgebenden Wärmebad befinden. Dabei kann Energie
ausgetauscht werden, jedoch keine Teilchen. Befindet sich ein solches System im thermischen
Gleichgewicht - d.h. die Temperatur T des Systems ist gleich der Temperatur
des Wärmereservoirs - dann kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines beliebigen
Zustands durch die Boltzmann-Verteilung [No02]
Pequ(σ) = 1
Z exp
− H(σ)
(2.1)
kBT
beschrieben werden. Dabei ist kB die Boltzmann-Konstante und Z die Zustandssumme,
die in der statistischen Physik eine zentrale Rolle spielt und bei der Berechnung
vieler Größen als Normierungsfaktor auftritt. Die Zustandssumme ist gegeben durch:
Z =
exp(−βH(σ)) (2.2)
σ∈Γ
wobei H die Hamiltonfunktion und β = 1
kBT ist. Den Mittelwert oder thermischen
Erwartungswert einer Observablen A eines diskreten Systems berechnet man sodann
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