Physikalische Optimierung - Physik - Universität Regensburg

KAPITEL 1. GRUNDLAGEN DER SPINGLASPHYSIK 12
1.3.3 XY-Modell
Beim XY-Modell handelt es sich um den 2-dim. Fall des Heisenberg-Modells. Sein
Hamiltonian lautet:
H = −
〈i,j〉
Jij(s x i sx j
+ sy
Man kann si als sinΦi
cos Φi
i sy
j
darstellen und daher mit dem Additionstheorem
schreiben:
) − Bx
N
i=1
s x i
(1.5)
wobei gilt: (s x i 2 + s y2
i ) = 1 (1.6)
sin(Φi) · sin(Φj) + cos(Φi) · cos(Φj) = cos(Φi − Φj) (1.7)
H = −
N
Jij cos(Φi − Φj) − B cos(Φi) (1.8)
〈i,j〉
Φi,Φj sind die Phasen der Spins; Φi −Φj ist deren Phasendifferenz. Der Spin kann sich
in diesem Modell in der xy-Ebene drehen und behält dabei seinen konstanten Betrag
von 1 bei.
1.3.4 Edward-Anderson Modell
Dieses Modell ist am besten untersucht und beruht ebenfalls auf dem Hamiltonian des
Ising-Modells. Die Spins sitzen dabei an den Ecken eines kubischen, 3-dimensionalen
Gitters; es handelt sich um Ising-Spins, die nur zwei Einstellmöglichkeiten haben. Die
Reichweite der WW ist auf die jeweils nächsten Nachbarn beschränkt.
Die grundlegenden Merkmale der Unordnung und Konkurrenz werden über eine
geeignete, statistische Verteilung P(Jij) der Kopplungen eingeführt. Die Stärke der
Kopplung Jij hängt wie bei der RKKY-WW vom Abstand der Spins ab, verschwindet
jedoch beim EA-Modell bereits bei den übernächsten Nachbarn. Die Verteilung P(Jij)
der Jij entspricht dabei einer Gaußverteilung mit der Standardabweichung ∆ und dem
Erwartungswert Null:
i=1
P(Jij) = 1
√ exp −
2π∆ J2 ij
2∆2
(1.9)
Im EA-Modell wird die site-disorder, also die räumlich zufällige Verteilung der
magnetischen Atome mit RKKY-WW, durch eine statistische Verteilung der Kopplungskonstanten
Jij (bond-disorder) ersetzt. Die ferro- und antiferromagnetischen
WW sind jedoch gleichverteilt.
Mit diesem Modell ist es nun möglich, die grundlegende physikalische Fragestellung
nach dem Grundzustand des Systems zu untersuchen: wie müssen sich die einzelnen