Physikalische Optimierung - Physik - Universität Regensburg

KAPITEL 1. GRUNDLAGEN DER SPINGLASPHYSIK 11
wird.
H = −
〈i,j〉
Jijsisj − 1
gSµBB0
Hierbei ist: Jij:Austausch-WW zwischen den Spins si und sj
B0:externes Magnetfeld
gS: Lande-Faktor
µB:Bohrsches Magneton
: Plancksches Wirkungsquantum
N
i=1
si
(1.2)
Meist werden die auftretenden Konstanten gS, µB und gleich 1 gesetzt. Man wählt
dann B0 so, dass das magnetische Moment pro Spin 1 ist. Es ergibt sich:
H = −
N
Jijsisj − B0 si
〈i,j〉
i=1
(1.3)
Der erste Term beschreibt die Summe der Austauschenergien je zweier Spins si und
sj. Der B0 enthaltende Term berücksichtigt die WW der Spins mit einem externen
Magnetfeld. Die WW versucht alle Spins gleich auszurichten. Ist die Austausch-WW
positiv, dann sind die Spins im Grundzustand parallel orientiert; es ergibt sich eine ferromagnetische
Spinstruktur. Bei einer negativen Kopplung Jij erhält man i.Allg. eine
antiferromagnetische Spinstruktur. Das Ising-Modell wurde für den eindimensionalen
Fall mit Jij = J für nächste Nachbarn (J=0 sonst) von Ising selbst im Jahre 1925 exakt
analytisch gelöst. Onsager konnte 1944 - ohne äußeres Magnetfeld - den zweidimensionalen
Fall analytisch behandeln, Yang 1952 mit B0 = 0. Es gibt jedoch keine analytische
Lösung für das 3-dimensionale Ising Modell. Die Kopplungskonstanten Jij sind im Allgemeinen
theoretisch nur sehr schlecht abzuschätzen. Es ist deshalb zweckmäßig, sie als
Parameter aufzufassen, die den experimentellen Ergebnissen angepaßt werden.
1.3.2 Heisenberg Modell
Heisenberg entwickelte 1928 auf der von Ising geschaffenen Basis ein verbessertes 3-dim.
Modell. Dieses Modell konnte von den zu diesem Zeitpunkt großen Weiterentwicklungen
der Quantenmechanik profitieren. Für isotrope Ferromagneten gilt der Hamiltonian:
H = −
Jijsi · sj − Bz
〈i,j〉
N
i=1
s z i
(1.4)
Dabei ist Jij=±J und außerdem gilt |si| = 1 und |sj| = 1. Im Unterschied zum Ising
Modell werden hier die Spins als Vektoren betrachtet, die im Raum eine beliebige
Richtung einnehmen können. Das Heisenberg-Modell ist sehr allgemein formuliert und
enthält das Ising-Modell als 1-dim. Spezialfall.