Praktikum Gekoppelte Schwingkreise - Physik

U N I V E R S I T Ä T R E G E N S B U R G
Naturwissenschaftliche Fakultät II - Physik
Anleitung für das B II - Praktikum
Versuch (h)
Gekoppelte Schwingkreise
2. überarbeitete Online - Ausgabe – SS2003
Prof. Dr. H. Hoffmann, Prof. Dr. J. Zweck, Prof. Dr. Ch. Strunk
M.Mändl, T. Schuhrke, S. Giglberger, J. Gründmayer

2 12 GEKOPPELTE SCHWINGKREISE
12 Gekoppelte Schwingkreise
12.1 Grundsätzliches über den Versuch
Die Bedeutung des einfachen (isolierten) elektrischen Schwingkreises (Reihenresonanz,
Parallelresonanz) wird als bekannt angesehen (z.B. Sperr- und Durchlaßfilter). Dasselbe
gilt für mechanische Schwingungen (Feder-, Torsions- und Fadenpendel). In der Regel
behandelt man die Schwingungen in harmonischer Näherung: harmonischer Oszillator;
Schwingungen von Atomen zweiatomiger Moleküle; Schwingungen von Atomen im
Festkörper um ihre Ruhelage; schwarze Strahlung, emittiert von einem Hohlraum, der
mit Oszillatoren ausgefüllt gedacht ist, zeigen den weiten Anwendungsbereich des ”armonischen
Oszillators”. Die theoretische Behandlung gehört zum Standard der klassischen
Mechanik, der Elektrodynamik wie auch der Quantenmechanik.
In vielen Fällen kann man das schwingungsfähige System nicht isoliert betrachten, sondern
es wechselwirkt mit benachbarten ähnlichen oder gleichen Systemen. Das führt auf
die Betrachtung von gekoppelten Oszillatoren. Gekoppelte Schwingkreise sind von Bedeutung
in der Hochfrequenztechnik.
Drei- und mehratomige Moleküle müssen als gekoppelte Oszillatoren behandelt werden.
Der Festkörper (Kristalle) stellt ein dreidimensionales System gekoppelter Oszillatoren
dar. Die Eigenschaften eines solchen Systems können in vielen Fällen im Prinzip bereits
mittels einer (eindimensionalen) linearen Kette gekoppelter Oszillatoren untersucht werden.
Das einfachste Beispiel einer endlichen linearen Kette sind zwei gekoppelte Oszillatoren.
Diese werden im vorliegenden Versuch durch zwei induktiv gekoppelte elektrische
Schwingkreise dargestellt. An ihnen soll beispielhaft die Änderung der als bekannt vorausgesetzten
Eigenschaften des isolierten harmonischen Oszillators unter dem Einfluß der
Kopplung an einem zweiten gleichen harmonischen Oszillator studiert werden.
Die am elektrischen System gefundenen Ergebnisse können sofort auf mechanische Systeme
übertragen werden.
12.2 Lernziele
Der Student soll
• sich den harmonischen Oszillator wieder in Erinnerung rufen
• verschiedene Möglichkeiten der Kopplung (hier speziell die induktive Kopplung)
zwischen elektrischen Schwingkreisen kennenlernen
• bei jedem Schritt der Erarbeitung des Problems die Analogie zwischen elektrischen
und mechanischen gekoppelten Schwingungen nachvollziehen
• sich intensiv mit der klassischen theoretischen Behandlung zweier gekoppelter Oszillatoren
beschäftigen
• dabei die Lösung der entsprechenden Differentialgleichungen nachvollziehen können,
da dieses Problem von erheblicher allgemeiner Bedeutung in der Physik ist

12.3 Vorkenntnisse 3
• bei der Behandlung der Differentialgleichung sich vergegenwärtigen, welche Näherungen
gemacht werden müssen und wie diese physikalisch zu begründen sind,
• Kenngrößen der Kopplung (unterkritische, kritische und überkritische) verstehen
lernen
• erkennen, was Schaltbild und Ersatzschaltbild bedeuten
• das Konzept des komplexen Wechselstromwiderstands auf gekoppelte Schwingkreise
anwenden
• experimentelle Techniken kennenlernen, wie
– Abstimmen zweier Schwingkreise
– Anstoßen eines elektrischen Schwingkreises
– Aufnehmen und Deuten von Resonanzkurven
– Durchstimmen eines Frequenzgenerators mit Hilfe externer Spannungen
– bei der Auswertung erkennen, wie im Experiment Größen bestimmt werden,
deren quantitative theoretische Berechnung mit großem Aufwand verknüpft
ist.
12.3 Vorkenntnisse
• Die Grundlagen eines elektrischen Schwingkreises
• Kirchhoffsche Gesetze
• Freischwingender und angeregter gedämpfter harmonischer Oszillator
• Wechselstromwiderstände (Impedanz, Phase etc.)
• Komplexe Darstellung der Wechselstromgrößen (Berechnung und Zeigerdiagramm)
• Spezielle Vorkenntnisse (siehe Einführung...)
12.4 Literatur
Allgemeine Literatur:
• Jedes Lehrbuch und jede Vorlesung über Elektromagnetismus. Wählen Sie das, was
Ihnen am meisten liegt!
Spezielle Literatur zum Versuch:
• Es zeigt sich, daß die theoretische Lösung des gestellten Problems im allgemeinen
recht kompliziert und deshalb auch aufwendig ist. Dehalb wurden die Versuchsbedingungen
so gewählt, daß in der theoretischen Lösung Näherungen eingeführt
werden können, die die Lösung vereinfachen. Für diesen speziellen Fall reicht die
Erarbeitung des Abschnitts ”Einführung in die spezielle Problematik”.

4 12 GEKOPPELTE SCHWINGKREISE
Weiterführende und vertiefende Literatur:
• Weyh - Benzinger: Die Grundlagen der Wechselstromlehre, UH 4000 W 547
• Weiss: Allgemeine Elektrotechnik, ZN 3000 W 429
• Handbuch für Hochfrequenz- und Elektrotechniken
• Kammerloher: Hochfrequenztechnik Teil I, ZN 6400 K 15
• Meinke: Theorie der Hochfrequenzschaltungen, UH 4000 M 514
• Vilbig: Lehrbuch der Hochfrequenztechnik I, ZN 6400 V 699(5)
12.5 Einführung in die spezielle Problematik
12.5.1 Schaltbild des Systems
Abb. 1: Induktive Kopplung zweier Schwingkreise
Es wird angenommen, daß Widerstand R, Kapazität C und Induktivität L der beiden
Kreise gleich sind. Das ”k” der Abbildung bezeichnet die induktive Kopplung zwischen
den beiden Spulen.
12.5.2 Die induktive Kopplung
k ist eine geometriebedingte Kopplungskonstante, die angibt, welcher Bruchteil des von
Spule 1 erzeugten magnetischen Flusses die Spule 2 durchsetzt und umgekehrt. Die induzierten
Spannungen sind dann
Uind,1 = −L ˙
I1 + k ˙
I2
; Uind,2 = −L ˙
I2 + k ˙
I1
12.5.3 Die Differentialgleichung des Systems und ihre Lösungen
(12.1)
Nach der Kirchhoffschen Regel für Spannungen und EMK in einem geschlossenen Kreis
gilt für Kreis 1
L ˙ I1 + Lk ˙ I2 + RI1 + 1
(I1 + I0) dt = 0 (12.2)
C
und für Kreis 2
L ˙
I2 + Lk ˙
I1 + RI2 + 1
C
I2dt = 0 (12.3)

12.5 Einführung in die spezielle Problematik 5
Differenziert man beide Gleichungen nach der Zeit, erhält man für 1:
und für 2:
L Ï1 + Lk Ï2 + R ˙
I1 + I1
C
L Ï2 + Lk Ï1 + R ˙
I2 + I2
C
= −I0
C
Daraus folgt durch Addition der beiden:
(1 + k) L Ï1 + Ï2
und durch Subtraktion der beiden:
(1 + k) L Ï1 − Ï2
(12.4)
= 0 (12.5)
+ R I1
˙ + ˙
I2 + I1 + I2
C
+ R I1
˙ − ˙
I2 + I1 − I2
C
= −I0
C
= −I0
C
(12.6)
(12.7)
Man erhält so für J1 + J2 und J1 − J2 die ”entkoppelten” Differentialgleichungen von
gedämpften harmonischen Oszillatoren. Dafür sind die Lösungen bekannt. Mit den
Abkürzungen
gilt
wobei gilt:
I+ := I1 + I2 und I− := I1 − I2
ϱ + 2β± ˙
I± + ω 2 0±I± = c±
β± =
R
2 (1 ± k) L ; ω2 0± =
Aus den beiden letzten Gleichungen folgt
c± = −I0ω 2 0±
1
(1 ± k) LC ; c±
1
= −I0
(1 ± k) LC
(12.8)
(12.9)
I+ und I− sind die beiden Moden des Systems (vergleichen Sie dies bitte mit gekoppelten
mathem. Pendeln).
12.5.4 Die freie Schwingung
Gemäß Abb. 1 wird kein Strom von außen eingespeist, d.h. J0 = 0. Die freie Schwingung
ist somit gekennzeichnet durch
c± = 0
Die Differentialgleichung für die Moden I± ergibt nach der Integration für die freie Schwingung
−β±t
I± = e a ′ ± sin ω±t + b ′ ± cos ω±t
mit ω 2 ± := ω 2 0± − β 2 ±.
(12.10)

6 12 GEKOPPELTE SCHWINGKREISE
a ′ ± und b ′ ± sind vier Integrationskonstanten, die aus Anfangswerten (für t = 0) zu bestimmen
sind.
Anstatt das Anfangswertproblem für die Moden zu lösen, sollen wieder die Ströme I1 und
I2 bzw. die Spannungen U1 und U2 (siehe Abb. 3) direkt betrachtet werden. Man setzt
a± := 1
2 a′ ±
und b± := 1
2 b′ ±
und addiert bzw. subtrahiert die beiden Gleichungen für I+ und I−. Das Ergebnis ist
(12.11)
I1/2 = e −β+t (a+ sin ω+t + b+ cos ω+t) ± e −β−t (a− sin ω−t + b− cos ω−t) (12.12)
Daraus folgt
U1/2 = 1
C
= 1
C
I1/2 dt
−β+t e
{(−a+β+ + b+ω+) sin ω+t − (a+ω+ + b+β+) cos ω+t} ± (12.13)
ω 2 0+
± e−β−t
ω 2 0−
{(−a−β− + b−ω−) sin ω−t − (a−ω− + b−β−) cos ω−t}
Zur Bestimmung der Konstanten a± und b± werden Anfangsbedingungen eingesetzt:
U1(t = 0) = U0 ⇔ −U0C = a+ω+ + b+β+
ω 2 0+
U2(t = 0) = 0 ⇔ 0 = a+ω+ + b+β+
ω 2 0+
+ a−ω− + b−β−
ω 2 0−
+ a−ω− + b−β−
ω 2 0−
(12.14-a)
(12.14-b)
I1(t = 0) ⇔ ˙ U1(t = 0) = 0 ⇔ 0 = b+ + b− (12.14-c)
I2(t = 0) ⇔ ˙ U2(t = 0) = 0 ⇔ 0 = b+ − b− (12.14-d)
Wie sind diese Anfangsbedingungen physikalisch zu rechtfertigen?
Aus (12.14-c) und (12.14-d) folgt:
b+ = b− = 0 (12.15)
Aus (12.15) und (12.14-a) folgt:
−U0C = a+ω+
ω 2 0+
+ a−ω−
ω 2 0−
Aus (12.15) und (12.14-b) folgt:
0 = a+ω+
ω 2 0+
− a−ω−
ω 2 0−
Addition bzw. Substraktion von (12.16) und (12.17) ergibt
a± = − U0C
2
ω 2 0±
ω±
(12.16)
(12.17)
(12.18)

12.5 Einführung in die spezielle Problematik 7
Durch (12.15) und (12.18) sind die Integrationskonstanten bestimmt. Man erhält somit
den Spannungsabfall über den Kondensatoren der beiden Resonanzkreise
U1/2 = U0
2
e −β+t
±e −β−t
β−
β+
ω−
ω+
sin ω+t + cos ω+t
sin ω−t + cos ω−t
Im Falle des vorliegenden Versuchs ist
β+
ω+
≪ 1 und
β−
ω−
±
(12.19)
≪ 1 (12.20)
d.h. ω0± ≈ ω± (prüfen Sie dies anhand der späteren Messungen und der angegebenen
Daten). In der Näherung β± = 0 gilt somit
ω±
U1/2 = U0
2
e −β+t cos ω+t ± e −β−t cos ω−t
(12.21)
Nach Definition war β± = R
2(1±k)L .
Der Versuch wird zeigen, daß bei der gewählten Anordnung der Bruchteil des die Spule
2 durchsetzenden, von Spule 1 erzeugten magnetischen Flusses klein ist. D.h. k ≪ 1.
Somit gilt näherungsweise
β± ≈ R R
(1 ∓ k) ≈
2L 2L
(12.22)
In der letzten Näherung ist β± die Dämpfungskonstante eines Schwingkreises mit ohmschem
Widerstand R und Selbstinduktivität L. Die zusätzliche Dämpfung durch die
Kopplung an die zweite Spule wird in dieser letzten Näherung vernachlässigt.
In dieser Näherung erhält man
und somit
β+ = β− = β = R
2L
U1/2 = U0
2
(12.23)
e− R
2L t (cos ω+t ± cos ω−t) (12.24)
Nach Umformung der Winkelfunktionen ergibt sich
U1 = U0
2
U2 = U0
2
R
e− 2L t
R
e− 2L t
cos ω+ + ω−
2
sin ω+ + ω−
2
t
t
cos ω+ − ω−
2
sin ω+ − ω−
2
t
t
(12.25-a)
(12.25-b)
Wird also der erste Kreis einmalig erregt, so entstehen in beiden gekoppelten Kreisen
gedämpfte Schwebungen, die sich aus der Überlagerung zweier Schwingungen mit der

8 12 GEKOPPELTE SCHWINGKREISE
Frequenz der beiden Moden ergeben.
Es ist
ω+ + ω−
≈ ω0 1 −
2
k2
≈ ω0
8
(12.26)
Die Abweichung der einen Frequenz ω+−ω− von der Eigenfrequenz des ungedämpften iso-
2
lierten (nicht gekoppelten Schwingkreises) ist im vorliegenden Versuch nicht meßbar.
Die Schwebungsfrequenz wird dagegen stark durch die Kopplung bestimmt.
ω+ − ω−
2
≈ k
2 ω0
(Vergleichen Sie wieder mit einem mathematischen Pendel)
(12.27)
Die Schwebungsfrequenz der freien Schwingungen zweier gekoppelter Schwingkreise erlaubt
zusammen mit der Resonanzfrequenz im Prinzip die Bestimmung der Kopplungskonstanten
k.
12.5.5 Die erzwungene Schwingung
Über dem Kondensator C des Kreises 1 in Abb. 1 wird eine Wechselspannung der Frequenz
ω angelegt, so daß ein Strom I0I00 sin ωt fließt (I0 wie in Abb. 3).
Dann ist in der Differentialgleichung für die Moden
zu setzen
Mit
ergibt sich
Somit ist
ϱ + 2β± ˙
I± + ω 2 0±I± = c±
(12.28)
c± = −I0ω 2 0± = −I00ω 2 0± sin ωt (12.29)
ω 2 0± = ω2 0
1 ± k
1 1
=
1 ± k LC
c± = − I00 1
LC 1 ± k sin ωt =: c0± sin ωt (12.30)
ϱ + 2β± ˙
I± + ω 2 0±I± = c0± sin ωt (12.31)
Eine spezielle Lösung dieser Differentialgleichung ist
I±I =
c0±
(2β±ω) 2 + (ω2 0± − ω2 ) 2
ω 2 0± − ω 2
sin ωt + 2β±ω cos ωt
(12.32)

12.5 Einführung in die spezielle Problematik 9
Mit I± als der allgemeinen Lösung der homogenen Differentialgleichung, die im vorangehenden
Abschnitt besprochen wurde, ergibt sich die allgemeine Lösung der inhomogenen
Differentialgleichung.
I ∗ ± = I± + I±I
(12.33)
Nach dem Einschwingvorgang β±t ≫ 1 (Abklingen der gedämpften Schwebungen) ist
I± = 0. Somit stellt (12.32) die erzwungene Schwingung in der Darstellung der Moden
dar.
Zu den Strömen I1 und I2 in den beiden Schwingkreisen kommt man durch
2
2
(12.34)
Bei der Aufnahme der Resonanzkurven werden die Spannungen U1/2 über den Kondensatoren
der beiden Schwingkreise gemessen
U1 = 1
C
(I1 + I0) dt = I00
I+I + I−I
+ sin ωt dt
C 2I00
(12.35)
Die Integration ist ausführbar. Schwierigkeiten bereitet die Umformung in eine Gestalt
I1 = I+I + I−I
und I2 = I+I − I−I
U1 = U10(ω) sin (ωt + θ(ω)) (12.36)
bei der die Amplitude als Funktion der Frequenz (Resonanzkurve) explizit darstellbar ist.
Entsprechendes gilt für U2. Aus diesem Grund wird ein anderer Weg eingeschlagen.
12.5.6 Der komplexe Wechselstromwiderstand gekoppelter Schwingkreise
Ein sinusförmiger Strom wird komplex dargestellt durch
I = I0e iωt
(12.37)
I0 ist hier die Amplitude und soll nicht mit dem I0 der Abb. 3 verwechselt werden. Es ist
I ˙ = iωI; Idt = −i 1
I (12.38)
ω
Mit dem komplexen Widerstand Z gilt das Ohmsche Gesetz U = Z · I.
Für den Ohmschen Widerstand gilt Z = R.
Für den induktiven Widerstand gilt Z = iωL, für den kapazitiven Widerstand erhält man
Z = −i 1
ωC .
Der komplexe Widerstand wird zur Berechnung der Strom - Spannungsrelation für den
gekoppelten Schwingkreis der Abb. 2 herangezogen.
Abb. 2: Ersatzdarstellung des zweiten Schwingkreises von Abb.1

10 12 GEKOPPELTE SCHWINGKREISE
Es gilt:
U = RIL1 + iωLIL1 + iωLkI2
(L-Zweig von 1)
0 = − i
ωC I2 + RI2 + iωLI2 + iωLkIL1
(Kreis 2)
⇒ R + i ωL − 1
I2 = −iωLkIL1
ωC
(12.40) in (12.39) eingesetzt ergibt
⎛
U = ⎝R
−iωLk
+ iωL + iωLk
R + i
ωL − 1
⎞
⎠
IL1
ωC
Den Teil des komplexen Widerstands
Zü :=
(12.39)
(12.40)
(12.41)
ω2L2k 2
R + i
ωL − 1
(12.42)
ωC
bezeichnet man als Übertragungs- oder Rückwirkungswiderstand. Er tritt zum Ohmschen
Widerstand R und induktiven Widerstand iωL des Kreises 1 hinzu.
Der gesamte Widerstand des L-Zweiges von Kreis 1 (einschließlich des angekoppelten
Kreises 2) ist dann:
ZL1 := R + iωL + Zü
Also bekommt man für den gesamten Widerstand Z des Systems
1
Z
(12.43)
1
= + iωC (12.44)
ZL1
Z nennt man auch den Eingangswiderstand, der aus (12.42) - (12.44) berechnet wird.
Daraus folgt schließlich:
ω
|Z| = Lω0
2
ω2
4
0
β2
ω2 +
0
1 − (1 − k2 ) ω2
ω2 2 + 4
0
β2
ω2
2
0
ω2
ω2 − 1
0
2
2
4β2ω2 + −
1 − ω2
2
2
(12.45)
16β 2 ω 2
ω 4 0
1 − ω2
ω 2 0
ω 4 0
ω 2 0
+ k 2 ω 4
ω 4 0
mit β := R
2L bzw. ω2 0 := 1
LC .
Ist I0 die Amplitude von I, so lautet die Amplitude von U: U0 = |Z|I0.
Sorgt man dafür, daß I0 konstant ist, und greift U mit einem Röhrenvoltmeter ab,
so erhält man einen Ausschlag, der proportional U0 und damit |Z| ist. Die Kurve
U0(ω)I0=konst ist die Spannungsresonanzkurve.
Bei der Diskussion von |Z(ω)| ergeben sich stets Polynome höheren Grades, deren Nullstellen
man analytisch nicht berechnen kann. Die Werte für ω0 und β wurden in Gl.(12.45)
eingesetzt, die Kurvenscharen |Z(ω)| bei verschiedenen k - Werten mit einem Computer
berechnet und in Abb.3 aufgezeichnet.

12.5 Einführung in die spezielle Problematik 11
Abb. 3: Eingangswiderstand |Z|(ω) in Abhängigkeit von der Frequenz ν für verschiedene Kopplungskonstan-
ten k

12 12 GEKOPPELTE SCHWINGKREISE
Bei schwacher Kopplung (k sehr klein) erhält man die vom Einzelkreis her bekannte
Form der Spannungsresonanzkurve (unterkritische Kopplung). Mit zunehmender Kopplung
(anwachsendem aber noch kleinem k) flacht das Maximum ab und erreicht im vorliegenden
Fall bei k = 0.01 eine kleine Einsattelung → kritische Kopplung.
Für k > 0.01 ergeben sich zwei Resonanzmaxima mit einer dazwischen liegenden Einsattelung
→ überkritische Kopplung.
Mit kritisch gekoppelten Schwingkreisen ist es bei geeigneter Wahl der Dämpfungskonstanten
(Breite der Resonanzkurve) möglich, Frequenzfilter zu bauen, bei denen ein ganzer
Frequenzbereich um die Resonanzfrequenz frequenzunabhängig gesperrt wird.
Die theoretische Kurve für den entkoppelten Fall erhält man dadurch, daß man k = 0
setzt. Nach einigen Vereinfachungen erhält man dann:
Für β2
ω 2 0
|Zk=0| = L
ω
2 + 4β2 (ω2 0 − ω2 ) 2 + 4ω2β 2
ω 2 0
≪ 1 ergibt sich:
• Das Maximum liegt bei ω0 und hat den Wert L
2β (ω2 0 + 2β)
(12.46)
• sind ωI und ωII die Frequenzen, bei denen die Kurve 1
√ 2 vom Maximum hat, so gilt:
|ω 2 I − ω 2 II| = 4ω0β
d.h. die Dämpfung bestimmt die Halbwertsbreite.
12.6 Zusammenstellung wichtiger Formeln
Für die Auswertung ist es günstig, alle einschlägigen Formeln zusammenzustellen. Diese
Zusammenstellung sollen Sie selbst durchführen, um so Ihr Wissen zu überprüfen.
Ergänzen Sie folgende Gleichungen:
1. Sind die Spulen identisch, so ist die in Spule 1 induzierte Spannung
Uind,1 =
2. Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
lautet
Ï + 2β ˙
I + ω 2 0I = c0 sin ωt
I =

12.6 Zusammenstellung wichtiger Formeln 13
3. Bei einem elektrischen Schwingkreis ist
β =
ω 2 0 =
4. Die Schwingungsmoden zweier gekoppelter Kreise sind definiert als:
I1 =
I2 =
5. Für sie sind Dämpfungskonstante und Eigenfrequenz der ungedämpften Kreise
β1 = ω 2 0,1 =
β2 = ω 2 0,2 =
6. Im freischwingenden Fall liegen an den beiden Kondensatoren unmittelbar nach dem
”Anstoßen” die Spannungen:
U1 =
U2 =
7. Die Frequenzen der beiden Moden sind
ω1 =
ω2 =
8. Im vorliegenden Fall gilt die Näherung
ω1 + ω2
2
ω1 − ω2
2
=
=
9. Der Übertragungswiderstand eines induktiv angekoppelten Kreises ist
Zü =

14 12 GEKOPPELTE SCHWINGKREISE
10. Der Eingangswiderstand des Ersatzschaltbildes (Abb. 4) ist:
Z =
11. Sein Betrag ist
|Z| =
12. Für k = 0 ist er gegeben durch
13. Für β2
ω 2 0
|Zk=0| =
≪ 1 gilt:
Sein Maximum liegt bei und ist
14. Sind ωI und ωII die Frequenzen, bei denen die Kurve 1
√ 2 vom Maximum hat, gilt
|ω 2 I − ω 2 II| =
12.7 Fragen- und Aufgabenkatalog
Für Vorbereitung und Selbstkontrolle ist es nützlich, folgende Fragen zu beantworten und
Aufgaben zu lösen:
1. Wie kann man ein schwingfähiges System ”anstoßen”? Worauf muß man dabei
achten?
2. Welche Bedeutung hat RVAR (Abb. 4)?
3. Wie kann man den Scheinwiderstand Z der Kreise experimentell ermitteln?
4. Oft nimmt man Resonanzkurven mit einem Schreiber auf und ändert die Frequenz
kontinuierlich. Darf man sie beliebig schnell durchfahren? Grenzen?
5. Warum nennt man induktiv gekoppelte Schwingkreise auch Bandfilter?
6. Wie kann man den Übertragungswiderstand physikalisch deuten?
7. Welches Verhalten des Kopplungsfaktors in Abhängigkeit vom Abstand der Spulen
erwarten Sie, wenn die Spulen eine gemeinsame Symmetrieachse haben?
(Näherung: Abstand ≫ Spulenlänge und Spulendurchmesser; kein Kern. Hilfe:
Berkeley 2, Chap. 6.5)
8. Entnehmen Sie dem nächsten Abschnitt die Abstimmöglichkeiten der Apparatur
und überlegen Sie sich eine ”Abstimmprozedur” (entkoppelte Kreise)!

12.8 Versuchsaufbau 15
9. Diskutieren Sie die Formeln für U1 und U2 im freischwingenden gekoppelten Fall
(Näherung) und überlegen Sie, wie man mit ihrer Hilfe die Kopplungskonstante
ermitteln kann!
10. Was ist die physikalische Ursache für die beiden Maxima der überkritischen Resonanzkurve?
Warum haben sie verschiedene Höhen? Welchen Abstand der beiden Frequenzen erwarten
Sie aufgrund dieser Deutung? Tragen Sie den Abstand der Maxima in Abb.
3 gegen die Kopplungskonstante auf und zeichnen Sie in das gleiche Diagramm die
erwarteten Abstände ein!
Erklären Sie die Abweichungen zwischen den beiden Graphen!
11. Gehen Sie die konkrete Aufgabenstellung durch und erledigen Sie mögliche Vorarbeit!
12.8 Versuchsaufbau
Abb. 3: Schaltbild zum Versuch ”Gekoppelte Schwingkreise”
RT1 = 2.2kΩ ± 5% RVAS = 2.4kΩ ± 5%
RT2 = 100Ω ± 5% RVAR = 6.8MΩ ± 5%
RG1 = 47Ω ± 5% RVBF = 6.8MΩ ± 5%
RG2 = 47Ω ± 5% RDB = 2.2Ω ± 5%

16 12 GEKOPPELTE SCHWINGKREISE
Verwendete Geräte:
• Extern durchstimmbarer Hochfrequenzgenerator
• Frequenzzähler
• Zweistrahloszillograph
• AC-Voltmeter und Gleichspannungsausgang
• X-Y-Schreiber
• Rampengenerator
Hinweise:
In Abb. 4 tritt an die bisherige Bezeichnung Kreis 1 und 2 die Bezeichnung Kreis A und
B. Steckverbindungen wurden im Schaltbild nur dort als solche gekennzeichnet, wo sie
nicht während des ganzen Versuches geschlossen sind:
• Für den freischwingenden Fall wird RVAR mit Hilfe einer ganz einfachen Steckverbindung
durch RVAS überbrückt, damit die Anstoßspannung groß genug ist.
• Zum Abstimmen der beiden Kreise wird auch der Kreis B an den Generator angeschlossen.
Dazu dient die BNC-Leitung mit RVBV, der die Möglichkeit geben soll,
beiden Kreisen den gleichen Vorwiderstand vorzuschalten.
• Die Frequenz des Generators wird extern mit Hilfe eines Rampengenerators gesteuert.
Die beiden Schwingkreise sind auf je einem Bock montiert, von denen der eine festgeschraubt
ist, und der andere so in einer Schiene mit einer Spindel bewegt werden kann,
daß die beiden Spulen eine gemeinsame Symmetrieachse haben. Den Abstand der Spulen
voneinander kann man an der Schiene ablesen.
Eine Vorrichtung zur völligen Entkopplung der Kreise ist vorhanden (Abschirmung durch
eine elektrisch leitende Platte).
12.9 Konkrete Aufgabenstellung
Vor Beginn der eigentlichen Messung sollten die Geräte etwa eine Stunde lang warmlaufen.
Deshalb empfiehlt es sich, sofort mit der Schaltung zu beginnen.
1. Abstimmung der Kreise
Die Rechnungen gingen davon aus, daß die Resonanzfrequenzen und die Dämpfungen
der beiden Kreise gleich sind. Im Experiment wird diese Voraussetzung durch
Abstimmung der beiden Kreise erfüllt.
Gemäß Aufgabe 8 sollten Sie sich mit Möglichkeiten der Abstimmung bereits vertraut
gemacht haben. Wenden Sie Ihre Überlegungen an! Für diejenigen, die im
voraus kein eigenes Konzept entworfen haben, ist weiter unten ein Weg zur Abstimmung
beschrieben (Lösung zu Aufgabe 8).
Achten Sie darauf, daß bei der Aufnahme der Resonanzkurven die beiden Kreise
entkoppelt sind! Zur Anpassung der Kreise können Sie variieren:

12.9 Konkrete Aufgabenstellung 17
• Vorwiderstand des Kreises B durch RVBV
• Resonanzfrequenz des Kreises B durch CBV
• Dämpfung des Kreises A durch RDA
Ermitteln Sie die Resonanzkurven der beiden Kreise und variieren Sie die Anpassung
solange, bis die Resonanzkurven deckungsgleich sind. Dazu messen Sie folgendes:
(a) Nehmen Sie die Spannungen als Funktion der Frequenz ν im Intervall ν0 −
25kHz ≤ ν ≤ ν0 + 25kHz auf. Die Frequenz des Generators wird bei externer
Spannung 0 auf die Resonanzfrequenz ν0 eingestellt.
Achten Sie darauf, daß nach der Abstimmung die Kreise durch Verdrehen der
Knöpfe nicht wieder verstimmt werden.
(b) Eichen Sie die Achsen des Diagramms.
(c) Bestimmen Sie aus den Resonanzkurven ω0 und β. (Mit den dazu notwendigen
theoretischen Relationen haben Sie sich bei der Vorbereitung vertraut
gemacht).
2. Freie Schwingungen
• Koppeln Sie die beiden Kreise aneinander (d.h. heben Sie die vorher eingeführte
Entkopplung auf)
• Überbrücken Sie RVAR durch RVAS.
• Schalten Sie den Generator auf ”Rechteck” und wählen Sie eine geeignete Frequenz
gemäß Aufgabe 1.
(a) Beobachten Sie mit Hilfe des Zweistrahloszillographen die Oszillationen beider
Kreise.
(b) Verändern Sie den Abstand der beiden Spulen und beobachten Sie dabei qualitativ
die Änderung der Oszillationen.
(c) Zeichnen Sie für bestimmte Spulenabstände, die Sie sich während der Beobachtung
(2b) überlegt haben, die Einhüllenden der Oszillationen.
(d) Schätzen Sie die Kopplungskonstante gemäß Aufgabe 9 ab.
3. Erzwungene Schwingungen
Schalten Sie die Apperatur wieder in die Stellung, in der Sie die Resonanzkurven
aufgenommen haben.
(a) Nehmen Sie die Resonanzkurven des Kreises A für die Spulenabstände
(sorgfältig einstellen!)
9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28 mm
auf.
(b) Vergleichen Sie diese Kurven mit den theoretischen der Abb. 3
Diskutieren Sie Gründe für die Abweichungen der Meßkurven von den theoretischen

18 12 GEKOPPELTE SCHWINGKREISE
(c) Ermitteln Sie die Resonanzkurven für kritische sowie unter- und überkritische
Kopplung. Die unter 3a aufgezeichneten Meßkurven sind wegen der Schreiberungenauigkeiten
zur Bestimmung der Kopplungskonstanten nicht auswertbar.
Die Kopplungskonstante kann nach Aufgabe 11 (bzw. deren Lösung) aus dem
Frequenzabstand der beiden Spannungsmaxima (Moden) ermittelt werden.
(d) Bestimmen Sie die Frequenzen der beiden Moden bei überkritischer Kopplung
(Spannungsmessung mit dem AC-Voltmeter) für die vorgenannten (3a)
Abstände
(e) Ermitteln Sie die Kopplungskonstanten aus der Messung 3d
(f) Tragen Sie die ermittelte Kopplungskonstante als Funktion des Spulenabstandes
i. auf mm - Papier
ii. auf doppelt-logarithmisches Papier auf
und deuten Sie die Diagramme.
(g) Bestimmen Sie möglichst genau Spulenabstand und Kopplungskonstante der
kritischen Kopplung
(h) Vergleichen Sie das Ergebnis von 3e mit dem von 2d
Hinweise:
Die Übungsaufgaben dieses Versuchs dienen z.T. der Vorbereitung für die Durchführung
der Messungen und der Auswertung. Es wird insbesondere empfohlen, die Aufgaben 7, 8,
9 und 10 zu behandeln und sich mit den Lösungen vertraut zu machen. Zur Kontrolle oder
zur Erleichterung der Bearbeitung ist der Anleitung zu diesem Versuch ein Lösungsblatt
beigegeben.
12.10 Lösungen der Aufgaben
ad 1.)
Indem man eine Spannung anlegt und anschließend wieder abschaltet. Im allgemeinen
sind die Schwingungen des Systems so hochfrequent, daß man sie nur mit dem Oszillographen
beobachten kann. Dabei müssen die Spannungsstöße schnell genug aufeinander
folgen, um ein stehendes Bild zu erhalten.
Deshalb verwendet man einen Rechteckfunktionsgenerator. Da auch von der positiven
Rechteckflanke Schwingungen erzeugt werden, muß die Spannung hinreichend lange anliegen
(Breite des Spannungsimpulses) damit das System beim Einsetzen der negativen
Flanke bereits wieder in Ruhe ist.
ad 2.)
Da RVAR ≫ Resonanzwiderstand der Kreise, sorgt er für konstanten Strom; nur dann
gibt die Kurve den Verlauf von |Z(ω)| an.

12.10 Lösungen der Aufgaben 19
ad 3.)
Sei U ∗ die Amplitude der Generatorspannung, dann ist die Amplitude der Spannung an
CA:
U ′ =
U ∗ |Z|
RVAR + |Z|
Da in jedem Fall |Z| ≪ RVAR, gilt die Näherung:
Also gilt:
U ′ = U ∗ |Z|
RVAR
|Z| =
′ U
RVAR
(12.49)
U ∗
1
1 + |Z|
RVAR
≈ U ∗ |Z|
RVAR
(12.47)
(12.48)
ad 4.)
Bei der Lösung der Differentialgleichung haben wir gesehen, daß sich die konstante
Schwingung eines angeregten Systems erst nach einer gewissen Zeit einstellt. Am Anfang
ist dieser noch eine Lösung der homogenen Differentialgleichung überlagert. Erst wenn
diese klein genug ist, d. h. wenn der Einschwingvorgang abgeklungen ist, sind die
Voraussetzungen für das Konzept der imaginären Wechselstromwiderstände geschaffen
und damit dieses anwendbar.
Fährt man also die Resonanzkurve zu schnell durch, ist das System für die jeweilige Frequenz
noch nicht eingeschwungen und man erhält eine falsche Kurve. Ob man zu schnell
durchgefahren ist, stellt man am besten bei einer langsameren Wiederholung fest. Die
Einstellzeit der Schreiberfeder stellt eine weitere Grenze für die Schreibgeschwindigkeit
dar.
ad 5.)
Wenn Sie die Resonanzkurven ohne Kopplung und mit kritischer Kopplung vergleichen,
stellen Sie fest, daß die kritische Kopplung der Resonanzkurve ”die Spitze abschneidet”.
Man hat über einen breiten Frequenzbereich nahezu konstanten hohen Widerstand, man
kann damit also Frequenzbänder ausfiltern.
ad 6.)
Koppelt man an die Drossel eines Schwingkreises einen anderen Schwingkreis an, so hat
das auf den Eingangswiderstand des Systems den gleichen Einfluß, als wenn man in
Reihe zur Drossel einen komplexen Widerstand Zü (siehe Def.) schalten würde.
ad 7.)
Nach Berkeley 2, Chap. 6.5 ist das B-Feld auf der Symmetrie-Achse einer Spule
proportional zu (cos ϑ1 − cos ϑ2) und parallel zu dieser. Die Def. von ϑ1 und ϑ2 kann der
Zeichnung auf S. 202 entnommen werden.
Seien
l die Länge der Spule
d der Durchmesser der Spule
r der Abstand des Aufpunktes (auf der Symmetrieachse) vom Mittelpunkt der Spule

20 12 GEKOPPELTE SCHWINGKREISE
dann gilt:
(cos ϑ1 − cos ϑ2) =
=
d2 4
1 +
r + l
2
+ r + l
−
2
2
d 2
(2r + l) 2
Ist 2r ≫ l, d, dann gilt folgende Näherung:
d 2
d 2
4
− 1
2
−
r − l
2
+ r − l
=
2
1 +
d 2
2
d 2
(2r − l) 2
(cos ϑ1 − cos ϑ2) ≈ 1 −
2 − 1 +
2 =
2 (2r + l) 2 (2r − l)
= d2
8r2 ⎛
⎝ 1 + l
−2
− 1 −
2r
l
⎞
−2
⎠ ≈
2r
≈ d2
8r 2
= − d2 l
4r 3
B geht also für große r wie r −3 .
1 − l l
− 1 −
r r
Da bei der angenommenen Entfernung der beiden Spulen in der zweiten Spule überall das
gleiche Feld herrscht, ist auch der Fluß durch die zweite Spule proportional zu r −3 .
ad 8.)
Es gibt hier sicher viele gute Möglichkeiten; der folgende Vorschlag ist in der Praxis
erprobt:
Schaltung wie zur Aufnahme der Resonanzkurven, jedoch ist Kreis B über RVBV auch an
den Generator angeschlossen. Kreis A und B werden mit dem Zweistrahloszillographen
beobachtet. Folgende Prozedur:
=
− 1
2
1. Mit Frequenzgenerator Resonanzfrequenz von Kreis A einstellen.
2. Durch Variieren von CBV Kreis B auf gleiche Stimmung bringen.
3. Mit Rampengenerator niedrigere Frequenzen einstellen. Amplituden von Kreis A
und B durch Verändern von RVBV auf gleichen Wert bringen.
4. Die obersten Spitzen der Resonanzkurven der beiden Kreise beobachten. Gleiche
Lage der Maxima kann durch Variieren von CBV erreicht werden, gleiche Höhe durch
Variieren von RDA.
ad 9.)
Man sieht, daß der eine Kreis genau dann ein Amplitudenmaximum hat, wenn der andere
ein Minimum (im Idealfall 0) hat. Die beiden Kreise wechseln also ständig Energie aus.

12.10 Lösungen der Aufgaben 21
Da man darauf angewiesen ist, t nicht zu groß werden zu lassen, ist wohl die beste Möglichkeit,
die Zeit tS des ersten Nulldurchgangs der Schwebung von U1 zu messen. Es gilt dann:
k
2 ω0tS = π
2
⇒ k = π
ω0tS
= 1
2ν0tS
ν0 ist die Schwingungsfrequenz, die ja auch auf dem Oszillographen gemessen werden
kann.
ad 10.)
Oben haben wir gesehen, daß
U ≡ U1 = 1
I+ + I−
C 2
= 1
2C
+ I00 sin ωtdt =
I+ + I00 sin ωtdt + 1
I− + I00 sin ωtdt
2C
Unsere Resonanzkurve ist also eine Überlagerung der halben Resonanzkurven der beiden
Moden.
Physikalisch heißt das: Das System ist dann in Resonanz, wenn eine der Moden in Resonanz
ist, d.h. wenn I1 + I2 oder I1 − I2 in Resonanz sind, d.h. wenn I1 und I2 in Phase
oder Gegenphase sind.
Damit beantworten sich alle folgenden Fragen von selbst:
Die beiden Moden haben verschiedene Dämpfung
β± = R
2(1±k)L
schiedene Resonanzwiderstände. Die Abstände der Maxima werden sein:
⎛
1
ω0− − ω0+ = ω0
⎝
1 − k −
⎞
1
⎠ ≈ kω0; (für k < 0.1)
1 + k
, deshalb haben sie ver-
Da die Resonanzkurven der Moden endliche Breite haben, beeinflussen sie sich gegenseitig,
wenn ”sie sich zu nahe kommen”; insbesondere verschieben sie die Maxima, bzw.
schmelzen zusammen, obwohl die Maxima der Einzelkurven woanders liegen.