Vorlesung Quantenmechanik (I) - Universität Bielefeld

Kapitel 4
Quantenmechanik des
Drehimpulses
c○ Copyright 2003 Friederike Schmid 1 Wir haben in den Kapiteln 2 und 3 bereits einige
wesentliche Aspekte des Drehimpulses kennengelernt.
In diesem Kapitel: Systematische Gesamtdarstellung
- Wiederholung, Erweiterung, Ergänzungen (insbesondere: Spin)
4.1 Wiederholung: Bahndrehimpuls
4.1.1 Definition
Operator: L = r × p
Ortsdarstellung: L =
i r × ∇
Kommutatorrelationen: [Lj, Lk] = iεjklLl; [ L 2 , Lk] = 0 ∀k = x, y, z
4.1.2 Eigenwerte und Eigenfunktionen
Gemeinsame Eigenvektoren z.B. von L 2 und Lz: |lm〉
L 2 |lm〉 = 2 l(l + 1)|lm〉
Lz|lm〉 = m |lm〉
mit l ≥ 0 ganzzahlig; m ganzzahlig, m ∈ [−l : l]
4.1.3 Darstellung in Polarkoordinaten
Lx =
∂
∂
i (− sin ϕ ∂ϑ − cot ϑ cos ϕ ∂ϕ )
Ly =
i
Lz =
i
(− cos ϕ ∂
∂
∂ϕ
∂ϑ
L 2 = − 2
sin2 ∂ ( sin ϑ
ϑ ∂ϑ
− cot ϑ sin ϕ ∂
∂ϕ )
sin ϑ ∂
∂ϑ
+ ∂2
∂ϕ 2 )
1 Prof. Dr. Friederike Schmid, Vorlesung Quantenmechanik (I), Universität Bielefeld, SS
2008. Letzte Änderung der PDF-Datei am 1.08.08.
119

120 KAPITEL 4. QUANTENMECHANIK DES DREHIMPULSES
Konkret:
|lm〉 → Ylm(ϑ, ϕ) Kugelflächenfunktionen
mit Ylm(ϑ, ϕ) = N e imϕ sin m ϑ dm d cos ϑm Pl(cos ϑ)
Legendre-P.
Yl−m(ϑ, ϕ) = (−1) m Ylm(ϑ, ϕ)
Y00
Y10
=
=
√4π 1
3
4π
3
8π
Y1±1 = ∓
cos ϑ
sin ϑ e±iϕ
(m ≥ 0)
Kugelflächenfunktionen bilden ein vollständiges und orthogonales Funktionensystem
(❀ L 2 , Lz selbstadjungierte Operatoren)

4.2. ALLGEMEINER DREHIMPULS 121
4.2 Allgemeiner Drehimpuls
4.2.1 Definition
Drehimpuls ↔ Generator einer Drehung (Kapitel 3.4.2.3)
(eines Systems oder eines Teils eines Systems)
Drehung um Winkel ϕ, Drehachse ϕ/ϕ:
|ψ〉 → | ˜ ψ〉 = R(ϕ)|ψ〉 mit R(ϕ) = exp(− i
ϕ J)
❀ Definiert Drehimpuls J
Konkrete Form hängt vom Zustandsraum {|ψ〉} ab.
Kommutatorrelationen: [Jj, Jk] = iεjklJl (gezeigt in 3.4.2.3)
Folgerungen: Für J 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z gilt:
- [ J 2 , Jk] = 0 für alle k = x, y, z
( z.B. [ J 2 , Jx] = [J 2 y , Jx] + [J 2 z , Jx] = Jy[Jy, Jx] + Jz[Jz, Jx] + [Jy, Jx]Jy + [Jz, Jx]Jz
= −i(JyJz + JzJy) + i(JzJy + JyJz) = 0 √ )
- J 2 positiv ( 〈ψ| J 2 |ψ〉 = Jx|ψ〉 2 + Jy|ψ〉 2 + Jz|ψ〉 2 ≥ 0 )
4.2.2 Eigenwerte und Eigenvektoren
Suche gemeinsame Eigenvektoren von J 2 und Jz
→ ” Standarddarstellung“ |jm〉
Motiviert durch 4.1, schreibe Eigenwertgleichung in der Form:
J 2 |jm〉 = 2 j(j + 1)|jm〉 mit j > 0 (da J 2 positiv)
Jz|jm〉 = m|jm〉
Lösungsweg: ähnlich wie harmonischer Oszillator in 3.3, gestützt auf Kommutatoren:
” Algebraische“ Lösung
Hauptergebnisse
Eigenvektoren von J 2 , Jz: |jm〉
erfüllen
J 2 |jm〉 = 2 j(j + 1)|jm〉
Jz|jm〉 = m|jm〉
wobei: j ist positiv und halbzahlig oder ganzzahlig
m ∈ [−j, −j + 1, · · · , j − 1, j] ( (2j + 1) mögliche Einstellungen)
Es gilt: J+|jm〉 = (j − m)(j + m + 1)|j m + 1〉
J−|jm〉 = (j + m)(j − m + 1)|j m − 1〉
mit J± = Jx ± i Jy
(modulo Phasenfaktor)
Weitere Ergebnisse und algebraische Herleitung im Vergleich mit Kapitel 3.3
siehe große Tabelle auf der folgenden Seite

122 KAPITEL 4. QUANTENMECHANIK DES DREHIMPULSES
Harmon. Oszillator Drehimpuls
J 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z
Ausgangs- H = ω
2 (˜p2 + ˜x 2 punkt:
)
[˜x, ˜p] = i [Jx, Jy] = iJz
(reskalierte Einheiten) (Jz ist eine Zahl!)
Leiter- a = 1
operatoren
√ (˜x + i˜p)
2
a
J± = Jx ± i Jy
† = 1 √ (˜x − i˜p)
2
J 2 = (J+J− + J−J+)/2 + J 2 z
⇒ H = 1
2ω(a† a + aa † Kommu-
)
[a, a † tatoren
] = 1
[N, a] = −a
[J+, J−] = 2Jz
[ J 2 [N, a
, J±] = 0
† ] = a † mit N = a
[Jz, J±] = ±J± (da [Jz, Jx ± iJy]
† a = [Jz, Jx] ± i[Jz, Jy] = iJy ± Jx)
Positive N = a † a J 2
Operatoren N + 1 = aa † J+J− = J 2 x + J 2 y + Jz
= J 2 − J 2 z + Jz
J−J+ = J 2 x + J 2 y − Jz
= J 2 − J 2 z − Jz
Lösung: Sei |n〉 Eigenvektor Sei |jm〉 Eigenvektor zu J 2 , Jz,
zu N, Eigenwert n Eigenwerte 2 j(j + 1) und m
Wirkung Na|n〉 JzJ±|jm〉 = J±(Jz ± )|jm〉
der Leiter- = (n − 1)a|n〉 = (m ± 1)J±|jm〉
operatoren Na † |n〉 J 2 J±|jm〉 = J± J 2 |jm〉
= (n + 1)a † |n〉 = 2 j(j + 1)J±|jm〉
⇒ a|n〉 ∝ |n − 1〉 J±|jm〉 ∝ |j m ± 1〉
a † |n〉 ∝ |n + 1〉
Normier- a|n〉 2 = 〈n|a † a|n〉 J±|jm〉 2 = 〈jm|J∓J±|jm〉
ung = n = 〈jm| J 2 − J 2 z ∓ Jz|jm〉
a † |n〉 2 = 〈n|aa † |n〉 = 2 (j(j + 1) − m(m ± 1))
= n + 1 = 2 (j ∓ m)(j ± m + 1)
⇒ a|n〉 = √ n|n − 1〉 J±|jm〉
a † |n〉 = √ n + 1|n + 1〉 = (j ∓ m)(j ± m + 1)|j m ± 1〉
Positivität N positiv J 2 positiv
⇒ j(j + 1) ≥ 0 bzw. j ≥ 0 (oBdA)
J+J− positiv ⇒ j(j + 1) − m(m − 1)
= (j + m)(j − m + 1) ≥ 0
⇒ −j ≤ m ≤ (j + 1)
J−J+ positiv ⇒ j(j + 1) − m(m + 1)
= (j − m)(j + m + 1) ≥ 0
⇒ −j − 1 ≤ m ≤ j
⇒ n ≥ 0 j ≥ 0 und −j ≤ m ≤ j
Abbruch- nmin = 0 mmax = j ⇒ J+|j, j〉 = 0
bedingung ⇒ a|0〉 = 0 mmin = −j ⇒ J−|j, −j〉 = 0
Übrige Zustandsvektoren: Übrige Zustandsvektoren: |j, j − 1〉,|j, j − 2〉,
|1〉, |2〉, |3〉, . . . . . . bzw. |j, −j + 1〉, |j, −j + 2〉 . . .
Damit es zusammenpasst:
j − k = −j für ein k
⇒ 2j = k ❀ j ganz- oder halbzahlig

4.3. DER SPIN 123
4.3 Der Spin
Wir haben gesehen: Bahndrehimpulsquantenzahlen sind ganzzahlig, aber prinzipiell
wären ganzzahlige oder halbzahlige Quantenzahlen möglich.
Frage: Treten halbzahlige Quantenzahlen in der Natur auf?
z.B. einfachster Fall j = 1
1
2 ⇒ m = ± 2 (zwei Einstellungen) → gibt es das?
Antwort: Ja - Spin !
4.3.1 Experimenteller Hinweis: Der Stern-Gerlach-Versuch
Idee: Direkte Sichtbarmachung der Quantelung von Jz (Quantenzahl m).
Drehimpuls erzeugt magnetisches Moment (z.B. Bahndrehimpuls µ =
e
2mc L)
❀ Beitrag zum Hamiltonoperator: Hmagn = −µ B
Für ungeladene freie Teilchen im Magnetfeld gilt:
d 1
1
dt 〈p〉 = i 〈[p, H]〉 = i 〈[p, Hmagn]〉 = ∇(µ B)
⇒ Um die Quantelung von µz (↔ Jz) sichtbar zu machen, muss man Teilchen
durch ein inhomogenes Magnetfeld in z-Richtung schicken.
Aufbau
Ursprüngliche Erwartung: Aufspaltung in 1, 3, 5 Strahlen je nach Bahndreimpuls.
Beobachtung (Stern, Gerlach 1921): Aufspaltung in zwei Strahlen !
Atome: Silber → sollten eigentlich gar keinen Bahndrehimpuls haben.
Wiederholung mit Wasserstoff im Grundzustand (1927) → wieder zwei
Strahlen.
Folgerung: Es gibt einen intrinsischen Drehimpuls mit zwei möglichen Einstellungen:
Den Spin! → zusätzliche Eigenschaft der Elektronen.
4.3.2 Beschreibung von Teilchen mit Spin
4.3.2.1 Ein Teilchen mit Spin 1
2
Spin: Zusätzlicher Freiheitsgrad
❀ Erweiterung des Zustandsraums
H = H (0) H (Spin)
(Produktraum)

124 KAPITEL 4. QUANTENMECHANIK DES DREHIMPULSES
mit H (0) = Zustandsraum eines spinlosen Teilchens
und H (Spin) = Spin-Zustandsraum
Spinobservable: Operator S
Eigenwerte S 2 |ψ〉 = 2 s(s + 1)|ψ〉 =
2 3
4
|ψ〉 für alle |ψ〉 ∈ H
Sz|ψ±〉 = ± 1
2 |ψ±〉 für Eigenvektoren |ψ±〉
S 2 und Sz kommutieren mit allen bisher bekannten Observablen
→ Sz vervollständigt VSKO im erweiterten Zustandsraum
Konstruktion des Raums H (Spin) der Spinzustandsvektoren
H (Spin) : Raum, in dem der Operator S wirkt
Basisvektoren: z.B. Eigenvektoren von Sz: |+〉, |−〉
mit Sz|+〉 =
2 |+〉; Sz|−〉 = −
2 |−〉
❀ Spannen H (Spin) auf → H (Spin) hat zwei Dimensionen
Allgemeiner Vektor: |χ〉 = a|+〉 + b|−〉
Gesamter Zustandsraum: |ψ〉 = |ψ (0)
+ 〉|+〉 + |ψ(0) − |−〉
4.3.2.2 Konkret: Sz-Darstellung von Spinzuständen und Spinoperatoren
- Paulische Spinor-Schreibweise
Zustandsvektoren:
1
0
a
Kets: |+〉= ; |−〉= ; allgemein |χ〉 = a|+〉 + b|−〉=
0
1
b
Bras entsprechend: 〈χ|= a∗ b∗ Spinoperatoren:
S 2 = 3
4 2ˆ1 ( da S 2 |χ〉 = 3
4 2 |χ〉 für alle |χ〉 )
S =
2 σ mit σ = (σx, σy, σz): Paulimatrizen
0 1
σx = ; σy =
1 0
(Rechnung:
„ «
〈+|Sα|+〉 〈+|Sα|−〉
Sα b=
für α = x, y, z
〈−|Sα|+〉 〈−|Sα|−〉
Sz: Sz|+〉 =
„ «
1 0
|+〉; Sz|−〉 = − |−〉; ⇒ Sz b= 2 2 2 0 −1
Sx, Sy: aus S± = Sx ± iSy mit S+|+〉 = 0, S−|−〉 = 0 und
0 −i
i 0
; σz =
S+|−〉 = p (j − m)(j + m + 1)|+〉 = |+〉 (denn j = 1
1
, m = − 2 2 )
S−|+〉 = p (j + m)(j − m + 1)|−〉 = |−〉 (denn j = 1 1
, m = 2 2 )
⇒ Sx|+〉 = 1
2 (S+ + S−)|+〉 =
|−〉; Sx|−〉 = . . . = 2 2 |+〉
Sy|+〉 = 1
2i (S+ − S−)|+〉 = i
|−〉; Sy|−〉 = . . . = −i 2 2 |+〉
⇒ Sx b=
„ «
0 1
und Sy b= 2 1 0
„ «
0 −i √
)
2 i 0
1 0
0 −1

4.3. DER SPIN 125
Eigenschaften der Pauli-Matrizen:
• σ ·a =
a3
σiai =
a1 + ia2
a1 − ia2
für beliebige Vektoren a ∈ C
−a3
3
i
• σ †
i = σi; det(σi) = −1; Sp(σi) = 0
• σ 2 i = 1; [σi, σj] = 2iεijkσk; [σi, σj]+ = σiσj + σjσi = 2δij
⇒ σiσj = δij · ˆ1 + i · εijkσk
(σa)(σ b) = a bˆ1 + i σ (a × b)
4.3.2.3 Identische Spin 1
2 -Teilchen
Spin 1
2-Teilchen sind nach dem Spin-Statistik-Theorem Fermionen
❀ Gesamtzustandsvektor muss antisymmetrisch sein
Beachte aber: Gesamtzustandsvektor beinhaltet Bahn- und Spinanteil
Beispiel: Betrachte zwei identische Teilchen a, b
Setze Gesamtzustandsvektoren zusammen aus Einteilchen-Bahnvektoren
|ψ1〉, |ψ2〉 und Einteilchen-Spinvektoren |+〉, |−〉.
Möglichkeiten:
|ψ〉 ∝ |ψ1〉a|ψ2〉b|+〉a|−〉b − |ψ2〉a|ψ1〉b|−〉a|+〉b
aber auch: antisymmetrischer symmetrischer
Bahnanteil Spinanteil
|ψ〉 ∝ (|ψ1〉a|ψ2〉b − |ψ2〉a|ψ1〉b) |+〉a|+〉b
|ψ〉 ∝ (|ψ1〉a|ψ2〉b − |ψ2〉a|ψ1〉b) (|+〉a|−〉b + |−〉a|+〉b)
oder: symmetrischer antisymmetrischer
Bahnanteil Spinanteil
|ψ〉 ∝ (|ψ1〉a|ψ2〉b + |ψ2〉a|ψ1〉b) (|+〉a|−〉b − |−〉a|+〉b)
|ψ〉 ∝ |ψ1〉a|ψ1〉b (|+〉a|−〉b − |−〉a|+〉b)
4.3.3 Nichtrelativistischer Spin im elektromagnetischen Feld -
Pauligleichung
Stern-Gerlach-Versuch:
Spin wird dann messbar, wenn Magnetfeld eingeschaltet wird.
Generell gilt für
Geladene Teilchen ohne Spin im elektromagnetischen Feld
Hamiltonoperator: H0 = 1 q
2m (p − c A) 2 − qφ (q=Ladung)
Teilchen mit Spin
→ magnetisches Moment: µ =: −g |e|
2mc S =: − g
2 µ0σ
mit µ0 = |e|
2mc : Magneton
g: gyromagnetischer Faktor

126 KAPITEL 4. QUANTENMECHANIK DES DREHIMPULSES
Speziell Elektronen:
→ zusätzlicher Beitrag zum Hamiltonoperator: −µ B
Relativistische Quantenmechanik (Diracgleichung) → g = 2
Quantenelektrodynamik: Korrekturen wegen Wechselwirkung mit elektromagnetischem
Feld → g ≈ 2 (g = 2.002319304718)
Schrödingergleichung nimmt die Form an
i ∂ 1 e
|ψ〉 = [ (p −
∂t 2m c A) 2 + eφ + g
2 µB σ B] |ψ〉 Pauligleichung
4.3.4 Wirkung von Drehungen auf Spinzustände
4.3.4.1 Rotationsoperator im Spin-Zustandsraum
R(ϕ) = exp(− i
ϕ S) = exp(− i
2
Es gilt: (ϕσ) 2 = ϕ 2ˆ1 + iσ(ϕ × ϕ) = ϕ 2ˆ1
❀ (ϕσ) k = ϕ k
ϕσ
ϕσ) = cos(
2 ) −i sin(
gerade
ϕσ
2 )
ungerade
( ˆ1 k gerade
ϕ/ϕ · σ k ungerade
⇒ R(ϕ) = cos ϕ
2 · ˆ1 − i(σ · ϕ/ϕ) sin ϕ
2
4.3.4.2 Wirkung auf Spin-Erwartungswerte
Potenzen von ϕσ
Generell: Wirkung einer Drehung auf statistischen Operator ϱ
ϱ → ˜ϱ = R(ϕ) ϱ R(ϕ) †
( da: ϱ = P
|n〉ϱnm〈m| →
nm
P
|ñ〉ϱnm〈 ˜m| mit |ñ〉 = R(ϕ)|n〉 )
nm
(vgl. Aufgabe 30 (3.6.5))
i
− Hier: Betrachte oBdA speziell Drehung um z-Achse: R(ϕ) = e 2 σzϕ
Berechne Wirkung auf 〈Sα〉: Sp(ϱSα) → Sp(˜ϱSα)
⎛ ⎞ ⎛
⎞
〈Sx〉 〈Sx〉 cos ϕ − 〈Sy〉 sin ϕ
⇒ Man erhält: ⎝〈Sy〉
⎠ → ⎝〈Sy〉
cos ϕ + 〈Sx〉 sin ϕ⎠
〈Sz〉
〈Sz〉
Spinerwartungswerte drehen sich wie gewöhnliche Vektoren
(Rechnung dazu: Sp(˜ϱSα) = Sp(R(ϕ) ϱ R(ϕ) † Sα) = Sp(ϱ R(ϕ) † Sα R(ϕ))
R(ϕ) † Sα R(ϕ) = e i 2 σzϕ Ske − i 2 σzϕ = (cos ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
+ iσz sin )Sk(cos − iσz sin 2 2 2 2 )
= ϕ
(cos2 2 2 σk + sin2 ϕ
2 σzσkσz + i sin ϕ ϕ
cos [σz, σk])
2 2
[σz, σk] = 2iεzklσl; σzσk = δzk · ˆ1 + i · εzklσl
⇒ σzσkσz = σzδzk +iεzklσlσz = σzδzk − εzklεlzm σm = 2σzδzk −σk
| {z }
δkm(1−δzk) = ϕ
(cos2 2 2 σk + sin2 ϕ
2 (2σzδzk − σk) − 2 sin ϕ ϕ
cos 2 2 εzklσl)
2 sin ϕ
2
cos ϕ
2
= sin ϕ; cos2 ϕ
2
− sin2 ϕ
2
= cos ϕ; sin2 ϕ
2
= (cos ϕ Sk + δzkSz(1 − cos ϕ) − sin ϕ εzklSl) √ )
1
= (1 − cos ϕ)
2

4.3. DER SPIN 127
4.3.4.3 Wirkung auf Spinzustandsvektoren
R(ϕ) |χ〉 = cos ϕ
2
Speziell: Drehung um ϕ = 2π
|χ〉 − i(σ · ϕ/ϕ) sin ϕ
2 |χ〉
|χ〉 2π
−→ R |χ〉 = −|χ〉 : Vorzeichenwechsel !
” Anschaulich“ im Spinor-Raum:
Vorzeichenwechsel hat keine Auswirkung auf Erwartungswerte, kann aber einen
Effekt machen, wenn es gelingt, Interferenzen zwischen gedrehten“ und
”
” ungedrehten“ Zuständen herbeizuführen.
Experimentelle Realisierung (Rauch et al. 1975, Werner et al. 1975)
Neutronen im Magnetfeld B||z
Neutronen neutral: H = p2
2m − µ B := p2
2m + ωSz
mit ω = g eB
2 mc
( p2
2m koppelt nur an Bahn, µ B koppelt an Spin)
: Larmor-Frequenz
❀ Zeitentwicklung der Zustandsvektoren beschrieben durch:
i
− U(t) = e H t =
Spinanteil
i
− e ωtSz
❀ entspricht genau einer Drehung um z-Achse, Winkel ϕ = ωt
Wirkung auf Erwartungswerte:
0
@ 〈Sx〉
1 0
1
〈Sx〉 cos ωt − 〈Sy〉 sin ωt
〈Sy〉 A = @ 〈Sy〉 cos ωt + 〈Sx〉 sin ωtA
”
〈Sz〉
〈Sz〉
Larmorpräzession“
mit Frequenz ω
Wirkung auf Zustandsvektoren:
|χ(t + 2π
ω )〉 = −|χ(t)〉:
Periode für Zustand ist doppelt so lang wie für Präzession
Experimenteller Aufbau:
❀ Konstruktive und destruktive Interferenz,
abhängig vom Magnetfeld.
konstruktiv: ω ∆t = 2π · 2n
destruktiv: ω ∆t = 2π · (2n + 1)

128 KAPITEL 4. QUANTENMECHANIK DES DREHIMPULSES
4.3.5 Drehgruppe und spezielle unitäre Gruppe
4.3.5.1 Drehgruppe: Gruppe der Drehungen D(ϕ) im R 3
Eigenschaften:
• normerhaltend: Da 2 = a 2 für alle a ∈ R 3 ⇒ D T D = ˆ1
• Determinante det(D) = 1
( det(D T D) = det(D T ) det(D) = det(D) 2 = ˆ1 → det(D) = ±1
Vorzeichen ” +“ folgt daraus, dass Drehungen kontinuierlich ineinander überführt werden
können. )
⇒ Spezielle orthogonale Gruppe SO(3)
- 3 freie Parameter (ϕ)
- Infinitesimale Erzeugende:
D = e W ϕ
0
0
mit Wx = @1 −1
0
1 0
0
0
0A,
Wy = @0 0
0
1 0
0
0
−1A,
Wz = @ 0
0
0
1
1
0A
0 0 0
0 1 0
−1 0 0
4.3.5.2 Darstellung in Spin 1
2-Systemen: Rotationsoperatoren im Spin-
Zustandsraum
i
−
R = e 2 σ ϕ = cos ϕ
2 ˆ1−(σ ϕ/ϕ)
sin ϕ
ϕ
cos 2 − inz sin ϕ
2 (−inx − ny) sin ϕ
2
=:
n
2 =
(−inx + ny) sin ϕ
2
cos ϕ
2 + inz sin ϕ
2
a b
−b∗ a∗
=: U(a, b) mit |a| 2 + |b| 2 = 1 (= cos2 ϕ ϕ
+ sin2 2 2 (n2x + n2 y + n2 z))
Eigenschaften
• komplexe 2 × 2 Matrizen, Untergruppe der 2 × 2 Matrizen
• Unitär: U ∗T = U −1
• Unimodular: det(U) = 1 ( det(U) = |a| 2 + |b| 2 = 1 )
⇒ Spezielle unitäre Gruppe SU(2)
- Wieder 3 freie Parameter
- Zuordnung SO(3) → SU(2): lokal isomorph, aber nicht global:
Zu jeder Drehung D ∈ SO(3) gehören zwei Elemente der SU(2)
(U(a, b) und U(−a, −b))
Hintergrund: Drehung um 2π dreht Vorzeichen um
- Parameter a, b heißen auch Cayley-Klein-Parameter

4.4. ADDITION VON DREHIMPULSEN 129
4.4 Addition von Drehimpulsen
4.4.1 Problemstellung
Gegeben sei ein System mit zwei Drehimpulsen J (1) , J (2) ,
so dass [J (1)
i , J (2)
j ] = 0 für alle i, j.
z.B. Elektron mit Bahndrehimpuls L und Spin S
Zweiteilchensystem mit je einem Spin Si
Bei Isotropie des Raums ist der Gesamtdrehimpuls die Erhaltungsgröße,
Einzeldrehimpulse nicht mehr notwendig erhalten.
Beispiel: Wasserstoffatom mit Spin-Bahn-Kopplung.
Hamiltonoperator hat Zusatzterm ∝ L · S.
⇒ [H, L] = 0, [H, S] = 0, aber [H, L + S] = 0.
Gesamtdrehimpuls: J = J (1) + J (2)
· Drehimpuls, denn: [Ji, Jj] = [J (1)
i , J (1)
j ] + [J (2)
i , J (2)
j ] = iεijkJk
· Kommutatoren:
[Ji, ( J (α) ) 2 ] = 0; [ J 2 , ( J (α) ) 2 ] = 0, aber [ J 2 , J (α)
i ] = 0
(Check: Übungsaufgabe).
Mögliche Darstellungen (Basissysteme):
(i) Naheliegend: Eigenvektoren von (( J (1) ) 2 , ( J (2) ) 2 , J (1)
1
0
(z.B. beim Elektron: |lm〉 und |lm〉 )
0
1
→ Notation |j1j2; m1m2〉
(ii) Andererseits Eigensystem zu J (α)
z
z , J (2)
unbrauchbar für Lösung der Schrödingergleichung,
wenn [H, J (alpha)
z ] = 0.
❀ Günstiger wäre häufig Eigensystem zu J 2 , Jz statt J (α)
z
❀ Alternative Basis: Eigenvektoren von (( J (1) ) 2 , ( J (2) ) 2 , J 2 , Jz)
→ Notation |j1j2; j m〉
Basiswechsel von (i) nach (ii)
❀ ” Addition von Drehimpulsen“
4.4.2 Additionstheorem
Erste Frage: Welches sind die möglichen Eigenwerte von J 2 , Jz bei vorgegebenen
Eigenwerten zu ( J (α) ) 2 (vorgegebene Quantenzahlen j1, j2) ?
Vorbemerkung: Zustandsvektoren |j1j2; m1m2〉 sind Eigenvektoren zu Jz.
(Jz|j1j2; m1m2〉 = (J (1)
z
+ J (2)
z )| · · · 〉 = (m1 + m2)| · · · 〉 =: m| · · · 〉)
Also können sie zur Bestimmung möglicher m-Werte genutzt werden.
z )

130 KAPITEL 4. QUANTENMECHANIK DES DREHIMPULSES
OBdA sei j1 > j2. Mit mα ∈ [−jα, jα] folgt für die Werte von m:
Folgerung:
−j1
j1
−j2 −j1 − j2 · · · j1 − j2
.
.
j1 + j2 − 2
j1 + j2 − 2 j1 + j2 − 1
j2 j2 − j1 · · · j1 + j2 − 2 j1 + j2 − 1 j1 + j2
(i) mmax = j1 + j2 ⇒ jmax = mmax = j1 + j2.
(ii) Übrige Werte von m unterscheiden sich von mmax ganzzahlig.
⇒ j ∈ [j min , j min + 1, · · · , jmax − 1, jmax]
mit jmax = j1 + j1 ❀ Was ist die Untergrenze j min ?
(iii) Gesamtzahl der möglichen Kombinationen von m: (2j1 +1)(2j2 +1),
wobei viele entartet sind.
Entartungsgrad:
Diese Entartungsstruktur wird reproduziert für j min = j1 − j2.
⇒ Additionstheorem: |j1 − j2| ≤ j ≤ j1 + j2
Anschaulich: Dreiecksungleichung.
NB: Damit ist auch gezeigt, dass der Satz Operatoren ({ J (1) ) 2 , ( J (2) ) 2 , J 2 , Jz}
tatsächlich ein VSKO ist (gleiche Anzahl Basisvektoren wie im ursprünglichen
System).
4.4.3 Lösung des Problems: Clebsch-Gordan-Koeffizienten
Formal: |j1j2; j m〉 =
|j1j2; m1m2〉 〈j1j2; m1m2|j1j2; j m〉
m1,m2
Clebsch-Gordan-Koeffizienten
NB: Notation in jedem Buch anders; hier: Sakurai
Eigenschaften der Clebsch-Gordan-Koeffizienten
(i) 〈j1j2; m1m2|j1j2; j m〉 = 0 für m = m1 + m2
( denn: 〈j1j2; m1m2| Jz − J (1)
z − J (2)
z |j1j2; j m〉 = (m − m1 − m2)〈· · · | · · · 〉 = 0 )
| {z }
0
(ii) 〈j1j2; m1m2|j1j2; j m〉 = 0, falls nicht gilt: |j1 − j2| ≤ j ≤ j1 + j2
(wegen Additionstheorem)
(iii) Clebsch-Gordan-Koeffizienten können reell gewählt werden.
(Wegen (v,vi): Konstruktion aus Rekursionsrelationen mit reellen Koeffizienten)

4.4. ADDITION VON DREHIMPULSEN 131
(iv) Definieren unitäre Matrix (da Basistransformation)
da sie noch dazu reell sind: orthogonale Matrix (CT ⇒
C = ˆ1)
〈j1j2; m1m2|j1j2; jm〉〈j1j2; m
jm
′ 1m′ 2 |j1j2; jm〉 = δm1m ′ 1 δm2m ′ 2
〈j1j2; m1m2|j1j2; jm〉〈j1j2; m1m2|j1j2; j ′ m ′ 〉 = δjj ′δmm ′
m1m2
Speziell j = j ′ , m = m ′
→
|〈j1j2; m1m2|j1j2; jm〉| 2 = 1 : Normierung
m1m2
Beziehungen zwischen Clebsch-Gordan-Koeffizienten
(v) Rekursionsrelationen
Aus 〈j1j2; m1m2|J± − J (1)
± − J (2)
± |j1j2; j m〉 = 0
und J±|j m〉 = (j ∓ m)(j ± m + 1)|j m ± 1〉 folgt:
(j ∓ m)(j ± m + 1)〈j1j2; m1m2|j1j2; j m ± 1〉
= (j1 ± m1)(j1 ∓ m1 + 1)〈j1j2; m1 ∓ 1 m2|j1j2; j m〉
+ (j2 ± m2)(j2 ∓ m2 + 1)〈j1j2; m1 m2 ∓ 1|j1j2; j m〉
❀ Daraus können Koeffizienten rekursiv bestimmt werden.
(vii) Beziehungen zwischen Koeffizienten für gleiches m
Es gilt: J 2 = ( J (1) + J (2) ) 2 = ( J (1) ) 2 +( J (2) ) 2 +J (1)
+ J (2)
2J (1)
z J (2)
z
Sei Γ = J 2 − ( J (1) ) 2 − ( J (2) ) 2 − J (1)
+ J (2)
−
Aus 〈j1j2; m1m2|Γ|j1j2; j m〉 = 0 folgt:
−
(J (α)
± = J (α)
(1) (2)
+J − J + +
x ± J (α)
y )
(1) (2)
− J − J + − 2J (1)
z J (2)
z
0 = {j(j + 1) − j1(j1 + 1) − 2m1(m − m1)} ·
〈j1j2; m1 (m − m1)|j1j2; j m〉
− (j1 + m1)(j1 − m1 + 1)(j2 − m + m1)(j2 + m − m1 + 1) ·
〈j1j2; (m1 − 1) (m − m1 + 1)|j1j2; j m〉
− (j1 + m1 + 1)(j1 − m1)(j2 − m + m1 + 1)(j2 + m − m1) ·
〈j1j2; (m1 + 1) (m − m1 − 1)|j1j2; j m〉
❀ Homogenes Gleichungssystem für 〈j1j2; m1 (m − m1)|j1j2; j m〉
bestimmt Koeffizienten bis auf konstanten Faktor
Dieser ergibt sich dann aus der Normierungsbedingung (v)

132 KAPITEL 4. QUANTENMECHANIK DES DREHIMPULSES
4.4.4 Beispiele
4.4.4.1 Elektronen mit Bahndrehimpuls (und Spin)
J (1) = S, J (2) = L
Gesamtdrehimpuls: J = L + S
Für die Quantenzahl j muss gelten: j = l ± 1
2
Rechnung (z.B. über (vii)) (Übungsaufgabe).
→ 〈 1
2
〈 1
2
l ; ±1
2 m∓1 1
2 | 2
l ; ±1
2 m∓1 1
2 | 2
l ; l+1
2
l ; l−1
2
m〉 =
m〉 = ∓
z.B. sind Eigenfunktionen zu j = l + 1
2
| 1
2
l ; l+1
2
m〉 =
l+m+ 1
2
4.4.4.2 Zwei Spin 1
2 -Teilchen
J (1) = S1, J (2) = S2
Gesamtspin: J = S1 + S2
2l+1 |ψ 1
l,m− 2
1
l±m+ 2
2l+1
l∓m+ 1
2
2l+1
gegeben durch:
〉|+〉 +
(∗)
Gesamtspinquantenzahl: j = 0 oder j = 1
Lösung kann von (a) übernommen werden.
j =1: 〈 1
j =0: 〈 1
2
1 1 1
2 2 ; 2 2 | 1 1
2 2
〈 1 1 1 1 1 1
2 2 ; ± 2 ∓ 2 | 2 2
〈 1 1 1 1 1 1
2 2 ; − 2 − 2 | 2 2
1 1 1 1 1
2 ; ± 2 ∓ 2 | 2 2
1
l−m+ 2
2l+1 |ψ 1
l,m+ 2
〉|−〉
(∗)
(wegen (iii))
(∗) = Bahndrehimpuls-Eigenfunktion
; 1 1〉 = 1 → |1 1〉 = |+〉|+〉
1 ; 1 0〉 = √ → |1 0〉 =
2 1 √ (|+〉|−〉 + |−〉|+〉)
2
; 1−1〉 = 1 → |1 − 1〉 = |−〉|−〉
∓1
; 0 0〉 = √ → |0 0〉 =
2 1 √ (−|+〉|−〉 + |−〉|+〉)
2
❀ Zustandsvektoren zum Gesamtspin j = 1 ( ” parallele Spins“)
bilden Triplett: |1 1〉, |1 0〉, |1 − 1〉
Triplettzustandsvektoren sind symmetrisch
❀ Zustandsvektor zum Gesamtspin j = 0 ( ” antiparallele Spins“)
bildet Singulett |0 0〉
Singulettzustandsvektor ist antisymmetrisch!

4.5. ANWENDUNGSBEISPIELE 133
4.5 Anwendungsbeispiele
4.5.1 Helium-Atom
System: Kern (zweifach geladen) und zwei Elektronen 1,2.
(Annahme: Kern sehr viel schwerer als Elektronen
❀ effektiv zwei Teilchen im Zentralpotential).
Hamiltonoperator H = H1 + H2 + H12
mit Hi = p 2 i /2m − 2e2 /r, H12 = e 2 /|r1 − r2|.
Suche Grundzustand.
Wegen [H, S] = 0 (Gesamtspin) gilt: Eigenzustand zu S 2 .
❀ Strategie: Suche Zustand niedrigster Energie zu vorgegebenem Gesamtspin,
optimiere dann den Gesamtspin.
(i) Vorab: Einteilchen-Bahnzustandsvektoren für System mit Hamiltonoperator
Hi:
→ im Prinzip wie Wasserstoffatom, reskalierte Ladung (e 2 → 2e 2 ).
→ gebundene Zustände mit Energie-Eigenwerten En = − (2e2 ) 2 m
2 2 n 2 (vgl. 2.3)
und zugehörigen Eigenvektoren |Φn〉
(ii) Zweiteilchensystem ohne Elektronen-Wechselwirkung: H12 = 0.
Gesamtspin S = 0 (Singulett
→ Spinanteil des Gesamtzustands antisymmetrisch.
→ Bahnanteil symmetrisch:
Niedrigste Energie: |ψ0〉 = |Φ1〉|Φ1〉 mit E = 2E1.
Gesamtspin S = 1 (Triplett)
→ Spinanteil des Gesamtzustands symmetrisch.
→ Bahnanteil antisymmetrisch.
❀ Kombination |ψ0〉 = |Φ1〉|Φ1〉 nicht erlaubt.
❀ Zustand niedrigster Energie: 1
√ 2 (|Φ1〉|Φ2〉 − |Φ2〉|Φ1〉)
mit Energie E = E1 + E2.
⇒ Singulettzustand günstiger!
(iii) Beitrag der Elektronen-Wechselwirkung
Abschätzung: Eigenzustände bleiben ungefähr gleich.
Energie 〈H〉 = 〈ψ0|H|ψ0〉 = 2E0 + 〈ψ0|H12|ψ0〉
Konkrete Berechnung:
Einteilchen-Wellenfunktion Φ1(r) = N e−2r/a0 (a0 = 2 /me).
Zwei Teilchen: ψ0(r1, r2) = Φ1(r1)Φ2(r2) = N 2e−2(r1+r2)/a0 ⇒ ∆E ≈ 〈ψ0|H12|ψ0〉 = dr1dr2H12ψ2 5
0 = · · · = 4me4 /2 .
Vergleiche mit E = 2E1 ⇒ ∆E/E = 5/16 = 0.31
(experimentell ∆E/E = 0.274).

134 KAPITEL 4. QUANTENMECHANIK DES DREHIMPULSES
4.5.2 Wasserstoffmolekül und Austauschwechselwirkung in Heitler-
London-Näherung
System: Zwei Kerne A,B und 2 Elektronen 1,2
Hamiltonoperator H = HA(r1, p1) + HB(r2, p2) + HAB(r1, r2)
mit HA,B(r, p) = p2 e2
2m − |r−rA,B|
HAB(r1, r2) = − e2
|r1− e2 −
RB| |r2− RA| + e2 | RA− e2 +
RB| |r1−r2|
(Zuordnung Kern A ↔ Elektron 1; Kern B ↔ Elektron 2 willkürlich, beliebig)
Suche wieder Zustände niedrigster Energie zu H und Gesamtspin S.
Heitler-London-Ansatz
(i) Betrachte zuerst den Fall | RA − RB| → ∞
Zustandsvektoren zu Zuständen niedrigster Energie:
• Setzen sich aus Einteilchen-Grundzustandsvektoren |ϕA〉, |ϕB〉
zu HA, HB und aus Einteilchen-Spinzustandsvektoren zusammen
• Nur ein Elektron pro Kern (wg Elektronenabstoßung)
• Gesamtzustandsvektor muss bzgl. Vertauschung antisymmetrisch
sein.
Gesamtspin S = 0
→ Spinanteil: Singulett |χsing〉, antisymmetrisch
❀ Bahnanteil muss symmetrisch sein
→ |ψs〉 = |χsing〉 · 1 √ (|ϕA〉1|ϕB〉2 + |ϕB〉1|ϕA〉2)
2
Gesamtspin S = 1
→ Spinanteil: Im Triplett |χtrip〉, symmetrisch
❀ Bahnanteil muss antisymmetrisch sein
→ |ψt〉 = |χtrip〉 · 1 √ (|ϕA〉1|ϕB〉2 − |ϕB〉1|ϕA〉2)
2
Zustandsvektoren |ψs〉, |ψt〉 sind entartet bzgl. H → haben alle
Energie 2E1 mit E1 = Grundzustandsenergie des Wasserstoffatoms
(ii) Bringe nun Kerne näher aneinander: | RA − RB| < ∞
Näherung: |ψs〉 und |ψt〉 beschreiben die Zustände niedrigster Energie
nach wie vor in guter Näherung.
Abschätzung der Energie: Et,s = 〈ψt,s|H|ψt,s〉
〈ψt,s|ψt,s〉
(Normierung nötig, da |ϕA〉, |ϕB〉 nicht mehr orthogonal)
Konkret in Ortsdarstellung:
Einteilchenwellenfunktion: ϕA,B(r) = N exp(− 2
a0 |r − RA,B|)
Zweiteilchenwellenfunktion (Bahnanteil):

4.5. ANWENDUNGSBEISPIELE 135
Fazit
ϕt,s(r1, r2) = 1
√ 2 (ϕA(r1)ϕB(r2) ± ϕA(r2)ϕB(r1))
(. . . Zwischenrechnung . . .)
〈ψt,s|ψt,s〉 = 1 ± S 2 mit S = dr ϕA(r) ϕB(r)
〈ψt,s|H|ψt,s〉 = 〈ψt,s|HA + HB|ψt,s〉
2E0(1±S 2 )
+ 〈ψt,s|HAB|ψt,s〉
Q±A
mit Q: ” Coulombenergie“ und A: ” Austauschenergie“
Q = dr1 dr2 ϕA(r1) 2 ϕB(r2) 2 HAB(r1, r2)
A = dr1 dr2 ϕA(r1) ϕB(r1) ϕA(r2) ϕB(r2) HAB(r1, r2)
⇒ Et,s = 2E1 + Q±A
1±S 2
Nach Auswertung der Integrale erhält man netto:
Anschaulich:
(1) Austauschwechselwirkung Et − Es > 0
❀ Singulettzustand ist immer
günstiger als Triplettzustand!
Singulett: Elektronendichte hat
Maximum zwischen Kernen
❀ Elektronen profitieren von
beiden Kernen.
Triplett: Elektronendichte hat
Minimum zwischen Kernen
❀ Elektronen sehen je nur einen
Kern.
begünstigt Singulettzustand (Spins ↑↓)
⇒ Effektive Wechselwirkung zwischen Spins, erzeugt von
• Pauli-Prinzip (Symmetrisierungspostulat)
• Coulomb-Wechselwirkung
hat nichts mit magnetischer Wechselwirkung (über magnetische
Momente) zu tun.
Nach diesem Prinzip funktionieren alle ferromagnetischen Wechselwirkungen
in Materie (Mechanismen im Detail unterschiedlich, im Prinzip
gleich).
(2) Für Singulettzustand wird Es negativ und nimmt bei einem Abstand
R0 ein Minimum an.
⇒ Elektronen binden Kerne aneinander: Molekülbindung

136 KAPITEL 4. QUANTENMECHANIK DES DREHIMPULSES
4.6 Übungen
4.6.1 Blatt 11
Quicky:
101) Wann gelten Teilchen als ununterscheidbar?
102) Welche Forderung müssen die Observablen in einem System ununterscheidbarer
Teilchen erfüllen?
103) Welche Eigenschaft hat nach dem Symmetrisierungspostulat der Zustandsraum
eines Systems identischer Teilchen?
104) Worin besteht der Unterschied zwischen Bosonen und Fermionen?
105) Was versteht man unter einer Slater-Determinante und wozu kann man
sie brauchen?
106) Was besagt das Spin-Statistik Theorem?
Aufgaben:
32) Ununterscheidbare Teilchen in Ortsdarstellung (5 Punkte)
Betrachten Sie ein reines System von zwei ununterscheidbaren Teilchen,
die die beiden ersten Zustände ψ0, ψ1 des harmonischen Oszillators einnehmen.
ψ0(x) = ( 1 1
) 4
π
exp(− 1
2 x2 )
ψ1(x) = ( 4 1
) 4 x exp(−
π 1
2 x2 ).
(a) Wie sieht die Zweiteilchenwellenfunktion Ψ(x1, x2) aus für (i) Bosonen,
(ii) Fermionen?
(b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, eines der beiden Teilchen
links vom Ursprung x = 0 und das andere rechts davon zu finden,
jeweils für Bosonen und Fermionen. In welchem der beiden Fälle ist
die Wahrscheinlichkeit größer?
(c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, beide Teilchen auf der gleichen
Seite des Ursprungs zu finden jeweils für Bosonen bzw. Fermionen.
Vergleichen Sie das Ergebnis mit (b).
33) Heliumatom (8 Punkte)
Der Hamiltonoperator für ein Heliumatom in seinem Schwerpunktsystem
lautet
H = H1 + H2 + V12 mit Hi = p2 i
2m − 2e2 /ri, V12 =
e 2
|r1 − r2|
Dabei sind r1 und r2 die Relativkoordinaten der Elektronen bezüglich der
Lage des Kerns.

4.6. ÜBUNGEN 137
(a) Betrachten Sie zuerst ein Einteilchensystem mit dem Hamiltonoperator
Hi. Geben Sie die Energieeigenwerte an. Worin unterscheiden
sich die Eigenzustandsvektoren |nlm〉 (Ortsraumdarstellung) von denen
des Wasserstoffatoms?
(b) Untersuchen Sie nun das gesamte Zweiteilchensystem, aber vernachlässigen
Sie zunächst noch den Wechselwirkungsterm V12. Konstruieren
Sie aus den Einteilchen-Eigenzustandsvektoren die Zustandsvektoren
mit den beiden niedrigsten Energien für den Fall, dass die
Teilchen keine inneren Freiheitsgrade haben und (i) Bosonen, (ii)
Fermionen sind. Diskutieren Sie den Entartungsgrad dieser Energieeigenwerte.
(c) Elektronen sind konkret Fermionen, haben aber einen zusätzlichen
Freiheitsgrad, nämlich den Spin. Die Hilberträume für den Spin-
Freiheitsgrad der beiden Teilchen können jeweils von zwei Basisvektoren
|+〉 und |−〉 aufgespannt werden.
Konstruieren Sie den Zustandsvektor niedrigster Energie für Elektronen
im Fall V12 = 0. Ist er entartet?
(d) Die Verschiebung der Grundzustandsenergie nach Einschalten des
Wechselwirkungsterms V12 kann durch die einfache Formel ∆E ≈
〈0|V12|0〉 abgeschätzt werden, wobei |0〉 den Grundzustand im System
V12 = 0 darstellt (mehr dazu in Kapitel 5). Berechnen Sie
damit ∆E.
Hinweis: Der Grundzustand des Einteilchensystems (a) hat im Ortsraum
die Einteilchenwellenfunktion ψ0(r) = N exp(−2r/a0) (mit
a0 = 2 /me 2 ).
Es gilt: 1
−1 du/√ a 2 + b 2 − 2ab u = (|a + b| − |a − b|)/(ab).
34) Mehrere Teilchen im harmonischen Oszillator (4 Punkte)
Gegeben seien N nicht wechselwirkende identische Teilchen ohne innere
Freiheitsgrade in einem eindimensionalen harmonischen Oszillatorpotential.
(a) Wie hoch ist die Grundzustandsenergie im Fall von Bosonen, von
Fermionen? Wie sieht jeweils der Grundzustand aus?
(b) Betrachten Sie den Fall N = 2. Das System werde durch den sta-
tistischen Operator ρ = 1
Z (e−βH ) charakterisiert. Berechnen Sie die
Normierungskonstante Z für Bosonen und Fermionen. Nehmen Sie
dabei an, daß β so groß ist, daß Sie nur die Zustandsvektoren mit den
jeweils drei niedrigsten Energieniveaus zu berücksichtigen brauchen.
(c) (optional) Wenn Sie Spaß an kombinatorischen Problemen haben:
Versuchen Sie, (b) exakt (unter Berücksichtigung aller Energiezustände)
zu lösen und zu verallgemeinern für den Fall beliebiger N.

138 KAPITEL 4. QUANTENMECHANIK DES DREHIMPULSES
4.6.2 Blatt 12
Quicky:
107) Welches ist die definierende Eigenschaft eines Drehimpulsoperators J?
108) Welche Bedeutung haben die Drehimpulsquantenzahlen j und m? Welche
Werte können sie annehmen?
109) Was versteht man unter einem Spin?
110) Erklären Sie den Stern-Gerlach Versuch.
111) Welche Form hat der Spinoperator zum Spin 1/2 in der Spinorschreibweise?
112) Schreiben Sie die Pauli-Matrizen auf.
113) Wie lautet die Pauli-Gleichung?
Aufgaben:
35) Drehimpulskommutatoren und Paulimatrizen (5 Punkte)
(a) Zeigen Sie: Aus der Kommutator-Relation [Ji, Jj] = iɛijkJk für allgemeine
Drehimpulse J folgen für die Leiteroperatoren J± = Jx ± iJy
die Kommutator-Relationen:
[J 2 , J±] = 0, [J+, J−] = 2Jz, [Jz, J±] = ±J±.
(b) Beweisen Sie die folgenden Eigenschaften der Pauli-Matrizen σi ((σ =
(σx, σy, σz)):
• σiσj = δij 1 + iɛijkσk
• (σa) (σ b) = a b 1 + iσ(a × b) für komplexe Vektoren a, b. • für hermitesche 2×2 Matrizen A gilt: A = 1
1
2 Sp(A)1+ 2σSp(σA). 36a) Statistischer Operator eines Spinsystems (5 Punkte)
(a) Betrachten Sie ein System eines Spin-1/2-Teilchens. Die Spin-Erwartungswerte
〈Sx〉, 〈Sy〉, und 〈Sz〉 seien bekannt. Konstruieren Sie
daraus den statistischen Operator im Spin-Zustandsraum. (In Spinorschreibweise
erhalten Sie eine 2 × 2 Matrix.)
(b) Welche Bedingung müssen 〈Sx〉, 〈Sy〉, und 〈Sz〉 erfüllen, wenn das
System ein reines System ρ = |χ〉〈χ| ist?
Hinweis: Zeigen Sie zunächst: Für reine Systeme gilt det(ρ)=0.
(c) Betrachten Sie nun ein solches reines System ρ = |χ〉〈χ|. Konstruieren
Sie den Zustandsvektor |χ〉 aus 〈Sx〉, 〈Sz〉 und der Kenntnis des
Vorzeichens von 〈Sy〉.

4.6. ÜBUNGEN 139
36b) Ununterscheidbare Teilchen (4 Punkte)
Betrachten Sie drei identische Spin-1 Teilchen. Die Drehimpuls-Eigenzustände
eines einzelnen Teilchens werden mit |+〉, |0〉, |−〉 bezeichnet.
(a) Konstruieren Sie vollständig symmetrische Gesamtspinzustandsvektoren
für den Fall, daß
(i) alle drei Teilchen den Zustand |+〉 besetzen,
(i) zwei in |+〉 sind und einer in |0〉 ist,
(i) alle drei in verschiedenen Zuständen sind.
Welche Symmetrie muß der Bahnanteil des Gesamtzustandsvektors
haben?
(b) Versuchen Sie, für die drei Fälle aus (a) jeweils einen völlig antisymmetrischen
Zustandsvektor zu konstruieren.
Welche Symmetrie muß hier der Bahnanteil des Gesamtzustandsvektors
haben?

140 KAPITEL 4. QUANTENMECHANIK DES DREHIMPULSES
4.6.3 Blatt 13
Quicky:
114) Wie verhalten sich Spin-Zustandsvektoren unter Drehungen, wie Spin-
Erwartungs- werte?
115) Was versteht man unter “Addition von Drehimpulsen”? Wozu braucht
man sie?
116) Was sind Clebsch-Gordan-Koeffizienten?
117) Welche Werte kann die Quantenzahl j des Gesamtdrehimpulses in einem
System aus zwei gekoppelten Drehimpulsen mit Quantenzahlen j1 und j2
annehmen? Wie kann man die Antwort anschaulich interpretieren?
117) Wie sehen die Eigenvektoren zum Gesamtspin in einem System zweier
gekoppelter Spin 1/2 aus? Erklären Sie die Begriffe Singulett und Triplett
und diskutieren Sie die Symmetrieeigenschaften.
118) Erklären Sie den Ursprung und die Wirkung der Austauschwechselwirkung
im Wasserstoffmolekül.
Aufgaben:
37) Clebsch-Gordan-Koeffizienten (5 Punkte)
In der Vorlesung wurde die folgende Beziehung gezeigt:
0 = j1(j1 + 1) + j2(j2 + 1) + 2m1(m − m1) − j(j + 1) ·
〈j1, j2; m1, m − m1|j1, j2; j, m〉
+ (j1+m1)(j1−m1+1)(j2−m+m1)(j2+m−m1+1) ·
〈j1, j2; m1−1, m−m1+1|j1, j2; j, m〉
+ (j1+m1+1)(j1−m1)(j2−m+m1+1)(j2+m−m1) ·
Weiterhin gilt die Normierung
〈j1, j2; m1+1, m−m1−1|j1, j2; j, m〉
|〈j1, j2; m1, m2|j1, j2; j, m〉| 2 = 1.
m1,m2
Berechnen Sie damit 〈 1 1 1 1
2 , l; ± 2 , m ∓ 2 | 2 , l; j, m〉 = Clebsch-Gordan Koeffizienten
der Addition eines Bahndrehimpulses L mit einem Spin 1
2 für alle
möglichen Werte von j und m.
(Die Lösung wurde in der Vorlesung angegeben bzw. kann in jedem Quantenmechanikbuch
nachgeschlagen werden.)
38) Identische Teilchen (3 Punkte)
Können zwei Protonen mit relativem Bahndrehimpuls l = 1 sich in einem
Spin-Singulett-Zustand befinden? Begründen Sie Ihre Antwort.
39) Austauschwechselwirkung (7 Punkte)
In der Vorlesung wurde die Austauschwechselwirkung im Wasserstoffmolekül
in Heitler-London Näherung diskutiert. Dies soll in dieser Aufgabe
reproduziert und vertieft werden.

4.6. ÜBUNGEN 141
Betrachten Sie zwei Elektronen am Ort r1 und r2 im Feld zweier Kerne
A und B (Kernkoordinaten RA und RB). Der Hamiltonoperator des
gesamten Systems lautet
H = p2 1
2m + p2 2
2m −
e2 |r1 − RA| −
e2 |r2 − RB| + H12(r1, r2)
e
mit H12(r1, r2) = −
2
|r1 − RB| −
e2 |r2 − RA| +
e2 |r1 − r2| +
e2 | RA − RB| .
(a) Die Einteilchenwellenfunktion des Grundzustandes im Feld des Kerns
A sei φA(r) und die im Feld des Kerns B sei φB(r). Konstruieren Sie
aus diesen Wellenfunktionen und den Einteilchen-Spinzustandsvektoren
|+〉 und |−〉 mögliche Zweiteilchenzustandsvektoren |ψs〉 zum Gesamtspin
0 (Singulettzustand) und |ψt〉 zum Gesamtspin 1 (Triplettzustände).
Definieren Sie S = dr φA(r)φB(r), ohne es explizit auszurechnen,
und normieren Sie die Zustandsvektoren |ψs,t〉 damit.
Von den Zustandsvektoren aus (a) sind diejenigen mit den Bahnanteilen
φ(r1, r2) = φA(r1)φA(r2) bzw. φ(r1, r2) = φB(r1)φB(r2) energetisch
sehr ungünstig. Warum? (Qualitative Antwort genügt).
(b) Die Energien Es, Et der verbleibenden Zustandsvektoren können
über Es,t = 〈ψs,t|H|ψs,t〉/〈ψs,t|ψs,t〉. abgeschätzt werden. Zeigen Sie,
daß das Ergebnis die Form Es,t = 2E1 + (Q ± A)/(1 ± S2 ) hat, wobei
E1 die Grundzustandsenergie des Wasserstoffatoms ist, S wie in
(a) definiert ist, und Q und A gegeben sind durch:
Q = dr1 dr2 φA(r1) 2 φB(r2) 2 H12(r1, r2)
A = dr1 dr2 φA(r1)φA(r2)φB(r1)φB(r2)H12(r1, r2).
Q wird auch Coulombenergie genannt, und A Austauschenergie.
(c) Eine Auswertung der Integrale in (b) liefert Et > Es. Also ist der
Singulett-Zustand mit dem Gesamtspin 0 energetisch günstiger als
die Triplett-Zustände mit dem Gesamtspin 1.
Konstruieren Sie einen effektiven Hamiltonoperator im Zweiteilchen-
Spin-Zustandsraum, der diesen Sachverhalt quantitativ reproduziert:
Machen Sie den Ansatz
H eff = E0 + J S1 S2.
Fordern Sie H eff |χ sing〉 = Es|χ sing〉 für den Singulettzustandsvektor
und H eff |χ trip〉 = Es|χ trip〉 für Triplettzustandsvektoren, und bestimmen
Sie daraus E0 und die effektive Spin-Spin-Kopplung J als Funktion
von Es und Et.