Kapitel 1: Newtonsche Mechanik (PDF, 0.84 MB) - Universität Bielefeld

Kapitel 1 

Newtonsche Mechanik 

c○ Copyright 2005 Friederike Schmid 1 

1.1 Grundlagen 

1.1.1 Die Newtonschen Axiome 

1.1.1.1 Wortlaut (übersetzt) 

aus: principia mathematica philosophiae naturalis 

I) ” Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung, 

wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, seinen 

Bewegungszustand zu ändern.“ 

II) ” Die Änderung der Bewegung ist der einwirkenden Kraft proportional und 

geschieht längs jener geraden Linie, nach welcher die Kraft wirkt.“ 

III) ” Die Reaktion auf eine Aktion ist immer entgegengesetzt und gleich, d.h. 

die Aktionen (Kraftwirkungen) zweier Körper aufeinander sind immer 

gleich groß und entgegengesetzt gerichtet.“ 

1.1.1.2 Diskussion und Präzisierung 

∗ Präzisierung der kinematischen Begriffe: Wir verstehen unter 

• einem ” Körper“: Einen Massenpunkt 

idealisierte Objekte mit Masse, aber ohne räumliche Ausdehnung 

(❀ Rotation spielt keine Rolle) 

Generell gute Näherung, wenn Ausdehnung des Körpers sehr viel 

kleiner als andere typische Längenskalen des Systems 

Wir werden in Abschnitt 1.2 sehen, dass man unter gewissen Umständen 

auch ausgedehnte Körper wie Massenpunkte behandeln kann 

(mit Zentrum am Massenschwerpunkt). 

1 Prof. Dr. Friederike Schmid, Vorlesung Theoretische Mechanik, Universität Bielefeld, WS 

2001/2002. Letzte Änderung am 11.05.05. 

13

14 KAPITEL 1. NEWTONSCHE MECHANIK 

• ” Bewegung“: Die Bahnkurve bzw. Trajektorie r(t) eines Massenpunktes 

Dahinter steht eine Abbildung ” Welt“ −→ R 3 × R 

physikalischer Raum ( ” Ort“) −→ R 3 (r) 

physikalische Zeit −→ R (t) 

❀ Bahnkurve 

Notwendig für diese Abbildung: 

Definition einer Referenzlänge und eines Referenz-Zeitintervalls 

Einheiten (z.B. SI-System: [r]= 1 m, [t] = 1 s) 

Bemerkung: Der Ort r ist eine vektorielle Größe in 3 Dimensionen. 

Dies ist an zwei Eigenschaften erkennbar: 

- Darstellung durch 3 Koordinaten in einer Orthonormalbasis 

Basis: E = 

e1 e2 e3 

(Eigenschaften: E T E =EE T =11, det(E)=±1 ⇒ E ∈ O(3)) 

⎛ 

Darstellung von r: ⎝ 

r1 

r2 

r3 

⎞ 

⎠ 

⎛ 

mit r = r1e1 + r2e2 + r3e3 = E ⎝ 

Berechnung der Koordinaten: ri = rei ⇒ ⎝ 

- Transformationsverhalten bei Wechsel der Basis 

Neue Orthonormalbasis: E ′ = e ′ 1 e′ 2 e′ 

3 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

• Bewegungszustände 

Neue Darstellung: ⎝ 

r ′ 1 

r ′ 2 

r ′ 3 

⎠ = U ⎝ 

r1 

r2 

r3 

r1 

r2 

r3 

⎠ 

⎞ 

⎠ 

mit Transformationsmatrix U = E ′T E 

⎛ 

r1 

r2 

r3 

⎞ 

⎠ = E T r 

⎛ 

(Beweis: ⎝ r′ 1 

r ′ 2 

r ′ ⎞ 

⎠ = E 

3 

′T r = E ′T E T ⎛ 

E r = U ⎝ 

 

1 

r1 

⎞ 

r2⎠ 

) 

r3 

Eigenschaften der Transformationsmatrix: U T U =UU T =11 

(Beweis: U T U = (E ′T E) T (E ′T E) = ET E ′ E ′T 

E = E 

 

1 

T E = 1, · · · ) 

Definiere zunächst von der Bahnkurve r(t) abgeleitete Größen 

- Geschwindigkeit: v(t) = d 

dtr(t) = ˙ - Beschleunigung: 

r 

a(t) = 

(Einheit 1 m/s) 

d 

dtv(t) = ¨ r (Einheit 1 m/s2 )

1.1. GRUNDLAGEN 15 

Wir verstehen unter 

- Zustand der Ruhe“: Bahnkurve r(t) = r0 = 

” −−−→ 

const. 

- gleichförmige Bewegung“: Bahnkurve mit v(t) = v0 = 

” −−−→ 

const. 

⇒ r(t) = r0 + v0 · t 

- Änderung der Bewegung“: Beschleunigung a(t) 

” 

∗ Diskussion des Postulats II 

Begriff der ” Kraft“ F 

Angelehnt an unsere Wahrnehmung, Erfahrung aus dem Alltag 

Beispiele 

• Schwerkraft an der Erdoberfläche 

❀ zieht nach unten 

❀ erscheint überall gleich groß 

Experimentelle Beobachtung (Galilei): 

führt beim freien Fall zu konstanter Beschleunigung 

• Angelegte Kraft 

→ Postulat: 

❀ Erfahrung: Beschleunigung erfolgt in Richtung der Kraft 

Kraft ist eine vektorielle Größe F 

Effekt einer Kraft auf Bahnkurve eines Massenpunkts ist F = m ·a 

mit m: zunächst nur Proportionalitätsfaktor 

Folgerung: Superpositionsprinzip 

∗ Diskussion des Postulats III 

Zwei Aspekte: 

Angenommen, auf einen Körper wirken verschiedene 

Kräfte 

❀ Beschleunigungen addieren sich vektoriell auf 

❀ Kräfte addieren sich vektoriell auf: F = F1 + F2 

- Beschreibt Wahrnehmung: 

Wenn ich eine Kraft ausübe, erfahre 

ich eine Gegenkraft, z.B. Tauziehen 

Gleichung: F12 = F21 

- Ermöglicht den Vergleich der Wirkung von Kräften auf verschiedene 

Körper → Aussage über Proportionalitätskonstante m: 

m ist eine Eigenschaft von Körpern: Träge Masse 

Messvorschrift 

Aufbau:


- Ziehe so, dass Aufbau in Ruhe ⇒ ˆ F = − F21 = F12 = − F 

- Schneide Faden durch: 

- Miss Beschleunigungen a1 = − F 

m1 und a2 = F 

m2 

⇒ Verhältnis a1 

a2 

gibt Verhältnis m2 

m1 

Damit können im Prinzip die Massen aller Körper in Einheiten 

der Masse eines Referenzkörpers gemessen werden. 

❀ Masse hat physikalische Realität 

Einheit der Masse: Referenzmasse, z.B. SI-System: 1 kg 

Zusammenfassend: Newtonsches Kraftgesetz: F = m · a 

mit m: träge Masse, physikalische Eigenschaft eines Körpers 

(Einheit: [F ] = 1 kg m/s 2 ) 

Alternative Formulierung des Newtonschen Kraftgesetzes 

Definiere Impuls p = m · v 

→ Newtonsches Kraftgesetz: F = ˙ p 

Vorteil dieser Formulierung (Vorgriff auf spezielle Relativitätstheorie, 

Kapitel 5): 

Bei sehr hohen Geschwindigkeiten v c (Lichtgeschwindigkeit) 

gilt F = m · a nicht mehr, aber F = ˙ p ist weiterhin gültig mit 

∗ Diskussion des Postulats I 

 

geschwindigkeitsabhängiger Masse m = m0/ 

Wahrnehmungserfahrung 

- In einem Karrussell: sehr starke ” Kraft“ nach außen 

1 − v2 

c 2 . 

- Am Boden: weniger Kraft, fast nur noch Schwerkraft nach unten 

- Auf dem Mond: noch weniger Kraft 

Postulat: Es gibt Bezugssysteme, in denen ” kräftefreie Körper“ in gleichförmiger 

Bewegung verharren. Diese Bezugssysteme nennt man Inertialsysteme. 

Problem mit Inertialsystem 

Verschiedene Inertialsysteme bewegen sich relativ zueinander mit 

gleichförmiger Geschwindigkeit. Ursprünglich ging Newton sogar 

noch weiter und postulierte einen ” absoluten Raum“, also ein 

ausgezeichnetes Inertialsystem, das ” in Ruhe“ ist. 

Problem: Man kann dieses nicht von anderen Bezugssystemen unterscheiden, 

es hat also keine ” physikalische Realität“. In der 

klassischen Mechanik kann auf absoluten Raum ohne weiteres 

verzichtet werden. 

Aber: Selbst wenn man einen relativen Raum akzeptiert, bleiben 

noch weitere grundlegende Probleme:


• Inertialsysteme im Sinne der klassischen Mechanik können in 

Experimenten im Universum prinzipiell nicht realisiert werden. 

Das liegt daran, dass es keine ” kräftefreien Körper“ geben 

kann, da Gravitationskräfte wie 1/r 2 abfallen und sich nicht 

abschirmen lassen. 

(NB: Gravitationskräfte sind die einzigen nicht abschirmbaren 

Kräfte. Alle anderen Kräfte lassen sich abschirmen.) 

• Ein ästhetisches Problem: Es gibt keinen absoluten Raum, 

aber eine absolute Zeit. Mit welchem Recht? 

Lösung: Relativitätstheorie 

Klassische Mechanik 

Relativer Raum, absolute Zeit 

Problem mit Inertialsystem 

Spezielle Relativitätstheorie 

Keine absolute Zeit mehr 

Asymmetrie zwischen Raum und Zeit weitgehend aufgehoben 

Problem mit Inertialsystem besteht 

Allgemeine Relativitätstheorie 

Gravitation ist Eigenschaft des Raums 

Inertialsystem (kräftfreie Bewegung) realisiert im ” freien Fall“ 

→ gibt dem Inertialsystem physikalische Realität 

1.1.2 Beispiele: Anwendungen des Kraftgesetzes 

1.1.2.1 Freier Fall im homogenen Schwerefeld 

∗ Kraft: Schwerkraft an Erdoberfläche 

∗ Bahnkurve 

Fgrav = ms · g mit ms: Schwere Masse 

Experimentell stellt man fest: Alle Körper fallen gleich (Galilei) 

→ g ist eine Beschleunigung (konkret: g = 9.81 m/s 2 ) 

und ms ≈ m (träge Masse) 

Einsteinsches Äquivalenzprinzip: ms = m 

(allgemeine Relativitätstheorie) 

Anfangsbedingungen zur Zeit t = 0: Ort r0, Geschwindigkeit v0 

- Beschleunigung: a(t) = g 

- Geschwindigkeit: v(t) = v0 + 

τ 

dτ a(τ) = v0 + g t 

0


- Ort: r(t) = r0 + 

τ 

0 

dτ v(τ) = r0 + v0 t + 1 

2 g t2 

1.1.2.2 Freier Fall im homogenen Schwerefeld mit Reibung 

∗ Kräfte: 

Schwerkraft Fgrav = m · g 

Reibungskraft Freib = −α(v) · v 

Nimm an, α = const. (Stokessche Reibung) 

∗ Berechne Geschwindigkeitsverlauf 

Gleichung: ˙ v(t) + α 

m v(t) = g 

inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung 

Vorgehen: 

(i) Löse zunächst homogene DGL: ˙ v(t) + α 

m v(t) = 0 

→ Schar von homogenen Lösungen vhom(t) 

(ii) Suche spezielle Lösung für inhomogene DGL vs(t) 

→ Allgemeine Lösung hat Form vinh(t) = vs(t) + vhom(t) 

Umsetzung: 

(i) homogene DGL: ˙ v(t) + α 

m v(t) = 0 

Ansatz: v = w eλt → ˙ v = λ w eλt Einsetzen: w eλt (λ + α 

α 

m ) = 0 ⇒ λ = − m 

⇒ Allgemeine Lösung hat Form vhom(t) = w e 

α 

− m t 

(ii) Spezielle Lösung vs(t): z.B. die Lösung, bei der v g 

und Reibungskraft die Schwerkraft genau aufwiegt 

Freib = − Fgrav ⇒ vs = const. und −α vs = −m g ⇒ vs = m 

α g 

⇒ Allgemeine Lösung hat Form vinh(t) = m 

α 

∗ Bahnkurve mit Anfangsbedingungen r0, v0 zur Zeit t = 0 

- Geschwindigkeit: 

v0 = v(t = 0) = m 

α g + w ⇒ w = v0 − m 

⇒ v(t) = m 

α g + (v0 − m 

α 

g) e− α 

m t 

α g 

g + w e− α 

m t


- Bahnkurve: 

r(t) = r0 + 

1.1.2.3 Pendel 

τ 

dτ v(τ) 

= r0 + m 

α gt + (v0 − m 

α 

0 

α 

m g)(− α ) e− 

m τ 

 

 

τ=t 

= r0 + m 

α gt + (v0 − m 

α 

m 

α g) α (1 − e− m t ) 

τ=0 

∗ Charakterisiere zunächst Bahnkurve r(t): Kreisbewegung 

Wähle mitrotierendes Bezugssystem: 

er = r 

r , eϕ ⊥ er 

- Bahn: r(t) = ler 

- Geschwindigkeit: 

|r| = √ r 2 = const. ⇒ d√r 2 

dt 

⇒ v ⊥ er ⇒ v eϕ 

→ v(t) = l ˙ϕ(t)eϕ 

- Beschleunigung: 

(l: Fadenlänge) 

r dr 

= · = er · v = 0 

|r| dt 

( ˙ϕ(t): Winkelgeschwindigkeit) 

 

 

deϕ 

 

 

dt = der 

 

 

dt = d(r/r) 

 

 

dt = dr 

 

 

dt · 1 |v| 

= = | ˙ϕ(t)| 

l l 

und: deϕ 

er, zeigt Richtung −er für ˙ϕ > 0 

dt 

→ a(t) = l ¨ϕ(t) eϕ 

 

Tangentialbeschleunigung 

∗ Folgerung für Kraft 

− l ˙ϕ 2 er 

 

Normalbeschleunigung 

F = m a = m ¨ϕ l eϕ − m ˙ϕ 2 l er 

! 

= m g 

 

− fFaden er 

 

Schwerkraft Fadenkraft 

Zerlegung: 

Normalkraft: Fr = m (g · er ) er + fFaden er ! = −m ˙ϕ 2 l er 

 

g cos ϕ 

sorgt dafür, dass Körper auf Kreisbahn bleibt 

Tangentialkraft: Fϕ = m (g · eϕ ) eϕ ! = m ¨ϕ l eϕ 

∗ Lösung für Bahnkurve ϕ(t) 

 

g sin ϕ 

Newtonsche Gleichung für Tangentialkraft 

sin ϕ = 0 

⇒ Differentialgleichung ¨ϕ + g 

l 

Exakte Lösung kann noch nicht (aber bald) berechnet werden 

Im Moment beschränken wir uns auf den Spezialfall kleiner Auslenkungen 

sin ϕ ≈ ϕ


⇒ Genäherte Differentialgleichung: ¨ϕ + g 

l ϕ = 0 

Ansatz: ϕ(t) = eλt Einsetzen: λ = ±i g/l imaginär 

⇒ Allgemeine Lösung hat die Form: ϕ(t) = C+e i√ g/l t + C−e i√ −g/l t 

Anfangsbedingungen: ϕ(0) = ϕ0, ˙ϕ(0) = ω0 

→ ϕ0 = C+ + C−, ω0 = i g/l(C+ 

+ C−) 

 

l 

l 

C+ = 1 

2 ϕ0 + 1 

2i ω0 

⇒ Lösung: ϕ(t) = ϕ0 cos Ωt + ω0 

Ω 

1.1.3 Bezugssysteme 

1.1.3.1 Einleitung 

g , C− = 1 

2 ϕ0 − 1 

2i ω0 

g 

sin Ωt mit Ω = 

An den Beispielen 1.1.2 wurde deutlich: Je nach Situation bieten sich verschiedene 

Koordinatensysteme an. 

Beispiel Pendel: Mitrotierendes Bezugssystem (er, eϕ) 

g 

l 

Bahnkurve r(t) = ler: Für den mitrotierenden Beobachter konstant 

Beobachter spürt Kraft auf Faden: 

m (g cos ϕ) er: Schwerkraft 

−m ˙ϕ 2 l er: Zusätzliche ” Scheinkraft“ Zentrifugalkraft 

Beobachter spürt keine Kraft in Richtung eϕ: 

Schwerkraft wird durch weitere Scheinkraft genau aufgehoben. 

Wir wollen diese Zusammenhänge nun systematisch untersuchen: Wie hängen 

Scheinkräfte mit Bezugssystemen zusammen, oder allgemeiner: Wie transformiert 

man zwischen verschiedenen Bezugssystemen? 

Ausgangspunkt: 

1. Newtonsches Axiom: Es gibt Inertialsysteme 

⇒ Es gibt mindestens ein Inertialsystem Σ 

(Newton: ” absoluter Raum“, hier: egal, irgendeins) 

Dieses soll unser Referenzsystem sein 

Die Koordinaten einer Bahnkurve im Referenzsystem Σ seien: r Σ (t) 

Betrachte nun Bezugssystem ¯ Σ 

Allgemeine Koordinatentransformation 

r ¯Σ (t) = D −1 

(t) r Σ (t) − 

d(t) 

r Σ (t) = D(t) 

 

r ¯Σ (t) + 

Drehung 

d(t) 

 

Translation


1.1.3.2 Inertialsysteme und Galilei-Transformation 

Falls ¯ Σ ein Inertialsystem ist, gilt generell: 

¨r Σ = 0 ⇔ Bahn ist kräftefrei ⇔ ¨ r ¯Σ = 0 

Einsetzen: r ¯Σ = D T (r Σ − d) 

˙r ¯Σ = ˙ D T (r Σ − d) + D T ( ˙ r Σ − ˙ d) 

¨r ¯Σ = ¨ D T (r Σ − d) + 2 ˙ D T ( ˙ r Σ − ˙ d) + D T ( ¨ rΣ − ¨ d) 

! 

= 0, falls ¨ r Σ = 0 für alle ˙ r Σ , r Σ 

⇒ ¨ D T = 0, ¨ D T = 0, ¨ d = 0 

⇒ D = const. (feste Drehung); d = d0 + v0t 

⇒ Transformation: r ¯Σ = D T (r Σ (t) − d0 − v0t) 

Allgemeine Formulierung: Zeit einbezogen 

r ¯Σ = D T (r Σ − d0 − v0(t Σ + t0)) 

t ¯Σ = t Σ − t0 

bzw. 

Galilei-Transformation 

r Σ = Dr ¯Σ + d0 + v0t ¯Σ 

t Σ = t ¯Σ + t0 

NB: t Σ = t ¯Σ + t0 bedeutet: Zeitdifferenzen sind absolut 

Folgerungen 

(i) Zu jedem Satz (D, v0, d0) gehört ein Inertialsystem 

→ Wenn es ein Inertialsystem gibt, gibt es unendlich viele 

(ii) Transformation von 

- Geschwindigkeiten: v ¯Σ (t) = ˙ r ¯Σ (t) = D T (v Σ (t) − v0) 

v Σ (t) = Dv ¯Σ (t) + v0 

- Beschleunigungen: a Σ (t) = ¨ r Σ (t) = D ¨ r ¯Σ (t) 

- Kräften: Wie Beschleunigungen: F Σ (t) = D F ¯Σ (t) 

1.1.3.3 Rotierende Bezugssysteme 

r ¯Σ (t) = D T (t)r Σ (t) bzw. r Σ (t) = D(t)r ¯Σ (t) 

D ist Drehung: 

D(t)D T (t) = D T (t)D(t) = 11; det(D) = +1 

Einfachheitshalber: Betrachte Bahnkurve, Kräfte etc. zu einem bestimmten 

Zeitpunkt t0. Wähle Inertialsystem Σ, welches zu diesem Zeitpunkt mit 

¯Σ übereinstimmt. (Wie man von einem anderen Inertialsystem dahintransformiert, 

wissen wir ja.) 

∗ Vorabklärung: Zeitliche Ableitungen von Vektorfunktionen u(t) 

 

 

u Σ (t) = D(t0)u ¯Σ (t0) = u ¯Σ (t0), da D(t0) = 11 

t=t0


 

˙u 

 

Σ (t) 

t=t0 

= ˙ 

D(t0)u ¯Σ (t0) + D(t0) ˙ u ¯Σ (t0) 

Es gilt: D T D = 1 ⇒ ˙ (D T D) = ˙ D T D + D T D ˙ = 0 zu allen Zeiten t 

⇒ (wegen D(t0) = 1): D˙ T (t0) + ˙ D(t0) = 0 

⇒ ˙ 

⎛ 

⎞ 

0 a b 

D(t0) hat die Form ⎝−a 0 c⎠: 

schiefsymmetrische Matrix 

−b −c 0 

⎛ 

Damit gilt für beliebige Vektoren x = ⎝ x1 

⎞ 

x2⎠ 

⎛ 

0 

D(t0)x ˙ = ⎝−a a 

0 

x3 

⎞ ⎛ 

b 

c⎠ 

⎝ 

−b −c 0 

x1 

⎞ ⎛ 

x2⎠ 

= ⎝ 

x3 

ax2 

⎞ 

⎛ 

+ bx3 

−ax1 + cx3⎠ 

≡ ω × x mit ω = ⎝ 

−bx1 − cx2 

−c 

⎞ 

b ⎠ 

−a 

= ω × u ¯Σ (t0) + ˙ u ¯Σ (t0) 

❀ Also Schreibweise: ˙ 

D(t0)· = ω × · 

Zu dem Zeitpunkt, an dem Σ und ¯ Σ identisch sind, 

gilt: ( d 

dt ·) d 

Σ = ω × · + ( dt ·) Σ¯ 

Bemerkungen 

(i) Anschauliche Bedeutung von ω 

Betrachte infinitesimale Drehung D = 11 + dt · D˙ 

• Für Vektoren x ω gilt: Dx ˙ = ω × x = 0 ⇒ Dx = x 

⇒ ω zeigt in Richtung der Drehachse 

• Berechne Kreuzprodukt eines gedrehten und ungedrehten 

Einheitsvektors e⊥, der auf ω senkrecht steht. 

e⊥ × (De⊥) = sin ∢(e⊥, De⊥ ) · 

 

˙ϕ dt 

ω 

ω 

= ˙ϕ dt · 

|ω| |ω| 

⇒ |ω| = ˙ϕ 

= e⊥ × (e⊥ + dt · ω × e⊥) = dt · ω 

⇒ |ω| entspricht der Winkelgeschwindigkeit 

(ii) ω ist strenggenommen kein Vektor, sondern von Matrix abgeleitet. 

Trotzdem transformiert es unter Drehungen wie ein Vektor; 

unter Spiegelungen transformiert es wie ein Vektor, aber mit umgedrehtem 

Vorzeichen. Allgemein (Drehung + evtl. Spiegelung) 

gilt: 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

Für Koordinatentransformation U ⇒ 

ω ′ 1 

⎝ω 

′ 2 

ω ′ ⎠ = U ⎝ 

3 

(Grund: Betrachte Vektor a, transformiert wie ein solcher. 

→ b = ω × a ist auch Vektor, transformiert wie ein solcher 

→ ω muss wie Vektor transformieren, außer wenn Koordinatensystem 

Händigkeit ändert 

ω1 

ω2 

ω3 

⎠ · det(U) 

z.B. Punktspiegelung: U = − 1 ⇒ a ′ = −a, b ′ = − b = ω ′ × a ⇒ ω ′ = ω) 

Größen mit einem solchen Transformationsverhalten nennt man 

auch Pseudovektoren. Wir werden noch mehrere kennenlernen. 

∗ Anwendung auf Bahnkurve r(t) 

- Geschwindigkeit: ˙ r Σ (t0) = ( d 

dt r) Σ = ω × r + ( d 

dt r) ¯ Σ = ω × r + ˙ r ¯Σ (t0)


- Beschleunigung: ¨ r Σ (t0) = ( d 

dt ˙ r Σ ) Σ = ω × ˙ r Σ + ( d 

dt ˙ r Σ ) ¯Σ 

= ω × [ω × r + ˙ r ¯Σ ] + ( d 

dt [ω × r + ˙ r ¯Σ ]) ¯Σ 

= ω ×(ω ×r)+ω × ˙ r ¯Σ + ˙ ω ×r +ω × ˙ r ¯Σ +( d 

dt ˙ r ¯Σ ) ¯Σ 

= ω × (ω × r) + 2ω × ˙ r ¯Σ + ˙ ω × r + ¨ r ¯Σ 

- Kräfte: F = m · ¨ r Σ = m · ω × (ω × r) + 2m · ω × ˙ r ¯Σ + m · ˙ ω × r + m · ¨ r ¯Σ 

bzw. Bewegungsgleichung im System ¯ Σ: 

m · ¨ r ¯Σ = F 

−m · ω × (ω × r) −2m · ω × ˙ r ¯Σ −m · ˙ 

ω × r 

 

Anschaulich: 

echte Kraft 

 

(i)Zentrifugalkraft 

 

(ii)Corioliskraft 

1.1.3.4 Beliebig beschleunigte Bezugssysteme 

Allgemeiner Fall 

(iii)(namenlos) 

r Σ (t) = D(t)r ¯Σ (t) + d(t) 

Um Kräfte zu berechnen und Bewegungsgleichung aufzustellen: 

Betrachte wieder Inertialsystem, das zur Zeit t0 mit ¯ Σ übereinstimmt 

(D(t0) = 11, d(t0) = 0) 

Verfahren wie vorher, Ergebnis fast gleich: 

m · ¨ r ¯Σ = F − m · ω × (ω × r) − 2m · (ω × ˙ r) − m · ( ˙ ω × r) − m · ¨ d


1.1.4 Energie und Potential 

1.1.4.1 Potentielle Energie 

- Vorbemerkung: Wir nehmen im folgenden an, dass wir in einem Inertialsystem 

sind, und wollen uns auf geschwindigkeitsunabhängige Kräfte be- 

schränken. Die allgemeine Form eines Kraftfeldes lautet zwar F (r, ˙ r, t) 

(ein Teilchen) bzw. { Fi(r1·· rN, ˙ r1·· ˙ rN, t)} (N Teilchen); makroskopisch 

kennt man jedoch nur zwei Arten von geschwindigkeitsabhängigen Feldern: 

Die Reibungskraft und die Lorentzkraft (Magnetismus). Diese sollen 

gesondert behandelt werden. 

→ Nimm an Kraftfeld der Form 

F (r, ˙ r, t) (ein Teilchen) 

{ Fi(r1·· rN, t)} (N Teilchen) 

∗ Erfahrung: 

Geschwindigkeitsunabhängige Kräfte lassen sich von einem Potential ableiten 

Ein Teilchen: F (r, t) = − ∇U(r, t) 

N Teilchen: Fi(r1·· rN, t) = − ∇iU(r1·· rN, t) ( ⎛ 

∇i = ⎝ ∂/∂rix 

⎞ 

∂/∂riy⎠) 

∂/∂riz 

Häufig sind Kräfte und Potential zudem nicht explizit zeitabhängig, d.h. 

Fi(r1·· rN) = − ∇iU(r1·· rN). Solche Kraftfelder heißen auch konservative 

Kraftfelder. 

∗ Beispiele: 

- Ein Teilchen in einer Dimension 

” trivial“. F (x, t) = − d 

dxU(x, t) mit U(x, t) = − 

x 

x0 

F (˜x, t)d˜x + U0 

- Ein Teilchen, auf das Zentralkraft der Form F (r, t) = f(r, t)er wirkt. 

Dann gilt: F (r, t) = − x 

∇U(r, t) mit U(r, t) = − F (˜r, t)d˜r + U0 

(Check: − ∇U = − d 

dr U(r, t) · ∇r 

x 

d 

d 

U(r, t) = − F (˜r, t)d˜r = −f(r, t) 

dr dr 

r0 

∇r = ∇ √ r 2 = 1 

2 √ · 2r = r/r = er ) 

r 2 

Bemerkung: Es ist natürlich nicht a priori klar, dass sich eine Funktion F (r, t) 

auf ein Potential zurückführen lässt. 

Beispiel für eine hypothetische Kraft, für die das nicht gilt: 

F (r, t) = f(r, t)eϕ 

r0 

(f(r, t) nicht Null) 

Betrachte Linienintegral entlang eines Kreises mit Radius R 

2π 

dr F (r, t) = dϕ 

0 

dr 

dϕ 2π 

F (r(ϕ), t) = dϕ · R · eϕf(R, t)eϕ = 2πRf(R). 

0 

Gäbe es ein Potential U mit F = − ∇U, dann müsste aber gelten:


2π 

0 

dϕ dr 

dϕ 2π 

F (r(ϕ), t) = − 

0 

dϕ dr 

dϕ 2π 

∇U(r(ϕ), t) = − 

∗ Bedingung dafür, dass ein Potential existiert 

0 

dϕ d 

dϕ 

 

 

U(r(ϕ), t) = −U(r(ϕ), t) 2π 

= 0 

0 

(i) Globale Formulierung über geschlossenes Wegintegral 

Ein Teilchen: 

 

dr F (r, t) = 0 ; N Teilchen: 

 

Notwendig: Betrachte geschlossene Kurve ri(s) (s ∈ [0, δ]) 

i 

dri Fi(r1·· rN, t) = 0 

⇒ 

dri 

i 

Fi(r1·· rN , t) = δ 

ds 

i 0 

dr 

ds Fi(r1·· rN , t) = (falls Potential existiert) 

δ 

= − ds 

0 

dr 

ds 

i 

δ 

∇iU(r1 · · rN , t) = − ds 

0 

d 

ds U(r1(s) 

 

 

· rN (s), t) 

· · rN (s), t) = −U(r1(s) · 

δ 

0 

= 0 

Hinreichend: Wähle Referenzpunkt {r 0 1 ·· r0 N } 

U(r1·· rN , t) = U0 + {r1·· r 

N } 

i {r 0 1 ·· r0 N } 

dri Fi(r1·· rN , t) eindeutig bis auf Konstante 

(ii) Lokale Formulierung 

Ein Teilchen ∇ × F = 0 ; N Teilchen: ∂Fiα 

∂rjβ 

= ∂Fjβ 

∂riα 

und: einfach zusammenhängendes Gebiet 

Notwendig: Falls Potential existiert ⇒ Fiα = − ∂U 

∂riα , Fjβ = − ∂U 

∂rjβ 

⇒ ∂Fiα 

∂rjβ = − ∂2 U 

∂rjβ∂riα = − ∂2 U 

∂riα∂rjβ 

Hinreichend: Falls ∂Fiα 

∂rjβ 

= ∂Fjβ 

∂riα 

= ∂Fjβ 

∂riα 

 

, ist dri Fi vollständiges Differential, 

B 

d.h., Linienintegrale dri Fi sind für verschie- 

A 

i 

dene Integrationswege gleich, wenn sie sich stetig 

ineinander überführen lassen. 

Um das zu zeigen, betrachte infinitesimal deformiertes Teilstück 

⇒ I1 = I2, falls ∂Fiα 

∂rjβ 

i 

I1 = 

dri 

(1) i 

Fi = Fiαδriα + (Fjβ + ∂Fjβ δriα)δrjβ 

∂riα I2 = 

dri 

(2) i 

Fi = Fjβδrjβ + (Fiα + ∂Fiα δrjβ)δriα 

∂rjβ ∂Fjβ 

= ; damit ist Linienintegral gleich 

∂riα 

für Integrationswege, die sich durch viele infinitesimale Deformationen 

ineinander überführen lassen. Insbesondere lässt sich 

in einem einfach zusammenhängenden Gebiet jedes geschlossene 

Linienintegral stetig auf Null zusammenziehen ⇒ (i) ist erfüllt.


∗ Beispiele: 

• Wieder Zentralkräfte: 

Definition einer allgemeinen Zentralkraft: F (r, t) ∝ er 

Wir zeigen, dass eine Zentralkraft F (r, t) = f(r, t)er genau dann ein 

Potential hat, wenn f(r, t) nur von |r| abhängt. 

Beweis: ∇ × F = ∇ × (f · er) = ( ∇f) × er + f · ( ∇ × er) ! = 0 

∇ × er = 1 

r ( ∇ × r) + ( ∇ 1 

r 

) × r = 0 − r r3 × r = 0 (Aufgabe 3d) 

⇒ ∇f × er = 0 ⇒ ∇f er 

❀ er ∝ ∇f steht senkrecht auf Fläche f = const. 

❀ f = const. ist Kugeloberfläche ❀ f hängt nur von r ab. 

• N-Teilchen-System mit Paarwechselwirkungen fij = f(|ri−rj|) (ri−rj) 

|ri−rj| 

Kraftfeld Fi = 

hat Potential 

i=j 

Beweis: i = j: ∂Fiα = − ∂rjβ d f 

( dr 

i = j: ∂F iα 

∂r iβ = 

j 

r ) 

 

(riβ −rjβ )(riα−rjα) − |r 

rij 

i−r j | 

f 

r δαβ = ∂Fjβ ∂riα d f 

( dr r ) 

 

(riβ −rjβ )(riα−rjα) + |r 

rij 

i−r j | 

f 

r δαβ = ∂Fiβ ∂riα NB: Potential dazu: 

U = 1 

r 

2 φ(|ri − rj|) mit φ(r) = φ0 − 

d˜rf(˜r) ⇔ dφ 

dr 

i j=i 

r0 

(− ∇kU = − ∇k 1 

φ(|ri − rj|) 

2 

i j=i 

= − 1 

{δki 2 

i j=i 

dφ 

 

 

dr ∇i|ri − rj| + δkj 

rij 

dφ 

 

 

dr ∇j|ri − rj|} 

rij 

= 1 

dφ 

2 dr { 

j=k rkj 

(r k−r j ) 

|r k−r j | − (r j −r k) 

|r j −r k| } 

= 

f(|rk − rj|) 

j=k 

(r k−r j ) 

) 

|r k−r j | 

1.1.4.2 Kinetische Energie 

= f(r) 

Betrachte ein N-Teilchen-System mit einem Potential, das nicht explizit von 

der Zeit abhängt: U(r1·· rN) 

Dynamische Entwicklung → Trajektorie {r1(t) · · rN(t)} → Zeitliche Änderung 

des Potentials d 

dtU(r1(t) · · rN(t)) = N 

∇iU dri 

dt 

N 

= − Fi ˙ ri = 

− N 

mi ¨ ri ˙ ri = − N 

i=1 

mit T = 1 

2 

 

i 

mi ˙ r 2 i 

mi 

i=1 

1 d 

2 dt ˙ r 2 i 

=: − d 

dt T 

: Kinetische Energie 

⇒ Falls U nicht explizit zeitabhängig, ist die Gesamtenergie E = T + U eine 

” Konstante der Bewegung“ → Energieerhaltung 

Anwendungsbeispiele 

∗ Eindimensionales System mit Potential U(x) 

E = T + U = m 

2 ˙x2 + U(x) ⇒ ˙x 2 = 2 

m 

i=1 

(E − U(x)) = ( dx 

dt )2 

i=1


⇒ dt = ± m 

2(E−U(x)) 

x(t) 

dx ⇒ Bahnkurve x(t) aus t = t0± 

x(0) 

∗ Speziell: Pendel, Anfangsbedingungen ϕ0, ˙ϕ0 (zur Zeit t = 0) 

NB: ϕ 

Potentielle Energie: Schwerkraft F = mg 

⇒ U = mgz = mgl(1 − cos ϕ) 

Kinetische Energie: v = ˙ϕl ⇒ T = 1 

2m( ˙ϕl)2 

Energieerhaltung: U + T = ml 2 ( ˙ϕ2 

2 

g 

+ l (1 − cos ϕ)) = const. 

⇒ Bewegungsgleichung aus d 

dt 

1.1.2) 

˙ϕ 

Bewegungskonstante: 

2 g 

2 − l cos ϕ = const. 

am Umkehrpunkt: = g 

l cos ϕmax 

zur Zeit t = 0: = ˙ ϕ0 

2 

(U + T ) = 0 ⇒ ¨ϕ + g 

l 

2 

❀ Umkehrpunkt: cos ϕmax = cos ϕ0 − l 

2g ˙ϕ2 0 

Winkelgeschwindigkeit: ˙ϕ 2 = 2 g 

l 

g 

− l cos ϕ0 

(cos ϕ − cos ϕmax) 

 

→ dt = ±dϕ/ 2 g 

l (cos ϕ − cos ϕmax) 

T ϕmax 

Periode: T = dt = 4 dϕ/ 2 

0 

0 

g 

l (cos ϕ − cos ϕmax) 

 

l 

l 

= 4 

wobei K(x) = π 

2 

g 

K(sin ϕmax 

2 ) = 2π 

Bahnkurve: Aus Umkehrung von t(ϕ) 

Bis zum ersten Umkehrpunkt: 

ϕ 

t(ϕ) = ± d ˜ϕ/ 2 g 

(cos ˜ϕ − cos ϕmax) 

l 

ϕ0 

±ϕmax 

Erster Umkehrpunkt: t0 = ± 

g 

dx m 

2(E−U(x)) 

sin ϕ = 0 (vgl. 

(1 + 1 

16 ϕ2 max + · · · ) 

(1 + 1 

4 x2 + . . .) vollständiges elliptisches Integral 

 

ϕ0 

 

dϕ/ 

2 g 

l 

Bis zum zweiten Umkehrpunkt: 

ϕ 

t(ϕ) = t0 ∓ d ˜ϕ/ 2 g 


l 

±ϕmax 

 

+ : ϕ0 > 0 

− : ϕ0 < 0 

(cos ϕ − cos ϕmax) 

Bis zum dritten Umkehrpunkt: 

ϕ 

t(ϕ) = t0 + T/2 ± d ˜ϕ/ 2 g 


l 

etc. 

∓ϕmax 

d ˜ϕ/ 

0 

√ cos ˜ϕ − cos ϕmax 

= √ sin ϕ/2 ϕmax 

2 F(arcsin( 

), sin ) 

sin ϕmax/2 2 

 

elliptisches Integral 

mit Maximum: F( π ϕmax 

, sin ) = K(sin 2 2 ϕmax 

) 2 

1.1.4.3 Weitere Begriffe (vollständigkeitshalber) 

Betrachte nun allgemeine Kraftfelder Fi(r1 ·· rN, ˙ r1 ·· ˙ rN, t) mit Trajektorien 

{r1(t)·· rN(t)}


t1 

∗ Arbeit: W = − dt 

Fi(r1·· rN, ˙ r1·· ˙ rN, t) · ˙ ri 

t0 i 

(Arbeit, die in der Zeit von t0 bis t1 verrichtet wurde) 

∗ Leistung: P = dW 

dt 

 

= − Fi(r1·· rN, ˙ r1·· ˙ r1, t) · ˙ ri 

i 

∗ Dissipatives Kraftfeld: nicht-konservatives Kraftfeld 

Allgemeines Kraftfeld wird manchmal zerlegt in konservativen und 

dissipativen Anteil Fi = Fkons,i + Fdiss,i mit Fkons,i = − ∇iU(r1· 

· rN) 

(dissipativ ❀ i.A. Reibungskraft) 

Dann gilt: d 

dt (U +T ) = Fdiss,i ˙ ri (Leistung der dissipativen Kräfte) 

i 

und − t1 

dt Fi ˙ ri = − t1 

dt Fdiss,i ˙ ri für geschlossene Trajek- 

i 

t0 

torien {r1(t0)·· rN(t0)} = {r1(t1)·· rN(t1)}. 

1.1.5 Erhaltungssätze und Symmetrien 

Voraussetzung: Bezugssystem ist ein Inertialsystem 

Kräfte haben ein Potential (Potentialkräfte) 

1.1.5.1 Homogenität der Zeit und Energieerhaltung 

i 

Erinnerung: In 1.1.4.2 → Einführung der kinetischen Energie T über Energieerhaltung. 

Falls ein Potential U(r1 ·· rN) existiert und nicht explizit 

zeitabhängig ist, dann ist E = U + T eine Erhaltungsgröße. 

Nähere Betrachtung: 

t0 

- Potential U(r1 ·· rN) charakterisiert dynamische Entwicklung des Systems 

→ legt Bewegungsgleichungen fest. 

- Keine explizite Zeitabhängigkeit bedeutet: 

→ kein ausgezeichneter Zeitpunkt, keine absolute Zeit 

→ Bewegungsgleichungen translationsinvarant bzgl. Zeittranslationen 

oder ” homogen in der Zeit“ 

- Aus der Homogenität der Zeit folgt: Es existiert eine Erhaltungsgröße 

→ die Energie 

Beispiel für ein allgemeineres Prinzip (❀ Noethersches Theorem): 

Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie gehört eine Erhaltungsgröße. 

Dabei ist eine kontinuierliche Symmetrie: 

Transformation Ka: (r1·· rN, t) → a (r ′ 1 ·· r′ N , t′ ), 

welche Bewegungsgleichungen invariant lässt 

mit a: kontinuierlicher Parameter; a = 0 ⇔ Identität


Im Fall der Homogenität der Zeit: U(r1·· rN, t) hängt nicht von t ab 

→ Bewegungsgleichung invariant unter (r1 · · rN, t) → (r ′ 1 · · r′ N , t′ ) = 

(r1·· rN, t + a) 

Weitere Symmetrien/Invarianzen 

∗ Homogenität des Raumes (→ 1.1.5.2) 

Invarianz unter räumlichen Translationen ri = ri + a 

→ Impulserhaltung 

∗ Isotropie des Raumes (→ 1.1.5.3) 

Invarianz unter Drehungen ri = Da(ri) (D0 = 11) 

→ Drehimpulserhaltung 

∗ Eichinvarianz im elektromagnetischen Feld 

(nicht in dieser Vorlesung) 

→ Ladungserhaltung 

Allgemeine Voraussetzungen für Symmetrien 

Abgeschlossenes System: N Teilchen, keine bzw. fast keine Wechselwirkungen 

mit der Außenwelt. 

Dann gilt: Bewegungsgleichungen bleiben invariant unter allgemeiner 

Galileitransformation r Σ = Dr ¯Σ + d0 + v0t ¯Σ , t Σ = t ¯Σ + t0 

Daraus folgen Erhaltungssätze: 

t0 → Invarianz unter Zeittranslationen → Energie (1.1.5.1) 

d0 + v0t ¯Σ → Invarianz unter Raumtranslationen → Impuls (1.1.5.2) 

D → Invarianz unter Drehungen → Drehimpuls (1.1.5.3) 

1.1.5.2 Homogenität des Raumes und Impulserhaltung 

Homogenität des Raumes: 

→ In einem abgeschlossenen System sind die Bewegungsgleichungen invariant 

unter der Transformation (r1·· rN, t) → (r1+a·· rN +a, t) 

(Es gibt keinen ausgezeichneten Raumpunkt). 

Daraus folgt: 

NR: U(r1·· rN, t) = U(r1+a·· rN +a, t) ∀a ⇒ d 

daα U(r1+a·· rN +a, t) ≡ 0 

⇒ 0 = ∂U 

 

 

= ∂aα aα=0 

 

∂U d(riα+aα) 

∂r = 

iα daα 

i 

aα=0 ∂U 

= − ∂riα i 

 

Fiα = − 

i 

 

i 

⇒ d 

dt pi = 0 ⇒ 

i 

 

pi = const. 

i 

⇒ Der Gesamtimpuls P = pi ist eine Erhaltungsgröße. 

Folgerung: Schwerpunktsatz 

Gegeben ein System von N Teilchen, Massen mi 

˙piα = − d 

dt 

 

piα 

i


Definiere Schwerpunkt R = 

miri 

mi 

, Gesamtmasse M = mi 

Falls das System abgeschlossen ist, gilt ˙ R = P /M = 

const.. 

∗ Der Schwerpunkt eines abgeschlossenen Systems bewegt sich gleichförmig 

mit der Geschwindigkeit P /M 

∗ Das Schwerpunktsystem, in dem R am Ursprung sitzt, ist ein Inertialsystem 

(d.h. r → r ′ = r − R(t) ist eine Galileitransformation) 

1.1.5.3 Isotropie des Raumes und Drehimpulserhaltung 

Isotropie des Raumes: 

→ In einem abgeschlossenen System sind die Bewegungsgleichungen invariant 

unter (r1·· rN, t) → (Dar1·· DarN, t) 

Da: Drehung mit Drehachse a 

a , Drehwinkel |a| 

(Es gibt keine ausgezeichnete Raumrichtung). 

Daraus folgt: 

NR: U(r1·· rN, t) = U(Dar1·· DarN, t) ∀a 

Speziell |a| → 0 (infinitesimal): Da· ≈ [11 + a×]· (nach 1.1.3.2) 

⇒ d 

daα U(r1 

 

 

+ a × r1·· rN + a × rN, t) = 0 

a=0 

⇒ 0 = ∂U d 

daα 

i β(x,y,z) ∂riβ 

 

−Fiβ [riβ+(a×ri)β] = − 

Fiβ 

iβ 

d 

εγδβaγriδ = − daα 

γδ 

 

Fiβεγδβδαγriδ 

iβγδ 

= − 

εαδβriδFiβ = − 

iβδ 

 

εδβαriδFiβ = − 

iβδ 

 

(ri × 

i 

Fi)α = − 

(ri × 

i 

˙ pi)α 

⇒ d 

dt (ri × pi) = 

i 

 

(ri × 

i 

˙ pi) + 

( 

i 

˙ ri × pi) = 0 ⇒ 

ri × pi = const. 

i 

 

0 wegen oben 

 

0 weil ˙ ripi 

⇒ Der Gesamtdrehimpuls L = 

ri × pi ist eine Erhaltungsgröße. 

i 

Allgemeiner gilt: Falls in einem System keine Raumrichtung ausgezeichnet ist, 

gilt Drehimpulserhaltung. 

Beispiel: Ein Teilchen im Zentralpotential U(r) 

→ Keine Impulserhaltung (da Ort ausgezeichnet), aber Drehimpulserhaltung 

(keine ausgezeichnete Richtung) l = r × p = const.. 

Folgerungen: 

(i) Bahn r(t) ist immer in einer Ebene (r(t) ⊥ l) (ii) Flächensatz“: r(t) überstreicht zu gleichen Zeiten gleiche Flächen 

” 

(Fläche A(∆t) = 

t+∆t 

t 

= 1 

2m 

|d A| = 

t+∆t 

t 

t+∆t 

t 

|r × p| 

 

l 

| 1 

(r × v)dt| 

2 

dt = l 

2m ∆t)


1.1.5.4 Skaleninvarianz und Virialsatz 

Skaleninvarianz: Eine weniger allgemeine Symmetrie 

Angenommen, Potential hat Eigenschaft U(αr1·· αrN) = α K U(r1·· rN) 

Beispiele: 

• Gravitationskraft: U = 

i=j 

γ mimj 

|ri−rj| 

→ U(αr1·· αrN) = α−1U(r1·· rN) 

• gekoppelte Oszillatoren: U = 

kij(ri − rj) 2 

→ U(αr1·· αrN) = α 2 U(r1·· rN) 

→ Bewegungsgleichungen sind invariant unter Skalentransformation der Form 

ij 

K 

1− (r1·· rN, t) −→ (αr1·· αrN, α 2 t) 

(kontinuierliche Symmetrie Ka mit α = e a ; Identität bei a = 0 bzw. 

α = 1) 

Daraus folgt 

❀ d 

dt 

d 

dαU(αr1·· αrN) = d 

dα [αKU(r1·· rN)] = KαK−1U(r1·· rN) 

d 

dαU(αr1·· αrN) = 

(α=1) 

⇒ KU(r1·· rN) = 

⇒ d 

dt 

i 

∇iU(αr1·· αrN) · d(αri) 

dα 

i 

 

= ∇iU(αr1·· αrN) · ri 

∇iU(r1·· rN) · ri = − 

Firi = − 

˙piri 

 

ripi = 

i 

 

ri 

i 

˙ pi + 

 

−K·U 

 

˙ripi 

i 

mi ˙ r 2 = −KU + 2T 

i 

 

(ripi) = −K U + 2T 

i 

Kein richtig brauchbarer“ Erhaltungssatz ( 

” t 

ripi + dτ(KU − 2T ) = const.) 

0 

1 

Aber: nützliche Folgerung für zeitliche Mittelwerte 〈•〉 = lim 

T →∞ 

T 

0 

Falls System räumlich beschränkt ⇒ t 

ripi endlich ⇒ dτ(KU − 2T ) endlich ∀t 

0 

T 

⇒ lim 

T →∞ 0 

❀ Virialsatz: 

dτ(KU − 2T ) = lim T [K〈U〉 − 2〈T 〉] endlich ⇒ K〈U〉 − 2〈T 〉 = 0 

T →∞ 

Für räumlich beschränkte Systeme gilt 〈T 〉 = K 

2 〈U〉 

i 

i 

i 

T 

dt•


1.1.6 Übungen 

1.1.6.1 Blatt 1 

Quicky: 

1) Was versteht man unter einem Massenpunkt? 

2) Wie kann man die Bahn eines Massenpunktes parametrisieren? 

3) Wie berechnet man in einer solchen Parametrisierung Geschwindigkeit und 

Beschleunigung? 

4) Wie transformieren sich die Koordinaten eines Vektors unter Koordinatentransformation? 

5) Nennen Sie einige physikalische Größen, die durch Vektoren beschrieben 

werden. 

6) Was versteht man unter der trägen Masse? 

7) Wie ist der Impuls definiert? 

8) Wie reagiert der Impuls eines Körpers auf eine angelegte Kraft? 

9) Was ist ein Inertialsystem? 

10) Beschreiben Sie die drei Newtonschen Postulate. 

Aufgaben 

1) Hausaufgabe: Bahnkurve 

Die Bewegung eines Massenpunktes in zwei Raumdimensionen sei gegeben 

durch 

 

ut cos(ωt) 

r(t) = 

. 

ut sin(ωt) 

(a) Zeichnen Sie die Bahnkurve qualitativ. 

(b) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit v(t) und die Beschleunigung a(t). 

(c) Bestimmen Sie den Tangentialvektor der Bahnkurve t = v/v. 

(d) Berechnen Sie die Tangentialbeschleunigung aT : Den Anteil der Beschleunigung 

in Richtung von t. 

(e) Berechnen 

 

Sie die Bogenlänge des zurückgelegten Weges: S(t) = 

t 

0 dτ |v(τ)|. 

(Das Integral darf nachgeschlagen werden). 

2) Vektoren 

Beweisen Sie 

(a) (a × b) · ( b × c) × (c × a) = a · ( b × c) 2 

(b) (a − b) · (a + b) × c = 2a · ( b × c)


3) Gradient, Divergenz, Rotation 

Berechnen Sie 

(a) ∇r = grad r. 

(b) ∇(1/r) = grad (1/r). 

(c) ∇ · (r/r) = div (r/r). 

(d) ∇ × (r/r) = rot (r/r). 

(e) ∆(1/r) 

1.1.6.2 Blatt 2 

Quicky: 

11) Wie lautet das Newtonsche Kraftgesetz? 

12) Was beschreibt die Galilei-Transformation? Wie lautet sie? 

13) Warum treten in beschleunigten Bezugssystemen Scheinkräfte auf? 

14) Was ist die Zentrifugalkraft und die Corioliskraft. Wie lauten die Gleichungen 

dafür? 

Aufgaben 

4) Hausaufgabe: Inhomogene lineare Differentialgleichung 

An einem Körper in einem dissipativen Medium greife neben der Stokeschen 

Reibungskraft FReibung = −αv noch eine periodische äußere Kraft 

Fextern = f sin(ωt) an. 

(a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für die Geschwindigkeit auf. Sie 

erhalten eine inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung. 

Um sich das Leben zu erleichtern, bringen Sie diese in die 

Form 

d˜v 

d˜t + ˜v = sin(˜ω˜t) (1.1) 

durch Einführung geeignet reskalierter Variablen ˜t ∝ t, ˜v ∝ v, ˜ω ∝ ω. 

(b) Lösen Sie zunächst die homogene Differentialgleichung. Sie erhalten 

˜vhom = V exp(−˜t). 

(c) Finden Sie nun eine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung. 

Machen Sie dazu den Ansatz ˜vinh = V (˜t) exp(−˜t) und setzen Sie ihn 

in die Gleichung (1.1) ein. Sie erhalten eine Gleichung für V (˜t), die 

Sie lösen können. 

Man nennt diese Methode “Variation der Konstanten”. 

(d) Berechnen Sie die Bahnkurve des Körpers für vorgegebenen Anfangsort 

x(t = 0) = x0 und Anfangsgeschwindigkeit v(t = 0) = v0.


5) Hausaufgabe: Harmonischer Oszillator 

(a) Die Differentialgleichung des gedämpften harmonischen Oszillators 

lautet: 

m¨x + α ˙x + mΩ 2 x = 0 

Lösen Sie diese mit vorgegebenen Anfangsbedingungen x0 und v0. 

Hinweis: Machen Sie einen Exponentialansatz x(t) ∝ exp(λt) und 

lassen Sie auch komplexe Werte für λ zu. 

(b) Die Lösung zu (a) lautet 

x(t) = e −βt ( x0 cos(ωt) + βx0 + v0 

ω 

sin(ωt) ) 

mit ω = Ω 2 − (α/2m) 2 und β = α/2m. Diskutieren Sie die Fälle 

α/2m < Ω (Schwingfall) und α/2m > Ω (Kriechfall). Skizzieren Sie 

für jeden dieser Fälle eine typische Trajektorie. 

(c) Wie lautet die Lösung im Grenzfall α/2m −→ Ω (aperiodischer 

Grenzfall) ? 

Hinweis: Entwickeln Sie sin(ωt)/ω. 

6) Rasensprenger Ein Rasensprenger sei folgendermaßen konstruiert: 

Er besteht aus einer sphärischen Kappe (siehe 

Bild) mit einer großen Anzahl gleichgroßer 

Löcher, durch die Wasser mit einer Geschwindigkeit 

v0 herausspritzt. Wären die Löcher mit 

gleicher Dichte verteilt, dann würde der Rasen 

nicht gleichmäßig besprengt. 

Mit welcher Dichte ρ(α) müssen die Löcher verteilt sein, damit eine kreisförmige 

Fläche gleichmäßig besprüht wird? 

Nehmen Sie an, dass der Radius des Rasensprengers sehr viel kleiner ist 

als der Radius der besprengten Fläche, und dass der Sprenger auf der 

Höhe des Rasens steht. Die Luftreibung dürfen Sie vernachlässigen. 

7) “Skyhook” Satellit 

Der Science fiction Autor Heinlein beschreibt einen Satelliten, der aus einem 

langen, direkt über dem Äquator plazierten Seil besteht. Das Seil ist 

entlang des Radius zum Erdinneren ausgerichtet und bewegt sich so, dass 

es dem Erdbeobachter scheint, als sei es an einem festen Punkt über dem 

Äquator aufgehängt. Das untere Seilende hängt direkt über der Erdoberfläche. 

Wie lange ist das Seil? 

Hinweise: Nehmen Sie an, dass die Masse des Seils gleichverteilt auf dem 

Seil ist. Zwischen zwei Körpern der Masse m1 und m2 wirkt die Gravitationskraft 

F = γm1m2/r 2 . Der Radius der Erde ist R = 6.4 · 10 6 m. Sie 

dürfen so rechnen, als sei die ganze Masse der Erde im Erdmittelpunkt 

konzentriert (wir werden noch sehen, warum). Die Erdbeschleunigung an 

der Oberfläche der Erde ist g = 9.81m/s 2 . Ein Tag hat 24 Stunden.


1.1.6.3 Blatt 3 

Quicky: 

15) Was versteht man unter einem Wegintegral? 

16) Wie sind Arbeit und Leistung definiert? 

17) Was versteht man unter einem Potential? 

18) Unter welchen Bedingungen besitzt ein Kraftfeld ein Potential? 

(Nennen Sie die lokale und die globale Formulierung). 

19) Was versteht man unter einem konservativen Kraftfeld? 

20) Welche Form muss eine konservative Zentralkraft haben? 

21) Wie ist die kinetischen Energie definiert? 

22) Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen Erhaltungssätzen (z. B. Energie, 

Impuls, Drehimpuls) und Symmetrieeigenschaften des Raums. 

23) Was versteht man konkret unter “Homogenität der Zeit”, “Homogenität 

des Raumes”, “Isotropie des Raumes”? 

24) Wie ist der Schwerpunkt eines Systems von Massenpunkten definiert? 

25) Wie bewegt sich bei Impulserhaltung der Schwerpunkts eines Systems? 

Aufgaben 

8) Hausaufgabe: Potential 

a) Berechnen Sie die Kraft auf einen Massenpunkt im Potential U(r) = 

e −κ|r−a| /|r − a| 

b) Untersuchen Sie, ob die folgenden Kräfte aus einem Potential U(x1, x2, x3) 

hergeleitet werden können: 

F1 = (x1 − x2) x3 2 

F2 = (x2 − x1) x3 2 

F3 = (x1 − x2) n x3. 

c) Für den Fall n = 2 sollten Sie in b) herausbekommen, dass ein Potential 

existieren muss. Berechnen Sie dieses. 

Hinweis: Integrieren Sie 

i dxiFi entlang eines geeignet gewählten 

Pfades. 

9) Energieerhaltung 

Ein Massenpunkt gleite unter dem Einfluß der 

Schwerkraft reibungsfrei eine schiefe Ebene von 

der Höhe h hinunter (die Anfangsgeschwindigkeit 

sei Null) und steige anschließend in einer 

Kreisbahn mit dem Radius R wieder hoch. Bei 

zu geringer Geschwindigkeit fällt er irgendwann 

aus der Kreisbahn heraus und bewegt sich von 

da an in einer Wurfparabel weiter.


Wie groß muss h mindestens sein, damit die Kreisbahn voll durchlaufen 

wird? 

10) Doppelmuldenpotential 

Ein Körper der Masse m bewege sich auf einer geraden Schiene unter dem 

Einfluß eines Potentials U(x) = −ax 2 + bx 4 , wobei x seine Position auf 

der Schiene beschreibt. Zur Zeit t = 0 befinde er sich am Ort x0 = a/b 

in Ruhe. 

a) Zeichnen Sie das Potential U(x) als Funktion von x und tragen Sie 

den Anfangsort x0 ein. Überlegen Sie qualitativ, wie die Bahn x(t) 

wohl verlaufen wird (Skizze). 

b) Berechnen Sie nun die Bahn x(t). Sie können z. B. folgendermaßen 

vorgehen: 

– Nutzen Sie die Energieerhaltung aus, um die folgende Gleichung 

herzuleiten: 

( d˜x 

dt )2 = 2a 

m ˜x2 (1 − ˜x 2 ) mit ˜x = x/x0 

– Berechnen Sie daraus t als Funktion von (x/x0). (Schlagen Sie 

die nötigen Integrale nach). 

– Lösen Sie nach x auf.

1.2. ANWENDUNG: DAS ZWEIKÖRPERPROBLEM 37 

1.2 Anwendung: Das Zweikörperproblem 

Wichtiger Spezialfall: ” Abgeschlossenes“ System aus zwei Teilchen 

❀ Potential: U(r1, r2) = U(|r1 − r2|), Massen m1, m2 

Besondere Bedeutung 

- In allgemeiner Form lösbar 

(ist ab drei Körpern schon nicht mehr möglich) 

- Beschreibt in guter Näherung 

Vorbemerkungen 

Es gilt 

∗ Planetenbahnen (Keplerproblem: Sonne-Planet) 

∗ Streuung an einem Teilchen 

erlaubt Rückschlüsse auf Lage des Streuzentrums und auf Form 

des Potentials (nicht eindeutig) 

- Impulserhaltung: m1 ˙ r1 + m2 ˙ r2 = const. 

❀ Schwerpunktsatz 

- Energieerhaltung: 1 

2m1 ˙ r 2 1 

1 + 2m2 ˙ r 2 2 + U(|r1 − r2|) = const. 

- Drehimpulserhaltung: r1 × (m1 ˙ r1) + r2 × (m2 ˙ r2) = const. 

Definiere Gesamtmasse: M = m1 + m2 

1.2.1 Reduktion auf ein eindimensionales Problem 

1.2.1.1 Schwerpunkt- und Relativkoordinaten 

• Impulserhaltung und Schwerpunktsatz 

❀ Schwerpunkt R = 1 

M (m1r1 + m2r2) bewegt sich mit 

gleichförmiger Geschwindigkeit 

Gesamtimpuls P = M · ˙ R = 

const. 

Nutze diese Information aus: Die Bewegungsgleichungen sind für eine Linearkombination 

von r1 und r2 schon gelöst. Brauche nur noch eine weitere 

Kombination zu betrachten. 

• Naheliegende Wahl für zweite Kombination ergibt sich aus Form des Potentials 

U = U(|r1 − r2|): Relativkoordinaten r = r1 − r2. Dann ist 

U = U(|r|)


Umrechnung: 

R = m1 

M r1 + m2 

M r2 

 

bzw. R m1 m2 

= M M r1 

r = r1 − r2 (Matrixschreibweise) r 1 −1 r2 

m1 m2 −1 

r1 

R 

m1 m2 −1 

⇒ = M M 

; M M 1 

= 

r2 1 −1 r 1 −1 

❀ r1 = R + m2 

M r 

r2 = R − m1 

M r 

1.2.1.2 Bewegungsgleichungen für Relativkoordinaten 

Herleitung über Energieerhaltung 

- Potentielle Energie: U = U(r) 

- Kinetische Energie: T = 1 

2m1 ˙ r 2 1 

1 + 2m2 ˙ r 2 2 

m2 

M 

1 − m2 

M 

muss noch in Schwerpunkt- und Relativkoordinaten ausgedrückt werden 

Dazu: Matrixschreibweise T = 1 

 

˙r1 

2 

 

˙r2 

m1 

0 

 

0 ˙r1 

m2 ˙r2 

 

r1 1 m2/M R 

Es gilt: = 

r2 1 −m2/M r 

 

˙r1 1 m2/M 

⇒ == 

˙r2 1 −m1/M 

 

R ˙ 

und 

˙r 

 

r1 

˙ ˙r2 == ˙R 

r ˙ 1 

m2/M 

❀ T = 

 

1 

−m1/M 

1 

 

˙R ˙ 

2 r 

 

1 1 m1 0 1 m2/M 

˙R 

m2/M −m1/M 0 m2 1 −m1/M ˙r 

 

 

M 0 

= 

0 m1m2/M 

1 

 

˙R 

2 

 

r ˙ M 

0 

 

0 

m1m2/M 

 

R ˙ 

= 

˙r 

1 

2 M ˙ R 2 1 m1m2 + 2 M 

˙ r 2 

⇒ T = 1 

2 M ˙ R 2 + 1 

2 µ ˙ r 2 

mit der reduzierten Masse: µ = m1m2 

m1 + m2 

❀ Gesamtenergie: E = T + U = 1 

2M ˙ R 2 1 + 2 µ ˙ r 2 + U(r) = const. 

Wegen ˙ R = const. gilt: 1 

2 µ ˙ r 2 + U(r) = const. 

⇒ d 1 

dt [ 2 µ ˙ r 2 + U(r)] = µ ˙ r ¨ r + ∇U · ˙ r ≡ 0 

⇒ ˙ r[µ ¨ r + ∇U] ≡ 0 (immer!) ⇒ µ ¨ r + ∇U ≡ 0 

⇒ Bewegungsgleichung: µ ¨ r = − ∇U 

Die Relativbewegung ist identisch mit der Bewegung eines 

einzelnen Massenpunktes der reduzierten Masse µ im Potential U(r). 

⇒ Problem reduziert auf Bewegung eines Teilchens im Zentralpotential U(r) 

Kraft (vgl. 1.1.4): Zentralkraft F = − ∇U = − dU 

dr ∇|r| = − dU 

dr 

r 

r


1.2.1.3 Bewegung im Zentralpotential 

Vorbemerkung: Da U(r) Zentralpotential, ist nach 1.1.5.3 der Relativdrehim- 

puls l = r × (µ ˙ r) erhalten. 

(NB: Gesamtdrehimpuls: L = r1 × (m1 ˙ r1 + r2 × (m2 ˙ r2) = l + R × (M ˙ R) 

[Beweis: Einsetzen]) 

Folgerung: Fallunterscheidung 

(i) l ≡ 0 ⇒ r ˙ r r bewegt sich auf Geraden durch Ursprung. 

→ Eindimensionale Bewegung: µ¨r = − dU 

dr 

(ii) l = 0 ⇒ wegen l ∝ r × ˙ r ist r ⊥ l und ˙ r ⊥ l 

❀ r(t) liegt in Ebene durch Ursprung, die senkrecht zu l steht (vgl. 

1.1.5.3 

Ebene Bewegung 

Wähle Koordinatensystem mit z-Achse in Richtung l Benutze ⎛ Polarkoordinaten: 

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

cos ϕ − sin ϕ 0 

er = ⎝sin 

ϕ⎠; 

eϕ = ⎝ cos ϕ ⎠; ez = ⎝0⎠ 

0 

0 

1 

⎛ ⎞ 

r cos ϕ 

r(t) = ⎝r 

sin ϕ⎠ 

= rer 

0 

⎛ ⎞ 

r cos ϕ 

r(t) = ⎝r sin ϕ⎠ 

= rer ; 

⎛ 

⎞ 

˙r cos ϕ + r ˙ϕ sin ϕ 

r(t) ˙ = ⎝ ˙r sin ϕ − r ˙ϕ cos ϕ⎠ 

= ˙rer + r ˙ϕeϕ 

0 

0 

⇒ r × ˙ 

r = rer × ( ˙rer + r ˙ϕeϕ) = r ˙r(er × er) + r2 ˙ϕ(er × eϕ) = r2 ˙ϕez 

˙r 2 = ( ˙rer + r ˙ϕeϕ)) 2 = ˙r 2 e 2 r +2 ˙rr ˙ϕereϕ) + r 

 

1 

2 ˙ϕ 2 e 2 ϕ = ˙r 

 

1 

2 + r2 ˙ϕ 2 

Nutze Drehimpulserhaltung aus: µr × ˙ r = lez = µr 2 ˙ϕez ⇒ ˙ϕ = l/µr 2 

Nutze Energieerhaltung aus: 

const. = 1 

2 µ ˙ r 2 + U(r) = 1 

2 µ ˙r2 + µr2 

˙ϕ 2 2 + U(r) = 1 

2 µ ˙r2 + 1 

2 

= µ 

2 ˙r2 + Ueff(r) mit Ueff(r) := U(r) + l 2 /2µr 2 

d µ 

( dt 2 ˙r2 + Ueff(r)) = µ ˙r¨r + ˙r dUeff dr = 0 

→ Bewegungsgleichung: µ¨r = − dUeff 

dr 

Zusammenfassung von (i) und (ii) 

Bewegung der Relativkoordinate r(t) 

l 2 

µr2 + U(r) 

- Ebene Bewegung in derjenigen Ebene durch den Ursprung, die auf l 

senkrecht steht 

(bzw. falls l = 0: Eindimensionale Bewegug auf Geraden r)


- Betrag von r bewegt sich wie eindimensionale Masse µ im effektiven 

Potential Ueff(r) = U(r) + l 2 /2µr 2 

❀ Radialgleichung: µ¨r = − dUeff 

dr 

- Winkelkoordinate folgt aus l = µ|r × ˙ r| = const.. 

in Polarkoordinaten mit ⎛ ⎞ 

cos ϕ 

l ez, r = r ⎝sin 

ϕ⎠: 

˙ϕ = 

0 

l 

µr2 1.2.1.4 Integration der Bewegungsgleichungen 

- Radialgleichung 

Über Energie der Radialbewegung: E = µ 

2 ˙r2 + Ueff(r) = const. 

⇒ ˙r = ± 

 

⇒ t = ± 

 

2 

µ (E − Ueff(r)) = dr 

dt 

r0 

- Winkelgleichung 

r 

❀ dt = ±dr/ 

 

2 

d˜r/ 

µ (E − Ueff(˜r)) = t(r) 

Implizite Gleichung für r(t) 

Über ˙ϕ = l 

µr2 = dϕ dϕ 

dt = dr 

⇒ dϕ 

dr 

· ˙r = ± dϕ 

dr 

2 

 

2 

µ (E − Ueff(r)) 

l = ± µr2 

2 

µ (E − Ueff(r)) ❀ dϕ = ±dr · l 

 

⇒ ϕ(r) = ± 

1.2.2 Das Kepler-Problem 

r0 

r 

l 

d˜r 

˜r 22µ(E − Ueff(˜r)) 

Wichtigster Spezialfall des Zweikörperproblems 

Potential der Form U(r) = −α/r 

Beispiele: Gravitationskraft: U(r) = γm1m2/r 

Coulombkraft: U(r) = q1q2/r 

1.2.2.1 Qualitative Analyse 

Betrachte das effektive Potential Ueff = − α 

r 

+ l2 

2µr 2 

µ (E − Ueff(r)) 

 

r2 

2 

µ (E − Ueff(r))


∗ Fall α > 0: 

Möglich Bahnen: 

(i) E = U0 : r(t) ≡ r0 → Kreisbahn 

(ii) U0 < E < 0 : r(t) bleibt beschränkt 

❀ gebundene (geschlossene) Bahn 

(ii) E > 0 : r(t) reicht ins Unendliche 

❀ ungebundene Bahn 

∗ Fall α < 0: 

Alle Bahnen ungebunden 

1.2.2.2 Semiquantitative Analyse 

Betrachte Bewegung mit Energie E 

Minimum: 

r0 = l2 

µα 

U0 = − µα 

2l 2 

Energie E muss 

größer als U0 sein 

Nur Energien E > 0 

möglich 

Bestimme maximale und minimale Entfernung vom Ursprung 

❀ E = Ueff(r) ⇒ E + α 

r 

Fälle: (i) U0 < E < 0 (α > 0) 

− l 

2µr 2 = 0 ⇒ 1 

r± 

❀ r+ und r− reell und positiv 

❀ Zwei Umkehrpunkte, gebundene Bahn 

(ii) E > 0 (α ≷ 0) 

= µα 2El2 

(1 ± 

l2 µα 

❀ r+ positiv, r− negativ ❀ unphysikalische Lösung 

❀ Nur ein Umkehrpunkt, ungebundene Bahn 

2 )


1.2.2.3 Quantitativ: Integration der Bewegungsgleichungen 

r 

Benutze Winkelgleichung ϕ = ± d˜r 

Vereinfachung: E − Ueff(r) = E + α l2 

− r 

r0 

l 

˜r 2√2µ(E−Ueff(˜r)) Vorfaktor vor 1 

r 2 ist − l 

2µ ⇒ E − Ueff(r) = l 

2µ 

Variablentransformation: ˜r = 1 

τ ⇒ d˜r/˜r2 = dτ 

2µr2 ist quadratisch in 1 

r 

1 1 

( − )( r r + 1 

r 

 

dτ (τ − 1 

)(τ − r + 1 

) = ϕ0 ∓ arccos 

r− Einsetzen: ϕ = ∓ 

1/r 

1/r0 

⇒ 1 1 1 

= ( + r 2 r+ 

1 

) + 

r− 

 

=:1/p 

1 1 

( − 

2 r+ 

1 

) · cos(ϕ − ϕ0) 

r− 

 

=:ε/p 

Definiere p und ε und setze ein (s.o.) 1 

r ± 

= µα 

l2 

(1 ± 1 + 2El2 

µα2 ) 

⇒ p 

r = 1 + ε cos(ϕ − ϕ0) mit p = l2 

µα 

; ε = 

 

, Nullstellen 1 

r ± 

− 1 

r − ) 

2 − 1 − 

r r + 1 

r− ( 1 

r + − 1 

r − ) 

1 + 2El2 

µα 2 

Gleichung in Polarkoordinaten für einen Kegelschnitt, dessen Brennpunkt 

im Ursprung liegt. 

p = “Parameter“ 

ε = “Exzentrizität“ 

ϕ = ϕ0 = ” Perihel“ 

r liegt Zentrum am nächsten 

Illustration durch Umrechnung in kartesische Koordinaten 

Einfachheitshalber ϕ0 = 0 x = r cos ϕ, y = r sin ϕ 

p = r+ε r cos ϕ ❀ (p−εx) 

 

x 

2 = r2 = x2 +y2 ❀ y2 +x2 (1+ε2 )+2εpx−p2 = 0 

 

⇒ 

Fallunterscheidung 

ε = 1 : y 2 ( 1+ε2 

p 2 ) + (x + pε 

1−ε 2 ) 2 ( 1−ε2 

p )2 = 1 

ε = 1 : y 2 = p 2 − 2px 

(i) ε 2 < 1 (E < 0) → Gleichung der Form ( y 

a )2 + ( x+x0 

b ) 2 = 1 

❀ Ellipsen-Bahn mit Halbachsen a und b 

a = p 

√ 1−ε 2 = l 

√2µ|E| 

b = p 

1−ε 2 = α 

2|E| 

Speziell: Berechne Umlaufzeit aus Flächensatz (1.1.5.3) 

Überstrichene Fläche pro Zeit dt: dA = l 

2µ dt 

Gesamtfläche: A = πab 

A = π · α · 

⇒ Umlaufzeit: T = 2µ 

l 

µ 

2|E| 3 

• T hängt nicht vom Drehimpuls l ab


• T 2 ∝ |E| −3 ∝ b 3 : Drittes Keplersches Gesetz 

(ii) ε2 = 1 (E = 0) → Gleichung x = p y2 

2 − 2p 

❀ Parabel 

ungebunden, Geschwindigkeit im 

Unendlichen verschwindet 

(iii) ε 2 > 1 (E > 0) → Gleichung der Form −( y 

a )2 + ( x−x0 

b ) 2 = 1 

❀ Hyperbel mit Halbachsen a und b 

a = l √ , b = |α|/2E 

2µE 

ungebundene Bahn, am Potential 

abgelenkt um ϑ mit tan ϑ = b/a 

 

µα2 ⇒ Ablenkwinkel: ϑ = 2 · arctan 

2El 2 

1.2.2.4 Rückrechnung auf absolute Koordinaten 

- Im Schwerpunktsystem ( R(t) ≡ 0) 

 

r1(t) = r(t) · m2/M 

r2(t) = −r(t) · m1/M 

Beispiel gebundene Bahnen (Ellipsen) 

Bahnen von r1, r2 gleiche 

Form wie r(t), nur reskaliert 

Falls Massen sehr unterschiedlich, z.B. Planetenbahn: mSonne ≫ mPlanet: 

❀ Große Masse steht nahezu (sehr enge Bahn) 

❀ Beinahe echtes“ Zentralkraftproblem 

” 

mit reduzierter Masse µ = mPlanetmSonne ≈ mPlanet 

mPlanet+mSonne 

- In beliebigem System ( R(t) = R0 + P /M · t) 

r1(t) = r(t) · m2/M + R(t) 

r2(t) = −r(t) · m1/M + 

Addiere gleichförmige Bewe- 

R(t) gung zu r(t) dazu 

Bemerkung: In jedem Inertialsystem sind beide Massen zur Zeit t = ±∞ 

im Unendlichen; selbst bei sehr großem Massenunterschied lässt sich kein 

Inertialsystem finden, in dem die schwerere Masse asymptotisch ruht. Eigenart 

der langen Reichweite des Potentials −α/r. (Beweis: Übungsaufgabe) 

1.2.3 Elastische Streuung von Teilchen 

Betrachte nun beliebiges Potential U(r) mit lim 

r→∞ = 0 

Frage: Wie werden ungebundene Teilchen aneinander abgelenkt? 

Vorweg: Rückführung auf Einteilchenproblem gemäß 1.2.1.


1.2.3.1 Streuung eines einzelnen Teilchens im Zentralpotential 

• Geometrie 

Der ” Stoßparameter“ b ist der Abstand, mit dem das Teilchen am Streuzentrum 

vorbeifliegen würde, wenn dieses nicht streuen würde. 

• Grundsätzlich gilt: 

 

t → −∞ : p2 /2µ 

Energieerhaltung: E = const. = 

t → +∞ : p ′2 /2µ 

Drehimpulserhaltung: 

l = const. 

t → −∞ : r(t) × p 

= 

t → +∞ : r(t) × p ′ 

 

⇒ p = p ′ 

❀ Bahn liegt in einer ” Streuebene“, aufgespannt von p und p ′ 

❀ Betrag von l: l = bp = b ′ p ′ ⇒ b = b ′ 

• Streuwinkel ϑ hängt vom Stoßparameter b ab: 

Mit l = bp, E = p2 

2µ 

Berechnung nach 1.2.1.4: ϑ = π−2ϕ 

∞ 

mit ϕ = 

rmin folgt: ϑ = π − 2 

 

d˜r 

˜r 2 

l 2µ(E − U(˜r) − l2 /2µ˜r 2 ) 

∞ 

rmin 

1.2.3.2 Streuung eines Strahls von Teilchen 

d˜r 

˜r 2 

b 

 

1 − 2µU(˜r)/p2 − b2 /˜r 2 

In der Praxis typischerweise viele gleichartige Streuereignisse 

❀ Streuung eines ” Strahls“ von gleichartigen Teilchen


∗ Charakterisierung durch ” differentiellen Streuquerschnitt“: 

Zahl der Teilchen, die in einem bestimmten Winkelbereich gestreut werden, 

pro einlaufendem Teilchenstrom 

- Einfallender Strahl 

Impuls p 

Teilchenstromdichte J = 

- Auslaufende Teilchen 

Teilchen 

Zeit·Querschnittsfläche A0 

Impulse p ′ mit |p ′ | = |p| 

❀ Kugel von möglichen Richtungen p ′ /|p ′ | 

Teilbereich von Impulsen p ′ wird durch ” Raumwinkel“ charakterisiert: 

” Flächenanteil“ auf Kugel von möglichen p′ /|p ′ | (Einheitskugel) 

Infinitesimaler Raumwinkel: dΩ = sin ϑ dϑ dϕ 

- Differentieller Streuquerschnitt 

Aus der Zahl der Teilchen dN pro Zeit, die in den Raumwinkel dΩ 

gestreut werden: dN = dΩ · J · dσ 

dΩ 

dσ 

dΩ 

∗ Berechnung von dσ 

dΩ 

: Differentieller Streuquerschnitt, Eigenschaft des Streupotentials 

- Für gegebenes Potential U(r) sei Zusammenhang zwischen Streuwinkel 

und Stoßparameter bekannt: ϑ(b) 

- Anzahl der Teilchen 

mit Stoßparameter in [b, b + db] 

und Azimutwinkel in [ϕ, ϕ + dϕ]: 

dN = J b db dϕ 

- Diese Teilchen werden in Raumwinkel dΩ = sin ϑ dϑ dϕ gestreut 

(i) Falls ϑ(b) eindeutig umkehrbar ist: b(ϑ) 

❀ dN = J b db dϕ = dΩ J dσ 

dΩ 

= sin ϑ dϑ dϕ J dσ 

dΩ


⇒ dσ b(ϑ) db 

= · | 

dΩ sin ϑ dϑ | 

(ii) Falls es zu einem gegebenen ϑ mehrere b gibt 

❀ mehrere Stoßparameterbereiche streuen in den gleichen Winkelbereich 

❀ Beiträge (bα=Lösungen von ϑ(bα) = ϑ0) müssen aufsummiert 

werden: dσ bα(ϑ) dbα 

dΩ = sin ϑ · | dϑ | 

Beispiel: 

(iii) Spezialfälle: 

(1) dϑ 

db 

bα 

= 0 ⇒ dσ 

dΩ → ∞ ” Regenbogenstreuung“ 

(2) sin ϑ = 0, b = 0 ⇒ dσ 

dΩ → ∞ ” Glory“, ” Rückwärtsstreuung“ 

(3) sin ϑ = 0, b = 0 ⇒ alles möglich! 

1.2.3.3 Rutherfordstreuung 

Streuung speziell an einem Potential der Form U(r) = −α/r 

(z.B. Streuung an geladenen Teilchen) 

Zusammenhang ϑ(b) bekannt aus 1.2.2.3: 

ϑ = 2 arctan 

❀ b(ϑ) = |α| 

db 

dϑ 

= |α| 

4E · 

 

µα2 2El2 mit l = bp, E = p2 

|α| 

2µ ⇒ ϑ = 2 arctan 

2E · 1 

tan(ϑ/2) 

1 

sin2 (ϑ/2) 

⇒ Differentieller Streuquerschnitt dσ b(ϑ) 

dΩ = sin ϑ 

dσ 

dΩ 

|α|2 

= · 

16E2 1 

sin 4 (ϑ/2) 

2Eb 

db · | dϑ | durch Einsetzen:


1.2.4 Übungen 

1.2.4.1 Blatt 4 

Quicky: 

26) Unter welchen Voraussetzungen gilt Drehimpulserhaltung? 

27) Unter welchen Voraussetzungen gilt Impulserhaltung? 

28) Unter welchen Voraussetzungen gilt Energieerhaltung? 

29) Was besagt der Keplersche Flächensatz? 

30) Was versteht man unter Schwerpunkt- und Relativkoordinaten? 

31) Was ist die reduzierte Masse? 

Aufgaben 

11) Hausaufgabe: Drehimpuls 

Ein Körper der Masse m bewege sich auf einer Ellipse mit der Geschwin- 

digkeit 

v = 

−ωa sin(ωt) 

ωb cos(ωt) 

Der Ort zum Zeitpunkt t = 0 sei r0 = (a, 0). 

(a) Berechnen Sie den Drehimpuls um r = 0 

(b) Berechnen Sie den Drehimpuls in einem Koordinatensystem, in dem 

der Ursprung bei r0 liegt. 

In welchem Fall ist der Drehimpuls erhalten? 

12) Elastischer Stoß 

Betrachten Sie den elastischen Stoß zweier identischer harter Kugeln mit 

der Masse m und dem Radius R. Die erste Kugel befinde sich im Laborsystem 

in Ruhe (p1 = 0), ihr Mittelpunkt liege auf der x-Achse. Die zweite 

Kugel bewege sich mit dem Impuls p2 = (p2, 0, 0) in x Richtung auf die 

erste Kugel zu. Ihre Bahn vor dem Stoß sei dabei auf der Linie (x, R, 0) 

(d.h., entlang der x-Achse, aber in y-Richtung um R versetzt). Beim Stoß 

soll es keine Reibungsverluste geben. 

(a) Wie lauten die Impulse p1 und p2 vor dem Stoß im Schwerpunktsystem? 

(b) Wie lauten sie nach dem Stoß im Schwerpunktsystem? 

(Nützen Sie Energie-, Impuls- und Drehimpulserhaltung aus.) 

 

. 

(c) Wie lauten sie nach dem Stoß im Laborsystem? 

(d) Führen Sie die gleiche Rechnung durch für den Fall, dass die Masse 

der beiden Kugeln verschieden ist.


13) Zentralpotential 

Betrachten Sie einen Massenpunkt der Masse m, der sich mit der Energie 

E und dem Drehimpuls l im Zentralpotential U(r) = −α/r 2 bewegt (α > 

0). 

(a) Berechnen Sie das effektive Radialpotential. Skizzieren Sie es und 

diskutieren Sie anhand Ihrer Skizze die Bahn des Teilchens qualitativ. 

Es gibt insgesamt drei verschiedene physikalisch sinnvolle Fälle 

für E und l. Welche? (Warum ist die vierte denkbare Möglichkeit 

physikalisch nicht sinnvoll?) 

(b) Stellen Sie die Radialgleichung für r(t) auf und berechnen Sie t(r). 

Bei geeigneter Wahl des Nullpunktes von t erhalten Sie 

t = 1 

 

m 

Er 

E 2 

2 − l2 

+ α. 

2m 

Unter welchen Umständen fällt ein Teilchen von einem Abstand r0 

ins Zentrum? Wenn es das tut, wie lange braucht es dafür? 

(c) Stellen Sie die Winkelgleichung für den Winkel φ auf und berechnen 

Sie φ(r). 

(d) Lösen Sie nach r(φ) auf. Wie sehen die Bahnen aus? 

Hinweis: Schlagen Sie die notwendigen Integrale nach. 

1.2.4.2 Blatt 5 

Quicky: 

32) Was für mögliche Bahnen kann ein Teilchen in einem Zentralpotential der 

Form U(r) = −α/r ausführen? 

33) Was versteht man unter dem differentiellen Streuquerschnitt? 

Aufgaben 

14) Hausaufgabe: Rutherfordstreuung 

Berechnen Sie die Streuung von Teilchen im Zentralpotential U(r) = 

−α/r. 

(a) Aus der Vorlesung wissen Sie, dass ein einzelnes Teilchen der Masse 

µ, der Energie E > 0 und des Drehimpulses l in dem Potential U(r) 

um den Winkel 

 

µα2 tan(θ/2) = 

2El 2 

abgelenkt wird. Berechnen Sie l als Funktion des Stoßparameters b 

und leiten Sie daraus eine Gleichung für den Zusammenhang zwischen 

b und θ ab. Sie erhalten tan(θ/2) = |α|/(2Eb). 

(b) Berechnen Sie daraus den differentiellen Streuquerschnitt dσ/dΩ für 

einen Teilchenstrahl.


(c) Skizzieren Sie eine mögliche Bahn eines einzelnen Teilchens. 

(d) Betrachten Sie nun zwei Massen m1 < m2, die aneinander (im wechselseitigen 

Gravitationsfeld) gestreut werden. Skizzieren Sie ein Beispiel 

für mögliche Bahnen beider Teilchen im Schwerpunktsystem. 

(e) (Zusatzaufgabe für besonders Ambitionierte) 

Zeigen Sie: Es gibt kein Inertialsystem, in dem eines der beiden Teilchen 

zur Zeit t → −∞ im Ursprung ist. 

15) ɛ-Tensor 

Der ɛ-Tensor ist folgendermaßen definiert: 

⎧ 

⎨ 1 für ijk = 123, 231, 312 

ɛijk = −1 

⎩ 

0 

für 

sonst 

ijk = 132, 213, 321 

(a) Zeigen Sie: Für die k-te Komponente von a × b gilt: [a × b]k = 

 

i,j ɛijkaibj 

(b) Beweisen Sie 

i,j ɛijkɛijp = 2δkp 

(c) Beweisen Sie 

i ɛijkɛilm = δjlδkm − δjmδkl 

(d) Benutzen Sie (a) und (c), um die Identität (a× b)(c× d) = (ac)( b d)− 

(a d)( bc) herzuleiten 

(e) Zeigen Sie mit Hilfe von (a) und (c): a × ( b × c) = (ca) b − ( ba)c. 

16) Lenz-vektor 

Betrachten Sie ein Teilchen mit dem Drehimpuls l im Zentralpotential 

U(r). Der Vektor A = ˙ r × l + U(r)r heißt Lenz-vektor. 

(a) Zeigen Sie, dass A im Potential U(r) = −α/r eine Erhaltungsgröße 

˙A ist (d.h. = 0). 

Hinweis: Beweisen und benutzen Sie z. B. ∇U = (dU/dr)(r/r), U ˙ = 

(dU/dr) (r ˙ r/r). 

(b) Berechnen Sie A 2 .

Kapitel 1: Newtonsche Mechanik (PDF, 0.84 MB) - Universität Bielefeld

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