Wiederholung: SRT

N.BORGHINI Relativistische Quantenmechanik Elementarteilchenphysik
Ähnlich bilden drei Operatoren V1, V2, V3 einen sog. Vektoroperator, wenn die Matrixelemente
sich gemäß
′
ψ
1 Vi
′
ψ 2 = Rik ψ1
Vk ψ2 (I.17a)
für alle |ψ1〉, |ψ2〉 in E und für jede Drehung R transformieren, entsprechend
S(R) −1 Vi S(R) = RikVk. (I.17b)
Schreibt man diese Beziehung für die infinitesimale Drehung (I.10d) um die j-Achse mit Jj ersetzt
durch J (E)
j , so findet man zur ersten Ordnung in dθ
Gleichung (I.11c) nach ist J (E) selber ein Vektoroperator.
Vi, J (E)
j = i ɛijkVk. (I.17c)
Man definiert noch Tensoroperatoren höherer Stufe, durch die Verallgemeinerung der Beziehung
(I.17a) auf mehrere Indizes.
I.1.4 Spinoren
Bisher wurden nur Darstellungen entsprechend ganzzahligen Werten von j diskutiert. Wenn
j = 1
2 , dann ist der Darstellungsraum von Dimension 2j + 1 = 2. In einer geeigneten Basis lauten
die Generatoren der Drehungen J = σ/2, mit σi den Pauli-Matrizen
0 1
0 −i
1 0
σ1 = , σ2 = , σ3 = . (I.18)
1 0
i 0
0 −1
Diese Matrizen genügen der Eigenschaft
woraus die Vertauschungsrelationen (I.11c) für σ/2 sofort folgen.
σiσj = δij + i ɛijkσk, (I.19)
Eine wichtige Besonderheit der Spin- 1
2 -Darstellung ist, dass J1 und J3 reelle Matrizen sind. Infolgedessen
können die Drehmatrizen (I.13) in dieser Darstellung auch komplexe Koeffizienten haben:
man findet einfach, dass der Operator für eine Rotation um θ um die Richtung mit Einheitsvektor
e durch11
S(R) = exp −i θ
σ ·e = cos
2 θ
2 12 −i sin θ
e · σ
2
(I.20)
gegeben ist. Somit ist der Darstellungsraum ein komplexer Vektorraum, statt eines reellen Vektorrraums.
Die zweikomponentigen Elemente dieses Darstellungsraums werden als Spinoren bezeichnet.
Die Matrizen S(R) sind komplexe 2×2-Matrizen. Dank der Hermitizität der Pauli-Matrizen
sind diese Matrizen unitär, vgl. Fußnote 6. Man prüft einfach nach, dass deren Determinante 1 ist.
Somit handelt es sich um die Matrizen der speziellen unitären Gruppe SU(2).
Gleichung (I.20) zeigt, dass die mit einer Drehung von 3 um 2π assoziierten Matrix tatsächlich
S(R) = −12 ist. In der Tat ist SU(2) keine lineare Darstellung von SO(3), sondern nur eine sogenannte
projektive Darstellung, für die S(R1R2) = e iφ(R1,R2) S(R1)S(R2) mit φ(R1, R2) einer
nicht-verschwindenden Phase gilt. Man kann zeigen, dass es einen Gruppenhomomorphismus
von SU(2) nach SO(3) gibt, nicht aber von SO(3) nach SU(2). Somit ist jede lineare Darstellung
von SO(3) auch eine Darstellung von SU(2), während es lineare Darstellungen von SU(2) gibt —
insbesondere die Darstellung von SU(2) durch SU(2) selber —, die SO(3) nicht treu darstellen.
Dies gilt, auch wenn SU(2) und SO(3) die gleiche Lie-Algebra (I.11c) haben.
11 Der Beweis der zweiten Gleichung beruht auf der Identität σ ·e 2 = 12 für einen auf 1 normierten Vektor e, die
sich aus dem Produkt (I.19) einfach herleiten lässt.
I. Spezielle Relativitätstheorie 12