Wiederholung: SRT

N.BORGHINI Relativistische Quantenmechanik Elementarteilchenphysik
Aus den zwei letzteren Gleichungen leitet man die Matrixelemente von J ab:
(Jj)kl = −iɛjkl. (I.11a)
In Matrixdarstellung lauten die drei Generatoren von SO(3)
⎛
0 0
⎞
0
⎛
0 0
⎞
i
⎛
0 −i
⎞
0
J1 = ⎝0
0 −i⎠
, J2 = ⎝ 0 0 0⎠
, J3 = ⎝i
0 0⎠
. (I.11b)
0 i 0
−i 0 0
0 0 0
Diese Matrizen sind hermitesch. Man prüft einfach nach, dass die Generatoren Jj den Vertauschungsrelationen
[ Ji, Jj] = iɛijk Jk
(I.11c)
genügen.
Allgemein lautet die infinitesimale Drehung um den Winkel dθ um die Richtung mit Einheitsvektor
e
R = 13 − i dθe · J, (I.12)
wobei zu beachten ist, dass das Punktprodukt e · J eine Matrix bezeichnet. Eine Drehung um einen
beliebigen Winkel θ kann dann als Produkt von N Drehungen um den Winkel θ/N um die gleiche
Achse ausgedrückt werden. Somit erhält man
R = lim
N→∞
13 − i θ
N e · J
N
= exp −iθe · J . (I.13)
Bemerkung: Die Einführung eines Faktors i in Gl. (I.10d), und entsprechend in die Matrizen Jj
Gl. (I.11), ist zwar überraschend, da die SO(3)-Matrizen reell sind. Dieser Faktor erlaubt aber eine
einfache Verallgemeinerung auf Gruppen komplexer Matrizen, wie z.B. in Abschn. I.1.4 unten.
I.1.3 b Lineare Darstellungen der Gruppe der Drehungen
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Wie schon in Abschn. (I.1.1) erwähnt wurde, handelt es sich bei den 3×3-Matrizen R im vorigen
Abschnitt um die Operatoren (auf R3 ) einer linearen Darstellung von Grad 3 der Drehungen R des
euklidischen Raums 3.
Allgemeiner kann man die Drehungen als Operatoren (bzw. Matrizen, wenn E endlicher Dimension
ist) S(R) auf einem Vektorraum E darstellen, mit S einem Gruppenhomomorphismus.
Betrachtet man dann eine infinitesimale Drehung, so lässt sich der assoziierte Operator in der
Form (I.12) schreiben, mit R bzw. den Matrizen Jj ersetzt durch S(R) bzw. durch drei Operatoren
J (E)
j . Meistens benutzt man unitäre Darstellungen, so dass die Generatoren J (E)
j hermitesch sind. 6
Dank Gl. (I.13) bestimmen die Letzteren völlig die Transformationen durch Drehungen.
Ein wichtiger Punkt ist, dass die Vertauschungsrelationen (I.11c) auch für die Generatoren J (E)
j
gelten. Diese Relationen werden (in der Physik) Lie-Algebra der Gruppe genannt. Daraus folgen
einige Ergebnisse: 7
• Der Operator J (E) 2 ≡ J (E)
1
2 + J (E)
2
2 (E) 2 (E)
+ J 3 kommutiert mit jedem Generator J j und
damit mit jedem Operator S(R). Somit ist jeder Eigenunterraum von J (E) 2 invariant unter
der Gruppe der S(R).
• Die möglichen Eigenwerte von J (E) 2 sind der Form j(j + 1) mit j ganz- oder halbzahlig.
• Die möglichen Eigenwerte von J (E)
3 im Eigenunterraum J (E) 2 assoziiert mit dem Eigenwert
j sind die 2j + 1 reellen Zahlen m = −j, −j + 1, . . . , j − 1, j. Ein zugehöriger Eigenvektor wird
hiernach als |j, m〉 bezeichnet.
6 (E)
Aus J †
j
folgt für die Drehung um θ um die j-Achse S(R) † = e iθJ(E) †
j
−iθJ
= e (E)
j = S(R) −1 .
= J (E)
j
7
Diese Eigenschaften sollten aus der Quantenmechanik-Vorlesung schon bekannt sein.
I. Spezielle Relativitätstheorie 9