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N.BORGHINI Relativistische Quantenmechanik Elementarteilchenphysik Mithilfe der Tensoren ηµν bzw. η µν kann man kontra- bzw. kovariante Lorentz-Indizes heraufbzw. herabziehen, ähnlich den Gleichungen (I.38) und (I.40). Wendet man diese Möglichkeit an η µν selber, so erhält man η µ ν = η µρ ηρν = δ µ ν, (I.43) mit δ µ ν = 1 wenn µ = ν und 0 sonst dem üblichen Kronecker-Symbol. Dies entspricht einfach der Identität η −1 η = 14. Ein anderer invarianter Tensor (genauer: Pseudotensor, da sein Vorzeichen sich unter uneigentlicher Transformationen ändert) ist der vollständig antisymmetrische Levi–Civita-Tensor 15 ɛ µνρσ ⎧ ⎪⎨ +1 falls (µ, ν, ρ, σ) eine gerade Permutation von (0,1,2,3) ist, = −1 ⎪⎩ 0 falls (µ, ν, ρ, σ) eine ungerade Permutation von (0,1,2,3) ist, sonst. Dieser Tensor transformiert sich nämlich gemäß (I.44) ɛ µνρσ → ɛ ′ µνρσ = ɛ µνρσ det Λ. (I.45) Hier sollte beachtet werden, dass ɛ0123 = −ɛ 0123 , während für den dreidimensionalen Levi–Civita Tensor ɛ123 = ɛ 123 gilt. I.3.5 Kontraktion zweier Tensoren Seien V µ ein kontravarianter und Wµ ein kovarianter Vektor. Die Transformationsgesetze (I.31b) und (I.35) zeigen, dass WµV µ = W T V ein Lorentz-Skalar ist — das uneigentlich genannte „Skalarprodukt“ der zwei Vektoren. Dagegen sind W µ V µ und WµVµ keine Skalare unter der Lorentz-Gruppe, und stellen somit keine „gültige“ Tensorkontraktionen dar. Dem in Abschn. I.1.2 c gegebenen Rezept, um zwei Tensoren zu kontrahieren, muss man also die zusätzliche Regel hinzufügen, dass einer der kontrahierten Indizes kontra- und der andere kovariant sein soll. Da WµV µ = ηµνW µ V ν = W ν Vν = W µ Vµ ist, spielt es in einer Kontraktion keine Rolle, welcher Index oben und welcher unten ist. Beispielsweise beträgt der skalare Lorentz-Quadrat des Viererimpulses (I.33) pµp µ = m 2 c 2 , während für die Vierergeschwindigkeit (I.32a) gilt immer uµu µ = 1. Wenn V und W zwei Vierervektoren mit kontravarianten Koordinaten V µ und W µ bezeichnen, wird im Folgenden die Notation V · W ≡ VµW µ = WµV µ oft verwendet. Dementsprechend wird der Lorentz-Quadrat des Viererimpulses (multipliziert mit c 2 ) als p 2 c 2 = E 2 −p 2 c 2 = m 2 c 4 geschrieben. I.3.6 Kovariante Formulierung eines physikalischen Gesetzes Laut dem Einstein’schen Relativitätsprinzip (Postulat <strong>SRT</strong> II) sollen die Naturgesetze mathematisch so formuliert werden, dass die Form der entsprechenden Gleichungen in allen Inertialsystemen unverändert bleibt. Theorien, die diesem Prinzip genügen, werden als Lorentz- oder relativistisch kovariant bezeichnet. Infolgedessen können solche Gleichungen nur Identitäten zwischen Lorentz-Tensoren der gleichen Stufe sein, nachdem alle möglichen Kontraktionen von Indizes berücksichtigt wurden. Somit sind V µ = W µ oder V µ Tµν = Wν kovariante Gleichungen: eine Lorentz-Transformation transformiert sie in V ′ µ = W ′ µ oder V ′ µ T ′ µν = W ′ ν, d.h. sie nehmen die gleiche Form an. Dagegen stellen Identitäten wie V µ = T µ ν oder V µ = Wµ keine relativistisch kovariante Gleichungen dar, sondern können einen (Tipp-?)Fehler signalisieren. . . 15 Einige Autoren benutzen die Konvention ɛ0123 = +1, entsprechend ɛ 0123 = −1. . . I. Spezielle Relativitätstheorie 18
N.BORGHINI Relativistische Quantenmechanik Elementarteilchenphysik Bemerkung: Manchmal wird statt Lorentz-kovariant die Redensart „Lorentz-invariant“ verwendet. Streng genommen bedeutet aber die Letztere, dass die Gleichungen unverändert unter den Lorentz-Transformationen bleiben, was eine stärkere Bedingung ist, als die Invarianz der Form der Gleichungen. Literatur Zur Speziellen Relativitätstheorie: • Feynman, Band 1 [3], Kap. 15–17. • Fließbach, Band I [4], Kap. IX. • Landau & Lifschitz, Band II [5], Kap. I. • Nolting, Band 4 [6], 1. Teil. Zur Gruppentheorie in der (Teilchen)Physik: • Georgi [7]. • Ramond [8]. I. Spezielle Relativitätstheorie 19
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