Wiederholung: SRT

N.BORGHINI Relativistische Quantenmechanik Elementarteilchenphysik
Mithilfe der Tensoren ηµν bzw. η µν kann man kontra- bzw. kovariante Lorentz-Indizes heraufbzw.
herabziehen, ähnlich den Gleichungen (I.38) und (I.40). Wendet man diese Möglichkeit an η µν
selber, so erhält man
η µ ν = η µρ ηρν = δ µ ν, (I.43)
mit δ µ ν = 1 wenn µ = ν und 0 sonst dem üblichen Kronecker-Symbol. Dies entspricht einfach der
Identität η −1 η = 14.
Ein anderer invarianter Tensor (genauer: Pseudotensor, da sein Vorzeichen sich unter uneigentlicher
Transformationen ändert) ist der vollständig antisymmetrische Levi–Civita-Tensor 15
ɛ µνρσ ⎧
⎪⎨ +1 falls (µ, ν, ρ, σ) eine gerade Permutation von (0,1,2,3) ist,
= −1
⎪⎩
0
falls (µ, ν, ρ, σ) eine ungerade Permutation von (0,1,2,3) ist,
sonst.
Dieser Tensor transformiert sich nämlich gemäß
(I.44)
ɛ µνρσ → ɛ ′ µνρσ = ɛ µνρσ det Λ. (I.45)
Hier sollte beachtet werden, dass ɛ0123 = −ɛ 0123 , während für den dreidimensionalen Levi–Civita
Tensor ɛ123 = ɛ 123 gilt.
I.3.5 Kontraktion zweier Tensoren
Seien V µ ein kontravarianter und Wµ ein kovarianter Vektor. Die Transformationsgesetze (I.31b)
und (I.35) zeigen, dass WµV µ = W T V ein Lorentz-Skalar ist — das uneigentlich genannte „Skalarprodukt“
der zwei Vektoren.
Dagegen sind W µ V µ und WµVµ keine Skalare unter der Lorentz-Gruppe, und stellen somit keine
„gültige“ Tensorkontraktionen dar. Dem in Abschn. I.1.2 c gegebenen Rezept, um zwei Tensoren zu
kontrahieren, muss man also die zusätzliche Regel hinzufügen, dass einer der kontrahierten Indizes
kontra- und der andere kovariant sein soll.
Da WµV µ = ηµνW µ V ν = W ν Vν = W µ Vµ ist, spielt es in einer Kontraktion keine Rolle, welcher
Index oben und welcher unten ist.
Beispielsweise beträgt der skalare Lorentz-Quadrat des Viererimpulses (I.33) pµp µ = m 2 c 2 , während
für die Vierergeschwindigkeit (I.32a) gilt immer uµu µ = 1.
Wenn V und W zwei Vierervektoren mit kontravarianten Koordinaten V µ und W µ bezeichnen,
wird im Folgenden die Notation V · W ≡ VµW µ = WµV µ oft verwendet. Dementsprechend wird der
Lorentz-Quadrat des Viererimpulses (multipliziert mit c 2 ) als p 2 c 2 = E 2 −p 2 c 2 = m 2 c 4 geschrieben.
I.3.6 Kovariante Formulierung eines physikalischen Gesetzes
Laut dem Einstein’schen Relativitätsprinzip (Postulat SRT II) sollen die Naturgesetze mathematisch
so formuliert werden, dass die Form der entsprechenden Gleichungen in allen Inertialsystemen
unverändert bleibt. Theorien, die diesem Prinzip genügen, werden als Lorentz- oder relativistisch
kovariant bezeichnet.
Infolgedessen können solche Gleichungen nur Identitäten zwischen Lorentz-Tensoren der gleichen
Stufe sein, nachdem alle möglichen Kontraktionen von Indizes berücksichtigt wurden.
Somit sind V µ = W µ oder V µ Tµν = Wν kovariante Gleichungen: eine Lorentz-Transformation
transformiert sie in V ′ µ = W ′ µ oder V ′ µ T ′ µν = W ′ ν, d.h. sie nehmen die gleiche Form an. Dagegen
stellen Identitäten wie V µ = T µ ν oder V µ = Wµ keine relativistisch kovariante Gleichungen dar,
sondern können einen (Tipp-?)Fehler signalisieren. . .
15 Einige Autoren benutzen die Konvention ɛ0123 = +1, entsprechend ɛ 0123 = −1. . .
I. Spezielle Relativitätstheorie 18