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N.BORGHINI Relativistische Quantenmechanik Elementarteilchenphysik ∗ Einige Autoren benutzen, statt der hier verwendeten (+, −, −, −) Signatur für den metrischen Tensor (I.22a), der entgegengesetzten Konvention (−, +, +, +). I.2.2 Lorentz-Transformationen Sei eine lineare Transformation der Koordinaten x µ der Form oder äquivalent in Matrixform x µ → x ′µ = Λ µ νx ν , (I.24a) X → X ′ = ΛX, (I.24b) mit Λ der Matrix, deren Matrixelement (µ, ν) Λ µ ν ist. Die Transformation Λ wird Lorentz-Transformation genannt, wenn sie das Linienelement (I.22b) invariant lässt. Somit muss für jede infinitesimale Verschiebung dX, entsprechend einer transformierten Verschiebung dX ′ , die Identität dX T η dX = dX ′ T η dX ′ gelten. Aus der Linearität der Transformation Λ folgt dX ′ = Λ dX, so dass diese Gleichung äquivalent zur Bedingung ist. Mithilfe der Matrixelemente lautet dies 12 η = Λ T ηΛ (I.25a) ηµν = Λ ρ µ ηρσΛ σ ν. (I.25b) Bildet man die Determinante der Gl. (I.25a), so erhält man sofort det Λ = ±1. Infolgedessen bleibt das 4-Volumenelement d 4 x ≡ dx 0 dx 1 dx 2 dx 3 invariant unter Lorentz-Transformationen, da es sich transformiert gemäß d 4 x → d 4 x ′ = det Λ d 4 x. (I.26) Die Lorentz-Transformationen formen eine Gruppe, die sog. Lorentz-Gruppe (oder manchmal homogene Lorentz-Gruppe), die hiernach als L bezeichnet wird. 13 Die Transformationen mit Determinante +1, die eigentlichen Lorentz-Transformationen, bilden eine Teilgruppe L+, die eigentliche Lorentz-Gruppe. 13 Darüber hinaus werden die Transformationen mit Λ0 0 > 0 orthochron gennant; diese bilden auch eine Gruppe, L ↑ + . Je nach den Vorzeichen der Determinante det Λ und der Komponente Λ0 0 erhält man die vier Zusammenhangskomponenten L ↑ + , L↓+ , L↑− und L↓− der Lorentz-Gruppe. Bemerkungen: ∗ In der Tat bleibt das Linienelement (I.21) invariant nicht nur unter der Lorentz-Transformationen, sondern allgemeiner unter den linearen Transformationen der Poincaré-Gruppe (oder inhomogene Lorentz-Gruppe), d.h. der Form x µ → x ′µ = Λ µ νx ν + a µ . (I.27) Die Transformationen mit Λ = 14 und a µ beliebig sind offensichtlich die Raumzeit-Translationen. ∗ Aus Gl. (I.24a) folgt Λ µ ν = ∂x′µ . ∂xν 12 Λ ρ µ ist das Element (ρ, µ) der Matrixdarstellung von Λ, und also das Element (µ, ρ) von Λ T . Manchmal findet man die Notation Λµ ρ anstatt Λ ρ µ. Jedenfalls bleibt der Zeilenindex solcher Lorentz-Transformationen oben, der Spaltenindex unten. 13 Eine alternative Bezeichnung ist O(1,3); dementsprechend wird der Minkowski-Raum auch als R 1+3 bezeichnet, die eigentliche Lorentz-Gruppe als SO(1,3), und die eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe als SO+(1,3). I. Spezielle Relativitätstheorie 14
N.BORGHINI Relativistische Quantenmechanik Elementarteilchenphysik I.2.3 Beispiele Die Isometrien des dreidimensionalen Raums 3 mit mindestens einem Fixpunkt sind natürlich auch Lorentz-Transformationen, die eine Untergruppe der (eigentlichen orthochronen) Lorentz- Gruppe bilden. Die Raumspiegelung ist ebenfalls eine Lorentz-Transformation, diesmal aber eine uneigentliche Transformation (det Λ = −1), mit der Matrixdarstellung ⎛ 1 0 0 ⎞ 0 ⎜ Λ = ⎜0 ⎝0 −1 0 0 −1 0 ⎟ 0 ⎠ . (I.28) 0 0 0 −1 Somit gehört die Raumspiegelung zu L ↑ − . Allgemeiner ergeben sich die uneigentlichen orthochronen Transformationen durch Multiplikation einer eigentlichen orthochronen Transformation mit dieser Raumspiegelung. Auf ähnlicher Weise sind die Transformationen von L ↓ − die Produkte einer eigentlichen orthochronen Transformation mit dem Operator des Zeitumkehrs, dessen Matrixdarstellung ⎛ ⎞ ist. Λ = ⎜ ⎝ −1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 ⎟ 0⎠ 0 0 0 1 (I.29) Die speziellen Lorentz-Transformationen (oder Boosts) entlang einer Richtung sind die eigentlichen orthochronen Transformationen, die die Ortskomponenten senkrecht zur Richtung unverändert bleiben. Im Beispiel eines Boosts entlang der x1-Achse bleiben x2 und x3 invariant. Solche Transformationen sind der Form ⎛ cosh φ sinh φ 0 ⎞ 0 ⎜ Λ = ⎜sinh φ ⎝ 0 cosh φ 0 0 1 0 ⎟ 0⎠ , (I.30) 0 0 0 1 mit φ einer reellen Zahl, der Rapidität des Boosts. Ist die durch Λ beschriebene Transformation passiv, so bewegt sich der Ursprungspunkt x = 0 des alten Bezugssystems mit der Geschwindigkeit v = c tanh φ e1 im neuen Bezugssystem. Außerdem definiert man den entsprechenden Lorentz-Faktor γ als γ = (1 − |v| 2 /c 2 ) −1/2 = cosh φ. Die Komposition zweier speziellen Lorentz-Transformationen entlang derselben Richtung mit Rapiditäten φ1, φ2 ergibt wieder eine spezielle Lorentz-Transformation — die Boosts entlang einer Richtung bilden eine Gruppe — mit Rapidität φ3 = φ1 + φ2. Daraus folgt sofort das relativistische Additionstheorem für Geschwindigkeiten I.3 Kontra- und kovariante Indizes v3 = v1 + v2 . 1 + v1v2/c2 In diesem Abschnitt wird das Verhalten physikalischer Größen unter Lorentz-Transformationen diskutiert, ähnlich wie im Abschn. I.1.2 im Fall der Isometrien von 3. Dabei sollen aber zwei Arten von Indizes eingeführt werden, sog. kontravariante und kovariante Indizes, entsprechend der Tatsache, dass der metrische Tensor η keine positiv definite Bilinearform ist. I. Spezielle Relativitätstheorie 15
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